Profesor Francisco R. Villatoro 15 de Noviembre de 1999 SOLUCIONES. Soluciones de los ejercicios de la tercera relación de problemas.

Transcripción

1 Tecea elacón de poblemas Técncas Numécas Pofeso Fancsco R. Vllatoo 5 de Novembe de 999 SOLUCIONES Solucones de los ejeccos de la tecea elacón de poblemas.. Se defne la taza de la matz cuadada A como la suma de los elementos de su dagonal ta = a. Demueste que la taza de una matz es gual a la suma de sus valoes popos. Ayuda: el teoema de Schu le puede se útl. Solucón. Sabemos que A tene foma nomal de Schu, es dec, que exste una matz U untaa tal que T = U A U, es una matz tangula cuya dagonal está fomada po los autovaloes de A demuéstelo. Además, como tu A U = u l a lk u k = a lk u k u l l k l k = a lk U U kl = a lk δ kl = a kk = ta, l k l k k po lo que ta = tt = k. Dada una matz cuadada A demueste que ta n ρa. λ Ak. S, además, A es hemtana o smétca y defnda postva ta ρa. Solucón. Aplcando el esultado del ejecco anteo eptalo sn demosta el teoema de Schu, ta = λ λ n máx λ n ρa. = =

2 Po un lado, paa A hemtana en IC o smétca en IR, sus autovaloes son eales demuéstelo. Po oto lado, s A es defnda postva estos autovaloes son postvos demuéstelo. Fnalmente, como una suma de númeos postvos es sempe mayo que el mayo de los sumandos ta = λ máx λ = ρa. 3. Demueste que paa x IC n, se tene que a x x n x, b x x n x, c x x n x. Es dec, estas tes nomas son equvalentes ente sí. Solucón. a Como máx x n n x = x = = x x n x, donde se ha usado que x / x, tenemos que las nomas nfnto y uno son equvalentes b Ya que po lo msmo que antes x x n x. x = n x = x = x, x = x x x n, y tenemos que las nomas nfnto y euclídea son equvalentes x x n x.

3 c De los apatados a y b se sgue que x n x n x, y las nomas son equvalentes. Po oto lado, como po a x = obtenemos = x máx n x x = x x x, = x x n x. 4. Demueste el teoema de Cayley-Hamlton, que dce que toda matz A satsface su ecuacón caacteístca pλ = A λ I = 0, es dec, pa = 0. Solucón. El teoema de Cayley-Hamlton dce que s px es el polnomo caacteístco de la matz A, entonces se cumple que px = A x I = b 0 + b x + + b m x m, pa = b 0 I + b A + + b m A m = 0. S la foma canónca de Jodan de A es dagonal, es dec, λ 0 0 P 0 λ 0 A P = Λ = λ n Como A n = P Λ n P demuéstelo entonces pa = P pλ P demuéstelo, y como el témno ente paéntess es nulo poque pλ = 0, se sgue el esultado pa = 0. En geneal, sea J la foma canónca de Jodan de A, es dec, exste una matz P no sngula tal que A = P J P sendo J una matz dagonal po bloques de Jodan, J = dag [Jλ, n,..., Jλ k, n k m gk ] 3

4 escba la foma del bloque Jλ k, n k. Entonces, es fácl compoba que pa = P pj P = P dag [pjλ, n,..., pjλ k, n k m gk ] P. Ahoa ben, un bloque de Jodan Jλ, n tene como polnomo caacteístco Jλ, n µ I = µ λ n, demuéstelo po lo que po lo que λ tene multplcdad algebaca m a = n. Sn embago, el ango de Jλ, n µ I es n, po lo que la multplcdad geométca de λ es m g = n n =, y po lo tanto exste un sólo autovecto e como base paa el autoespaco de λ, Lλ = {x : Jλ, n λ I x = 0} = {x : x = α e, α IC}. Sean {e } con =, 3,..., nlos n los vectoes pncpales asocados a λ, es dec, vectoes dados po Jλ, n λ I e = e, = n, n,...,, y como sabemos que Jλ, n λ I e = 0, hacendo, fomalmente e k = 0 paa k 0, podemos escb, j, y po tanto Jλ, n λ I e j = e j, Jλ, n λ I n = 0, Jλ, n λ I n 0. Entonces, aplcando este esultado a los bloques de Jodan de J, pjλ, n j = Jλ, n λ I n ma qλ = 0, donde sabemos que m a m g y qλ es un polnomo de gado n n ma. Con ello hemos demostado el teoema de Cayley-Hamlton justfíquelo en detalle. 5. Sea U una matz untaa. Demueste que a A U = U A = A, con A del msmo tamaño que U. 4 j

