Introducción al Cálculo Integral

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1 Inroduccón l Cálculo Inegrl José Lus Alejndre Mrco An Isel Alluev Pnll José Mguel González Sános Deprmeno de Memác Aplcd Unversdd de Zrgoz versón dgl sd en el lro "Inroduccón l Cálculo Inegrl" ISBN , de los msmos uores Cálculo Inegrl pr prmeros cursos unversros. Alejndre - Alluev, hp://ocw.unzr.es

2 Índce PRÓLOGO CAPÍTULO. INTEGRAL DE RIEMANN.. Inroduccón.. Prcón.. Defncones.. Inegrl de Remnn.5. Teorem.6. Alguns propeddes de l negrl de Remn n.7. Segundo Teorem Fundmenl del Cálculo.8. Teorem del vlor medo pr negrle s.9. L funcón negrl.. Funcón prmv o ndervd CAPÍTULO. INTEGRALES: INTRODUCCIÓN Y PROPIEDADES... Inroduccón.. Teorem.. Propeddes.. Ejemplos.5. Inegrcón de un funcón compues Ejerccos propuesos CAPÍTULO. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN.. Inegrcón por cmo de vrle.. Inegrcón por pres... Produco de un polnomo por un eponenc l.... Produco de un polnomo por un seno o un coseno... Produco de un eponencl por un seno o un coseno... Produco de un logrmo por or funcón..5. Ls res funcones nverss rcse n, rccos, rcg..6. Alguns funcones rconles e rrconles Ejerccos propuesos CAPÍTULO. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.. Inroduccón.. Ríces comunes.. Dvsón ener de polnomos.. Descomposcón de un polnomo en produco de fcores

3 Inroduccón l cálculo negrl.5. Méodo de frccones smples.6. Méodo de Herme.7. Prolems resuelos Ejerccos propuesos CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 5.. Inroduccón 5.. Cmos de vrle 5.. Trnsformcón en sums 5.. Prolems resuelos 5.5. Inegrcón por recurrenc Ejerccos propuesos CAPÍTULO 6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES 6.. Inroduccón 6.. Inegrles rrconles smples 6.. Inegrles rrconles lneles 6.. Inegrles rrconles de polnomos de grdo dos no compleos 6.5. Inegrles rrconles de polnomos de grdo dos compleos 6.6. Inegrles rrconles compuess Ejerccos propuesos CAPÍTULO 7. INTEGRAL DEFINIDA 7.. Inroduccón 7.. Teorem de negrldd 7.. El áre como un negrl defnd 7.. Propeddes 7.5. Teorem Fundmenl del Cálculo Inegr l 7.6. Cmos de vrle pr negrles defnds Ejerccos propuesos CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.. Cálculo de áres en coordends cresns 8.. Cálculo del áre en coordends prmércs 8.. Cálculo del áre en coordends polres 8.. Cálculo del vlor medo de un funcón 8... Inerprecón geomérc 8... Vlor medo de un funcón

4 Índce 8.5. Cálculo de l longud de curv en coordends cresns Dferencl de un rco de curv Comprcón del rco y de su cuerd Cálculo de l longud de curv en coordends prmércs 8.7. Cálculo de l longud de curv en coordends polre s 8.8. Cálculo del volumen de un cuerpo 8.9. Cálculo del volumen de un cuerpo de revolucón Méodo de dscos Méodo de ls rndels Méodo de ls envolvenes clíndrcs (corezs) 8.. Cálculo del áre lerl de un cuerpo de revolucón 8.. Cálculo del rjo medne l negr l defnd 8.. Coordends del cenro de grvedd 8... Cenro de grvedd de un curv pln 8... Cenro de grvedd de un fgur pln 8.. Cálculo de momenos de nerc medne l negrl defnd 8... Momeno de nerc de un curv merl Momeno de nerc de un rr homogéne de longud L respeco su eremo 8... Momeno de nerc de un crcunferenc merl de rdo r respeco l cenro 8... Momeno de nerc de un círculo homogéneo de rdo r respeco l cenro Ejerccos propuesos pr el cálculo de áres Ejerccos propuesos pr el cálculo de longudes de curv Ejerccos propuesos pr el cálculo de volúmenes Ejerccos propuesos pr el cálculo de áres lerles Ejerccos propuesos pr el cálculo de cenros de grved d CAPÍTULO 9. INTEGRALES IMPROPIAS 9.. Límes de negrcón nfnos 9.. Inegrles con negrndo que ende nfn o 9.. Oservcones ls negrles mprops Ejerccos propuesos TABLA DE INTEGRALES BIBLIOGRAFÍA

