Colección de problemas de. Teoría Microeconómica IV

Transcripción

1 Coleccón de problemas de Teoría Mcroeconómca IV Curso 3º - LE- 0-0 Iñak Agurre Norma Olazola Marta San Martín Fundamentos del Análss Económco I Unversdad del País Vasco UPV/EHU

2 Tema. Teoría de Juegos No Cooperatvos.- Consdere los sguentes juegos en forma etensva: L (4, ) L (4, ) I D (, 3) M I M O (3, ) L D P (, ) M Juego Juego (, 3) (3, ) (, ) I D L (, 3) (, ) O P (0, 0) Juego 3 u v r s r s (3, 0) (0, 3) (, ) (4, ) T (-, 0) M P Juego 4 u v (3, ) r s (, 3) (, ) L (3, ) D I (0, 0) M O P Juego 5 u v u v (, ) (3, 0) (0, 3) (, )

3 () Para todos los juegos: descrba las estrategas de cada jugador y los subjuegos. () Represente en forma normal los juegos,, 3 y 5. () Obtenga los equlbros de Nash de todos los juegos. Consderando la representacón de los juegos en forma normal, qué equlbros sobrevven a la elmnacón de estrategas déblmente domnadas? (v) Obtenga los equlbros perfectos en subjuegos. () Juego 3 subjuegos. Estrategas jugador : I y D. Estrategas jugador : LO, LP, MO y MP. Juego subjuego. Estrategas jugador : I y D. Estrategas jugador : L y M. Juego 3 3 subjuegos. Estrategas jugador : Iu, Iv, Du y Dv. Estrategas jugador : Or, Os, Pr y Ps. Juego 4 4 subjuegos. Estrategas jugador : Lu, Lv, Mu y Mv. Estrategas jugador : Tr, Ts, Pr y Ps. Juego 5 5 subjuegos. Estrategas jugador : Iuu, Iuv, Ivu, Ivv, Duu, Duv, Dvu y Dvv. Estrategas jugador : LO, LP, MO y MP. () Inmedato desde apartado (). () Juego EN (I, MP) y (D, MO) (sobrevve a EIEDD). Juego EN (I, M). (v) Juego EPS (D, MO). Juego EPS (I, M). Juego 3 EPS (Dv, PS). Juego 4 EPS (Mu, Pr). Juego 5 EPS (Ivv, LP). 3

4 .- Consdere el sguente juego en forma etensva: T (, ) I D S P Q (3, α) a b a b (, ) (, 3) (3, β) (0, 0) () Represente el juego en forma normal. () Para qué valores de α y β la combnacón de estrategas (Ia, SP) consttuye el únco equlbro perfecto en subjuegos? () Esten valores de α y β tales que la combnacón de estrategas (Db, TP) es un equlbro de Nash? (v) Suponga que α = 0, Hay algún valor de β que haga que la combnacón de estrategas (Da, SQ) sea un equlbro perfecto en subjuegos? () α > y β <. () No. (v) No. 4

5 3.- Se dspone de la sguente nformacón sobre el juego en forma estratégca adjunto: a) La estratega B domna déblmente a la estratega A del jugador. b) La combnacón de estrategas (C, I) no es un equlbro de Nash. H I J A (4, ) (, 0) (0, 3) B (5, ) (3, ) (c, 4) C (5, ) (6, ) (a, b) Dscuta la veracdad o falsedad de las sguentes afrmacones: () El jugador tene una estratega domnante. S la combnacón de estrategas (C, J) consttuye un equlbro de Nash: () Es el únco equlbro de Nash. () La estratega C domna estrctamente a la estratega A. (v) (C, J) es el únco equlbro no basado en estrategas déblmente domnadas. () Verdadera, J es una estratega domnante. () Falsa. (a) c 0 y s (C, J) es un EN a c pueden estr más equlbros. () Falsa. (v) Verdadera. 5

