Resuelve. Unidad 7. Vectores. BACHILLERATO Matemáticas I. Descomposición de una fuerza. Página 171

Transcripción

1 Resele Página 171 Descomposición de na ferza I. Una cerda de 10 m de larga celga de dos escarpias, A y B, sitadas a la misma altra y a m de distancia entre sí. De ella se celga na pesa de 0 kg de masa qe permanece en eqilirio en n pnto sitado a m de A y a 7 m de B. Osera qe descomponemos el peso, P, qe prodce los 0 kg de masa, en dos componentes, P 1 y P, cada na de las cales tira de no de los trozos de cerda. Estima, midiendo y teniendo en centa la escala, la magnitd de cada na de las dos componentes del peso. II. Repite la constrcción sponiendo qe la masa se coloca simétricamente respecto a las dos escarpias ( m de cerda a cada lado). Estima, midiendo, la tracción qe, en este caso, dee soportar cada trozo de cerda. III. Vele a repetir la constrcción para na cerda de dole longitd y en la qe se coloca la pesa simétricamente. Si la cerda fera déil y temieras qe pdiera romperse con tracciones fertes, cál de las tres sitaciones I, II o III te parecería la más adecada para colgar la pesa? I. P 0 kg P 1 kg P 7 kg II. A B 0 kg P P 1 P Cada componente del peso es de nos kg. 1

2 III. A B kg P P P 1 Cada componente del peso es de nos 7 kg. Conclsiones: Si la cerda es déil, tenemos qe colgar el peso en el centro y canto más larga sea la cerda, mejor.

3 Coordenadas de n ector Página 17 1 Si (, ) y (1, ) son las coordenadas de dos ectores respecto de na ase, halla las coordenadas respecto de la misma ase de: a) + ) c) + 1 d) 1 a) + (, ) + (1, ) (, 10) + (1, ) (, 6) ) (, ) (1, ) (, ) + ( 1, ) (, 9) c) + 1 (, ) + 1 (1, ) ( 6, 1) + c 1, m c 17, 1 m d) 1 1 (, ) (1, ) c 1, m+ (, ) c 1, 11 m

4 Prodcto escalar de ectores Página Verdadero o falso? α a Demostramos qe a 10: cos α cos α a a cos α 10 Verdadero. Partimos de la longitd de la proyección de sore a y de s expresión en relación con el prodcto escalar de dos ectores para calclar el prodcto escalar de dichos ectores. Oserando el razonamiento del ejercicio anterior, calcla a. (, ) α a(, 0) a, cos a a a cos a 1 Dos ectores y cmplen qe:, %, (, ) 0. Calcla: a) ) c) ( ) d) () ( ) e) f ) ( ) a) cos (, ) cos 0 6 ) c) ( ) ( ) d) () ( ) ( )( ) 1 e) cos 0 16 f) ( ) 9 Si, y, aeriga el ánglo (, ). (Usa la calcladora). cos (,) (,) 97 9' ' 1 % Halla ( + ) y ( ) saiendo qe,, (, ) 10. ( + ) + cos 10 + cos 0 c 1 m ( ) c 1 m 6

5 Página 17 6 Las coordenadas de los ectores y respecto a na ase ortonormal son (, ) y ( 1, ). Halla: % a) y ), y (, ) c) El alor de k para qe (, k) sea perpendiclar a. d) Un ector nitario perpendiclar a. a) (, ) ( 1, ) ( 1) + ( ) 1 ( 1, ) (, ) ( 1) + ( ) 1 ) + ( ) ( 1) + 10 cos (, ) ,9691 (,) 161 ' '' c) (, k) ( 1, ) (, k) ( 1, ) 0 + k 0 k Para qe (, k) sea perpendiclar a, ha de ser k. d) Un ector perpendiclar a (, ) es, por ejemplo, (, ). Un ector nitario paralelo a (, ) es 1 (, ) 1 (, ) c, m (, ) Hay dos ectores nitarios perpendiclares a (, ), son c, m y c, m.