5 Prólogo Lo que se oye se olvd. Lo que se ve se recuerd. Lo que se hce se prende. Provero chno Ese eo h sdo elordo prr de ls eplccones y prolems de clse de los dsnos cursos mprdos en los úlmos ños por los uores en su lor docene en el seno del Deprmeno de Memác Aplcd de l Unversdd de Zrgoz. Inroduccón l cálculo negrl esá pensdo pr ser ulzdo en un curso ncl de cálculo nfnesml desndo esudnes de ngenerí, memács, cencs químcs y cencs físcs. El ojevo de ese eo docene es consegur que el lumno/ domne el cálculo negrl, herrmen ásc en ods ls rms de l cenc y l ecnologí. Sn ndonr el rgor forml en l eposcón, hemos procurdo hcer sequle cd cuesón medne ejemplos y ejerccos. Desde luego, no hcemos nngun porcón nuev, no ser un preenddo cuddo en el speco ddácco en un neno de que los esudnes rompn con su rol hul de especdores-oyenes, cumpldores de cvddes mecncss, y consgn un dnámc nuev de rjo. Pr el esudo del conendo de ese eo no se presupone nngún conocmeno prevo de cálculo negrl, con lo que es sequle odos los lumnos/s desde el prmer momeno. Es decr, un esudne con nerés puede segur ls eplccones con fcldd. Se hn ncludo ls demosrcones de quellos resuldos que consdermos formvos y que desrrolln l cpcdd de rzonmeno lógco y de nálss críco. A lo lrgo de odo el eo hy grn cndd de ejemplos que yudn enender y smlr los resuldos presendos. Cd cpíulo fnlz con un ls de ejerccos propuesos, que yudrá cmenr los conocmenos dqurdos y dee servr pr compror que relmene se h comprenddo y smldo el conendo del cpíulo. Dmos ls grcs los lumnos/s, porque con su querer ser nos hn mosrdo quells pres en ls que encuenrn myores dfculdes. Espermos que ese eo se de yud pr los fuuros esudnes del cálculo negrl. Los uores.

6 Cpíulo Inegrl de Remnn s( f,p ) m n ( ) f() d f() d

7 Cpíulo Inegrl de Remnn.. Inroduccón El cálculo negrl ene su orgen en el esudo del áre de fgurs plns; ls fórmuls pr el cálculo de ls áres de rángulos y recángulos ern y conocds en l Grec clásc, sí como l de los polígonos regulres prev descomposcón en rángulos. El prolem se plne l hor de clculr áres de fgurs lmds por línes curvs. Eucldes (.C.) sgue los rjos de Eudoo (-55.C.) pr clculr el áre del círculo por el méodo de ehucón, es decr, nscrendo en él sucesvmene polígonos con más ldos. L sum de ess áres se prom cd vez más l áre del círculo, esndo en el «líme» el vlor eco. Demosró demás que, ddos dos círculos de áres A ya y rdos r y r, se verfc que A r y que A kr, sendo k un A r consne que Arquímedes llmó π y cuyo vlor djo hllrse enre 7 > π > 7. Arquímedes (87-.C.) hlló mén el áre encerrd por un rco de práol y l cuerd correspondene, cos relmene dfícl en quel empo, y que no se dsponí del álger formlzd n de l geomerí nlíc. El méodo ulzdo er el de gomeno, eso es, se encj el áre enre dos polígonos, uno nscro en l regón y oro crcunscro l regón. Desde los gregos hs el sglo XVII poco se hzo con relcón l cálculo de áres y volúmenes de fgurs lmds por línes o superfces cerrds. Pscl, Ferm y Lenz comenzn un esudo engrzdo con el cálculo dferencl; sí pues, unque hsórcmene se esudn los prmeros elemenos del cálculo negrl nes que el dferencl, en el sglo XVII se esudn y confgurn l pr, relconándose por medo de muchos e mpornes

