Parte IV PRECIOS DE EQUILIBRIO Y CARTERAS ÓPTIMAS 87

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1 Parte IV PRECIOS DE EQUILIBRIO Y CARTERAS ÓPTIMAS 87

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3 Capítulo 9 Sstema Fnancero con Incertdumbre 9.1 Introduccón El objeto de este capítulo es analzar un modelo general en una economía con estructura secuencal donde la actvdad económca se dvde en dos tpos de mercados, un mercado spot de consumo contngente y un mercado de futuros (forward) donde se negocan actvos nanceros. En este capítulo para smpl car consderaremos modelos de dos perodos. Esta smpl cacón permte darle una mayor tractabldad al modelo y mantene los elementos báscos de modelos más complejos. Éstos están dados por la prmtvas en la economía, preferencas y dotacón derecursos. Las preferencas de losndvduosre ejan smultaneamentedos cosas: el grado de mpacenca entre consumo presente y consumo futuro, así como su acttud frente a volatldad en el consumo medda en la aversón al resgo. Las característcas báscasdel ujo de rentas es que no se dstrbuyen unformemente entre los dstntos estados. En ausenca de mercados de ntercambo, el consumo de los ndvduos uctúa entre los dstntos estados de la naturaleza, de forma que cuanto más averso al resgo sean los ndvduos mayor será la pérdda de benestar asocada a la no exstenca de mercados de seguros. Sn embargo, la exstenca de mercados nanceros va a permtr a los agentes ntercambar contratos nanceros, que no son otra cosa que partcpacones sobre una fraccón de la renta de un determnado ndvduo. El ntercambo de contratos nanceros va a permtr cambar el patrón de ngresos entre estados, de forma que es posble aumentar el consumo entre contngencas y dsmnur la ncertdumbre de forma total o parcal. El capítulo se nca analzando un modelo de equlbro general con ncertdumbre con una estructura de mercado Arrow-Debreu. Para cada estado exste un derecho que promete pagar una undad de renta en un determnado estado de la naturaleza. El ntercambo de estos derechos permte obtener precos de equlbro que son el valor esperado presente de una undad de ngreso en un determnado estado. S no exsten mpedmentos al ntercambo la asgnacón resultante en la economía es e cente en el sentdo de Pareto. A contnuacón se analza la contrapartda secuencal propuesta por Radner, 89

4 90 CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE en la cual los ndvduos ntercamban de forma secuencal en cada estado de la naturaleza bonos contngentes. Los bonos contngentes permten transferr una undad de renta en un determnado estado de la naturaleza. La prncpal dferenca es que en cada momento del tempo no abren todos los mercados, sno un subconjunto de ellos. Tanto las asgnacones como los precos de equlbro son equvalentes en ambas economías. La nocón de equlbro secuencal propuesta por Radner esun caso partcular deuna economía nancera, dondeelconjunto de contratos nanceros que se ntercamban es mucho más rco. Un contrato nancero es un derecho compuesto que permte percbr una determnada cantdad de renta en dstntos estados de la naturaleza. Los actvos nanceros deben valorarse de forma apropada para que no exstan oportundades de arbtraje. Exste una oportundad de realzar arbtraje cuando los nvdduos pueden adqurr una cartera de actvos que de un rendmento postvo sn nngún coste. La ausenca de arbtraje mplca que el preco de cada actvo es gual al valor descontado de los dvdendos futuros. Esteresultado esmuy general y es básco en toda la teoría de las nanzas. 9.2 Característcabáscas dela economía La forma más senclla de ntroducr tempo e ncertdumbre de forma smultanea es utlzar economías con dos perodos (t = 0; 1) donde S son los posbles estados de la naturaleza en el perodo 1: De ncón (Estado de la Naturaleza): Un estado de la naturaleza es la descrpcón de un certo resultado de la ncertdumbre. La descrpcón es lo su centemente precsa como para dstngr cada estado como mutuamente excluyente. Denotamos a S como el conjunto de estados posbles de la naturaleza, y s 2 S; es un elemento del conjunto. Los estados pueden denotarse dela sguente forma s = 1;:::;S; donde a vecespuederesultar convenente, especalmente en una economía con dos perodos, nclur el perodo t =0 como un estado adconal s=0; de forma que elconjunto total de estados está denotado por S+1: Supondremos que tan sólo exste un ben de consumo en cada estado de la naturaleza y el número de consumdores totales en la economía es I: Los ndvduos tenen preferencas de ndas sobre planes contngentes de consumo. De ncón (Plan contngente): Un plan de consumo contngente es una espec cacón sobre en número de undades a consumr en cada estado de la naturaleza. Suponga que el número de estados de la naturaleza es S = 5; veamos un ejemplo de plan contngente de consumo. Plan de consumo contngente s = 1 s = 2 s = 3 s = 4 s = 5 c(s) c 0 (s) De ncón (Plan consumo certo): Un plan de consumo es certo s el número de undades de consumo no varía en los dferentes estados de la naturaleza.