6 4.- Consdere el sguente juego en forma etensva: h (, ) (-, -) (3, 0) l L l r S l M L T f r r (, ) (0, 4) (4, 0) (, ) (a) Defna la nocón de equlbro de Nash. M (0, 0) (b) Es (M f r, L T r ) un equlbro de Nash? (c) Defna la nocón de equlbro perfecto en subjuegos? (d) Obtenga el equlbro perfecto en subjuegos? (b) No. MR (L T r ) ={L f l, L f r } (d) EPS (L f r,s M r ). 5.- Consdere el sguente juego de tres jugadores en forma etensva: L 3 (, 0, 0) L M 3 (,, ) L M 3 L 3 M 3 S 3 (3,, ) (0,, 0) (4,, ) M S T 3 (0, 0, 3) T 6 3 S 3 T 3 (-, -, 0) (, -, -)

7 Son certas o falsas las sguentes afrmacones? Por qué?: (a) Se trata de un juego de nformacón perfecta. (b) La mejor respuesta del jugador ante la combnacón de estrategas de los demás jugadores (M, L 3 T 3 ) es S. (c) (4,, ) es un equlbro de Nash. (d) (M, L T,L 3 S 3 ) es un equlbro de Nash. (e) Este un únco equlbro perfecto en subjuegos. (a) No. (b) No, S no es una estratega del jugador. (c) No. Un equlbro de Nash sempre será una combnacón de estrategas. (d) No, el jugador tene ncentvos a cambar de estratega (v) S. EPS (L, M S,L 3 T 3 ). 6. Consdere el sguente juego de tres jugadores en forma etensva: (a) Defna las nocones de estratega y equlbro de Nash. (0,, ) (5, 3, 4) (0, 5, 3) (, 5, ) (b) Obtenga los equlbros de Nash. 3 w w (9, 0, 5) (7, 9, ) (9, 7, 8) (, 5, 6) 7

8 (c) Obtenga los equlbros perfectos en subjuegos. (b) EN: (I, MP, w), (D, LP, u) y (D, MP, u). (c) EPS: (D, MP, u). 7.- Consdere el sguente juego smultáneo con tres jugadores H Jugador I H Jugador I Jugador A B (5, 3, ) (3,, 0) (4,, ) (0, 8, ) Jugador A B (, 3, 6) (9, 0, 3) (5,, 0) (4, 8, ) Obtenga los equlbros de Nash. R Jugador 3 T (5, 3, ) (4,, ) (, 3, 6) (5,, 0) (3,, 0) (0, 8, ) (9, 0, 3) (4, 8, ) 8

9 8. () Defna las nocones de estratega estrctamente domnada y de equlbro de Nash (en estrategas puras). Consdere el sguente juego en forma normal: H I J H I J H I J A (, 0, ) (4,, 3) (0, 3, ) A (,, 3) (4, 4, ) (5,, 0) A (,, 0) (4, 3, ) (3, 3, ) B (3,, 4) (3, 3, ) (5,, ) B (, 0, ) (3,, 0) (6, 3, ) B (,, 3) (3,, ) (4, 4, 3) C (,, ) (,, 3) (, 0, ) C (3, 0, ) (4,, ) (, 0, 0) C (0, 0, ) (,, ) (0,, ) R S T 3 () Qué estrategas sobrevven a la elmnacón teratva de estrategas estrctamente domnadas? Eplque detalladamente. () Obtenga el(los) equlbro(s) de Nash en estrategas puras? Eplque su respuesta. () EN: (B, J, T). 9

10 9.- () Defna las nocones de estratega estrctamente domnada y de equlbro de Nash (en estrategas puras). Consdere el sguente juego de cuatro jugadores en forma normal: α (, 3,, ) (3,, 3, ) (4, 4, 4, 3) (, 3,, ) (5,, 3, 0) (,,, ) (5,,, ) (, 0, 0, ) β Jugador 4 (4,, 0, ) (3, 0,, 0) (5,,, 4) (,, 3, 0) (, 5, 3, 3) (, 4,, ) (3, 7,, 3) (3, 6,, ) γ (, 5,, 0) (,, 0, ) (7, 3, 5, ) (3,, 4, 4) (, 3, 0, 4) (,,, 3) (6,,, ) (5, 0, 4, 0) () Qué estrategas sobrevven a la elmnacón teratva de estrategas estrctamente domnadas? Eplque detalladamente. () Obtenga el(los) equlbro(s) de Nash en estrategas puras? Eplque su respuesta. 0

