Equilibrio General. x i =! + y j. i=1. j=1

Transcripción

1 Equlbro General En Equlbro General se estuda la economía en su conjunto: como se determnan todos los precos y las asgnacones para todos los ndvduos y todas las rmas en todos los mercados. Hay al menos tres razones para estudar Equlbro General, y no quedarse en el equlbro parcal. Prmero, hay preguntas que no pueden contestarse con un análss de equlbro parcal. Por ejemplo, estudar la determnacón del preco de los zapatos en equlbro parcal está ben, pues se puede tomar como dado el ngreso de los ndvduos. Pero el problema del crecmento económco, que es el estudo de cómo crecen los ngresos, nunca podría hacerse en equlbro parcal, pues no se puede tomar como dado el ngreso. Es más, los problemas económcos más mportantes son los que no se pueden estudar en equlbro parcal. Un segundo motvo para estudar Equlbro General es que la pregunta quzás más veja de economía, Funconan e centemente los mercados?, necesaramente debe ser analzada en este contexto. De hecho, es una de las prmeras preguntas que se estudaron fue precsamente esa, y la vamos a estudar en este curso. Fnalmente, en algunos casos, la respuesta a una pregunta, cuando se utlza el herramental de equlbro parcal, puede ser errónea. Después de ver algunas de ncones veremos un ejemplo para mostrar este problema. En la economía que estudaremos, hay I > 0 consumdores, J > 0 rmas, y L > 0 benes. Cada consumdor tene preferencas (completas y transtvas) de ndas en su espaco de consumo R L : Cada rma j tene un conjunto de posbldades de produccón Y j R L que es cerrado y no vacío. Los recursos ncales de la economía, su dotacón ncal, es un vector! = (! ; :::;! L ) 2 R L : Para cada ndvduo ;! = (! ; :::;! L ) es la dotacón ncal de recursos. Una asgnacón (x; y) = (x ; :::; x I ; y ; :::; y J ) es una espec cacón de un vector de consumo x 2 para cada consumdor = ; :::; I y un vector de produccón y j 2 Y j para cada rma j = ; :::; J: Una asgnacón es alcanzable (posble) s P x l =! l + P j y lj para cada ben l: Es decr, s I x =! + Para completar la descrpcón de una economía, hace falta espec car la estructura de propedad de las rmas. Para cada consumdor exste = ( ; :::; J ), donde j 2 [0; ] es el porcentaje de los bene cos de la rma j que pertenecen al consumdor : Por supuesto, para cada j; J j= =I j = Una asgnacón alcanzable (x; y) es Pareto Optma s no exste otra asgnacón alcanzable (x 0 ; y 0 ) que Pareto domna a (x; y). Eso es, no exste una asgnacón alcanzable (x 0 ; y 0 ) tal que x 0 x para todo ; y exste algún para el cual x 0 x : Ejemplo 0. Dada una economía espec cada por R 2 + ; u (x) = x + x 2 ;! = (; 0) ; Y = y 2 R 2 : y 2 p y y j encontrar las asgnacones Pareto Óptmas. En este contexto, s una asgnacón es Pareto Óptma maxmza la utldad del ndvduo sujeto a la tecnología relevante. Es decr, se debe elegr x ; x 2 ; y ; y 2 para maxmzar x + x 2 sujeto a x = + y x 2 = y 2 y 2 p y : Del tercer y cuarto renglón sacamos x 2 p y y del prmero x 2 p x : Por lo que se debe elegr x ; x 2 para maxmzar x + x 2 sujeto a x 2 p x :