5 9.2. CARACTERÍSTICA BÁSICAS DE LA ECONOMÍA 91 Estamos analzando el caso en el cual no hay ncertdumbre que es el que hemos analzado en los capítulos anterores. Las preferencas de los ndvduos están de ndas sobre el espaco de loteras R S ; y pueden representarse medante una funcón de utldad esperada. De forma que s: c % (c ) 0, X ¼ u(c ) X ¼ u (c ) 0 S S Las preferencas por de ncón son ex-ante: la evolucón de consumo como una varable aleatora se evalúa antes de la resolucón de la ncertdumbre. Las propedades de las preferencas ya ha sdo analzada detalladamente en los capítulos anterores, a pesar de ello es mportante recordar la dos propedades báscas que debemos tener en cuenta. En prmer lugar la tasa de mpacenca que vene determnada por el factor subjetvo de descuento. En segundo lugar por la propedade de aversón al resgo que expresa la dea de que los ndvduos pre eren el valor esperado de un consumo certo a un consumo aleatoro. El caso más sencllo de funcones de utldad que consderamos son las adtvamente separables: U (c 0;c (s)) = u (c 0) + E 0 u (c (s)) donde u ( ) es una funcón crecente, contnuamente dferencable (u 0 > 0 y u 00 < 0) y estrcamente cóncava. Donde 2 (0;1) denota el factor subjetvo de descuento del ndvduo Las dotacones de recursos son contngentes en los estados de la naturaleza, por lo tanto los ndvduos recben un vector contngente de dotacones mutuamente excluyentes.! denota la dotacón ncal de recursos del ndvduo en cada estado de la naturaleza. Formalmente:! = (! (1); :::;! (S)) La dotacón agregada de recursos en cada estado de la naturaleza está dada por: X I =1! (S) = W S 8s Estamos nteresados en analzar las propedades cualtatvas de las asgnacones resultantes de utlzar dferentes estructuras de mercado asocadas a una economía de ntercambo. Partcularmente analzaremos tres tpos de estructuras de mercado: 1. Mercados contngentes (Arrow-Debreu). 2. Mercados secuencales (Radner). 3. Mercados nanceros Cuando los agentes partcpan en el mercado venden benes (contratos) obtenendo un ngreso y compran benes (contratos) realzando un gasto. Elntercambo de benes en los mercados está basado en la dea de que los ndvduos pueden ntercambar benes sujeto a una restrccón presupuestara que mpde que el gasto total realzado en la compra de benes exceda el nvel de ngresos. La restrccón de recursos debe cumplrse sempre, con ndependenca de cual sea la estructura de mercado.

6 92 CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE 9.3 Estructura Arrow-Debreu Suponemosuna estructura demercadosarrow-debreu en elmomento, t: Todos los mercados posbles abren antes de la resolucón de la ncertdumbre, de forma que cada ben de consumo contngente tene un preco p(s);que representa el preco del ben de consumo en el estado s: Los agentes rman contratos contngentes de compra o venta condconados a la realzacón de los estados de la naturaleza. A pesar de que las entregas son contngentes los pagos no lo son y se realzan todos en el momento ncal. Para que esta estructura de mercado funcone es necesaro que todos los agentes sean capaces de reconocer en que estado de la naturaleza se encuentran. En t = 0 los ndvduos ntercamban contratos contngentes. De ncón (contrato de contngente): Un contrato contngente para cada estado s es un acuerdo entre agentes para recbr una determnada cantdad físca de unben ssólo s un determnado estado de la naturaleza s ocurre. Su preco de ntercambo en el perodo ncal p(s), se mde en undades de cuenta en t = 0: Un contrato contngente puede nterpretarse como una varable aleatora. Los ndvduos pagan un preco por comprar estos planes. Por ejemplo, un plan de consumo contngente podría tomar la sguente forma: El ndvduo 1 entregará x cantdad del ben de consumo s ocurre el estado de la naturaleza s; por el cual el ndvduo 2 paga y undades de ben numeraro. S exste un conjunto completo de contratos contngentes (s = 0; 1;:::;S) en el perodo 0; cada agente puede vender su dotacón ncal de recursos,! = (! (1);:::;! (S)) obtenendo un ngreso (meddo en undades del ben de consumo en t = 0): p 0! 0 + p(1)! (1) + ::: + p(s)! (S); 8 Con este ngreso, puede comprar en los mercados contngentes contratos de consumo contngente satsfacendose la restrccón presupuestara de recursos: X S s=0 p(s) c (s)! (s) 0; 8 A partr del problema que solucona cada consumdor y la estructura de mercado selecconada podemos de nr el concepto de equlbro Arrow-Debreu. De ncón (Arrow-Debreu): Un equlbro Arrow-Debreu con mercados contngentes es una asgnacón de contratos de consumo contngentes para cada ndvduo, x = fc 0;fc (s)g S s=1g I =1 ; un vector de precos fp 0;fp(s)g S s=1g tal que: 1. Elndvduo elge x de soluconar: max x u (c 0 ) + E 0 u (c(s)) s:a: X S p(s) c (s)! (s) 0 s=0 c 0 ; c (s) 0; 8s

