W = dw = F.dr. , el trabajo total es la suma de todos los trabajos elementales realizados a lo largo del recorrido determinado por r i

Transcripción

1 Físca paa encas e Ingeneía Tabajo mecánco Supongamos que una patícula se mueve bajo la accón de una ueza F a lo lago de una tayectoa abtaa, como ndca la gua [13-1] Po dencón: F Se denomna tabajo mecánco elemental ealzado po la ueza a lo lago de un desplazamento elemental d, a la expesón: d θ dw = = cosθ [131] FIG 13-1 Se tata, pues, de una magntud escala cuyo valo es gual al poducto escala de la ueza F po el vecto desplazamento d El tabajo dw puede se postvo o negatvo, según que el ángulo θ omado po la deccón de F y la de d, sea agudo u obtuso Más adelante veemos qué sgncado tene el sgno de dw S el punto de aplcacón de la ueza F ealza un desplazamento nto desde hasta, el tabajo total es la suma de todos los tabajos elementales ealzados a lo lago del ecodo detemnado po y : W = dw = = cosθ [13] Hay que advet que es el vecto de poscón de la patícula en cada nstante, y, po tanto, es el vecto de poscón del punto de aplcacón de la ueza que ealza el tabajo, y el ángulo θ es el que oman las deccones de los vectoes F y d El concepto que tenemos en la vda cotdana del tabajo, en cuanto al esuezo ealzado cuando ejecemos una ueza de ogen muscula, puede que no concda con el concepto ísco de tabajo mecánco Po ejemplo: S una pesona ntenta pone en movmento un bloque muy pesado que se encuenta apoyado sobe una supece hozontal ugosa, y, debdo a que la ueza de ozamento es muy gande, no consgue desplazalo, no habá ealzado tabajo mecánco, ya que, al se nulo el desplazamento d del punto de aplcacón de la ueza ejecda sobe el bloque, el tabajo mecánco es nulo, aunque el esuezo muscula haya sdo consdeable Igualmente, s un ndvduo camna sobe una supece hozontal sostenendo un bloque muy pesado, tampoco ealza tabajo mecánco poque, aunque en este caso desplaza el punto de aplcacón, lo hace en la deccón hozontal que oma un ángulo de 90º con la deccón de la ueza vetcal que ejece paa sostene el bloque, y, puesto que cos 90º, el tabajo mecánco ealzado es nulo, aunque, como en el caso anteo, el esuezo muscula haya sdo consdeable Po la msma azón, la ueza centípeta, en el caso de cualque tayectoa cuvlínea, no ealza tabajo mecánco en nngún caso, pues su deccón es nomal a la tayectoa en todo punto, y, po consguente, oma constantemente un ángulo de 90º con cualque desplazamento elemental que ealce a lo lago de la msma Po lo tanto: La ueza centípeta no contbuye a aumenta o dsmnu, en nngún caso, la enegía de un sstema En geneal, a lo lago de la tayectoa descta po la patícula, la deccón y el módulo de la ueza F vaían, así como el ángulo θ omado po los vectoes F y d Po lo tanto, paa pode calcula el tabajo mecánco a lo lago de un desplazamento nto es necesao conoce cómo vaían F y θ, o ben, cos θ, a lo lago de la tayectoa Es dec, es necesao conoce F() y θ(), puesto que la ntegal que gua en la expesón del tabajo mecánco es una ntegal smple, y, po tanto, no debe gua en el ntegando más de una vaable O ben, seá necesao conoce cómo vaían F, y θ, en uncón de una sola vaable En el caso patcula de que F y θ sean constantes a lo lago de la tayectoa: W = dw = = cosθ = Fcosθ d = F( )cos θ = Fs cos θ [133] sendo s el desplazamento de la patícula desde hasta 13 Potenca En la dencón de tabajo no está ncluda la magntud tempo Es dec, no está ncludo en su dencón el ntevalo de tempo que tada la ueza F en ealza el desplazamento de la patícula desde hasta Es gual que dcho tabajo se ealce en unos segundos, que en vaos mnutos, hoas, o cualque oto ntevalo de tempo

