CAPÍTULO 6 TRATAMIENTO DE ASPECTOS CUALITATIVOS. USO DE VARIABLES FICTICIAS EN REGRESIÓN

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1 Fchero: captulo 6 CAPÍTULO 6 TRATAMIENTO DE ASPECTOS CUALITATIVOS. USO DE VARIABLES FICTICIAS EN REGRESIÓN. TIPOLOGÍA DE LOS MODELOS DE REGRESIÓN CON VARIABLES CUALITATIVAS Los aspectos cualtatvos, meddos a través de datos categórcos, tambén partcpan en los modelos econométrcos. Para ncorporarlos, crearemos varables llamadas fctcas, de tpo dcotómco (solo toman los valores 0 ó ). Dchas varables cualtatvas o categórcas pueden tener un doble papel en el modelo, ben como varable dependente o ben como explcatvas. En este capítulo abordaremos los problemas relaconados con la especfcacón, estmacón y contraste en modelos econométrcos que ncluyen factores explcatvos cualtatvos. Hasta el momento, todos los modelos de regresón analzados contenían varables explcatvas cuanttatvas o, para ser más precsos, varables defndas ya sea en un rango contínuo o dscreto de valores en escalas de medda de ntervalo o de rato. A contnuacón estudaremos la forma de ncoporar varables meddas en escala nomnal u ordnal en un modelo econométrco, así como el sgnfcado atrbuble a los parámetros que las acompañan. Muchas veces hay aspectos cualtatvos que contrbuyen a explcar el comportamento de la varable endógena. Los resummos en la tabla sguente. Manual de Econometría. Capítulo 6, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

2 Para qué se usan las varables fctcas como explcatvas en regresón? Para dferencar entre grupos de Datos transversales ndvduos (sexo; nvel de estudos) Para modelzar los outlers Modelzar la estaconaldad Datos temporales Cambo/s estructural/es Observacones atípcas (ntervencones o "sucesos") Con datos transversales, el modelo puede dferencar los efectos sobre la varable endógena grupos de ndvduos, por ejemplo, el sexo, la raza o el estado cvl pueden ayudar a explcar dferencas salarales entre trabajadores, junto a la experenca y la educacón formal. Tambén se pueden usar varables fctcas para modelzar el comportamento especal de los outlers (ndvduos atípcos, cuyo resduo en la regresón excede, por ejemplo, de tres desvacones típcas). Con datos temporales, las varables fctcas explcatvas tenen tres posbles usos: )para modelzar la estaconaldad, cuando los datos son mensuales o trmestrales. Por ejemplo, las ventas trmestrales de muchos productos tenen un fuerte componente estaconal, de forma que, además de los gastos en publcdad y otras accones de marketng, el trmestre a que se refere cada observacón tambén contrbuye a explcar las ventas; ) para especfcar uno o más cambos estructurales dentro del período muestral (antes y después de 986, año en que España se ncorpora a la UE, por ejemplo. 3) De forma más general, para ncorporar los efectos de ntervencones o de anomalías ocurrdas en determnados momentos, que se traducen en datos atípcos. Otro tpo de modelos tene una varable endógena cualtatva. Por ejemplo, se trata de explcar la decsón de cada famla de comprar, o no, una vvenda; de suscrbr un Bnomal * MPL * Probt * Logt Modelos de regresón con varable dependente cualtatva Manual de Econometría. Capítulo 6, págna. Multnomal Carlos Murllo Fort y Beatrz González Decsón López-Valcárcel secuencal (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Modelos Unversdad andados de Las Palmas de GC No ordnal Ordnal * MPL * Probt

