Tópicos en Teoría de los Juegos Universidad del CEMA Buenos Aires, Agosto de 2008

Transcripción

1 Tópcos en Teoría de los Juegos Unversdad del CEMA Buenos Ares, Agosto de 2008 Gustavo Torrens Department of Economcs Washngton Unversty n St. Lous 1

2 Referencas Las transparencas del tópco 1 sguen muy de cerca los capítulos 2 a 5 del lbro A course n Game Theory de Osborne y Rubnsten (1994). La mayor parte de las defncones y el aparato formal son los empleados por Osborne y Rubnsten, pero he varado un tanto el orden de presentacón de los temas y he obvado cas todas las pruebas con excepcón de unas pocas (por ejemplo exstenca de equlbro de Nash). Los ejemplos son de Osborne y Rubnsten (1994), Fudenberg y Trole (1992) y notas de clases de Haluk y Levne (otoño 2008). Las transparencas correspondentes a subastas sguen las notas de clases de Haluk (otoño 2008). Un muy buen lbro sobre subastas es Krshna (2000).

3 Defncón 1: Un juego en Forma Normal/Estratégca consta de: Un conjunto fnto N (el conjunto de jugadores). Para cada jugador N un conjunto no vacío A (el conjunto de estrategas dsponbles para el jugador. Para cada jugador Nuna relacón de preferenca defnda en A = X j NAj. Nota 1: Usualmente la relacón de preferenca puede representarse medante una funcón de utldad (funcón de pagos) u : A R. En tal caso el juego en forma j normal puede denotarse por N, A, u en cambo de N, A,. Nota 2: Podemos tambén ntroducr un conjunto de Consecuencas C y una funcón g : A C que asoca a cada perfl de estrategas una consecuenca. En este caso debemos defnr las preferencas sobre C de la sguente forma a b g ( a ) g ( b ).

4 Estrategas puras y mxtas Δ el conjunto de todas las dstrbucones de probabldad sobre X. Sea ( X ) Estratega pura: a A. Perfl de estrategas puras: (, ) Estratega mxta: ( A ) σ Δ. a a A= A. j N j Perfl ndependente de estrategas mxtas: j N ( Aj) σ Δ. Perfl de estrategas mxtas correlaconadas: σ Δ ( A).

5 Extensón mxta de un juego en forma normal Defncón 2: La extensón mxta de un juego en forma normal N, A, u es el sguente juego en forma normal N, ( A ), U Δ, donde Δ ( A ) es el conjunto de todas las dstrbucones de probabldad sobre U : Δ A R asgna a cada α Δ ( A) el valor esperado de nducda por α. A y ( ) u empleando la dstrbucón de probabldad sobre A Nota 3: Estamos suponendo que las preferencas sobre loterías cumplen los axomas del teorema de la utldad esperada, de forma tal que las relacones de preferencas sobre loterías pueden representarse como el valor esperado de alguna funcón u : A R. Nota 4: Dado un perfl de estrategas mxtas para todos los jugadores dferentes a (lo representamos por α ) la funcón U es lneal en α.

6 Ejemplos Ejemplo 1: Bach o Stravnsky Bach Stravnsky Bach 2,1 0,0 Stravnsky 0,0 1,2 Ejemplo 2: Juego de Coordnacón Mozart Mahler Mozart 2,2 0,0 Mahler 0,0 1,1 Ejemplo 3: Dlema del Prsonero No Confesar Confesar No Confesar 3,3 0,4 Confesar 4,0 1,1

7 Ejemplos contnuacón Ejemplo 4: Halcón y Paloma Paloma Halcón Paloma 3,3 1,4 Halcón 4,1 0,0 Ejemplo 5: Matchng Pennes Cabeza arrba Cabeza abajo Cabeza arrba 1, 1 1,1 Cabeza abajo 1,1 1, 1

8 Interpretacón del modelo de juego en forma normal/estratégca: Dos nterpretacones alternatvas Enfoque 1: Modelo de un evento que ocurre una únca vez, cada jugador conoce los detalles del juego y el hecho de que todos los jugadores son raconales y los jugadores elgen sus estrategas respectvas smultánea e ndependentemente. En este enfoque no hay nnguna nformacón (excepto los datos prmtvos del juego) sobre la cual un jugador pueda basar su expectatva sobre el comportamento de los otros jugadores. Enfoque 2: Alternatvamente podemos pensar que cada jugador forma su expectatva sobre el comportamento de los otros jugadores sobre la base de la nformacón que posea sobre como se jugó el juego o un juego smlar en el pasado. En este sentdo, una sucesón de jugadas puede modelarse como un juego en forma normal s no hay conexón estratégca entre las jugadas. Es decr, un ndvduo que juegue el juego muchas veces sólo debe preocuparse por los pagos nstantáneos e gnorar los efectos de su accón corrente sobre el comportamento futuro de los otros jugadores.