2 Grá camente tenemos que debemos elegr la curva de ndferenca más alta que nos permta la tecnología. La solucón a este problema es x = 3 4 ; y la asgnacón Pareto Óptma es (x ; y ) = 3 4 ; 2 ; 4 ; 2 : Dada una economía espec cada por f( ; ;! ; )g =I ; fy jg j= una asgnacón (x ; y ) y un vector de precos p = (p ; :::; p L ) consttuyen un equlbro Walrasano o compettvo s () Para cada j; y j maxmza bene cos en Y j; es decr, p:y j p:y j para todo y j 2 Y j () Para cada ; x es maxmal para en la restrccón presupuestal 8 9 < : x = : px p! + j pyj ; Es decr, no exste x en la restrccón presupuestal, tal que x x : () P x =! + P j y j. Ejemplo 0 Contnuado. Dada una economía espec cada por R 2 + ; u (x) = x + x 2 ;! = (; 0) ; = ; Y = y 2 R 2 : y 2 p y j= encontrar el o los equlbros compettvos. (Grá camente, la restrccón presupuestal pasa por! + y (p)). El sguente ejemplo, tomado del trabajo Factor prces may be constant but factor returns are not, de D. Bradford en Economc Letters (978) lustra cómo s se hace un análss de equlbro parcal, la respuesta a una pregunta puede ser equvocada. Ejemplo. Análss de la Incdenca de un Impuesto. Hay una economía con N (grande) cudades y en cada cudad hay una rma que utlza trabajo l para producr un únco ben con una funcón de produccón f estrctamente cóncava. El ben se comerca en un únco mercado naconal. Hay M consumdores que ofrecen nelástcamente M undades de trabajo: sólo dervan placer del ben y no del oco. Los trabajadores se pueden mover lbremente entre cudades para buscar el salaro más alto. En el análss que sgue, normalzamos el preco del ben a ; y llamamos w n al salaro en la cudad n: Como los trabajadores se pueden mover lbremente, debemos tener w = w 2 = ::: = w n = w: En equlbro, cada rma maxmza bene cos f (l) wl y como f 0 es estrctamente decrecente, la condcón de prmer orden f 0 (l ) = w asegura que en cada cudad se contrata a la msma cantdad de gente M=N: Supongamos ahora que la cudad decde poner un mpuesto al trabajo. Analzaremos sobre quen recae el pago del mpuesto, su ncdenca, prmero en equlbro parcal, y luego en equlbro general. S la tasa de mpuesto es t y el salaro en la cudad es w ; la cantdad de trabajo contratada por la rma será el l (t) tal que f 0 (l (t)) = w + t: () Como la cantdad de cudades es grande, el salaro en las otras cudades no cambará de su nvel pre-mpuesto de w; y como el trabajo se puede mover lbremente, tendremos f 0 (l ) = w + t: Este análss revela que el ngreso de los trabajadores se mantene y que como la rma contrata menos gente a un preco mayor, el mpuesto recae sólo sobre ella. La ntucón típca de estos casos es que, como la oferta de trabajo es n ntamente elástca, la carga del mpuesto recae sobre la rma : Analzamos ahora el problema desde el punto de vsta del Equlbro General. Por la lbre movldad sabemos que el sueldo en las cudades 2 a N será el msmo. Como en prncpo puede depender de la tasa de 2

3 mpuestos, llamaremos a ese sueldo en las demás cudades w (t) : Tambén por la lbre movldad sabemos que el salaro para los trabajadores en la cudad debe ser w (t) = w (t) + t: Además, como f 0 es decrecente, la condcón de prmer orden f 0 (l (t)) = w (t) asegura que la cantdad de trabajo contratada en cada cudad 2; :::; N sea la msma. Por lo tanto, la condcón de oferta gual demanda en la de ncón de equlbro compettvo, la condcón (), requere que (N ) l (t) + l (t) = M: De esta ecuacón obtenemos l (t) = M (N ) l (t). Susttuyendo en la condcón de prmer orden de la rma ; la ecuacón (), queda f 0 (M (N ) l (t)) = w (t) + t: Consderaremos ahora un aumento margnal en la tasa de mpuestos desde 0: Para eso, tomaremos dervadas en esta ecuacón, y evaluaremos en 0; recordando que l (0) = l (0) = M=N y que w (0) = w (0) : f 00 (M (N ) l (0)) ( N) l 0 (0) = w 0 (0) +, f 00 M (N ) M ( N) l 0 (0) = w 0 (0) + N M, f 00 (N ) l 0 (0) = w 0 (0) + : (2) N De dervar