3 seguro para la proteccón del hogar; la eleccón de marca de automovl; o la decsón de una empresa de dstrbur dvdendos en el ejercco.estos modelos, cuya clasfcacón se presenta esquemátcamente a contnuacón, no se abordan en este capítulo. Las característcas cualtatvas que ntervenen en el modelo pueden ser tanto nomnales (raza; sexo) como ordnales (nveles de estudo o clase socal). Para especfcar efectos nomnales, se crean y utlzan varables fctcas, llamadas tambén varables 'dummy'. En este capítulo nos preocupamos por el tratamento de las varables dummy utlzadas como explcatvas en los modelos de regresón, dejando para más adelante la modelzacón de varables dependentes de naturaleza cualtatva. Las varables fctcas traducen esos factores cualtatvos en varables exógenas en la ecuacón de regresón. El aspecto más destacable de este tpo de varables es que se trata de varables expresadas, en cualquer caso, en forma de varables bnaras que toman en el modelo econométrco los valores 0 ó. Este códgo bnaro es asumdo ndependentemente del número de modaldades, o categorías, del factor cualtatvo representado. Estructuraremos este capítulo en la forma sguente: en prmer lugar, estudaremos cómo especfcar un modelo que contene al menos una varable categórca, con dos o más modaldades, como explcatva, dferencando, según las hpótess acerca del comportamento de la endógena, entre la especfcacón adtva, la multplcatva, la mxta y la que contene efectos de nteraccón entre dos factores. En el apartado 3 abordamos la estmacón y el contraste de hpótess en estos modelos. El apartado 4 se dedca a los modelos que suponen un cambo estructural contnuo a lo largo del tempo, los cuales se pueden estmar medante mínmos cuadrados recursvos y contrastar a través de los test de CUSUM XX. Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 3. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC 3

4 . ESPECIFICACIÓN DE MODELOS CON VARIABLES EXPLICATIVAS FICTICIAS Cómo defnr las varables fctcas Las varables fctcas se ntroducen en la ecuacón de regresón como varables dcotómcas que toman las modaldades ausenca/presenca (0/). Por ejemplo, el sexo se puede representar medante una varable dcotómca que toma el valor 0 s el ndvduo es hombre, y s es mujer. Naturalmente, la codfcacón es arbtrara. Podría hacerse al revés, y los resultados llevarían a la msma nterpretacón, como veremos más adelante. Cuando hay más de dos modaldades, lo prmero que se le ocurrría a uno es crear tantas varables dcotómcas como modaldades. Por ejemplo, en un modelo transversal cuyas undades muestrales son los 3 muncpos de la provnca de Las Palmas, para ntroducr el efecto sla podríamos crear las tres dummes sguentes: D = s el muncpo pertenece a Gran Canara = 0 en caso contraro D = s el muncpo pertenece a Lanzarote = 0 en caso contraro D3 = s el muncpo pertenece a Fuerteventura = 0 en caso contraro De forma smlar, los efectos estaconales quedarían reflejados en cuatro dummes estaconales que toman el valor para uno de los trmestres y 0 para los demás. Sn embargo, normalmente en el modelo se ntroducen tantas varables dcotómcas como modaldades menos una, que actúa de referenca, como tendremos ocasón de justfcar a contnuacón. Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 4. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC 4

5 La forma en que partcpan en el modelo las varables fctcas depende de las hpótess que adoptemos acerca de su efecto sobre la endógena. Como lustracón emplearemos un ejemplo (con datos smulados) de determnacón de los salaros de unverstaros ttulados, con una muestra transversal de 600 trabajadores. El fchero de datos, en E-Vews, se llama caso dummes.wf. Las varables se descrben en la sguente tabla: Varable SALARIO EXPER MUJER TITULO MEDICINA ECONOMIA INGENIERO HUMANIDADES POSGRADO HARVARD Defncón Salaro mensual bruto, en ptas. Años de experenca laboral Dummy = s mujer Nomnal de ttulacón = medcna; = economía; =3 Ingenero; = 4 Humandades. Dummy = s título de medcna Dummy = s título de económcas Dummy = s título de ngenería Dummy = s título de humandades Dummy = s master o posgrado termnado Dummy = s el título es de Harvard Empezamos por suponer que el logartmo del salaro depende de los años de experenca laboral (EXPER), con una relacón cuadrátca, es decr, como explcatvas ncluímos la experenca y su cuadrado. Además, el modelo hpotetza que hay dferencas sstemátcas entre los hombres y las mujeres. Dchas hpótess pueden ser las sguentes:. Camba la constante: varables fctcas adtvas. Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 5. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC 5

6 Modelo : prmera forma de especfcar el modelo adtvo La varable fctca se ncorpora adtvamente al modelo, como los regresores cuanttatvos. La ecuacón a estmar es: Y = Log( SALARIO) = β + β EXPER + β EXPER + β MUJER ;( =,,...N) 0 3 El sgnfcado de β3 queda claro cuando examnamos el valor esperado de la endógena para las mujeres y para los hombres: E(Y HOMBRE) = β 0 + β EXPER + β EXPER E(Y MUJER) = ( β + β )+ β EXPER + β EXPER 0 3 La ecuacón anteror nos ndca que para todos los nveles de experenca laboral hay un dferencal β3 en la endógena (el logartmo de los salaros) a favor de los hombres (fgura ). Dependent Varable: LOG(SALARIO) Method: Least Squares Included observatons: 600 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C EXPER EXPER^ MUJER R-squared Mean dependent var.7584 Adjusted R-squared S.D. dependent var 0.54 S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd.9969 Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) Fgura Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 6. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC 6

