DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

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1 Matemátca Etadítca Dtrbucone bdmenonale DISTRIBUCIOES BIDIMESIOALES. Varable etadítca bdmenonale. Tabla bdmenonale de recuenca.. Cálculo de parámetro. Covaranza.. Correlacón.. Regreón lneal. Ejemplo. Problema Varable etadítca bdmenonale Hata ahora, hemo decrto el etudo que puede realzare de una poblacón o muetra repecto a una ola varable etadítca. Lo que pretendemo ahora e abordar el etudo de un enómeno repecto a do varable undmenonale multáneamente, e obtene aí el concepto de varable etadítca bdmenonal en la que cada elemento de la mma vendrá repreentado por un par ordenado (, ). Parece lógco penar que la guente pareja de varable deben guardar alguna relacón entre í: Lo peo la etatura de un conjunto de perona. El número de encuentro ganado por un equpo de útbol el lugar que ocupa en la clacacón. La nota obtenda por cada alumno de una clae en do agnatura de mlare caracterítca. La velocdade a la que crculan un conjunto de vehículo u conumo de combutble. Etenón en km número de habtante de lo dtnto paíe de Europa. Ingreo gato de cada una de la amla de lo trabajadore de una emprea. Renta naconal número de unvertaro de lo dtnto paíe de Árca. Edad número de día que altan al trabajo lo empleado de una ábrca. úmero de hora que dedcan lo etudante a ver la televón reultado académco. A eta varable etadítca reultante de la obervacón de un enómeno repecto de do modaldade e la llama varable etadítca bdmenonale. La varable etadítca bdmenonale la repreentaremo por el par (X, Y), donde X e una varable etadítca undmenonal que toma lo valore que toma lo valore,,,..., k e Y e otra varable etadítca undmenonal,,,..., k. Por tanto, la varable etadítca bdmenonal (X,Y) toma eto valore:,,,,,,...,, k k o tambén,, k. S repreentamo lo valore de amba varable en una tabla de do la o columna obtendremo una epece de tabla de valore mlar a la que no encontramo en la repreentacón gráca de una uncón. Ello no ugere repreentarlo obre do eje de coordenada ponendo { } en abca e { } en ordenada, obtenendo lo que llamaremo una nube de punto o dagrama de dperón. Ejemplo: Etudamo la nota obtenda por alumno en la agnatura de Fíca Matemátca, vnendo lo reultado recogdo en la guente tabla: Fíca ( ) 9 Matemátca ( ) La nube de punto que e obtene e: 0 0 Fíca Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

2 Etadítca Dtrbucone bdmenonale Tabla bdmenonale de recuenca Veamo alguno ejemplo: Ejemplo: Se obervaron la edade de cnco nño u peo repectvo, e congueron lo reultado guente: Su dagrama de dperón e: Edad (Año) Peo (Kg) 9 Ejemplo : La calcacone obtenda por 0 alumno en Matemátca Fíca on: X= ota Matemátca Y= ota Fíca 9 º de alumno ( j ) Eto gnca que, por ejemplo, ha alumno en total que han acado un en Matemátca un do en Fíca. A eto tpo de tabla e le denomna tabla mple. Su dagrama de dperón e: La tabla de recuenca para una varable etadítca bdmenonal pueden er mple o de doble entrada Veamo, amplando nuetro ejemplo anteror obre la nota de lo alumno cómo ería una tabla de doble entrada. De la tabla mple anteror e puede paar a una de doble entrada vcevera. En nuetro cao tenemo: alumno con un en Matemátca. un en Fíca. alumno con en Matemátca. en Fíca. alumno con en Matemátca. en Fíca. alumno con en Matemátca. en Fíca. alumno con en Matemátca en Fíca. alumno con un en Matemátca un en Fíca. alumno con en Matemátca. en Fíca. alumno con en Matemátca 9 en Fíca. alumno con en Matemátca en Fíca. A ete tpo de tabla e le denomna tabla de doble entrada. Eta tabla e utlzan cuando e trata de mucho dato o ben lo valore e encuentran agrupado en ntervalo. Donde j e la recuenca aboluta conjunta de amba varable. Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

