I.E.S. Historiador Chabás -1- Juan Bragado Rodríguez

Transcripción

1 Problema En los sguentes ejemlos, calcular la dstrbucón de robabldad, la meda y la desvacón tíca. a) En una bolsa hay bolas numeradas: 9 bolas con un uno, con un dos y con un tres. Sacamos una bola y vemos qué número tene. b) Sacamos dos cartas de una baraja y anotamos el número de ases (, ó ). c) La dstrbucón de robabldad de un suceso vene dada or: ' ' ' ' a) ' 9 8 ' 8 ' b) ' ' ' c) Como la suma de las robabldades debe ser entonces ( ) '. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 7 ' Problema Una emresa hace un estudo de mercado ara lanzar un roducto A u otro roducto B. Según el estudo, s comercalza A, tene la robabldad '8 de ganar mllones y una robabldad ' de erder mllones. S comercalza B, tene una robabldad ' de ganar mllones y una robabldad ' de erder mllones. Qué roducto crees que debe comercalzar? Por qué? 8 ' ' ' 8 ' ' ' ' ' ' Es referble comercalzar el roducto A ya que la meda de una dstrbucón de robabldad se le llama eseranza matemátca, es decr, lo que se esera ganar or térmno medo. I.E.S. Hstorador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

2 Problema En los sguentes roblemas haz una tabla con las robabldades, rereséntalas gráfcamente y calcula la meda y la desvacón tíca. a) Se lanzan tres monedas al are y se cuenta el número de caras obtendas. b) En las famlas con hjos nos fjamos en el número de hjas. a) ' 8,,, ' ' , b),,,, Problema Consdérese el eermento consstente en lanzar dos dados y anotar el resultado de la suma de untos obtendos. Hallar: a) Funcón de robabldad y su reresentacón. b) Funcón de dstrbucón y su reresentacón. c) Meda y desvacón tíca de la dstrbucón. d) Sea X la varable aleatora que eresa la suma del número de untos de los dos dados. Hallar las sguentes robabldades: (X ); (X ); F(); F( ). I.E.S. Hstorador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

3 a) Al lanzar dos dados ueden darse osbldades dstntas. Pero s atendemos solamente a la suma de los resultados, las osbldades son:,,,...,. Podemos utlzar la tabla adjunta ara stuar los resultados de las sumas: ,8,,,,,8,,, / / / /9 /9 / / /8 /8 / / b) Funcón de dstrbucón: I.E.S. Hstorador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

4 F ( ) s s s F ( ) s s Funcón de dstrbucón F() Caras del dado c) Prmero hacemos la tabla ara facltar los cálculos: Meda 97 7 Desvacón tíca 7 ' d) X ( ) X ( ) X ( ) X ( ) X ( ) ' 78 X ( ) X ( ) X ( ) X ( ) ' 7 F( ) ( X) ( X) ( X) ( X) ' 7 F( ) ( X) Problema En una fábrca de tornllos de recsón se ha observado el número de ezas defectuosas daras, obtenéndose la sguente dstrbucón tras días de recuento: I.E.S. Hstorador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

5 f Se de: a) Evaluar la meda dara eermental de defectos y, a artr de ella, ajustar una bnomal suonendo que n. b) Calcular la robabldad teórca de que, en un día, no aarezca más que una eza defectuosa. c) Evaluar la dferenca entre la últma robabldad teórca calculada y la eermental corresondente. Te arece bueno el ajuste realzado? Para que el roblema tenga sentdo, hay que suoner que cada día se fabrcan tornllos de los que uede haber defectuosos,, ó. a) Cálculo de la meda de la dstrbucón emírca. f f 8 8 Igualando la meda de la dstrbucón emírca a la de la dstrbucón teórca nos ermtrá calcular. ' n ' ' La dstrbucón teórca a la que, suuestamente, se ajusta la dstrbucón dada es una bnomal B(, ' ) b) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' c) ( ) ( ) ( ) 9 ' resultado cas déntco al obtendo en la teórca. A la vsta de este únco resultado, habría que conclur que el ajuste efectuado es ótmo. Tambén se obtene un ajuste razonablemente bueno ara valores de n suerores a. Por ejemlo, ara n se obtene ' y la dstrbucón bnomal B (, ' ) da la sguente robabldad: ( ) ' ' ' ' ' I.E.S. Hstorador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

