ESPACIO AFIN-EUCLIDEO TRIDIMENSIONAL.

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1 ESPCIO FIN-EUCLIDEO TRIDIMENSIONL PRODUCTO ESCLR DEFINICION Sea el espaco ectoal V e los ectoes lbes asocao al espaco afín E Se llama PRODUCTO ESCLR en E a la aplcacón efna e V V R qe a caa paea e ectoes le asoca n númeo eal e la foma cos < > seno seno o Este pocto escala así efno efca las sgentes popeaes: Conmtata: V Dstbta especto e la sma e ectoes: w w w w V w w w V Homogénea: seno R V Posbla: V Con estas popeaes se ce qe el pocto escala es na "foma blneal popeaes smétca popea efna posta popea " l espaco ectoal V con la aplcacón pocto escala se le conoce con el nombe e ESPCIO VECTORIL EUCLIDEO TRIDIMENSIONL Se llama ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO a n espaco afín co espaco ectoal asocao es n espaco ectoal eclíeo INTERPRETCIÓN GEOMÉTRIC DEL PRODUCTO ESCLR El pocto escala e os ectoes es gal al pocto escala e no e ellos po la poeccón el oto sobe él O α B Sean V os ectoes no nlos sea la poeccón e sobe : po En el tánglo OB se efca qe cos < > Po ota pate tenemos: cos < > cos º pesto qe tenen la msma eccón sento e 9º Esto msmo tambén se efcaía s el ánglo qe foman los os ectoes fea mao ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

2 ORTOGONLIDD ENTRE VECTORES Hemos efno el pocto escala e os ectoes como cos < > Este pocto es nlo cano algno e los ectoes es nlo Sn embago este ota posbla e qe el pocto escala sea ceo es cano el ánglo fomao po los os ectoes sea e 9 π/ es ec qe los ectoes sean pepenclaes otogonales "Dos ectoes V no nlos son otogonales sí sólo sí s pocto escala es nlo: " V son otogonales VECTORES UNITRIOS Se ce qe n ecto V no nlo es ntao s sólo s s mólo es la na V es ntao PROPOSICION Dao n ecto calqea no nlo a pat e él poemos obtene n ecto ntao en s msma eccón smplemente eno po s mólo En efecto: el ecto tene la msma eccón sento qe el ecto aemás es ntao a qe Tambén el ecto tene la msma eccón sento opesto qe es ntao SISTEM DE REFERENCI ORTONORML Base Nomaa: Una base B { } V se ce qe es nomaa s los ectoes qe la foma son ectoes ntaos Base otogonal: Una base B { } V se ce qe es otogonal s los ectoes son otogonales os a os Base otonomal: Una base B { } V se ce qe es otonomal s es nomaa otogonal al msmo tempo es ec ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

3 "Decmos qe n sstema e efeenca R { O; B } el espaco afín eclíeo es otonomal s la base el espaco ectoal eclíeo asocao es na base otonomal" El sstema e efeenca qe enmos tlano fomao po el pnto abtao O la base canónca } { es n sstema e efeenca otonomal EXPRESION NLITIC DEL PRODUCTO ESCLR Sea R n sstema e efeenca e E B na base el espaco ectoal asocao } ; { O } { S los ectoes tenen po cooenaas especto e la base B se peen epesa chos ectoes como combnacón lneal e los ectoes e la base e la sgente foma: En consecenca el pocto escala e los ectoes nos qeaá: plcano las popeaes el pocto escala nos qea: En el caso patcla e qe la base sea otonomal el pocto escala toma la epesón: qe es la FORM CNÓNIC el pocto escala EJEMPLO: S especto e na base otonomal el pocto escala e ellos seá: PLICCIONES DEL PRODUCTO ESCLR } ; { O R En too lo qe sge tlaemos el sstema e efeenca otonomal ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

4 MÓDULO DE UN VECTOR Conseemos n ecto no nlo V El pocto escala el ecto po sí msmo seá: cos < > cos º e one es ec el mólo e n ecto se efne como la a caaa posta el pocto escala el ecto po sí msmo Teneno en centa qe el pocto escala e n ecto po sí msmo es eslta qe EJEMPLO S entonces: 9 8 DISTNCI ENTRE DOS PUNTOS Se efne la stanca ente os pntos B como el mólo el ecto B etemnao po ellos B B S B entonces B e one B B EJEMPLO Calcla la stanca ente los pntos B Las cooenaas el ecto B son: B Po tanto: B 9 ÁNGULO FORMDO POR DOS VECTORES De la efncón el pocto escala e os ectoes cos < > poemos ec el cos < > e la foma: cos < > ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

5 Esto qe nos ce qe el coseno el ánglo etemnao po os ectoes es gal al pocto escala e ambos ectoes o ente el pocto e ss mólos Po tanto el coseno el ánglo etemnao po os ectoes tená el msmo sgno qe el pocto escala e ambos ectoes a qe los mólos e los ectoes son sempe postos En consecenca s el pocto escala es posto el coseno tambén seá posto el ánglo fomao po los ectoes seá ago meno e 9º; s el pocto escala es negato el coseno tambén es negato el ánglo fomao po los os ectoes seá obtso compeno ente 9º 8º S conseamos qe son las cooenaas e los ectoes espectamente nos qea qe: cos < > EJEMPLO Calcla el ánglo etemnao po los ectoes Tenemos los ectoes epesaos como combnacón lneal e los ectoes e la base el sstema e efeenca en el qe estamos tabaano Po tanto las cooenaas e los ectoes son en consecenca: cos < > 78 < > accos 78 VECTOR PERPENDICULR UN PLNO Sea π el plano e ecacón catesana B C D P n pnto petenecente al plano π qe po tanto efcaá la ecacón e cho plano: B C D En consecenca tenemos: π : B C D P π : B C D Restano ambas galaes nos qea: B C B C Esta gala epesa qe los ectoes n B C PX otogonales son ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