la condcón de prmer orden de las rmas en las demás cudades, f 0 (l (t)) = w (t) ; obtenemos M f 00 (l (t)) l 0 (t) = w 0 (t) ) f 00 (l (0)) l 0 (0) = w 0 (0) ) f 00 l 0 (0) = w 0 (0) : (3) N De las ecuacones (2) y (3) se deduce que w 0 (0) (N ) = w 0 (0) +, w 0 (0) = N : Como habíamos deducdo del análss de equlbro parcal, para N grande, el salaro en las demás cudades camba muy poco. La dferenca entre el análss de equlbro parcal y el de equlbro general se da en la ncdenca. Contraramente a lo que había sugerdo el análss de equlbro parcal, ahora mostraremos que la suma de los bene cos a nvel de toda la economía no camba, por lo que el mpuesto recae sobre los trabajadores. Llamamos (w) a los bene cos de la rma cuando ha elegdo la cantdad óptma de trabajo para un salaro de w. Tenemos entonces que los bene cos totales en la economía son (N ) (w (t)) + (w (t) + t) : Por lo tanto, el cambo en los bene cos dervado de un cambo margnal, comenzando en 0; de la tasa de mpuestos es (N ) 0 (w (0)) w 0 (0) + 0 (w (0)) (w 0 (0) + ) = N 0 (w (0)) w 0 (0) + 0 (w (0)) = 0 (w (0)) + 0 (w (0)) = 0 como queríamos demostrar. Prmer Teorema del Benestar Una relacón de preferencas en el espaco de consumo es localmente no sacable en x 2 s para cada " > 0 exste un x 0 2 tal que kx x 0 k < " y x0 x : Las preferencas son localmente no sacables s son localmente no sacables en todo x 2 ; es decr, s para cada x 2 y cada " > 0 exste un x 0 2 tal que kx x 0 k < " y x0 x : Ejercco 2 (Ejercco 27 del repartdo de ejerccos). Sea = R L +, Y = y sea una relacón de preferencas que es localmente no sacable. R L + (no hay produccón) 3

4 Parte A. Demuestre que s x x para todo x tal que px K; y x x ; entonces px K: Parte B. Demuestre que s x (p; p! ) es la demanda Walrasana del ndvduo ; con preferencas localmente no sacables, entonces x (p; p! ) cumple la Ley de Walras: px (p; p! ) = p!. Parte C. Demuestre que s x (p; p! ) es la demanda Walrasana del ndvduo ; con preferencas localmente no sacables, y que s I I x j (p; p! ) = para todo j 6= k y algún p 0 (p l > 0 para todo l = ; 2; :::; L) entonces I x k (p; p! ) =! j I! k ; por lo que p es un preco de equlbro (Psta: utlce la Parte B). Nota: La Parte B y la Parte C son las dos versones de la Ley de Walras. La Parte A es la versón px (p; p!) = p! (con K = p!), y la Parte B es la versón s oferta gual demanda en L mercados, la oferta es tambén gual a la demanda en el L ésmo. Prmer teorema del benestar. S las preferencas son localmente no sacables, y s (x ; y ; p) es un equlbro compettvo, entonces la asgnacón (x ; y ) es Pareto Optma. Paso. Demostraremos prmero que s (x; y) Pareto domna a (x ; y ) ; debemos tener que 0 =I =I px > + j yj A : (4) S (x; y) Pareto domna a (x ; y ) ; exste algún tal que x x : Como (x ; y ) ; p son un equlbro, la condcón () de la de ncón nos dce que j= j= px > p! + j pyj : (5) Es decr, s la canasta x es estrctamente mejor que x ; y el ndvduo no elgó x ; quere decr que no le alcanzaba la plata para comprarla. Para el resto de los ndvduos, s (x; y) Pareto domna a (x ; y ) ; tenemos que, por el Ejercco, x x mplca px p! + j pyj : (6) Sumando ahora para todos los ndvduos, las ecuacones (5) y (6) mplcan la ecuacón (4), que es lo que queríamos demostrar. j= Paso 2. Demuestrar que, como y maxmza bene cos, px > p! + j py j (7) 4

