CAPÍTULO 11 No-NORMALIDAD DE LAS PERTURBACIONES. MÉTODOS ROBUSTOS DE ESTIMACIÓN

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1 Fchero: captulo.doc CAPÍTULO o-ormalidad DE LAS PERTURBACIOES. MÉTODOS ROBUSTOS DE ESTIMACIÓ. ITRODUCCIÓ En el modelo de regresón lneal Y=Xβ + u, a menudo se recurre a la hpótess de que el vector de errores aleatoros U sgue una dstrbucón normal de meda cero y matrz de varanzas-covaranzas dagonal σ I. Esta hpótess puede consderarse plausble, en vrtud de los teoremas centrales del límte. Sn embargo, puede no cumplrse ben por una no-normaldad ntrínseca del modelo, ben porque sospechemos, con la evdenca empírca del caso, que las perturbacones de nuestro modelo no son normales En algunos modelos, hay una no-normaldad ntrínseca, que resulta drectamente de su especfcacón. Un ejemplo típco en economía es el de las funcones de produccón (o de costes) frontera. La frontera de produccón de la empresa -ésma, es decr, la cantdad máxma de producto que puede obtener (Q* ) con unas cantdades dadas de K recursos productvos (vector X ) es una funcón de dchos nputs: Q* =f(x β). Pero la cantdad efectvamente producda, Q que observamos es sempre nferor, o como máxmo gual, a su frontera de produccón no observable Q* * Q + v = f ( X, ) + v con v 0 = Q β () S la propa frontera de produccón (cantdad máxma que podría producr la empresa, dados sus recursos) tene un componente aleatoro, el modelo () se converte en una ecuacón frontera estocástca de produccón, que se caracterza por tener un error adtvo con dos componentes, uno (U) rudo blanco, y otro asmétrco (v) que representa el grado de nefcenca de la empresa -ésma: Manual de Econometría. Capítulo, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (00) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

2 Q = Q * + v = f ( X, β) + u + v con v 0, u ~ d(0, σ uestro nterés es estmar los coefcentes de la regresón y las varanzas de ambos errores, u y v, con objeto de determnar cuál es la varabldad de la nefcenca entre las empresas de la muestra. Evdentemente, v no sgue una dstrbucón normal, por tanto, la perturbacón de () tampoco lo es. Ejercco. Escrbe una ecuacón frontera estocástca de costes de tpo Cobb- Douglas. Qué nefcenca está reflejando? Otro ejemplo de modelos con perturbacones ntrínsecamente no normales son los modelos con varable dependente cualtatva o lmtada en rango. Por ejemplo, s la varable dependente del modelo de regresón Y=Xβ + u es dcotómca, expresando la decsón de los consumdores de comprar o no comprar un ben duradero. La perturbacón aleatora de este modelo, llamado de probabldad lneal, tene una dstrbucón dcotómca, condconada a las X. Demuéstralo. Obvamente, no sgue una dstrbucón normal. u ) () En los casos de no-normaldad ntrínseca, la estratega de estmacón adecuada es la de máxma verosmltud, sempre que seamos capaces de hpotetzar una determnada forma de dstrbucón de probabldad, no normal, de las perturbacones. En la mayor parte de los casos, no hay una solucón analítca para los estmadores máxmo verosímles, pero se emplean algortmos teratvos de optmzacón no lneal para obtener los estmadores. Ejercco. Los estmadores MV del modelo logt. El modelo logt se emplea para explcar una eleccón dcotómca (Y=0/) en funcón de un grupo de K regresores X y para estmar la probabldad de elegr la accón (Y=). Se especfca de la sguente forma: P log( ) = P X ' β (3) donde P es la probabldad de que el ndvduo (=,,...) elja la opcón. Escrbe la funcón de verosmltud a maxmzar, y obtén su dervada. Podría resolverse esa ecuacón de máxmo analítcamente? Manual de Econometría. Capítulo, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (00) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