6 Como el pnto X es n pnto calqea abtao el plano π entonces el ecto PX seá n ecto abtao el plano el ecto n seá otogonal a toos los ectoes el plano; lego n seá otogonal al plano π En consecenca los coefcentes e en la ecacón geneal catesana o mplícta el plano nos an las cooenaas e n ecto otogonal a cho plano Eemplo: El ecto pepencla al plano e ecacón seá el ecto n EJERCICIOS RESUELTOS Halla n ecto ntao pepencla al plano π efno po los pntos B C Los pntos B C etemnan os ectoes C CB e cooenaas: C CB qe son lnealmente nepenentes a qe no son popoconales En consecenca el plano π qe bscamos nos ene etemnao po n pnto C os ectoes lnealmente nepenentes C CB : π C ; C CB s ecacón catesana nos ene aa po: Desaollano el etemnante nos qea: qe es la ecacón el plano etemnao po los pntos B C El ecto pepencla a cho plano seá n el ecto ntao qe amos bscano tená qe llea la eccón e n paa se pepencla al plano Po tanto: es el ecto bscao n n 9 Halla la ecacón el plano ncente con el pnto pepencla al ecto ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

7 Como el plano tene qe se pepencla al ecto éste seá pepencla al plano nos aá po tanto los coefcentes e en la ecacón catesana el plano En consecenca la ecacón el plano peo seá e la foma: D Como cho plano tene qe se ncente con el pnto las cooenaas e efcaán la ecacón el plano así poemos calcla el témno nepenente qe nos falta: π : D D D en consecenca la ecacón el plano seá: Enconta la ecacón el plano ncente con el pnto P pepencla a la ecta e ecacón : π P n l se la ecta pepencla al plano s ecto eccón el ecto otogonal al plano n seán paalelos En consecenca poemos tla el ecto eccón e la ecta como otogonal al plano: n La eccón e la ecta es qe seá tambén el ecto otogonal al plano n po tanto la ecacón e éste seá: π D hoa calclamos D con la concón e qe sea ncente con el pnto P: P π : D D D po tanto π es la ecacón el plano peo Halla la ecacón e la ecta qe pasa po el pnto es pepencla al plano π Calqe ecta pepencla al plano tená po eccón el ecto otogonal al plano n como tene qe pasa po el pnto la ecta pea en s foma contna seá: Calcla la ecacón el plano qe pasa po P es pepencla a la ecta ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL 7

8 El ecto eccón e la ecta tene po cooenaas n po tanto calqe plano pepencla a cha ecta tená po ecacón: π D De toos estos planos pepenclaes a la ecta sólo nos nteesa el qe pasa po el pnto P ; lego este pnto ebeá efca la ecacón el plano calclamos D con la concón e qe pase po él: P π : D D D En consecenca la ecacón el plano peo seá: PLNO MEDIDOR DE UN SEGMENTO El plano meao e n segmento es el plano pepencla al segmento en s pnto meo Los pasos a seg paa calcla el plano meao e n segmento seán: M B a Calcla el pnto meo el segmento el ecto etemnao po los etemos el segmento qe es pepencla al plano qe bscamos b Obtenemos el plano etemnao po el ecto calclao en el pnto anteo qe pasa po el pnto meo el segmento EJEMPLO Halla el plano meao el segmento e etemos B Calclamos el pnto meo el segmento: M PM B Vecto etemnao po los etemos el segmento: B Obtenemos el plano qe pasa po M tene po ecto pepencla el ecto B La ecacón el plano seía: D calclamos D con la concón e qe el plano pase po M: ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL 8

9 8 D D D D En consecenca la ecacón el plano peo seá: El poblema ecípoco a calcla el plano meao e n segmento lo poíamos plantea e la sgente foma: Conoco no e los etemos el segmento plano meao se tata e enconta el oto etemo cho e ota foma se tata e calcla el smétco e n pnto especto e n plano P Q P Los pntos P Q P están alneaos en la pepencla al plano qe pasa po P Paa poe calcla el pnto P smétco e P especto el plano necestamos conoce el pnto Q qe es pnto meo ente P P Daemos los sgentes pasos hasta llega a las cooenaas e P : Calclaemos la ecta pepencla al plano qe pasa po P Obtena esta ecta esoleemos el sstema fomao po la ecacón e ella la ecacón el plano obteneno así las cooenaas el pnto Q nteseccón e la ecta el plano El pnto Q es pnto meo ente P P o tambén PP PQ Resoleno esta últma concón obtenemos las cooenaas el pnto P bscao EJEMPLO Calcla el pnto smétco e P7 especto el plano π Calclamos la ecta pepencla al plano π qe pasa po P El ecto n otogonal al plano π es el ecto eccón e la ecta bscaa Este ecto con el pnto P 7 nos etemna la ecta cas ecacones en foma paamétca son: : 7 Calclamos la nteseccón e la ecta con el plano π paa obtene el pnto Q: Resoleno el sstema fomao po las ecacones e la ecta la ecacón el plano: ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL 9

