Tema 2. DINÁMICA DE SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Transcripción

1 Tea. DIÁMICA DE SISTEMAS DE PARTÍCULAS. Intoduccón. Cento de asas.. Movento del cento de asas.. Masa educda..3 Consevacón del oento lneal..4 Consevacón del oento angula.3 Enegía de un sstea de patículas.3. Enegía cnétca.3. Enegía potencal.3.3 Consevacón de la enegía ecánca de un sstea.4 Colsones elástcas e nelástcas.5 Colsones en tes densones.6 Populsón de un cohete.7 Ssteas de uchas patículas ota: El contendo de estos apuntes petende se un esuen de la atea desaollada en el cuso. Po ello, el aluno debe de copletalo con las explcacones y dscusones llevadas a cabo en clase y con la bblogafía ecoendada.. Intoduccón Hasta ahoa se ha utlzado el odelo de patícula o punto ateal paa el estudo de la dnáca de los cuepos de densones fntas. En ese caso la patícula ateal se ha consdeado aslada, epesentando el esto del unveso po la accón de fuezas o po su enegía potencal. Peo, qué ocue cuando hay que consdea las densones del cuepo en estudo? La apoxacón de punto ateal es válda en los oventos de taslacón y en aquellos casos en los que la pecsón en la localzacón del cuepo es del oden de las densones de éste. Po tanto, hay de popone un nuevo odelo que peta estuda los cuepos, y su evolucón tepoal, en los casos en que la apoxacón anteo no sea válda. Este odelo es el de ssteas de patículas. Sstea de patículas: Es un conjunto de patículas cuyas popedades globales queeos estuda. Podeos dstngu vaos odelos:

2 Sstea dsceto, cuando el cuepo se consdea foado po un núeo fnto de patículas. Dento de este odelo podeos consdea: Ssteas ndefoables, en los que la dstanca elatva ente las patículas del sstea peanece nalteable en el tepo. Ssteas defoables, en los que puede caba la dstanca elatva ente las patículas. Ssteas contnuos, cuando un cuepo puede consdease foado po una dstbucón contnua de atea (llenando todo el espaco que ocupa). Estos ssteas se dvden en defoables e ndefoables (sóldos ígdos). Las fuezas que actúan en los ssteas de patículas se clasfcan en fuezas nteoes y en fuezas exteoes, ya que las patículas del sstea no sólo están nteacconando ente sí sno con otas patículas extenas al sstea. Fuezas nteoes o ntenas, F nt, son las que están aplcadas a las patículas del sstea debdas a las nteaccones con otas patículas del so sstea. Fuezas exteoes o extenas, F ext, son las que están aplcadas a patículas del sstea debdas a patículas o agentes que no petenecen al sstea Po cada fueza ntena que actúa sobe una patícula del sstea exste ota gual y opuesta, o sea, las fuezas ntenas se pesentan en paejas. F nt 0 Supongaos un sstea sencllo foado po dos patículas. Sobe cada patícula actúan las fuezas exteoes al sstea y las fuezas de nteaccón utua ente las patículas del sstea.. Sobe la patícula actúa la fueza exteo F y la fueza que ejece la patícula, F. Sobe la patícula actúa la fueza exteo F y la fueza que ejece la patícula, F. Se cuple que F F. Un ejeplo podía se un sstea de patículas foado po la Tea y la Luna: las fuezas exteoes seían las que ejece el Sol (y el esto de los planetas) sobe la Tea y sobe la Luna. Las fuezas nteoes seían la ataccón utua ente estos dos cuepos celestes.