8 Inroduccón l cálculo negrl resuldos. Por eso l myorí de los uores empezn eponendo, en prmer lugr, l menos, ls prmers nocones de cálculo dferencl, nes de comenzr el esudo del cálculo negrl. Vemos cuál serí l meodologí empler pr el cálculo de áres de superfces como ls sguenes: Podemos consderr el ldo curvo como l gráfc de un funcón y f(). S llmmos A l áre de l fgur, se cumplrá que: ( ) n < A < ( )m Pero eso no nos por en muchs ocsones un de sufcenemene promd del vlor de A. Supongmos que el nervlo [, ] lo dvdmos en res pres: < < <

9 Inegrl de Remnn 5 Enonces, el vlor del áre que uscmos qued codo enre dos cnddes: ( ) m ( ) m ( ) m A s < ( ) m ( ) m ( ) m S A < S umenmos el número de punos en l dvsón de [, ], cd vez se rán cercndo más los vlores de s y S, de modo que nos drán un nformcón más precs sore A. És serí l de nuv, pueso que rjremos con funcones reles de vrle rel... Prcón Llmremos prcón P del nervlo [, ] un conjuno fno de punos P {,, Κ, n } l que < < < Κ n. S y f() es un funcón defnd y cod en [, ], desgnremos por m M nf sup { f ( ) } { f ( ) }

10 6 Inroduccón l cálculo negrl Noemos que esos vlores esen, pues f() es cod. Además, rvés de esos ínfmos y supremos de l funcón se defnen: n s ( f, P) m ( ) S n ( f, P) M ( como ls sums nferor y superor, respecvmene, de f() correspondenes l prcón P. Esos vlores son sempre números reles, y pr cd prcón P dsn esrán, ovmene, dsns sums nferores y superores. Nóese que sempre se ene que s(f, P) S(f,P) pr l msm prcón P, pueso que m M pr odo. Podrímos omr prcones más fns y sí demosrr que culquer sum nferor esá cod superormene por culquer sum superor. Se defne connucón ese concepo... Defncones Se dce que un prcón P de [, ] es más fn que or Q s conene los msmos punos de és y, l menos, uno más. Se deno Q P. Dd { P } n, un fml de prcones del nervlo [, ] les que P P pr odo, se ene que s S ( f,p ) s( f, P ) ( f,p ) S( f, P ) Así se genern dos sucesones, un { s ( f )} crecene y or { S ( f )},P,P decrecene. Además, como s(f,p) S(f,Q) pr culesquer dos prcones de [, ], oenemos un represencón en l rec rel de ess dos sucesones: ) s ( f ) s ( f ). s ( f ) S ( f ). S ( f ) S ( f ),P,P,P n,p n,p,p

11 Inegrl de Remnn 7 Inuvmene, se ve que, s n y ms sucesones convergen, enonces concden los dos límes, cuyo vlor será el del áre uscd... Inegrl de Remnn S sup {s(f, P)} nf {S(f, P)} pr od prcón P de [, ], dremos que y f() es un funcón negrle de Remnn en [, ], revdmene f() R([, ]), y ese vlor se le llmrá negrl (de Remnn) de f() en el nervlo [, ], denoándol por: f sup {s(f, P)} nf {S(f, P)} Osérvese que l negrl de Remnn, cso de esr, de un funcón om un vlor rel..5. Teorem y f() es un funcón negrle Remnn ε > un prcón P S(f,P) s(f,p) < ε. Demosrcón ] Se f R([, ]), y se ε > f sup {s(f, P)} P prcón de [, ] f nf {S(f, P)} P prcón de [, ] f s( f ) ε,p < f ( f ) Sumndo ms desgulddes, memro memro, se lleg : Se P P P, enonces: S con lo que enemos que: s ( f,p ) s( f, ) < ε P ( f,p ) s( f,p) S( f,p) S ( f, ) P ε S,P <