10 7 7 : π Sstteno el alo obteno en las ecacones e la ecta obtenemos las cooenaas el pnto Q qe nos qean: 7 7 : Q El pnto Q es pnto meo ente P P: S asgnamos a P nas cooenaas genécas tenemos: 7 P P Pnto Meo Q Po tanto: 7 7 En consecenca el pnto P bscao tene po cooenaas P Un poblema smla al anteo es el cálclo el smétco e n pnto especto e na ecta: báscamente el poblema se esele e la msma foma peo cambano úncamente el pme pnto Los pntos P Q P están alneaos en el plano pepencla a la ecta qe pasa po P Paa poe calcla el pnto P smétco e P especto e la ecta necestamos conoce el pnto Q qe es pnto meo ente P P Daemos los sgentes pasos hasta llega a las cooenaas e P : ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL Calclaemos el plano pepencla a la ecta qe pasa po P Obteno este plano esoleemos el sstema fomao po la ecacón e la ecta la ecacón el plano obteneno así el pnto Q nteseccón e la ecta el plano P Q P

11 El pnto Q es pnto meo ente P P o tambén PP PQ Resoleno esta últma concón obtenemos las cooenaas el pnto P bscao EJEMPLO Calcla el pnto smétco e P especto e la ecta plcano lo anteo a nesto poblema tenemos: : Plano pepencla a la ecta qe pasa po P: El ecto eccón e la ecta n es otogonal al plano bscao Po tanto la ecacón e éste seá e la foma: D calclamos D paa qe cho plano pase po el pnto P las cooenaas el pnto efcaán la ecacón el plano: D D D el plano tená po ecacón: Calclamos el pnto Q π Paa calcla la nteseccón e la ecta con el plano pasamos la ecacón e la ecta a foma paamétca: : : esoleno posteomente el sstema fomao po las ecacones e la ecta la ecacón el plano: : : π En consecenca las cooenaas el pnto Q seán: ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

12 Q El pnto Q es pnto meo ente P P: S asgnamos a P nas cooenaas tenemos: ` P P PntoMeo Q Po tanto: En consecenca el pnto P bscao tene po cooenaas ÁNGULO FORMDO POR DOS RECTS El ánglo fomao po os ectas s qe se cotan es el meno e los ánglos qe foman en el plano qe etemnan S las ectas se can se efne el ánglo como el etemnao po os ectas secantes paalelas a las aas Sean os ectas aas po ss etemnacones lneales B s s Se efne el ánglo fomao po os ectas como el ánglo fomao po ss ectoes e eccón Po tanto: cos cos s > < > < B ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

13 S conseamos qe los ectoes e eccón e las ectas s tenen po cooenaas el coseno el ánglo fomao po las os ectas seá: cos < s > < s > ac cos EJEMPLO: Calcla el ánglo qe foman las ectas s Los ectoes e eccón e las ectas son Po tanto: cos < s > cos < > < s > accos º PERPENDICULRIDD ENTRE RECTS Daas las ectas s B emos qe son pepenclaes sí sólo sí los ectoes son otogonales s EJEMPLO Halla na ecta pepencla a qe pase po el pnto La ecta aa en s foma contna seá: con lo qe s ecto eccón es Paa calcla la ecta pepencla a ella conseamos n ecto e foma qe sea otogonal a Vamos a consea qe : son otogonales pesto qe Entonces la ecacón e la ecta pea en foma paamétca seá: ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

14 Po tanto os ectas son pepenclaes s ss ectoes e eccón son otogonales Debemos obsea qe en nngún momento se nos mpone concón algna e qe las ectas eban cotase S esto ocea el poblema planteao s esolcón seían m feentes El poblema a esole es el sgente: Daos n pnto na ecta calcla la ecacón e la ecta qe pasa po el pnto ao cota pepenclamente a la pmea Poemos esole este poblema e os fomas feentes: Taamos el plano pepencla a la ecta aa qe pase po el pnto P ao Calclao este plano hallamos el pnto e cote el plano la ecta fnalmente se calcla la ecta qe pasa po os pntos Calclamos el plano pepencla a la ecta aa qe pasa po P gal qe en el caso anteo Despés calclamos la ecacón el plano qe contene a la ecta pasa po el msmo pnto Las ecacones e los os planos calclaos foman las ecacones mplíctas e la ecta pea Con este segno pocemento obteníamos las ecacones catesanas e la ecta pepencla a la ecta aa EJEMPLO Halla la ecacón e la ecta qe pase po P cota pepenclamente a la ecta : Utlaemos el pme pocemento: a Calclamos las ecacones paamétcas e la ecta a qe nos han ao las ecacones catesanas e la msma Paa ello hacemos las ecacones catesanas nos qean e la foma: Resoleno el sstema esltante obtenemos e en fncón e con ello las ecacones paamétcas e la ecta: ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

15 b Obtenas las ecacones paamétcas e la ecta s ecto eccón es el ecto otogonal al plano pepencla a la ecta; con esto el poblema qeaía eco a calcla la ecacón el plano qe pasa po n pnto P tene po ecto otogonal n La ecacón e calqe plano qe tenga a n po ecto otogonal seá: D D Como tene qe pasa po el pnto P nos qea: D D D po tanto el plano pepencla a la ecta tene po ecacón c hoa calclamos la nteseccón e la ecta aa con el plano qe hemos calclao Paa ello tlamos las ecacones paamétcas e la ecta sstteno en la ecacón el plano En consecenca el pnto e nteseccón e ecta plano seá Q Po últmo sólo nos qea calcla la ecta qe pasa po el pnto P po el pnto Q : PQ PQ Po tanto tenemos qe calcla la ecacón e la ecta qe pasa po el pnto P tene po ecto eccón el ecto En s foma contna seá: qe es la ecacón e la ecta pea ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