3 Etadítca Dtrbucone bdmenonale La tabla de doble entrada ería: Y 9 X 9 j 0 Cada valor de una calla nterna e la recuenca aboluta conjunta j (número de vece que aparece el par dado por el número ndcado en u la el ndcado en u columna en lo encabezamento); cada valor de la últma la o columna e la recuenca aboluta mple de cada una de la varable ó j (número de vece que aparece el valor ndcado en la cabecera de la la o la columna aladamente). La últma calla de la tabla ndca el número total de cao en etudo (). La dtrbucone undmenonale obtenda de la tabla anteror: j j Se llaman dtrbucone margnale. En reumen, la tabla de recuenca bdmenonale pueden er: mple o de doble entrada. Tabla mple: Una tabla de recuenca mple e la que recoge en la o columna la recuenca de lo,, k valore, de la varable. X Y k k. k Tabla de doble entrada: Una tabla de doble entrada e la que recoge la recuenca de lo, j, k, j p, de la varable.... Y X... p... p... p k k k... kp k p Frecuenca margnale: S en una tabla de doble entrada umamo la recuenca aboluta por la por columna, obtenemo una nueva la una nueva columna: on la recuenca margnale. Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

4 Etadítca Dtrbucone bdmenonale... Y X... p.... p.... p k k k... kp k. k p p Eta recuenca obtenda tenen en cuenta una ola varable e puede contrur con ella do dtrbucone undmenonale obtener lo parámetro repreentatvo. DISTRIBUCIÓ MARGIAL DE X. X. DISTRIBUCIÓ MARGIAL DE Y. Y k. k p p La recuenca margnale pue, tenen en cuenta una ola varable dan lugar a do dtrbucone undmenonale. La uma de la recuenca aboluta margnale concde con la uma de la recuenca bdmenonale de la tabla de doble entrada. Cuando la varable on cuanttatva e pueden obtener parámetro repreentatvo como meda, medana, devacón típca,..., pero cuando on varable cualtatva determnamo ólo el porcentaje. Frecuenca condconada. S en una tabla de doble entrada no centramo en lo valore de una varable con la condcón de que el correpondente valor de la otra ea jo, tenemo una dtrbucón undmenonal, llamada dtrbucón de la varable en cuetón condconada al valor tomado como reerenca en la otra varable. DISTRIBUCIÓ DE X CODICIOADA A Y j X Y=j j j j j k kj Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

5 Etadítca Dtrbucone bdmenonale DISTRIBUCIÓ DE Y CODICIOADA A X... Y X=... p p Como e lógco, entre la recuenca aboluta conjunta la recuenca de la margnale e ha de cumplr la relacón: j j j j Cálculo de parámetro. Covaranza. La meda de la dtrbucone de recuenca margnale e calculan del modo habtual a conocdo, eto e: Varable X Varable Y n Meda.... = = n Varanza n = S = n = S = ( ) = S = - = S = n n ( ) - Al par, e le llama centro de gravedad de la dtrbucón. Ete, no obtante en la dtrbucone bdmenonale un nuevo parámetro que no etía en la undmenonale e trata de la covaranza o, que e dene como la meda artmétca de lo producto de la devacone de lo valore de cada una de la varable repecto de u meda. = S = n ( )( ) n = Vamo a demotrar éta últma órmula que e má cómoda de utlzar, operamo: Ejemplo: en el cao de la nota que no ocupa e tendrá, uando la tabla de recuenca mple colocada en columna: X= ota Matemátca Y= ota Fíca 9 º de alumno ( j ) Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

6 Etadítca Dtrbucone bdmenonale Y lo parámetro erán: 0, ;, 0 0 (,), 0,,,, 0 (,),09,09, 0 Por últmo la covaranza erá:. (,).(,), 0,, 0 La covaranza en un parámetro que tene la guente nterpretacón: S e potva: la varable X e Y tenen relacón drecta (al aumentar X aumenta Y) S e negatva: la varable X e Y tenen relacón nvera (al aumentar X dmnue Y). La nube de punto para una relacón drecta tenen el apecto guente: Relacón drecta Relacón nvera Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