11 0. Consdere el sguente juego con tres jugadores. En la prmera etapa del juego el jugador dspone de dos posbles accones, L y R. Una vez que ha decddo el jugador el jugador que no observa lo que ha jugado el jugador, tene que elegr entre O y P. Por últmo, le toca jugar al jugador 3 que sn observar lo que han elegdo los jugadores y tene que elegr entre h y s. Los pagos (desde arrba haca abajo en el árbol de decsón) son (,,3) (4,,) (0,,0) (,0,) (4,0,) (3,,) (α, β, γ) (0,0,0). () Represente el juego en forma etensva. Defna la nocón de estratega. Represente el juego en forma normal. () Defna la nocón de equlbro de Nash. Bajo qué condcones estrá en este juego un únco equlbro de Nash? (R, O, h) únco equlbro de Nash s a) β < 0 b) β = 0 α o γ <0. (R, P, h) únco equlbro de Nash s β>0, α 0 y γ 0. Bajo qué condcones estrá en este juego dos equlbros de Nash? (R, O, h) y (R, P, h) son ambos equlbros de Nash s β=0, α 0 y γ 0. Eplque detalladamente su respuesta. () Defna subjuego y equlbro perfecto en subjuegos. Es certo que este juego tene sempre al menos un equlbro perfecto en subjuegos? S β > 0 y α o γ < 0 entonces no hay equlbro de Nash y, por tanto, tampoco hay equlbro perfecto en subjuegos.. Dado el sguente juego en forma estratégca: C B NC C (a, a) (c, d) A NC (d, c) (b, b) () Qué relacón debe estr entre los parámetros para que sea un dlema del prsonero?

12 () Suponga que el juego se repte un número nfnto de veces. Cómo debe ser el factor de descuento para que la colusón se pueda sostener como equlbro? () c > b > a > d. ()δ c b c a..- Se dspone de la sguente nformacón sobre el juego en forma normal adjunto: a) La estratega B domna déblmente a la estratega A del jugador. b) La estratega C domna estrctamente a la estratega A del jugador. c) La combnacón de estrategas (C, J) no es un equlbro de Nash. H I J A (4, ) (, 0) (0, 3) B (5, ) (3, ) (c, 4) C (5, ) (6, ) (a, b) Dscuta la veracdad o falsedad de las sguentes afrmacones: () El jugador tene una estratega domnante. () El jugador tene una estratega estrctamente domnada. () B es una estratega déblmente domnada para el jugador. (v) En el juego este un únco equlbro de Nash. (v) En el juego este un únco equlbro de Nash no basado en estrategas déblmente domnadas. a) c 0 ; b) a > 0 ; c) o b < o c > a o ambas.

13 Tema. El olgopolo.- Consdere un duopolo de Cournot que se enfrenta a una funcón nversa de demanda p() = a - b. Sean c y c los costes margnales constantes de las empresas y, respectvamente (y no hay costes fjos). a + c j () Cuál es el equlbro de Nash s c <,, j =,, j? () Cuál sería el equlbro de Nash s c c a c a + c < < y >? () () a c * + c j =,, j =,, j. 3b a c =, = 0. b * *.- Consdere un olgopolo de Cournot con n empresas que producen un ben homogéneo. La funcón nversa de demanda es p( ) = 0 y todas las empresas tenen el msmo coste margnal constante, c > 0 (no hay costes fjos). (Nota: la funcón drecta de demanda es ( p) 00 = p ) () Calcule la produccón de cada empresa en el equlbro (smétrco) de Cournot-Nash, la produccón de la ndustra y el preco de equlbro. () Cuáles son la produccón y el preco de monopolo en este mercado? Consdere el acuerdo de colusón smétrco (reparto equtatvo de la produccón de monopolo) Qué cantdad producría cada empresa s todas ellas respetan el acuerdo? Muestre que el acuerdo de colusón smétrco no se puede sostener como equlbro. 3