7 Modelo adtvo,85 Hombres,8 β3 Log(salaro),75 β3,7 Mujeres,65, Experenca laboral A partr de la ecuacón anteror, vemos que la dferenca entre los logartmos de los salaros esperados de una mujer y de un hombre que tengan déntca experenca, es 0,0896. Por tanto: Log ( SALARIO SALARIO Log SALARIO SALARIO SALARIO SALARIO Mujer Hombre Mujer Hombre Mujer Mujer = e ) Log ( SALARIO = ; 0, = 0,943 ; = 0,943. SALARIO Hombre Hombre ) = 0, Así pues, el coefcente de MUJER se nterpreta de la sguente forma: hay un dferencal medo de 0,0896 en el logartmo de los salaros de mujeres y hombres. En térmnos de los salaros, las mujeres percben en promedo el 9,43% del salaro que percbría un varón con su msma experenca, es decr, el salaro medo de las mujeres es un 8,57% (-0,943) nferor al de los hombres ceters parbus. Por su parte, los coefcentes de la experenca ndcan que cada año más de experenca laboral hace aumentar el salaro esperado en un porcentaje que depende de la cantdad de experenca acumulada, ya que la relacón se ha supuesto cuadrátca. Ejercco: Qué porcentaje aumentará en promedo el salaro de un hombre sn experenca laboral cuando cumple su prmer año de trabajo en la empresa?, Y el de una mujer?; Cuánto aumentará el salaro de un hombre (mujer) que lleve dez años 7 trabajando? Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 7. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

8 Modelo b): Segunda forma de especfcar la msma ecuacón: Qué pasaría s hubéramos defndo la varable fctca al revés, es decr, s hubéramos ntroducdo en el modelo la fctca HOMBRE, que toma el valor para los hombres y 0 para las mujeres?. Exactamente los msmos resultados. La únca dferenca es el sgno de la dummy, que nos cuantfca déntco valor al de antes, pero ahora la ventaja es a favor de los hombres. Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C EXPER EXPER^ HOMBRE R-squared Mean dependent var.7584 Adjusted R-squared S.D. dependent var 0.54 S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd.9969 Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) Modelo : Tercera forma de especfcar la msma ecuacón: Todavía hay una tercera posbldad: estmar el modelo con ambas fctcas, MUJER Y HOMBRE, pero en este caso sn térmno ndependente. S ntrodujéramos este últmo habríamos caído en la llamada 'trampa de las varables fctcas', al ncurrr en multcolnealdad o correlacón exacta, en este caso la suma de los dos regresores dummes de sexo es déntca a X, regresor fctco de la constante del modelo..tér (fíjese que, por defncón, para todo ndvduo de la muestra HOMBRE + MUJER =). El modelo alternatvo, sn constante, arroja los sguentes resultados: Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. EXPER EXPER^ HOMBRE MUJER Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 8. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

9 R-squared Mean dependent var.7584 Adjusted R-squared S.D. dependent var 0.54 S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd.9969 Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) Ejercco. Ahora, el modelo estmado ofrece una constante para las mujeres y otra para los hombres. Compruebe y justfque que estos resultados son déntcos a los prevos y tenen déntca nterpretacón. Modelo con factor cualtatvo con más de categorías. Es el caso, por ejemplo, de ntroducr la ttulacón como explcatva en el modelo. Hay cuatro ttulacones (Medcna, Economía, Ingenería y Humandades). La especfcacón del modelo se realza de manera análoga al supuesto anteror, con la salvedad de que debemos añadr una varable fctca más para cada nueva categoría. La extensón del modelo supone en defntva la utlzacón de tantas varables fctcas como número de categorías exstentes menos uno. En general, cuando la característca cualtatva tene m modaldades, se ntroducen en el modelo m- varables fctcas. Hay una modaldad que actúa como referenca (aquella con todas las fctcas guales a cero). Por ejemplo, para ntroducr dferencas salarales adtvas entre las cuatro ttulacones, creamos las fctcas de todas menos de Humandades, que actúa como ttulacón de referenca: Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C EXPER EXPER^ MEDICINA ECONOMIA INGENIERO R-squared Mean dependent var.7584 Adjusted R-squared S.D. dependent var 0.54 S.E. of regresson Akake nfo crteron Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 9. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC 9

