TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO VECTORES: MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES VECTORES

Transcripción

1 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA VECTORES Cets mgntudes, que quedn pefectmente defnds po un solo númeo el su medd o módulo) se denomnn MAGNITUDES ESCALARES pudendo epesentse po segmentos tomdos soe un ect. Son mgntudes escles, l longtud, l supefce, el volumen etc. Exsten ots mgntudes, p ls cules no esult sufcente un númeo p su detemncón. Po ejemplo, s queemos expes que hemos plcdo soe un cuepo un fuez de 0 kg, no st el númeo el 0 p dentfcl; es neceso demás ndc: DIRECCION, SENTIDO Y PUNTO DE APLICACION de l fuez. Un mgntud de ls ccteístcs de l descpt ece el nome de MAGNITUD VECTORIAL, y se epesent geométcmente mednte un elemento que l smolz denomndo VECTOR FIJO poque tene un punto de plccón). En el sguente ejemplo, puede vese l dfeenc de efectos, s p el msmo módulo, l msm deccón y el msmo sentdo cmmos el punto de plccón del vecto. F 0 kg. Exsten otos tpos de vectoes: F 0 kg. ) Aquellos cuyo efecto esult se el msmo s ctún con gul módulo, deccón y sentdo) soe l msm ect de ccón y que se denomnn VECTORES AXILES O DESLIZANTES. Son los vectoes que se utlzn en Estuctus p estud el equlo de los cuepos ígdos) Págn

2 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Cundo se plc l fuez F en el cuepo ígdo A el efecto no ví s l msm se uc soe l msm ect de ccón. F A A F ) Aquellos cuyo efecto esult se el msmo s ctún con gul módulo, deccón y sentdo) soe culque poscón de ls nfnts ects plels un deccón pefjd. Estos vectoes, que estudemos en el pesente cuso, ecen el nome de VECTORES LIBRES. Es dec que s dos vectoes ctún soe ects plels y tenen el MISMO MODULO y el MISMO SENTIDO, demos que son IGUALES, puesto que l se sus ects sostén plels, TIENEN LA MISMA DIRECCION. Los vectoes que cumplen con l condcón pecedente se denomnn VECTORES EQUIPOLENTES. En genel, llmemos vecto todo SEGMENTO ORIENTADO. El punto A se denomn ogen del vecto y el punto B extemo del msmo. B A L ect sostén del segmento AB detemn LA DIRECCION y l punt de l flech, o se, l oentcón desde A hc B detemn EL SENTIDO DEL VECTOR. AB Nomenclemos los vectoes:,, AB ó AB Págn

3 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA En lo sucesvo, cundo hlemos de VECTOR se entendeá que nos efemos l VECTOR LIBRE. Iguldd ente vectoes Demos que dos vectoes son gules s son equpolentes. OPERACIONES ENTRE VECTORES SUMA DE VECTORES. A B A B C s + D C D L sum de los vectoes y es el VECTOR cuyo ogen es el ogen de un vecto equpolente de y cuyo extemo es el extemo de un vecto equpolente de tzdo pt del extemo del vecto equpolente de. S los vectoes y los ucmos con un ogen común O, p sumlos podemos utlz l REGLA DEL PARALELOGRAMO que se lust en l sguente fgu: s + P efectu l sum de vos vectoes se pocede de l sguente mne: se sumn dos de los vectoes y su vecto SUMA ó RESULTANTE se sum con el sguente vecto y sí sguendo hst temn con todos los vectoes. El vecto SUMA ó RESULTANTE es el vecto que tene su ogen concdente con el ogen del pme vecto y su extemo con el extemo del últmo vecto sumdo. L epesentcón gáfc es l sguente: Págn

4 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA O R s s 4 s 5 4 S el extemo del últmo vecto sum concde con el ogen del pmeo, el VECTOR SUMA O RESULTANTE ES EL VECTOR NULO. DIFERENCIA DE VECTORES. A B B' D' A' D R C' C Rest un vecto de oto es equvlente sum l vecto el vecto opuesto de. OPUESTO DE - ). En l fgu R es el vecto DIFERENCIA que se otene l est del vecto el opuesto del vecto. Págn 4

5 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR S es un vecto y λ un escl 0 petenecente los númeos eles, el poducto ente y λ es un nuevo vecto cuyo módulo es gul l módulo del vecto multplcdo po el vlo soluto del escl λ ; cuy deccón es l que coesponde l vecto y cuyo sentdo es el del vecto s λ > 0 y el conto s λ < 0. Expesón de un vecto en coodends ctesns. Desde el punto de vst geométco un ect qued detemnd s se conocen de l msm un punto y l deccón mednte un vecto módulo unto llmdo veso; demos en ésts condcones que un eje puede dentfcse s se conoce el p odendo O, ) en el cul 0 es el ogen sendo el módulo de l undd de medd. Ddo el eje O, ) un punto culque del msmo P de scs x se dentfc mednte un vecto de ogen O y extemo P que puede expesse OP x S soe el eje tommos ho dos puntos P y P : O P x ) P x ) P P x x ) l dstnc ente P y P esultá: x x P P x x Págn 5