3 La sospecha de no-normaldad En la práctca, muchas veces ocurre que sospechamos no-normaldad, sea por ndcacón de la teoría económca o por motvos pragmátcos. Esta sospecha se puede basar: a) la dstrbucón muestral de la varable dependente parece provenr de una dstrbucón sn varanza, ya que su hstograma tene colas amplas, con una gran proporcón de observacones extremas b) dstrbucón muy asmétrca En estos casos, necestamos contrastes de normaldad para ratfcar o no nuestra sospecha, y en caso de rechazar la hpótess de normaldad de las perturbacones, tendremos que poner en práctca una estratega de estmacón dferente.. COSECUECIAS DE LA O-ORMALIDAD PARA LA ESTIMACIÓ POR MCO.. Las perturbacones sguen una dstrbucón con varanza Cuando las perturbacones se dstrbuyen déntca e ndependentemente con meda nula y varanza fnta, los estmadores MCO conservan sus propedades de estmadores lneales, nsesgados y consstentes. Recuerda las demostracones de dchas propedades y observa que en ellas no se hzo uso de la hpótess de normaldad. o obstante, ya no concden con los estmadores máxmo-verosímles, y, puesto que éstos poseen la propedad de efcenca asntótca, los estmadores MCO no son asntótcamente efcentes. Además, ya no sguen las dstrbucones de probabldad que fundamentaban los contrastes t y F de sgnfcacón, de modo que estos contrastes no son váldos en muestras fntas. uestro problema es, por tanto, que con MCO consegumos una estmacón razonable, pero no podemos hacer afrmacones acerca de esos estmadores en térmnos de probabldad, al no ser conocda su dstrbucón. Los contrastes t y F están, en algún sentdo, justfcados asntótcamente, ya que la dstrbucón asntótca del vector de estmadores MCO es la msma sean o no normales las perturbacones. Además ( σˆ σ ) (0; µ σ 4 4 (4) ) Los estadístcos de prueba que usábamos para contrastar la sgnfcacón ndvdual (t) y conjunta (F) de los coefcentes estmados por MCO sguen ahora una Manual de Econometría. Capítulo, págna 3. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (00) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

4 dstrbucón normal estándar y χ con tantos grados de lbertad como restrccones se contrastan respectvamente bajo la hpótess nula. Así pues, s las perturbacones son no normales, pero tenen varanza fnta, los estmadores MCO sguen sendo razonablemente buenos, aunque no son efcentes. En la práctca, un síntoma será que los resduos presentan dstrbucones asmétrcas o con apuntamento muy dferente del normal. En las fguras y hay dos ejemplos, con datos smulados. Observe que el problema en el prmer ejemplo es de asmetría y en el segundo es de apuntamento (coefcente de apuntamento = ). S el tamaño de la muestra es grande, los contrastes de sgnfcacón sguen sendo váldos. Fgura. Se han smulado perturbacones exponencales. Coefcente de determnacón del modelo = Seres: Resduals Sample 300 Observatons 300 Mean -.8E-4 Medan Maxmum Mnmum Std. Dev Skewness Kurtoss Jarque-Bera Probablty Fgura. Se han smulado perturbacones sguendo una dstrbucón t de Student con 3 grados de lbertad. Coefcente de determnacón de la regresón = Seres: Resduals Sample 300 Observatons 300 Mean.93E-4 Medan Maxmum Mnmum Std. Dev Skewness Kurtoss Jarque-Bera Probablty Manual de Econometría. Capítulo, págna 4. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (00) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