6 Ejercicios y prolemas reseltos Página Prodcto escalar en ases no ortonormales Hazlo tú. Calcla el prodcto escalar a, siendo a (0, ) y ( 1, 1) ss coordenadas respecto a la ase B. a ( + ) ( ) Página 10. Descomponer n ector Hazlo tú. Resele este mismo prolema si a ( 1, ) y (, 9). Z Z ka k( 1, ) ( k, k) ] ] [ a 0 [ h( 1, ) ( h, h) ] + ]( 9, ) ( k, k) + ( h, ) Los ectores scados son (, ) y (, 1). k+ h * k, h 1 9 k+ h 6

7 Ejercicios y prolemas giados Página Otención de ectores paralelos y perpendiclares a no dado Dado el ector (9, 1), calclar las coordenadas de los sigientes ectores: a), nitario y de la misma dirección qe el ector. ) w, ortogonal al ector y del mismo módlo. c) z, de módlo y ortogonal a. a) ( 91, ) c 9, 1 m c, m Otra solción: c, m ) w 1 ( 1, 9) Otra solción: w (1, 9) c) w z 1 1 ( 1, 9) (, ) 1 z 1 ( 1, 9 ) (, ) 1. Cálclo de los módlos de la sma y de la diferencia de dos ectores De los ectores a y conocemos ss módlos, 1 y, respectiamente, y saemos qe forman n ánglo de. Hallar a + y a. a + ( a + ) ( a + ) a a + a + a + a + a + a cos a ( a ) ( a ) a a a a + a 1 a a cos

8 . Determinación de parámetros para qe n ector cmpla ciertas condiciones Sean los ectores a (, n) y (, m). Calclar el alor de los parámetros n y m en cada no de los sigientes casos, para qe se cmpla: a) a ) a y a c) a forme n ánglo de con el ector (1, 1). a) a 9+ n 9 + n n, n a 0 6+ nm 0 6+ nm 0 ) * * * a 9 n m 9 n m Solciones: n, m ; n, m Z ] m 6 ] n [ 9+ n + c6 ] m n c) a a cos a a + n a (, n) (1, 1) + n 9 Lego 9 + n + n n 0. Coordenadas de n ector en na ase no ortonormal En na ase ortonormal se consideran los ectores (, 0), (, 1) y w ( 1, ). Comproar qe B(, ) es tamién na ase y calclar las coordenadas de w en esta ase. 0, lego no tienen la misma dirección. Por tanto, forman na ase. 1 w m + n ( 1, ) m (, 0) + n (, 1) ( 1, ) (m + n, n) Igalando amas coordenadas: Solción: m 1, n 1 m+ n * n

9 Ejercicios y prolemas propestos Página 1 Para practicar Los ectores y ss operaciones 1 Osera la sigiente figra: A B C D E K L F G H I J a) Compara el módlo, la dirección y el sentido de las sigientes parejas de ectores: AB e IJ ; AH y LC. ) Calcla AC + CH y HC + CL. c) Completa las sigientes igaldades: LC CB L ; HA + H HC a) AB e IJ tienen el mismo módlo, dirección y sentido. AH y LC tienen misma dirección, sentido contrario y AH LC. ) AC + CH AH HC + CL HC + CJ HJ c) LC CB LC + CD LD HA + HJ HC Sean, y w los sigientes ectores: w Calcla gráficamente los ectores: a) + ) c) + w d) w e) + w f ) w w + w w + w + w 9

10 Osera el romo de la figra y calcla: a) AB + BC ) OB + OC B c) OA + OD d) AB + CD A O C e) AB + AD f ) DB CA D Expresa los resltados tilizando los értices del romo. a) AC ) AB DC c) BA CD d) AA 0 e) AC f) DC Considera el ector w : w Dija en cada no de estos casos n ector qe smado con dé como resltado w : a) ) c) d) a) w ) w c) w d) w Los ectores a, y c los hemos otenido operando con los ectores x, y, z. Qé operaciones hemos hecho en cada caso? y x z x a z y a y z x c x + y z c x y + z 10

11 Bases y coordenadas 6 A la ista de la figra, dija los ectores: Si tomamos como ase B (, ), cáles son las coordenadas de los ectores qe has dijado? ( 1, 1) (1, 1) + (1, 1) ( 1, 1) + ( 1, ) (1, ) 7 Escrie el ector a como cominación lineal de los ectores x e y. Escríelo tamién como cominación lineal de y. x y a Cáles son las coordenadas de a respecto de la ase B (x, y )? Y respecto de la ase B' (, )? a x y a x + y En la ase B ( x, y ), las coordenadas de a son a (, 1). a a En la ase B' (, ), las coordenadas de a son a (, ). 11