16 ÁNGULO FORMDO POR DOS PLNOS π π n n Sean π π os planos calesqea el espaco eclíeo tmensonal sean n n ss ectoes otogonales asocaos Se efcaá qe: < π π >< n n > po tanto n n cos < π π > cos < n n > n n S conseamos qe n n tenen po cooenaas BC B C espectamente entonces n n B B C C cos < π π > cos < n n > n n B C B C EJEMPLO: Halla el ánglo fomao po los planos π π Los ectoes otogonales a los planos aos son: n n Po tanto: cos < π π > cos < n n > < π π > ac cos 7 < π π > 7º PERPENDICULRIDD ENTRE PLNOS 7 n Sean π π os planos calesqea el espaco afín-eclíeo tmensonal sean n n ss ectoes otogonales asocaos π n Demos qe π π son otogonales s sólo s los ectoes n n son otogonales: π π n n π ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

17 Ecacón el plano qe pasa po na ecta contene a na ecta aa es pepencla a oto plano Daa na ecta n plano π qeemos calcla la ecacón el plano π qe contene a la ecta seno pepencla al plano π Po contene a la ecta π peteneceá al ha e planos con base cha ecta s ecto asocao seá otogonal al asocao al plano π EJEMPLO Calcla la ecacón el plano qe contene a la ecta cas ecacones catesanas son es pepencla al plano π El plano π peo peteneceá al ha etemnao po la ecta ca ecacón nos ená aa po Oenano tenemos: el ecto otogonal asocao seá n Po ota pate el ecto pepencla asocao al plano π es el ecto n Como el plano qe bscamos tene qe se pepencla a π los ectoes n n qe se pepenclaes es ec n n tenen 9 9 Sstteno este alo e en la ecacón el ha e planos anteo obtenemos la ecacón el plano peo: qe es la ecacón el plano peo ÁNGULO FORMDO POR UN RECT Y UN PLNO Se efne el ánglo fomao po na ecta n plano como el ánglo fomao po cha ecta la poeccón e ella sobe el plano: < π >< > α ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL 7

18 S tenemos en centa qe los ánglos n < π > < n > son complementaos α tenemos: sen < π > cos < n > π one es el ecto eccón e la ecta n es el ecto otogonal al plano π En consecenca n sen < π > cos < n > n S conseamos qe n tenen po cooenaas espectamente obtenemos la sgente epesón analítca: EJEMPLO: n sen < π > cos < n > n B C B C B Halla el ánglo fomao po el plano π la ecta C El ecto otogonal al plano es n el ecto eccón e la ecta es Entonces: sen < π > cos < n > < π > acsen º CSOS PRTICULRES: PERPENDICULRIDD ENTRE RECT Y PLNO S π n n son lnealmente epenentes po tanto popoconales PRLELISMO ENTRE RECT Y PLNO ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL 8

19 S π n n DISTNCI DE UN PUNTO UN PLNO π P Q Se efne la stanca e n pnto P a n plano π como la stanca el pnto P al pnto Q seno Q la nteseccón el plano π con la ecta pepencla a él qe pasa po el pnto P seno P π P Q Q π con π Vamos a tata e obtene na epesón paa calcla la stanca e n pnto a n plano basánonos en la popa efncón Sea P π n plano e ecacón B C D Los pasos a a paa calcla la stanca e n pnto a n plano seán los sgentes: Calclamos la ecacón e la ecta pepencla al plano π qe pasa po el pnto P ao El ecto ecto e esta ecta seá el ecto otogonal al plano ao: n B C Las ecacones paamétcas e esta ecta seán: B C Resolemos el sstema fomao po la ecacón el plano ao la ecacón e la ecta calclaa en el pnto anteo obteneno el pnto Q e nteseccón e ambos Paa ello ssttmos los aloes e e las ecacones paamétcas e la ecta en la ecacón el plano: B B C C D e one espeamos : B C D B C sstteno este alo e en las ecacones paamétcas e la ecta obteníamos las cooenaas el pnto Q Se calcla la stanca ente P Q stanca ente os pntos: El ecto etemnao po los os pntos es: PQ C B C B como la stanca ente os pntos es el mólo el ecto qe etemnan nos qea: ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL 9

20 C B C B C B PQ Q P P π Sstteno el alo e obteno anteomente nos qea: C B D C B C B C B D C B P π lo cal nos ce qe: "la stanca e n pnto a n plano nos ene aa po el alo absolto e la ecacón el plano patclaaa paa las cooenaas el pnto a po el mólo el ecto otogonal al plano" En el caso patcla e qe el pnto P sea el ogen e cooenaas nos qea: C B D O π EJEMPLO Calcla la stanca el pnto P al plano π Paa esole el poblema segemos los pasos enmeaos anteomente: Recta pepencla al plano qe pase po P: El ecto pepencla al plano seá n Este ecto la ecta qe bscamos tenen la msma eccón poqe son pepenclaes al plano ao Po tanto la ecta bscaa tená po eccón el ecto n pasa po el pnto P Las ecacones paamétcas e cha ecta seán: n P Inteseccón e la ecta con el plano Resolemos el sstema fomao po las ecacones e la ecta la el plano: π Po tanto el pnto nteseccón seá: ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

21 Q Dstanca ente P Q: Calclamos el ecto etemnao po los os pntos: QP po tanto: P π P Q QP 9 es la stanca pea DISTNCI DE UN PUNTO UN RECT Se esele e foma análoga a la stanca e n pnto a n plano: EJEMPLO P Q Taamos n plano pepencla a la ecta qe pase po P Dcho plano cota a la ecta en n pnto Q P P Q Los pasos a seg son los sgentes: Calclamos el plano pepencla a la ecta aa qe pase po P Calclamos el pnto Q nteseccón ente la ecta aa el plano calclao anteomente La stanca ente los pntos P Q seá la stanca ente el pnto P la ecta aa Calcla la stanca el pnto P a la ecta cas ecacones paamétcas son con R Los pasos a seg son los sgentes: Cálclo el plano pepencla a la ecta El ecto eccón e la ecta es seá al msmo tempo el ecto otogonal al plano Po tanto la ecacón catesana el plano seá: π D como tene qe pasa po el pnto P se efcaá qe D D D ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