6 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA P el espco de dos dmensones E constumos un sstem de efeenc sstem ctesno otogonl); s fjmos dos pes odendos O, ) y O, j ) epesentntes de dos ejes pependcules, el sstem se expes O,, j ) y en él de cuedo l conocd egl del plelogmo: y j y j P x, y ) OP x + y j O x x Expesón de un vecto s se conocen ls coodends de su ogen y ls de su extemo. y y y P P Un punto P culque del plno qued detemndo s se d el llmdo vecto poscón ogen O y extemo en P). Podemos otene l expesón de un vecto de ogen P y extemo P osevndo l fgu donde : j O x x x OP + P P OP de donde P P OP OP sendo OP x y j + OP x + y j Restndo ests dos expesones nos qued: OP OP P P x x ) + y y ) j y l dstnc ente P y P gul l módulo del vecto P P se otene mednte l plccón del Teoem de Ptágos: P x x ) + y ) P y Págn 6

7 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA En el espco tdmensonl E dentfcmos el sstem de efeenc po el O,, j, k en el cul OP x + y j + z k sstem ) z z k P x,y,z ) j y y x x y del msmo modo que p el plno E, l expesón genel de un vecto ente dos puntos: P P x x + y y j + z z ) ) )k y l dstnc ente dos puntos P P seá gul l módulo del vecto otendo po plccón del Teoem de Ptágos en el espco P x x ) + y y ) + z ) P z Págn 7

8 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA EXPRESIÓN CANÓNICA DE UN VECTOR. y j x Un vecto le puede epesentse en un sstem ctesno otogonl, de modo tl que su ogen concd con el ogen O del sstem de efeenc. En ests condcones, dcho vecto puede se expesdo como l sum de los vectoes y cuys deccones concden espectvmente con los ejes de scss y odends, es dec: + S llmmos vesoes fundmentles en el plno xy DOS VECTORES CUYOS MÓDULOS SEAN IGUALES A LA UNIDAD: en l deccón y el sentdo postvo del eje x, j en l deccón y sentdo postvo del eje y, podemos esc los vectoes y de l sguente mne: ) j ) sendo y los módulos de los vectoes y. En ests condcones + + j ) L expesón ) es l FORMA CANÓNICA DEL VECTOR. Págn 8

9 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PRODUCTO ESCALAR. Sen + j + j Defnmos como poducto escl l númeo que esult de elz el poducto de los módulos po el coseno del ángulo compenddo. cosα INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR. De l fgu, l poyeccón de soe el vecto vle cosα ; en consecuenc podemos dec que el poducto escl ente dos vectoes es gul l poducto del módulo de uno de ellos po l poyeccón del oto soe él. cos α ' donde ' cosα α cosα ' 90º Expesón del poducto escl en funcón de ls componentes de los vectoes que se multplcn. desollndo: Sen + j + k + j + k ) + j) + k ) + + j ) + j j) + j k ) + + k ) + k j) + k k ) del espco E Págn 9

10 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA en l que de cuedo l defncón de poducto escl : cos 0º j j k k po l msm zón j j cos 90º 0 0 y del msmo modo k j j k k k j 0 esultndo v v + + n El poducto escl ente dos vectoes es un númeo gul l sum de los poductos de ls componentes que tenen l msm deccón. ÁNGULO ENTRE VECTORES. Sendo, de cuedo lo vsto: podemos esc: cosα + + cosα + + cosα expesón que nos pemte otene el coseno del ángulo ente dos vectoes. CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE VECTORES. S dos vectoes y son plelos sus componentes deen se popoconles. En efecto, s y tenen l msm deccón, entonces uno de ellos puede se expesdo como el poducto ente un escl y el oto vecto: λ o en λ + j + k ) + j k + Págn 0

11 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA de donde que se expes: λ λ λ λ λ λ CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE VECTORES. S dos vectoes y son pependcules, su poducto escl es nulo, es dec, 0 Sendo pependcul cos 90 º ; como semos, + + gulndo ls segunds componentes y despejndo cos α, otenemos: cosα S α 90º cos α 0 y en consecuenc P se s dos vectoes son pependcules vefcmos l vldez de l expesón nteo, s se cumple son otogonles; s el esultdo + + 0, entonces fmmos que los vectoes no son pependcules. Págn

12 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA TRABAJO PRÁCTICO VECTORES Ejecco Nº.- En E sen, ) ;,) ; c 0,) ; d,4) en fom gáfc y nlítc ls sguentes opecones con vectoes. efectu ) ) + c) c d) + c + d e) f) c g) Ejecco Nº.- Ddos los sguentes vectoes, hll sus módulos, epesent gáfcmente: 4 ) + j ) 5 5 ; c) c j Ejecco N.- Hll el poducto escl ),5) y -,) v ) c + j y d 4 - j c),,) y -,,5) d ) j + k y j + k Ejecco Nº 4.- Hll el ángulo que fomn los vectoes: ) u j + k v + j + k ) u + j v k c) u j + 6 k v + 9 k Págn