12 Escrie las coordenadas de los ectores a,, c y d respecto a la ase B (x, y ). a x c y d a (, ); (0, ); c ( 1, 0); d ( 1, ) 9 Cáles de los sigientes pares de ectores forman na ase? a) (, 1), (1, ) ) (, 6), c, m a) Sí, tienen distinta dirección ( k para calqier k). Basta con representarlos gráficamente para comproarlo. ) No, pes tienen la misma dirección ( ). 10 Considera el ector ( 1, ). Da n ector tal qe B (, ) sea na ase, y n ector w tal qe y w no formen na ase. Para qe formen na ase ss coordenadas no peden ser proporcionales. Hay mchas solciones, pero na de ellas es (1, ). Para qe no formen na ase, ss coordenadas tienen qe ser proporcionales. Hay mchas solciones, pero na de ellas es w (, 6). Página 1 11 Dados los ectores (, ) y (, 1), calcla: a) + 1 ) 1 ( + ) ( ) a) (, ) + 1 (, 1) ( 6, 10) + c 1, 1 m c 7, 1 m ) 1 [(, ) + (, 1)] [(, ) (, 1)] 1 (1, ) (, 6) c 1, m+ c 10, m c 17, m 6 1 Halla el ector tal qe c a 1, siendo a ( 1, ) y c (7, ). (7, ) ( 1, ) 1 (1, ) 7 ( 1 / ) * 9 ( 1 / ) ( 0, ) 1 Dados los ectores a (, ), ( 1, ) y c (0, ), calcla m y n de modo qe: c ma + n. (0, ) m(, ) + n( 1, ) 0 m n * m+ n Despejando en la primera ecación, n m, y sstityendo en la segnda: m + 6m m m n 1 1

13 1 Expresa el ector a ( 1, ) como cominación lineal de (, ) y c c, 1 m. 1 m+ n ( 1, ) m(, ) + n c, 1 m * m 1 n Resolemos el sistema por redcción (por ejemplo). Para ello, mltiplicamos la segnda ecación por (en los dos miemros) y smamos miemro a miemro las dos: 1 m + n 6 16m n 6 1m m 6 1 Sstityendo en na de las dos ecaciones y despejando n: 1 m + n 1 () + n 16 n n Así, podemos decir: a c 1 En na ase ortonormal las coordenadas de n ector son (, ). Halla las coordenadas de en la ase B ((1, 1), (0, 1)). _ x(1, 1) y(0, 1) ` ax+ y (, ) a( 1, 1) + ( 0, 1) ( a, a) + ( 0, ) ( a, a ) (, ) a a a * a Las coordenadas de en la nea ase son (, ). Prodcto escalar. Módlo y ánglo 16 Dados los ectores x (, ), y (0, ), z ( 1, ), calcla: a) x y ) x z c) y z a) x y (, ) (0, ) 6 ) x z (, ) ( 1, ) 1 c) y z (0, ) ( 1, ) 1 17 De los ectores, y w saemos qe: % ( 1, 1); 1; (, ) ; w Calcla y w % cos (, ) 1 cos 1 w 0, porqe cos

14 1 En na circnferencia de centro O y de radio cm, se inscrie n hexágono reglar de értices A, B, C, D, E, F. Calcla los prodctos: a) OA OB ) OA OC c) AB ED d) BC EF a) OA OB OA OB cos ( OA, OB) cos 60 1 ) OA OC cos 10 c 1 m A B c) AB ED ( *) (*) cos 0 1 (*) OAB es n triánglo eqilátero, lego: AB OA Razonamos igal para ED. d) BC EF (mismo módlo, misma dirección y sentido opesto) Lego: BC EF cos 10 ( 1) 19 Dados (, ), (, 1) y w (, ), calcla: a) ( + ) w ) w w c) ( )w d) ( ) a) + (, ) + (, 1) (6, 9) + ( 6, ) (0, 11) ( + ) w (0, 11) (, ) F 60 O E D C ) w (,) (, ) w 16 ( 1) w (,1) (,) 1+ 1 c) (, ) (, 1) 6 + ( )w (, ) ( 1, 6) d) (, 1) (, 1) ( ) (, ) 10 (0, 0) 0 Si A, B y C son los értices de n triánglo eqilátero de lado 1, calcla: a) AB AC ) AB ( AC ) c) ( AB + AC ) AB d) ( AB AC ) AC En n triánglo eqilátero, los lados miden 1 y forman n ánglo de 60. a) AB AC AB AC cos ) AB ( AC ) ( ) AB AC 6 c) ( AB + AC ) AB AB AB + AC AB d) ( AB AC ) AC AB AC AC AC 1 AC 1 1 1