5 .. Las perturbacones sguen una dstrbucón sn varanza (varanza nfnta) Este caso es grave, porque el teorema central del límte no es aplcable, y n squera con muestras grandes los estmadores MCO tenen buenas propedades, no son asntótcamente normales, y los contrastes de sgnfcacón no pueden aplcarse. El problema es que los estmadores MCO son muy sensbles a pequeñas varacones en la muestra, poco robustos, sus valores camban mucho s hacemos pequeñas varacones en la muestra, como elmnar o añadr una o unas pocas observacones extremas, que son muy nfluyentes. De ahí que nterese buscar métodos robustos de estmacón, como veremos en el sguente apartado. En la práctca, encontraremos un síntoma cuando los resduos tenen dstrbucones con colas amplas (alta densdad de outlers). Parece que algunas dstrbucones de varables económcas tenen varanza nfnta; la dstrbucón de la renta para famlas de renta alta puede segur una dstrbucón de Pareto con parámetro α< y por tanto, sn varanza. Lo propo ocurre con la dstrbucón de empresas según tamaño. Se ha argumentado tambén que algunos precos en mercados especulatvos sguen una dstrbucón pertenecente a la famla de dstrbucones smétrcas estables de Pareto sn varanza. 3. LOS MÉTODOS ROBUSTOS DEESTIMACIÓ. EL ESTIMADOR DE DESVIACIÓ ABSOLUTA MÍIMA Los métodos robustos de estmacón son menos sensbles que MCO a la presenca de observacones atípcas. Son métodos que garantzan unos estmadores razonablemente ben comportados ndependentemente de la dstrbucón de probabldad de las perturbacones. De forma general, un estmador robusto mnmza una funcón de los errores de regresón que asgne poco o nngún peso a los errores de valor absoluto excesvamente grande. Aunque hay varos métodos: Desvacón Absoluta Mínma (DAM), estmadores de clase H de Huber, estmador de Anscombe (véase el esquema al fnal del capítulo), destacamos entre ellos el de desvacón absoluta mínma (DAM). Se basa en la dea de neutralzar la excesva nfluenca de los datos extremos sobre las estmacones. El método de MCO se basa en mnmzar la suma de los cuadrados de los resduos de la regresón. Al estar éstos elevados al cuadrado, se amplfca la nfluenca de los resduos grandes, Manual de Econometría. Capítulo, págna 5. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (00) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

6 correspondentes a los datos atípcos. Como crtero alternatvo, el método DAM mnmza la suma de valores absolutos de los resduos, reducendo a la escala lneal, en la msma undad de medda que la varable endógena, cada sumando de la funcón crtero : Mn e = = = y DAM yˆ = y X ' β ˆ (5) = El estmador DAM no se puede obtener medante una fórmula analítca que resulte de la gualar a cero la prmera dervada de () y despejar, porque la funcón crtero es dscontnua. Para calcularlo se puede emplear programacón lneal o ben recurrr al procedmento de Tuckey. Para aplcarlo, rescrbmos la funcón (5) a mnmzar de la sguente forma: e Mn e = w e = = con w = e (6) Vemos en (6) que el crtero DAM de mnmzacón puede consderarse un caso de mínmos cuadrados ponderados, donde los pesos son los resduos en valor absoluto. Podemos, pues, calcular el estmador DAM aplcando teratvamente mínmos cuadrados ponderados, a partr de estmacones MCO ncales, y cambando los pesos en cada teracón hasta la convergenca (no hay cambo en las estmacones de dos teracones sucesvas). Ejemplo. Tenemos un modelo de regresón de y contra X, con =30 datos transversales. Los resduos MOO tenen colas amplas (curtoss = ) con dos outlers muy destacados (fgura 3), que tran de la recta de regresón de MCO haca ellos (fgura 4) Fgura 3. Hstograma de los resduos de la estmacón MCO Seres: Resduals Sample 30 Observatons 30 Mean -3.6E-5 Medan Maxmum Mnmum Std. Dev Skewness Kurtoss.509 Jarque-Bera Probablty Manual de Econometría. Capítulo, págna 6. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (00) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

7 Fgura 4. ube de puntos y estmacón por MCO Y X Los estmadores MCO son: Dependent Varable: Y Method: Least Squares Sample: 30 Included observatons: 30 Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresón Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc) S elmnamos de la muestra los dos outlers, la estmacón MCO camba sensblemente y el ajuste mejora espectacularmente: Dependent Varable: Y Method: Least Squares Sample(adjusted): 8 IF Y<80 Manual de Econometría. Capítulo, págna 7. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (00) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