5 b U x = x, x IC n, c la dstanca ente x e y es la msma que la dstanca ente U x y U y, d U x, U y = x, y, x, y IC n, e los autovaloes de U tenen módulo undad, λ U =. Solucón. a Escba la defncón de noma matcal subodnada y de matz untaa. Como U es untaa esulta que y po tanto U A x = U A x, U A x = A x, U U A x = A x U A x U A = sup x 0 x A x = sup = A. x 0 x b Hacendo y = U x, tenemos que y = x demuéstelo po lo que A U x A y A U = sup = sup = A. x 0 x y 0 y c La dstanca ente x e y es x y, po lo que U x U y = U x y = x y, d U x, U y = x, U U y = x, y. e Sea U u = λ u, entonces u, u = U u, U u = λ u, λ u = λ u, u, con lo que λ =. Los autovectoes de una matz untaa son lnealmente ndependentes y defnen una base otonomal demuéstelo, po lo que todo vecto se puede escb de la foma x = x, u u = α u, y po tanto = = U x, U x = x, x = α. = 5

6 6. Dada la matz A hemtana que es defnda postva, es dec, x IC n, A x, x > 0. Demueste que A es defnda postva s y sólo s sus autovaloes son eales y postvos. Solucón. Sea A u = λ u. Sabemos que los autovaloes de una matz hemtana son númeos eales demuéstelo. Entonces de la defncón de matz defnda postva aplcada a un autovecto A u, u = λ u, u > 0 obtenemos λ > 0, ya que u, u > 0. Po oto lado, s A es hemtana entonces sus autovectoes defnen una base demueste que son lnealmente ndependentes otonomal demuéstelo, sea {u }; po tanto, x, x = α u, po lo que s los autovaloes de A son postvos A x, x = A α u, α u = λ α u, α u = λ α u, α j u j = λ α α j u, u j j j = λ α > 0 po se una suma de númeos postvos. Luego A es defnda postva. 7. Defna e A = I + A + A + A3 3! + = I + = A!. Es nvaante especto a tansfomacones de semejanza? Cómo se calcula la exponencal de una matz utlzando su foma canónca de Jodan? Qué ventajas tene? Ayuda: los bloques de Jodan son suma de una matz dagonal y ota nlpotente. Solucón. Como A es semejante a B s exste P no sngula tal que A = P B P, entonces demuéstelo po nduccón A m = P B P m = P B m P, 6

7 luego e A = e P B P = I + = P I + m= m= B m m! P B P m m! P = P e B P. = I + m= P B m P m! Po un lado, s la foma canónca de Jodan de A es dagonal, entonces exste P no sngula tal que A = P Λ P con Λ = λ autovalo de A. En ese caso calculamos fáclmente e A = P e Λ P, e Λ = e λ. En geneal, sea J la foma canónca de Jodan de A, es dec, exste una matz P no sngula tal que A = P J P, luego e A = P e J P, sendo J una matz dagonal po bloques de Jodan, J = dag [Jλ, n,..., Jλ, n m g,..., Jλ k, n k,..., Jλ k, n k m gk ] donde cada bloque se escbe Jλ k, n k = λ k I k n = 0. En- detalle su foma donde N k n tonces, es fácl compoba que es n k + N k n, -nlpotente, N n k nk expj = dag [expjλ, n,..., expjλ k, n k m gk ]. S A y B son matces que conmutan, expab = expa expb demuéstelo y como una matz dagonal conmuta con cualque ota, entonces expjλ k, n k = e λ k expn k n = e λ k = e λ k. I + n k =! 3! n k 0! n k 0 0!! n k 3! N n k! n k! n k! n k!.