10 Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) para ellos. Los coefcentes de las dummes de ttulacones cuantfcan el dferencal medo del logartmo de los salaros entre los trabajadores de cada una de las ttulacones ncludas respecto a Humandades. Por ejemplo, el logartmo del salaro de un médco es en promedo 0,55 undades mayor que el de un lcencado en Humandades. En térmnos porcentuales, el salaro de un médco será e 0,5 =,6474 veces el salaro de un lcencado en Humandades con su msma experenca laboral, es decr, un 6,47% mayor. En el caso de mantener el térmno constante en la ecuacón con la extensón a más categorías, los coefcentes asocados a las varables fctcas representan las dferencas entre los nveles de los valores esperados de Y para cada categoría con respecto a la elegda como categoría de referenca (aquella para la que todas las fctcas toman el valor gual a 0). La dferenca entre dos categorías dstntas de la de referenca se obtene de la comparacón entre los dos coefcentes mplcados. Ejercco: Qué dferencal de salaro esperado hay, según ese modelo, entre un economsta y un lcencado en Humandades que tengan déntca experenca en años?, Y entre un economsta y un ngenero?. En el caso de utlzar la opcón representada por el modelo sn térmno ndependente, entonces ntroducmos tantas fctcas como categorías. Por ejemplo, s especfcamos el modelo de los salaros sn el sexo pero con las ttulacones: Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. EXPER EXPER^ MEDICINA ECONOMIA INGENIERO HUMANIDADES R-squared Mean dependent var Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 0. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

11 Adjusted R-squared S.D. dependent var 0.54 S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) Ejercco: A partr de los resultados anterores, cuantfque el dferencal de salaro esperado, según el modelo, entre un lcencado en Economía y un lcencado en Humandades, para cualquer nvel de experenca laboral. Compruebe que los resultados son déntcos a los obtendos prevamente (modelo con constante). Modelo con varos factores cualtatvos Cuando queremos ntroducr en el modelo econométrco varas varables cualtatvas a la vez (por ejemplo, sexo y ttulacón), la estratega a segur consste en ntroducr tantas varables fctcas como número de categorías menos uno para cada factor cualtatvo, mantenendo el térmno constante de la ecuacón. De este modo los coefcentes de regresón que acompañan a cada varable fctca tenen una nterpretacón drecta como dferencas en el nvel medo esperado de la varable endógena de la categoría representada por la varable fctca respecto de la correspondente categoría de referenca. Por ejemplo, s ntroducmos adtvamente tanto el efecto sexo como el efecto ttulacón, el modelo resultante es de la forma Y = Log( Salaro ) = β + β S + β T + β T + β T + E β β E +u ; 6 7 S = MUJER ; T = Dummy de Medcna; T = Dummy de Economía T3 = Dummy de Ingenería; E = exp erenca laboral para =...n, con u tal que su dstrbucón es déntca e ndependente para todo, con meda nula y varanza constante. En el modelo ß señala las dferencas en el log del Manual de Econometría. Capítulo 6, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

12 salaro medo esperado entre las mujeres y los hombres, una vez controlado el efecto de la experenca y de la ttulacón. De forma análoga, ß3 ndcará las dferencas exstentes en el log del salaro medo esperado entre los ttulados en Medcna y los de Humandades, y ß4 las dferencas salarales esperadas, en log., entre los ttulados en Economía y los de Humandades. En ambos casos se entende bajo control las varacones por razón de experenca y sexo. Fnalmente, los parámetros ß6 y ß7 srven para representar los cambos en los log de los salaros que se producen por varacones untaras en la experenca, que son déntcos para todas las categorías, ndependentes del sexo y la ttulacón según la hpótess adtva que hemos establecdo. El modelo estmado es el sguente: Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C EXPER EXPER^ MEDICINA ECONOMIA INGENIERO MUJER R-squared Mean dependent var.7584 Adjusted R-squared S.D. dependent var 0.54 S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) Contraste de hpótess en los modelos adtvos: Para el contraste de hpótess sobre los parámetros del modelo seguremos utlzando de manera general el conjunto de pruebas relatvas a uno, o varos, coefcentes. Estas pruebas son contrastes de restrccones lneales como las analzadas en el capítulo (?). Sn embargo, vamos a señalar cómo se construyen los contrastes en los modelos de regresón que utlzan varables fctcas para obtener evdenca en favor de Manual de Econometría. Capítulo 6, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

