IV. JUEGOS ESTÁTICOS DE INFORMACION INCOMPLETA

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1 Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava 35 IV. JUEGOS ESTÁTICOS DE INFORMACION INCOMPLETA Son juegos en los cuales al menos uno de los jugadores tene nformacón ncomleta sobre la funcón objetvo de al menos uno de sus contrncantes. En muchos ejemlos cada jugador conoce la forma de la funcón de utldad de sus contrncantes, ero desconoce algún arámetro de esta. Ese arámetro defne or comleto al ndvduo y es conocdo como el to. El to de un ndvduo es conocdo sólo or él. Sus contrncantes sólo saben la dstrbucón de ese to. Una nterretacón temoral Antes del "comenzo del Mundo" El "comenzo del Mundo" " Todo el mundo" conoce Naturaleza escoge t toda sobre estos las la el el " to" ndvduos tos de dstrbuc nformacó juego, algunos. Sobre se conocen ones exceto t n a T usando T. Cada nformado le corresond contrncan sabendo las jugador del tes sólo dstrbuc to ó. se T Sus. () es que quedan ones " juego" Los jugadores mueven de forma smultánea y se recben los agos. Cuál es el nterés en estos juegos?. Más realsmo.. Llevan a resultados dferentes. (Por ejemlo, en una negocacón uede que no haya transaccón, en un duolo de Corunot se roducen cantdades dferentes que bajo nfo. comleta). 3. En juegos dnámcos (que sólo veremos más adelante) se genera un roceso de arendzaje. Solucón de Juegos con Informacón Incomleta: En el contexto estátco, son muy smlares a juegos con nformacón comleta. La únca dferenca es que los jugadores desnformados no saben a qué juego se enfrentan (or ejemlo, no saben s contrncante es de to efcente o nefcente ). Entonces no ueden deducr su utldad de jugar algo, sno sólo su utldad eserada. Ejemlo 4.: Duoolo de Cournot., P a Q a ( q + q ) Pq q Donde c c c c > c c c Con robabldad c Con robabldad es el to. ( - ) Informacón ncomleta sobre : esta desconoce s es de costo alto c (nefcente) o de costo bajo c (efcente).

2 Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava 36 El jugador está erfectamente nformado sobre su roo costo y el de su contrncante. Por tanto, maxmza su utldad (no su utldad eserada) y su funcón de reaccón es déntca a la de nformacón comleta: a q S c () c a q q ( q, c ) a q S c c () Por su arte, la frma no sabe a qué cometdor se enfrenta. Entonces sólo uede maxmzar su utldad eserada, dado que su utldad deende tambén de las accones del otro y no sabe de qué to es ese otro. Max E E a q q q E ( ) [( ) ] q ( ) + ( ) c c A ( a q ( c ) q ) q q ) + ( ) [( a q ( c ) q ) q q ] Cuánto me generara s es no efcente c c Esto nos lleva a una funcón de reaccón: A a q c + q q( q ( c )) [ ( ) ( ) ( c )] a - c - E[ q ( c )] (3) Note: A la frma le nteresa cuánto roducría en cada escenaro osble (necesta calcular q (c) y q (c ) ara oder encontrar el valor de 3). Esto asa en cada juego con nformacón ncomleta y lleva a la sguente defncón e una estratega en este to de juegos: Defncón: En un juego estátco con nformacón ncomleta una estratega de un jugador es una accón ara cada to osble del jugador. Entonces, en este ejemlo { q R} S { q ( c) R q ( c ) R} S,,. El equlbro es donde las funcones de reaccón se cruzan, es decr, donde (), () y (3) se cumlen a la vez. Esto nos lleva a la sguente cantdad de equlbro ara la frma (la desnformada): a q c + E 3 ( c ) Suonga que c c, es decr, las dos formas son en efecto déntcas ero la frma no lo sabe. S hubera a a + c nformacón comleta, ya hemos mostrado que ambas frmas roducrían q. 3 3 Entonces, la nformacón ncomleta aquí hace (dado c <c) que la frma roduzca menos que bajo nformacón comleta, ya que E(c )<c. A su vez, la funcón de reaccón de la frma, que es la arte nformada, mlca que la frma reacconará roducendo más que bajo nformacón comleta. En resumen: como en valor eserado la frma es más roductva de lo que realmente es, la frma acaba roducendo menos que sn nformacón ncomleta. Por sus efectos ostvos sobre el reco, esto