2 13 aletos Físca paa encas e Ingeneía Sn embago, desde el punto de vsta páctco puede nteesanos conoce con qué apdez se ealza un tabajo Po ejemplo, en el caso de un moto, o de una máquna Paa ello se dene la potenca nstantánea desaollada po la ueza que ealza un tabajo dw duante el ntevalo de tempo dt, como: P = dw = F d d = F dt dt dt = F v = Fv cosθ [134] La denomnacón de nstantánea paa la potenca expesada en la elacón anteo es debda a que su valo depende de los valoes de F y v en cada nstante Se dene la potenca meda duante el ntevalo de tempo Δt = t t, a la expesón: 1 t 1 1 < P >= dw = = cosθ t t t t t t t [135] 133 Enegía cnétca de una patícula S en la expesón [131] del tabajo mecánco, F epesenta la esultante de todas las uezas exteoes que actúan sobe la patícula, y suponemos que su masa es constante, a pat de la segunda ley de Newton se puede escb el ntegando en la oma: = mad = m dv d dt d = mdv ya que, s se desaolla la deencal del penúltmo témno, de modo que susttuyendo en la ntegal, d 1 mv v = 1 dv m [v v W = dw = = d 1 mv 1 = v mv dt = mv dv = d 1 mv v = d 1 mv +vdv ] = 1 mv dv v v = mvdv = 1 mv 1 mv = Δ 1 mv Así que, el tabajo nto, W, ealzado po la ueza esultante F desde hasta es gual a la deenca de valoes que adquee, en los puntos y, la expesón, 1 mv Se denomna, po dencón, enegía cnétca de una patícula a la magntud escala: E = 1 mv [136] Y, po tanto, el tabajo ealzado po la ueza esultante se puede escb en la oma: W = 1 mv 1 mv = E E [137] Se puede, pues, ntepeta que: El tabajo ealzado po la ueza esultante que actúa sobe la patícula se nvete en modca su enegía cnétca El enuncado anteo apaece en algunos textos como Teoema de las uezas vvas, denomnacón debda a LEIBNIZ ( ), y que ha caído un tanto en desuso, debdo pncpalmente a que la denomnacón de ueza vva se eee a la enegía cnétca que, desde luego, no es una ueza Ya se ha ndcado anteomente que el tabajo mecánco puede se postvo, nulo o negatvo, de modo que la vaacón de la enegía cnétca puede se, consecuentemente, postva, nula o negatva S ΔE, es poque W, peo esto no sgnca que el tabajo haya sdo necesaamente nulo en cada desplazamento elemental, sno que, en unos tamos, la ueza esultante habá ealzado un tabajo postvo, y, en otos, un tabajo negatvo de gual valo absoluto, dando luga, po tanto, a un tabajo total nulo

3 Físca paa encas e Ingeneía Fuezas consevatvas Enegía potencal En geneal, el tabajo ealzado po una ueza que actúa sobe una patícula: W = depende de la tayectoa que sga la patícula desde hasta Puede ocu, sn embago, que la natualeza de la ueza F sea tal, que el tabajo ealzado no dependa de dcha tayectoa, sno solamente de las poscones ncal y nal Es dec, que s se ealzan deentes ecodos a lo lago de deentes tayectoas, tales como y, desde hasta, se cumpla: = [138] O FIG 13-3 Natualmente, no todas las uezas se compotan de este modo Paa que se veque la elacón anteo se pecsa que la ueza F, en cuestón, cumpla cetas condcones En pme luga, F no debe depende del tempo n de la velocdad, pues de lo contao, ecoendo una msma tayectoa con deentes velocdades, y, po consguente, en deentes ntevalos de tempo, se obtendían valoes dstntos paa el tabajo mecánco ealzado, W Po consguente, F solo puede depende del punto po el que pase la patícula en cada nstante, F = F( ) y, puesto que la ntegal denda tene la popedad de camba de sgno, s se camban los límtes de ntegacón, la elacón [138] puede escbse en la oma = y pasando la segunda ntegal al pme membo, + y de aquí, [139] que epesenta la ntegacón a lo lago de la tayectoa ceada + Se puede ahoa den en cada punto una uncón escala, V(), V( ) = sendo o el vecto de poscón de un punto en el que se asgna a V() el valo ceo: V( o ) En la notacón que vamos a emplea, debe queda clao que V es una uncón escala que depende del punto del espaco que se consdee, y como a cada punto le coesponde un vecto de poscón dstnto, se expesa esta dependenca en la oma ya ndcada, V(), peo no sgnca que V sea una magntud vectoal S suponemos conocda la uncón escala V(), el tabajo ealzado desde hasta, po la ueza F que actúa sobe la patícula, se puede expesa, tenendo en cuenta las popedades de las ntegales dendas, en la oma: W = = 0 + = + = 0 De modo que s la ueza F cumple con la condcón: 0 W = V( ) V( 0 0 V( ) )+ V( ) = V( ) V( ) = ΔV se puede expesa el tabajo que ealza dcha ueza al desplaza la patícula desde hasta, como: = ΔV [1310] [1311] [131]