13 supuestos relatvos a comparacones entre las categorías especfcadas en el modelo, así como la nterpretacón de los resultados. a) Contraste de hpótess sobre la dferenca entre el nvel esperado de una categoría en relacón a la categoría de referenca. Se trata de contrastar que el coefcente de la fctca que refleja una determnada categoría sea gual a cero. En efecto, s tomamos como ejemplo el últmo modelo, la gualdad en los nveles medos de salaro de los lcencados en Medcna y en Humandades se producrá cuando ß 3 =0. La afrmacón planteada se reduce a someter a prueba la hpótess nula H o : ß 3 =0, frente a la hpótess alternatva H A : ß 3 # 0, que se resuelve con ayuda del estadístco habtual para el valor de un coefcente de regresón, es decr * βˆ 3 t = e.s.( βˆ ) 3 b) Contraste de hpótess sobre la dferenca entre el nvel medo de dos categorías que no son la de referenca. Ahora el contraste mplca a dos coefcentes de regresón (los asocados con las fctcas que representan a las dos categorías conectadas). Tomemos de nuevo como ejemplo el últmo modelo. Supongamos que estamos nteresados en probar que no exste dferenca entre los log de los salaros medos de los lcencados en Medcna y en Economía. Nnguna de esas dos categorías es la de referenca. En este caso la prueba de gualdad de comportamentos medos de la varable endógena, los salaros, se traduce en una prueba de gualdad de los coefcentes de las dos fctcas ntroducdas en el modelo. En efecto, s la hpótess nula y la alternatva se formulan como 3 Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 3. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

14 H o : β = β 3 4 : β β entonces, cuando es certa la hpótess nula los salaros medos de ambos tpos de ttulados son estadístcamente guales. El estadístco de prueba es el conocdo contraste F propuesto para los casos de restrccones lneales entre parámetros. Debemos comparar las sumas de cuadrados de los errores de los modelos que resultan en los casos en los que, respectvamente, son certas las hpótess nula y alternatva. Dcho de otro, modo debemos formular y estmar: y, tambén, T =T =T H a H : M : Y Log ( Salaro ) = + + T + T + E = β β S λ β 5 3 β 6 β 7 E + u ; S = MUJER ; T = Dummy = para Medcna y Economía ; T3 = Dummy de Ingenería ; E = exp erenca laboral que es el modelo que resulta de ser certa la hpótess nula. En este modelo hemos hecho β en donde, ahora T =, s el ndvduo -ésmo tene ttulacón de Medcna o Economía, y T = 0, en el caso contraro. La estmacón de ese modelo (modelo restrngdo o modelo mantendo en la hpótess nula) es la sguente: 3 3 = 4 4 β = λ Included observatons: 600 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C EXPER EXPER^ MUJER MEDIOECO INGENIERO R-squared Mean dependent var.7584 Adjusted R-squared S.D. dependent var 0.54 S.E. of regresson Akake nfo crteron Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 4. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

15 Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) La suma resdual de cuadrados de este modelo restrngdo es 9,430786, que debemos comparar con la correspondente suma de cuadrados resdual del modelo general (9,566). Estamos contrastando una restrccón. El contraste emplea el conocdo estadístco de prueba: ( SCEo - SCEa ) / q F = SCEa / (n - K) ~ F [ q,(n - K) ] en donde, n-k son los grados de lbertad en la estmacón del modelo no restrngdo (en nuestro caso, K=7), y q es el número de restrccones (en nuestro caso, ). S comparamos dos categorías entonces, como en el ejemplo utlzado anterormente, q=. En general, s estamos nteresados en probar la gualdad de q categorías dstntas de la de referenca el número de restrccones será gual a q-. S queremos contrastar que no hay dferenca sgnfcatva entre medcna y economía respecto a la ttulacón de referenca (Humandades), entonces nuestra hpótess nula es: En este caso, estamos contrastando q= restrccones. Los valores del contraste permten rechazar, o no, la hpótess nula en la forma acostumbrada. S se rechaza la hpótess nula, entonces los salaros medos son dstntos entre las categorías recogdas con valores guales a en las varables fctcas, y la categoría de referenca. S no puede rechazarse la hpótess nula entonces estas dferencas no puede argumentarse que exstan, al menos con el modelo utlzado y la muestra dsponble. β 3 = β 4 = 0 c) Contraste de gualdad entre todas las categorías 5 Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 5. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