15 1 Comprea si las sigientes parejas de ectores son perpendiclares: a) (0, 1), (, ) ) (0, 7), (, 0) c) (, ), (, ) d) (, 6), (, 1) a) (0,1) (, ) 0 No son perpendiclares. ) (0, 7) (, 0) 0 Sí son perpendiclares. c) (, ) (, ) 0 0 No son perpendiclares d) (, 6) (, 1) 0 Sí son perpendiclares. Otén, en cada caso, n ector paralelo y otro perpendiclar al ector dado. a) (0, ) ) (, 0) c) (, ) d) ( 1, 1) paralelo perpendiclar a) (0, 9) (, 0) ) (10, 0) (0, ) c) (0, 0) (, ) d) (, ) (1, 1) Calcla k para qe el prodcto sea igal a 0 en los sigientes casos: a) (6, k), ( 1, ) ) c1, m, (k, ) c) (, ), (, k) d) (k, k ), (, ) a) 6 + k 0 k ) c 1, ( k, ) k k m c) (, ) (, k) k 1 0 k 1 d) (k, k) (, ) 0 Calqier k es álido. Halla el módlo de cada no de los sigientes ectores: (, ) (, ) w (, 0) (, ) 9+ 1 (, ) w (, 0) + 0 Halla el alor de m para qe el módlo del ector c, mm sea igal a 1. c, mm 9 + m 1 m, m 1

16 6 Dada la ase B (, ) donde (, ) y (0, ), determina, en cada caso, na ase B' de ectores nitarios tales qe: a) Los ectores de B' sean paralelos a los de B. ) Los ectores de B' sean perpendiclares a y. a) B' (', ') ; 0+ 6 ' 1 1 (, ) c, m ' 1 1 (0, ) (0, 1) ) B' (', ') ' ' (, ) ' ' (, 0) 7 Dado el ector (, k) calcla k de modo qe: a) sea ortogonal a (, ). ) El módlo de sea igal a. a) 0 (, k) (, ) 0 0 k 0 k 10 ) ( ) + k + k + k k 9 k ± Hay, pes, dos solciones. Dado el ector (, 1), determina: a) Los ectores nitarios paralelos a. ) Los ectores ortogonales a qe tengan el mismo módlo qe. c) Los ectores nitarios y perpendiclares a a) 1 1 ( 1, ) c, 1 m ( 1, ) c, 1 m ) 1 ( 1, ) (1, ) c) 1 1 ( 1, ) c 1, m ( 1, ) c1, m Halla n ector de módlo 0 qe sea perpendiclar al ector a (, 6). ' (6, ) es perpendiclar a a. ' Un ector con esta dirección y de módlo 1 es: 1 ( 6, ) c 6, m c, m El ector qe scamos es: 0 c, m (0, 0) Tamién es solción ' ( 0, 0). 16

17 0 Halla el ánglo qe forman estos pares de ectores: a) (, ), (1, ) ) m(, 6), n(, ) c) a (1, 6), c 1, m a) cos (, ) 1 7 0, (, ) 11 0' 1'' ) cos ( mn, ) c 1 m 6 c) cos (, a) ( mn, ) 90 1 ( a, ) 10 1 Dados c1, km y c 1, 0m, calcla k para qe y formen n ánglo de k 0 1 cos (, ) cos k k k 1 k 1 ; k k Calcla x, de modo qe el prodcto escalar de a (, ) y (x, ) sea igal a 7. Qé ánglo forman los ectores a y? a (, ) (x, ) 7 x 10 7 x 17 cos (, a) , c m + (, a) 79 1' 17'' Calcla la proyección de sore, la de sore y representa gráficamente cada sitación. a) (, 0) y (, ) ) (1, ) y (, ) c) (, ) y (, ) a) 9+ 0 ; ; cos (, ) 9 proy ( ) cos (, ) proy () proy ( ) cos (, ) 9 proy () 17