7 9.3. ESTRUCTURA ARROW-DEBREU Los mercados contngentes se vacan, X c 0 X! 0; X c (s) X! (s); 8s Un equlbro Arrow-Debreu con mercados contngentes es un equlbro compettvo donde los ndvduos actúan de forma preco-aceptante, es decr cada agente puede comprar y vender cualquer cantdad en losmercadoscontngentes sn afectar el preco. S las preferencas de los agentes son monótonas entonces todos los precos son postvos de forma que no exsten en equlbro contratos gratutos. La ausenca de contratos gratutos que permtan transferr rqueza entre estados deforma lmtada elmna la posbldad de realzar arbtraje por parte de los agentes. Propedades del Equlbro Las asgnacones resultantes del equlbro A-D satsfacen los teoremas del benestar. La e cenca de la asgnacón de equlbro mplca una asgnacón e cente del resgo. Proposcón: S los mercados contngentes son completos (s = 0;1;:::;S) y los ndvduos tenen probabldades objetvas, es decr F (s) = F j (s); para 8 6= j:, entonces la asgnacón e cente mplca dvers cacón perfecta del resgo, por lo tanto los ndvduos pueden asegurarse perfectamente respecto a la ncertdumbre dosncrátca y consumr lo msmo en cada estado de la naturaleza: El problema del consumdor es: max x u(c 0) + X S SX ¼ s u(c(s)) s=1 s:a: p(s) c (s)! (s) 0 s=0 Las condcones de prmer orden de este problema Arreglando térmnos obtenemos: y, [c 0] u 0 (c 0) p 0 = 0 [c (s)] ¼ s u 0 (c(s)) p(s) = 0 [c (s 0 )] ¼ s 0u 0 (c(s 0 )) p(s 0 ) = 0 ¼ s u 0 (c (s)) ¼ s 0u 0 (c (s 0 )) = p(s) p(s 0 ) u 0 (c 0) ¼ s u 0 (c (s)) = p 0 p(s) Como todos los ndvduos pagan los msmo precos, entonces para 6= j; debe cumplrse: u 0 (c (s)) u 0 (c (s 0 )) = u0 (c j (s)) u 0 (c j (s 0 ))

8 94 CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE S las probabldades de cada ndvduo son las msmas, y no exste ncertdumbre agregada los ndvduos pueden asegurarse perfectamente frente al resgo dosncrátco, por lo tanto el consumo de cada ndvduo será el msmo en cada estado de la naturaleza: c (s) = c; 8s Para demostrar que en equlbro los consumos son constantes en cada estado de la naturaleza procedemos a analzar el sguente ejemplo Ejemplo 1: Probabldades Objetvas Consderamos una senclla economía de ntercambo con dos ndvduos I = 2; dos perodos t = 0;1; y dos estados de la naturaleza, S = 2; donde ¼ denota la probabldad objetva de ocurrenca del estado 1 y 1 ¼ es la probabldad del ocurrenca del estado 2. Suponemos que todos los ndvduos en la economía tenen la msma dstrbucón de probabldades. S la funcón de utldad es u( ) = lnc (s); utlzando las condcones de prmer orden podemos demostrar que bajo certas crcunstancas el consumo contngente es constante en cada estado de la naturaleza, de forma que los contratos que rman los ndvduos permten dvers car resgo de forma perfecta. ¼c 1 (2) (1 ¼)c 1 (1) = p(s) p(s 0 ) = ¼c 2 (2) (1 ¼)c 2 (1) A partr de las condcones de factbldad en los mercados contngentes podemos de nr las sguentes funcones de consumo: c 2 (s) = W s c 1 (s); 8s Susttuyendo esta expresón en las condcones de prmer orden obtenemos: Aslando térmnos obtenemos: c 1 (2) c 1 (1) = W 2 c 1 (2) W 1 c 1 (1) c 1 (2) c 1 (1) = W 2 W 1 S no exste ncertdumbre agregada, W s = W s 0 = W para 8s: Entonces el consumo del ndvvduo es constante en cada estado de la naturaleza. Esto tambén se cumple para funcones de utldad más generales. S exste ncertdumbre agregada, el consumo contngente óptmo entre estados es proporconal alrato derecursos entre estados. Esmportantedestacar, como demostraremos a contnuacón, que la cantdad nal de consumo depende de la dstrbucón de la renta entre estados así como de la dstrbucón de probabldades. Los ndvduos más rcos son aquellos que tenen una mayor dotacón de recursos en aquellos estados que son más probables. Suponemos que no exste ncertdumbre agregada, entonces para calcular los precos de los contratos contngentes p(s) es necesaro dervar las funcones de consumo contngente del ndvduo : bc 0 = 1 p 0! 0 + p(1)! (1) + p(2)! (2) 1 + p 0

9 9.3. ESTRUCTURA ARROW-DEBREU 95 bc (1) = ¼ p 0! 0 + p(1)! (1) + p(2)! (2) 1 + p(1) bc (1 ¼) p 0! 0 + p(1)! (1) + p(2)! (2) (2) = 1 + p(2) Nótese que las funcones logarítmcas o de tpo Cobb-Douglas asgnan fraccones jas de renta a cada ben. Como tenemos tres mercados, para hallar los precosrelatvos basta con tener dosmercadosen equlbro. Snormalzamosel preco del consumo en el prmer perodo a p 0 = 1; es drecto calcular los precos relatvos para los mercados contngentes, para ello basta con encontrar el vector de precos que vaca los mercados de contratos contngentes: " # X bc (s)! (s) 0; 8s que están dados por: p(1) = ¼ p(2) = (1 ¼) Por lo tanto el rato de precos contngentes, es p(1) p(2) = ¼ (1 ¼) Los precos relatvos en cada estado de la naturaleza es gual al rato de probabldades subjetvas. S susttumos los precos relatvos en las funcones de consumo contngentes, podemos comprobar que exste dvers cacón perfecta del resgo, es decr que cada consumdor consumrá lo msmo en cada estado de la naturaleza. c 0 = 1! ¼! (1) + (1 ¼)! (2) c (1) = c (2) =! ¼! (1) + (1 ¼)! (2)! ¼! (1) + (1 ¼)! (2) A contnuacón se analza un sencllo ejemplo que presupone la exstenca de ncertdumbre agregada. Una economía tene ncertdumbre agregada cuando la dotacón de recursos varía de un estado a otro, por lo tanto no exsten contratos que permten a los ndvduos asegurarse frente a este tpo de ncontngencas, es decr en unos determnados estados de la naturaleza hay más recursos que en otros estados. S la dotacon de recursos es,! 1 = (1; 0);! 2 = (1; 1); esto sgn ca que en el estado 1, hay más recursos que en el estado 2, por lo tanto cualquera que sea el tpo de contrato que rmen los ndvduos debe cumplrse que en equlbro: c 1 (1) + c 2 (1) 2 c 1 (2) + c 2 (2) 1