7 Etadítca Dtrbucone bdmenonale Correlacón. Repreentamo a contnuacón varo dagrama de dperón: A la vta de eto dagrama, podemo hacerno la guente pregunta: Ete alguna relacón entre la varable X e Y? S ete, e lneal o curvlínea? Será lneal lo punto e condenan en torno a una recta. Será curvlínea lo punto e condenan en torno a una curva. Al crecer una varable crece la otra? (relacón drecta o potva), o al crecer una varable la otra dmnue? (relacón nvera o negatva). E la relacón unconal? Será unconal cuando amba varable etén relaconada por una uncón. En cao contraro, erá tanto má uerte o má débl dependendo de la maor o menor tendenca de lo punto del dagrama a acercare a la repreentacón de una uncón. De una manera general, llamaremo correlacón a la teoría que trata de etudar la relacón o dependenca que ete entre la do varable que ntervenen en una dtrbucón bdmenonal. La correlacón e lneal o curvlínea egún que el dagrama de punto e condene en torno a una línea recta o una curva, repectvamente. La correlacón e potva o drecta cuando a medda que crece una varable la otra tambén crece. La correlacón e negatva o nvera cuando a medda que crece una varable la otra decrece. La correlacón e nula cuando no ete nnguna relacón entre amba varable. En ete cao lo punto del dagrama etán eparcdo al azar n ormar nnguna línea, e dce que la varable etán ncorrelada. La correlacón e de tpo unconal ete una uncón tal que todo lo valore de la dtrbucón la atacen. En cao contraro, erá tanto má uerte o má débl dependendo de la maor o menor tendenca de lo valore de la dtrbucón a atacer una determnada uncón. Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

8 Etadítca Dtrbucone bdmenonale Coecente de correlacón lneal.- El procedmento má recuentemente utlzado para agnar valore a la poble correlacone entre la varable e el coecente de correlacón lneal de Pearon. El coecente de correlacón de Pearon e dene medante la guente epreón: XY r Obervacone: El cálculo práctco del coecente de correlacón lneal r reulta mu encllo una vez que e abe calcular la covaranza de la varable (X,Y), aí como la devacone típca de la varable X e Y. El gno del coecente r vene dado por el gno de la covaranza, a que la devacone típca on empre potva. Aí pue, el gno de la covaranza decde el comportamento de la correlacón: S la covaranza e potva la correlacón e drecta. S la covaranza e negatva la correlacón e nvera. S la covaranza e nula no ete correlacón. El coecente de correlacón lneal e un número real comprenddo entre -. S r e puede demotrar que todo lo valore de la varable bdmenonal (X,Y) e encuentran tuado obre una recta; en conecuenca atacen la ecuacón de una recta. Entonce e dce que entre la varable X e Y ete una dependenca unconal. S r 0 la correlacón e negatva erá tanto má uerte a medda que r e aproma má a - X tanto má débl a medda que e aproma a 0. En ete cao e dce que la varable X e Y etán en dependenca aleatora. S r 0 entonce no ete nngún tpo de relacón entre la do varable. En ete cao e dce que la varable X e Y on aleatoramente ndependente. S 0r la correlacón e potva erá tanto má uerte a medda que r e aproma a tanto má débl a medda que e aproma a 0. En ete cao e dce que la varable X e Y etán en dependenca aleatora. S r e puede demotrar que todo lo valore de la varable bdmenonal (X,Y) e encuentran tuado obre una recta; en conecuenca atacen la ecuacón de una recta. En ete cao e dce que entre la varable X e Y ete una dependenca unconal. Podemo etmar un poco má la correlacón egún lo valore de r egún la guente tabla: VALORES DE r r 0, r Correlacón mu alta 0, r 0, Correlacón alta Y Intendad de la correlacón Correlacón perecta(dependenca unconal) 0, r 0, Correlacón moderada 0, r 0, Correlacón baja 0 r 0, Correlacón mu baja r 0 Correlacón nula En el ejemplo anteror, el coecente de correlacón e: r, (,).(,) 0,9 Por lo que podemo decr que la correlacón entre la nota de íca matemátca e drecta relatvamente uerte. Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