12 8 Inroduccón l cálculo negrl ( f,p) s( f,p) S( f,p ) s( f, ) < ε S (c.q.d.) P < ] Semos que nf {S(f, P)} S(f, P) pr culquer P sup{s(f, P)} s(f, P) pr culquer P Enonces, se ene nf {S(f, P)} sup{s(f, P)} S(f, P) s(f, P) < ε ε > por hpóess. Lo que nos llev que: nf {S(f, P)} sup{s(f, P)} f R([, ]) (c.q.d.).6. Alguns propeddes de l negrl de Remnn ) f R([, ]) c (, ), f() es negrle en cd uno de los nervlos [, c], [c, ]. Además se verfc que: c f f c ) S f R([, ]), enonces kf R([, ]), donde k es un consne culquer. Además se verfc que: kf k ) S f, g R([, ]), enonces f g R([, ]). Además se verfc que: ( f g ) f f f g

13 Inegrl de Remnn 9 ) S f R([, ]) y f() [, ] S f R([, ]) y f() [, ] f f 5) S f, g R([, ]) y f() g() [, ] f g 6) S f R([, ]) y se ene que f R([, ]) mén, sendo f l funcón defnd por f () f() [, ], enonces se ene que: f f (Monooní de l negrl defnd) L coneón enre el cálculo dferencl y el cálculo negrl se ene por medo del Segundo Teorem Fundmenl del Cálculo (conocdo mén como Regl de Brrow)..7. Segundo Teorem Fundmenl del Cálculo S un funcón y f() es connu en el nervlo [, ], enonces f ( ) d F( ) F( ) donde F() es culquer funcón l que F '() f() [, ]..8. Teorem del vlor medo pr negrles S y f() es un funcón connu en [, ], enonces ese un vlor nermedo c (, ) l que: f ( ) d f ( c)( )

14 Inroduccón l cálculo negrl.9. L funcón negrl L negrl es un número s l clculmos sore un nervlo [, ], donde y son números reles y fjos. Ahor en, s dejármos lerd l eremo, podrímos esudr l negrl de un funcón y f() sore el nervlo [, ], donde es vrle. Por lo no, l negrl, l depender de, serí vrle mén, dependendo su vez de, es decr, serí un funcón de. Es lo que llmremos funcón negrl, denoándol F().. Funcón prmv o ndervd El prolem de clculr ( ) d f se reduce enconrr un funcón F(), llmd prmv de f() l que F '() f(). d f ( ) d F() C o [ f ( ) d] f() d donde C es un consne rrr. S P() es un prmv de f(), se ene que P'() f(), o, dp( ) equvlenemene, ulzndo l nocón dferencl de Lenz, f(), es d decr, dp() f() d (comn l nocón dferencl con l negrl). Así, f d P() C. ( ) A pesr de l semejnz prene, el símolo ( ) concepulmene dsno del símolo de negrcón ( ) f. f d, es f d. Los dos hn sdo orgndos por procesos complemene dsnos: l dferenccón y l negrcón. Sn emrgo, esán relcondos por los eorems fundmenles del cálculo. El Prmer Teorem Fundmenl dce que se puede consrur sempre por negrcón un prmv de un funcón connu (dos prmvs dferen en un consne).