4 134 aletos Físca paa encas e Ingeneía Debe hacese nota que, en el cálculo del tabajo mecánco, W, a pat de la vaacón de la magntud V(), no nluye en absoluto el punto que se escoge como eeenca S la ueza F menconada anteomente, es la únca que actúa sobe la patícula, se puede expesa el tabajo en la oma: que, compaada con la anteo: conduce a W = E E W = ΔV ΔE = ΔV ΔE + ΔV es dec, que la vaacón de la magntud E + V es nula Po tanto, lo que se puede ntepeta en el sentdo de que E + V = constante La vaacón de V() mde el tabajo ealzado po la ueza F, y éste, a su vez, epesenta la enegía cnétca ntecambada con la patícula V() epesenta una magntud escala que posee la patícula cuando está sometda a la accón de una ueza que depende úncamente de la poscón ocupada po dcha patícula, y que se puede convet, bajo cetas condcones, en enegía cnétca Po tanto, puesto que V() epesenta una enegía que, potencalmente, se puede convet en enegía cnétca, ecbe el nombe de enegía potencal de la patícula El caácte de esta enegía, que claamente depende de la poscón de la patícula en cada nstante, dee del de la enegía cnétca, que depende solamente de la popa patícula, es dec, de su masa y de su velocdad, peo no de la poscón que ocupe la patícula en cada nstante Po consguente, una patícula lbe, alejada de la nluenca de cualque oto cuepo en el espaco, al no esta sometda a nnguna ueza exteo no puede tene enegía potencal, peo sí enegía cnétca A pat de la popedad E +V = cte, se ve la convenenca de llama de alguna oma especal a la suma de las enegías cnétca y potencal: Se llama, po dencón, enegía mecánca, E, de una patícula, a la suma de sus enegías cnétca y potencal De oma que, s se cumple la condcón anteo [139], podemos escb: elacón que expesa que E = E +V = cte S una patícula se mueve bajo la accón de una ueza tal, que su enegía mecánca, E = T + V se mantene constante El enuncado anteo consttuye el llamado teoema de consevacón de la enegía mecánca [1313] Po esta azón, debdo a que bajo la accón de una ueza de este tpo, la enegía mecánca de la patícula se mantene constante, tales uezas ecben el nombe de uezas consevatvas Paa temna, convene advet que, en cetas condcones, el movmento de la patícula puede queda detemnado a pat de la uncón potencal V() sn necesdad de utlza la ueza consevatva F() En Mecánca exsten dos tpos de uezas consevatvas que dan luga a sus coespondentes enegías potencales: la ueza de ataccón gavtatoa y la ueza ecupeadoa elástca ejecda po un muelle deomado 135 Tabajo de las uezas consevatvas y no consevatvas En geneal, una patícula está sometda tanto a uezas consevatvas como a uezas no consevatvas Desgnaemos po F a las uezas consevatvas, y po F N a las uezas no consevatvas De modo que la ueza esultante F seá la suma vectoal de todas ellas: F = F + F N

5 Físca paa encas e Ingeneía 135 S la patícula expementa un desplazamento nto desde hasta, el tabajo mecánco total ealzado en dcho desplazamento es W = = (F + F N )d = F N d + F d = +W [1314] donde epesenta el tabajo ealzado po las uezas no consevatvas, y W, el tabajo ealzado po las uezas consevatvas A su vez, W, y W se pueden expesa po: y, susttuyendo en la elacón, [1314], de donde, y ecodando que la enegía mecánca, E, es elacón que expesa que: W W = ΔV = [V( ) V( ) ΔE = ΔV + ΔV E = E +V + ΔV = ΔE [1315] [1316] El tabajo ealzado po las uezas no consevatvas que actúan sobe una patícula es gual a la vaacón que expementa la enegía mecánca de la patícula En ealdad, la expesón anteo [1316] es totalmente equvalente a la expesón [137] del teoema de las uezas vvas: W La únca deenca estba en que, s el tabajo se expesa en la oma W, están ncluídos en W los tabajos ealzados tanto po las uezas consevatvas como po las uezas no consevatvas Mentas que, en la expesón [1316], + ΔV = ΔE, apaecen sepaados los tabajos ealzados po ambos tpos de uezas, estando epesentado el tabajo ealzado po las uezas consevatvas po medo de la vaacón de la enegía potencal La mpotanca de esta últma ntepetacón se debe a que, de esta oma, se atbuye al campo de uezas la accón de las uezas consevatvas que actúan sobe la patícula Es dec, se supone que la ueza consevatva que actúa sobe la patícula es ejecda po el campo, y de esta oma se evta tene que habla de uezas a dstanca Po ejemplo, paa una patícula en la poxmdad de la supece teeste, supondemos que la ueza que llamamos peso, es ejecda po el campo gavtatoo teeste, en luga de magna que dcha ueza se ejece sobe la patícula, a dstanca, desde el cento de la Tea En el estudo del Electomagnetsmo volveemos a enconta uezas consevatvas que atbuemos, gualmente, a la accón de dos campos: el campo electostátco y el campo magnétco 136 Pncpo de consevacón de la enegía mecánca de una patícula De la elacón anteo [1316]: se deduce que en el caso de que, esulta: y, po tanto, De modo que + ΔV = ΔE, ΔE, E = constante S el tabajo ealzado po las uezas no consevatvas es nulo, se conseva la enegía mecánca de la patícula