18 ) ; 16 + ; cos (, ) 6 10 proy ( ) cos (, ) proy () 1 proy ( ) cos (, ) proy () c) + 9; + 9; cos (, ) 0 proy ( ) cos (, ) 0 proy ( ) cos (, ) 0 proy () proy () Página 1 Para resoler Señala si las sigientes afirmaciones son erdaderas o falsas: a) Si 0, entonces B (, ) es na ase. ) Dos ectores paralelos peden tener ss coordenadas no proporcionales. c) Si dos ectores son perpendiclares, ss coordenadas no peden ser proporcionales. d) AB y BA tienen el mismo módlo, pero distinta dirección. e) El módlo de es el triple qe el módlo de. a) Verdadera, porqe los ectores son perpendiclares, lego no tienen la misma dirección. ) Falsa. Si son paralelos, ss coordenadas son proporcionales porqe k. c) Verdadera. Si las coordenadas feran proporcionales, serían paralelos. d) Falsa. Tienen el mismo módlo y la misma dirección, pero sentidos contrarios. e) Verdadera: 1

19 Cómo es el ánglo formado por los ectores y en los sigientes casos?: a) proy ( ) > 0 ) proy ( ) < 0 c) proy ( ) 0 % % % a) 0 < (, ) < 90 ) 90 < (, ) < 10 c) (, ) 90 6 Expresa los ectores a, y c como cominación lineal de x e y. a y c x a 1 x + y 1 x + y c 1 x y 7 Sean A, B y C los értices de n triánglo. Si AB ( 1, ), AC (, 1) y BC (, ), pede tratarse de n triánglo rectánglo? AB ( 1, ); AC (, 1); BC (, ) AB AC ( 1, ) (, 1) 7 AB BC ( 1, ) (, ) AC BC (, 1) (, ) 17 Ningno de los tres prodctos escalares es cero, lego ningún par de ectores es perpendiclar. Los lados no son perpendiclares. Por tanto, el triánglo no es rectánglo. Sean A, B, C y D los értices de n cadrilátero. Señala, en cada caso, las condiciones qe deen cmplir los ectores AB, BC, CD y DA para qe el cadrilátero ABCD sea n: a) Cadrado. ) Paralelogramo. c) Trapecio isósceles. d) Trapecio escaleno. a) Lados igales y perpendiclares: AB CD ; BC DA ; AB BC 0 ) Lados igales dos a dos: AB CD ; BC DA c) Dos lados paralelos y los otros dos no paralelos y con el mismo módlo: AB CD AB k CD ; BC / DA ; BC DA d) Dos lados paralelos y los otros dos no paralelos y con distinto módlo: AB CD AB k CD ; BC / DA ; BC DA 9 Sean a ( 6, ) y (, ). Halla, en cada caso, n ector c (x, y ) perpendiclar a tal qe: a) c a ) c 1 c) c a a) a ; Un ector c es de la forma c k (, ). c k (, ) 10 ) c 1 (, ) c, m 1 (, ) (, 6) c) c a k (, ) ( 6, ) k + k k k c 1 (, ) c 1, 1 m

20 0 Dados los ectores ( 1, a) y (, 1), halla a y, en cada caso, de modo qe: a) y 10 ) 7 y 17 a) ( 1, a)(, 1) 0 1a 0 * * * 10 1 a 10 1 a Solciones: a, ; a, 7 ( 1, a)(, 1) 7 1a 7 ) * * * Solciones: a 1, 1 ; a 1, 1 Dados los ectores a y + k, siendo (, ) y (, 0), halla k de modo qe (a + ) sea ortogonal a (a ). a (, ) (, 0) ( 7, 6) (, ) + k(, 0) ( 6 k, 9) * a+ ( 1 k, ) a ( 1 + k, 1) Ahora, como el prodcto escalar de amos ectores dee ser 0, por ser ortogonales: (1 k, ) (1 + k, 1) 0 (1 k) (1 + k) + ( ) k 9k 9k 0 9k + 6k ± ± 1 k 6 ± / 1 / k / 1 / k % Calcla la proyección de + sore saiendo qe y (, ). Por ser cos ( +, ) 1 cos (, ) 0' proy ( + ) + cos ( +, ) + cos ( +, ) ( + ) ( + ) cos ( +, ) + + cos 0' + + cos 0 ' + 0,9, 1 De los ectores a y saemos qe a y y qe forman n ánglo de 10. Calcla a. Como: cos 0 1 Entonces podemos decir qe: a ( a ) ( a ) a a a + a a cos ( a%, ) + cos c 1 m + 9 Lego: a 7 0