6 y algo arecdo ocurre ara valores de muy altos de n. Así, ara n es ( ) ' 878. Problema Se lanza una moneda trucada de modo que la robabldad de sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se lanza veces la moneda. Calcular las sguentes robabldades: a) Obtener veces cruz. b) Obtener a lo sumo veces cruz. a) Del enuncado se deduce que la robabldad de sacar cara es 8 ' y la de sacar cruz '. Es una dstrbucón bnomal B(, ' ) ( ) ' ' ' ' ' b) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' 9 ' 7 ' 9 Problema 7 Elca cuál es la fórmula que da la robabldad de que al lanzar monedas ben construdas se obtengan caras. Suongamos ahora que se han lanzado tres monedas ben construdas. Se de: a) Cuál es la robabldad de obtener cara? b) Cuál es la robabldad de obtener caras? c) S sabemos que se ha obtendo un número mar de caras, cuál es la robabldad de que el número de caras obtendo sea? Es una dstrbucón bnomal B, a cuya varable llamaremos y. Se nos de ( y ), y ( ) yy ( ), así como la robabldad condconada ( y / y es mar). La fórmula que nos da el nº de caras es y ( ) a) y ( ) 8 b) y ( ) 8 I.E.S. Hstorador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

7 c) ( y / y es mar) Problema 8 y ( ) y ( ) y ( ) Al nsecconar soldaduras hechas or una msma máquna eran defectuosas. S admtmos que sgue la roduccón en las msmas condcones, cuál es la robabldad de que al coger 8 soldaduras hechas or esa máquna, o más sean defectuosas? Puesto que se admte que la roduccón sgue en las msmas condcones, odemos suoner que la robabldad de obtener una eza defectuosa es '. La varable aleatora X" n º de ezas defectuosas" en un lote de 8 se dstrbuye como una bnomal B( 8, ' ). X ( ) X ( ) X ( ) X ( ) ' ' ' ' ' ' 8 ' 89 Problema 9 El % de los habtantes de un aís tenen sangre to O. S se analza la sangre de ersonas, calcular: a) La robabldad de que eactamente de esas ersonas tengan la sangre to O. b) Cuántas de las ersonas es de eserar que tengan ese to de sangre? a) La robabldad de que una ersona elegda al azar tenga la sangre to O será: '. La varable aleatora X" n º de ersonas con sangre del to O" se dstrbuye como una B(, ' ). b) E( X) n ' X ( ) ' ' ' 7 Sgnfca que el resultado más robable, en una muestra de ersonas, es que aarezcan con sangre del to O. n q ' ' 7 ' 9 I.E.S. Hstorador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez

8 En la mayoría de los casos aarecerán en la muestra entre ' 9, ' 9 ersonas con sangre del to O, es decr, o. Problema En una equeña emresa trabajan 8 ersonas. Se ha observado que la robabldad de que una cualquera de ellas acuda al trabajo en coche es '. La emresa desea construr sufcentes uestos de aarcamentos reservados, ara que todos los que vayan a trabajar en coche uedan aarcar en ellos al menos el 8% de las veces. Cuántos debe construr? La varable aleatora que descrbe el nº de ersonas que van al trabajo en coche es una B( 8, ' ). Sea k el número de aarcamentos de coches que hay que construr. Para que todos encuentren aarcamento al menos el 8% de las veces deberá cumlrse que ( X k) 8 ' X ( k) (nnguno vaya en coche) + (vaya uno) + (vayan dos)+... hasta llegar al valor de k. Entonces deberemos r sumando valores hasta alcanzar o suerar el valor '8 lo que ocurre sumando los cnco rmeros: ' 8 ' 89 ' 9 ' 787 ' ' 8 lo cual sgnfca que la emresa debe construr uestos de aarcamento ara garantzar que todos los que acudan al trabajo en coche uedan aarcar en ellos el 8% de los días. Problema Una varable aleatora sgue una ley bnomal B(,'). Determínese la dstrbucón de robabldad, la meda, la desvacón tíca y la funcón de dstrbucón. ( ) ' ' 8 ' 77 () ' ' 8 ' 9 ( ) ' ' 8 ' 8 () ' 8 ' ' ( ) ' 8 ' ' () ' 8 ' ',,,,,,,,,, ( ) I.E.S. Hstorador Chabás -8- Juan Bragado Rodríguez

