Microeconomía Avanzada Notas Docentes Oligopolio

Transcripción

1 Mcroeconomía Avanzada Notas Docentes Olgopolo Ec. Andrés Pereyra Octubre 2002

2 1 PANORAMICA 1.1 Introduccón Estas notas pretenden brndar una guía al estudante que se nca en el estudo del tema. La lectura y análss de los prncpales textos es nsustuble. Además exsten en el campo de la mcroeconomía varos de ellos de excelente caldad (y la mayoría de los msmos se encuentran traducdos al español), por lo que estas notas no pretenden de nnguna manera ser susttuto de los msmos, sno que pretenden resaltar los aspectos prncpales del tema y recomendar la lteratura para abordar el estudo profundo del msmo. 1.2 Dstntos grados de competenca en el mercado: de la competenca al monopolo En lo que va del curso se han analzado dos estructuras de mercado: o La competenca perfecta, que era defnda por la exstenca de muchos competdores pequeños o El monopolo, dónde solo hay una empresa en el mercado En la realdad, la mayoría de los mercados se encuentran entre estos dos extremos, esto es, exsten varas empresas pero son lo sufcentemente grandes como para tener una parte sgnfcatva del mercado. Esta stuacón se defne como olgopolo. El olgopolo se encuentra a mtad de camno entre la competenca perfecta y el monopolo en lo que refere al grado de competenca que da en el mercado. Es usual enfocar el tema del olgopolo analzando su versón más senclla que es caso de la exstenca de dos empresas en el mercado, lo que se denomna duopolo. El análss del duopolo permte desentrañar una parte mportante de los aspectos relaconados al olgopolo, al tempo que sgnfca una smplfcacón más que consderable en el aspecto formal. El análss de la stuacón olgopólca con más de dos empresas se realza usualmente como extensón de los modelos más smples de duopolo. El olgopolo es una forma de organzacón de un mercado. El mercado está defndo por el producto que se transa en él. Los modelos que se analzan suponen en general que el ben es homogéneo, esto es, que los consumdores no dstnguen entre los benes que produce una frma de los que produce otra; específcamente no dstnguen n la caldad n otras característcas de dseño. Esta aclaracón es relevante en cuanto exsten modelos de estructuras de mercado olgopólcas que suponen dferencacón de productos como elemento central (por ejemplo, el modelo de competenca monopolístca). Ec. Andrés Pereyra 2/2 13/11/02

3 1.3 El olgopolo es analítcamente dstnto a la competenca y al monopolo. La dferenca analítca decsva del olgopolo es que las empresas se encuentran en una stuacón estratégca. Esto sgnfca que al tomar sus decsones de preco o produccón, las empresas deben tomar en cuenta la reaccón que podría tener sus rvales en el mercado. En los mercados compettvos o monopólcos no hay nteraccón estratégca. En el modelo de competenca perfecta se supone que las frmas son pequeñas respecto del mercado, por lo que suponen que sus decsones no afectan las decsones de las otras frmas n afectan los precos. Las empresas compettvas consderan al preco de mercado como dado. S decderan vender por encma de dcho preco no tendrían compradores. En cuanto a la decsón de la cantdad a producr, las empresas consderan que un cambo en la cantdad que producen no afecta al preco de mercado. Por lo tanto, las empresas no requeren más nformacón para tomar sus decsones de produccón que la contenda en el preco de mercado. A la empresa compettva no le mporta como reacconarán las otras empresas ante sus decsones. En el caso del monopolo es evdente que no hay nteraccón estratégca porque hay una sola empresa. Los modelos mcroeconómcos suponen la toma de decsones de certos agentes que se suponen raconales en un ambente que les mpone certas restrccones. La teoría mcroeconómca es en defntva una teoría de la toma de decsones. En éste sentdo podemos dferencar dos grandes famlas de modelos. Por una parte, los modelos en que la toma de decsones no nvolucra más que un agente. Es el caso de los modelos compettvos y el monopolo. Los modelos de olgopolo son una clase de modelos dstntos, en la medda que nvolucran la toma de decsones de más de un agente 1.4 Competenca o colusón. La prmera decsón estratégca que deben tomar dos empresas que operen en un mercado duopólco (o más generalmente las empresas que operen en un mercado olgopólco) es s colaborarán entre ellas, o s por el contraro competrán. S las empresas se ponen de acuerdo en el nvel de produccón o en el preco que cobrarán en el mercado se dce que exste colusón entre las msmas. S las frmas coluden, optarán por decdr la cantdad a producr conjuntamente en el mercado, como s fuesen una sola frma monopólca. Es ndstnto que fjen la cantdad a producr conjuntamente o el preco a cobrar (gual que el monopolsta). Analítcamente el problema es déntco al del monopolsta. Hay dos temas adconales a tomar en cuenta: - Una vez que las frmas elgen la cantdad a producr de forma conjunta, deben decdr cuanto produce cada una. Esta decsón dependerá de la funcón de costos de cada frma. - Los acuerdos de colusón son nestables. Una vez que exste el acuerdo, cada empresa tene el ncentvo a aumentar sus benefcos a través de volar los acuerdos de colusón. Ec. Andrés Pereyra 3/3 13/11/02

4 1.5 Competenca en preco o en cantdad. En el modelo compettvo el preco de mercado le vene dado a la empresa. La msma decde úncamente la cantdad a producr que maxmce sus benefcos. En el modelo de monopolo, la empresa decde o el preco que cobrará o la cantdad que producrá de forma de maxmzar sus benefcos. No decde las dos varables, elge una de las dos y la demanda le determna la otra. Pero no mporta cual de las dos varables elja preco o cantdad el resultado será el msmo. Dcho de otra forma, es exactamente lo msmo para el monopolsta elegr el preco o la cantdad. En los modelos de duopolo es necesaro defnr cual es la nterrelacón estratégca entre las frmas. Esto sgnfca saber la forma en que cada empresa toma en cuenta las decsones de la otra empresa para tomar las suyas propas. En este sentdo es necesaro defnr s las frmas compten por preco o cantdad y s las decsones son smultáneas o secuencales. En el caso de los modelos olgopólcos, es precso defnr cual es la varable de decsón de las empresas. Exsten modelos en que la varable de decsón es el preco y modelos que consderan que la varable de decsón es la cantdad producda. 1.6 Decsones smultáneas o secuencales En un modelo de duopolo con productos homogéneos hay cuatro varables de nterés: el preco que cobra y la cantdad que produce cada empresa. En los modelos de duopolo es necesaro defnr cual es la nterrelacón estratégca entre las frmas. Esto sgnfca saber la forma en que cada empresa toma en cuenta las decsones de la otra empresa para tomar las suyas propas. Los modelos smultáneos suponen que cada frma toma sus decsones ndependentemente de la otra, esto es, que no toma en cuenta las decsones de la otra frma para tomar sus decsones de cantdad o produccón. En los modelos secuencales, se supone que exste una frma que toma prmero sus decsones de cantdad y preco. Esta frma se dce que es líder, mentras que la segunda empresa, que espera a que la prmera tome su decsón, observa el resultado, y luego decde su accón, se le llama segudora. El tema clave de los modelos secuencales es que se supone que el líder toma en cuenta al tomar su decsón, como reacconará el segudor. Para ello se supone que el segudor actuará de forma raconal. Dcho de otra manera, el líder hace su prevsón acerca de cómo un segudor raconal actuará ante cada posble decsón suya. Con esta nformacón tomará la decsón que maxmce sus benefcos. Cabe aclarar que la nteraccón estratégca entre las empresas se denomna secuencal o smultánea en relacón a que una se desarrolla en dstntos momentos del tempo y la otra en gual momento del tempo. Sn embargo, aunque esta dferencacón efectvamente puede ocurrr, la dferenca real está Ec. Andrés Pereyra 4/4 13/11/02