22 En consecenca la ecacón el plano π pepencla a la ecta aa seá: Cálclo e la nteseccón e la ecta el plano: π Resolemos el sstema fomao po la ecta el plano: π Sstteno en las ecacones paamétcas e la ecta el alo e obteno nos qea: Q Po tanto el pnto nteseccón ente la ecta el plano tene po cooenaas 8 9 Q La stanca ente los pntos P Q seá la stanca ente el pnto P la ecta aa Calclamos las cooenaas el ecto etemnao po los pntos P Q: PQ 9 po lo qe P P Q PQ DISTNCI ENTRE DOS RECTS S son paalelas: basta toma n pnto e na ecta calcla la stanca a la ota ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

23 S se cotan: la stanca es ceo S se can: bscaemos la pepencla común más aelante los pntos e cote con las ectas La stanca ente ellos nos a la mínma stanca ente las ectas DISTNCI ENTRE UN RECT Y UN PLNO SIENDO MBOS PRLELOS Se toma n pnto se la ecta calclamos la stanca el pnto al plano DISTNCI ENTRE PLNOS PRLELOS Tomamos n pnto e no e los planos hallamos la stanca al oto plano PRODUCTO VECTORIL DE DOS VECTORES Daos os ectoes V se efne el PRODUCTO VECTORIL como oto ecto con las sgentes caacteístcas: S mólo nos ene ao po: sen < > S eccón es otogonal a a : S sento nos ene ao po la egla el sacacochos qe ga el pme ecto al segno escbeno el meno ánglo sgeno el camno más coto S algno e los ectoes es nlo el pocto ectoal e ellos es el ecto nlo: EXPRESIÓN NLÍTIC DEL PRODUCTO VECTORIL Sea R { O; } n sstema e efeenca otonomal e E Paa este sstema e efeenca tenemos: pesto qe el ánglo fomao po n ecto consgo msmo es e ceo gaos el sen º Z Los emás poctos ente los ectoes e la base seán: X Y O Teneno en centa los poctos ectoales e los ectoes e la base el sstema e efeenca eamos como nos qea el pocto ectoal e os ectoes calesqea ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

24 S los ectoes tenen po cooenaas especto e la base B el sstema e efeenca se peen epesa chos ectoes como combnacón lneal e los ectoes e la base e la sgente foma: En consecenca el pocto ectoal e los ectoes nos qeaá: Teneno en centa los poctos ectoales e los ectoes e la base nos qea: en consecenca EJEMPLO Calcla el pocto ectoal e los ectoes esaollano Po tanto el ecto PROPIEDDES DEL PRODUCTO VECTORIL LINELIDD: : R V : V ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

25 DISTRIBUTIV: w V : w w INTERPRETCIÓN GEOMÉTRIC DEL PRODUCTO VECTORIL Paa too pa e ectoes no nlos V el mólo el pocto ectoal es gal al áea el paalelogamo consto sobe esos ectoes h El áea el paalelogamo nos ene aa po: Áea Base lta En nesto caso la base el paalelogamo nos ene aa po el mólo el ecto la alta po: h sen < > En consecenca Áea sen < > PLICCIONES DEL PRODUCTO VECTORIL COORDENDS DE UN VECTOR PERPENDICULR DOS RECTS Y s S es el ecto e eccón e la ecta el ecto s seá n ecto pepencla a s seá pepencla a a s EJEMPLO: s es el ecto e eccón e la ecta s a s En consecenca el ecto S s Entonces: s po tanto n ecto pepencla a a s seá: s s COORDENDS DE UN VECTOR PRLELO UN RECT DD COMO INTERSECCION DE DOS PLNOS ECUCIONES CRTESINS DE L RECT Conseemos na ecta aa po ss ecacones catesanas: las ecacones e os planos π π ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

26 D C B D C B Sabemos qe C B n π C B n π Po tanto como está contena tanto en π como en π tambén seá pepencla a chos ectoes: n n Po ota pate el pocto ectoal n n es pepencla a ambos ectoes en consecenca seá paalelo a con lo qe poemos tlalo como s ecto eccón EJEMPLOS: Enconta el ecto eccón e la ecta aa po : Los ectoes otogonales a los planos qe nos etemnan la ecta son: n n El pocto ectoal e estos ectoes nos a n ecto paalelo a la ecta : n n n n poemos consealo como eccón e la ecta Halla las cooenaas e n ecto pepencla a las ectas : : s Calclamos los ectoes e eccón e las ectas gal qe en el eecco anteo: Deccón e la ecta : n n n n n n Deccón e la ecta s: n n n n n n En consecenca el ecto pepencla a chas ectas seá ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

27 Halla las cooenaas e n ecto paalelo a los planos e ecacones Los os planos etemnan na ecta cas ecacones catesanas o mplíctas son las ecacones e los msmos planos aemás cha ecta está contena en ambos planos Calclano las cooenaas e n ecto paalelo a la ecta tenemos las cooenaas el ecto peo Po tanto: n n n n ÁRE DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE LS COORDENDS DE SUS VÉRTICES X Sea el tánglo e étces etemnan os ectoes C h B B B C Estos tes pntos C El áea el tánglo nos ene aa po: ea ΔBC base alta La base el tánglo es el mólo el ecto B B la alta nos ene aa po h C sen < B C > Entonces: ea ΔBC base alta B C sen < B C > B C EJEMPLO Halla el áea el tánglo cos étces son los pntos e cote el plano con los ees e cooenaas Z O C B Y Calclamos los pntos e nteseccón el plano con los ees: Ee OX: ss ecacones catesanas son Sstteno estos aloes en la ecacón el plano nos qea: el pnto e nteseccón tene po cooenaas ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL 7