3 . Cento de asas El cento de asas de un sstea de patículas se defne coo el punto en el que se consdea aplcada la esultante de todas las fuezas exteoes y concentada toda la asa del sstea. El cento de asas de un sstea de patículas dsceto puede expesase coo: c S teneos un sstea sencllo foado po dos patículas de asas y, y s es ayo que, la poscón del cento de asas del sstea está ás ceca de la asa ayo. El cento de asas de este sstea de dos patículas es: x + x x CM + En un caso de patículas, las coodenadas del vecto c.d.. seá: x c x yc zc T T T y z sendo T la asa total del cuepo, T El cento de asas de un sstea de patículas contnuo puede expesase coo: c d d 3

4 o, expesándolo en funcón de la densdad ρ del sstea paa una dstbucón voluétca de asa: sendo T la asa total del cuepo contnuo: c ρ dv T T M d.. Movento del cento de asas En geneal, la poscón CM del cento de asas de un sstea dsceto de patículas es: La velocdad del cento de asas tepo: CM v CM se obtene devando CM con especto del v v CM donde en el nueado fgua el oento lneal total y en el denonado la asa total del sstea de patículas. PS M La aceleacón del cento de asas tepo: a CM se obtene devando v CM con especto del a CM a F M, ext El cento de asas se ueve coo una sola patícula de asa M, soetda a la accón de una fueza esultante de todas las fuezas exteoes que actúan sobe el sstea. 4

5 .. Masa educda Sea un sstea aslado ( F ext 0) foado po dos patículas que nteactúan ente sí. Sobe la patícula de asa actúa la fueza F, y sobe la patícula de asa actúa la fueza F. Abas fuezas son guales y de sentdo contao. Las ecuacones del ovento de cada patícula son: a F a F Coo el sstea es aslado a + a 0, luego la aceleacón del cento de asas es ceo, lo que plca que el cento de asas de un sstea aslado se ueve con velocdad constante. v cte Este poblea de dos cuepos se puede educ a un poblea de un solo cuepo, paa ello, calculaos el valo de la aceleacón elatva a a. CM a a a F + Y ponendo + µ, sendo µ la asa educda del sstea: µ a F El ovento elatvo de dos patículas soetdas úncaente a fuezas de nteaccón utua es equvalente al ovento elatvo, especto a un sstea necal, de una patícula de asa gual a la asa educda y bajo una fueza gual a la de nteaccón...3 Consevacón del Moento lneal El oento lneal de un sstea de patículas es la sua de los oentos de cada una de las patículas que ntegan el sstea. P S P v Mv CM S devaos especto al tepo el oento lneal del sstea: 5

6 dp S F, ext F ext La esultante de las fuezas exteoes aplcadas a un sstea concde con la vaacón tepoal del oento lneal del sstea de patículas. Ley de consevacón del oento lneal: S la fueza neta extena que actúa sobe un sstea es nula, la velocdad del c.d.. es constante y el oento lneal del sstea se conseva. F ext 0 dp S 0 P S cte Hay stuacones en las que el oento lneal puede consdease constante aunque las fuezas exteoes no son nulas. Esas stuacones se dan cuando las fuezas que ntevenen son fuezas pulsvas (fuezas nteoes uy gandes y de uy cota duacón). En esos casos, coo po ejeplo explosones, choques, etc., el ntevalo de actuacón es uy pequeño, del oden de centésas o lésas de segundo, y el esto de las fuezas que están actuando, ncludas las exteoes pueden consdease nulas. Esta apoxacón es válda s se consdea que los oentos lneales ncal y fnal se efeen al nstante antes y después de la colsón, (o de la explosón) espectvaente. S consdeaos coo sstea de efeenca el cento de asas (ve fgua en clase), obsevaos que: d + d 0 sendo d y d los vectoes de poscón especto del cento de asas, oento lneal del sstea de patículas especto del cento de asas es O: P S, CM u + u 0 y que el Donde u y u son las velocdades de las patículas especto del cento de asas...4 Consevacón del oento angula El oento angula (L O ) de un sstea dsceto de patículas especto de un sstea de efeenca necal O se defne coo la sua de los oentos angulaes ndvduales de cada patícula especto del obsevado O (l o ). L O v p 6

