Coordenadas Generales.

Transcripción

1 oodenadas eneales. k cte. j cte. cte. Base catesana Base cíndca. j k cos, cos, φ cte. cte. cte. Base esféca Base geneal. cos cos En una base geneal, un elemento de aco está detemnado po llamando ds ds ds ds ds /d, ds /d, ds /d, en donde d, d d son las dfeencales de las coodenadas de cualquea de las bases, podemos escb

2 ds d d d Un elemento de supefce queda entonces como: el elemento de volumen como: dσ ds ds j j d d j dτ ds ds ds d d d En coodenadas catesanas tenemos: d/d, d/d d/d, entonces ds d jd kd ds d d d dτ ddd En coodenadas clíndcas tenemos: ds d, ds d ds d así que:, entonces: ds d d d ds d d d dτ ddd En coodenadas esfécas: ds d, ds d ds d así que:, entonces: ds d d φ d,

3 ds d d d dτ ddd. De eco, se pede pensa que el elemento de aco ds, en coodenadas genealadas, se obtene de aplca una mat λ a las dfeencales de las coodenadas catesanas: ds ds ds d 0 d d Aplcacones on estos esultados podemos calcula de nmedato la velocdad de un móvl en dfeentes sstemas de coodenadas, a que a oodenadas catesanas: b oodenadas clíndcas: c oodenadas esfécas: v ds /dt ds /dt ds /dt v d/dt jd/dt kd/dt. v d/dt d/dt d/dt v d/dt d/dt φ d/dt El gadente de una funcón escala. Tambén podemos calcula con facldad los opeadoes vectoales. En patcula, ecodando que el gadente de una funcón escala se defne como un vecto que está dgdo a lo lago de la máma vaacón de la funcón especto de las coodenadas en cuestón, podemos escb: Ψ Ψ s Ψ s Ψ s Ψ Ψ Ψ a oodenadas catesanas: Ψ Ψ Ψ j Ψ k

4 b oodenadas clíndcas: c oodenadas esfécas: Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ La dvegenca de una funcón vectoal. onsdeemos una funcón vectoal (,,. La cantdad dφ dσ es una medda del flujo de a tavés de dσ ( j d d j k (Fgua N. dσ d d dσ d d dσ d d Al pasa de una supefce a ota contgua que lmtan a un elemento de volumen dfeencal dτ d d d a lo lago de una de las deccones que defnen al sstema otogonal de coodenadas genealadas (dgamos, el flujo camba en: Φ d ( d,, (,, d dd d Φ Φ Φ a que Φ (,, d d s consdeamos al elemento de supefce dσ contendo en el plano defndo po e. La cantdad dφ epeta entonces una medda del aumento (s es postva o de la dsmnucón (s es negatva del flujo de a tavés de las supefces que lmtan al volumen dτ en esa deccón. El flujo total a tavés de las ses supefces que lmtan a dτ seá la suma de tes témnos semejantes al ecén calculado. Defnmos aoa al flujo total po undad de volumen como la dvegenca de la funcón vectoal, a la cual denotaemos como : d Φ. dτ El nombe dvegenca tuvo su ogen en el eco de que este concepto se desaolló paa descb las popedades de una funcón asocada con el

5 compotamento de un fludo. S es postva, el fludo emana del elemento de volumen dτ; es dec, a una fuente. S es negatva, el fludo desapaece en el elemento de volumen dτ; es dec, a un sumdeo a oodenadas catesanas b oodenadas clíndcas. c oodenadas esfécas. ( ( ( ( ( ( Paa calcula las ntegales en el numeado del membo deeco de la ecuacón anteo, consdeemos pmeo las dos supefces con cte. mostadas en la fgua sguente. El otaconal de una funcón vectoal. onsdeemos aoa la componente ds d de una funcón vectoal (,, a lo lago de un elemento de aco ds d. S tal elemento de aco petenece al contono de una de las supefces que lmtan a un elemento de volumen dτ, podemos calcula la dfeencal d en ese contono. Supongamos que la supefce esta contenda en el plano (es dec constante. El valo de d al ecoe el contono ABD de la supefce es (ve la fgua: A D B

6 ( (, d d d d,, ( - d,, ( -, d, (,, ( a que ds d los sgnos esultan del eco de que los camnos AB D (o B DA se ecoen en tdos contaos. Análogamente podemos enconta d d pemutando cíclcamente los índces. Defnmos aoa al otaconal de una funcón vectoal como d d dv s a oodenadas catesanas. k j b oodenadas clíndcas. c oodenadas esfécas. ( ( ( ( ( ( X El laplacano de una funcón escala. Fnalmente, como el laplacano de una funcón escala es la dvegenca del gadente de la funcón, podemos combna los dos esultados anteoes paa obtene: Ψ Ψ Ψ

7 a oodenadas catesanas. Ψ Ψ Ψ Ψ b oodenada clíndcas. Ψ Ψ Ψ Ψ oodenadas esfécas. Ψ Ψ Ψ Ψ