5 Para demostrar esto, recordamos que para todo j se cumple que P j =, y por lo tanto, 0 =I =I =I + j yj A = p! + p j yj Combnando esto con (4) obtenemos j= = = j= =I =I p! + p j yj j= =I p! + p j= j= y j =I =I px > p! + p yj : (8) Fnalmente, como y j maxmza bene cos a los precos p para todas las rmas, obtenemos =I =I p! + p yj j= p! + p j= y j = p! + p y combnando esta últma ecuacón con (8) obtenemos el resultado en (7) que es lo que queríamos demostrar. Paso 3. Como la ecuacón (7) mplca que 0 x! j y j A > 0 obtenemos que P x P! j y j 6= 0; lo que contradce que que (x; y) es una asgnacón alcanzable. Por tanto (x ; y ) es Pareto Optma. Ejercco 3 (Ejercco del repartdo de ejerccos). En esta economía hay dos agentes, el y el 2: Las utldades y dotacones están dadas por j= y j u = s x + x 2 0 en caso contraro u 2 = x 2 x 2 2! =! 2 = (; ) Parte A. Ver que que x ; x 2 ; p = [(; ) ; (; ) ; (; )] es un equlbro compettvo de esta economía. Parte B. La asgnacón x ; x 2 = [(; ) ; (; )], es Pareto Óptma? S no lo es, cuál asgnacón la domna? Parte C. S la asgnacón de la Parte B no es Pareto Óptma, porqué falla el Prmer Teorema del Benestar? Parte D. Demuestre que no hay nngún equlbro que sea Pareto Óptmo (psta: encuentre la únca asgnacón Pareto Óptma que le da una utldad de al ndvduo y demuestre que no es un equlbro para nngún vector de precos (; p) ; y haga lo msmo para la únca asgnacón Pareto Óptma que le da una utldad de 0 al ndvduo ) 5

6 Ejercco 4 (Ejercco 2 del repartdo de ejerccos). Sean! =! 2 = (; ) y u (x ) = x 2 x 2 2 u 2 (x 2 ) = x 2 2 x x de tal forma que el ndvduo 2 dsfruta del consumo de que tenga del ben (por ejemplo, podría ser que el ben es músca o plantas de jardín ). Esto es lo que se llama una externaldad. Parte A. Encuentre el únco equlbro de esta economía. Parte B. Muestre que el equlbro no es Pareto Óptmo. Explque porqué. Ejercco 5. Sea = R L + y sea una relacón de preferencas monótona, es decr, tal que y x (es decr y > x para todo ) mplca y x: Demuestre que s una relacón de preferencas es monótona, entonces es localmente no sacable. Pasamos a una economía llamada de generacones superpuestas. Los períodos de tempo son t = 0; ; 2; ::: En cada período hay un jóven y un vejo (que fué jóven el período pasado). Las dotacones para cada ndvduo son de una undad del únco ben de la economía en cada período. Sendo j t el consumo del joven en el período t y v t el consumo del vejo en el período t; la funcón de utldad del ndvduo que es jóven en t es u t (j t ; v t+ ) = j t v Para el vejo en el período 0; lo únco que nos nteresa, es que su utldad es crecente en su consumo, pero para smpl car, asumamos que su utldad de consumr v 0 es v 0 : Para cada jóven en t = 0; ; 2; ::: el problema de maxmzacón dados los precos (p 0 ; p ; p 2 ; :::) es el de elegr (j t ; v t+ ) para maxmzar La solucón a este problema es t+ : j t v t+ sujeto a p t j t + p t+ v t+ p t + p t+ j t = p t (p t + p t+ ) v t+ = p t+ (p t + p t+ ) : Para el vejo en el período 0; su ngreso es p 0 ; y se gastará todo su ngreso en consumo del ben, por lo que su demanda del ben es : Para que los precos (p 0 ; p ; p 2 ; :::) sean de equlbro, debemos tener que oferta gual demanda en todos los períodos. Como la oferta es 2 en todos los períodos, tenemos que t = 0 2 = + j 0, = p 0 (p 0 + p ), p = p 0 t = 2 = v + j = p (p 0 + p ) + 2 p (p + p 2 ), p 2 = p 0 : Normalzamos p 0 =, advnamos que p t = t y lo demostramos por nduccón. El prmer paso (demostrar que se cumple para algún t) ya lo hcmos, pues mostramos que p = : Ahora asummos que es certo para t < T y lo demostramos para T: Tenemos que 2 = v T + j T = (p T 2 + p T ) + (p T + p T ), p T p T T 2! T 2 = + + p T = T T 6! T T + p T,