21 Halla el alor qe dee tener k para qe los ectores x ka + e y ka sean perpendiclares, siendo a (/, ) y (, 0). a c m x y x y 0 x y (k a + ) (k a ) k a a k a + k a k a k 7 Este prodcto erscalar tiene qe ser cero, lego: k 7 0 k 10 7 ; k Si y ( + ) ( ) 11, halla. ( + ) ( ) 11 Como, se tiene qe: Saiendo qe, y, halla + y. + ( + ) ( + ) + + (*) (*) 0 ( ) ( ) Sea B (x, y ) na ase ortonormal. Calcla x + y y x y. x + y ( x + y ) ( x + y ) x x + x y + y y x y x + y x y ( x y ) ( x y ) x x x y + y y x 0 + y x y Si, y +, qé ánglo forman y? Razonando como en el prolema giado número, llegamos a: + + cos (, ) + Sstityendo los alores conocidos: + cos (, ) cos (, ) + 9 cos (, ) 0 (,) 90 1

22 9 Calcla x para qe los ectores a (7, 1) y (1, x) formen n ánglo de. a 7 + x a cos 7 + x 0 1+ x 1 + x 100( 1+ x) 1 + x 1+ x x 1+ x 9 + x + 1x 1 + x 9 + x + 1x + x x 1x 0 1x 7x 1 0 x 7± x1 / x / 0 Halla n ector nitario qe forme n ánglo de 0 con el ector a (1, ). Llamamos (x, y ) al ector scado: Z Z x+ y (, ) cos 0 x y a 0 ] ] + x+ y * [ 1 1+ [ * 1 x y 1 x y 1 x y + ] + ] + 1 Las solciones de este sistema son: x 0, y 1; x 1, y 1 1 Por tanto: 1 (0, 1); c, 1 m 1 Determina x para qe los ectores (x, 1) y (x, 0) formen n ánglo de 0. cos 0 x x x + 1 x x + 1 x x + 1 x (x + 1) x ± Halla n ector a qe forme n ánglo de 60 con el ector (, ) y tenga como módlo la mitad del módlo de. a (x, y ) (, a ) 60 a 1 * Z ] x+ y Z cos 60 1 x+ y ] x y ] [ [ x+ y a x+ y ] ] Z x+ y ] 1 x+ y [ x+ y * x y x 1, y ; x, y 0 + ] x+ y Solciones: a 1 ( 1, ); a (, 0) De na ase B (, ) se sae qe, 1 y 1. En esa ase las coordenadas de dos ectores son x (1, ) e y ( 1, 1). Calcla x y. Mira el prolema reselto número 1. x y ( + ) ( + ) ( 1) + 7