9 Etadítca Dtrbucone bdmenonale Regreón lneal En la dtrbucone bdmenonale uele conderare necearo er capaz de eprear medante una relacón matemátca (como de una relacón unconal e tratae), la relacón que ete entre la do varable. De eta orma e podrán hacer etmacone de lo valore que adopta una de ella conocdo alguno de la otra. Eta etmacone erán má o meno able dependendo de cuánto e aprome a la undad el coecente de correlacón (a má apromacón a la undad má abldad en la etmacón). En el cao que no ocupa de la regreón lneal, vamo a tratar de encontrar la ecuacón de una recta que "e aprome lo má poble a todo lo punto de la nube de la varable bdmenonal". Pero, Qué gnca que e aprome lo má poble? Conderaremo que e aproma lo má poble cuando la uma de lo cuadrado de la derenca entre cada valor de la varable el valor que predce la recta bucada ea lo menor poble (ajute por mínmo cuadrado). La recta de regreón que e obtenen con eta condcón on: ( ) ( ) Vamo a demotrar que la recta bucada on la ecrta anterormente: Supongamo que la recta: a b ( a b ) ( a b ) 0 ( a b ) 0 recta de regreón de obre recta de regreón de obre atace la condcón de ajute por mínmo cuadrado, hemo de determnar lo coecente a b con ea condcón. Lo valore de en eta recta correpondente a {,,... } on {a+b, a+b,...,a+b }, mentra que lo valore reale on {,,..., } Se tendrá entonce que: ha de er mínma. Suttuendo el valor de dado por la recta: Eta epreón erá mínma para aquello valore de a b que anulen la prmera dervada, eto e: dervando con repecto a "a" dervando con repecto a "b" Dearrollando el umatoro, tenemo: a b a b 0 a b 0 a b 0 0 Eta do últma gualdade orman el tema de ecuacone (con ncógnta "a" "b"): a b a b Multplcando la prmera a a b b llamada ecuacone normale de la recta de regreón. por la egunda por para reolver por reduccón, tenemo: Y retando membro a membro: Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna 9 de

10 Etadítca Dtrbucone bdmenonale b b ( ) ( ) Pue, upueta la recuenca de cada valor de la varable gual a la undad, e tene que: ( ( ) ) La recta de regreón, que tene por pendente b erá, pue: a determnamo "a" con la condcón de que la recta paa por, gravedad ha de atacer la ecuacón de la recta con lo que: a a Adoptando nalmente la recta la ecuacón:,o ea, el centro de ( ) Que e la ecuacón de la recta de regreón de Y obre X. Intercambando ahora X e Y podríamo haber obtendo otra recta de regreón llamada de X obre Y que erá de la guente orma: ( ) A lo valore de e le llama coecente de regreón (no conundr con el coecente de correlacón) Obervacone: Ha que tener abolutamente clara la notacón de cuál e la varable ndependente () cuál la varable dependente (), pue no on ntercambable en un problema concreto: una coecha puede depender de la cantdad de lluva caída pero la lluva no depende en aboluto de la coecha. La recta de regreón ólo rve para predecr la varable dependente. E decr la de Y obre X, etmamo Y a partr de X, la de X obre Y, predecmo X a partr de Y. Al uar la recta de regreón para predecr un reultado e comete un error que e maor a medda que no alejamo del valor medo (meda) a medda que el coecente de correlacón e aleja del valor ó -. El coecente de regreón tene el mmo gno empre que el coecente de correlacón, pero el hecho de que el prmero ea má o meno grande no ndca que la correlacón ea má o meno uerte. Ejemplo.- Una compañía de eguro condera que el número de vehículo (Y) que crculan por una determnada autopta a má de km/h, puede ponere en uncón del número de accdente (X) que ocurren en ella. Durante día obtuvo lo guente reultado: X 9 Y 0 Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

11 Etadítca Dtrbucone bdmenonale a) Calcula el coecente de correlacón lneal. b) S aer e produjeron accdente, cuánto vehículo podemo uponer que crculaban por la autopta a má de km/h? c) E buena la predccón? Solucón: Dponemo lo cálculo de la guente orma: (Accdente) Vehículo , ;,, 0,9, a) r 0, 99.,9. 0,9 ;,, 9 09 ;.,., =, b) Recta de regreón de obre : ( ),, (,) ;,,(,),9,,(, Para =, ), e decr, =,0. Podemo uponer que aer crculaban vehículo por la autopta a má de km/h. c) La predccón hecha e buena a que el coecente de correlacón etá mu prómo a..- La calcacone de 0 alumno en pcología evolutva en etadítca han do la guente: X nota pcología Y nota etadítca º alumno 9 Obtener la ecuacón de la recta de regreón de calcacone de etadítca repecto de la calcacone de pcología. Cuál erá la nota eperada en etadítca para un alumno que obtuvo un, en pcología? Solucón: Se pde la recta de regreón de obre : ( ) Dponemo lo dato de la guente orma: Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