9 EX ( ) n ' nq ' ' 8 ' 89 F ( ) s ' 77 s ' 77 s FX ( ) ' 9 s ' 99 s ' 9997 s s - 7 Problema Consderar la varable aleatora X cuya dstrbucón es bnomal B (,). Sabendo que su varanza es, hállese la dstrbucón de robabldad, la meda y (X ). n q n ( ) ( ) 8 EX ( ) n ' ' ( ) ' ' ' ( ) ' ' ' ( ) ' ' ' () ' ' ' () ' ' ' () ' ' ' X ( ) X ( ) X ( ) X ( ) ( ' ' ) ' 8 Problema La ley de robabldad de una varable aleatora dscreta es: X P ' a b c ' I.E.S. Hstorador Chabás -9- Juan Bragado Rodríguez

10 Sabendo que ( ) '7 y ( ) '7 a) Hallar su eseranza matemátca y su desvacón tíca. b) Obtener la funcón de dstrbucón. Para calcular a, b y c tendremos en cuenta que la suma de las cnco robabldades ha de ser. ' a b c ' ( ) ' ab '7 ( ) b c ' ' 7 a bc7 ' a b ' bc ' a ' b ' c ' a) ' ' ' ' ' ' 9 8 ' ' ' ' 9 ' 8 ' ' ' ' ' ' ' ' 9 b) La funcón de dstrbucón es: s ' s ' s F ( ) 7 ' s 8 ' s s Problema Sea X una varable aleatora de dstrbucón bnomal tal que E( X) y. Hallar la funcón de robabldad y su gráfca. I.E.S. Hstorador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

11 EX ( ) n n ( ) n n( ) ( ) n Por tanto tenemos una dstrbucón bnomal B, ( ) ' 878 () ' ( ) ' 9 () ' 9 ( ) ' 8 () ' ( ) ',,,,,,, ( ) Problema En un total de famlas con hjos, en cuantas de ellas cabe eserar que haya: a) Al menos un nño. b) Un nño y tres nñas. c) Al menos un nño y una nña. a) y q X ( ) X ( ) X ( ) ' ' 97 ' 97 famlas I.E.S. Hstorador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

12 b) X ( ) ' ' famlas c) (al menos un nño y una nña) = ( nños) ( nñas) = 87 ' Problema En una lotería de números hay remos de ts, de ts, de, de y los restantes no tenen remo. Se consdera la varable que reresenta la cuantía del remo obtendo. a) Funcón de robabldad y su reresentacón. b) Funcón de dstrbucón y su reresentacón. c) Meda y desvacón tíca de la dstrbucón. a) d, () Densdad d ' ' ' ' ' ' ' ' ' ',,,, I.E.S. Hstorador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

13 b) F ( ) s ' s ' 7 s F ( ) 8 ' s ' 9 s s c) ' ' ' ' ' 8 E ( ) ' 9 Problema 7 En una caja hay tornllos de los que son de cabeza reducda. Se elgen al azar tornllos. Calcular la eseranza matemátca de la varable aleatora "nº de tornllos de cabeza redonda elegdos" Los osbles valores de la varable aleatora son: X,, Las robabldades de elegr de ellos son: C7 7 C7 C 7 C ( ) ( ) ( ) C C C E ( ) 7 ' 7 I.E.S. Hstorador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

