INTEGRACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES

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1 INTEGRACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES Métodos que no comenzn por s msmos Métodos Numércos G. Pce Edtorl EUDENE Métodos Numércos pr Ingeneros.- Cpr Cnle. Ed. McGrw Hll Intermercn.007. Análss Numérco.- Burden Fres.- Ed. IeroAmérc Introduccón PROBLEMAS DE VALORES INICIALES QUE NO EMPIEZAN POR SI MISMOS Estos métodos pueden ser defndos como quellos pr los cules un solo vlor de l vrle dependente, dd en l solucón ncl, no es sufcente pr dr nco l procedmento de ntegrcón numérc. Es necesro el conocmento de más de un punto de l solucón, según el cso.

2 MÉTODO DE MILNE Se l ecucón dferencl generl de prmer orden prmer grdo, : f(x ; ) (0.) donde, l menos se conoce un punto de l solucón (x 0 ; 0 ), llmd Solucón Incl. Se dvdrá el áre jo un rco ddo de l curv f(x ; ) en cutro ntervlos de mpltud (ver fgur 0.). El áre rel jo est porcón de curv se proxm consderndo el áre de ests cutro frnjs como l rcd por un práol de segundo grdo que tene tres puntos en común con l curv rel MÉTODO DE MILNE () : f (x;) : x xc Y - Y - Y - Y Y 0 X - X - X - X X x - Fgur 0. -

3 MÉTODO DE MILNE () S se ce concdr el eje de ls ordends con - no se perde generldd se tene l ventj de smplfcr ls expresones. De est mner, el áre jo l práol está dd por: A ( x x c)dx l que ntegrd result : 6 A 4c sendo ls constntes ; c: (0.) ; c (0.) MÉTODO DE MILNE (4) Susttuendo los coefcentes ddos por (0.) en l (0.) se otene, pr el áre A de ls cutro frnjs: 4 A [ ] (0.4) Expresón que será utlzd como prte de l ecucón de predccón. Consderndo que en l ecucón (0.), est técnc consste en otener vlores propdos de utlzndo un ecucón de PREDICCIÓN corrgendo luego estos vlores, por el uso tertvo de un ecucón de CORRECCIÓN.

4 MÉTODO DE MILNE (5) Ecucón de PREDICCIÓN DE MILNE : 4 P( ) [ A ] (0.5) Utlz el áre de cutro frnjs jo un proxmcón prólc de segundo grdo. L ecucón de CORRECCIÓN DE MILNE está dd por: C( ) [ 4 ( P ) ] (0.6) Y utlz l regl de SIMPSON pr determnr el áre de dos frnjs jo un curv sumnstrr s, vlores corregdos de l vrle dependente. MÉTODO DE MILNE (6) Deen ser determndos de lgun mner vlores pr:,,, uel uso de l sere de TAYLOR, result precso pr determnr los tres prmeros vlores que permten ncr el procedmento. Es necesro conocer ls dervds sucesvs prmers en el punto xx 0, pr logrr su plccón. Cundo no se conocen ls dervds, se utlz el método de RUNGE-KUTTA. L solucón de l ecucón f(x ; ) se puede logrr utlzndo el método de RUNGE-KUTTA de curto orden, pero el método de MILNE utlz menos tempo de procesmento l estmcón del error es más sencll precs. L ecucón de correccón expresd en (0.6), juntmente con l ecucón dferencl dd (0.), se utlzn en form tertv st que dos vlores consecutvos de dfern en menos de un certo E prevmente estlecdo. 4

5 MÉTODO DE MILNE (7) Ejemplo 0..- Resolver l ecucón dferencl x, con l condcón ncl (0;0) en el ntervlo (0;,4), sendo 0, tomndo E<0,00. Solucón: Mednte l sere de TAYLOR es posle clculr: (0,) 0,050 ; ' (0,) 0,50 (0,6) 0, ; ' (0,6) 0,8 (0,9) 0,560 ; ' (0,9),460 MÉTODO DE MILNE (8) Aplcndo sstemátcmente ls ecucones (0.5), (0.) (0.6) se otene x P( ) P( ) C( ) C( ) C( ),,9,9,9,9,9,5,979,479,98,48,98,8,48 5,048,49 5,049,49, 5,06 7,6 5,066 7,66 5,066,4 7,68 0,08 7,6 0,09 7,6 5

6 Error en el Método de MILNE Ls ecucones de Predccón (0.5) de Correccón (0.6) resultn excts jo condcones mu prtculres. Puede demostrrse que el error cometdo con l plccón de ls ecucones es del orden: donde x - < θ<x ( θ ) IV E 5 f (0.7) El error no puede ser clculdo con excttud, pero, puede cotrse tomndo el extremo del ntervlo que ce máxm l dervd curt de f. Generlzcón del Método de MILNE Los prncpos empledos en l deduccón de ls fórmuls de Predccón (0.5) Correccón (0.6) del método se prestn ser extendds otros. Esto ce umentr l precsón de ls fórmuls pero, se requerrán más de cutro puntos de l curv ntegrl. Pr el cso prtculr de 6 frnjs jo l curv `(x).: P 0 ( ) [ ] 5 4 (0.8) C ( ) [ 7 7 ( P ) ] (0.9) 45 El error que se comete por pso, plcndo ls expresones (0.8) (0.9) es del orden: E f VII ( θ ) (0.0) x -5 < θ<x -. 6