12 Etadítca Dtrbucone bdmenonale , 0 0 ;,. (,).(,), 0,, 0 (,), 0,, 0 Suttuendo en la ecuacón de la recta de regreón, reulta:,, (,), e decr, 0,, S un alumno que tene una nota de, en pcología, la nota eperada en etadítca erá: Se uttue en la recta de regreón. (,) =, + 0, =, La abldad vene dada por el coecente de correlacón:, ;,, r. (,),09 ;,09, 0, (,).(,) reulta r 0, 9 La correlacón e potva, e decr, a medda que aumenta la nota de etadítca aumenta tambén la nota en pcología. Su valor etá prómo a lo que ndca que e trata de una correlacón uerte, la etmacone realzada etán cerca de lo valore reale..- La guente tabla de doble entrada muetra la etatura ( en cm.) peo ( en kg.) de perona. Determnar el coecente de correlacón, la recta de regreón de Y obre X etmar la etatura de una perona cuo peo ea de 0 kg. Dbujar la nube de punto la ctada recta de regreón: 0 90 F j j = j j Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

13 etaturaa (cm.) Etadítca Dtrbucone bdmenonale La parte de la tabla doblemente recuadrada conttue lo dato del problema. La la columna retante e han añaddo como cálculo poterore para determnar lo parámetro necearo. Se tene: Meda: 0 kg. Devacone típca: cm. 0, kg. 90, Covaranza: cm. 999, Coecente de correlacón de Pearon: r, 0,,, correlacón drecta (r>0) pero baja en magntud. Recta de regreón de Y obre X:, ( ) 0,,, Etmacón para = 0 kg. : 0,0, 9, cm. Eta etmacón e poco gncatva dado el valor mu bajo obtendo para el coecente de correlacón. ube de punto: Donde en cada punto de la nube ha uperpueto tanto punto como ndque la recuenca aboluta conjunta de amba varable. Contando la totaldad de punto vble uperpueto deberían haber peo (kg.) Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

14 Etadítca Dtrbucone bdmenonale Ejercco propueto. La nota obtenda por alumno en Matemátca en Múca on: Alumno Mat. Mú. 9,,, a) Calcula la covaranza, la varanza el coecente de correlacón. b) Ete correlacón entre la do varable? c) Calcula la recta de regreón. Cuál erá la nota eperada en Múca para un alumno que hubee obtendo un, en Matemátca? (Sol.,0;,;,9; 0,9; =, + 0,;,).- Cnco nña de,,, año de edad pean repectvamente, 0, 0, Kg. Halla la ecuacón de la recta de regreón de la edad obre el peo. Cuál ería el peo apromado de una nña de año?. ( Sol. = 0,9-0,;, Kg.).- La tabla adjunta da el índce de mortaldad de una muetra de poblacón en uncón del conumo daro de cgarrllo: úmero de cgarrllo 0 Índce de mortaldad 0, 0, 0, 0, 0, a) Determna el coecente de correlacón e nterpreta el reultado. b) Halla la recta de regreón de obre c) Cuál erá el índce de mortaldad para un conumdor de 0 cgarrllo daro? Dada la guente varable etadítca bdmenonale, razona entre ella ete una correlacón potva, negatva o nula. a) La clacacón de un equpo de útbol en la lga la etatura meda de u jugadore. b) La temperatura dara de una cudad durante el me de ebrero el conumo de energía eléctrca por habtante. c) El nº de coche por habtante el nº de accdente de tráco en una cudad. d) La nota de Matemátca de Fíca Químca de un grupo de alumno. Para cada una de la varable bdmenonale guente, e ha hecho un etudo para nvetgar la correlacón etente entre lo dato recogdo. Lo coecente de correlacón obtendo han do: r = 0,9, r = -0,, r =, r = 0, r = 0. Agna a cada par de varable el correpondente coecente: a) Hora dara que ve la televón un alumno agnatura aprobada en una evaluacón. b) Peo de un recén nacdo color de u ojo. c) úmero de partdo ganado número de canata coneguda por un equpo de balonceto. d) ota nal de Matemátca nota nal de Lengua en.º de ESO. e) Epaco recorrdo por un coche en un tempo determnado velocdad del mmo en dcho tempo. En una cudad e han celebrado en una emana matrmono. La edade de lo novo etán relejada la tabla. Edad del novo ( ) 9 0 Edad de la nova ( ) Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