7 como queríamos demostrar. Dado esto, vemos que para todo t; j t = p t (p t + p t+ ) = v t+ = p t+ (p t + p t+ ) = como era obvo: en el período 0, el vejo se come su dotacón, y el jóven tambén, por lo que el vejo en el período debe comerse su dotacón, y así sucesvamente. Con esta asgnacón, la utldad de las personas en equlbro es : S < 2 ; esta asgnacón no es Pareto Óptma, pues les da a todos una utldad de ; mentras que la asgnacón (v t ; j t ) = (2 ( ) ; 2) arroja una utldad de 2 ( ) > para el vejo, y 2 ( ) > para todos los demás. Qué es lo que pasa en este equlbro, que no es Pareto Óptmo? Para empezar, lo que sucede es que como < 2 ; eso quere decr que a los ndvduos les gusta más consumr cuando son vejos que cuando son jóvenes, pero en equlbro deben consumr lo msmo en ambos períodos. El problema es que no hay forma de transferr recursos de un período al sguente. Una segunda forma de ver el problema, es tratando de entender porqué falla el Prmer Teorema del Benestar. Para ello escrbmos formalmente la economía del modelo de generacones superpuestas como un modelo de equlbro general. En esta economía hay n ntos agentes (uno por cada número natural) y otros tantos benes (con la nterpretacón sendo que trgo hoy es un ben dstnto a trgo mañana), y una sola rma, cuyo conjunto de posbldades de produccón es f(0; 0; 0; :::)g (es decr, no puede transformar nngún ben en nngún otro ben). El espaco de consumo de cada consumdor es R R R:::: La dotacón ncal de la economía es (2; 2; 2; :::) y la del jóven del período t es 0; :::0 {z } ; ; ; 0; 0; ::: A : t La estructura de propedad de las rmas no mporta, pues los bene cos son sempre 0; pero para ser correctos, ponemos que la rma pertenece, por ejemplo, al vejo del período 0: Formalmente, s el vejo en el período t es el agente t; tenemos que 0 = y t = 0 para todo t > 0: Ahora vemos que s < 2 ; p t! ; y la demostracón del prmer teorema del benestar falla, pues varas de las sumatoras dvergen. Ejercco 6. Encontrar el paso exacto en el cual falla la demostracón del prmer teorema del benestar con la economía de generacones superpuestas. 7

8 Otras dos versones del PTB Una asgnacón alcanzable (x; y) es Déblmente Pareto Optma s no exste una asgnacón alcanzable (x 0 ; y 0 ) tal que x 0 x para todo. Teorema 7. Otra versón del Prmer teorema del benestar. S (x ; y ; p) es un equlbro compettvo, entonces la asgnacón (x ; y ) es Déblmente Pareto Optma. Antes de hacer la demostracón, pensen un segundo. Fíjense que los supuestos son más débles (no asummos que las preferencas son localmente no sacables) y la conclusón es más débl (hay asgnacones que son Déblmente Pareto Óptmas, pero que no son Pareto Óptmas). Paso. Demostrar que s (x; y) pareto domna déblmente a (x ; y ) ; debemos tener que 0 p:x > + j y A j j Paso 2. Demostrar que, como y maxmza bene cos, p:x > p:! + j py j (9) Paso 3. Demostrar que la ecuacón anteror mplca que (x; y) no es una asgnacón alcanzable, y que por tanto (x ; y ) es Déblmente Pareto Óptma. Una asgnacón (x; y) = (x ; :::; x I ; y ; :::; y J ) es una espec cacón de un vector de consumo x 2 para cada consumdor = ; :::; I y un vector de produccón y j 2 Y j para cada rma j = ; :::; J: Una asgnacón es alcanzable (posble) s P x l =! l + P j y lj para cada ben l: Es decr, s I x =! + Una asgnacón alcanzable (x; y) es Pareto Optma s no exste otra asgnacón alcanzable (x 0 ; y 0 ) que Pareto domna a (x; y). Eso es, no exste una asgnacón alcanzable (x 0 ; y 0 ) tal que x 0 x para todo ; y exste algún para el cual x 0 x : n o Dada una economía espec cada por ( ; ) I ; fy j g J j= ;! una asgnacón (x ; y ) y un vector de precos p = (p ; :::; p L ) consttuyen un equlbro con transferencas s exste un vector de rquezas (w ; :::; w I ), con P w = p:! + P j p:y j tal que () Para cada j; y j maxmza bene cos en Y j; es decr, J j= y j p:y j p:y j para todo y j 2 Y j () Para cada ; x es maxmal para en la restrccón presupuestal () P x =! + P j y j. fx : p:x w g Fnalmente, una relacón de preferencas en el espaco de consumo es localmente no sacable s para cada x 2 y cada " > 0 exste un x 0 2 tal que kx x 0 k < " y x0 x : Teorema 8. Prmer teorema del benestar. S las preferencas son localmente no sacables, y s (x ; y ; p) es un equlbro con transferencas, entonces la asgnacón (x ; y ) es Pareto Optma. 8

9 Paso. Demuestre que s (x; y) pareto domna a (x ; y ) ; debemos tener que p:x > w Paso 2. Demuestre que, como y maxmza bene cos, p:x > p:! + j py j (0) Paso 3. Demuestre que la ecuacón (0) mplca que (x; y) no es una asgnacón alcanzable, y que por tanto (x ; y ) es Pareto Optma. Ejercco 9. Demuestre que todo equlbro compettvo es Pareto Óptmo utlzando este últmo Teorema. Psta: demuestre que todo equlbro compettvo es un equlbro con transferencas. Ejercco 0 (Ejercco 25 del repartdo de ejerccos). En este ejercco se demostrará que aún s el ndvduo puede sacarse (las preferencas no son localmente no sacables) los equlbros son Pareto Óptmos. Suponga que cada es no vacío y convexo. Unas preferencas en son estrctamente convexas s x 0 x y x 0 6= x mplcan que x 0 + ( ) x x para todo 2 (0; ) : Parte A. Demuestre que s las preferencas son estrctamente convexas, para cada exste a lo sumo un x s que saca al ndvduo (x s x para todo x 2 ). Parte B. Demuestre que s no exste un x s que saca al ndvduo y las preferencas son estrctamente convexas, entonces las preferencas son localmente no sacables. Parte C. Demuestre que s aún s exste un x s que saca al ndvduo, s las preferencas son estrctamente convexas, es localmente no sacable en x ; para todo x 6= x s : Parte D. Demuestre que s las preferencas son estrctamente convexas y x es óptmo para en la restrccón presupuestal px K y x x entonces sólo hay dos opcones: o x = xs o px K: Parte E. Demuestre que s las preferencas son estrctamente convexas todo equlbro compettvo es Pareto Óptmo (s hace la Parte F, gnore esta parte, y será tomada como correcta). Parte F. Demuestre que s las preferencas son estrctamente convexas todo equlbro con transferencas es Pareto Óptmo. 9

10 Exstenca Una pregunta relevante es: bajo qué condcones sobre las prmtvas de la economía (asgnacones, utldades, etc) es seguro que exste un equlbro compettvo? Nos gustaría estar seguros que s escrbmos un modelo y decmos en equlbro pasa tal o cual cosa no estemos hablando de un conjunto vacío. Analzaremos ahora una versón muy smple de un teorema de exstenca de equlbro general. Sea x (p; p! ) la demanda Walrasana de los ndvduos (es decr, el conjunto de canastas preferdas por el ndvduo cuando los precos son p y el ngreso es p! ). Para una economía de ntercambo (es decr, cuando J = y Y = R L +) la de ncón de qué consttuye un equlbro Walrasano se puede reescrbr como: (x ; y ) y un vector de precos p = (p ; :::; p L ) consttuyen un equlbro Walrasano s ( ) y 0; p 0 y py = 0: ( ) x 2 x (p; p! ) para todo. ( ) P x = P! + y Que las condcones ( ) y ( ) son equvalentes a () y () es trval, y no lo mostraremos. mostraremos que ( ) es equvalente a (). Ahora Lema 0. y 2 Y es tal que py py para todo y 2 Y s y sólo s y 0; py = 0 y p 0: Prueba. (() Asumamos para comenzar que y 0; p 0 y py = 0: Debemos mostrar que y 2 Y es tal que py py para todo y 2 Y : Prmero vemos que como y 0 y Y = R L +; tenemos que y 2 Y : Segundo, como py = 0 y py 0 para todo y 2 Y (pues p 0, y Y = R L +) tenemos que py py para todo y 2 Y : ()) Asummos ahora que y 2 Y es tal que py py para todo y 2 Y y mostraremos que y 0; p 0 y py = 0: Prmero, como y 2 Y = R L +; tenemos que y 0: Segundo, p 0; pues s para algún l; p l < 0; tendríamos que para ey y; :::; yl ; y l ; yl+ ; :::; L y 2 Y ; p y; :::; yl ; yl ; yl+; :::; yl = py p l > py contradcendo que py py para todo y 2 Y : Tercero, vemos que 9 p 0 ) py 0; 8y 2 Y y 0; 8y 2 Y >= ) py = Y py ) py py; 8y 2 Y 0 >; como queríamos demostrar. El sguente lema caracterza las condcones bajo las cuales un vector de precos es parte de un equlbro Walrasano. Lema 2. Suponga que para todo las preferencas son localmente no sacables, y que para todo p y! ; x (p; p! ) es una sola canasta (es decr, la canasta que maxmza la utldad sujeta a la restrccón presupuestal es únca). Para una economía de ntercambo p 0 es parte de un equlbro Walrasano (exste una asgnacón (x ; y ) tal que [(x ; y ) ; p] es un equlbro Walrasano) s y sólo s, (x (p; p! )! ) 0 () Antes de pasar a la demostracón, notamos que en nngún caso hay que demostrar que p 0: El lema dce que p 0 es parte de un equlbro Walrasano s y sólo s se cumple la ecuacón (). No nos pde que demostremos que p es tal que p 0 y es parte de un equlbro Walrasano. 0

11 Prueba. ()) Demostraremos prmero que s p es parte de un equlbro Walrasano, se cumple la ecuacón (). Sabemos entonces que exste una asgnacón (x ; y ) tal que para [(x ; y ) ; p] se cumplen las condcones ( ),( ) y ( ). De la condcón ( ) sabemos que P P (x! ) = y ; y de la ( ), que y 0; por lo que (x! ) 0: A su vez, de la condcón ( ) obtenemos la ecuacón (). (() Asumamos ahora que () se cumple, y pongamos y = (x (p; p! )! ) x = x (p; p! ) : Tenemos que ( ) se satsface pues; p 0 (por hpótess); y 0 por de ncón de y y el hecho que () se cumple; py = 0 pues por ser las preferencas localmente no sacables, px (p; p! ) p! = 0 para todo ; y entonces py = p (x (p; p! )! ) = (px (p; p! ) p! ) = 0: La condcón ( ) se satsface por la forma como de nmos x ; y la ( ) por la forma como de nmos y : De nmos ahora z (p) = x (p; p! )! y z (p) = z (p) por lo que, s para todo las preferencas son localmente no sacables, y para todo p, z (p) es una sola canasta, para una economía de ntercambo p 0 es parte de un equlbro Walrasano s y sólo s, z (p) 0: Demostraremos ahora que exste un equlbro Walrasano, s z satsface certas condcones. Teorema 3. Asuma que para todo ; z (p) es una funcón de R L + f0g en R L que es contnua, homogénea de grado 0 y que satsface la ley de Walras (es decr, pz (p) = 0 para todo p). Entonces exste un p tal que Z (p ) = P z (p ) 0; y por tanto la asgnacón (fz (p ) +! g ; Z (p)) y el vector de precos p consttuyen un equlbro Walrasano. Antes de pasar a la demostracón, vale la pena aclarar un par de puntos. Prmero, el supuesto de contnudad de z se puede deducr de la contnudad de las preferencas y su convexdad, por lo cual no es un supuesto raro para hacer sobre z: Segundo, con no sacedad local, z satsface la ley de Walras, por lo cual tampoco es raro asumr que z satsface dcha ley. Fnalmente, una cosa mala de este teorema es que no se aplca a una ampla gama de casos que estudamos comunmente pues: ) supone que z es una funcón (es decr, no admte que para certos precos haya varas canastas que son óptmas y dejan al ndvduo ndferente). Esto se solucona asumendo que las preferencas son estrctamente convexas (es decr, que s y w y x w y 2 (0; ) ; entonces x + ( ) y w). 