23 Dados a (1, ) y (, ), expresa el ector como sma de dos ectores: no de la misma dirección qe a y otro ortogonal a a. x + y, donde: x tiene la misma dirección de a x k a k(1, ) (k, k) y a y h(, 1) ( h, h) Entonces: (, ) x + y (k, k) + ( h, h) (k h, k + h) k h k+ h k h 1 Los ectores pedidos son x (, 6) e y (, 1). Se sae qe c a + y d a son perpendiclares y qe a y son nitarios. Cál es el ánglo qe forman a y? Si c d c d 0 ( a + ) ( a ) 0 a a a + 10 a 0 Como a y son nitarios a 1 a + 6 a + 6 a 0 a 6 1 % a a cos ( a%, ) cos ( a,) 1 ( a%, ) 10 6 Demestra qe el ector ( c ) a ( a c ) es perpendiclar al ector c. Hay qe proar qe el prodcto escalar de amos ectores es igal a 0. Veamos primero cáles son las coordenadas del primer ector: ( c ) a ( a c ) ( 1 c 1 + c ) (a 1, a ) (a 1 c 1 + a c ) ( 1, ) (( 1 c 1 + c ) a 1, ( 1 c 1 + c ) a ) ((a 1 c 1 + a c ) 1, (a 1 c 1 + a c ) ) (a 1 1 c 1 + a 1 c, a 1 c 1 + a c ) (a 1 1 c 1 + a 1 c, a 1 c 1 + a c ) (a 1 1 c 1 + a 1 c a 1 1 c 1 a 1 c, a 1 c 1 + a c a 1 c 1 a c ) (a 1 c a 1 c, a 1 c 1 a 1 c 1 ) Calclamos ahora: [( c ) a ( a c ) ] c (a 1 c a 1 c, a 1 c 1 a 1 c 1 ) (c 1, c ) (a 1 c a 1 c ) c 1 + (a 1 c 1 a 1 c 1 ) c a 1 c c 1 a 1 c c 1 + a 1 c 1 c a 1 c 1 c 0 7 Una arca se desplaza por n río en dirección sr a na elocidad de 0 km/h. Si empieza a soplar n iento en dirección este a km/h, en qé dirección y a qé elocidad se moerá la arca? La elocidad es La dirección es ( +, ). Calclemos este ánglo: cos ( +, ) 0 097, ( +, ) 1 ' 11'' 17 Se mee en dirección sreste con 1 ' 11'' respecto de la dirección sr.

24 Sean a y los ectores qe definen n cadrado. Demestra qe los pntos medios de ss lados definen otro cadrado. Mira el prolema reselto número. a a F a E a G Z _ EF 1 1 ] a+ [ ` EF HG ] HG a a Z _ EH 1 1 ] a [ ` EH FG ] FG 1 1 a a Z EH ] c am c am a + a a + a [ EF 1 1 a 1 1 a a 1 1 a 1 a 1 1 ] c + m c + m a EF FG c a+ m c am a a a+ a H 1 a porqe el polígono original era cadrado y, por tanto, a. Como los otros dos lados son paralelos a estos, tamién son perpendiclares entre sí. Lego los lados del polígono EFGH miden lo mismo, los opestos son paralelos y son perpendiclares dos a dos. Por tanto, el polígono EFGH es n cadrado. _ ` a EH EF Página 1 Cestiones teóricas 9 Indica si el resltado de las sigientes operaciones es n número o n ector: a) a ) (a ) c c) (a ) c d) (a + ) (a ) a) Número. ) Vector. c) Número. d) Número. 60 Si B (a, ) es na ase de los ectores del plano, señala cáles de los sigientes pares de ectores peden ser otra ase: a) (a, ) ) ( a, a + ) c) (a, a + ) d) (a, a ) a) Sí, pes no tienen la misma dirección, ya qe a tiene la dirección de a y tiene la dirección de (qe, por ser B ( a, ) ase, no es la misma). ) No, pes a 1( a + ), lego los dos ectores tienen la misma dirección (y sentidos opestos). c) Sí, pes tienen distinta dirección. a a a + d) No, pes tienen la misma dirección al ser a 1( a ).

25 61 Sean a y dos ectores no nlos. Indica qé ánglo forman en los sigientes casos: a) a a ) a 0 c) a a d) a 0, a % % a) cos ( a%, ) 1 ( a,) 0 ) a ( a,) 90 % % % c) cos ( a%, ) 1 ( a,) 10 d) cos ( a,) 0, ( a,) 60 6 Bsca algnos ejemplos con los qe se ea qe: a a c no implica qe c Considera los ectores a, y c del dijo de la derecha: a a proy ( ) a a c a proy a ( c) Como amas proyecciones coinciden: a a c a Y, sin emargo: c 6 Prea, qe si a y a c, entonces: a (m + n c ), m, n Á Hay qe proar qe a (m + n c ) 0. Veamos: c a (m + n c ) m( a ) + n( a c ) Como: a a 0 a c a c 0 a ( m+ nc) m 0+ n 0 6 Prea qe si a y a ( + c ), entonces se erifica qe a c. Si a a 0 Si a ( + c) a ( + c) a + a c 0 a c 0 a c 6 Jstifica por qé a a. % cos ( a, ) a a 1 porqe el coseno de n ánglo, en alor asolto, siempre es menor o igal qe 1. a a Lego, pasando el denominador (qe siempre es positio) al segndo miemro: a a Para profndizar 66 Sean a y los ectores qe definen los lados de n romo, partiendo de no de ss értices (cada ector determina n par de lados paralelos). a) Expresa las diagonales del romo en fnción de los ectores a y. ) Demestra ectorialmente qe las diagonales del romo son perpendiclares. a) C A a + ; BD a ) C A BD ( a + ) a a 0 porqe los lados de n romo tienen la misma longitd. B A a + a a D C