14 3.- Consdere un olgopolo de Cournot con n empresas que producen un ben homogéneo. La funcón nversa de demanda es p() = a b y todas las empresas tenen el msmo coste margnal constante, c (no hay costes fjos y a > c). () Obtenga la funcón de mejor respuesta de la empresa ante las produccones de las demás empresas, f ( - ), donde - = n = j j. Calcule la produccón de cada empresa en el equlbro de Cournot-Nash, la produccón de la ndustra, el preco de equlbro y el benefco de cada empresa. Muestre que un aumento en el número de empresas reduce la produccón de cada empresa en equlbro, eleva la produccón agregada, reduce el preco y los benefcos. Qué ocurre cuando n? () Consdere el acuerdo de colusón smétrco (reparto equtatvo de la produccón de monopolo) y muestre que no se puede sostener como equlbro. () Es el juego de duopolo de Cournot un dlema del prsonero? a c b () f ( - ) = ma,0 b ; * a c =, =,..., n; b( n + ) * n( a c) = b( n + ) * lm ( n) 0 n = ; ; p * = a + nc n + ; π * lm ( n) n * (a c) =, =,..., n. b(n +) a c b = ; lm n p* (n) = c ; lm π * (n) = 0. n () El acuerdo de colusón smétrco, m m ( a c) = =, =,..., n no es equlbro n bn de Nash ya que: m m ( a c)( n + ) m m ( a c) = f(( n ) ) = f( ) > = =. 4bn n n bn 4

15 () Un juego es un dlema del prsonero s cada jugador tene una estratega domnante, y el equlbro de Nash resultante no es efcente (este otra asgnacón que proporcona mayores pagos a ambos jugadores). El juego de duopolo de Cournot no es un dlema del prsonero, ya que los jugadores no tenen estrategas domnantes. Aunque es certo que las empresas obtendrían mayores benefcos s cooperasen. 4.- Consdere un mercado con n empresas que producen un ben homogéneo. La funcón nversa de demanda es p() = a y todas las empresas tenen el msmo coste margnal constante, c (no hay costes fjos y a > c). () Suponga que n = 3 y las tres empresas elgen smultáneamente sus nveles de produccón. Obtenga la funcón de mejor respuesta de la empresa ante las produccones de las demás empresas, f ( - ). Calcule la produccón de cada empresa en el equlbro de Cournot-Nash, la produccón de la ndustra, el preco de equlbro y el benefco de cada empresa. () Consdere el sguente juego en tres etapas: Etapa : la empresa elge su nvel de produccón 0. Etapa : la empresa elge su nvel de produccón 0, después de observar. Etapa 3: la empresa 3 elge su nvel de produccón 3 0, después de observar e. (a) Obtener el equlbro perfecto en subjuegos, las produccones de las empresas, el preco de mercado y los benefcos. (b) Obtenga otro equlbro de Nash que no sea perfecto en subjuegos. Eplque su respuesta. 5

16 () Consdere el sguente juego en tres etapas: Etapa : la empresa elge su nvel de produccón 0. Etapa : la empresa elge su nvel de produccón 0, sn observar. Etapa 3: la empresa 3 elge su nvel de produccón 3 0, sn observar e. (a) Represente el juego en forma normal. (b) Obtenga el equlbro de Nash y el equlbro perfecto en subjuegos. Compare la solucón con el equlbro de Cournot. a c () f ( - ) = ma,0 ; * a c =, =,, 3; 4 * 3( a c) 4 = ; p * a + 3 () (a) EPS: 4 c = ; * * ( a c) π =, =,, 3. 6 a c m * a c = = ; ( ) = ma,0 ; * a c 3 (, ) = ma,0 * a c = ; * * * a c = ( ) = ; 4 * * * * a c * 7( a c) 3 = 3 (, ) = ; 8 8 π * ( a c) 6 = ; a c π * ( a c) 3 = ; = ; π a c * 3 p * a + 7 = ( a c) 64 =. (b) = ; ( ) =, (, ) =, e c a c 6

17 5.- Consdere dos empresas que venden productos dferencados cuyas funcones nversas de demanda venen dadas por: p (, ) = α β γ p(, ) = α β γ () Las funcones drectas de demanda son: ( p, p) = a bp + dp ( p, p) = a bp + dp () a = α ; b = β y d = γ β + γ β γ β γ () Muestre que. Suponga que los costes de produccón de las empresas son nulos. () Obtenga el equlbro de Nash cuando las empresas compten smultáneamente en cantdades (equlbro de Cournot). () Obtenga el equlbro de Nash cuando las empresas compten smultáneamente en precos (equlbro de Bertrand). (v) Muestre que, en comparacón con los resultados en Bertrand, las produccones de las empresas son menores y los precos mayores en Cournot. c α c αβ () =, p =, =,. β + γ β + γ b a b ab () p =,,,. b d = b d = (v) b α( β γ ), b αβ p = =, =,. β γ ( β + γ )( β γ ) Por tanto, p b < p c, b > c, =,. 7