9 Nota 5: smultanedad sgnfca que cada jugador toma las decsones ndependentemente. Más formalmente, para que una stuacón pueda ser modelada como un juego en forma estratégca sólo es mportante que los jugadores tomen sus decsones ndependentemente; es decr, nngún jugador está nformado de las decsones de los otros jugadores cuando toma su propa decsón.

10 Enfoque 1 Defncón 3: Estratega Estrctamente Domnada (exsten 3 modos equvalentes de defnr que una estratega esta estrctamente domnada) ' Defncón 3.a: α Δ ( A) es estrctamente domnada por ( A) α Δ ( A ) tenemos U ( ' α, α ) > U( α, α ). ' Defncón 3.b: α Δ ( A ) es estrctamente domnada por ( A ) α j Δ ( Aj) tenemos U ( ', ) U(, ) α α > α α. ' Defncón 3.c: α Δ ( A ) es estrctamente domnada por ( A ) tenemos U ( α ', a ) > U ( α, a ) α Δ s α Δ s a α Δ s A Lema 1: S una estratega pura está estrctamente domnada, entonces cualquer estratega mxta que use esta estratega pura con probabldad postva tambén está estrctamente domnada. Lema 2: Las 3 defncones anterores son equvalentes.

11 Idea básca: un jugador raconal nunca va a jugar una estratega estrctamente domnada. En algunos juegos esto es sufcente para encontrar una únca solucón. S ese es el caso tenemos una predccón sumamente convncente del resultado del juego. Ejemplo clásco: dlema del prsonero. Ejemplo 3: Dlema del Prsonero No Confesar Confesar No Confesar 3,3 0,4 Confesar 4,0 1,1 En este juego No Confesar está estrctamente domnada por confesar. Por lo tanto smplemente suponendo jugadores raconales llegamos a la conclusón que el resultado del juego será Confesar Confesar. El problema es que en muchos juegos no hay estrategas estrctamente domnadas o solamente podemos elmnar unas pocas estrategas y por lo tanto no obtenemos una predccón muy precsa del resultado del juego.

12 Elmnacón Iteratva de Estrategas Estrctamente Domnadas Idea Conceptual: jugadores raconales nunca van a jugar una estratega estrctamente domnada. S además saben que los otros jugadores son raconales tampoco esperan que los otros jugadores jueguen una estratega estrctamente domnada. Es decr, cada jugador elmna sus estrategas estrctamente domnadas y elmna de su conjetura sobre el comportamento de los otros las estrategas estrctamente domnadas para los otros jugadores. Dado esto, para cada jugador no es raconal jugar una estratega estrctamente domnada entre las estrategas restantes n esperar que los otros jugadores jueguen una estratega estrctamente domnada entre sus estrategas restantes. Esto genera una nueva ronda de elmnacones y así sucesvamente al nfnto.

13 Procedmento de Elmnacón Iteratva de Estrategas Estrctamente Domnadas 0 0 n Sea A = A y Δ ( A) =Δ ( A). Defnamos de manera recursva A y Δ( A ) n de la sguente forma: { 1 n : ( ) 1 tal que (, ) (, ) 1 } n n n = α Δ α > n n ( A ) ( A) : ( a ) 0 solamente s a A A a A A U a U a a a A { } Δ = α Δ α > n Sea A = I A n= 0, es decr A es el conjunto de estrategas puras del jugador que sobrevveron al proceso de elmnacón teratva de estrategas estrctamente el conjunto de todas las estrategas mxtas tales domnadas. Fnalmente, sea Δ( A ) ' que ( A ) U α ', a > U α, a a A. Decmos que Δ( ) α Δ tal que ( ) ( ) A el conjunto de estrategas del jugador que sobrevven al proceso de elmnacón teratva de estrategas estrctamente domnadas. Nota 6: Cada teracón extra exge un nvel extra de raconaldad. Es decr, prmero solamente necesto suponer que cada jugador es raconal; luego que cada jugador sabe que los otros son raconales; luego que todos saben que todos saben que son raconales y así sucesvamente al nfnto. Formalmente, todos son raconales y la raconaldad de los jugadores es conocmento públco (common knowlodge). es

