Notas de clase. Trabajo de las fuerzas internas

Transcripción

1 Notas de clase. Tabajo de las fuezas ntenas J Güémez Depatamento de Físca Aplcada, Unvesdad de Cantaba, España M Folhas CFsUC, Depatamento de Físca, Unvesdade de Comba, Potugal Mazo, 06 El concepto de fuezas ntenas, es dec, fuezas que se establecen ente las dvesas pates componentes de un sstema extenso, genécamente notadas como F k nt, juega un papel poco mpotante en la enseñanza de la físca [, pp ]. Las dscusones en las que ntevene este concepto se suelen educ a ndca que, de acuedo con la tecea ley de Newton, la esultante de las fuezas ntenas es ceo k Fk nt = 0, [, p. 80], sn llegase a econoce que el tabajo ealzado po dchas fuezas, δw nt = k Fk nt d k puede se no nulo [3]. Paa un sstema extenso de masa M = k m k, donde m k es la masa de su k-ésmo componente elemental (no tene fomas ntenas de acumula enegía, no se defoma, no ga), la segunda ley de Newton aplcada a la k-ésma patícula componente del sstema es F k = m k a k, con ( F nt k + F ) k ext dt = mk d v k, () donde la fueza total F k aplcada sobe esta patícula es gual a la suma vectoal de las fuezas, ntenas F k nt y de las fuezas extenas F k ext aplcadas sobe la msma. Puesto que las fuezas ntenas son paes de accón-eaccón, entonces, la suma de todas las fuezas ntenas es nula, k Fk nt = 0. Sumando sobe todas las patículas del sstema, se tene que Md v cm = F ext dt, que es la segunda ley de Newton paa un sstema de patículas, donde F ext = k F ext k es el vecto esultante de todas las fuezas extenas aplcadas sobe el sstema, y donde v cm es la velocdad del cento de masas del sstema, defnda como v cm = k m k v k /M. Multplcando (poducto escala) ambos membos de la anteo ecuacón po la velocdad

2 del cento de masas v cm, se tene M v cm d v cm = F ext v cm dt, de donde con v cm d v cm = dv cm y v cm dt = d cm se obtene Mdv cm = F ext d cm. () Es nteesante destaca que en esta Ec. () el dfeencal del desplazamento del cento de masas d cm no es, en geneal, el desplazamento de la fueza extena esultante F ext y que en esta fueza esultante F ext pueden enta tanto fuezas que ealcen tabajo como fuezas que no ealcen tabajo [5] y con dfeentes desplazamentos. Po tanto, esta Ec. (), ota foma de la segunda ley de Newton, no es un teoema tabajo-enegía cnétca [6], del msmo modo que el poducto F ext d cm denomnado pseudotabajo [4] no es, en geneal, un tabajo. Paa pocesos geneales ealzados sobe un sstema extenso, además de la segunda ley de Newton se necesta el pme pncpo de la temodnámca paa una descpcón completa del msmo [6]. En su foma geneal, el pme pncpo de la temodnámca se puede expesa como [7, pp. 0-0] dk cm + du = δw ext + δq. (3) En esta ecuacón, dk cm es la vaacón de la enegía cnétca del cento de masas del sstema, nfomacón que se obtene medante la aplcacón de la segunda ley de Newton al poceso. En la Ec. (3), du es la vaacón de la enegía ntena del sstema, que ncluye, ente otas posbles vaacones, du = dk nt + dφ + du ξ + du(t ) + donde dk nt es la vaacón de la enegía cnétca ntena o enegía cnétca elatva al cento de masas, dφ es la vaacón de enegía ntena debda a nteaccones tpo gavtatoo, electostátco, etc., du ξ es la vaacón de enegía químca ntena debdo a eaccones químcas, y du(t ) como vaacón de la enegía ntena debda a vaacones de tempeatua del sstema (po ejemplo, un gas) como un todo, etc. El tabajo δw ext ealzado po las fuezas extenas es la suma δw ext = k Fk ext d k de los tabajos ealzados po las fuezas extenas aplcadas, expesón que no se debe confund con el poducto anteo (pseudotabajo) F ext d cm, paa la esultante de las fuezas extenas aplcadas sobe el sstema. En la Ec. (3), el témno δq es enegía ntecambada po calo (es dec, no hay en este caso una fueza cuyo punto de aplcacón se desplaza). En los pocesos a descb, po smplcdad, se va a consdea que du(t ) = 0 (las pates ntenas del sstema no expementan vaacones de tempeatua) y que δq = 0 (el sstema no ntecamba enegía po calo con el entono). Tanto las vaacones de enegía ntena elaconadas con nteaccones gavtatoas o electostátcas, como las vaacones de enegía ntena elaconadas con eaccones