5 en la cantdad de nformacón que cada empresa maneja a la hora de tomar sus decsones. Puede ocurrr, por ejemplo, que una frma tome sus decsones y las anunce antes de que la otra tome las suyas. S la segunda empresa no toma en cuenta esta nformacón, por más que la decsón se tome en un momento posteror, la nterrelacón estratégca es de carácter smultáneo. 1.7 Modelos cláscos de Duopolo: Bertrand, Cournot, Stackelberg. Competenca en preco Competenca en cantdad Decsones smultáneas Bertrand Cournot Decsones secuencales Lderazgo en preco Stackelberg Von Stackelberg (1934) desarrolló el modelo de competenca de dos empresas duopólcas que toman sus decsones secuencalmente. En este modelo, exste una frma líder que decde la cantdad a producr, y luego el segudor observa la cantdad producda por el líder y decde la cantdad que va a producr. Las dos frmas producen de acuerdo a sus planes y el preco se determna según la demanda del mercado. El modelo supone que el líder conoce la funcón de costos del segudor. En este sentdo no hay problemas de nformacón asmétrca relevantes (el segudor puede no conocer la funcón de costos del líder, pero esto no nfluye en la solucón del modelo). La solucón del modelo se basa en que el líder es capaz de prever con precsón la reaccón del segudor ante cada posble nvel de produccón que él decda. De esta forma, para cada nvel posble de produccón del líder, es posble para él saber cuanto va a producr el segudor (ya que conoce su funcón de costos y sabe que es raconal). En la medda que ambos conocen la funcón de demanda es posble saber para el nvel conjunto de produccón, cual será el preco de mercado. Debe notarse que la solucón del modelo depende de forma crucal en los supuestos nformaconales: el líder conoce la funcón de costos del segudor y tanto el líder como el segudor conocen la funcón de demanda. El modelo de lderazgo en la eleccón del preco ndca que s el líder fja el preco, el segudor consderará este preco como un dato. En la medda que el producto es homogéneo y no hay dscrmnacón, no puede haber dos precos dstntos. Posterormente el líder fja la cantdad y se determna por últmo la cantdad que produce el segudor. La solucón del modelo se basa en la dea de que el líder adelanta la reaccón del segudor (cantdad producda) para cada posble preco que él decda. De esta forma se determna una funcón de oferta del segudor (cantdad que producrá el segudor para cada preco posble). El líder decdrá su nvel de produccón tenendo en cuenta la funcón de demanda resdual (demanda de mercado menos oferta del segudor). El problema de decsón que enfrenta es el de un monopolsta. Debe notarse que la solucón del modelo depende, al gual que en el modelo de Stackelberg, de los fuertes supuestos acerca de la nformacón que maneja cada agente. En el modelo de Cournot la varable que elgen las empresas es la cantdad a producr. Se dferenca del modelo de Stackelberg en que la decsón es smultánea. Esto quere decr que no exste un líder y un segudor sno que las dos empresas decden la cantdad que producen sn saber (o sn consderar) la Ec. Andrés Pereyra 5/5 13/11/02

6 decsón de produccón de la otra frma. No obstante, las empresas consderan que su competdor actúa de forma raconal. Analítcamente la solucón es gual que la solucón de Stackelberg, con la salvedad que no exsten funcones de reaccón, sno que exsten funcones que ndcan la cantdad que cada frma espera que produzca la otra frma. Esto es, la forma de resolver el modelo es la msma (la funcón de reaccón en el modelo de Stackelberg es la msma funcón que la funcón de produccón esperada en el modelo de Cournot). En el modelo de Stackelberg, los agentes actúan raconalmente y se llega necesaramente al equlbro (ambas frmas toman decsones de produccón con las que están satsfechas, y ceters parbus, producrán sempre esa cantdad). En el modelo de Cournot, por el contraro, nada garantza que la cantdad que una frma prevé que producrá la otra frma se confrme en la realdad. La solucón del modelo ndca dos cantdades tales que s concden con las cantdades que efectvamente producen las frmas, éstas estarán satsfechas con su decsón (y ceters parbus) no tendrán nterés de cambar. En el modelo de Bertrand los duopolstas compten por preco. La solucón del modelo es la msma que la solucón compettva. Cada duopolsta sabe que s fja su preco levemente por debajo del preco de la otra frma se quedará con todo el mercado. La estratega adecuada es entonces, fjar el preco levemente por debajo del preco del otro duopolsta. Pero el otro duopolsa tendrá la msma estratega. El resultado es que ambos bajarán su preco para competr hasta que el preco sea gual costo margnal. De este modo la condcón de equlbro es la msma que en la stuacón compettva. Ec. Andrés Pereyra 6/6 13/11/02