16 Este últmo tpo de prueba consste en un contraste de gualdad de todos los coefcentes que acompañan a las varables fctcas que se referan a una msma varable cualtatva. Para que todas las categorías presenten el msmo valor esperado en la varable endógena es precso que los coefcentes de las varables fctcas sean guales entre sí e guales a cero. En el ejemplo de los salaros, el valor esperado es el msmo ndependentemente de la ttulacón (es decr, la ttulacón no nfluye en las varacones del salaro). La hpótess nula es la sguente: contra la hpótess alternatva: H = o : β = β β = 0 : β 0; y/o β H a y / o β 5 0 El contraste adecuado es la prueba F de que un subconjunto de coefcentes de regresón son todos guales a cero. El número de restrccones q es gual al número de categorías, en nuestro ejemplo son 4. S el estadístco de prueba toma valores por encma de los tabulados en la dstrbucón F, al nvel de sgnfcacón elegdo, entonces se rechaza la hpótess nula de gualdad en los salaros medos de las dstntas categorías de ttulacones. S, por el contraro, el estadístco de prueba es menor que el valor tabulado, entonces no podemos rechazar con la evdenca dsponble en la muestra que los salaros se comporten de manera dstnta entre los ndvduos por razón de su ttulacón académca. Cómo ntroducr efectos de nteraccón entre factores cualtatvos Volvamos al ejemplo anteror. Añadamos al modelo, además de los efectos sexo y ttulacón, dos nuevos factores cualtatvos, haber hecho un posgrado o master y haber estudado en una unversdad de prestgo (se llama Harvard en el fchero de datos). Esperamos que ambos factores afecten postvamente al salaro. No obstante, nuestra hpótess es que los títulos de Harvard, además de tener una nfluenca sobre el salaro de cualquer ttulado, son partcularmente prestgosos en el caso de Economía. Para 6 Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 6. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

17 ncorporar estas hpótess al modelo, ntroducmos las fctca Harvard y posgrado adtvamente y además, la nteraccón entre Harvard y Economía. La nteraccón se ntroduce como el producto (que vale para los economstas por Harvard y cero en otro caso). La estmacón resultante es: Included observatons: 600 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C EXPER EXPER^ E MUJER MEDICINA ECONOMIA INGENIERO HARVARD POSGRADO HARVARD*ECONOMIA R-squared Mean dependent var.7584 Adjusted R-squared S.D. dependent var 0.54 S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat.065 Prob(F-statstc) Ejercco. Calcula la magntud de algunos efectos, según este modelo: a) Cuál es el dferencal de salaros esperados entre un economsta de Harvard y un lcencado en Humandades por otra Unversdad? b) Y entre un hombre, posgraduado por Harvard en Medcna, y una mujer, lcencada en Ingenería por otra Unversdad, que tengan los msmos años de experenca?. Hpótess multplcatva. Efectos nteraccón entre los factores cualtatvos y los regresores contnuos El supuesto mantendo hasta el momento de que las dferencas de los valores esperados de la varable endógena se mantenen entre las categorías, ndependentemente de los valores de las demás varables en el modelo, puede ser en 7 Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 7. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

18 ocasones demasado restrctvo. En los modelos con nteraccones entre las varables fctcas y las demás explcatvas, permtmos que la pendente del plano de regresón varíe entre categorías. El llamado modelo multplcatvo ncorpora como explcatva el producto entre una varable fctca y otra varable explcatva contnua. Así, en el caso más sencllo de un modelo con una varable fctca D que recoge un factor cualtatvo, como el sexo, con dos categorías, además de una varable explcatva contnua, como la experenca laboral, el térmno de nteraccón se construye e ncorpora en la forma que se ndca a contnuacón Y = β + β X + β 4 ( X D )+u =...n en donde D es una fctca que vale para un grupo de ndvduos de la muestra, por ejemplo, para las mujeres, y cero para los hombres. El valor esperado de la varable endógena para las mujeres (D= y por lo tanto, X D = X ) es Y = ( β )+( β + β 4 ) X +u mentras que para los que pertenecen a la otra categoría (hombres: D = 0, y X D = 0), el valor esperado de la endógena es: Y = β + β X +u La fgura refleja este modelo multplcatvo. Y Hombres: la pendente es β Mujeres: la pendente es β + β4 β 8 Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 8. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad X Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