3 químcas, se pueden elacona con el tabajo de las fuezas ntenas como, po ejemplo dφ = δw nt o du ξ = δw nt. Las fuezas ntenas pemten tanto ntecamba ente sí fomas de enegía ntena como tansfoma la enegía ntena, o pate de ella, en enegía cnétca del cento de masas. Paa destaca mejo el papel que juega la fueza esultante de las fuezas extenas, que se ncopoa en la segunda ley de Newton, y el papel que juega el tabajo de las fuezas extenas, que se encuenta en el pme pncpo de la temodnámca, se van a consdea vaos tpos de pocesos, dependendo de que la esultante de las fuezas extenas aplcadas sobe un sstema extenso sea, o no, ceo y de que el tabajo ealzado po las fuezas extenas sea, o no, nulo. En cada caso, se mostaá el papel que juega el tabajo que ealzan las fuezas ntenas mplcadas en el poceso. (a) (b) d f ~F nt / cm v v f ~F nt / Fgua : (a) Dos patículas y, ncalmente sepaadas una dstanca d, se mueven bajo la accón de fuezas gavtatoas, alcanzando velocdades v y v cuando la dstanca ente ambas es. (b) Fuezas (ntenas) que actúan sobe las patículas en una poscón genéca del poceso. En la Fgua se muesta un esquema de un poceso en el que dos patículas,, de masa m, y, de masa m, ncalmente stuadas a dstanca d nteacconan gavtaconalmente, alcanzando velocdades v y v, espectvamente, cuando se encuentan a una dstanca fnal. Paa este poceso, j Fj ext = 0, y j Wj ext = 0. Puesto que no hay fuezas extenas, se tene que dk cm = 0, el cento de masas del sstema no vaía n su velocdad n su poscón ncal. Y, puesto que el tabajo exteno es nulo, se tene que du = dk nt + dφ = 0. A su vez, la vaacón de la enegía potencal gavtatoa a lo lago del poceso es gual al (menos) tabajo ealzado po las fuezas ntenas, Φ = W nt, con Gm m ( d ) = W nt, (4) 3

4 donde W nt = f F nt / d + F nt / d. Este tabajo de las fuezas ntenas es, a su vez, el esponsable de las vaacones de la enegía cnétca ntena del sstema, K nt = W nt, con m v + m v = W nt, y con m v + ( m v = Gm m ). d La enegía cnétca ntena, poducda a lo lago del poceso, povene de la dsmnucón de la enegía potencal gavtatoa de nteaccón ente las patículas y, sendo las fuezas ntenas el ntemedao, a taves del tabajo que ealzan, de esta tansfomacón ente enegías ntenas del sstema. En este poceso las fuezas ntenas no mueven el cento de masas del sstema conjunto, y son el mecansmo que pemte, medante la ealzacón de un tabajo nteno, la tansfomacón de la vaacón de las enegías ntenas de nteaccón en vaacón de la enegía cnétca ntena, edstbuyendo las enegías ntenas y mantenendo constante la enegía ntena total. (a) cm f v d (b) ~F nt / ~F nt / Fgua : (a) Dos patículas, que está fjada, y, están ncalmente sepaadas una dstanca d. La patícula se mueve bajo la accón de una fueza gavtatoa, alcanzando una velocdad v cuando su dstanca a la patícula es. (b) Fuezas extenas y fuezas ntenas que actúan sobe las patículas en una poscón genéca del poceso. En la Fgua se muesta un esquema de un poceso en el que las patículas,, fja, y, ncalmente stuadas a dstanca d nteacconan gavtaconalmente, alcanzando la patícula una velocdad v cuando se encuenta a una dstanca fnal de la patícula. Puesto que la patícula pemanece en eposo, sobe ella debe aplcase una fueza extena F ext, que no ealza tabajo, que compense la fueza ntena F / nt que la patícula hace sobe ella. En este poceso j F ext j 0, y j W ext j = 0. Puesto que la fueza extena esultante no es nula, se tene que dk cm = F ext d cm, el cento de masas del sstema vaía su velocdad y su poscón. Y, puesto que el tabajo 4