7 2 INTRODUCCIÓN A LA TEORIA DE JUEGOS NO COOPERATIVOS ESTATICOS La teoría de juegos tene por objetvo analzar la toma de decsones de ndvduos puestos en stuacones de nterdependenca. Su prncpal característca es postular la raconaldad de los actores, sendo éstos concentes no solamente de sus propos objetvos sno tambén de los de los otros protagonstas. La teoría de juegos ha tendo una verdadera explosón en los últmos años tanto en el plano teórco como en las aplcacones. Es la base de numerosos desarrollos en economía, en mcroeconomía, macroeconomía, economía ndustral, teoría del comerco nternaconal y teoría de las organzacones. En el curso nos centraremos específcamente en la teoría de juegos no cooperatvos. En estos, los jugadores no pueden realzar acuerdos rrevocables entre ellos antes de comenzar la accón. Esta hpótess se justfca en múltples stuacones: de orden legal (prohbcón de comuncarse entre los jugadores), de orden físco (mposbldad de comuncarse) o de orden técnco (mposbldad de prever el futuro). Por lo tanto, la teoría de juegos no cooperatvos trata de caracterzar los resultados posbles de una nteraccón estratégca, suponendo que los jugadores abordan dcha nteraccón de forma raconal y suponendo que los msmos guardan su lbertad de nvolucrarse en compromsos con otros jugadores. 2.1 Representacón de los juegos Hay dos formas de formalzar un juego: la forma normal y la forma extensva. La forma extensva especfca el orden del juego, la nformacón y eleccones dsponbles a los jugadores cuando es su turno de jugar, las ganancas de cada jugador contngentes a la eleccón realzada por todos los jugadores. La forma extensva consttuye un árbol del juego. Juego 1 1 I D 2 2 I D I D (2,0) (2,-1) (1,0) 3,1) Ec. Andrés Pereyra 7/7 13/11/02

8 El dagrama anteror representa el juego en que en el momento de tempo 1 el jugador 1 (representado por un círculo) tene la opcón de jugar derecha o zquerda (sus estrategas posbles). En el momento 2 el jugador 2 tene la opcón de jugar derecha o zquerda según la estratega jugada por el jugador 1. Al fnal de árbol se muestran las ganancas de cada uno de los jugadores. En este juego el jugador 2 observa la estratega jugada por el jugador 1 antes de decdr su estratega. S el jugador 2 no observara la estratega jugada por 1, ya sea porque las estrategas se realzan smultáneamente o porque no tene la nformacón de la estratega jugada antes de decdr la suya, el juego se representaría como sgue: Juego 2 1 I D 2 2 I D I D (2,0) (2,-1) (1,0) 3,1) El óvalo que envuelve los dos nodos del jugador 2 ndcan que el jugador no sabe al momento de tomar su decsón en cual de ellos se encuentra realmente. En el prmer juego el jugador 2 tene dos sets nformaconales dstntos mentras que en el segundo juego tene un solo set nformaconal (envuelto en el óvalo). El prmero de los juegos es un juego dnámco mentras que el segundo es un juego estátco. El estudo de ambos tpos de juegos se realzará de forma separada en tanto los conceptos de equlbro manejados en cada caso son dstntos. Se supone que la estructura del árbol es conocmento común, esto es, que todos los jugadores lo conocen, saben que los otros jugadores lo conocen, saben que los otros jugadores saben que lo conoce, y así sucesvamente. La representacón en forma normal de un juego es una representacón resumda del juego en forma extensva. El juego en forma normal es una coleccón de las estrategas puras dsponbles para cada jugador en cada uno de sus conjuntos de nformacón (nformaton sets). En la forma normal del juego cada jugador elge de forma smultánea una estratega y la combnacón de estrategas elegda determna la gananca de cada jugador. Ec. Andrés Pereyra 8/8 13/11/02

9 Jugador 1 Jugador 2 Estratega 1 Estratega 2 Estratega A A,b c,d Estratega B E,f g,h Así la defncón del juego requere de la defncón de jugadores, estrategas y ganancas para cada combnacón de estrategas. Por convencón el jugador 1 es el jugador fla y el jugador 2 es el jugador columna; por otra parte las ganancas son un par de números dónde el prmero es la gananca del jugador 1 y la segunda la gananca del jugador 2 (a es la gananca del jugador 1 s este juega la estratega A y el jugador 2 juega la estratega 1, mentras que b es la gananca del jugador 2 en gual stuacón) Los juegos antes presentados en forma extensva se pueden expresar en forma normal Juego 1 Jugador 1 Jugador 2 I-I D-D I-D D-I I 2,0 2,-1 2,0 2,-1 D 1,0 3,1 3,1 1,0 Las estrategas del jugador 2 son jugar zquerda o derecha según el jugador 1 haya jugado zquerda o derecha. Juego 2 Jugador 1 Jugador 2 I D I 2,0 2,-1 D 1,0 3,1 S ben se analzará más en profunddad el tema, la forma normal es adecuada para analzar juegos estátcos y no lo es tanto para el análss de juegos dnámcos. Consderemos en adelante que salvo ndcacón en contraro que los juegos en forma normal representan juegos estátcos. Formalmente, un juego en forma normal es el resultado de ( N, X, u, N ), dónde N = 1,...,,... n} es el conjunto de jugadores y para cada jugador, X es el conjunto de estrategas dsponbles. La eleccón de cada jugador de una estratega determnará un resultado para el juego. u es la funcón de utldad o funcón de pagos que representa las preferencas del jugador sobre los resultados (en los juegos de nformacón completa esta funcón es ordnal, pero cuando se tratan juegos de nformacón ncompleta se requeren funcones de utldad del tpo propuesto por Von Neumman Morguensten que son funcones de utldad cardnal). Ec. Andrés Pereyra 9/9 13/11/02

10 Notacón: x una estratéga de x X X es el conjunto de estratégas de los es el conjunto de las estrategas es el conjunto de las estrategas x = ( x 1,... x ) es un resultado x = ( x, x n ) es un resultado posbles de X es el conjunto de los resultados posbles jugadores dferentes de posbles de los jugadores dferentes de Dos hpótess subyacen el resultado prevsto en un juego en forma normal Independenca estratégca. Los jugadores selecconan sus estrategas ndependentemente unos de otros. Se excluye por ejemplo toda forma de seleccón conjunta de un resultado. Esta hpótess es válda cuando se modelza stuacones dónde las estrategas son selecconadas smultáneamente o en secreto. Cabe aclarar que estas stuacones tambén pueden ser representadas con la forma extensva (juego 2 analzado anterormente). Informacón completa. Los jugadores conocen la forma normal del juego ( N, X, u, N ). Los jugadores tenen un conocmento de la stuacón a la que están confrontados; conocen a los otros jugadores, su conjunto de estrategas y su funcón de utldad. Esta hpótess permte construr una teoría de la nteraccón estratégca stuándose en el punto de vsta de los actores nvolucrados. 2.2 Tpos de juegos Se puede clasfcar a los juegos desde dstntos puntos de vsta Juegos fntos y juegos no fntos Un juego es fnto s todos los conjuntos de estrategas son fntos. (ejemplos: dlema del prsonero, batalla de los sexos, etc. que se verán más adelante). Por el contraro, en los juegos no fntos, al menos las estrategas posbles de un jugador son nfntas. (ejemplos son los modelos de olgopolo que motvan esta parte del curso). Juegos de nformacón completa (perfecta). Juegos de nformacón ncompleta (mperfecta). Juegos estátcos. Juegos dnámcos. Juegos de suma cero Ec. Andrés Pereyra 10/10 13/11/02