10 96 CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE por lo tanto en el estado 1 el consumo agregado es mayor. S suponemos que la dstrbucón de probabldadessubjetvas es la msma para todos los ndvduos, entonces podemos utlzar la formula del apartado anteror para dertermnar los precos relatvos: p(1) p(2) = 1 ¼ 2 1 ¼ es decr, p(1) p(2) < ¼ 1 ¼ p(1) < p(2): El preco del consumo contngente es mayor en el estado en el cual el consumo es escaso. Esto sgn ca que el preco del actvo es mayor cuando está negatvamente correlaconado con el rendmento de mercado. En este caso negatvamente correlaconado con la dotacón de recursos del segundo perodo. Esto mplca que comprar consumo en el segundo estado de la naturaleza es más caro. Los consumos de cada ndvduo en los estados de la naturaleza son: ; por lo tanto p(1) ¼ c 1 (1) = ¼ p(1) = ¼ p(2) p(1) c 1 (2) = (1 ¼) = ¼ p(2) 2 c 2 (1) = 2 ¼ c 2 (2) = 2 ¼ < p(2) 1 ¼ : S ¼ = 1=2; esto sgn ca que El ndvduo 1, no puede asegurarse perfectamente y consume más en el estado donde hay una mayor dotacón de benes. El ndvduo 2 tene la msma cantdad de recursos, por lo tanto asegurando al otro ndvduo podrá consumr más que su dotacón de recursos con certdumbre Ejemplo 2: Probabldades Subjetvas Supongamos que la ncertdumbre es dosncrátca pero la dstrbucón de probabldades es subjetva para cada ndvduo. Obtenemos las msmas condcones de prmer orden que en el caso anteror corregda por las probabldades subjetvas: ¼ u 0 (c (1)) (1 ¼ )u 0 (c (2)) = p(1) p(2) Como todos los ndvduos pagan los msmo precos, entonces para 6= j; debe cumplrse: ¼ u 0 (c (1)) (1 ¼ )u 0 (c (2)) = ¼ j u 0 (c j (1)) (1 ¼ j )u 0 (c j (2)) Esto mplca que los ndvduos no van a asegurarse perfectamente, pues no asgnan la msma probabldad a cada estado de la naturaleza. Por ejemplo s ¼ < ¼ j ; el ndvduo asgna más peso al estado 2 que al estado 1; por lo tanto el consumo de equlbro es mayor en el estado que consderan más favorable. S la funcón de utldad es u( ) = ln c(s); los precos de equlbro obtendos utlzando las funcones de demanda del caso anteror son: p(1) p(2) = ¼ 1! 1 (1) + ¼ 2! 2 (1) (1 ¼ 1 )! 1 (1) + (1 ¼ 2 )! 2 (1)

11 9.4. ESTRUCTURA SECUENCIAL DE MERCADO 97 S la dstrbucón ncal de rqueza es! 1 = (0; 1);! 2 = (1;0); entonces los precos de equlbro están dados por la sguente expresón: p(1) p(2) = ¼ 2 (1 ¼ 1 ) En este caso la no concdenca en la percepcón de los estados de la naturaleza mpde que los ndvduos se aseguren totalmente respecto a la exstenca de ncertdumbre dosncrátca. 9.4 Estructura Secuencal de Mercado La estructura A-D es poco realsta, pues mpone que todos los mercados están abertos en t = 0: Normalmente los mercados no tenen esta estructura sno que abren y cerran de forma secuencal, ello permteque en cada momento del tempo no se tenga que transferr recursos entre todos los nodos del árbol de ncertdumbre, tan sólo entre alguno de ellos. A contnuacón analzaremos la determnacón de precos de equlbro en economías de ntercambo con estructuras de mercado secuencales. Esta formulacón secuencal fue propuesta por Radner. Como observaremos las asgnacones del modelo A-D con una estructura completa de contratos contngentes tambén son alcanzables medanteuna estructura completa de bonos contngentes. De ncón (bono contngente): Un bono contngente es unactvo nancero que permte trnasferr una undad del ben de consumo en el estado s, y su preco de ntercambo en cada momento del tempo es q t (s), se mde en undades de cuenta del ben numeraro del estado s: Al gual que en la seccón anteror consderamos una economía senclla con dos perodos donde los ndvduos consumen en ambos perodos. En el perodo ncal no hay ncertdumbre, mentras que en el segundo sí. La exstenca de una estructura secuencal de mercados contngentes se plasma en la sguente de ncón de equlbro. De ncón (Equlbro Secuencal): Un equlbro secuencal con ncertdumbre es una asgnacón para cada ndvduo, x = fc 0 ; fc (s);b (s)g S s=1 gi =1 ; un vector de precos fq(s)g S s=1 tal que: 1. El ndvduo elge x de soluconar: max x u (c 0 ) + E 0 u (c(s)) s:a: c 0 + X s q(s)b (s) =! 0 c (s) =! (s) + b (s); c 0; c (s) 0 8s 2. Los mercados contngentes se vacan, X c 0 X! 0 ; X c (s) X! (s); 8s