5 exteno es nulo, se tene que dk cm + du = 0. La vaacón de la enegía potencal gavtatoa a lo lago del poceso es gual al (menos) tabajo ealzado po las fuezas ntenas, dφ = δw nt, y se tene de nuevo la Ec. (4) donde ahoa f W nt = F / nt d, pues en este caso la fueza F nt / no ealza tabajo. Con du = dknt + dφ, este tabajo de las fuezas ntenas es, a su vez, el esponsable de la vaacón de la enegía ntena total del sstema, dk = dk cm + dk nt, con dk = W nt. Así, se tene m v = W nt, y que m v = Gm m ( ). d La aplcacón de la segunda ley de Newton a este poceso pemte explca, debdo a las fuezas extenas aplcadas sobe el sstema, el aumento de la enegía cnétca del cento de masas del msmo. Puesto que estas fuezas extenas no ealzan tabajo, se necesta el pme pncpo de la temodnámca paa explca que el ogen últmo de esta enegía cnétca, es la enegía de nteaccón acumulada en la confguacón ncal de las patículas. Peo paa supea la paadoja que supone constata que el sstema adquee enegía cnétca de taslacón a tavés de fuezas extenas que no ealzan tabajo, es nteesante utlza el concepto de tabajo de las fuezas ntenas. En este caso, y a tavés de las fuezas extenas, el tabajo de las fuezas ntenas pemte dsmnu la enegía ntena del nteaccón sstema y desplaza el cento de masas del msmo (aunque paa ello debe nteven un cuepo de masa nfnta, el que fja la patícula ). (a) cm d f (b) ~F nt / ~F nt / ~ F ext Fgua 3: (a) Dos patículas, que está fjada, y, sobe la que se aplca una fueza extena, están ncalmente sepaadas una dstanca d. La patícula se sepaa de la patícula una dstanca fnal. (b) Fuezas extenas y fuezas ntenas que actúan sobe las patículas en una poscón genéca del poceso. En la Fgua 3 se muesta un esquema de un poceso en el que las patículas,, fja, y, sobe la que se aplca una fueza extena F ext, ncalmente stuadas a dstanca d nteacconan gavtaconalmente, alcanzando la patícula, con velocdad ceo, una 5

6 poscón a dstanca fnal de la patícula. Puesto que la patícula pemanece en eposo, sobe ella debe aplcase una fueza extena F ext, que no ealza tabajo, que compense la fueza ntena F / nt que la patícula hace sobe ella. Y, puesto que la patícula no vaía su velocdad nula ncal, se debe tene que F / nt = F ext. En este poceso, j Fj ext = 0, y j Wj ext 0. Puesto que la fueza extena esultante es nula, se tene que dk cm = 0, el cento de masas del sstema, aunque sí vaía su poscón, no vaía su velocdad, que es sempe nula. (Esto es semejante a lo que ocue cuando, en un poblema de temodnámca, se aplca una fueza extena al pstón de un sstema clndo-pstón que encea un gas, fueza que sí ealza tabajo, a la vez que sobe la base del clndo se aplca ota fueza gual y de sentdo contao, peo que no ealza tabajo. En este caso, el cento de masas del gas no vaía su enegía cnétca, peo sí se desplaza.). Se tene entonces que du = δw ext. La vaacón de la enegía potencal gavtatoa a lo lago del poceso es gual al (menos) tabajo ealzado po las fuezas ntenas, con F ext Gm m ( ) = W ext, donde W ext = f d. Con dφ = δw nt, y puesto que W ext = W nt, donde W nt = f F / nt d, se tene que U = W nt, con ( Gm m ) f = d F nt / d. La aplcacón de la segunda ley de Newton a este poceso ndca que el cento de masas del sstema no va a camba su velocdad. En este caso, el tabajo ealzado po las fuezas ntenas es el esponsable de la dsmnucón de la enegía ntena del sstema. Esto se puede consegu gacas a la aplcacón de una fueza extena que sí ealza tabajo. En la Fgua 4 se muesta un esquema de un poceso en el que las patículas,, fja, y, sobe la que se aplca una fueza extena F ext, ncalmente stuadas a dstanca d nteacconan gavtaconalmente, alcanzando la patícula una velocdad v, paa una dstanca fnal de la patícula. Puesto que la patícula pemanece en eposo, sobe ella debe aplcase una fueza extena F ext, que no ealza tabajo, que compense la fueza ntena F / nt que la patícula hace sobe ella. Y, puesto que la patícula sí vaía su velocdad, se debe tene que F/ nt Puesto que la fueza extena esultante no es nula, < F ext. En este poceso j F ext j (m + m )dvcm = ( F ext F ) ext dlcm, 0, y j W ext j 0. y el cento de masas del sstema, vaía su poscón y su velocdad. Se tene entonces que paa este poceso dk cm + du = δw ext, 6