11 Los juegos de suma cero son aquellos dónde la gananca de un jugador es sempre gual a la pérdda de los demás jugadores. 2.3 Defncón de la raconaldad La hpótess fundamental de la teoría de juegos es que cada jugador busca maxmzar su nvel de utldad, ndependentemente de los otros y conocendo los datos del juego (N, X, etc.). Un problema mportante es que esta hpótess no es sufcente para defnr LA solucón del juego. Se tratará de defnr prmero una nocón descentralzada de raconaldad ndvdual. Se abordarán los conceptos de estrategas domnantes y domnadas y se defnrá un prmer concepto de equlbro que es el que se obtene por elmnacón sucesvas de estrategas estrctamente domnadas. Se verá que este concepto es nsufcente en muchos casos. Dado que los nveles de utldad de cada uno dependen de las estrategas de los otros y dado que cada jugador lo sabe, la nocón de raconaldad debe ser abordada smultáneamente por el conjunto de los jugadores. El concepto de equlbro que toma en cuenta dcha smultanedad en la defncón de las resultados es el equlbro de Nash. Domnanca estrcta Para un jugador dado, dos estrategas son comparables sn ambgüedad s una de ellas da una utldad estrctamente mayor que la otra, no mportando cuales sean las estrategas de los otros jugadores. En ese caso se dce que una domna estrctamente a la otra. Una estratega x domna estrctamente a una estratega x s u ( x, x ) > u ( x, x ) x X Una estratega del jugador es estrctamente domnante s domna estrctamente a todas las demás estrategas de ese jugador. Por otra parte, un estratega del jugador es estrctamente domnada s exste una estratega que la domna estrctamente. S un jugador posee una estratega estrctamente domnante, ésta es únca y todas las otras estrategas son estrctamente domnadas. Esta será sn dudas la estratega que jugará. No tene sentdo para él de prever cual será la estratega jugada por los demás jugadores, ya que su mejor eleccón es ndependente de éstas últmas. Este concepto es muy fuerte pero no permte comparar sempre dos alternatvas (no es completo). Esto quere decr que no sempre dos estrategas son comparables en cuanto a la domnanca estrcta (ej: batalla de los sexos). S en un juego todos los jugadores tenen una estratega estrctamente domnante, entonces esta es la solucón del msmo. Se dce que exste un equlbro en estrategas estrctamente domnantes. El problema es que pocos juegos se pueden resolver con este concepto de equlbro. Ec. Andrés Pereyra 11/11 13/11/02

12 Ejemplo: Dlema del prsonero. Este juego tene una únca solucón. Es un equlbro en estrategas estrctamente domnantes. Se supone dos prsoneros que cometeron un crmen mportante son nterrogados en celdas separadas. No se poseen pruebas contundentes para condenarlos por lo que se requere al menos la confesón de uno de ellos para hacerlo. La oferta a ambos presos es que s confesan tendrán menor pena que s no lo hacen. S confesa pero su compañero calla entonces saldrá lbre y su compañero cumplrá condena por 9 años. S confesa y su compañero tambén lo hace ambos cumplrán condena por 6 años. S calla y cu compañero calla ambos cumplrán condena por crímenes menores por un año, mentras que s calla y su compañero confesa rá 9 años a la cárcel. La forma normal del juego es como sgue: La estratega de confesar es domnante. Para cada preso, s confesa obtene mayor gananca no mporta s el otro confesa o calla. Por ejemplo, s 2 oculta, 1 sale lbre s confesa y va un año preso s oculta por lo que le convene confesar; s 2 confesa, 1 va 9 años presos s oculta y solamente 6 s confesa, por lo que tambén le convene confesar. Para toda estratega seguda por 2, a 1 le convene confesar, esto sgnfca que es una estratega estrctamente domnante. Idéntco razonamento cabe para el caso de 2, por lo que confesar, confesar es un equlbro en estrategas estrctamente domnantes Juego del dlema del prsonero Preso 2 Ocultar Confesar Preso 1 Ocultar -1,-1-9,0 Confesar 0,-9-6,-6 Elmnacón sucesva de estrategas estrctamente domnantes. El concepto anteror se puede amplar con un concepto un poco más operaconal. Algunos juegos se pueden resolver consderando las relacones de domnanca de todos los jugadores. El proceso consste en consderar que todos los jugadores conocen las estrategas estrctamente domnantes de todos los jugadores. Cada jugador puede entonces elmnarlas mentalmente suponendo que nunca serán jugadas, ya que todos los jugadores saben que los demás jugadores son raconales y los jugadores raconales no juegan estrategas estrctamente domnadas. De esa forma se pueden elmnar en la forma normal del juego todas las alternatvas estrctamente domnadas de forma sucesva. S este proceso lleva a obtener un resultado únco, todos los jugadores pueden predecr de forma segura cual será el comportamento de los otros. El resultado obtendo se denomna equlbro por elmnacón sucesva de estrategas estrctamente domnadas. Ec. Andrés Pereyra 12/12 13/11/02

13 Ejemplo: H M B G 3,1 4,3 3,2 C 8,0 2,2 3,1 D 2,6 3,0 ElmnoC H M 4,1 B G 3,1 4,3 3,2 D 2,6 Elmno H 3,0 M 4,1 B G 4,3 3,2 D 3,0 4,1 G G Elmno D M B Elmno B 4,3 M 3,2 4,3 Este proceso se magna como un proceso mental que cada jugador realza antes de jugar. De todas maneras, el resultado no se ve afectado en el caso de un proceso secuencal, s cada jugador elmna las alternatvas domnadas cuando es su turno de jugar. Domnanca en sentdo débl Una estratega x domna en sentdo débl a una estratega x s u( x, x ) u( x, x ) x X Además, se dce que la domna s al menos en un caso se cumple la desgualdad estrctamente. S una estratega domna estrctamente a otra, tambén la domna. S una estratega domna a otra tambén la domna en sentdo débl. Una estratega del jugador es domnante en sentdo débl s domna en sentdo débl a todas las demás estrategas de ese jugador. Por otra parte, un estratega del jugador está déblmente domnada s exste una estratega que la domna en sentdo débl. S una estratega domnante exste, entonces es únca. Esta solucón será en algunos casos adecuada como solucón del juego. Por el contraro, la solucón encontrada por domnanca débl tendrá en general mportantes problemas. De cualquer manera el concepto váldo para encontrar solucones será el de domnanca estrcta. Equlbro de Nash Se consdera un juego en forma normal. Se supone que antes de jugar, los jugadores se encuentran y tratan de armonzar sus estrategas. Se supone además que en caso de que se alcance un acuerdo, su volacón por parte de un jugador no lleva a nnguna penaldad. En tales condcones, los jugadores deben buscar un resultado que respete certa establdad nterna, en el sentdo de que nnguno de entre ellos pueda, cambando unlateralmente su estratega, aumentar su nvel de utldad. Esto nos conduce a la defncón de equlbro de Nash. Ec. Andrés Pereyra 13/13 13/11/02