18 6.- Consdere un duopolo de Bertrand que produce un ben homogéneo. La funcón de demanda es ( p) 00 = p y las empresas tenen el msmo coste margnal constante, c > 0 (no hay costes fjos). () Caracterce el equlbro de Bertrand-Nash (descrba el juego en forma normal, la demanda resdual de cada empresa, defna la nocón de equlbro, muestre que la solucón propuesta es efectvamente un equlbro de Nash y que es únco), obtenga la produccón de la ndustra en equlbro y el benefco de cada empresa. () Cuáles serían el preco y la produccón de monopolo en este mercado? Qué combnacón de estrategas representaría el acuerdo de colusón? Muestre que el acuerdo de colusón no se puede sostener como equlbro. () Compare la produccón agregada del equlbro de Bertrand con la produccón efcente. Calcule la pérdda rrecuperable de efcenca. 7.- Consdere un olgopolo de Cournot con n empresas que producen un ben homogéneo. La funcón nversa de demanda es p( ) = a b y todas las empresas tenen el msmo coste margnal constante, c (no hay costes fjos y a > c). () Calcule la produccón de cada empresa en el equlbro de Cournot-Nash, la produccón de la ndustra, el preco de equlbro y el benefco de cada empresa. () Consdere el acuerdo de colusón smétrco (reparto equtatvo de la produccón de monopolo) y muestre que no se puede sostener como equlbro. Calcule el benefco que obtendría una empresa s las demás respetan el acuerdo de colusón y ella se desvía óptmamente. () Suponga que el juego se repte durante nfntos perodos. Obtenga el factor de descuento crítco a partr del cual la colusón se puede sostener como equlbro del juego repetdo. Muestre que el factor de descuento crítco aumenta al aumentar el 8

19 número de empresas y, por tanto, que cuanto mayor sea el número de empresas más dfícl es que la colusón sea estable. () () d m m ( n + ) ( a c) π = π ( f( ), ) = 6bn d π π ( n + ) δ ( n) = = d π π ( + ) + 4n m * n dδ ( n) > 0 lm δ ( n) = dn n 9

20 Tema 3. El monopolo.- Demuestre gráfca y analítcamente que un monopolsta que se enfrenta a una demanda lneal producrá en el tramo elástco de la demanda s su coste margnal constante de produccón c es postvo y en el punto de elastcdad untara s c = 0. p ε() = ε() > p() ε() = ε() < ε() = 0 r' ().- Consdere un monopolsta con una funcón de costes C() = c, con c > 0, y una funcón nversa de demanda p(), con p () < 0. Suponga que p(0) > c. () Cómo es dpm dc s la funcón nversa de demanda es estrctamente convea? Cuál dp m dc es s la nversa de demanda es p ( ) = a b ln? () Cómo es dpm dc () Cómo es dpm dc s la funcón nversa de demanda es lneal? s la funcón nversa de demanda es estrctamente cóncava? 0

21 () dpm dc >. dp dc dpm =. () dc = dpm. () dc <. 3.- Consdere dos funcones de costes alternatvas para el monopolsta: C ( ) y C ( ). Suponga que las funcones de costes son dferencables y que C ( ) > C ( ). Demuestre que el preco de monopolo es una funcón no ' ' decrecente del coste margnal. m m m m Sean ( p, ) y ( p, ) el preco y la produccón de monopolo cuando los costes son C ( ) y C ( ), respectvamente. Por mamzacón de benefcos (argumento de rentabldad revelada): p C ( ) p C ( ) m m m m m m p C ( ) p C ( ) m m m m m m Sumando C ( ) C ( ) C ( ) C ( ) m m m m Por tanto, m m [ C ( z) C ( z)] dz 0 ' ' Por hpótess p m p m. m m C ( ) > C ( ), luego. Como p'( ) < 0 se concluye ' '