14 Ejemplos de elmnacón teratva de estrategas estrctamente domnadas Ejemplo 3: Dlema del Prsonero No Confesar Confesar No Confesar 3,3 0,4 Confesar 4,0 1,1 Con una ronda de elmnacón basta. Ya vmos que obtenemos Confesar Confesar Ejemplo 6 Bajo Medo Alto Bajo 6,6 0,10 0,8 Medo 10,0 5,5 0,8 Alto 8,0 8,0 4,4 Necestamos 3 rondas de elmnacón para obtener Alto Alto. Cada ronda conlleva un nvel extra de raconaldad.

15 Ejemplo 3: Duopolo de Cournot Jugadores: Frma 1 y Frma 2 Conjunto de Estrategas: cantdad entre 0 y 1 Funcones de Pagos: benefcos

16 Defncón 4: Sea ( ) Mejor Respuesta α Δ A, a es una mejor respuesta pura a ( *, ) (, ) ( A) U ( *, ) U (, ) a A U a α U a α. α Δ α α α α. * * α es una mejor respuesta mxta a α s α s Podemos tambén defnr los conjuntos de mejores respuestas puras y mxtas respectvamente de la sguente forma: p * : * B α = a A a A U a, α U a, α { } { } ( ) ( ) ( ) * * ( α ) = : α Δ( ) ( α, α ) ( α, α ) B a A A U U ( ) p Lema 3: B ( α ) =Δ B ( α ) Es decr, para computar las mejores respuestas mxtas a un perfl de estrategas de los otros jugadores es posble prmero computar las mejores respuestas puras y luego consderar todas las dstrbucones de probabldad que asgnan probabldad postva solamente a las mejores respuestas puras.

17 Defncón 5: Una estratega ( ) mejor respuesta para nngún ( A ) Estrategas raconalzables α Δ A no es nunca una mejor respuesta s no es una α Δ. Nota 7: Parece un juego de palabras horrble, pero la dea es clara: smplemente queremos dentfcar las estrategas que no son una mejor respuesta a nnguna conjetura que tenga el jugador sobre lo que pueden hacer sus rvales. Intutvamente, un jugador nunca va a jugar esta estratega s es raconal. Defncón 6: Las estrategas del jugador que sobrevven a la elmnacón teratva de estrategas que nunca son una mejor respuesta se denomnan las estrategas 0 raconalzables del jugador. Mas formalmente, sea Δ ( A) =Δ( A) y defnamos de manera recursva: n n 1 1 ' ' : n A A A tal que U, U, A n Δ = α Δ α Δ α α α α α Δ 1 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El conjunto de estrategas raconalzables para el jugador vene dado por n Δ ( A) = I Δ( A ) n= 0. Un perfl de estrategas αes raconalzable s α es raconalzable para cada N.

18 Conexón entre nunca una mejor respuesta y domnanca estrcta. * Proposcón 1: En un juego fnto, la estratega pura a A no es nunca una mejor respuesta a * nnguna conjetura α Δ ( A ) s y solo s a esta estrctamente domnada por alguna estratega mxta. * Nota 8: Observemos que a A no es una mejor respuesta a nnguna conjetura, ncluyendo comportamentos correlaconados Conexón entre elmnacón teratva de estrategas estrctamente domnadas y estrategas raconalzables. Proposcón 2: El conjunto de perfles de estrategas que sobrevven e proceso de elmnacón teratva de estrategas estrctamente domnadas y el conjunto de estrategas raconalzables son equvalentes. Nota 9: S en la defncón de nunca una mejor respuesta no se permten correlacones entonces la equvalenca de la proposcón anteror se quebra. Asmsmo se quebra la equvalenca de la proposcón 1. Por supuesto que toda esta dstncón es rrelevante s tenemos un juego con solamente dos jugadores (Pearce (1984))