12 98 CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE X b (s) = 0; s 8s Algunas de estas ecuacones merecen una mencón especal. La prmera restrccón presupuestara ndca que la compra de bonos contngentes conjuntamente con la renta del prmer perodo deben gualar a la dotacón ncal de recursosde cada ndvduo. Es mportante destacar queno hay nnguna restrccón en el sgno de b (s); de forma que los ndvduos puede vender de forma lmtada en corto b (s) < 0 al preco de mercado q(s): La únca restrccón a la venta es que gasto en bonos contngentes nunca debe superar a los ngresos. En la restrccón presupuestara del perodo 1, hemos normalzado el preco del ben de consumo contngente, de forma que todo está meddo en undades de dcho ben. Veamos un sencllo ejemplo, supongamosque sólo hay dos estados de la naturaleza, s = 2 y las probabldades son subjetvas. El problema del consumdor de tpo es: max u(c 0) + ¼u(c (1)) + (1 ¼)u(c (2)) ffc 0 ;c (s);b (s)gg s:a: c 0 + q(1)b (1) + q(1)b (1) =! 0 c (1) =! (1) + b (1); s = 1 c (2) =! (2) + b (2); s = 2 Las condcones de prmer orden de este problema [c 0] u 0 (c 0) p 0 = 0 [c (1)] ¼u 0 (c (1)) p(1) = 0 [c (2)] (1 ¼)u 0 (c (2)) p(2) = 0 [b (1)] q(1) + ¹ = 0 [b (1)] q(2) + ¹ = 0 Reordenando térmnos obtenemos que la relacón margnal de susttucón en cada estado de la naturaleza es gual al rato de probabldades: u 0 (c (1)) (1 ¼) = u 0 (c (2)) ¼ tambén obtenemos dos ecuacones ntertemporales, u 0 (c 0) = ¼ q(1) u0 (c (1)) u 0 (c 0 (1 ¼) ) = u 0 (c (2)) q(2) Para dos ndvduos dstntos, 6= j; obtenemos al gual que con la estructura de mercados completos, u 0 (c (1)) u 0 (c (2)) = u0 (c j (1)) u 0 (c j (2))

13 9.4. ESTRUCTURA SECUENCIAL DE MERCADO 99 S no exste ncertdumbre agregada, entonces en equlbro obtenemos las msmas asgnacones que en la seccón anteror, es decr: c (1) = c (2) c j (1) = c j (2) Losprecosrelatvos de losactvosson equvalentes a losobtendos con la anteror formulacon: q(1) = ¼ q(2) = (1 ¼) y el rato de precos relatvos sgue sendo el rato de probabldades. En algunos casos puede ser nteresante obvar el consumo del perodo ncal, bajo este supuesto el problema del consumdor puede reescrbrse de la sguente forma: maxe 0 u (c(s)) s:a: X q(s)b (s) = 0 c (s) =! (s) + b (s); s c 0 ;c (s) 0 S la funcón de utldad es u(c (s)) = lnc (s); las condcones de prmer orden del problema del consumdor mplcan: 8s [c (1)] ¼=c (1) p(1) (1) = 0 [c (2)] (1 ¼)=c (2) p(2) (2) = 0 [b (1)] q(1)¹ + (1) = 0 [b (1)] q(2)¹ + (1) = 0 Combnando ambas expresones obtenemos: ¼c (2) (1 ¼)c (1) = q(1) q(2) Calculemos la demanda de bonos contngentes para cada estado de la naturaleza: b (1) = q(2) q(1) b (2) susttuyendo en la restrccón presupuestara del consumo contngente en el estado 1 se obtene la sguente expresón: c (1) =! (1) q(2) q(1) b (2): Susttuyendo en la condcón de prmer orden: q(2) q(1) ¼! (2) + b (2) = (1 ¼)! (1) q(2) q(1) b (2)

14 100 CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE Smpl cando obtenemos: bb (1) = ¼ q(2) q(1)! (2) (1 ¼)! (1) b b (2) = (1 ¼) q(1) q(2)! (1) ¼! (2) Para obtener el preco de equlbro es necesaro acudr al mercado de bonos contngentes para cada estado: b b 1 (1) + b b 2 (1) = 0 Susttuyendo las demandas de bonos en el mercado podemos dervar los precos de equlbro: ¼ q(2) q(1)!1 (2) (1 ¼)! 1 (1) + ¼ q(2) q(1)!2 (2) (1 ¼)! 2 (1) = 0 Los precos de equlbro son: q(1) q(2) = ¼ W 2 1 ¼ W 1 S no exste ncertdumbre agregada, las demandas de bonos contngentes del nvduo venen dadas por las sguentes expresones: b b (1) = (1 ¼)! (1) +! (2) b b (2) = ¼! (1) +! (2) Susttuyendo las demandas de actvos en las restrccón presupuestara se obtene la demanda de consumo para cada estado de la naturaleza: c (1) = ¼! (1) + (1 ¼)! (2) c (2) = ¼! (1) + (1 ¼)! (2) 9.5 Mercados de Actvos Un contrato o bono contngente es una promesa de pago de una determnada cantdad de renta en cada contngenca o estado de la naturaleza, utlzandose a modo de seguro para cubrrse de resgo como ncendos, robos, enfermedades etc... Este tpo de resgo puede consderarsefísco y está más allá del control de los ndvduos. En el mundo, los contratos de seguros son uno de los contratos nanceros más mportantes que se utlzan para asegurarse frente a dversas contngencas. En los modelos analzados en las seccones anterores, este tpo de contratos eran el únco tpo de contrato nancero que se ntercamba en el mercado. A pesar de ello, la exstenca de problemas de resgo moral, seleccón adversa así como la exstenca de raconaldad lmtada por parte de los agentes para de nr todas las contngencas posbles lmtan el conjunto de contratos de seguros que los ndvduos pueden rmar. Exste una mayor clase de resgo que afecta a los ndvduos o empresas que depende de forma mportante de