14 Problema 8 Un labernto tene la entrada que se ndca en la fgura del margen, y estamos nvestgando con ratas. La robabldad de que una rata vaya or A es ' y or B de '8. Soltamos ratas una detrás de otra y suonemos que el comortamento de cada una es ndeendente. Cuál es la robabldad de que: a) ratas vayan or A. b) ratas vayan or B. c) Al menos una rata vaya or B a) Sea ' y q 8 ' X ( ) X ( ) ' ' ' 8 b) Que dos ratas vayan or B es lo msmo que tres vayan or A X ( ) ' ' ' 8 c) Consderamos el suceso éto r or B, or tanto ahora 8 ' y q ' ( X ) = (X = ) = ' ' ' Problema 9 Se construyen dos dados esecales en forma de tetraedro, es decr, con cuatro caras que son trángulos equláteros. Dos de las caras de cada dado se marcan con un unto y las otras dos quedan sn marcar. Se lanzan los dados smultáneamente. Trazar la gráfca de la corresondente dstrbucón de robabldad, y estudar teórcamente los resultados obtendos al lanzar los dados veces. Veamos el esaco muestral: Las caras del dado resentan el sguente asecto: I.E.S. Hstorador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

15 f f ' ' 8 ' 8 ' ' ',,,,, Problema Se efectúan tres dsaros con robabldades de hacer blanco '; '7 y ' resectvamente. Calcular la eseranza matemátca de la varable "nº total de blancos". Sea X la varable aleatora nº total de blancos, donde reresentan el número de blancos en el º, º y er,, y dsaro. Según lo anteror tenemos: ' ' ' ' 7 ' 8 ' or lo tanto: X ' ' ' 8 ' 7 Los valores de la varable X se obtenen de la sguente forma: Luego or ejemlo: ' ' ' ' 8 ' 7 ' ' ' 8 ' ' etc. EX ( ) ' ' ' 8 ' 7 ' Problema Un eamen consta de reguntas, de cada una de las cuales se sumnstran resuestas ara que el alumno elja la que cree verdadera. Estudar la dstrbucón bnomal asocada a un alumno que no conoce absolutamente nada de la matera de eamen y resonde al azar. S cada regunta contestada correctamente I.E.S. Hstorador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

16 vale ' untos, qué valor negatvo hay que otorgar a las reguntas contestadas ncorrectamente ara que tal alumno obtenga, revsblemente, un cero como untuacón global en el eamen? La robabldad del suceso acertar (éto) es ', or tanto q 7 '. Se verfca: 9 8 ' 7 ' 7 ' ' 7 ' ' ' ' 7 ' 9 7 ' ' 7 8 ' ' ' 7 89 ' ' ' 7 ' 7 8 ' ' 7 8 ' ' ' 7 ' ' ' 7 ' ' ' 7 ' 7 ' ' 7 ' 9 ' ' 7 ' ' 7 ' 7 ' ' 7 ' ' A artr de las robabldades son ráctcamente nulas. La robabldad más alta corresonde a contestar correctamente reguntas, or tanto el nº de reguntas contestadas ncorrectamente es de. Con las reguntas consgue ' ' untos. La untuacón total corresondente a las reguntas ncorrectamente contestadas será: y ', es decr, y '. Por consguente, cada regunta mal contestada debe untuarse con ' untos. Problema Una urna contene bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota el color y se vuelve a meter; y se realza veces esta eerenca. Calcula la robabldad de obtener: a) Tres rojas b) Menos de tres rojas. c) Más de tres rojas. d) Alguna roja. La robabldad de que salga roja es a) ( ) ' ' ' ', or tanto: I.E.S. Hstorador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