7 L O LO v p Se ha vsto que la cantdad de ovento de un sstea solaente se odfca debdo a las fuezas exteoes, peo quén odfca el oento angula o cnétco del sstea? S se calcula la devada de la expesón anteo: d L O d d d LO v p v p + dp y coo v p 0, ya que v y p tenen gual deccón, y po tanto su poducto vectoal es ceo y que la sua de los oentos de las fuezas ntenas se anula, teneos que: d L O F ext, La vaacón especto al tepo del oento angula de un sstea de patículas especto a un punto es gual al oento de las fuezas exteoes especto al so punto. Ley de consevacón del oento angula: S el oento de las fuezas exteoes especto a un punto es nulo, [o el sstea es aslado (F ext 0)], el oento angula del sstea especto del so punto peanece constante en agntud y deccón. S consdeaos que: v d + CM y d + CM u + v CM y v u + vcm L O LO p CM MvCM + d u El oento angula del sstea especto del sstea de efeenca O es gual a la sua del oento angula del cento de asas especto de O y la esultante de los oentos angulaes de las patículas especto del cento de asas. 7

8 .3 Enegía de un sstea de patículas.3. Enegía cnétca La enegía cnétca de un sstea de patículas especto de un sstea de efeenca necal O es gual a la sua de las enegías cnétcas ndvduales de cada patícula especto de dcho sstea. E CS E C v Veaos ahoa coo se elacona la enegía cnétca de un sstea especto a O con la enegía cnétca del sstea especto del c.d.. y la enegía del c.d.. especto a O. La enegía cnétca de un sstea es: v u + v CM E C v ( VCM + u ) M Vc + u O sea, la enegía cnétca de un sstea especto a O es gual a la sua de la enegía del c.d.. especto a O (enegía cnétca de taslacón del sstea) y de la enegía cnétca del sstea especto del c.d..( enegía cnétca ntena del sstea). Consdeeos un sstea copuesto po dos patículas de asas y, sujetas a las fuezas extenas F y F y a las fuezas ntenas F y F. En un detenado nstante (en que las patículas ocupan las poscones ndcadas en la fgua), la patícula de asa se desplaza d y la patícula de asa se desplaza d ovéndose con velocdades v y v a lo lago de las tayectoas C y C. La ecuacón del ovento de cada patícula es: dp dp ; F + F F + F El tabajo ealzado po la esultante de las fuezas que actúan sobe la pea patícula es: δw ( F + F ) d El tabajo ealzado po la esultante de las fuezas que actúan sobe la segunda patícula es: δw ( F + F) d 8

9 W + S W ( F + Fj ) d WS, ext WS,nt El tabajo total de las fuezas qua actúan sobe el sstea de patículas es gual a la sua del tabajo ealzado po las fuezas extenas y el tabajo ealzado po las fuezas ntenas. Las fuezas nteoes F y F ealzan tabajo sepe que haya un desplazaento elatvo de la patícula especto de la, ya que d d d( ) d (y no necesaaente éste es nulo, a no se que el sstea fuea ndefoable). Consdeando que F a : W S B W a d ( v ( B) v ( A)) A E C E CS El tabajo ealzado po las fuezas que actúan sobe el sstea de patículas cuando evolucona ente puntos del capo es gual a la vaacón de la enegía cnétca del sstea..3. Enegía potencal La enegía potencal es una enegía asocada a la confguacón del sstea, y en patcula a la poscón de las patículas dento del capo. Consdeeos que las fuezas que actúan sobe las patículas del sstea son consevatvas (el tabajo ealzado po la fueza al desplaza una patícula ente puntos de un capo no depende de la tayectoa que sga la patícula y solo depende de las coodenadas de los puntos ncal y fnal) S las fuezas que actúan sobe el sstea de patículas son consevatvas, el tabajo ealzado po dchas fuezas es gual a la dfeenca ente la enegía potencal ncal y fnal: W S B A F d W ext S + W nt s E P s Supongaos que las fuezas extenas son no consevatvas: W s W ext + W nt W ext E c + E p nt E El tabajo ealzado po las fuezas no consevatvas es gual al cabo en la enegía ecánca del sstea. 9