15 9.5. MERCADOS DE ACTIVOS 101 las accones tomadas por dstntos agentes económcos y que no están cubertas por seguros contngentes en cada estado de la naturaleza. Este tpo de resgos se cubren con otro tpo de contratos nanceros, que ncluyen báscamente las accones. En la formulacón Arrow-Debreu los ndvduos utlzan consumo contngente para transferr rqueza en los estados de la naturaleza, este tpo de ben es una construccón teórca que tene contrapartda real, materalzada en actvos o títulos nanceros que permte transferr rqueza entre estados de la naturaleza. En esta seccón extenderemos la formulacón de equlbro de Radner en un contexto con actvos o títulos valor. Para ello consderamos economías de dos perodos, t = 0; 1: En t = 1 se revela toda la nformacón sobre los estados de la naturaleza y t = 0 es un perodo certo. De ncón (actvo o título): Un actvo es un derecho a recbr benes físcos o monetaros en t = 1; en una cantdad que depende de los estados de la naturaleza, meddos en undades del ben numeraro en t = 0: El pago de un actvo se conoce como rendmento, s el pago es en benes físcos se denomnan actvos reales, mentras que s se paga en cantdades monetaras (o del ben numeraro) es un actvo nancero. Losactvosestán caracterzados por un vector de rendmentos, s suponemos que exste un número nto de estados de la naturaleza, S; entonces: r = [r 1 ; :: :; r s ; ::: ;r S ] 2 R S son los pagos de un actvo en cada estado de la naturaleza. Veamos a contnuacón ejemplos de una sere de actvos. ² Actvos Certos Este tpo de actvos promete una undad del ben 1 (numeraro) con ndependenca del estado de la naturaleza. ² Títulos de Arrow r = [1; 1; :: :; 1] Este tpo de actvos paga una undad de consumo del ben numeraro s sólo s ocurre un determnado estado de la naturaleza s: ² Otro tpo de Actvos r = [0;: :: ;0;1; 0; :: :; 0] Veamos otro tpo de actvos que no tenen una denomnacón especí ca. Por ejemplo un actvo que paga una undad ncondconal de ben numeraro en cada estado de la naturaleza, y dos más en los estados mpares, r = [3; 1; 3;1;: :: ;3;1] alternatvamente podríamos tener un actvo que paga en cada perodo lo msma cantdad que la denomnacón del estado, es decr en el estado 1 paga una undad, en el 2 dos undades, y así sucesvamente. r = [1; 2;3;4;: :: ;S]

16 102 CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE ² Opcones Una opcón es un claro ejemplo de los actvos llamadosdervados nanceros. Son actvosquesu rendmento dependedeldeotrosactvosllamados actvos prmaros. La ventaja de las opcones es que se ejecutan una vez ha sdo revelado el estado de la naturaleza, pero antes del pago del rendmento. Ello permte comprar una undad del actvo prmaro a un coste c (meddo en undades del ben numeraro), que se denomna coste de ejercco. El rendmento de una determnada opcón r(c) vene dado por: r(c) = fmax(0; r 1 c);: :: ;max(0; r s c)g La opcón será ejecutada smpre que r s > c (gnoramos el caso en que r s = c): Veamos un ejemplo sobre como crear opcones sobre un determnado actvo prmaro, s suponemos que S = 4: Actvo prmaro: r = (4;3; 2; 1) Opcones: r(3; 5) = (0:5;0; 0; 0) r(2; 5) = (1:5;0:5;0;0) r(1; 5) = (2:5;1:5;0:5;0) Supongamos que exste una estructura deactvosque pueden ntercambarse en t = 0; cada actvo de k se caracterza por un vector de rendmentos r k : El número total de actvos es K: Suponemos que no exsten dotacones ncales de actvos y queéstos se pueden vender en corto. No analzamoselorgen de cada tpo de actvos, tomamos como dad que exste un determnado tpo de actvos y analzamos las consecuencas. Denotamos q = (q 1 ;: :: q k ) al vector de precos y a z = (z1;: ::; zk ) la cartera de actvos de un determnado ndvduo : Este analss se basa en los msmos supuestos estlzados analzados en las seccones anterores. Los mercados de actvos nanceros son compettvos, de forma que los agentes pueden comprar y vender al preco de mercado sn nngún tpo de restrcconessn afectar el preco. Además suponemos quecada contrato es perfectamente dvsble y no exsten costes de transaccón en la compra y en la venta deactvos. Los contratos son perfectamente ver cables de forma que los ndvduos no tenen ncentvos a renegocar sus contratos. Estas crcuntancas pueden renterpretarse como el caso en el que la pena legal por ncumplr un contrato es tan alta (por ejemplo la muerte) que nngún ndvduo tene nngún ncentvo a declarar fallda. A contnuacón se rede ne el concepto de equlbro de Radner en una estructura en la cual tenen cabda un mayor número de nstrumentos para transferr rqueza en el tempo. De ncón (Equlbro Secuencal de Radner): Unequlbro de Radner es una asgnacón de consumos para cada ndvduo fc 0;c (s)g; una cartera de actvos fz = (z1;: :: ;zk )g en t = 0; un vector de precos para los actvos fq = (q 1 ; :: :q k )g ntercambados en t = 0; y un vector de precos spot para cada estado p(s); tal que: 1. Los ndvduos soluconan: max u(c 0 ) + X ¼ u(c (s)) ffc 0 ;c (s);zk gg s