14 Un resultado de un juego x * de un juego ( N, X, u, N) es un equlbro de Nash (en estrategas puras) s * * u ( x ) > u ( x, x ), N, x X Una estratega del jugador está estrctamente domnante s domna estrctamente a todas las demás estrategas de ese jugador. Por otra parte, un estratega del jugador está estrctamente domnada s exste una estratega que la domna estrctamente. Un juego en estrategas puras puede admtr un equlbro, varos o nnguno. Ejemplo: Dlema del prsonero tene un solo equlbro de Nash. En el cuadro del juego en forma normal subraye la mejor respuesta de cada jugador a la posble estratega del otro. Las celdas en que estén subrayadas las respuestas de ambos jugadores estamos en presenca de un equlbro de Nash. Ejemplo: Batalla de los sexos. Este juego tene dos equlbros de Nash en estrategas puras 1. El crtero no es concluyente para resolver el juego. Una pareja debe decdr que hacer el vernes en la noche. El prefere box y ella ópera, pero cualquera de los dos prefere salr con su pareja que salr solo, aunque claro, prefere ver con su pareja su espectáculo preferdo. El tema es que cada uno debe sacar la entrada sn consultar con su pareja. Juego: Batalla de los Sexos Ella Box Opera El Box 2,1 0,0 Opera 0,0 1,2 Box-Box y Opera-Opera consttuyen dos equlbros de Nash en estrategas puras. No son equlbros en estrategas domnantes pues el equlbro depende de la estratega jugada por el otro. Son equlbros en tanto una vez alcanzado este resultado nnguno de los dos tene nterés en desvarse. Ejemplo: pedra, tjera, papel. Este juego no admte nnguna solucón en estrategas puras. Para poder obtener una solucón se deben ntroducr estrategas mxtas. Juego nfantl en que la tjera corta el papel, el papel envuelve la pedra y la pedra desafla la tjera. Juego: Pedra Tjera - Papel Jugador 2 Pedra Tjera Papel Jugador 1 Pedra 0,0 1,-1-1,1 Tjera -1,1 0,0 1,-1 Papel 1,-1-1,1 0,0 1 Poco más adelante se ntroduce el concepto de estrategas mxtas. Ec. Andrés Pereyra 14/14 13/11/02

15 El juego no tene un equlbro de Nash en estrategas puras. Este ejemplo motva el uso de estrategas mxtas para encontrar una solucón. Relacón entre los conceptos de equlbro (de Nash) y otros antes manejados: 1. Una estratega de equlbro (de Nash) nunca está estrctamente domnada. S una estratega de un jugador está estrctamente domnada por otro otra estratega, el jugador tene nterés de desvarse y utlzar esta segunda. Por el contraro, una estratega de equlbro (de Nash) no es necesaramente domnante, pero s una estratega déblmente domnante. Esto quere decr que la estratega jugada en el equlbro es al menos tan buena como otra jugada, dadas las estrategas jugadas por los demás jugadores en el equlbro consderado, pero no necesaramente en relacón a todos los comportamentos posbles. 2. S un jugador tene una estratega estrctamente domnante, debe jugarla necesaramente en un equlbro de Nash. Esto quere decr que s cada uno de los jugadores tene una estratega estrctamente domnante, entonces el equlbro hallado por elmnacón de estrategas estrctamente domnadas concde con el equlbro de Nash. 3. S cada jugador tene una estratega domnante en sentdo débl y la utlza, se obtene un equlbro de Nash. Sn embargo, pueden exstr equlbros dónde algún jugador no utlce una estratega domnante, en caso de exstr una. 2.4 Optmaldad en el sentdo de Pareto. Un resultado x es domnado en el sentdo de Pareto s u ( y) > u ( x) N sendo la desgualdad estrcta para al menos un jugador. Un resultado es óptmo en el sentdo de Pareto s no es Pareto domnado por nngún otro resultado. El ejemplo del dlema del prsonero muestra que un equlbro de Nash puede ser domnado en el sentdo de Pareto. Dcho de otro modo, en el equlbro de Nash nade tene ncentvo para desvarse unlateralmente, pero todos pueden benefcarse de un desvío coordnado y smultáneo. S hay varos equlbros de Nash, el crtero de la domnanca en el sentdo de Pareto puede ser un crtero para decdr entre posbles equlbros. No obstante la stuacón usual en teoría de juegos es que nngún equlbro domna a otro en el sentdo de Pareto. El ejemplo de la batalla de los sexos lustra esta stuacón. Ec. Andrés Pereyra 15/15 13/11/02

16 2.5 Las correspondencas de mejor respuesta (técnco) La correspondenca de mejor respuesta ϕ ( x ϕ está defnda de { x X tq u ( x, x ) u ( x, x x X } ) = ), X X por: ϕ ( x ) es un subconjunto de estrategas de eventualmente vacío. Se pueden reunr las mejores respuestas de todos los jugadores defnendo la correspondenca ϕ de X X por: ϕ x ) = ϕ ( x ),..... ϕ ( x ) ϕ ( x ) { } ( 1 1 n n Por defncón, en el equlbro cada uno utlza una mejor respuesta. Mas precsamente x * es un equlbro de Nash solamente s satsface: * * * * u ( x ) u ( x, x ) x x ϕ( x ) Se obtene así una caracterzacón de los equlbros de Nash medante la correspondenca de las mejores respuestas: x ϕ( * ) * es un equlbro de Nash x * x 2.6 Exstenca del Equlbro de Nash (técnco) Las correspondencas de mejor respuesta juegan un rol mportante en la demostracón de la exstenca del equlbro (teorema de Nash). En térmnos matemátcos, los equlbros son puntos fjos de la correspondenca. Esta caracterzacón permte demostrar la exstenca del equlbro utlzando los teoremas de punto fjo de Brouwer (para las funcones) o Kakutan (para las correspondencas) 2.7 Estrategas mxtas Los juegos fntos no cumplen con las hpótess del teorema de Nash y por lo tanto no es posble probar la exstenca del equlbro. Más aún, hemos vsto ejemplos de juegos en que el equlbro no exstía en estrategas puras (juego de pedra, tjera y papel). En estos casos se recurre al concepto de estratega mxta. Una estratega mxta es una dstrbucón de probabldad que ndca la probabldad con que se juega cada estratega pura. S consderamos un juego fnto y consderamos las estrategas mxtas posbles, se cumplen las hpótess del teorema de Nash y se comprueba que exste necesaramente un equlbro de Nash. Ejemplo: la batalla de los sexos retomada. Se nterpreta una estratega mxta como la representacón de la ncertdumbre que cada jugador tene de lo que el otro jugador realzará. Ec. Andrés Pereyra 16/16 13/11/02