8 Included observatons: 8 after adjustng endponts Varable Coeffcent Std. Error t-statstc Prob. C X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regresson.7649 Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat.564 Prob(F-statstc) S estmamos el modelo por el método DAM, obtendremos valores ntermedos: se les da certo peso a los dos outlers, pero no tanto como en MCO. Cuando las perturbacones sguen la dstrbucón de Laplace (exponencal de dos colas), los estmadores DAM son los máxmo verosímles. Tenen, por tanto, en ese caso las propedades de asntótcamente normales y asntótcamente efcentes. La dstrbucón de Laplace tene la sguente funcón de densdad: f u) = e λ u λ ( (7) y su varanza es Var(u)=λ. En efecto, el logartmo de la funcón de verosmltud en este caso es: LogL = log( ) λ λ u = (8) de forma que maxmzar la funcón logarítmca de verosmltud (8) equvale a mnmzar la suma de desvacones absolutas (5), y el estmador DAM es, por tanto, el de máxma verosmltud. La dstrbucón de Laplace es un caso partcular de una dstrbucón más general del error (Box y Tao): Manual de Econometría. Capítulo, págna 8. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (00) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

9 f ( u) = k( σ, θ ) e u σ θ con k( σ, θ ) = σ Γ + θ θ > 0, σ > 0 (9) el parámetro θ mde el grado de curvatura de la dstrbucón. S θ= tenemos la dstrbucón normal, s θ= tenemos la de Laplace. La funcón logarítmca de verosmltud, que ncorpora θ como parámetro, además de los β y de σ, equvale a mnmzar la sguente funcón, para un valor de θ dado: Mn e θ = y = = θ yˆ = y X ' βˆ (0) = Vemos que en el caso partcular en queθ=, tenemos el estmador DAM, y s θ=, tenemos el estmador de MCO. θ El estmador DAM es asntótcamente normal bajo condcones no muy restrctvas, y asntótcamente más efcente que el MCO para todas las dstrbucones del error cuya medana es superor a la meda como medda de tendenca central. 4. COTRASTES DE ORMALIDAD: SHAPIRO-WILK, JARQUE-BERA, KOLMOGOROV-SMIROV Los contrastes de normaldad de las perturbacones se basan en las dstrbucones empírcas de frecuencas de los resduos. De alguna manera, valoran la dstanca del hstograma de los resduos a la funcón de densdad de una dstrbucón normal. La hpótess nula es sempre que las perturbacones se dstrbuyen déntca e ndependentemente como normales, con varanza constante. El contraste de Saphro-Wlk se basa en los resultados de la regresón de valores de una dstrbucón normal estándar contra los estadístcos de orden de los resduos MCO. Es más potente que los otros, y más robustos frente al ncumplmento de hpótess de homocedastcdad. Su estadístco de prueba es el sguente: Manual de Econometría. Capítulo, págna 9. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (00) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

10 [ m a + = = ( e = ( e + e) e ) W () ] donde m es el mayor entero menor o gual a / y a son coefcentes tabulados en funcón del nvel de sgnfcacón del contraste y del tamaño de la muestra Para hacer el contraste, se sguen los sguentes pasos:. Ordenar la muestra en orden crecente de los resduos: e <e <...<e. Calcular S ( e e) = = 3. Buscar en las tablas de Saphro-Wlk los valores de los coefcentes a y calcular el estadístco de prueba W 4. S el estadístco es menor que el valor crítco tabulado, para el nvel de sgnfcacón elegdo, aceptamos la hpótess de normaldad. En caso contraro, la rechazamos El contraste de Jarque y Bera se basa en la comparacón de los momentos muestrales de asmetría y apuntamento de los resduos con los de una dstrbucón normal (smétrca, con coefcente de curtoss o apuntamento gual a 3). El estadístco de prueba es: K JB = S + ( kurtoss 3) 6 4 () donde S es el coefcente de asmetría y kurtoss es el coefcente de curtoss, y K el número de regresores de la ecuacón, ncluyendo la constante. Bajo la hpótess nula, JB sgue asntótcamente una χ con grados de lbertad. El E-Vews hace el contraste de Jarque y Bera. Véase, por ejemplo, las fguras, y 3. En esos tres ejemplos se rechaza la hpótess nula de normaldad. 5. TRASFORMACIOES DE LOS DATOS Y BÚSQUEDA DE ORMALIDAD. LA TRASFORMACIÓ DE BOX-COX Supongamos una funcón de produccón de tpo Cobb-Douglas: Q X u = e ' β e, con u Manual de Econometría. Capítulo, págna 0. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (00) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