22 4.- Consdere un monopolsta que se enfrenta a una funcón nversa de demanda lneal p() = a b y coste margnal constante c > 0. () Obtenga el preco, la produccón y el benefco del monopolsta. () Calcule el benestar socal correspondente a la produccón de monopolo. () Obtenga la produccón efcente y la pérdda rrecuperable de efcenca. () m = a c b ; pm = a + c ;π m (a c) = 4b m () W( m ) = [u' (z) c' (z)]dz = 0 3(a c) 8b () e ( ) e a c ( a c) = ; PIE = [ u '( z) c'( z)] dz m b = 8b 5.- Consdere un monopolsta que se enfrenta a una funcón de demanda ( p) = Ap b con b > y coste margnal constante c > 0. () Obtenga el preco, la produccón y el benefco del monopolsta. () Calcule el benestar socal correspondente a la produccón de monopolo. () Obtenga la produccón efcente y la pérdda rrecuperable de efcenca. () m b = A b c () W( m ) = m 0 b ; p m = b b c;π m = A b b [u' (z) c' (z)]dz = A b b b c (b ) b (b ) ) c (b (b )

23 () e = Ac b PIE = * [u' (z) c' (z)]dz = m A (b ) (b ) b b (b ) (b ) c (b ) (b ) (b ) 6.- S deseamos que un monopolsta produzca la cantdad efcente qué debemos hacer: subvenconarle o gravarle con un mpuesto por undad? Impuesto por undad producda: t π' ( m t ) = p( m t ) + m t p' ( m t ) c' ( m t ) t = 0 S queremos que m t e e e = entonces t p'( ) 0 = <. 7.- Un monopolsta vende en dos mercados y aunque puede cobrar precos dstntos en los dos, debe vender todas las undades dentro de un mercado al msmo preco. () S las funcones de demanda son lneales, a ( p ) = p,, b b =, y el coste margnal de produccón es nulo, en qué condcones relatvas a los parámetros decdrá el monopolsta no practcar la dscrmnacón de precos? () Bajo qué condcones la dscrmnacón de precos representará una mejora en el sentdo de Pareto con respecto al preco unforme? () S las funcones de demanda son ( p ) = A p b, =,, y coste margnal constante c > 0, en qué condcones relatvas a los parámetros decdrá el monopolsta no practcar la dscrmnacón de precos. (Suponga solucones nterores). () a = a 3

24 () S p m = ma p m m {, p }y p m m p () b = b 8.- Un monopolsta es capaz de dstngur dentro de su mercado total tres submercados completamente separados cuyas demandas lneales aparecen representadas en el gráfco adjunto. Suponga que el coste margnal constante es gual a c > 0. p c ( p ) ( p ) 3 ( p 3) En qué mercado establecerá el monopolsta el mayor preco? Demostrar. Con demanda lneal: p () = a b ; a b p ε ( ) = y ε ( p) = b a p Por tanto, p m = p m = p 3 m = p m a ( p) = b b p 4

25 9.- Consdere un mercado en el que hay dos consumdores con las sguentes funcones de utldad: U (,y ) = 4 ( ) + y ; U (,y ) = a ( ) + y con 4 > a >0 donde, =,, es la cantdad del ben consumda por el ndvduo, y es la cantdad de renta que le queda al consumdor para comprar otros benes y m es la dotacón ncal de renta de cada ndvduo. El ben es producdo por un monopolsta cuya funcón de coste total de produccón es C() =. () Muestre que el consumdor tene una dsposcón total a pagar y una dsposcón margnal a pagar por el ben mayor que el consumdor para todo. Obtenga las funcones nversas de demanda. () Obtenga las combnacones preco-cantdad (r *, * ) y (r *, * )que mamzan los benefcos del monopolsta y el valor de éstos cuando puede practcar la dscrmnacón de precos de prmer grado o dscrmnacón perfecta. Muestre que * y * son socalmente efcentes. () Obtenga las combnacones preco-cantdad ( r, ) y ( r, ) correspondentes a la dscrmnacón de precos de segundo grado. Cómo debe ser el parámetro a para que el monopolsta decda servr el ben a los dos consumdores? () r * = 7.5, * = 3, * r = a y * = a. () r = 7.5 (a 5)(4 a), = * = 3, r =.5(a 5) y = a 5. a >.5 5