17 b) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' c) X ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' d) ( ) ( ) ' 87 ' 89 Problema Reconoce en cada uno de los sguentes ejerccos una dstrbucón bnomal, y d los valores de n,,. y a) Un eamen to test tene 7 reguntas y cada regunta resuestas dferentes, sólo una de las cuales es correcta. Número de ellas que se resonderán correctamente s se resonde al azar. b) Lanzamos dados retendendo que salga en los. hacemos esto durante un año, una trada cada segundos. Número de veces que conseguremos lo retenddo. c) La robabldad de que una ersona, su adre y su abuelo aterno tengan el msmo 8 cumleaños es 7'. Nos reguntamos or el número de ersonas con esta roedad que habrá en una cudad de dos mllones de habtantes. d) Una moneda se lanza veces. Número de caras. a) Es una bnomal B( 7, ' ) 7 ' 7' 7 ' ' 7 ' or tanto, se esera que resonda correctamente a 7 ó 8 reguntas. b) Es una bnomal en la que el número de veces que se tran los dados es: S tramos un dado cada segundos, tardaremos en trar los dados segundos es decr medo mnuto, or tanto en un mnuto tramos los dados veces. En una hora veces, en un día 88 veces y en un año... Como queremos que salga en el rmero y en el segundo y en el tercero, etc. la robabldad será. En defntva tenemos una dstrbucón bnomal B..,.. ' 7.. ' I.E.S. Hstorador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez

18 B 7.., '.. 7' c) Es una bnomal.. 7' 7' 87 ' d) Es una bnomal B(, ' ) ' ' ' Problema Dsonemos de un dado cúbco no sesgado. Auestas or el ("éto"). a) Qué robabldad tenes de ganar en un lanzamento? Cómo deben ser las auestas? b) Tendrás la msma robabldad que tu contrncante s auestas or un éto al menos en dos lanzamentos? c) A cuántos lanzamentos debes aostar or un éto al menos ara tener más osbldades de ganar que tu contrncante? Auestas a a favor de. a) ( ) b) En dos lanzamentos uede salr un ses o dos. La robabldad de que salga algún ses es: ( ses) seses La robabldad de que no salga nnguno será: Luego las auestas serán de a a favor de no salr nngún. c) Debe aostar como mínmo a lanzamentos, ya que calculando la robabldad de que no salga nngún ses tendríamos que ara el caso de lanzamentos ya es menor. 8 ' 9 luego la robabldad de que al menos salga un será ' 8 ' 7. Problema Una ersona auesta al juego de cara y cruz. Para ganar adota la sguente estratega: Auesta ts. S gana deja de jugar y s erde auesta el doble, es decr, ts con el fn de recuerar las ts erddas anterormente, e ntenta ganar ts de nuevo. S ahora gana deja de jugar, y s erde auesta el doble ts con el msmo fn anteror y así sucesvamente. I.E.S. Hstorador Chabás -8- Juan Bragado Rodríguez

19 Esta estratega es buena, ya que acabará or ganar alguna vez, ero tene el defecto de que el jugador no tenga el sufcente dnero ara aguantar jugando hasta el fnal. Suongamos que el jugador tene ts: Es ventajoso el juego ara nuestro jugador? Cuál es la robabldad de ganar ts? Y la de erder ts? ( erder ) ( ganar ) 8 ( ganar ) ( erder ) De todo lo anteror se deduce que el juego es ventajoso ya que tene osbldades de ganar frente a de erder. Problema Se lanzan dos dados y la suma de los untos uede ser mayor gual o menor que 7. S se auesta al 7 y se acerta se recuera el dnero y veces lo aostado. S se auesta a mayor que 7 se recuera el dnero y se recbe tanto como se ha aostado y lo msmo s se auesta a menor que 7. Cuál será la mejor estratega? Sea "" la cantdad de dnero que ha aostado. Suma de untos gual a 7 X,. Es decr, s gana y s erde Suma de untos mayor que 7 Suma de untos menor que 7 X,. X,. ( 7) ( 7) ( 7) Para la suma de untos gual a 7 la eseranza matemátca es: E ( ) ( ) Para la suma de untos mayor o menor que 7 la eseranza matemátca es: E ( ) ( ) Como es mayor que la mejor estratega es aostar a menor que 7 ó a mayor que 7. I.E.S. Hstorador Chabás -9- Juan Bragado Rodríguez