11 déntca e ndependentemente dstrbuídas, normales, con meda cero y varanza constante σ. La varable dependente, Q, sgue una dstrbucón log-normal y es heterocedástca. La forma funconal del modelo es no lneal, pero s aplcamos logartmos consegumos smultáneamente lnealdad, normaldad de los errores y homocedastcdad. Estos son los tres objetvos de una transformacón de varables. Box y Cox proponen una transformacón muy general de la varable Y en la varable transformada Y (λ) : Y ( λ ) = λ Y s λ λ LogY s λ 0 (3) = 0 La tabla sguente contene la transformacón de Box-Cox para dstntos valores de λ λ Transformacón - Recíproco -0,5 Recíproco de la raíz cuadrada 0 Logartmo 0.5 Raíz cuadrada o transformar Posee la ventaja de ser contnua en el entorno λ=0, ya que Lm Y λ Lm = LogY λ 0 λ. Suponendo que exste un λ tal que Y (λ) = X β+h uí, con u aproxmadamente normal y homocedástco, proponen un procedmento máxmo verosíml para estmar β,λ y σ. Este procedmento, sn embargo, no proporcona un estmador consstente de λ s la transformacón no conduce a errores homocedástcos, sno que hay un sesgo asntótco de λ haca el valor que establza más la varanza del error. Por tanto, aunque el procedmento de Box-Cox es robusto frente a no normaldad, con tal que la dstrbucón sea smétrca, no ocurre lo msmo con la heterocedastcdad. La cuestón respecto a s la perturbacón entra en la ecuacón de forma adtva o multplcatva está tambén muy relaconada con la heterocedastcdad, forma funconal y transformacón de Box-Cox. La alternatva entre un modelo con perturbacón adtva o multplcatva es realmente la de decdr entre un modelo homocedástco o heterocedástco. En efecto, un modelo con error multplcatvo puede rescrbrse en forma de error adtvo con una perturbacón cuya varanza es proporconal al cuadrado de la funcón que expresa la parte sstemátca de varacón Manual de Econometría. Capítulo, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (00) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

12 de la endógena. Aunque estén muy relaconadas, es convenente consderar las decsones acerca de la forma funconal del modelo y de la homo/heterocedastcdad separadamente. Suponendo que la forma funconal es conocda, la transformacón de Box-Cox puede emplearse para dscrmnar entre la especfcacón adtva y la multplcatva. El contraste es de rato de verosmltudes, y ha sdo aplcado a varos problemas económcos. RESUME Las estrategas adecuadas, en térmnos generales, para estmar modelos no normales o de cuya normaldad dudamos, pueden resumrse de la sguente forma: a) S se tene nformacón a pror sobre la forma (no normal) de la dstrbucón de las perturbacones: emplear el método de máxma verosmltud b) B) Cuando hay ncertdumbre completa sobre la forma de la dstrbucón pero no se apreca una proporcón alta de observacones extremas : emplear MCO. Sempre que la varanza de los errores sea fnta, hemos vsto que estos estmadores se comportan ben c) Cuando se detecta una elevada proporcón de observacones extremas, es preferble utlzar un procedmento de estmacón robusto (DAM) d) S las observacones de la varable dependente parecen responder a una dstrbucón asmétrca, la transformacón de Box-Cox puede ser convenente. Pero hay que tener en cuenta los efectos que produce dcha transformacón sobre la forma funconal y la homocedastcdad. e) Cuando se elge una forma funconal para e modelo, ha de modelzarse tambén la forma en que la perturbacón entra en la ecuacón (adtva o multplcatvamente). Manual de Econometría. Capítulo, págna. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (00) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC

13 ESTIMACIÓ DE U MODELO DE REGRESIÓ CO PERTURBACIOES O ORMALES Dstrbucón colas amplas: MÉTODOS ROBUSTOS Dstrbucón conocda: MV Ejemplo: Funcones de produccón frontera Dstrb. asmétrca: TRASFORMACIÓ DE VARIABLES DAM CLASE M ASCOMBE TUCKEY BOX-COX Forma funconal de la perturbacón Manual de Econometría. Capítulo, págna 3. Carlos Murllo Fort y Beatrz González López-Valcárcel (00) Catedrátco Unversdad Pompeu Fabra Catedrátca Unversdad de Las Palmas de GC