Números Reales y Complejos

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Números Reales y Complejos"

Alfredo Barbero Muñoz
hace 5 años
Vistas:

1 Apéndce C Números Reles y Complejos C.. Los números reles Suponemos conocdo el conjunto de los números reles. Vmos defnr y estudr en lgunos conceptos como relcones de orden, ntervlos, cots y vlor bsoluto. C... Relcones de orden. Se el conjunto de los números reles. Decmos que entre los elementos de un subconjunto suyo S exste un relcón de orden s y sólo s se cumplen ls sguentes propeddes: ) Reflexv:, S b) Antsmétrc: b, b b,, b S c) Trnstv: b, b c c,, b, c S Conocemos dstntos subconjuntos de, por ejemplo los números nturles, los enteros, los rconles y los reles. En todos ellos está defnd l relcón de orden. En : < < <... En : < < 0 < < <... En : j j j j

2 Propeddes de l relcón de orden en. ) Es comptble con l sum pues se cumple b + c b + c, c S es decr, s en un desguldd summos el msmo número los dos membros, l desguldd no vrí. b) Es comptble con el producto pues se cumple c > 0, b c b c es decr, s en un desguldd multplcmos por el msmo número postvo los dos membros, l desguldd no vrí. c) Otrs propeddes: C... Intervlos. b, c d + c b+ d 0 0 b b c< 0, b c b c Los ntervlos son subconjuntos de l rect rel. Los hy de tres tpos: - Intervlo berto: ( b, ) r / < r< b } - Intervlo cerrdo: [ b, ] { r / r b} { - Intervlo semberto (o semcerrdo): puede serlo por l derech o por l querd [ b, ) { r / r< b} ( b, ] { r / < r b}

3 Ejemplo: (, ] ndc el conjunto de todos los números reles menores o gules que. A su ve, (, ) es el conjunto de todos los números reles myores que. C... Cots. Supremo e ínfmo. Máxmo y mínmo. Decmos que M es cot superor del conjunto D s x M pr todo x del conjunto. A l menor de ls cots superores de D se l denomn supremo. S el supremo pertenece l conjunto se le llm máxmo o últmo elemento. Análogmente, decmos que m es cot nferor del conjunto D s x m pr todo x del conjunto. A l myor de ls cots nferores de D se l denomn ínfmo. S el ínfmo pertenece l conjunto se le llm mínmo o prmer elemento. un cot nferor es y el ínfmo es, que no pertenece l ntervlo, l ser éste berto, por lo que no exste mínmo. El 7 es l menor de ls cots superores, es decr el supremo. Como pertenece l ntervlo, es tmbén el máxmo. Ejemplo: En el ntervlo (,7] C..4 Vlor bsoluto y prte enter. El vlor bsoluto de un número es el vlor que tene prescndendo del sgno. Concde con el número s es postvo y con su opuesto s es negtvo. Por tnto s 0 s < 0 Propeddes: ) 0 b) c) b b d) + b + b L prte enter de un número x, es el vlor del myor entero menor o gul x. Se represent por E(x) o ben por [x]. L prte enter de x cumple: E ( x ) p Z / p x < p +

4 4 C.. Los números complejos Como hemos hecho en, suponemos conocdo el conjunto de los números complejos y vmos estudr lgunos spectos de estos números, sí como ls opercones báscs entre ellos. C.. Undd mgnr. Form bnómc de un número complejo. Representcón en el plno. Pr dr solucón l ecucón x + 0 se defne l undd mgnr +. Un número complejo, escrto en form bnómc, es un expresón de l form + b, donde y b son números reles. El número es l prte rel del número complejo. A b le llmmos prte mgnr. Escrbmos Re( ) + b Im( ) b S 0, el número es mgnro puro. S b 0, es un número rel. Ejemplo: el número complejo +π tene como prte rel y como prte mgnr π. π es un número mgnro puro. Pr representr los números complejos en unos ejes de coordends se represent en el eje de bscss l prte rel y en el de ordends l mgnr. Al punto A de coordends (, b) se le llm fjo del número complejo + b. Así cd complejo le hcemos corresponder un punto en el plno y recíprocmente. C.. Conjugdo de un número complejo. Módulo. Argumento. Se el número complejo + b, cuyo fjo es el punto A, de b,, del plno. Se llm conjugdo de l número complejo que tene l msm prte rel y l prte mgnr cmbd de sgno coordends ( ) Se llm módulo de l número rel + b b + b

5 5 Es fácl ver que el módulo de un complejo concde con el de su conjugdo. ( ) + b + b Se llm rgumento de l ángulo que form el semeje postvo de bscss con l rect que une el orgen de coordends O con el fjo A de. El rgumento de cumple b cosα ; sen α, π < α π En l sguente fgur se representn un complejo y su conjugdo, sí como ls prtes rel e mgnr de cd uno, sus módulos y su rgumentos. Eje mgnro b O α α Eje rel -b C.. Opercones con números complejos ) Sum (dferenc): se sumn (restn) prtes reles entre sí y prtes mgnrs entre sí ( + b) ± (c + d) ± c + (b ± d) b) Producto: se rel plcndo l propedd dstrbutv del producto respecto de l sum y tenendo en cuent que ( + b)(c + d) c + bd + d + bc c bd + (d + bc)

6 6 c) Dvsón: se obtene multplcndo numerdor y denomndor por el conjugdo del denomndor + b c + d ( + b)( c d) ( c + d)( c d) c + bd + c + d ( bc d ) c + bd c + d bc d + c + d d) Potenc: se clcul desrrollndo l potenc del bnomo ( + b) y tenendo en cuent ls potencs del número. 4 ( ) ( ) Observmos que los vlores de ls potencs de se repten de cutro en cutro. Así, pr clculr potencs de dvdremos el exponente entre 4 y clculremos l potenc del número que tene por exponente el resto de l dvsón. ( + ) Ejemplo: Clculr. En prmer lugr desrrollmos el numerdor: ( + ) ( ) + Ahor multplcmos numerdor y denomndor por el conjugdo de éste: ( + ) + ( + )( + ) ( )( + ) + + ( + ) Pr potencs de orden más elevdo podemos utlr los coefcentes del bnomo de Newton. C..4 Teorem fundmentl del álgebr. El teorem fundmentl del álgebr estblece que culquer polnomo de n n 0 coefcentes reles y grdo n, Pn ( x) nx + n x x + 0, posee n ríces complejs. Se cumple tmbén que s un número complejo es rí del polnomo, entonces su conjugdo tmbén lo es.

7 7 Ejemplo: Clculr ls ríces del polnomo P ( x) x 4x + 6x 4. Es lgun de ells rel? Según el teorem, cd rí complej v compñd de su conjugd por lo que el número de ríces complejs de un polnomo es sempre pr. El polnomo que estmos consderndo es de grdo, por lo que tene ríces. Como debe tener un número pr de ríces complejs, l menos tendrá un rel. Probndo con x ±, x ±..., obtenemos que x es rí de P (x) y dvdendo result P( x) x x + x Hllndo hor ls ríces del cocente x x + 0 x ± ± Entonces ls ríces del polnomo son x, x +, x.

Documentos relacionados

NÚMEROS COMPLEJOS. r φ. (0,0) a

NÚMEROS COMPLEJOS. r φ. (0,0) a Educgu.com NÚMEROS COMPLEJOS DEFINICIÓN Se llm númeo complejo un p odendo de númeos eles (,b). Los númeos eles y b se llmn componentes del númeo complejo. A l componente se le desgn pte el y l componente