17 El tene una estratega mxta que es (q,1-q) dónde q es la probabldad que El le asgna a jugar box. Paralelamente (r,1-r) es la estratega mxta de Ella, dónde r es la probabldad que ella asgna a jugar box. Nótese que las estrategas puras se pueden representar como una estratega mxta dónde q o r toman los valores 1 o 0. S El juega la estratega mxta (q,1-q) el valor esperado por Ella es q. 2 + (1 q) * 0 = 2q al elegr Opera y q. 0 + (1 q).1 = 1 q al elegr Box. Así, s q>1/3 entonces la mejor respuesta es Opera y s es menor la mejor respuesta es Box. De forma smlar se muestra que s r>2/3 la mejor respuesta de El es Opera y s es menor entonces es Box. r 1 2/3 1/3 1 q Entonces a los dos equlbros exstentes en estrategas puras (que se pueden representar como q=1,r=1 y q=0 y r=0), se le agrega el equlbro (q=1/3, r=2/3) Las líneas nterores son las correspondencas de mejor respuesta. Las nterseccones muestran los equlbros de Nash en estrategas mxtas. 2.8 Tomar en cuenta el tempo y la nformacón Para analzar la stuacón de juegos en que los jugadores juegan en dstntos momentos del tempo la forma normal del juego no es en general lo más adecuado, sendo el nstrumento adecuado la representacón del juego en forma extensva. Ec. Andrés Pereyra 17/17 13/11/02

18 De cualquer manera se sabe que todo juego en forma extensva tene su representacón de forma normal, por lo que debe establecerse la relacón entre los equlbros de Nash que se obtenen en la forma normal y las solucones del juego en forma extensva. La dea es lo que se denomna propedad de la optmaldad condconal de esa forma normal. Un conjunto de estrategas defnen una trayectora. S esas estrategas consttuyen un equlbro de Nash, en nngún punto de la trayectora nngún jugador va a tener nterés de desvarse. De esta forma, el equlbro obtendo en la forma estátca (normal) del juego tene propedades dnámcas que lo hacen una solucón posble del juego en forma extensva. Sn embargo, la optmaldad condconal no mpone nnguna restrccón de raconaldad fuera de la trayectora. Toda estratega que conduce a esta trayectora es óptma ncluso s especfca estrategas rraconales fuera de esa trayectora. Por lo tanto puede querer obtenerse estrategas que sean raconales en todos los puntos del árbol. Estas estrategas exsten y se pueden obtener. Lo que en defntva queremos decr es que es posble establecer en los juegos en forma extensva condcones de raconaldad más fuertes que el equlbro de Nash en la forma normal asocada. Ejemplo: juego proveedor-comprador Juego proveedor-comprador (forma extensva) P P C C J A (1,3) (0,0) (3,1) ) El juego supone que el proveedor quere dscontnuar una línea de repuestos porque perde dnero pero tene compromsos contractuales con su clente, el que puede entablarle juco. Así, el proveedor P tene dos estrategas, contnuar la produccón C o pararla P. S la para, el comprador C puede entablar juco J o abandonar A. Juego proveedor-comprador (forma normal) Comprador Juco Abandonar Proveedor Contnuar 1,3 1,3 Parar 0,0 3,1 El juego tene dos equlbros de Nash, CJ y PA. Hay dos equlbros pero tenemos la posbldad de elegr uno de ellos. El equlbro contnuar-juco se basa en una amenaza no creíble, que es que el comprador entablará juco en caso de que el proveedor abandone la produccón (es no creíble porque Ec. Andrés Pereyra 18/18 13/11/02

19 no está en su nterés r a juco en caso de que el proveedor abandone). En este caso se utlza el contexto para elegr entre dos equlbros de Nash. Subjuegos Defnmos subjuego de un juego a todo árbol de juego obtendo a partr de consderar cualquer punto no termnal del árbol ncal como nuevo punto de orgen. Consderemos un equlbro de Nash (en estrategas puras para smplfcar) y un subjuego. Dstngamos dos casos: El punto ncal del subjuego pertenece a la trayectora de equlbro. En este caso las estrategas nducdas por el equlbro en el subjuego deben ser un equlbro del subjuego: una desvacón benefcosa en el subjuego lleva a una desvacón benefcosa en el juego global El punto ncal del subjuego no pertenece a la trayectora de equlbro. En este caso la restrccón de las estrategas en este subjuego pueden ser modfcadas de cualquer manera sn modfcar los pagos ya que las accones no serán nunca llevadas adelante. Así, nnguna restrccón de raconaldad es mpuesta fuera de la trayectora de equlbro. En resumen, un equlbro de Nash nduce a un equlbro de Nash en todos los Subjuegos. Equlbros (de Nash) perfectos El equlbro de Nash especfca accones que son mejores respuestas las unas a las otras solamente en la trayectora de equlbro. El equlbro de Nash perfecto (o equlbro perfecto) es un concepto de equlbro mas restrctvo: especfca las accones que verfcan esta propedad en todo el árbol del juego, ncluso fuera de la trayectora de equlbro. Esto permte elmnar todas las amenazas no creíbles. Se defne equlbro de Nash perfecto a un conjunto de estrategas que generan un equlbro de Nash en cada subjuego. Evdentemente el equlbro perfecto es un equlbro de Nash ya que el juego entero es un subjuego. Encontrar el equlbro perfecto El procedmento se denomna nduccón haca atrás. Consdero prmero los puntos (nodos) que conducen solamente a puntos termnales del juego. Los reemplazo por el resultado del subjuego que comenza en ellos. Esos nodos se converten ahora en puntos termnales para la segunda etapa del proceso de resolucón. Repto el proceso hasta obtener la solucón del juego. Este procedmento permte obtener un equlbro al menos y todo equlbro puede ser obtendo de esta manera. Debe aclararse que este procedmento defne un únco equlbro s un jugador nunca es ndferente entre dos fnes de juego. En este caso el procedmento es exactamente equvalente a la elmnacón sucesva de estrategas estrctamente domnantes, en el sentdo de que cada jugador es capaz de prever sn ambgüedad las accones elmnadas por los otros jugadores desde lo más próxmo al fn de la partda hasta el nudo de decsón presente. En caso de ndferenca sobre el fn de la partda este procedmento puede dar lugar a múltples equlbros. Ec. Andrés Pereyra 19/19 13/11/02