28 Ee OY: ss ecacones catesanas son sstteno en la ecacón el plano nos qea Po tanto las cooenaas e B son Ee OZ: ss ecacones catesanas son De foma análoga a las anteoes obtenemos: el tece étce el tánglo seá C Teneno a los étces el tánglo poemos calcla s áea: B C B C 8 B C 8 Po tanto ea ΔBC B C 8 Con el pocto ectoal e os ectoes poemos calcla e ota foma la DISTNCI DE UN PUNTO UN RECT Conseemos la ecta etemnaa po el pnto el ecto Qeemos calcla la stanca el pnto P a la ecta Con el ecto eccón e la ecta el P h ecto P etemnao po los pntos P poemos foma n paalelogamo ca base es s alta h es la P Teneno en centa qe el áea el paalelogamo es gal a base po alta tambén teneno en centa la ntepetacón geométca el pocto ectoal e ectoes es ectoal e los os ectoes qe lo foman obtenemos: P ea P P P ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL 8

29 EJEMPLO Calcla la stanca el pnto P a la ecta Un pnto e la ecta es s ecto eccón es El ecto etemnao po los pntos P tene po cooenaas P El pocto ectoal e P seá: P s mólo P Po ota pate: 9 P en consecenca: P l PRODUCTO MIXTO DE VECTORES Sean tes ectoes w V no nlos Se efne el PRODUCTO MIXTO e tes ectoes no nlos como el pocto escala el pme ecto po el pocto ectoal e los otos os Se epesenta po { w} el esltao es n númeo eal: { w} w S algno e los ectoes es nlo el pocto mto es gal a ceo EXPRESIÓN NLÍTIC DEL PRODUCTO MIXTO Sea B { } na base otogonal e V conseemos qe las cooenaas e los ectoes w especto e cha base sean espectamente plcano las epesones analítcas e los poctos escala ectoal obtenemos la sgente epesón paa el pocto mto: ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL 9

30 w lo cal nos ce qe "el pocto mto e tes ectoes nos ene ao po el etemnante fomao po las cooenaas e los msmos" PROPIEDDES V w se efca qe: { w } { w } { w } { w } { w } { w } } { } { w a b c w c b a } { } { } { w w w } { w s sólo sí w son coplanaos lnealmente epenentes o algno e los ectoes es nlo INTERPRETCIÓN GEOMÉTRIC DEL PRODUCTO MIXTO DE VECTORES Conseemos tes ectoes V w El alo absolto el pocto mto e ellos seá: > < w w w cos } { ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL w es el áea e la base el paalelepípeo consto sobe los tes ectoes h OH w > < cos es la alta el msmo Entonces: } { w áea e la basealta Volmen el paalelepípeo w H w O

31 En consecenca el alo absolto el pocto mto e tes ectoes es gal al olmen el paalelepípeo qe tene po astas los tes ectoes PLICCIONES DEL PRODUCTO MIXTO VOLUMEN DE UN TETREDRO Sea el tetaeo e étces B C D Estos cato pntos etemnan tes ectoes D F E H B C D sobe los cales poemos const n paalelepípeo escomponelo en os psmas tanglaes gales e étces BCDEF BCEHFG espectamente B C G Caa no e estos psmas se pee consea fomao po tes tetaeos toos ellos e gal olmen Paa el pmeo e los psmas los tetaeos seían: BCD DCEF DCFB En consecenca el paalelepípeo consto sobe los tes ectoes B C D estaía fomao po ses tetaeos teneno en centa la ntepetacón geométca el pocto mto nos qeaá: EJEMPLO Vtetaeo { B C D} Vtetaeo { B C D} Calcla el olmen el tetaeo cos étces son 7 B C7 D Pesto qe las cooenaas e B son más cómoas e tla qe las e los otos pntos conseamos B como ogen fomamos los ectoes: En consecenca B 7 8 BC 7 BD V tetaeo l ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

32 PERPENDICULR COMÚN DOS RECTS QUE SE CRUZN Se llama PERPENDICULR COMÚN a os ectas qe se can a la ecta qe cota pepenclamente a caa na e ellas Conseemos las ectas s B Sabemos qe el ecto es pepencla a a po tanto pepencla a las ectas s En consecenca la pepencla común a ellas lleaá la eccón el ecto Cómo paa tene etemnaa la ecta nos faltaía conoce n pnto e la msma nos eslta más fácl cómoo obtene la ecta pepencla común meante ss ecacones catesanas e la sgente foma: a Calclamos el plano qe contene a la ecta al ecto ; es ec calclamos el plano etemnao po el pnto el ecto el ecto : π ; b Calclamos n segno plano qe contene a la ecta s al ecto : π B; La nteseccón e estos os planos calclaos π π es na ecta qe tene po eccón la común a ambos planos: MÍNIM DISTNCI ENTRE DOS RECTS QUE SE CRUZN Se efne la stanca ente os ectas qe se can como la mínma stanca ente los pntos e las ectas es ec es la stanca e n pnto e ellas al plano qe contene a la ota es paalelo a la pmea Tambén poemos efnla como la stanca ente los pntos e nteseccón e las ectas con la pepencla común Estas efncones nos están ano algnos pocementos paa calcla la mínma stanca ente os ectas qe se can Sn embago la foma más ápa e calcla la mínma stanca es la sgente: La alta el paalelepípeo consto con los os ectoes e eccón e las ectas n tece ecto qe ne os pntos B e las ectas s es pecsamente la mínma stanca ente las os ectas: Volmen paalelepí peo eabase alta { B} s { B} s EJEMPLO Halla la pepencla común la mínma stanca ente las ectas: s La ecta está etemnaa po el pnto s ecto eccón Paa etemna la ecta s hacemos con lo qe ss ecacones paamétcas seían: ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