19 Defncón 7: El perfl de estrategas j N ( j) cada N: Enfoque 2: Equlbro de Nash * α Δ A es un Equlbro de Nash s para * (, * ) (, * ) ( ) U α α U α α α Δ A. Nota 10: Podemos reformular el equlbro de Nash de la sguente forma * * * j N Aj N α B α. α Δ ( ) es un Equlbro de Nash s para cada ( ) Nota 11: Observemos que un Equlbro de Nash se caracterza por 1. Jugadores raconales: en un Equlbro de Nash cada jugador juega una mejor respuesta a alguna estratega de sus rvales. 2. Creencas Correctas: para cada jugador las creencas sobre el comportamento de sus rvales son correctas. El punto 1 es claro, pero el punto 2 es un poco oscuro porque cuando defnmos equlbro de Nash no hablamos nunca de creencas, sno smplemente estrategas. Por ahora solamente marco este punto, que dscutremos más detalladamente cuando veamos Self Confrmng Equlbrum.

20 Ejemplos Ejemplo 1: Bach o Stravnsky Bach Stravnsky Bach 2,1 0,0 Stravnsky 0,0 1,2 Dos equlbros de Nash en estrategas puras y uno en estrategas mxtas ,,, Ejemplo 2: Juego de Coordnacón Mozart Mahler Mozart 2,2 0,0 Mahler 0,0 1,1 Dos equlbros de Nash en estrategas puras Mozart Mozart y Mahler Mahler y uno en estrategas mxtas. Ejemplo 3: Dlema del Prsonero No Confesar Confesar No Confesar 3,3 0,4 Confesar 4,0 1,1 Un equlbro de Nash: Confesar Confesar

21 Ejemplos contnuacón Ejemplo 4: Halcón y Paloma Paloma Halcón Paloma 3,3 1,4 Halcón 4,1 0,0 Dos equlbros de Nash en estrategas puras: Halcón Paloma y Paloma Halcón. Un equlbro de Nash en estrategas mxtas. Ejemplo 5: Matchng Pennes Paloma Halcón Paloma 1, 1 1,1 Halcón 1,1 1, 1 No exste equlbro de Nash en estrategas puras, pero ½, ½ y ½, ½ es un equlbro de Nash en estrategas mxtas.

22 Interpretacón del Equlbro de Nash El equlbro de Nash captura el estado estaconaro de la jugada de un juego en forma estratégca en el cual cada jugador tene una conjetura correcta sobre el comportamento de los otros jugadores y actúa raconalmente. Cuando tenemos un equlbro de Nash con estrategas mxtas la nterpretacón es más debatda. Dscutmos a contnuacón perspectvas alternatvas. 1. Estrategas mxtas como objetos de eleccón. Una estratega mxta mplca una decsón delberada de ntroducr aleatoredad en el comportamento. Un jugador que elge una estratega mxta se compromete a un mecansmo probablístco que seleccona una estratega dentro de su conjunto de estrategas puras. Ejemplos: penales en el fútbol, pkcher en el bésbol.

23 2. Equlbro de Nash con estrategas mxtas como un estado estaconaro. Ya vmos que un equlbro de Nash puede nterpretarse como un estado estaconaro en una stuacón en la que los jugadores juegan repetdamente, pero sn conexón estrategca entre las jugadas. En este sentdo, nterpretamos un equlbro de Nash en estrategas mxtas como un estado estaconaro estocástco. Es decr, los jugadores tenen nformacón sobre las frecuencas con que se han jugado las dferentes estrategas puras en el pasado y usan las msmas para formar sus conjeturas sobre el comportamento futuro de sus rvales. En equlbro estas frecuencas permanecen constantes en el tempo y son estables en el sentdo de que cualquer estratega pura que se juegue con probabldad postva es optma dada las creencas en el estado estaconaro. Un equlbro en estrategas mxtas predce un resultado estocástco, captura una regulardad que es estocástca y no determnstca. Una varante de este enfoque es consderar que cada jugador es en realdad una poblacón de jugadores y que en cada jugada un jugador de cada poblacón es selecconado aleatoramente para jugar. Las probabldades de la estratega mxta del jugador en un equlbro de Nash en estrategas mxtas son las frecuencas con que cada membro de A es usado en la esma poblacón. El juego en forma normal es entonces una forma reducda de un juego donde se modelan explíctamente las poblacones. Notemos que un supuesto mplícto en esta nterpretacón es que cada jugador no detecta correlacón entre las accones de los otros jugadores.