19 3. Hpótess mxta En este caso, ntroducmos la varable fctca como regresor (hpótess adtva) y además en nteraccón con la contnua (hpótess multplcatva), para señalar que hay dferencas entre los grupos defndos por la dummy tanto en constante como en pendente. El modelo es, pues: Y = β + β X + β D + β ( X D 3 4 )+ u =...n El valor esperado de Y, dada X, para el grupo de mujeres (con D=) es: E( Y X, D = ) = ( β + β 3 )+( β + β 4 ) X mentras que para el caso de los hombres es: E( Y X, D = 0) = β + β X El sgnfcado del parámetro ß 3 sgue sendo el de poner de manfesto la magntud de las dferencas en el nvel entre las dos categorías, cuando la varable X toma el valor gual a 0. Por su parte, el parámetro ß 4 ndca las dferencas en las pendentes, señalando las dscrepancas en la respuesta de la varable endógena cuando se producen varacones en la varable X y cambos en la categoría de la varable recogda en la fctca especfcada. S el factor cualtatvo tuvera más de dos categorías, o s tomamos a la vez varos factores cualtatvos, bastará añadr nuevas varables de nteraccón de la forma ndcada en el ejemplo anteror. Volvamos al ejemplo de los salaros de los ttulados unverstaros, en su últma formulacón. Ahora añadmos el efecto nteraccón entre la experenca laboral y haber cursado un curso de posgrado, porque tal vez ambos factores sean susttutvos hasta certo punto. El modelo estmado resulta ser: Included observatons: Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 9. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

20 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C EXPER EXPER^ E MUJER MEDICINA ECONOMIA INGENIERO HARVARD POSGRADO HARVARD*ECONOMIA EXPER*POSGRADO R-squared Mean dependent var.7584 Adjusted R-squared S.D. dependent var 0.54 S.E. of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat.0588 Prob(F-statstc) De acuerdo con este modelo, tener un título de posgrado aumenta el salaro. Cuando no se tene experenca laboral alguna, un lcencado con posgrado gana en promedo un 33,5% más que otro sn posgrado (e 0,89095 ). Pero por cada año de experenca laboral que se gana, el dferencal de salaro entre los que tenen y los que no tenen posgrado se acorta, porque un año de experenca vale más, en térmnos de gananca salaral, para los que no tenen formacón de posgrado. Esto ocurre porque el coefcente de la varable nteraccón es negatvo (-0,00768). LAS VARIABLES FICTICIAS EXPLICATIVAS EN LOS MODELOS PARA DATOS TEMPORALES Ya hemos adelantado que las varables explcatvas fctcas pueden usarse: a) para consderar efectos estaconales en el comportamento de la endógena; b) para nclur el efecto de los outlers u observacones atípcas; c) para especfcar cambos de estructrura puntuales. a) Los efectos estaconales, por ejemplo trmestrales, quedarían reflejados en cuatro dummes estaconales que toman el valor para uno de los trmestres y 0 para los demás de las cuales, en la especfcacón adtva, se ncluyen tres, dejando un trmestre 0 Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 0. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

21 como referenca. En este caso, el contraste de la ausenca de efectos estaconales consste en plantear como hpótess nula la nuldad conjunta de los tres coefcentes correspondentes (contraste F de subconjunto de parámetros). b) Por su parte, los outlers pueden ser: b) Hechos anómalos puntuales que solo afectan al período en que tenen lugar. En este caso, se crea una varable fctca que toma el valor en el período en que se produce la observacón anómala, y toma el valor cero para el resto del período muestral. En ocasones hay que crear varas dummes de este tpo, cuando se producen varas alteracones sgnfcadas puntuales en el comportamento de la endógena respecto a su valor esperado b) Innovacones en escalón: hay un antes y un después de un momento conocdo. La varable fctca D tomará el valor cero antes del momento del cambo y el valor a partr de entonces. Este tpo de especfcacón concde con la de cambos estructurales dscretos del caso c b3) Hay un perodo transtoro, de adaptacón, entre el momento en que tene lugar el comenzo del cambo (t), y el momento en que los efectos se establzan (t). En este caso, se crean dos varables fctcas, una para marcar el antes y otra para el después: D D t t = t < t; D t = t > t; D t = 0 t t; = 0 t t c) Los cambos de estructura en momentos conocdos del tempo se especfcarán creando una dummy que vale 0 antes del cambo y después del msmo y estmando un modelo mxto, adtvo y multplcatvo, para permtr que todos los coefcentes del modelo de regresón dferan en los subperíodos. Ya sabemos usar el contraste de Chow. Un contraste de nuldad conjunta de los coefcentes en los que está mplcada la varable dummy sería equvalente al ya estudado contraste de Chow. Manual de Econometría. Capítulo 6, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