15 Inegrl de Remnn Eso ndc que culquer negrl ndefnd de y f() es mén prmv de y f(). S P() ( ) o f d con cero líme nferor, f ( ) d P() C se puede poner como f ( ) d ( ) El símolo ( ) o f d C. f d se puede consderr como represenne de un negrl ndefnd de y f() más un consne. El Segundo Teorem Fundmenl del Cálculo Inegrl epres que pr cd prmv P() de y f() y pr cd consne C se ene f ( ) d [ P ( ) C ] S se susuye P() C por ( ) f ( ) d f ( ) f d, [ d] F() F(), con F '() f() Dedo un lrg rdcón, muchos rdos de cálculo consdern el f d como represenne de un negrl ndefnd y no de un símolo ( ) funcón prmv o ndervd.

16 Cpíulo Inegrles: Inroduccón y propeddes ( f() g() ) ( ) d K f ( ) d K f f() d d f()d g() d sen d

17 Cpíulo Inegrles: Inroduccón y propeddes.. Inroduccón Un de ls cuesones esencle s que r el cálculo negrl es l sguene: «Enconrr ls funcones F() que enen como dervd un funcón dd f() que se supone connu en un nervlo cerrdo [, ]». Nuesro ojevo es, pues, clculr funcones F() conocendo su dervd f(). Ls funcones que uscmos, llmds funcones prmvs de l funcón f(), verfcrán, por no, l guldd: F '() f(). Ejemplo F(). Se puede verfcr fáclmene por dervcón que l funcón f() 5 dme como funcones prmvs dsns : F ( ) 5 ; F ( ) 5 ; F ( ) 5 C, sendo C consne. Ese ejemplo nos muesr que un funcón dd puede dmr un nfndd de prmvs. Supondremos en lo que sgue que un funcón connu dme l menos un funcón prmv... Teorem es un prmv de f(), y que ( ) S un funcón y f() dme un funcón prmv, F() dme nfns funcones prmvs. Se r de ls funcones G() F() C, donde C consne. Demosrcón G '() ( F() C )' F '() C ' f() Nocón Denoremos ods ls funcones prmvs de y f() por el símolo f ( ) d, que se denomn negrl ndefnd de f(). Ulzndo ls nocones precedenes se oene l sguene equvlenc: ( ) d F( ) C f ( ) F' ( ) f

18 Inroduccón l cálculo negrl.. Propeddes ) S ls funcones f() y g() dmen, respecvmene, por prmvs ls funcones F() y G(), l funcón f() g() dme por funcón prmv l funcón F() G(). Sen F() f ( ) d y G() g ( ) d, enonces: [F()G()]'F '()G '() f() g() [ f ( ) g( ) ] Luego: [ f ( ) g( ) ] d f ( ) d g( ) d d F()G() ) S l funcón f() dme como prmv l funcón F() y k es un consne rrr, l funcón kf() dme como prmv l funcón kf()... Ejemplos [kf()]' kf '() kf() kf ( ) d k f ( ) ) d d C C ) d d C C ) d / d / / C / C ) sen d sen d (cos) C cos C 5) d d C d d d C 5 5 d 5 C 5 6) ( ) 7) ( ) d

19 Inegrles:Inroduccón y propeddes 5 8) d d d / d / / C / / / / d / C En muchs plccones de l negrcón se nos d l sufcene nformcón como pr deermnr un solucón prculr. Pr ello sólo necesmos conocer el vlor de F() pr un cero vlor de. 9) Hllr l solucón generl de l ecucón F'() y clculr l solucón prculr que ssfce l condcón ncl F(). F() d Ahor como F() F() d C C C C F ( ) ) Un plccón relcond con l grvedd Se r hc rr un pelo con un velocdd ncl de 6 m/s, desde un lur de 8 m. Hllr l funcón poscón, s(), pr ese movmeno. (Recordr que l celercón ded l grvedd es m/s ). Solucón: Suponemos que represen el empo ncl. Por no, ls dos condcones ncles mpuess en el prolem pueden ser escrs como: s() 8 m s'() 6 m/s lur ncl velocdd ncl Ahor, del vlor de l celercón enemos que: donde s"() m/ s s'() " ( ) s d d C C s'() 6 s'() 6 Por no,