33 s B s Obtenos los elementos qe etemnan las os ectas estamos la poscón elata e las msmas Paa ello calclamos el etemnante fomao po los ectoes B : B s En consecenca al se el etemnante stnto e ceo los tes ectoes son lnealmente nepenentes las os ectas se can Vamos a calcla la pepencla común a ambas ectas paa ello: Hallamos el pocto ectoal s : s s Plano qe contene a la ecta al ecto s : π s Plano qe contene a la ecta s al ecto s : π s s Po tanto la ecacón e la ecta pepencla común a las ectas aas en s foma catesana nos ene aa po las ecacones e los planos calclaos: Mínma stanca ente las ectas: B Tenemos: : s : B s en consecenca: s { B} s ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

34 l } { s s B s EJERCICIOS RESUELTOS Halla los planos qe contenen a la ecta foman n ánglo e º con el plano π La ecacón e toos los planos qe contenen a la ecta nos ene aa po la ecacón el ha: s ecto otogonal nos ená ao po n El ecto otogonal al plano π es n El ánglo fomao po los os planos es gal qe el ánglo fomao po ss ectoes otogonales Entonces: cos cos n n > < > < π π Como el ánglo qe tenen qe foma los os planos es e º tenemos: Resoleno la ecacón esltante obtenemos: ± ± Sstteno estos aloes en la ecacón el ha e planos nos qea: 7 7 S S qe son las ecacones e los planos peos ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

35 Halla la ecacón el plano paalelo a qe ste el ogen La ecacón e calqe plano paalelo al ao seá e la foma: D Como la stanca el ogen a estos planos tene qe se nos qeaá: π D D C B D O D D En consecenca los planos bscaos tenen po ecacón: Daa la ecta : el plano π Enconta la poeccón otogonal e la ecta sobe el plano π Detemna el ánglo qe foman π La poeccón otogonal e la ecta sobe el plano π estaá contena en el plano π lego la ecacón e este plano seá na ecacón catesana e la ecta pea La ota ecacón catesana seá la ecacón e n plano qe contenga a la ecta sea pepencla al plano π Este plano nos ená etemnao po el pnto base e la ecta s ecto eccón el ecto otogonal al plano π Entonces: : n π π Po tanto las ecacones catesanas e la ecta poeccón e sobe el plano π seán: Ánglo fomao po la ecta el plano π: π > < 9 n n sen º π > < acsen ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

36 a Qé elacón ebe est ente α β paa qe los ectoes α β sean lnealmente nepenentes? b Detemna s es posble n ecto no nlo qe sea pepencla a aemás sea paalelo a Conseemos la mat fomaa po los tes ectoes aos α - β - Paa qe los tes ectoes sean lnealmente nepenentes el ango e la mat ebe e se tes Po tanto s qeemos qe el ango e sea tes s etemnante ebe se stnto e ceo Vamos a calcla el etemnante e hacelo stnto e ceo paa qe los ectoes sean lnealmente nepenentes: αβ β α 7 αβ β α β α α Hacemos el etemnante e stnto e ceo espeamos β en fncón e α obteneno e esta foma la elacón pea paa qe los ectoes sean nepenentes: α α β α α β α α En consecenca paa qe los tes ectoes sean lnealmente nepenentes se tene qe efca qe α β α b Conseemos el ecto S α S β S Resoleno el sstema esltante obtenemos: α α β 8 β Como el ecto qe bscamos es stnto e ceo oblgatoamente tene qe se tambén stnto e ceo Deno ambas ecacones po obtenemos: α α β β ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

37 En consecenca sólo poemos enconta el ecto en las concones qe nos pen 9 paa los aloes e α β Este ecto poía se el msmo ecto o calqe oto popoconal a él Daos los planos e ecacones espectas e halla la ecacón el plano π qe contene al pnto P a la ecta común a los planos aos Detemna la ecta qe pasa po el pnto P cota pepenclamente a la ecta aa po las ecacones e Las ecacones e los planos aos seán las ecacones catesanas e la ecta común a ambos La ecacón e calqe plano qe contenga a cha ecta nos ene aa po la ecacón el ha: Como el plano qe nos nteesa es el qe contene al pnto P las cooenaas e éste tenán qe efca la ecacón el ha: Sstteno este alo en la ecacón el ha opeano obtenemos el plano peo: Detemna la ecta qe pasa po el pnto P cota pepenclamente a la ecta aa po las ecacones e Pme métoo: Las ecacones paamétcas e la ecta aa seán po tanto el pnto e cote Q con la ecta pea tená nas cooenaas e la foma Q Los pntos P Q etemnan la ecta pea qe tená na eccón PQ qe ebe se pepencla a la eccón e la ecta aa Po tanto: PQ En consecenca el pnto e cote e ambas ectas seá el pnto Q la ecta pea tená po ecacón Segno métoo: Calclamos n plano qe contenga a la ecta aa pase po P Paa ello opeamos como en el apatao tomano la ecacón el ha e planos qe contene a la ecta aa: qeánonos con el qe pasa po P: ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL 7