17 9.5. MERCADOS DE ACTIVOS 103 s:a: c 0 + X k q k z k =! 0 p(s)c (s) = p(s)! (s) + X k z kr k (s); 8s c 0 ; c (s) 0 2. Los mercados contngentes se vacan, X c 0 X! 0 ; X c (s) X! (s); 8s X zk 0 Podemos reescrbr la restrccón presupuestara delosagentesde forma compacta: p(s) c (s)! (s) X zk r k(s); 8s k la msma restrccón escrta de forma matrcal, permte obtener la denomnada matrz de pagos o de rendmentos: 2 p(1) c (1)! (1) r 1 (1) ::: r k (1) p(s) c (S)! (S) z = Rz r 1 (S) ::: r k (S) Podemos normalzar el preco del ben de consumo contngente en cada estado, y medr los actvos en undades de dcho ben. De ncón (Mercados completos): Una estructura de actvos es completa su el rango de la matrz de rendmentos R; es gual al número de estados de la naturaleza, rango(r) = S Con una estructura completa de actvos es posble transferr rqueza en cada uno de los estados de la naturaleza. Veamos los sguente ejemplos, supongamos que los estados de la naturaleza son s = 3; el ndvduo desea consumr c(s) = (2; 5; 1); y la probabldad de cada estado es la msma ¼ 1 = ¼ 2 = ¼ 3 : ² Títulos de Arrow La matrz de pagos de una cartera con títulos de Arrow es, R = S K para alcanza este nvel de consumo en ndvduo debe tener la sguente cartera: z A + z A + z A A

18 104 CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE esto mplca que z 1 = 2; z 2 = 5; y z 3 = 1: Es decr debemos comprar tantos títulos de Arrow de cada tpo como consumo deseemos en cada estado de la naturaleza. ² Actvos sn resgo Supongamos que combnamos dstntos tpos de actvos, entre ellos un actvo sn resgo. S la matrz de rendmentos es: 2 R = S K esta matrz tene determnante postvo, por lo tanto los mercados son completos. La cartera que permte alcanzar este nvel de consumo es: z A + z obtenemos un sstema de ecuacones, A + z z 1 = 2 z 1 + z 2 = 5 z 1 + z 2 + z 3 = 1 A esto mplca que z 1 = 2; z 2 = 3 y que z 3 = 4: Es decr el ndvduo ; compra del actvo 1 y 2, mentras que vende 4 undades del actvo 3. ² Actvo redundante Supongamos que exste un actvo redundante, de forma que K > S: S la matrz de rendmentos es, 2 R = Hay un actvo que puede crearse combnando lnealmente los otros, por lo tanto el rendmento de este actvo es una combnacón del rendmento de otros actvos, r 4 = 2r 1 + r 2 2r 3 : Debdo a la ausenca de arbtraje el preco de este actvo tambén será una combnacón lneal del preco de los otros actvos, q 4 = 2q 1 + 2q 3 : Con una estructura completa de actvos los agentes no tenen restrccones para transferr rqueza entre los estados de la naturaleza, excepto sus respectvas restrccones presupuestaras. Por lo tanto las decsones de cartera permten alcanzar en el segundo perodo los consumos de Arrow-Debreu, por lo tanto la asgnacón del resgo es e cente. De ncón (Mercados ncompletos): Los mercados son ncompletos cuando el número de combnacones lnealmente ndependentes de actvos es nferor a los estados de la naturaleza, es decr, rango(r) < S A

19 9.5. MERCADOS DE ACTIVOS 105 Supongamos el sguente ejemplo donde s = 3; y k = 2: La matrz de rendmentos es, R = Cuando la estructura de mercado no sea completa exsten dos formas de añadr actvos adconales. 1. Crear un actvo como combnacón lneal de los exstentes, 2 R = la estructura que se genera nunca es completa, rango(r) < S; y el preco del nuevo actvo se obtene por arbtraje como combnacón lneal del de los otros dos actvos, q 3 = 1 2 (q 1 + ): 2. La segunda opcón es expandr el espaco medante la utlzacón de opcones. Éstas completan los mercados y el preco de compra no se determna por arbtraje, pues el nuevo actvo es lnealmente ndependente de los otros, s no por el equlbro en los mercados. Supongamos que creamos una opcón sobre el actvo 1; con un coste c = 1; entonces el rendmento de la opcón esr(1) = (0; 1;2): La nueva matrz derendmentos expandda es, 2 er = el determnante de e R es 1; así que el rango de e R es 3: El prncpal problema de la ncomplettud de mercados es que lmta la capacdad de los ndvduos a transferr rqueza entre los dstntos estados de la naturaleza. Veámoslo utlzando el ejemplo anteror. Supongamos que deseamosconsumr c(s) = (2;5; 1); y que la matrz derendmentosde losdos actvos exstentes es, 2 R = veamos que con sólo dos actvos no podemos alcanzar este nvel de consumo: z 2 A + z 1 A 5 A obtenemos un sstema de ecuacones, z 1 + z 2 = 2 2z 1 + z 2 = 5 3z 1 + z 2 = 1 5 2

