En este capítulo se describe el problema de máxima cobertura sin capacidad (MCLP) y con

Transcripción

1 CAPITULO 3 Descrcón del roblem En este cítulo se descrbe el roblem de mám cobertur sn ccdd (MCLP) con ccdd (CMCLP). Posterormente se resentn los modelos de rogrmcón mtemátc r mbos. 3.1 Descrcón del MCLP El roblem de loclzcón de mám cobertur consder l sguente stucón. Se { 1, L m} I, un conunto de índces de ubccones otencles r loclzr nstlcones (centros de servco), J { 1, L,n} un conunto de índces r los clentes. Pr cd clente J se esecfc un cert demnd del servco, r cd r I, J se esecfc un dstnc d. Se requere determnr cuál es l mám cobertur de l demnd, ddo un rdo de cobertur δ, selecconndo como mámo nstlcones ( tmbén es un vlor ddo). Se consdern ls sguentes vrbles de decsón: 1 s el clente J tene cobertur del servco, 1

2 1 s se seleccon un nstlcón en l ubccón I. Se 1 s el clente J uede ser cuberto or un nstlcón ubcd en el nodo I, (. e. d δ ). El roblem de loclzcón de mám cobertur uede formulrse de l sguente mner: Mmzr sueto J I I J ( 2) { 0,1} J ( 3) { 0,1} I ( 4) El conunto de restrccones (1) segur que un clente tene cobertur semre cundo est un nstlcón dentro del rdo de cobertur. L restrccón (2) segur que se selecconn lo más nstlcones. Ls restrccones de ntegrdd de ls vrbles de decsón se eresn mednte (3) (4). 3.2 Descrcón del CMCLP Pr formulr el roblem de mám cobertur cctdo, se consder un ccdd b de cd nstlcón I ls sguentes vrbles de decsón: 2

3 1 s el clente J está cuberto or un nstlcón ubcd en el nodo I, 1 s se seleccon un nstlcón en l ubccón I El roblem de mám cobertur cctdo se formul de l sguente mner: Mmzr sueto I J I J I 1 b J I ( 2) () 3 { 0,1} I, J ( 4) { 0,1} I ( 5) Ls restrccones (1) segurn que cd clente se sgndo un sol nstlcón. El conunto de restrccones (2) grntzn que se resete l ccdd de ls nstlcones selecconds, demás, roíben l sgncón de clentes centros cerrdos. L restrccón (3) ermte selecconr lo más nstlcones, mentrs que (4) (5) son ls restrccones de ntegrdd de ls vrbles de decsón. Este roblem sdo estuddo en Cung et. l [2], Current Storbeck [6], en Prkul Sllng [17]. 3

4 3.3 Modelo bse r el dseño de CMCLP. En el trbo de Loren [16] se utlz un Modelo Lnel Unfcdo (ULM) desrrolldo or Hllsmn [14] con el obetvo de dtr los coefcentes de dstnc r un roblem de l -medn, de mner que reflee l nformcón de l demnd de un oblcón. Est trnsformcón ermte l lccón de l relcón Lgrngen l roblem de l -medn r obtener sus cots nferores. El roblem de l -medn se uede formulr de l sguente mner: Mn sueto I J I I d 1 J I, J (2) () 3 { 0,1} I, J ( 4) { 0,1} I, (5) L funcón obetvo reresent l dstnc totl de cd unto de demnd l nstlcón más cercn. Ls restrccones (1) (3) segurn que todos los untos de demnd sen sgndos un sol nstlcón. L restrccón (2) grntz que ectmente nstlcones sen loclzds. Ls condcones de ntegrdd están dds or ls restrccones (4) (5). 4

5 Utlzndo el ULM de Hllsmn [14], en el roblem de MCLP l demnd ( ) es conocd, or lo tnto se uede cmbr l mtrz d del MP or nuevos coefcentes C (Hllsmn [14]), clculándolos de l sguente form: C 0,, s s d d δ δ Por lo tnto, l funcón obetvo del MP cmb su sgnfcdo l de mnmzr l oblcón nstsfec; es decr, quellos untos de demnd cu dstnc es mor l del rdo de cobertur; or lo tnto, el roblem de mám cobertur, lcndo el método de Hllsmn, qued formuldo de l sguente mner: v( MCLP) v( MP) J Por lo tnto, se rouso mlementr este msmo conceto l roblem de loclzcón de mám cobertur cctdo. 3.4 Modelo rouesto de CMCLP. Se lcó el método ULM de Hllsmn r resolver el CMCLP, usndo un formulcón nálog l del roblem de l -Medn Cctdo (CMP). L formulcón es l sguente: 5

6 v( CMCLP) v( CMP), donde J v( CMP) Mn sueto I J I I J C 1 J (2) b I () 3 { 0,1} I, J ( 4) { 0,1} I (5) L funcón obetvo reresent or l cntdd de demnd nstsfec. Ls restrccones (1) esecfcn que cd clente debe de ser servdo or un sol nstlcón. L restrccón (2) ndc que ectmente nstlcones sen escogds como cnddtos r l ubccón de nstlcones, demás, roíben l sgncón de clentes centros cerrdos. El conunto de restrccones (3) grntzn que se resete l ccdd de ls nstlcones selecconds. Ls condcones de ntegrdd están dds or ls restrccones (4) (5). 6