7 (a) d cm f (b) ~F nt / ~F nt / v Fgua 4: (a) Dos patículas, que está fjada, y, sobe la que se aplca una fueza extena, están ncalmente sepaadas una dstanca d. La patícula alcanza una velocdanal v cuando se encuenta sepaada de la patícula una dstanca fnal. (b) Fuezas extenas y fuezas ntenas que actúan sobe las patículas en una poscón genéca del poceso. donde du = dk nt + dφ y dφ = δw nt. Con Gm m d ( ) = δw nt, donde δw nt = F / nt d, y con dk = dk cm + dk nt = m v, se tene que m dv δw nt = δw ext, (5) donde δw ext = F ext d. Se tene po tanto que K W nt = W ext, con f m ( v = F ext F /) nt d. (6) En este poceso, pate del tabajo ealzado po las fuezas extenas se emplea en ealza un tabajo conta las fuezas ntenas, de tal foma que sólo el tabajo estante ealzado po las fuezas extenas se utlza paa acelea el cento de masas del sstema. Como se ha mostado en los ejemplos consdeados, dependendo de las fuezas extenas aplcadas y del tabajo que éstas ealcen, el tabajo de las fuezas ntenas puede juga dfeentes papeles. En algunos casos, las fuezas ntenas no mueven el cento de masas del sstema conjunto, peo son el mecansmo que pemte la edstbucón las enegías ntenas, mantenendo constante la enegía ntena total. Aunque pueda paece una paadoja que fuezas extenas que no ealzan tabajo pemtan acelea el cento de masas de un sstema, el papel del tabajo de las fuezas ntenas pemte entende esta clase de pocesos. Ota stuacón nteesante se poduce cuando fuezas extenas que sí ealzan tabajo desplazan el cento de masas del sstema, peo sn acelealo. De nuevo, el tabajo de las fuezas ntenas pemte explca esta stuacón. En conclusón, aunque la suma de las fuezas ntenas es nula paa un sstema que ealza un ceto poceso lo que mplca que las fuezas ntenas no ntevenen en la 7

8 segunda ley de Newton que descba dcho poceso, estas fuezas ntenas sí pueden ealza tabajo lo que sgnfca que el tabajo de las fuezas ntenas sí puede nteven en la ecuacón del pme pncpo de la temodnámca que descba el msmo poceso [8]. Refeencas [] J M Knudsen, P G Hjoth, Elements of Newtonan Mechancs. Includng Nonlnea Dynamcs, Spnge Hedelbeg 000 [] J J Matínez Benjamín, Mecánca Newtonana, Edcons UPC, 000 [3] L Vennot, Newton s laws: a vey pesstent consstency, Phys. Educ (0) [4] B A Shewood, Pseudowok and eal wok, Am. J. Phys. 5, (983) [5] A J Mallnckodt, H. S. Leff, All about wok, Am. J. Phys (99) [6] J Güémez, M Folhas, Fom mechancs to themodynamcs: analyss of selected examples, Eu. J. Phys (03) [7] C Fenández Pneda, S Velasco Mallo, Intoduccón a la Temodnámca, Ed. Síntess, Madd 009 [8] J Güémez, M Folhas, L Bto, On the wok of ntenal foces Eu. J. Phys. 36 (05) (0pp) 8

9 Respuestas al nfome de abtaje INFORME DE ARBITRAJE Tabajo de las fuezas ntenas (0 Julo 05) El atículo vesa sobe los efectos del tabajo neto que las fuezas ntenas de un sstema de patículas puede ejece sobe el sstema en sí. Estos efectos ayudan a explca en detalle los pocesos físcos que tenen luga en dvesos poblemas de Mecánca, que los autoes descben con detalle. Así como la suma total de fuezas ntenas es nula, puede que el tabajo total ejecdo po las msmas sobe el sstema no lo sea, como ben explcan los autoes. Esto puede ogna cambos ente las dstntas componentes de enegía ntena del sstema y en el momento lneal de las patículas. Estos nteesantes esultados son, como los autoes esaltan, poco conocdos en el ámbto de la docenca de la Mecánca, po lo que este atículo es de especal nteés paa esta evsta. La longtud del atículo es consdeable (desconozco s habá o no lmtacones mpuestas po el edto), peo hay algunas pates en las que la dscusón se podía acota. Po ejemplo, veo texto bastante epettvo en la descpcón de muchos de los casos (el hecho de que la patícula, cuando está en eposo, deba esta sometda a una fueza extena que guale a la ntena y que no ealce tabajo, está explcado vaas veces de manea muy smla). R: La segunda vesón del atículo tene ya menos págnas, 8, que el ognal,. Contando unas 0 palabas po línea, y unas 30 líneas po págna, se tenen unas 400 palabas. Tal vez, paa ahoa más espaco y hace la lectua más ágl, los autoes podían consdea una eestuctuacón del atículo, hablando de todos los dfeentes casos de manea más entelazada, en luga de tatalos po sepaado. Eso es algo que dejo a meced de los autoes (y del edto). R: Pensamos que tatando cada caso po sepaado se ven mejo los dfeentes papeles que pueden juga las fuezas ntenas. Y, de esta foma, se puede ve tamben el papel que juega la segunda ley de Newton, en la que enta la esultante de las fuezas extenas, y el pme pncpo de la temodnámca, en el que enta el tabajo de las fuezas extenas. Reestuctualo paa entelaza los casos nos paece que seía confuso - - El hecho de que la ecuacón no mplque un teoema tabajo-enegía no me quedó clao en un pncpo, y tuve que eflexona bastante sobe ello. Reconozco que una explcacón mas detallada tal vez no tenga más cabda en el atículo (dada su longtud actual), peo en m caso eché de menos una explcacón más detallada (o tal vez, una explcacón más claa que la del páafo que sgue a la ecuacón ). R: Hemos ntentado explca un poco mejo la Ec. (), enfatzando que es la segunda ley de Newton y no una ecuacón de enegías. En el paafo que sgue a esta ecuacón hay tes efeencas que pueden ayuda al lecto a entendelo. - - Después de la ecuacón, cento-de-masas no debea lleva guones. R: Ya los hemos qutado 9