20 106 CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE el sstema está ndetermnado, falta un actvo para completar el sstema de ecuacones y permtr alcanzar esta combnacón de consumo. En cambo esta estructura de actvossque permte alcanzar la sguentecantdad de consumo, c(s) = (2;3; 4); el sstema de ecuacones asocado sería, z 1 + z 2 = 2 2z 1 + z 2 = 3 3z 1 + z 2 = 4 La solucón es z 1 = z 2 = 1; comprando un actvo de cada es posble alcanzar este nvel de consumo pero no el anteror. Ello muestra que las ncomplettudes de mercado mponen restrccones en la capacdad de los ndvduos para transferr rqueza en los dstntos estados de la naturaleza. Al gual que en la seccón anteror vamos a analzar un sencllo ejemplo obvando el consumo en el perodo ncal. Suponemos que sólo exten dos estados de la naturaleza y que el número de actvos nanceros que se ntercamban en la economía son 2: El problema de seleccón de cartera del consumdor esta dado por: max¼ lnc (s) + (1 ¼)lnc (s) s:a: q 1 b 1 + b 2 = 0 c (s) =! (s) + b 1r 1 (s) + b 2r 2 (s); c 0 ; c (s) 0 donde b j denota la cantdad de actvos del tpo j que posee el ndvduo ; r j (s) denota el rendmento del actvo nancero de tpo 1 en el estado s: Las condcones de prmer orden del problema del consumdor mplcan: 8s [c (1)] ¼=c (1) (1) = 0 [c (2)] (1 ¼)=c (2) (2) = 0 [b 1] q 1 ¹ + (1)r 1 (1) + (2)r 1 (2) = 0 [b 2 ] ¹ + (1)r 2 (1) + (2)r 2 (2) = 0 Combnando ambas expresones obtenemos: q 1 = (1)r 1(1) + (2)r 1 (2) (1)r 2 (1) + (2)r 2 (2) Susttuyendo los respectvos multplcadores de Lagrange obtenemos: q 1 = ¼ c (1) r 1(1) + 1 ¼ c (2) r 1(2) ¼ c (1) r 2(1) + 1 ¼ c (2) r 2(2) Arreglando térmnos obtenemos: h ¼c (2) r 1 (2) q1 (1 ¼)c (1) = r 2 (2) h q1 r 2 (2) r 1 (1) 8 Esta condcón se cumple para todos los ndvduos, por lo tanto:

21 9.5. MERCADOS DE ACTIVOS 107 c (2) c (1) = cj (2) c j (1) Susttuyendo la restrccón de factbldad obtenemos: c (1) c (2) =! 1! 2 Calculemos la demanda de bonos contngentes para cada estado de la naturaleza: S no exste ncertdumbre agregada: b (1) = q(2) q(1) b (2) c (1) = c (2) 8 Esta no mplca que todoslosndvduosconsuman la msma cantdad de recursos en cada estado de la naturaleza. S los mercados son completos las relacones margnales de susttucón se gualan entre nddvuos, obtenendose una dvers- cacón perfecta del resgo. Sabendo que el consumo es contante entre estados de la naturaleza podemos determnar el rato de precos relatvos: q 1 = ¼r 1(1) + (1 ¼)r 1 (2) ¼r 2 (1) + (1 ¼)r 2 (2) Podemos calcular la demanda de actvos combnando las condcones de prmer orden del problema del consumdor y la restrccones presupuestaras: h! (2) + b 1 r 1(2) + b 2 r 2(2)! (1) + b 1 r 1(1) + b 2 r 2(1) = 1 ¼ r 1 (2) q1 r 2 (2) h ¼ q1 r 2 (2) r 1 (1) susttuyendo b 2 = q1 b 1 en la anteror ecuacón obtenemos: h h! (2) +! (1) + r 1 (2) q1 r 2 (2) h r 1 (1) q 1 r 2 (1) b 1 b 1 = 1 ¼ ¼ r 1 (2) q1 r 2 (2) h q1 r 2 (2) r 1 (1) Para smpl car podemos rede nr las sguentes varables: h A = 1 ¼ r 1 (2) q1 r 2 (2) h ¼ q1 r 2 (2) r 1 (1) B = r 1 (2) q 1 r 2 (2) C = r 1 (1) q 1 r 2 (1) Por lo tanto la demanda de actvos de tpo 1 es gual a: b 1 =! (2) A! (1) C B

22 108 CAPÍTULO 9. SISTEMA FINANCIERO CON INCERTIDUMBRE El equlbro en el mercado de actvos de tpo 1 mplca: b b 2 1 = 0 Susttuyendo las funcones de demanda para cada ndvduo obtenemos:! 1 (2) A! 1 (1) C B +!2 (2) A! 2 (1) C B Dado que C B 6= 0; entonces debe cumplrse: = 0! 1 (2) A! 1 (1) +! 2 (2) A! 2 (1) = 0 Agrupando térmnos obtenemos: h A = 1 ¼ r 1 (2) q1 r 2 (2) h =!2 ¼ q1 r 2 (2) r 1 (1)! 1 Despejando los precos relatvos obtenemos: q 1 = ¼r 1(1) + (1 ¼)r 1 (2) ¼r 2 (1) + (1 ¼)r 2 (2) Por lo tanto los precos de equlbro se forman como una meda del rendmento de cada actvo en cada estado ponderada por la probabldades. S la estructura de actvos tan sólo ncluye títulos de Arrow, entonces los precos de equlbro concden con los obtendos en la seccóna anteror. Susttuyendo las demandas de actvos en las restrccón presupuestara se obtene la demanda de consumo para cada estado de la naturaleza.