24 3. Estrategas mxtas como estrategas puras de un juego extenddo. Antes de jugar un jugador puede recbr nformacón prvada y aleatora que no afecta a las funcones de pagos de los otros jugadores, pero que afecta la decsón del jugador en cuestón. Ejemplo de esto podrían ser los estados de anmo o humor de un jugador. Esto hace que el comportamento de un jugador sea vsto por los otros jugadores como aleatoro aun no séndolo. Al modelar el comportamento de los jugadores como aleatoro un equlbro de Nash en estrategas mxtas captura este hecho. S usamos estas señales prvadas y extendemos el juego en forma normal obtenemos un juego bayesano (mas adelante vamos a defnr formalmente un juego bayesano). Luego un equlbro de Nash en estrategas puras de este juego extenddo genera el msmo resultado que un equlbro de Nash en estrategas mxtas del juego en forma normal orgnal. 4. Estrategas mxtas como estrategas puras en un juego perturbado. 5. Estrategas mxtas como creencas

25 Exstenca de Equlbro de Nash Nota 12: Un juego en forma normal fnto puede tener un únco equlbro de Nash (dlema del prsonero), múltples equlbros de Nash (batalla de los sexos), no tener equlbro de Nash en estrategas puras, pero tener al menos un equlbro de Nash en estrategas mxtas (matchng penes o pedra, papel o tjera). Pregunta: Podemos garantzar que exste al menos un equlbro de Nash? Respuesta: Exsten varos Teoremas de Exstenca arrancando por el Teorema de Nash. Teorema de Exstenca 1 (Nash 1950): Todo juego en forma normal fnto tene al menos un equlbro de Nash en estrategas puras. Demostracón 1 (Nash 1950): empleando el Teorema de Punto Fjo de Kakutan. Demostracón 2 (Nash 1951): empleando el Teorema de Punto Fjo de Brouwer.

26 Teorema de Exstenca 2: Consderemos el sguente juego en forma normal N, A, u. S M. cada A es un subconjunto del espaco eucldano R no vacío, convexo y compacto y. cada u es contnua en A y cuas cóncava en a, entonces, exste un Equlbro de Nash en estrategas puras. Teorema de Exstenca 3 (Glcksberg 1952): Consderemos el sguente juego en forma normal N, A, u. S. cada A es un subconjunto de un espaco métrco no vacío y compacto,. cada u es contnua en A, entonces, exste un Equlbro de Nash en estrategas mxtas.

27 Nota 13: La dea de estos teoremas es esencalmente la msma; aplcar un teorema de punto fjo a una correspondenca que engloba las correspondencas de mejor respuesta de todos los jugadores. Para ello se necesta demostrar que la correspondenca cumple con todas las condcones del teorema de punto fjo a emplear. Nota 14: Exsten otros teoremas de exstenca, fundamentalmente para casos en los que las funcones de pagos no son funcones contnuas. Nota 15: esto es una nota hstórca. El teorema de Nash no fue solo mportante para la teoría de los juegos, sno tambén mostró el camno para demostrar la exstenca de equlbro compettvo.

28 Juegos Bayesanos Idea: hasta ahora hemos supuesto que los jugadores conocen las funcones de pagos (relacones de preferencas) de los otros jugadores. Esto parece un supuesto bastante fuerte. En muchas aplcacones queremos modelar que los jugadores no conocen perfectamente las funcones de pagos de los rvales. Por ejemplo, en un duopolo, es razonable pensar que cada frma conoce sus costos, pero no conoce perfectamente los costos de su rval. En una subasta de una obra de arte, cada partcpante conoce qué valor tene para el/ella la pntura, pero no sabe cuánto la valoran los otros partcpantes. Defncón 8: Un Juego Bayesano está formado por, donde: Un conjunto fnto (el conjunto de jugadores). Para cada jugador un conjunto no vaco (el conjunto de estrategas dsponbles para el jugador. Para cada jugador un conjunto (el conjunto de tpos posbles del jugador ). Para cada jugador una funcón que asgna a cada tpo la dstrbucón de probabldad sobre los tpos de los otros jugadores, condconada a que el jugador es de tpo. Para cada jugador una funcón de pagos (recordemos que y ) tal que el valor esperado de representa las preferencas del jugador sobre las dstrbucones de probabldad sobre.