10 .3.4 Consevacón de la enegía ecánca de un sstea Ley de consevacón de la enegía ecánca: S las fuezas que actúan sobe el sstea son consevatvas, la enegía ecánca del sstea peanece constante. Consdeando que paa fuezas consevatvas se cuple que W S E c y W S - E p : E c - E p E f E E 0 S sobe el sstea actúan fuezas no consevatvas, el tabajo ealzado po las fuezas no consevatvas es gual a la vaacón de la enegía ecánca total del sstea. E W no cons..4 Colsones elástcas e nelástcas. Colsón: Es una nteaccón ente dos o ás cuepos que tene luga en un ntevalo uy coto de tepo y en una egón deltada del espaco. Cuando esto ocue se poduce un ntecabo de oento lneal y de enegía. S el pulso debdo a las fuezas exteoes es despecable ello plca que la cantdad de ovento (o oento lneal) se conseva y tabén que la enegía total se conseva. Cuando teneos un choque, adeás de una consevacón de la asa, tanto el oento lneal coo la enegía total se conseva. Sean dos asas y, cuyas velocdades antes del choque son u y u y después del choque son v y v,, la consevacón de la enegía total plca: S llaaos Q a: Ec ncal + Ep ncal Ec fnal + Ep fnal Q Ec fnal - Ec ncal Ep fnal - Ep ncal Según los valoes de Q podeos hace una clasfcacón de los choques en: Choque elástco: Cuando Q 0

11 Se cuple el pncpo de consevacón de la enegía. La enegía cnétca ncal es gual a la fnal: Choque nelástco: Cuando Q 0 u + u v + v Choque nelástco de pea clase o endoégco: Q < 0. Dsnuye la enegía cnétca y auenta la enegía potencal ntena. Choque nelástco de segunda clase o exoégco: Q > 0. Auenta la enegía cnétca a expensas de la enegía potencal ntena. Cuando hay un choque sepe hay un ntecabo de oento lneal ente los dos cuepos peo no necesaaente un ntecabo de enegía cnétca ente ellos. Colsones elástcas: Se cuple la consevacón del oento lneal y de la enegía cnétca.. Pncpo de consevacón del oento lneal: u + u v + v. Pncpo de consevacón de la enegía cnétca (Q 0). u + u v + v Dadas u y u (velocdades de las patículas y antes del choque), podeos calcula las velocdades de las patículas v y v después del choque: u v + ( + ) u v u + ( ) u + Colsones nelástcas. Son aquellas en las que Q 0. Un caso patcula es el de choque pefectaente nelástco, que es cuando los dos objetos tenen la sa velocdad tas el choque. Un ejeplo es el de un sstea aslado foado po una bala y un bloque conta el que choca, de odo que la bala peneta en el bloque hasta que abos adqueen la sa

12 velocdad. En estos choques se conseva el oento lneal (lo que no nos explca el ecanso po el cual la bala dsnuye su velocdad y auenta la del bloque y tapoco la dfeenca de enegía cnétca ncal y fnal) (la Ec no se conseva). Sea la asa de la bala y M la asa del bloque ncalente en eposo, la velocdad v f del conjunto bala-bloque después del choque en funcón de la velocdad v 0 de la bala antes del choque se obtene aplcando el pncpo de consevacón del oento lneal: v 0 (+M ) v f (+M ) v c La vaacón de enegía cnétca, de acuedo al el balance enegétco de la colsón, es: E c E cf E c ( + M ) v f v 0 lo que sgnfca que la Ec fnal es eno que la Ec ncal. En el caso de un choque nelástco ente una bala y un bloque, s el choque es nstantáneo, se puede aplca el pncpo de consevacón del oento lneal, ya que las fuezas exteoes que actúan sobe el sstea se anulan. En el caso de que el choque sea de duacón fnta, las fuezas exteoes que actúan sobe el sstea de patículas no se anulan duante el ntevalo de tepo que dua el choque, po lo que no se puede aplca el pncpo de consevacón del oento lneal. En las colsones nelástcas no se conseva la enegía. Paa ed el gado de elastcdad de una colsón, se ecue al concepto de coefcente de esttucón, K, que en el caso undensonal se defne coo: K v u v u y cuyo valo vaía ente K (choque elástco) y K 0 (pefectaente nelástco). K es el cocente ente la velocdad elatva de alejaento y la velocdad elatva de acecaento de las patículas. El coefcente K se ha encontado expeentalente en colsones fontales de dos esfeas sóldas (coo las de las bolas de blla). Esta elacón fue popuesta po ewton y tene valdez solaente apoxada.