8 NOTA: Escba la solucón geneal del sstema de ecuacones dfeencales odnaas y = A y, y0 = y 0, donde yt {IR IR n } e y 0 IR n. REPASO DE AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 8. Consdee la ecuacón dfeencal d y dx + λ y = 0, y 0 = y = 0. Calcule los autovaloes y autovectoes/autofuncones de esta ecuacón. Cuántos hay? Po qué? Dscetcemos el espaco x de tal manea que haya N + puntos espacados en /N; es dec, llamando x = /N, x = N = x, =,,..., N +. Apoxmemos la segunda devada po la fómula en dfeencas d y dx x y + y + y x + O x, donde x = x y y yx y de tal manea que la ecuacón de patda evaluada en el punto x venga dada po o lo que es lo msmo y + y + y x + λ y = 0, y + + w y + y = 0, =, 3,..., N, donde w = λ x, y y y / x = y N+ = 0. Defnendo Λ = w, tenemos y + + Λ y + y = 0, y y x = y N+ = 0. Cuáles son los autovaloes Λ de esta sstema de ecuacones? Cuántos hay? Po qué? Paa los casos N = y N = 3 calcule los autovaloes Λ y elacónelos con los λ de la ecuacón dfeencal odnaa. Cuál es esa elacón? Po qué? Qué es lo que se ha peddo/ganado en la dscetzacón? 8

9 Solucón. La ecuacón dfeencal d y dx + λ y = 0, y 0 = y = 0, tene como únca solucón yx = 0 demuéstalo, po tanto, no se puede ntepeta como un poblema de autovaloes. S tomamos como condcones ncales y 0 = y = 0 tambén yx = 0 demuéstalo. Po ello, consdeaemos el poblema con condcones de contono de Dchlet homogéneas y0 = y = 0. La ecuacón dfeencal d y + λ y = 0, y0 = y = 0, dx se puede ntepeta como un poblema de autovaloes hacendo la analogía A y + λ y = 0, AD y + λ y = 0, con AD = D. Paa IR λ > 0 la solucón de esta ecuacón dfeencal toma la foma yx = A snk x + B cosk x, y como y = A k snk x B k cosk x = k yx, entonces k = λ, y aplcando las condcones de contono y0 = B = 0, y = A snk = 0, k k n = π n, n = ±, ±,..., con lo que las autofuncones seán no nulas paa los autovaloes del especto dsceto λ n = π n, e guales a y n x = A snπ n x, n = ±, ±,.... Po oto lado, paa IR λ < 0 la solucón de la ecuacón dfeencal toma la foma yx = A e k x + B e k x, 9

10 con k = λ, y aplcando las condcones de contono y0 = A + B = 0, y = A e k + B e k = 0, obtenemos A = B = 0 e yx 0. Luego no hay especto contnuo. Hemos encontado que el especto de esta ecuacón dfeencal se educe a su especto dsceto y que exste un númeo nfnto numeable de autovaloes λ n. La ecuacón en dfeencas fntas paa condcones de Dchlet y + + Λ y + y = 0, y = y N+ = 0. se puede ntepeta como un poblema de autovaloes hacendo la analogía AE y + Λ y = 0, AE = E + E, donde E y = y + y E y = y. Paa detemna los autovaloes habá que detemna la solucón que cumple con las condcones de contono. La solucón de esta ecuacón en dfeencas se puede escb como y = A ξ + + B ξ = A cos ξ + B sn ξ, que aplcando las condcones de contono y = A = 0, y N+ = B sn N ξ = 0, se obtene la famla de solucones = B sn ξ n, ξ n = n π, n =,,..., N. N y n Paa detemna los valoes de Λ autovaloes paa los que cada funcón de esta famla es ealmente una solucón autofuncón habá que hace sn ξ + Λ sn ξ + sn ξ = 0, Recuendo a un manual de fómulas y tablas matemátcas sabemos que n sn n A = sn A cos A n cos A n 3 n 3 + cos A n 5, 0

11 fómula 5,6 del manual de M.R. Spegel, See Schaum, po lo que y sn n A + snn A n = sn A cos A n cos A n 3 n 3 n 4 + cos A n 5, Λ snn A = Λ sn A obsevando que n n 3 cos A n + n 4 n 3 =, n 4 = n 3 cos A n 6 n 4 cos A n 4,..., obtenemos que sn n A + snn A + Λ snn A = 0, con Λ = cos A, y los N autovaloes de la ecuacón en dfeencas fntas son Λ n = cos ξ n, ξ n = n π, n =,,..., N. N La elacón ente los autovaloes contnuos λ n y los dscetos Λ n = w n = λ n x = cos n π x, es aplcando Taylo paa x λ n = cos n π x x = n π n4 π 4 x + O x 4 = λ n λ n x + O λ 3 n x 4, y los autovaloes del poblema en dfeencas fntas son una apoxmacón cuadátca paa los pmeos N autovaloes del poblema contnuo. ;