22 CONTRASTES ALTERNATIVOS DE ESTABILIDAD DEL MODELO DE REGRESIÓN Hasta ahora hemos aprenddo a contrastar la establdad del modelo medante a) el contraste de Chow, en sus dos varantes; b) medante el uso de varables fctcas explcatvas y posteror contraste F de su sgnfcacón estadístca. En ambos casos, se supone conocdo el momento (o los momentos) en que se han producdo los cambos estructrurales, en el supuesto de trabajar con datos temporales. En la práctca, esto puede no ocurrr. Podemos sospechar que la estructura ha cambado a lo largo del perodo muestral, pero no ser capaces de concretar cuándo. Para este caso, están los contrastes CUSUM y CUSUMQ, y el de Harvey y Coller (977), que se basan en los resduos recursvos. En ambos casos, la hpótess nula es que hay una únca estructura que abarca todo el período muestral y la alternatva es que no hay una únca estructura, sn concretar. La potenca de estos contrastes es nferor a la de los contrastes de Chow, pero tenen la ventaje ndudable de que no exgen concretar una hpótess alternatva sobre la temporalzacón de los momentos del cambo. Qué son resduos recursvos?. El resduo recursvo de orden t (t=k+, T) es el error de predccón a un perodo que se comete cuando se estma el modelo con los prmeros t - datos y se predce expost el valor que tomará Y en el período t, es decr: e ˆ t = yt Xt βt en tanto que error de predccón a un período, su varanza es: Var( e ) =σ t ( + x'( X t X ) x ) t t Lo reescalamos de la sguente forma: et wt = ; t = K +,... T ( + x'( X X ) x ) t t t Bajo la hpótess nula (coefcentes constantes durante todo el período muestral), los w t se dstrbuyen déntca e ndependentemente como normales N(0, ) Manual de Econometría. Capítulo 6, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

23 Los contrastes CUSUM y CUSUMQ se basan en las seres de los resduos recursvos reescalados (w) acumulados y en sus cuadrados respectvamente. EL CONTRASTE CUSUM El estadístco de prueba para el período t es: W t = con σˆ w = T T r= K + = w r r= K+ T K Wr σˆ T r= K+ ( w r w) T K Bajo la hopótess nula (hay una únca estructura para todo el período muestral)w t es la suma de t-k varables aleatoras ndependentes de esperanza nula y varanza untara, por tanto, bajo la hpótess nula: E( W ) = 0; Var( W ) = t K t t El contraste se hace dbujando el gráfco del estadístco W t para t=k+, T y las bandas de confanza. Estas son las rectas que unen los puntos sguentes: K, ± a( T K) y T, ± 3a( T K ) donde a es un valor crítco tabulado que vale 0,948 para el nvel de confanza del 95% y a=,43 para el 99%. CONTRASTE CUSUMQ Este se basa en los cuadrados de los resduos recursvos, tambén escalados y acumulados. El estadístco de prueba es: 3 Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 3. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

24 S t t wr r= K + = T wr r= K + Brown, Durbn y Evans han demostrado que bajo la hpótess nula, que es la msma que en el caso del contraste CUSUM, el estadístco CUSUMQ tene el sguente valor esperado: r K E( S r ) = T K que va de cero (para r=k) hasta (para r=t). Tambén en este caso se grafca el estadístco para r=k+, T, y las bandas de confanza de referenca, que están a una dstanca c 0, por arrba y por debajo, de ese valor esperado. El valor crítco c 0, que depende del tamaño muestral y del nvel de sgnfcacón, está tabulado. Respecto a la comparacón del CUSUM y el CUSIMQ, hay certa evdenca de que el segundo tene mayor potenca que el prmero. 4 Manual de Econometría. Capítulo 6, págna 4. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (000) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC