Tema 0: Introducción al Cálculo Vectorial

Transcripción

1 I.E. Jn Rmón Jméne Tem 0: Intodccón l Cálclo Vectol 1.- Mgntdes escles ectoles.- Vecto. Opecones con Vectoes 3.- Podcto escl 4.- Podcto ectol 5.- Decón Vectol 6.- Integcón Vectol 7.- Momento de n Vecto 8.- Polems Físc º chlleto Rúl.G.M. 010 Págn 1

2 I.E. Jn Rmón Jméne Tem 0: Intodccón l Cálclo Vectol 1.- Mgntdes escles ectoles: Ls mgntdes físcs peden se: Mgntdes escles. Son qells qe qedn defnds con s ndd coespondente n detemnd cntdd. Mgntdes ectoles. Son qells qe p qed defnds se dee conoce l cntdd, l ndd, l deccón el sentdo Mgntdes fndmentles Ls mgntdes fndmentles son qells pt de ls cles se otenen tods ls demás. En l sgente tl se ecogen ests mgntdes con s ndd coespondente según el S.I. (Sstem Intenconl de medds). Mgntd Símolo Mgntd Undd (S.I.) Símolo Undd Longtd,, Meto m Ms m Klogmo Kg Tempo t Segndo s Intensdd Coente eléctc I mpeo Cntdd de sstnc n Mol mol Tempet T Keln K Intensdd Lmnos Cndel Cd 1..- Mgntdes Deds Son ls mgntdes otends pt de ls fndmentles, en est tl se ecogen ls ms sds lo lgo de este cso ntenso. Símolo Símolo Escl / Mgntd Undd (S.I.) Mgntd Undd Vectol celecón Meto/segndo m s - Vectol Ánglo α Rdn Rd Escl Cmpo eléctco E Newton/Colomo N/C Vectol Cmpo gttoo g Neton/logmo N/Kg Vectol Cmpo Mgnétco Tesl T Vectol Cg eléctc Q Colomo C Escl Enegí & To W Jlo J Escl Flo mecánco φ Wee W Escl Fecenc f Heto H ó s -1 Escl Fe F Newton N Vectol Longtd de ond λ Meto m Escl Peodo T Segndo s Escl Potenc P Wto W Escl Potencl eléctco V Volto V Escl Pesón P Pscl P Escl Resstenc eléctc R Ohmo Ω Escl Velocdd Meto/segndo m/s Vectol Múltplos de 10. En físc mos t con nddes m gndes m peqeñs l e, po ello tlemos los pefos qe se mestn contncón. Físc º chlleto Rúl.G.M. 010 Págn

3 I.E. Jn Rmón Jméne.- Cálclo Vectol.1 Defncón de Vecto. Pefo Símolo Vlo nméco Pefo Símolo Vlo nméco Te- T Dec- d Gg- G Cent- c Meg- M Ml- m Klo Mco- µ 10-6 Hecto- h- 10 Nno- n Dec- D- 10 Pco- p Un ecto es n segmento oentdo en el espco qe se ccte po: Pnto de plccón Etemo Deccón o líne de ccón, qe es l ect qe contene l ecto, o clqe plel ell. Sentdo, qe ndc mednte n flech std en s etemo () hc qe ldo de l líne de ccón se dge el ecto. Módlo, qe ndc s longtd epesent l ntensdd de ls mgntdes ectoles..- Opecones con Vectoes:..1.- Sm de Vectoes: Sen (,, ) (,, ) dos ectoes, se defne l sm o esltnte como: R,, ). ( Gáfcmente, l esltnte se pede otene de dos foms: ) Unendo el ogen de con el etemo de. ) Utlndo l egl del plelogmo. R R...- Podcto de númeos po Vectoes: El podcto de n númeo el po n ecto, es oto ecto: (,, ) (,, ) Según est defncón, todo ecto se pede epes como el podcto de n módlo po n ecto nto qe teng l msm deccón el msmo sentdo qe él. Donde û es n ecto nto de gl deccón sentdo qe Vectoes Untos: Vecto nto, û, es todo ecto co módlo es l ndd, 1, se cl se s deccón sentdo. Lle n síndce qe ndc s deccón. Po eemplo, es n ecto nto en l deccón dl o del ecto. Físc º chlleto Rúl.G.M. 010 Págn 3

4 I.E. Jn Rmón Jméne Todo ecto pede epesse como el podcto de s lo o módlo po n ecto nto de gles deccón sentdo: 1 p p p p p p Los ectoes ntos qe desde el ogen de coodends se dgen hc los loes cecentes de los ees X, Y, Z, se denomnn o, o ĵ o. Cómo podemos clcl el ecto nto o eso socdo n ecto clqe? este poceso se le llm nomlcón de n ecto, se clcl smplemente ddendo dcho ecto po s módlo Descomposcón de Vectoes: Clqe ecto pede sempe consdese como l sm de dos o más ectoes. clqe connto de ectoes qe l smse den como esltnte se les llm componentes de. En el espco tdmensonl, ls componentes más sds son ls ctesns ectngles, es dec, el ecto se epes como l sm de 3 ectoes mtmente pependcles. Estos ectoes son los (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1 ). Po tnto el ecto (,, ) lo podemos esc como: En el plno, epesentemos el ecto en fncón de ( ) donde Cosα Senα, 3.- Podcto escl de ectoes. Se denomn podcto escl de dos ectoes l númeo qe eslt de mltplc el módlo de po el módlo de po el coseno de ánglo qe fomn ss línes de ccón. Mtemátcmente: Y Cos(, ) Como el podcto cos(, ) epesent l poeccón del ecto soe l deccón del ecto, el podcto escl tmén pede defnse como el podcto del módlo de no clqe de los ectoes po l poeccón del oto soe él. θ Cosθ Cosθ X Epesón nlítc del podcto escl: Sen los ectoes, el podcto escl de mos ene ddo po l epesón: ( ) ( ) Físc º chlleto Rúl.G.M. 010 Págn 4

5 I.E. Jn Rmón Jméne Físc º chlleto Rúl.G.M. 010 Págn 5 w α ĵ 3..- plccones del podcto escl: Módlo de n ecto: Se, el módlo del ecto se defne como: Ánglo ente dos ectoes: El ánglo qe fomn ente sí dos ectoes clesqe ene ddo po l epesón: ccos ϕ 4.- Podcto ectol de dos ectoes. El podcto ectol de dos ectoes es oto ecto w co módlo es el podcto de los módlos de mltplcdo po el seno del ánglo qe fomn ss línes de ccón, c deccón es l pependcl l plno qe defnen, co sentdo ene ddo po l egl de Mwell en el spesto de qe el pme ecto hc el segndo po el cmno más coto. Mtemátcmente: w Senα w Podcto ectol de ectoes ntos 5.- Ded de n ecto. Se (t) n fncón ectol qe depende del gmento escl t, tenendo en cent ss poeccones soe los ees, t t t t ) ( ) ( ) ( ) ( Se defne l ded de con especto t como: d d d d d î 0

6 I.E. Jn Rmón Jméne Regls de l decón: d d d ( ) d d d ( ) d d ( ) d d d ( ) S d es el ecto de poscón de n ptícl,, l ded del ecto de poscón con especto l d d tempo es l elocdd. Y, l segnd ded de con especto l tempo es l celecón. 6.- Integcón ectol. dw S l ded de w con especto t es., entonces: ( t) w( t) K Del msmo modo: [ w( t) ] w( ) w( ) ( t) S ( t) ( t) ( t) ( t) w( t) w ( t) w ( t) w ( t), entonces: t t t ) ( ) ( ) [ w ] [ ] ( t) w ( t) w ( t) w( t) ( ( t) 7.- Momento de n ecto especto de n pnto: S consdemos n ecto clqe co ogen especto n sstem de efeenc (pnto O) ene detemndo po el ecto de poscón, se defne como momento del ecto especto l pnto O l podcto ectol del ecto de poscón po el ecto M o sí pes, el momento Mtemtcmente : M o es n ecto pependcl l plno fomdo po los ectoes. M o El módlo del ecto momento M o Senα pede epesse tmén como M d, donde d epesent l dstnc mínm qe sep el pnto de efeenc O de l deccón del ecto. Físc º chlleto Rúl.G.M. 010 Págn 6

7 I.E. Jn Rmón Jméne En l fg de l deech, se ose qe: d sen α, de donde d Senα se epesent po n ecto plcdo en el pnto O, ó cento de momentos. O d α M M senα α Eemplo 1: El ecto (1,-,3) está plcdo en el pnto P(,1,). Clcl s momento especto l ogen de coodends el lo del módlo del momento. Como nos pden el momento especto del ogen de coodends, (,1, ) Entonces Y s módlo es M , 5 M, M Polems. 1.- Indc cles de ls sgentes mgntdes son escles cles ectoles: - Pesón - Cntdd de momento - Fe - Densdd - Potenc - celecón - Ms - To - Peso - Tempet - Intensdd eléctc - Tensón eléctc.- Clcl el ecto esltnte de dos fes de 9 1 Newton plcdos en el pnto O, fomndo n ánglo de: )30, )45, C) El ecto esltnte de dos fes de deccones pependcles le 10N. S n de ls fes es de 8N, Cál es el lo de l ot?. 4.- Descompone n ecto fe de 100N en dos componentes ectngles tles qe ss módlos sen gles. 5.- Dos ectoes 3 4 ; Dedc s son pependcles. 6.- Ddos los ectoes ( 3,,0) ( 5,1, ) clcl: ) Ss módlos ) S podcto escl c) El ánglo qe fomn. 7.- Hll n ecto qe se pependcl l ecto, qe cmpl l condcón de qe s componente soe el ee se nl qe smdo con el ecto (-3,0,1) se oteng de pme componente el lo ceo. 8.- Ddo el ecto (-,,-4), hll ls coodends de los sgentes ectoes: ) Untos de l msm deccón qe. ) Plelos de módlo Hll n ecto qe se pependcl, l e, los ectoes ( 1,0, 1) (,3,1 ) 10.- Hll n ecto pependcl (,3,4) w ( 1,3, 5) qe se nto. Físc º chlleto Rúl.G.M. 010 Págn 7

8 I.E. Jn Rmón Jméne 11.- Detemn los loes de, con >0, p qe los ectoes 1 (,,); (,,) 3 (,,) sen ntos otogonles dos dos. 1.- Hll l tngente del ánglo qe fomn los ectoes Compo qe los ectoes 3 ; 3 5 C 4 fomn n tnglo ectánglo Qé fe plel n plno nclndo, de pendente 7,8 % se dee eece p conseg qe n cepo de 90 g colocdo en él no deslce? 15.- Los Vectoes ( 3,, 5), (6, 4,0), C(0,7,4) están sometdos est opecón: V C. Clcl: ) El módlo de V. ) El podcto escl V c) El podcto ectol V Hll n ecto qe se pependcl los ectoes módlo se gl 6., tl qe s 17.- Dos ectoes tenen como ogen común el pnto P(1,1,1) ss etemos están en (,3,4) (0,,6). Clcl el áe del tánglo P Sen los ectoes 3 5,, t clcl: ) t ) c)podcto ectol w d) Vefqe qe w es pependcl e) Clcle el momento de especto l pnto P(,1,0) 19.- Es cet l fse: L esltnte de dos ectoes plelos es n ecto plelo mos?. 0.- El ecto celecón de n ptícl efedo l pnto O, ene ddo po: (18t 1) 9. En el 4 ogen de tempos (t0) l elocdd es nl el ecto de poscón es. Detemn el ecto elocdd el ecto poscón de l ptícl en clqe nstnte. 1.- Un ptícl se mee con n celecón constnte 4 6 m/s. S en el nstnte ncl l elocdd 10 o es nl s poscón m, clcl: ) El ecto de poscón en fncón del tempo. ) El ecto elocdd en clqe nstnte..- Ddo n sstem de ectoes ( 3,1,), (0,3, 5), c (0,1,0 ), plcdos espectmente en los pntos (0,0,0), (0,1,1), C(0,-1,), clcl: ) l esltnte genel del sstem. ) el momento esltnte del sstem especto del pnto P(3,,-1) o Físc º chlleto Rúl.G.M. 010 Págn 8