4.1. Ortogonalización mediante la descomposición de Cholesky

Transcripción

1 . Álgera En eta eccón veremo como la decompocón de Choleky no ofrece una forma rápda y efcaz de ortonormalzar una ae. Comproaremo que el proceo e equvalente al algortmo de ortogonalzacón de Gram-Schmdt... Ortogonalzacón medte la decompocón de Choleky Veremo e procedmento aándono en un ejemplo numérco. Analzaremo el prolema pao a pao.... La ae no ortogonal y la matrz de u métrca a a Conderemo un conjunto de n funcone de ae a defnda en un M a n certo ntervalo y pertenecente a un epaco normado donde e ha defndo un producto ecalar a a entre cualquer par de funcone. Entonce e puede contrur la matrz de la métrca S{ j } como a a a a L a a a a a L a S aa. M M O M a a L j j... El camo de ae No podemo preguntar ete un camo de ae que trforme a la ae a en otra que ea ortonormal. La repueta e afrmatva y eten nfnta poldade de trformacón. Para acotar el prolema upondremo que la matrz que codfca el camo de ae tene etructura de matrz trgular nferor. Llamamo a eta matrz C. Pueto que un camo de ae empre e reverle y tto e puede trformar de la ae a a la como dede la ae a la ae a, tamén etrá la nvera C -, que erá una matrz trgular nferor: -

2 ( ) c c ( ) ( ) C c ( ) ( ) ( ) c C c c. c c c c c c Aí pue, la nueva funcone de ae e otenen aplcdo la trformacón lneal guente: Ca. Multplcdo por C - a la zquerda de la ecuacón teror otenemo:... La nueva métrca a C -. En el conteto de la nueva ae, mponemo que la nueva matrz de la métrca ea la matrz dentdad (conjunto ortonormalzado): ( Ca)( Ca) Caa C CSC I. De aquí, aldo la matrz S, decurremo cual e la naturaleza de la matrz C: C - C - S.... La relacón con el proceo de decompocón de Choleky Defnendo la matrz trgular uperor C - C - - C, entonce S y vemo que la matrz provene de la decompocón de Choleky de S. Eta últma ecuacón e correponde con la formulacón de la decompocón de Choleky dada en la eccón teror.... Un ejemplo numérco Conderemo tre funcone de ae a defnda en el ntervalo [,]. Defnendo el producto ecalar de do de eta funcone u v como la ntegral -

3 - ( ) ( ) d v u v u, entonce contrumo la matrz de la métrca S{ j } de la ae B: d d, d d, d, d y aa S. La decompocón de Choleky de eta matrz S ya la realzamo en la leccón teror. La matrz trgular uperor era y u nvera. En relacón al camo de ae, hemo dcho que C -. Entonce C y el nuevo conjunto de ae ortonormalzado e el guente ( ) ( ) + Ca Se puede comproar (aplcdo el producto ecalar defndo má arra) como la nueva funcone de ae etán realmente normalzada y on ortogonale entre ella.

4 .. Proceo de ortogonalzacón de Gram-Schmdt El proceo de ortonormalzacón de Gram-Schmdt e equvalente al que e acaa de decrr en la eccón teror. Para comproar eto, ata conderar la naturaleza del últmo producto matrcal que e ha vto: Aquí vemo que Ca ( ). ( + ) La prmera funcón de ae del conjunto mplemente e multplca por una contte (elemento - de la matrz C). En realdad eta contte la normalza. En el ejemplo preentado arra eta contte e la undad dedo a que la funcón a ya etaa normalzada ncalmente. La egunda funcón e multplca por una contte y e le uma la prmera tamén multplcada por un ecalar. La tercera funcón,, e la orgnal a ecalada y umada a una comnacón lneal de la do terore. En general, una nueva funcón ortonormal a la terore e contruye a partr de la orgnal que ocupa la mma pocón en la ae ordenada: e la multplca por un ecalar y e le uma una comnacón lneal adecuada de la terore funcone no ortogonalzada. Ete proceo e codfca a travé del producto por una matrz trgular. La formulacón alternatva equvalente e la guente: dado un conjunto de ae ordenado, a a a L, { } un nuevo conjunto ortogonalzado { L } guente mera: a n e puede otener de la n ' a k ' ak k a k En eta formulacón, medte el umatoro e congue elmnar del vector orgnal a k toda la proyeccone que tene ore vectore que ya e h defndo terormente. Al fnal, cada vector k e normalza, otenéndoe el vector k del conjunto ortonormalzado. El proceo de la decompocón de Choleky realza toda eta tarea de forma compacta y automátcamente. Se pueden etalecer alguna aocacone heurítca: en la fórmula teror, lo producto ecalare e aoc al cálculo de la matrz S, la uma para hata k- eta lgada al hecho de que la matrz del camo de ae e trgular y, fnalmente, el -

5 proceo de normalzacón de cada vector ya etá codfcado en la nverón de la matrz. Ejercco. Confecconar un programa que, dada una matrz de Gram (de la métrca) de una ae, medte la decompocón de Choleky otenga el camo de ae que dee realzare para otener una nueva ae ortonormalzada. -