29 Nota 16: Exste una manera un poco más formal y más flexble de defnr un juego Bayesano. La dea es defnr prmero un espaco de estados, luego para cada jugador una dstrbucón de probabldades (pror) sobre este espaco de estados y una señal. Estas señales le dan nformacón a cada jugador sobre los posbles estados que se han realzado. Cada jugador utlzando su pror y su señal genera una posteror empleando el Teorema de Bayes (este enfoque puede encontrarse en Osborne y Rubnsten 1994 captulo 2). Nota 17: Para trabajar en las aplcacones normalmente es más convenente y sufcente con la defncón que hemos dado, pero para dscutr algunos temas conceptuales suele ser mejor la defncón más general. Por ejemplo, podemos dscutr con este esquema la doctrna de Harsany, según la cual las prors deben ser guales y toda dferenca en las posterors se debe a que los jugadores recben dferente nformacón. Nota 18: Un juego bayesano sempre puede transformarse en un juego en forma normal. Es tedoso algebracamente, pero la dea es hacer de cada tpo de cada jugador un nuevo jugador. Luego, el espaco de estrategas del jugador es y su funcón de pagos es el valor esperado de empleando la dstrbucón de probabldad.

30 Equlbro Bayesano de Nash Defncón 9: Un perfl de estrategas donde es un Equlbro Bayesano de Nash s para todo jugador, para todo tpo :

31 Aplcacones I: Duopolo de Cournot con costos margnales no observables

32 Aplcacones II: Subasta con valores ndependentes e gualmente dstrbudos Subasta a sobre cerrado. Se subasta un objeto ndvsble. Partcpantes: Valuacón del jugador es la varable aleatora. Las valuacones son ndependentes e gualmente dstrbudas con funcón de densdad y funcón de dstrbucón acumulada defndas en un ntervalo cerrado. es contnua y para todo. Una estratega para el partcpante es una funcón que especfca para cada valuacón una oferta que el partcpante hace por el objeto en cuestón.

33 1. Subasta a sobre cerrado a prmer oferta El jugador que ofrece mas gana la subasta (es decr se queda con el objeto) y paga lo que ofrecó. S hay varos partcpantes que hceron la mayor oferta, el objeto va a cada partcpante con gual probabldad. Formalmente la funcón de pagos es: donde es la oferta mas alta. 2. Subasta a sobre cerrado a segunda oferta. El partcpante que ofrece mas se queda con el objeto, pero paga la segunda mejor oferta. Formalmente, la funcón de pagos vene dada por: donde representa la segunda mejor oferta.

34 Comencemos estudando la subasta a sobre cerrado a segunda oferta. Teorema 4: En la subasta a sobre cerrado a segunda mejor oferta es una estratega domnante para cada partcpante ofrecer su valuacón. Es decr, para todo y para todo tenemos es una estratega domnante. Demostracón:

35 Utlzando el teorema 4 podemos calcular: Probabldad de ganar en el equlbro en estrategas domnantes para un oferente con valuacón :. Pago esperado condconal a ganar s el partcpante tene valuacón :. Pago esperado s el partcpante tene valuacón :. Ingreso esperado del que subasta el objeto:.

36 Ejemplo 7: Supongamos que las valuacones se dstrbuyen unformemente en el ntervalo. Computemos el equlbro en estrategas domnantes.

37 Pasemos ahora a estudar la subasta a sobre cerrado a prmera oferta Teorema 5: En la subasta a sobre cerrado a prmera oferta exste un únco Equlbro Bayesano de Nash smétrco que vene dado por la sguente funcón de oferta: para todo. Demostracón Heurístca:

38 Utlzando el teorema 5 podemos calcular: Probabldad de ganar en el equlbro en estrategas domnantes para un oferente con valuacón :. Pago esperado condconal a ganar s el partcpante tene valuacón :. Pago esperado s el partcpante tene valuacón :. Ingreso esperado del que subasta el objeto:.

39 Ejemplo 8: Supongamos que las valuacones se dstrbuyen unformemente en el ntervalo. Computemos el equlbro Bayesano de Nash smétrco.

40 Observemos que el ngreso esperado en ambos esquemas de subasta es exactamente gual. Esto se conoce como teorema de equvalenca. En efecto, es posble demostrar que cualquer subasta que satsfaga un conjunto de condcones razonables genera el msmo ngreso esperado para quen subasta el objeto.