Estructura de la materia 3 Serie 2 Modelo de Thomas-Fermi y Sistemas Atómicos Cátedra: Jorge Miraglia. Segundo cuatrimestre de 2013

Transcripción

1 Estuctua de la matea See Modelo de homas-fem y Sstemas Atómcos Cáteda: Joge Magla Segundo cuatmeste de Modelo de homas-fem en átomos En el modelo de homas-fem, la enegía potencal de un electón lgado a un átomo neuto cuyo núcleo tene caga se escbe como: V ( = φ( ( donde φ( puede ntepetase como un apantallamento de la caga del núcleo y donde =, con b =,885 el ado de homas-fem b / La funcón φ ( cumple la sguente ecuacón dfeencal: d φ( d = [ φ( / ( Ademá las condcones de contono que debe cumpl dcha funcón son: φ ( = y lm φ ( = La hpótess del modelo de homas-fem consste en elacona la densdad electónca n( con el potencal como: [ π n( / = V ( ( dφ( Un paámeto mpotante del modelo es = φ'(, es dec la pendente de d = φ ( en el ogen De la ntegacón numéca de la ecuacón dfeencal ( empleando las espectvas condcones de contono, se obtene que φ '( =, (Ref J Schwnge, Phys Rev A 8 (98 Poblemas de homas-fem: Una apomacón muy usada paa la funcón φ ( es la de Mollee: φ ( =,5 ep(, +,55 ep(, +, ep( 6 M la cual concueda muy ben con las solucones numécas en el ango a Vefque las condcones de contono y el valo de φ '( paa la funcón φ M ( b Obtenga la epesón paa la densdad de electones n( paa este caso See pág

2 Otas apomacones a la funcón de apantallamento φ ( muy utlzadas son: Lenz-Jensen: φ ( =,466 ep(,8 +,4 ep(,8 +,8 ep(,8 φ LJ legle-blesack-lttmak (BL BL ( =,88 ep(, +,599 ep(,94 +,8 ep(,49 +,8 ep(,6 Paa el átomo de S neuto (donde =4, gafque y compae las apomacones de Mollee, Lenz-Jensen y BL a la funcón de apantallamento φ (, así como las coespondentes densdades electóncas n( Patendo de la ecuacón de homas-fem, ec (, demueste las sguentes popedades: a [ φ( / d = φ'( b [ φ ( / d = c [ φ( 5/ 5 d = φ'( 4 Epesones de φ ( en see de potencas: a Paa pequeño la funcón φ ( puede epandse en see de la sguente foma: C φ( = + = C n n / Mueste que los pmeos coefcentes son: C = φ'( ; C = 4 / ; C 4 = ; = ( /5 C ; C 6 = / ; C = ( / ( C 5 C 44 b Mueste que s se popone φ ( paa gandes, entonces φ ( n 5 Dada la elacón la funcón φ ( y la densdad electónca n(, que suge de vncula la ecuacón ( y la ecuacón ( / [ π n( φ ( = mueste que paa un átomo neuto se cumple que n( d = See pág

3 6 En el modelo de homas-fem (F tene una dependenca caacteístca con /, sendo la enegía cnétca E = C / K, la enegía electón-núcleo / / E e = C, la enegía de Coulomb electón- electón E ee = C y, po lo tanto, la enegía total: E C / F = EK + Ee + Eee = con C =, 68 La coeccón al modelo de homas-fem ncluyendo un témno de ntecambo econoce como modelo de homas-fem-dac (FD, donde la 5 / contbucón del témno de ntecambo tene la foma: E ntec = C5 con C 5 =,85 Con lo cual la enegía total en este modelo modfcado es: E FD = EF + Entec Ota coeccón mpotante al modelo de FD vene dada po el témno de Scout ESc = Con lo cual, E FDS = EF + E ntec + ESc Calcule y compae las enegías que se obtenen de los modelos F, FD y FDS con las enegías de Hatee-Fock (E HF paa los átomos que fguan en la sguente tabla: Átomo E HF átomo E HF He -,86 O 8-4,8 L -,4 F 9-99,6 B 5-4,5 e -8,4 C 6 -,68 S 4-88,8-54,5 A 8-56, abla : Cálculo de las enegías de Hatee-Fock empleando la base 6-G** Datos etaídos de la base de datos de IS (De la págna web de la matea se puede obtene esta tabla en fomato ecel Otos poblemas de sstemas atómcos: Mueste que paa un sstema de electones nteactuantes en un potencal cental v(, se satsfacen las sguentes popedades paa los opeadoes mpulso angula obtal total, de espín total, y el opeado de padad P: [ H, = ; [, = L H = + v( + = j< = H ; [, = en patcula paa un átomo = = S j v( L = L = p, S = s Padad cumple: P = Π P = = (en ua H ; v [ P, = P = (opeadoes de un cuepo L z z Opeado de otacón espacal en z: U ( θ = ep( θ L = ΠU ( θ z = See pág

4 8 a Vefque que paa electones en una subcapa p acoplados a S=/, necesaamente el mpulso angula obtal total esultante es L= (analce el efecto de los opeadoes L +, L y L sobe los posbles detemnantes de Slate que puede foma Analce cuales son los J posbles b Genealce el punto anteo paa el caso en que se tenga una subcapa cualquea Es dec, vefque que cuando la subcapa está semllena y los electones están acoplados a la poyeccón máma de S entonces necesaamente se tene un autoestado de L con autovalo ceo Analce cuales son los J posbles 9 Regla de Hund a De acuedo con la confguacón electónca coespondente a cada átomo, halle los témnos espectoscópcos posbles compatbles con la msma y detemne el témno espectal de meno enegía según las eglas de Hund, paa los átomos de Cabono (=6, tógeno (=, Oígeno (=8, y Flúo (=9 b Detemne el témno espectal de meno enegía según las eglas de Hund, paa el átomo de Manganeso (=5 c Detemne el témno espectal de meno enegía según las eglas de Hund, paa el átomo de obo (=4 cuya confguacón electónca es [K 4d 4 5s Análogamente al poblema 8 se tene nuevamente electones en una subcapa p (es dec np Dados los estados: a,, b (,, +,, c,, d,, v Vefque eplíctamente que los estados a, b y c son autoestados smultáneos de los opeadoes S y L, mentas que el estado d no lo es Calcule la enegía de los estados a, b y c y vefque que se cumple la egla de Hund En todos los cálculo consdee solamente los electones de la subcapa ncompleta h = h = h,, J = J, = J,, K = K, = K,, J = J, K = K donde: = ( ( θ,, = ( ( θ,, = ( ( θ, R n, R n, R n, See pág 4

5 Paa analza el estado b es convenente tene en cuenta el esultado de L,, y ecoda que [ L, L = Paa el cálculo de la enegía pedda en el punto tenga en cuenta el esultado del ejecco Demueste que s se tene un ceto estado multelectónco n, m que es autoestado smultáneo de los opeadoes de espín total Ŝ y Ŝ (con autovaloes s( s + y m espectvamente, peo que no necesaamente es autoestado del hamltonano no elatvsta del sstema ( [ H, S =, entonces se cumple que: n, m H m = m + H m + (donde s m s es dec que n, m H m es ndependente de la poyeccón m de Ŝ s, m + = S + m s( s + m m S = S + S S S S + S = S S + S + S = + + Paa átomos (donde tambén [, L = momento angula espacal L H este esultado es etensble al See pág 5