13 ( v K ) u + + ( + K) u v ( + K) u + ( + K ) u.5 Colsones en tes densones En el caso tdensonal es potante la natualeza vectoal de la consevacón del oento lneal. En los casos de choques totalente nelástcos no pesentan poblea peo sí en los elástcos. Veaos ahoa un choque elástco de esfeas (de asas y y ados y ), en el que se tene en cuenta las densones, según se ve en la fgua: S se denona paáeto de pacto b a la dstanca ente la deccón de la velocdad de la pea esfea u y el cento de la segunda esfea (que suponeos ncalente en eposo, u 0): Dado el paáeto de pacto b se puede obtene el ángulo θ. La consevacón del oento lneal especto de los ejes X e Y (ve fgua) es: El coefcente e de el cocente cabado de sgno, ente la velocdad elatva de sepaacón a lo lago del eje X y la velocdad elatva de apoxacón a lo lago del so eje. De las ecuacones anteoes se puede obtene el ángulo ( θ + φ ) (ente las deccones de las velocdades v, v de las patículas después del choque) y po tanto tabén φ :

14 Las velocdades v y v de las patículas después del choque son: Y la velocdad del cento de asas efeda al sstea de ejes X, Y es: Las velocdades de las patículas especto del cento de asas son:.6 Populsón de un cohete. Es una aplcacón de la tecea ley de ewton y de la consevacón del oento lneal. Es tabén el sstea que usan los calaaes y pulpos paa populsase. Los cohetes que usan cobustbles de tpo quíco lanzan los gases a gan velocdad haca atás. El cohete ejece una fueza sobe los gases y los gases ejecen una fueza gual y opuesta sobe el cohete. En geneal, s u es la velocdad de salda de los gases (especto del cohete) y D el cobustble expulsado en la undad de tepo, el epuje popoconado es constante e gual a u D. S el cohete se ueve con velocdad v (especto de un obsevado teeste), la velocdad de los gases (especto a dcho obsevado teeste) es v-u, que no es constante El cohete pefecto es aquél en el que la velocdad de salda de los gases u 0 edda po el obsevado teeste es constante (ve pate de abajo de la fgua) y la velocdad de salda de los gases (elatva al cohete) no es constante y vale u 0 + v (ve pate de aba de la fgua).

15 La consevacón de la cantdad de ovento del sstea aslado foado po el cohete (de asa y velocdad v) y los gases expulsados hasta el nstante t, (asa 0 - y velocdad u 0 ) es: v - ( 0 - ) u 0 0 S D es la asa de cobustble queado en la undad de tepo, la ecuacón del ovento del cohete es: Cohete de epuje constante. En un cohete odnao la cantdad de cobustble D que se quea en la undad de tepo es constante (D d/), entonces el epuje que popoconan los gases expulsados al cohete es tabén constante. S v es la velocdad del cohete especto a la Tea y u la velocdad constante de los gases expulsados especto del cohete; v-u seá la velocdad de los gases especto de la Tea. La asa del cohete en el nstante t vale 0 D t, donde 0 es la sua de la caga útl ás el cobustble ncal, y D t es el cobustble queado en un ceto tepo t. El oento lneal ncal es: p. v Cuando el cohete expulsa una cantdad de cobustble d, su velocdad es v+ dv, y el oento lneal fnal es: p f (-d). (v+dv) + (v-u). d

16 Luego la vaacón del oento lneal del sstea seá: dp (-d). (v+dv) + (v-u). d. v que s se despecan los nfntésos de oden supeo: Coo la defncón geneal de fueza dce: dp. dv u. d S el cohete está en el espaco exteo, F es ceo, el oento lneal p peanece constante. (F 0, p cte, dp 0). cuya ntegacón ente los nstantes 0 y t da el valo de la velocdad v: Y el desplazaento x del cohete en el tepo t es: Movento vetcal de un cohete. Supongaos ahoa un cohete que es lanzado vetcalente desde la supefce de la Tea y consdeeos que la gavedad g es apoxadaente constante (g 9.8 /s ).