20 6 Inroduccón l cálculo negrl d s() s ' ( ) d ( 6) 6 C donde C s() 8 Fnlmene, oenemos que l funcón de poscón qued deermnd por: ) d s / d ) ( ) ( ) ( ) / C C / 5 d d C 5 ) d d d C ) ( ) d 7 / d / / d C 7 / / 7/ 7 / / C 7.5. Inegrcón de un funcón compues ( 7) C Sen f() y g() funcones que ssfcen ls condcones de dervcón de l regl de l cden pr l funcón compues y f(g()). S F() es un prmv de f(), enonces: Ejemplos d ) ( ) ( g( ) ) g' ( ) d F( g( ) ) f C ( ) ) 5 cos5 d sen5 C C

21 Inegrles:Inroduccón y propeddes 7 No Muchs funcones negrr conenen l pre esencl de g'() pero les fl lgun consne numérc mulplcndo o dvdendo. En esos csos podemos oener l consne numérc que fl sn más que mulplcr y dvdr dch funcón por es consne, pr luego plcr l propedd de lneldd de l negrcón, como se muesr en los sguenes ejemplos: ( ) d d ( ) ( ) ( ) 6 C cos 5 d 5cos5 d 5 ( ) d sen5 C 5 ( ) C Aencón L opercón de mulplcr y dvdr no se puede relzr cundo el múlplo que fl pr ener g'() conene l vrle, dedo que no se puede mover fuer de l negrl nngun pre del negrndo que coneng l vrle respeco de l cul esmos negrndo. Pr el cálculo de negrles ndefnds de funcones compuess, hy que ener muy presene l l de negrles nmeds, e nenr llevr l funcón negrr lgun de ls forms que llí se ven. Pr ello, s plcr ls propeddes vss quí de l negrl ndefnd y jusr consnes como se h comendo nerormene.

22 8 Inroduccón l cálculo negrl Ejerccos propuesos 6 ) ( ) d ( ) C ) 5 6 d ( 5 6) C 7 ) d ( 6 8) C rcg rcg ) d ( ) C 5) d ( ) 9 ( ) C 6) cos sen d sen C 7) ( 6) d ( 6) C 5 5 8) 7 d 7 C Log7 sen sen 9) cos e d e C ) 5 Log ( ) Log d ( 5 ) C 6Log5

23 Inegrles:Inroduccón y propeddes 9 ) d Log( ) C d g ) Log( sen) C 7 5 ) d Log( 7 ) C 7 5 Log7 ) d rcsen( 6 ) C 6 5) d rcg ( ) C 8 cos 6) d sen C 7) sen ( Log) 6 d cos ( Log) C 8) d ( ) C 9) d ( ) C ) ( ) d 6 5 C ( ) ) d ( ) C

24 Inroduccón l cálculo negrl 6 5 ) d 5 7 C ) 7 d C ) d 5 C 5) sen cos d ( cos) C 6) e d e C 7) d Log( cos ) C sen cos 8) d rcsen( ) C 9) d rcg C 6 ) cog( ) d Log[ sen( )] C

25 Cpíulo Procedmenos de negrcón MÉTODOS POR PARTES CAMBIO DE VARIABLE udv uv vdu f ( )

26 Cpíulo Procedmenos de negrcón.. Inegrcón por cmo de vrle Se f() un funcón y F() un de sus prmvs. S ϕ(u) F() F(ϕ(u)) G(u), y sí, plcndo l regl de l cden pr clculr l dervd, oenemos que G '(u) F '(ϕ(u)) ϕ'(u) f(ϕ(u)) ϕ'(u). Luego: f ( ϕ ( u)) ϕ'( u) du G(u) C F(ϕ(u)) C. El cmno segur serí: elegr un cmo de vrle pr relzr; resolver l nuev negrl en l nuev vrle; por úlmo, deshcer el cmo pr dr el resuldo en funcón de l vrle orgnl. ( ) ( ) ϕ u f ( ) d d ϕ u du Ejemplos ) d f ( ϕ ( u) ) ϕ' ( u) du F(ϕ(u)) C F() C u d du / du u C ( ) u u / du / u u du ) d d du u C u / C / / / ( u u ) du 5/ / u u 5 / / 5 / C / u u C 6 / 5 ( ) ( ) / 6 C