10 - - En la ecuacón de du, entendo ps (enegía ntena debda a nteaccones de tpo gavtatoo, electostátco, etc.), puede esumse como la enegía potencal ente las patículas o la enegía potencal ntena. Es esto coecto? R: Sí, la enegía potencal ente las patículas foma pate de la enegía ntena del sstema - - No entendo la dfeenca ente la enegía cnétca ntena y la debda a la tempeatua de todo o de pates del sstema. De hecho, la tempeatua del sstema debeía esta detemnada a pat de la enegía cnétca de sus patículas (a no se que cada patícula del sstema se esté consdeando como oto sstema con una tempeatua defnda). Podían los autoes aclaa este detalle? R: En la Pag. ya comentamos que : En los pocesos a descb, po smplcdad, se va a consdea que du(t ) = 0 (las pates ntenas del sstema no expementan vaacones de tempeatua). Como cada patícula no tene modos ntenos de acumula enegía n puede defomase, en los ejemplos que se estudan no ntevene la tempeatua. SUGERENCIAS Y COMENTARIOS: - - Antepenúltmo páafo de págna es aquél en el que... (acento en aquél). R: Ya lo hemos qutado - - Pág. 3 a 5. La explcacón de los dos pmeos ejemplos es excelente. - - Penúltmo páafo de la págna 6. Sugeía a los autoes dvd la pmea fase en dos pates. Po ejemplo: Consdéese ahoa el sguente poceso: Un coche eléctco, de masa mc, almacena en una bateía enegía en foma de poductos químcos que, al eaccona adecuadamente, poducen una coente eléctca. Como esultado, el coche se mueve haca adelante. - - Pág. 7: enegía ntena químca camba po enegía químca ntena. - - Pág. 7: el desplazamento del cento de masas del coche que se poduce camba po el desplazamento poducdo sobe el cento de masas R: Hemos supmdo todos los ejemplos en los que ntevene enegía químca ntena - - Pág. 8, pme páafo: me paece un poco confuso. Cómo es posble que el cento de masas vaíe su poscón sn vaa su velocdad? Supongo que los autoes están hablando solamente de los estados ncal y fnal, peo esto (solo a pat del texto) no queda muy clao. R: Cuando, en un poblema de temodnámca, se aplca una fueza extena al émbolo que encea un gas enceado en un clndo, fueza que ealza tabajo, sobe la base del clndo se aplca ota fueza gual y de sentdo contao, peo que no ealza tabajo. En este caso, el cento de masas del gas no vaía su enegía cnétca, peo se desplaza. - - Pág. 8-0: en los ejemplos del poyectl, paece que despecamos la Gavedad. Podían los autoes clafca este punto? - - Pág. 8: enegía ntena químca camba po enegía químca ntena. R: Hemos supmdo todos los ejemplos en los que ntevene enegía químca ntena 0

11 - -Pág. 0: el últmo páafo del atículo, en el que se descbe la conclusón del msmo, me paece demasado escueto; desmeece el contendo del atículo. Sugeía a los autoes eeescblo y amplalo (sepaando tambén el páafo actual en vaas oacones, paa mayo agldad en la lectua). R: Hemos ntentado amplalo y mejoalo.