3 Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava 37 ermte que la frma, a su vez, roduzca más de lo que haría s su to fuera conocdo a su contrncante. Note que, dada la defncón que dmos de estratega ara este to de juegos, el equlbro de este juego se escrbe: q a + Ec ( ) 3 Equlbro : q ( c A ) a A a + Ec ( ) 3 q ( c ) a a + Ec ( ) 3 ues necestamos defnr una accón ara cada to osble de cada jugador. 4.. El conceto de equlbro El ejemlo anteror revela dos dferencas entre los juegos estátcos de nformacón ncomleta y aquellos con nformacón erfecta:. Las artes desnformadas maxmzan su utldad eserada, ues no ueden calcular con recsón su utldad.. Una estratega del jugador () es ahora defnda como una accón ara cada to osble del jugador. Estas dos dferencas llevan a un conceto de solucón adatado a los juegos con nformacón ncomleta: Equlbro de ayes-nash (ues estos juegos tambén son conocdos como ayesanos, dado el uso de herramentas de robabldad). Defncones: T es el conjunto de tos que el jugador () uede tomar (or ejemlo en el ejemlo anteror { c c } T c T,, ) P es la dstrbucón de robabldad que asgna a los factores desconocdos. En el ejemlo { c c con robabldad y c c con robabldad ( - ) } { c c con robabldad } P anteror: P A es el conjunto de accones dsonbles al jugador. s : T A es una estratega de : una accón ara cada to de ( s a t ) ). ( Defncón: Equlbro de ayes Nash. En el juego estátco bayesano: G A A,... A ; T, T,... T ; P, P,... P ; u, u,... u {, N N N N }, un Equlbro de ayes-nash s, ara cada to t de cada jugador, s ( t ) las estrategas { ( t ), s ( t ),..., s ( t ) N } s son N resuelve:

4 Max Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava 38 t,... s t t E u s ( t ) [ u ( s ( t ), s ( t ),..., s ( t ), s ( ) ( )) ( )] [ ] a + + A t T N N Entonces un Equlbro de ayes-nash es una combnacón de estrategas, una ara jugador, tal que nngún to de nngún jugador se quere desvar de la accón que le asgna la estratega corresondente. Ejemlo 4.: Lctacón. En algunas oortundades, soluconar el juego en utldad eserada nvolucra dfcultades, orque hay que exresar la ncertdumbre en térmnos de algo que uno ueda tratar matemátcamente a artr de las dstrbucones que conoce. En estas stuacones, suele ser útl rooner una forma de la solucón, y luego verfcar s la solucón rouesta es realmente un EN (o encontrar bajo qué condcones lo es). Este es un ejemlo de ese to de casos. Consdere dos frmas que artcan en una lctacón ara construr una carretera. Cada frma roone un reco de hacer la carretera y aquella que roonga el reco más bajo se queda con el contrato (s ambas roonen el msmo reco, a cada una le dan la mtad del contrato, lo que le genera la mtad de las ganacas que obtendría con el contrato comleto). Una frma enfrenta un costo c de construr la carretera, que sólo la frma conoce, mentras que la frma contrncante sabe solamente que c sgue una dstrbucón unforme entre 0 y. Asummos que sólo hay dos accones dsonbles a cada frma: ofrecer un reco de 0.7 o uno de.. La utldad de una frma, que ofrece el reco, está dada or: s < u s 0 s > La frma escogerá el reco 0.7 s éste maxmza su utldad eserada: Eu ( 0.7)> Eu (.). Es decr: 0.7. c Pr( 0.7) + Pr(.)(0.7 ) > Pr(.) Pero, cómo encontrar Pr( -0.7)? Uno uede manular la exresón anteror ara mostrar que los benefcos de edr 0.7 en lugar de. son menores entre más alto sea c. Intutvamente, la frma enfrenta un trade-off: los benefcos de 0.7 venen de ncrementar la robabldad de obtener el contrato, mentras que los costos venen de la reduccón de ganancas que mlca un reco menor. Entre más alto sea el costo que una frma enfrenta, menos dsuesta está a recbr un reco menor, así se le reduzca su robabldad de obtener el contrato. Entonces, odemos rooner una estratega de equlbro del sguente to: 0.7 s c < c ( c ) y de manera smlar. s c > c ( c 0.7 s c ). s c < c > c donde c es un nvel límte ara la frma, tal que s su costo es mayor que este nvel no estaría dsuesta a edr el reco bajo. Adconalmente, como ambas frmas son "ex-ante déntcas" (sus costos sguen la msma dstrbucón), es lógco asumr que c c c. Entonces, smlemente necestaríamos encontrar c y luego mostrar que las estrategas rouestas son en efecto un equlbro. Para encontrar c note que:

5 Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava 39 a. Dadas las estrategas rouestas: Pr( 0.7) Pr( c < c c (donde la últma ) gualdad usa el hecho de que c - sgue una dstrbucón unforme entre 0 y. b. c es el nvel de c que hace a la frma ndferente entre escoger 0.7 y. Usando estas dos observacones, c resuelve: 0.7. c + ( )(0.7 ) ( ) es decr: c 0. 4 Entonces, el EN rouesto es: contrncante. 0.7 s c < 0.4 ( c ), y una estratega smlar ara la frma. s c > 0.4 Es fácl robar que este es realmente un EN: -0.7 maxmza la utldad eserada de la frma "-" cuando su contrncante usa la estratega rouesta arrba, sembre y cuando c -<0.4.