38 sstteno en la ecacón el ha obtenemos: Po ota pate calclamos la ecacón e n plano pepencla a la ecta aa qe pase po P: Como el ecto eccón e la ecta es la ecacón e calqe plano pepencla a ella seá e la foma: Como tene qe pasa po P éste ebe e efca cha ecacón: La ecacón el plano bscao seá Po tanto la ecta pea aa po ss ecacones catesanas seá: Dao n pnto abtao P e R sea Q el pnto el plano qe está más ceca e P Conste na mat tal qe s las cooenaas el pnto a P a b c se escben en n ecto colmna b entonces las cooenaas e Q c son las componentes el ecto El pnto el plano ao más cecano al pnto P seá el pe e la pepencla a cho plano qe pase po P Paa calcla el pe e la pepencla calclaemos la ecta pepencla al plano qe pasa po P espés bscaemos la nteseccón e la ecta calclaa con el plano ao La ecta pepencla al plano ao tená po eccón la msma qe la el ecto otogonal al plano; po tanto como el ecto otogonal al plano tene po cooenaas la ecacón e la ecta en s foma paamétca seá: a : b c Paa bsca las cooenaas el pnto Q calclamos la nteseccón e la ecta el plano esoleno el sstema fomao po ss ecacones: a b a b c c a b c a b c 9 ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL 8

39 Sstteno en las ecacones e la ecta obtenemos las cooenaas el pnto Q abc 9a a b c a b c a a b c b a b c a b c b ab c 9c ab c a b 8c c Teneno las cooenaas e Q amos a tata e bsca la mat qe efca qe las cooenaas e Q son las componentes e Tenemos a b c 9 a b c a bc a b 8c a a b b 9 c 8 c En consecenca De n paalelogamo BCD se conocen el cento M os étces consectos B Detemna: Las cooenaas e los otos os étces C D El áea el paalelogamo La ecacón el plano Π qe lo contene La ecacón el plano qe es pepencla a Π contene a la agonal C S tenemos en centa qe las agonales e n paalelogamo se cotan en s pnto meo tenemos qe: D C Vétce C: C M M B Vétce D: BD BM S conseamos qe las cooenaas e C son las e D son entonces: M C ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL 9

40 Po oto lao BM BD Po tanto las cooenaas e C son las e D Teneno en centa la ntepetacón geométca el pocto ectoal el mólo e éste es gal al áea el paalelogamo consto con base los os factoes amos a calcla pmeo los ectoes B D B D El pocto ectoal e ellos seá B D 8 8 s mólo: B D 8 s Teneno en centa qe el ecto pocto ectoal es otogonal al plano etemnao po los ectoes el ecto 8 es n ecto otogonal al plano etemnao po los ectoes B D en consecenca la ecacón el plano nos ená aa po como tene qe pasa po calqea e los cato pntos qe etemnan el paalelogamo las cooenaas e éstos tenán qe efca s ecacón: Π Po tanto la ecacón el plano qe contene al paalelogamo seá: El plano pepencla a Π qe contene a la agonal C nos ená etemnao po el pnto los ectoes C n seno n el ecto otogonal al plano La ecacón e este plano nos ená aa po: Π C n 7 7 ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

41 8 Este algna ecta cas poeccones otogonales sobe los planos cooenaos son espectamente sobe XOY sobe XOZ sobe YOZ? S este etemnala S no este eplca po qé Paa calcla la poeccón e na ecta sobe n plano el métoo más fácl es enconta ss ecacones catesanas ecta aa como nteseccón e os planos: no e ellos es el plano sobe el qe poectamos el segno es n plano pepencla al pmeo qe contene a la ecta qe poectamos En nesto poblema las ectas poeccón sobe caa no e los planos catesanos nos enen aas po ss ecacones catesanas: Poemos compoba fáclmente qe los planos qe etemnan caa na e las ectas poeccón son otogonales ente sí Paa compoba s este na ecta cas poeccones sean las aas los planos pepenclaes a los planos catesanos tenían qe tene na ecta en común la qe estaíamos poectano Veamos s es ceto: paa ello estamos la poscón elata e los planos a e s tenen na ecta en común esoleno el sstema fomao po los tes planos Tomamos las matces e coefcentes amplaa el sstema estamos ss angos: M M * * S tenemos en centa qe M M M entonces el sstema es compatble etemnao: los tes planos se cotan en n pnto no en na ecta Po tanto no este nngna ecta cas poeccones sobe los ees son las ectas aas 9 Halla e foma aonaa n pnto P el plano etemnao po los pntos B C qe esté a gal stanca e los tes P se llama ccncento el tánglo cos étces son B C La ecacón el plano etemnao po los tes pntos seá en s foma segmentaa: ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

42 El pnto P qe se nos pe eqsta e los étces el tánglo lego se encontaá en los planos meaoes e caa no e los laos el tánglo Plano meao el segmento B : Pnto meo el segmento: M Vecto etemnao po los pntos: B Plano meao: D Como tene qe pasa po M : D D ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL

43 Halla el pnto smétco el pnto P especto e la ecta : Halla el pnto smétco el pnto P especto el plano π Halla el áea el tánglo e étces B C 7 Halla la ecacón el plano π qe contene a la ecta e ecacones es otogonal al plano α Obtene tambén las ecacones paamétcas e la ecta etemnaa po π α 8 Enconta la ecacón el plano qe es pepencla al pasa po los pntos B 9 Halla la ecacón el plano paalelo a qe ste el ogen Halla el olmen el tetaeo qe etemna el plano e ecacón con los ees cooenaos Halla la stanca ente los planos: Halla las ecacones e la ecta qe pasa po el pnto P es pepencla a : : s Esta la poscón elata ente las ectas : μ μ μ : s en el caso e qe se ccen calcla la pepencla común la mínma stanca ente ellas ESPCIO FÍN-EUCLÍDEO TRIDIMENSIONL