2) supone que z está de nda para todo p 0: Es decr, asume que aunque haya algún preco gual a 0; la demanda de ese ben no será n nta. Para una ampla gama de preferencas, eso no es así. En partcular, eso no es certo para el ejemplo que más usamos los economstas: la Cobb-Douglas. Sn perjuco de lo anteror, hay versones más so stcadas del teorema que no necestan asumr n que z es una funcón, n que está de nda para todo p 0: Contnuamos con un ejercco que será útl para entender la demostracón. Ejercco 4. Suponga que p = 3 ; 2 3 Parte A. Dbuje un exceso de demanda Z (p) que cumpla la Ley de Walras, y demuestre que para el Z (p) elegdo se cumple la Ley de Walras. Parte B. Para el Z (p) elegdo, de na Z + l (p) = max f0; Z l (p)g y Z + (p) = Z + (p) ; :::; Z+ L (p) : Dbuje Z + (p) :

12 Parte C. Demuestre que s Z (p) Z + (p) = 0; eso quere decr que Z (p) 0: Hágalo para todo p; y no sólo para el p elegdo. Parte D. Demuestre que para la funcón f de nda por (p) = L l= p l + Z + l f (p) = p + Z+ (p) (p) es tal que para cualquer p 2 = p 2 R L + : P l p l = se cumple que f (p) 2 : Parte E. Dbuje, para el p de la Parte A, f (p) : Ver que que para los benes en los cuales había exceso de demanda, se subó el preco relatvo. Un últmo paso antes de la demostracón del Teorema 3, es presentar el enuncado del Teorema del Punto Fjo de Brouwer. Teorema de punto jo de Brouwer. Sea S R n para algún n; un conjunto cerrado, acotado y convexo, y sea f : S! S una funcón contnua. Entonces f tene un punto jo, es decr, exste un s tal que f (s) = s: Para ver que cada uno de los supuestos cumple algún rol relevante vemos que s no pedmos que S sea cerrado, f : (0; )! (0; ) de nda por f (x) = + x 2 no tene punto jo. S no pedmos que S sea acotado, tenemos que f : R +! R + de nda por f (x) = x + tampoco tene punto jo. S no requermos que S sea convexo, vemos que f : f0; g! f0; g de nda por f (x) = x tampoco tene punto jo. Fnalmente, s f es dscontnua, tenemos que f : [0; ]! [0; ] de nda por x f (x) = 2 0 x > 2 tampoco tene punto jo. Prueba del Teorema 3. Sea = p 2 R L + : P l p l =, y de namos Z + l (p) = max f0; Z l (p)g y Z + (p) = Z + (p) ; :::; Z+ L (p) : Vemos que Z + (p) es contnua y que Z (p) Z + (p) = 0 mplca Z (p) 0: De nmos tambén L (p) = p l + Z + l (p) l= (p) que es contnua y mayor o gual que para todo p: Nos de nmos f (p) = p + Z+ (p) (p) que tambén es contnua y tal que f :! ; donde es cerrado, acotado y convexo. Por el teorema de punto jo de Brouwer, exste un p 2 tal que p = f (p ) : Por la ley de Walras, tenemos que 0 = p Z (p ) = f (p ) Z (p ) = p + Z + (p ) (p Z (p ) = Z+ (p ) ) (p ) Z (p ) por lo que Z + (p ) Z (p ) = 0; y eso mplca Z (p ) 0; como queríamos demostrar. Ejercco 5 (23 en el repartdo de Ejerccos). De nmos en = R 2 + las sguentes funcones de utldad: u (x) = mn fx ; x 2 g (x x 2 ) 2 y u 2 (x) = x + x 2 (x x 2 ) 2 : Demuestre que para! =! 2 = (; ) y las utldades u y u 2 la demanda x (p): 2

13 Parte A. Es una funcón de R 2 + f0g en R 2 : Parte B. Es contnua. Parte C. Es homogénea de grado 0 y satsface la ley de Walras. 3