26 67 Halla los ánglos interiores del triánglo ABC. Osera qe pedes expresar estos ánglos como ánglos entre ectores. Las coordenadas de estos ectores las otendrás expresándolos como cominación lineal de la ase B (x, y). DH (, 6); EG (, ) A^ DH, EGl cos A^ cos DH, EGl ( 6, ) (, ) 0 A^ 90 ( 6, ) (, ) F D G B A C E y x H I HD (, 6); IF (, 0) C^ HD, IF l cos C^ cos HD, IF l (, 6)( 0) (, 6) ( 0, ) C^ ' 11'' 6 0, 0 B^ 90 ' 11'' 7' 9'' 6 Dados dos ectores y, definimos el ector proyección de sore como el ector proy (). Calcla analítica y gráficamente este ector si: a) (, ) y (, ) ) (, 6) y (, 1) % Existe algna relación entre el sentido de este ector y el ánglo (, )? a) proy ( ) cos (, ) 0 Lego, proy ( ) (0, 0) ) proy () cos (, ) ( 6, )(, ) Lego, proy () 1 ( 6, ) c, m 10 Si el ánglo es agdo, proy ( ) tiene el mismo sentido qe, si el triánglo es otso, tiene sentido contrario a. Atoealación 1 Se consideran los ectores (, 6) y (1, ). Calcla gráficamente y tilizando coordenadas, + y 1. + (1/) (1/) + (, 6) + (1, ) (, 6) + (, ) (0, ) 1 1 (, 6) (1, ) ( 1, ) (, 6) (, 9) 6

27 Sean y dos ectores nitarios qe forman n ánglo de 60. Calcla: a) ) () ( ) c) proy ( + ) a) cos ) ( ) 6( ) c) proy ( + ) ( + ) Expresa el ector a ( 1, 9) como cominación lineal de los ectores de la ase B ((, ), ( 1, )). ( 1, 9) k(, ) + s( 1, ) ( k s, k + s) 1 k s 9 k+ s s 1 k 9 k+ 1 ( k) 9 7k+ k s 1 Por tanto: ( 1, 9) (, ) ( 1, ) a Consideramos los ectores y cyas coordenadas respecto a na ase ortonormal son (0, ) y (1, ). Calcla: a) S prodcto escalar. ) El módlo de amos ectores. c) El ánglo qe forman. a) (0, ) (1, ) ) c) cos (,) (,) arc cos e o 0 Considera el ector (, ). Calcla: a) Un ector paralelo a de módlo 1. ) Un ector perpendiclar a de módlo. a) 1 (, ) c, m ) 1 (, ) c, 6 m 6 Sea (, k). Calcla k de forma qe: a) sea ortogonal a (, 6). ) El módlo de sea igal a. a) El prodcto escalar de dos ectores ortogonales es igal a 0. 0 (, k) (, 6) 1 6k 0 k ) 9 + k 9 + k k ± 7

28 7 Determina las coordenadas de n ector a (x, y) qe forme con el ector ( 1, 0) n ánglo de 60 y cyo módlo sea. cos ( a,) cos 60 1 a a x x 1 1 a x + y 1+ y 1 + y y y ± Hay dos solciones para el ector a : * a ( 1, ) a ( 1, ) Otén n ector (x, y) ortogonal a (, 6) y cyo módlo sea la mitad del de. 0 x + y ; (x, y) (, 6) x + 6y 0 1 x + y x + y Resolemos el sistema: x y x y x+ y 9 y+ y y y 16 y ± y x y x Hay dos solciones: (, ); (, ) 9 Sean a y dos ectores nitarios qe forman n ánglo de 10. Calcla a + y a. a + ( a + ) ( a + ) a a + a + a + a cos ( a%, ) a + 1 a ( a ) ( a ) a a a + a a cos ( a%, ) a c 1 m + 1 c 1 m + 1