20 Juegos Repetdos La cuestón en este punto es analzar la posbldad de que los juegos se reptan y que los jugadores tomen en cuenta esta repetcón en la estratega que eljan jugar. La dreccón de la nvestgacón es la de determnar s la repetcón favorece la cooperacón entre los jugadores y por lo tanto, s es posble que la repetcón favorezca la obtencón de resultados Pareto óptmos. En general la respuesta es afrmatva pero depende fundamentalmente de s la repetcón es fnta o nfnta y s exste o no tasa de actualzacón. Los resultados en esta área se conocen como Teoremas Folk (Folk Theorems) por el hecho de que eran conocdos por todos antes de que nade se tomara el trabajo de demostrarlos. El prmer elemento a destacar es la multplcacón de equlbros en el caso de juegos repetdos. Aparecen otros equlbros además de la repetcón del equlbro del juego de una etapa. Exste una posbldad en los juegos repetdos que es que los juegadores cooperen en una prmera etapa basados en la amenaza de que en la segunda etapa puedan jugar estrategas puntvas. Esto tene un límte, y es que no se pueden admtr amenazas no creíbles en los juegos; el concepto de equlbro sgue sendo el de equlbros perfectos. Ec. Andrés Pereyra 20/20 13/11/02

21 3 LOS MODELOS CLÁSICOS DE OLIGOPOLIO El problema del monopolsta es notoramente mas complcado que el de las frmas compettvas o del monopolsta, debdo a que mantene con las demás frmas una relacón de nterdependenca estratégca. Estos problemas se resuelven utlzando la teoría de juegos no cooperatvos (un juego es no cooperatvo en la medda que los jugadores no pueden frmar acuerdos ya que no cuentan con mecansmos que los hagan cumplr; cabe recordar que los carteles están en general prohbdos). El concepto fundamental es el de equlbro de Nash. En la medda que los mecansmos externos están prohbdos, el acuerdo a que lleguen los jugadores, el acuerdo debe contener los mecansmos en s msmo para que se cumpla (self_enforcng agreement). Este concepto concde con el crtero del equlbro de Nash para los juegos para los juegos smples de un solo período, y en otras stuacones el concepto es muy parecdo. Cronológcamente la teoría del olgopolo tuvo el sguente desarrollo: Cournot (1939), matemátco francés. Prmera formulacón del problema del olgopolo. Antcpa la solucón de los juegos no cooperatvos mucho antes de la creacón de la teoría de juegos por Von Neumann y Morgenstern en Demoró 5 años antes de que alguen hcera una revsón del lbro de Cournot. Bertrand (1983), matemátco francés. Crítco del trabajo de Cournot. Propone modfcacones que lo llevan a conclusones dametralmente opuestas. Stackelberg (1934). Ponero de en la modelzacón del compromso en la teoría del olgopolo. Con la aparcón de la teoría de juegos el desarrollo del tema ha sdo enorme, no obstante lo cual las dstntas vertentes sguen muy vnculadas a los modelos orgnales. En esta perspectva debe quedar claro que los juegos no manejan conceptos dstntos de los de la teoría de juego, sno que especfcan juegos dstntos que son abordados con el msmo herramental teórco, y en partcular utlzando el msmo concepto de equlbro. 3.1 Lderazgo en cantdades Von Stackelberg (1934) desarrolló el modelo de competenca de dos empresas duopólcas que toman sus decsones secuencalmente. En este modelo, exste una frma líder que decde la cantdad a producr, y luego el segudor observa la cantdad producda por el líder y decde la cantdad que va a producr. Las dos frmas producen de acuerdo a sus planes y el preco se determna según la demanda del mercado. El modelo supone que el líder conoce la funcón de costos del segudor. En este sentdo no hay problemas de nformacón asmétrca relevantes (el segudor puede no conocer la funcón de costos del líder, pero esto no nfluye en la solucón del modelo). La solucón del modelo se basa en que el líder es capaz de prever con precsón la reaccón del segudor ante cada posble nvel de produccón que él decda. De esta forma, para cada nvel posble de produccón del líder, es posble para él saber cuanto va a producr el segudor (ya que conoce su funcón de costos y sabe que es raconal). En la medda que ambos conocen la funcón de demanda es posble saber para el nvel conjunto de produccón, cual será el preco de mercado. Debe notarse que la solucón del modelo depende de Ec. Andrés Pereyra 21/21 13/11/02

22 forma crucal en los supuestos nformaconales: el líder conoce la funcón de costos del segudor y tanto el líder como el segudor conocen la funcón de demanda. La herramenta analítca utlzada es la funcón de reaccón. La msma ndca la cantdad producda por un segudor raconal ante cada cantdad producda por el líder. Los supuestos acerca de la nformacón que se manejan permten al líder construr esta funcón. La msma le permte decdr sn ncertdumbre la cantdad a producr que maxmza sus benefcos. Suponga dos frmas, 1 y 2, que producen y 1 y y 2 respectvamente. La empresa líder (empresa 1) empeza elgendo la cantdad y 1 y la empresa 2 responde elgendo y 2. La funcón nversa de demanda P(Y) ndca el preco de equlbro como la funcón del nvel de produccón de la ndustra Y = y 1 + y 2 El nvel de produccón que elegrá el líder dependerá del nvel de produccón que pense que elegrá el segudor como respuesta a la cantdad que el produzca. El líder esperará que el segudor ntente maxmzar sus benefcos dada la eleccón del propo líder. Entonces, el líder deberá hacer una prevsón sensata de la accón del segudor para cada nvel posble de produccón suya (y resuelve lo que se denomna problema del segudor). Problema del segudor max p( y1 + y2 ) y2 c2 ( y2 ) y 2 Desde el punto de vsta del segudor la cantdad de produccón del líder está predetermnada y consttuye por lo tanto un dato. El segudor elegrá y 2 dónde ngreso margnal gual a costo margnal. p IM 2 = p( y1 + y2 ) + y2 = CM 2 y 2 Para cada valor de produccón del líder se puede expresar la eleccón óptma del segudor en su funcón de reaccón. Se llama funcón de reaccón porque ndca como reacconará el segudor raconal (maxmzador de benefcos) a cada nvel posble de produccón del líder. 2 f ( y 1 y = ) Conocendo esta funcón de reaccón el líder resuelve su problema de maxmzacón. Es un programa de maxmzacón condconada en que el líder maxmza su benefco sujeto a la restrccón que le mpone la funcón de reaccón del segudor. Se trata de ncorporar toda nformacón que el líder tene en su decsón maxmzadora. A este programa de maxmzacón se denomna problema del líder. max p( y y1 1 sujeto a y + y ) y = f ( y ) 1 c ( y ) 1 1 En este modelo, el aspecto clave es que el líder tene la capacdad de comprometerse a una estratega y publctarla adecuadamente antes de que el rval juegue. La cuestón es porqué el segudor no juega Ec. Andrés Pereyra 22/22 13/11/02