17 La vaacón del oento lneal con el tepo es: Y coo la devada del oento lneal con el tepo es gual a la fueza que actúa sobe el cohete F -. g, y que: se tene que: o ben: Po lo que un cohete puede consdease coo un óvl de asa soetdo a dos fuezas en la sa deccón y de sentdos contaos: el epuje de los gases ud y el peso g. Las ecuacones del ovento del cohete son: Cohete nteestela: Caso patcula en el que no exsten fuezas exteoes (el peso g vale ceo), y sobe el cohete actúa úncaente la fueza de epuje popoconada po la expulsón de los gases al quease el cobustble..7 Ssteas de uchas patículas Un sstea de uchas patículas es cuando el núeo de patículas en uy gande, tal coo en un átoo de uchos electones o un gas copuesto de llones de oléculas. En ese caso, el poblea de consdea la enegía ntena esulta deasado coplcado ateátcaente po lo que se usan cetos étodos estadístcos paa calcula los valoes poedo de las cantdades dnácas en vez de valoes ndvduales pecsos paa cada coponente del sstea (ya que no estaos nteesados en el copotaento de cada coponente ndvdual, poque dcho copotaento no es obsevable) sno en el copotaento del sstea coo un todo. La técnca ateátca paa tata esos ssteas consttuye lo que se llaa la ecánca estadístca.

18 S nos olvdaos po un oento de la estuctua ntena del sstea y spleente usaos los valoes eddos expeentalente de U y W, estaos epleando ota aa de la Físca, la Teodnáca. Así se puede elacona la tepeatua T del sstea con la enegía cnétca poedo de las patículas en el sstea. Po tanto la tepeatua es defnda ndependenteente del ovento del sstea elatvo al obsevado. La enegía cnétca poedo de una patícula es: E c ( v ) donde es el núeo total de patículas y v es la velocdad de la patícula en el sstea. o se necesta ndca aquí la elacón pecsa ente la tepeatua y la enegía cnétca poedo. Es sufcente po el oento supone que, dada la enegía cnétca poedo en un sstea, se puede calcula la tepeatua del sstea, y ecípocaente. En este sentdo hablaos de la tepeatua de un sóldo, de un gas, etc. Un sstea que tene la sa tepeatua en todas sus pates, de odo que la enegía cnétca poedo de las patículas en cualque egón del sstea es la sa, se dce que está en equlbo téco. En un sstea aslado, cuya enegía ntena es constante, la tepeatua puede caba s la enegía cnétca ntena caba, debdo a un cabo en la enegía potencal ntena. Peo s la enegía potencal ntena de un sstea aslado peanece constante, que es el caso de un gas contendo en una caja ígda, entonces la enegía cnétca poedo del sstea peaneceía constante, o sea, su tepeatua no cabaá. Cuando el sstea no está aslado, puede ntecaba enegía con el esto del unveso, lo que puede esulta en un cabo de su enegía cnétca ntena y, po tanto, de su tepeatua. De gual odo se pueden ve nuevos conceptos de tabajo, calo, etc y se puede aplca a ssteas de uchas patículas coo p.e. fludos (gases, líqudos, etc.) Tabajo: El ntecabo de enegía de un sstea con el undo exteo es epesentado po el tabajo exteno W ext coo: U - U 0 W ext S el tabajo es hecho haca el sstea (W ext postvo), su enegía ntena auenta, s el tabajo es hecho po el sstea (W ext negatvo), su enegía ntena dsnuye. Este tabajo exteno es la sua de los tabajos extenos ndvduales hechos en cada una de las patículas del sstea, que a veces puede se fáclente calculado estadístcaente. Un ejeplo es la pesón ejecda po un gas dento de un clndo en una de cuyas paedes es un pstón ovble, explcado coo ntecabo de enegía y de oento lneal con las paedes a tavés de los choques e nteaccones de sus oléculas con las oléculas de las paedes.