7 ESTABILIDAD DE LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN PASO: conjunto de opercones rtmétcs elementles decsones lógcs que componen l prte del lgortmo de resolucón de un ecucón dferencl, destnd determnr el vlor de l vrle en cd punto del ntervlo comprometdo en el procesmento. El error por pso de un método proxmdo se denomn ERROR LOCAL, puesto que es un error que se ntroduce en el pso correspondente del proceso de ntegrcón. El ERROR TOTAL que exste en l solucón durnte un pso prtculr (dferenc entre el vlor verddero el vlor clculdo numércmente) depende no solo de l mgntud de los errores locles ntroducdos por ese pso prtculr, sno tmén de ls crcterístcs de propgcón de los errores locles que se n ntroducdo en los psos prevos. ESTABILIDAD DE LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN () Se l ecucón dferencl: f (x ; ) (0.) Defncón 0..- "Se dce que un método numérco es ESTABLE, s en el proceso de ntegrr un ecucón dferencl, donde f < 0, l dferenc entre l solucón rel l solucón numérc (error totl), tende dsmnur en mgntud conforme l ntegrcón progres". Defncón 0..- "Se dce que un método numérco destndo resolver ecucones dferencles, es RELATIVAMENTE ESTABLE, s l velocdd de crecmento del error totl durnte el proceso de ntegrcón es menor que l velocdd de crecmento del vlor soluto de l solucón". 7

8 ESTABILIDAD DE LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN () L estldd de un método de ntegrcón numérc no se defne en el cso en que l dervd con respecto se mor que cero (f > 0). S (f >0) : l solucón de l ecucón dferencl crecerá en form exponencl el error totl generlmente crecerá en l msm form. Pr l solucón de un ecucón de ese tpo, sore un rngo extenddo de ntegrcón, se dee utlzr un método que se RELATIVAMENTE ESTABLE, pues, suponendo que l solucón exct tene l form: (0.) A e x El error totl cusdo por el método numérco en l solucón dee tener l form generl sguente (0.) E B e m x S es m <, el método se consder reltvmente estle ESTABILIDAD DE LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN (4) Estldd reltv: es tmén mportnte cundo se utlz pr resolver un ecucón, pr l cul f < 0, l solucón tende cero sntótcmente, porque, se dese un solucón precs que encerre un vlor de mu cercno cero. L velocdd de dsmnucón del error totl dee ser mor que l de l solucón. En form nlítc, s l solucón tene l form: (0.) A e - x entonces el error totl producdo por el método dee tener l form generl: (0.4) E B e - m x en el cul m >, pr que el método se consdere reltvmente estle. 8

9 ESTABILIDAD DE LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN (5) Los conceptos de ESTABILIDAD ESTABILIDAD RELATIVA son ndependentes no excluentes; de nngún modo el prmero mplc l segundo, como prte prop; n tmpoco que, el segundo nvld l prmero de los mencondos. L propgcón de los errores durnte un ntegrcón no es un ostáculo sero en l solucón de l morí de los prolems práctcos. El uso de vlores reltvmente pequeños de sumnstrrá respuests sufcentemente precss, ndependentemente de ls crcterístcs de estldd o estldd reltv del método numérco empledo. Sn emrgo, s se desern solucones sore ntervlos de ntegrcón mu grndes, se deerá recurrr métodos estles o reltvmente estles MÉTODO DE HAMMING Este método,permte resolver ecucones dferencles del tpo f (x ; ) es ESTABLE RELATIVAMENTE ESTABLE. Se trt,de un método del tpo PREDICTOR - CORRECTOR Utlz, l msm fórmul de predccón que el método de MILNE: P 4 ( ) [ ] Pr otener un mejor proxmcón de este vlor se utlz l denomnd ECUACIÓN GENERALIZADA DE CORRECCIÓN DE HAMMING dd por l sguente expresón: [ ] (0.5) (0.5) 9

10 0 MÉTODO DE HAMMING () Susttuendo los vlores de - ; - ;, ; - ; ; por sus respectvos desrrollos en sere de TAYLOR en funcón de, se otene: ( ) ( ) ( ) [ ] K!! ( ) ( ) ( ) [ ] K!! [ ] { IV K!! ( ) ( ) ( ) [ ]} K!! IV El desrrollo en sere de TAYLOR de l funcón, result: K!! (0.6) (0.7) MÉTODO DE HAMMING () Igulndo los coefcentes, en l expresón (0.6) con los omólogos de (0.7), se lleg l sguente conjunto de ecucones lneles smultánes: (0.8) Sstem de ses ncógnts. Será necesro, de un sext ecucón pr determnr el vlor de ls msms. HAMMING demuestr que con un vlor de - 0, se logr un ecucón de correccón que es estle reltvmente estle cundo se mponen certs condcones l mgntud del ncremento.

11 MÉTODO DE HAMMING (4) Utlzndo - 0, el sstem (0.8) rroj los sguentes vlores: ; (0.9) 9 ; 8 0; 8; 8; 4 8 L susttucón de los vlores otendos, en l ecucón (0.5) produce l ECUACIÓN DE CORRECCIÓN DE HAMMING: C ( ) { [ P( ) ]} 9 8 (0.0) MÉTODO DE HAMMING (5) Est ecucón es ESTABLE RELATIVAMENTE ESTABLE cundo f <0, s se tom: 0,75 < (0.) f Usd conjuntmente con l ecucón (0.0), pr relzr l tercón st logrr l convergenc desed L ecucón de correccón es RELATIVAMENTE ESTABLE pr l solucón de ls ecucones dferencles en ntervlos donde f >0, cundo: 0,4 < (0.) f

12 MÉTODO DE HAMMING (6) Pr mntener pequeño el error por pso, el vlor de dee ser menor que los especfcdos por ls relcones (0.) (0.). El error por pso, en este método es del orden de 5. L form nturl de operr consste en clculr los vlores de - ; - ; ; - ; - ; del msmo modo que pr el método de MILNE, un vez otendos quellos, predecr el vlor de por medo de l fórmul (0.5) de predccón de MILNE, luego utlzr l ecucón dferencl dd (0.) pr clculr un predccón de l dervd prmer, por últmo, corregr ls predccones mednte l plccón tertv de l fórmul de correccón de HAMMING (0.0), st otener l convergenc desed. C Método Modfcdo de HAMMING L mor prte del error que se comete en el cálculo del vlor de predccón, se puede elmnr utlzndo l sguente ecucón: M ( ) P( ) [ P( ) C( )] (0.) Este vlor se susttue luego en l ecucón dferencl se otene un vlor modfcdo de, M( ); se utlz en l ecucón de correccón pr otener ( ) { [ P ( ) ]} 8 9 El vlor del corregdo puede su vez mejorrse utlzndo l expresón: 9 F ( ) C( ) [ P( ) C( ) ] (0.5) (0.4)

13 Método Modfcdo de HAMMING () Este método tmén result estle reltvmente estle s se plc en el cso en que f <0, tomndo el ncremento: 0,65 < f En cso contrro; cundo f >0, result reltvmente estle tomndo l ncremento: 0,4 < f ANÁLISIS DEL ERROR El ojetvo prmordl del nálss del error consste en sumnstrr un método pr controlr el error totl El error totl en culquer pso provene, de ls sguentes fuentes: ) El ERROR POR REDONDEO ) El ERROR POR TRUNCAMIENTO c) El ERROR ACUMULADO

14 ANÁLISIS DEL ERROR () Se dee recordr que, en ocsones, los vlores ncles con que se d orgen l proceso están fectdos de certos errores denomndos INHERENTES. En estos csos no tene nngún sentdo clculr l solucón con mor precsón que l que justfcn los dtos utlzdos, selecconndo un tmño de pso demsdo pequeño Tre crtc es defnr el tmño del pso. Es necesro exmnr el efecto de cd uno de los errores por pso, en funcón del ncremento su nfluenc sore el error totl. ANÁLISIS DEL ERROR () El error POR REDONDEO está presente en cd pso su mgntud depende de l cpcdd del soporte de l computdor utlzd. Es ndependente del tmño del ntervlo, ument en proporcón con el número de psos comprometdos en el procesmento. El error POR TRUNCAMIENTO prece tmén en cd pso del proceso, pero es funcón de l mgntud del ntervlo, que vrí con el orden del error n. L únc form de controlr el error totl por pso consste en controlr el error por truncmento, en cd pso el error totl dsmnue conforme se reduce el error por truncmento de cd pso. 4

15 SELECCIÓN DE UN MÉTODO DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA Héndose estuddo lgunos de los métodos de ntegrcón numérc exstentes, pr resolver ecucones dferencles, el error que en cd uno de ellos se comete, se está en condcones de comprrlos desde un punto de vst tl que permt selecconr el más pto pr un plccón determnd, sguendo certos crteros defndos: SELECCIÓN DE UN MÉTODO DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA (). Cundo el ntervlo de ntegrcón de un prolem es reltvmente corto, es poco prole que l estldd se un prolem, de mner que un método smple como el de Euler, es ceptle. Pr ntervlos que nvolucrn un grn nro de psos, el error por truncmento por pso dee mntenerse pequeño. Los métodos de Mlne de Hmmng resultn decudos en este cso.. En cso de ntervlos mu grndes, deerá utlzrse el método de Hmmng pr vlores de que lo gn estle, demás de relzr un nálss del error en cd pso 5

16 SELECCIÓN DE UN MÉTODO DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA () 4. Cundo se dese un error por truncmento por pso pequeño no es mportnte el tempo por procesmento, result convenente el método de 4to orden de Runge-Kutt 5. S el rngo de ntegrcón es ntermedo, demás dee consderrse l cumulcón del error el tempo por procesmento, pero nnguno como fctor crtco, se utlzn los métodos modfcdo de Euler o Runge-Kutt de orden. 6