15 Etadítca Dtrbucone bdmenonale a) Repreenta la nube de punto calcula la meda artmétca de la edade de lo novo ( ) de la nova ( ). b) Cuál e el coecente de correlacón? c) Ecrbe la ecuacón de la recta de regreón. d) Qué edad cabe eperar para una nova cuando el novo tenga año? En una emprea elecconan trabajadore, e anotan u año de ervco el tempo de ervco en hora olctado el últmo me. Lo reultado on: X: año en la emprea Y: nª de hora de permo a) Repreentar grácamente lo dato anterore. Sn hacer nngún cálculo razonar lo dato muetran correlacón potva o negatva. b) Calcular la covaranza e el coecente de correlacón entre X e Y. c) Calcular la recta de regreón de Y obre X. Eplcar u utldad. Se ha realzado un etudo obre la preerenca de la rata con repecto a la temperatura del agua. Un grupo de rata ue ometdo a do temperatura del agua derente e mdó el tempo de permanenca en ete medo. Eto ueron lo reultado: ºC 9 0ºC 9 Calcular la covaranza el coecente de correlacón. Analzar que tpo de dependenca ete entre la varable. 9 La meda de lo peo de una poblacón e Kg. la de la etatura cm, mentra que la devacone típca on repectvamente Kg cm, endo la covaranza entre amba varable 0. Calcular la recta de regreón de lo peo repecto de la etatura. Cuánto etma que peará un ndvduo de 0 cm de etatura? La guente tabla orece lo reultado de pare de obervacone, realzada para analzar el grado de relacón etente entre varable X e Y. X Y 0 Obtener: a) Recta de regreón de Y obre X. b) Repreentacón gráca de la mma, aí como de lo pare de obervacone anterore. c) Qué grado de relacón lneal ete entre amba varable? Calcula la recta de regreón correpondente a la dtrbucón guente: Altura obre el nvel del mar Preón atmoérca Qué preón atmoérca habría obre una aldea que etá a 00 metro de alttud? Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

16 Etadítca Dtrbucone bdmenonale. A do grupo de proeore de letra (grupo A) de cenca (grupo B), e le ha planteado un tet de cultura general de 0 pregunta, arrojando el guente número de contetacone acertada: Grupo A Grupo B Halla para cada uno de lo grupo la meda, moda medana, aí como la devacón típca. Interpreta lo reultado. Para etudar alguno eecto de la alttud, un grupo de jóvene aconado a la nvetgacón centíca ha llevado a cabo un epermento. Cada uno de ello a acuddo a un lugar dtnto de la mma comarca ha obtendo medda obre: - Altura en metro obre el nvel del mar. - úmero de planta de una certa epece en dam. - Preón atmoérca en mm de Hg. - úmero de pulacone por mnuto del epermentador. Eto on lo reultado: a Altura n ºde Planta Pa Preón atmoérca Pu Pulacone Condera la guente dtrbucone bdmenonale: I) a,n; II) a, Pa; III) a,pu. Repreenta cada una de ella en un dagrama carteano medante la nube de punto, traza a ojo u recta de regreón etma u coecente de correlacón. Eectúa depué, lo cálculo de orma rguroa compara lo reultado. Etma, obre la correpondente recta de regreón la preón atmoérca correpondente a una altura de 000 m. De la guente dtrbucón bdmenonal: X Y [0,) [,) [,) [,) [,) [,) [,) [,) [,) [,) Obtener: a) Recta de regreón de Y obre X. b) Coecente de correlacón lneal e nterpretar el reultado. Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de

17 Etadítca Dtrbucone bdmenonale. Un ocólogo arma que la mujere e caan má jóvene que lo hombre. Para apoar dcha armacón preenta la guente tabla obtenda en una encueta a 0 pareja, donde H repreenta la edad de lo hombre M la de la mujere M [,0) [0,) [,0) [0,) H [,0) 0 [0,) [,0) 0 [0,) 0 0 a) E correcta la armacón del pcólogo? Razona la repueta b) Qué edad e puede eperar para un hombre caado con una mujer de año? c) Etuda la abldad de la predccón del apartado anteror. Joe Manuel Outón Ruz IES Fuerte de Cortadura Págna de