27 Procedmenos de negrcón 5 sen u u ) sen cos d cos d du u du C 9 u ) sen d d du 9 u C ( sen ) sen du C C u ( cosu) cos( ) C sec 5) d u d du sec u du gu C g C senu 6) d d cosu du sen u cosu du cosu du u senu C rcsen ( senu senu cosu ) C cos u du No Se verán más cmos de vrle l resolver dferenes pos de negrles de funcones prculres. Como es ovo, en un msm negrl se pueden plcr dversos cmos de vrle de mner sucesv, hs que se llegue un funcón de l que se conozc de form nmed un de sus prmvs. Todos los cmos de vrle que se relcen en un msm negrl deerán ser deshechos en orden conrro como se hn producdo, es decr, prmero el

28 6 Inroduccón l cálculo negrl úlmo, después el neror, y sí hs llegr l prmero, que se deshrá en úlmo lugr... Inegrcón por pres Se u()v() el produco de dos funcones de. Aplcndo ls regls de dferenccón pr el produco de funcones, oenemos: o, equvlenemene, d(uv) v du u dv u dv d(uv) v du Inegrndo memro memro es guldd, llegmos : u dv d(uv) v du pero, como l dferenccón y l negrcón son funcones nverss, se ene que: d ( uv) uv, y, por no, l epresón neror qued: u dv uv v du Es guldd enre negrles se conoce como el méodo de negrcón por pres. Así, s l negrl que queremos clculr ene l form de un produco u dv, se puede nenr plcr ese méodo pr oener un pre conocd de l prmv, uv, y un nuev negrl resolver, v du. Se esper que es nuev negrl se más fácl de clculr que l prmer. S fuer más dfícl, se prue nercmr los ppeles de u y dv (dv dee conener sempre d) y comenzr el cálculo. S l nuev negrl es ún más dfícl, ese méodo no es ueno y no se plc. A veces ese proceso hy que reperlo más de un vez sore un msm negrl pr llegr conocer l prmv uscd. Esen csos en los cules esá comprodo que el méodo de negrcón por pres funcon en, no querendo decr con eso que sen los úncos csos en los cules se puede plcr, n mpoco que no se pued plcr oro méodo de los que rremos más delne. Vemos esos csos los que nos refermos.

29 Procedmenos de negrcón 7... Produco de un polnomo por un eponencl Clculr: I e d Promos omr ls pres como: Así, l negrl quedrá: I uv e u e d du d dv v v du e e d Es negrl es más complcd que l ncl, y que hemos umendo el grdo del polnomo. Procedemos cmr los ppeles de u y de dv, omndo el polnomo como l pre dervr y l eponencl como l pre negrr: e u d dv d du e v Aplcndo es nuev eleccón en l negrl orgnl I: I e e d e e e C En ese cso sempre es más convenene elegr el polnomo pr dervr, es decr, omrlo como u (pues en l nuev negrl quedrá un polnomo de un grdo menor) y l funcón eponencl pr negrr, es decr, omrl como dv (en l nuev negrl quedrá l msm eponencl slvo consnes).... Produco de un polnomo por un seno o un coseno Clculr: I sen d C Hcemos: u sen d dv d du cos v