23 otra estratega dstnta? La respuesta es que no es creíble que lo haga. La solucón encontrada es la únca que consttuye un equlbro perfecto en subjuegos (no admte amenazas no creíbles). 3.2 Lderazgo en precos El modelo de lderazgo en la eleccón del preco ndca que s el líder fja el preco, el segudor consderará este preco como un dato. En la medda que el producto es homogéneo y no hay dscrmnacón, no puede haber dos precos dstntos. Posterormente el líder fja la cantdad y se determna por últmo la cantdad que produce el segudor. La solucón del modelo se basa en la dea de que el líder adelanta la reaccón del segudor (cantdad producda) para cada posble preco que él decda. De esta forma se determna una funcón de oferta del segudor (cantdad que producrá el segudor para cada preco posble). El líder decdrá su nvel de produccón tenendo en cuenta la funcón de demanda resdual (demanda de mercado menos oferta del segudor). El problema de decsón que enfrenta es el de un monopolsta. Debe notarse que la solucón del modelo depende, al gual que en el modelo de Stackelberg, de los fuertes supuestos acerca de la nformacón que maneja cada agente. Desde el punto de vsta estratégco, el juego es el msmo que Stackelberg, solo que la varable de eleccón del líder es otra. 3.3 Competenca en cantdades En el modelo de Cournot la varable que elgen las empresas es la cantdad a producr. Se dferenca del modelo de Stackelberg en que la decsón es smultánea. Esto quere decr que no exste un líder y un segudor sno que las dos empresas decden la cantdad que producen sn saber (o sn consderar) la decsón de produccón de la otra frma. No obstante, las empresas consderan que su competdor actúa de forma raconal. Analítcamente la solucón es gual que la solucón de Stackelberg, con la salvedad que no exsten funcones de reaccón, sno que exsten funcones que ndcan la cantdad que cada frma espera que produzca la otra frma. Esto es, la forma de resolver el modelo es la msma (la funcón de reaccón en el modelo de Stackelberg es la msma funcón que la funcón de produccón esperada en el modelo de Cournot). La construccón de funcones de reaccón en un juego smultáneo no es mas que un nstrumento lustratvo. Por defncón, las frmas elgen sus accones antes de observar la de sus oponentes, por lo que no tene oportundad de reacconar. Las funcones de reaccón muestran lo que las empresas harían s conocesen un cambo en la accón de su oponente, lo que en realdad no conocen. Los puntos dstntos del equlbro de Nash nunca son observados. Por el contraro, las funcones de reaccón tenen un contendo económco en los juegos dnámcos. S la empresa observa la eleccón de la otra empresa, la funcón de reaccón le servrá para medr como un cambo en su comportamento afectará el comportamento del otro. (Atencón: es estudante verá que el texto de Varan nsnúa Ec. Andrés Pereyra 23/23 13/11/02

24 propedades dnámcas de la funcón de reaccón en Cournot, contraramente a lo que se afrma en estas notas). Otra lustracón nteresante, alternatva a la de la funcones de reaccón, es la representacón a través de funcones de demanda resdual. En la msma, la estratega óptma de la frma se obtene a través de la resolucón del problema del monopolsta dada la cantdad producda por la otra frma. En el caso de que la cantdad producda por la otra frma sea la de Cournot, entonces la resolucón del problema del monopolsta que enfrenta la demanda resdual (la demanda total menos la cantdad que la otra frma produce) lleva a la cantdad de Cournot (ver ejercco 3). En el modelo de Stackelberg, los agentes actúan raconalmente y se llega necesaramente al equlbro (ambas frmas toman decsones de produccón con las que están satsfechas, y ceters parbus, producrán sempre esa cantdad). En el modelo de Cournot, por el contraro, nada garantza que la cantdad que una frma prevé que producrá la otra frma se confrme en la realdad. La solucón del modelo ndca dos cantdades tales que s concden con las cantdades que efectvamente producen las frmas, éstas estarán satsfechas con su decsón (y ceters parbus) no tendrán nterés de cambar. Los resultados del modelo de dos frmas se pueden extender al caso de 3 y más frmas. En este caso se demuestra que a medda que el número de empresas va sendo más grande, el preco de mercado va tendendo al preco de mercado (ver ejercco 7). 3.4 Competenca en precos En el modelo (paradoja) de Bertrand los duopolstas compten por preco. Dos empresas producen productos déntcos que son susttutos perfectos en la funcón de utldad de los consumdores. Por lo tanto estos comprarán el producto a aquella empresa que cobre un preco menor. Suponemos que s cargan el msmo preco la demanda se dvde entre ambas en partes guales (supuesto que de cambarse no camba los resultados). Las dos empresas pueden satsfacer toda la demanda (no hay restrccones de capacdad). Por otra parte las dos frmas tenen costos margnales constantes (rendmentos constantes a escala) e guales entre ellas. La solucón del modelo es la msma que la solucón compettva. Cada duopolsta sabe que s fja su preco levemente por debajo del preco de la otra frma se quedará con todo el mercado. La estratega adecuada es entonces, fjar el preco levemente por debajo del preco del otro duopolsta. Pero el otro duopolsta tendrá la msma estratega. El resultado es que ambos bajarán su preco para competr hasta que el preco sea gual costo margnal. De este modo la condcón de equlbro es la msma que en la stuacón compettva (la paradoja es que sendo solo dos empresas no logran obtener benefcos mayores a los que obtendrían un número mayor de empresas). 3.5 Colusón S las empresas se ponen de acuerdo para determnar el nvel de produccón que maxmce los benefcos total de la ndustra se dce que consttuyen un cartel. En ese caso, las empresas no Ec. Andrés Pereyra 24/24 13/11/02