30 8 Inroduccón l cálculo negrl Así, I uv v du cos cos sen C cos d De nuevo es en generl más convenene dervr el polnomo, es decr, omrlo como u, e negrr l funcón rgonomérc, como dv. Además, es sne frecuene en esos csos ener que plcr dos o más veces ese proceso de negrcón por pres pr resolver l negrl orgnl. Veámoslo con un ejemplo: Clculr: I ( ) cos d Hcemos pres: u d du sen cos d dv v Con lo que I qued: sen sen d sen sen d I ( ) ( ) En l nuev negrl l que hemos llegdo el polnomo no h desprecdo, pero se h consegudo rejr su grdo en un undd. Prece, pues, que un nuev plccón del proceso de negrcón por pres es nuev negrl, con l msm eleccón de u (el polnomo) y dv (l funcón rgonomérc), nos conducrá un negrl donde el polnomo hy desprecdo, sendo, por no, nmedo clculr un de sus prmvs. Nóese que, s en es nuev negrl nercmmos los ppeles de u (l funcón rgonomérc) y dv (el polnomo), llegremos l negrl orgnl, pueso que esremos deshcendo lo relzdo en l prmer plccón del proceso de negrcón por pres. Así pues, consdermos l sguene eleccón:

31 Procedmenos de negrcón 9 u sen d dv d du cos v Así, con l plccón sucesv del méodo de negrcón por pres l negrl orgnl, és quedrá de l form: cos cos d sen cos cos d 9 9 sen cos 9 7 sen C I ( ) sen ( ) ( )... Produco de un eponencl por un seno o un coseno Clculr: I e sen d Hcemos pres: e u sen d dv e d du cos v Con es eleccón, l negrl I puede epresrse como: I e cos e cos d Enconrmos sí un negrl nálog I. Inegrmos de nuevo por pres y connumos llmndo u l eponencl y dv l funcón rgonomérc (en cso conrro, volverímos l negrl orgnl). Así pues, l nuev eleccón de ls pres será: e u cos d dv e d du sen v

32 Inroduccón l cálculo negrl Por no, I quedrá: I e cos I e e cos e sen 9 sen e sen d I 9 e I sen cos 9 C I 9 e sen cos C Es sucón, en l cul prece l negrl I que se dese clculr en medo del proceso de negrcón, fecd de oro coefcene, surge con frecuenc en el cálculo de negrles, sendo eremdmene ngenos su resolucón l como se h proceddo en el ejemplo.... Produco de un logrmo por or funcón Log Clculr: I d En esos csos, l eleccón de ls pres es sne clr. Como el Logrmo no posee un prmv nmed, lo más rzonle es elegr l or funcón como dv, y el propo Logrmo como u, y que su dervd s que es fácl de enconrr. Solo en los csos en que l or funcón eng un negrcón mucho más complcd que l de l funcón Logrmo, se elegrán ls pres de form conrr. Es sucón es generl, es decr, l eleccón de ls pres ene mucho que ver con que funcón se más sencll pr clculr un de sus prmvs, pueso que el proceso de dervcón ofrece menos dfculdes. En el ejemplo ommos ls pres como: Log u d dv d du v Log

33 Procedmenos de negrcón I Log Log d Log ( Log) I I ( Log ) C I ( Log ) C..5. Ls res funcones nverss rcsen, rccos, rcg Clculr: I rcsen d Por rzones smlres ls rgumends pr el cso neror, l eleccón pror más sencll será omr ls pres como: rcsen u d dv d v du I rcsen d rcsen d rcsen C..6. Alguns funcones rconles e rrconles ) Clculr: I ( ) d Hcemos pres: u d d du dv v ( ) ( ) I ( ) d ( ) rcg C

34 Inroduccón l cálculo negrl ) Clculr: I d Tommos pres: d dv u d du v I d d d d d d ( ) I C Log I Log C

35 Procedmenos de negrcón Ejerccos propuesos ) rcg d rcg Log( ) C ) Log ( ) d Log( ) Log( ) C ) rcg d rcg ( rcg) C ) Log( ) d Log( ) Log( ) C 5) sen d cos sen C 6) e d e e C cos C 7) ( 7) cosd ( ) sen ( 6 ) 5 d C Log ( Log) ( Log) 8) ( 5 ) sen 9) d cog Log( sen) C ) e cos d e ( sen cos) C

36 Inroduccón l cálculo negrl ) d rccos rccos Log C ) ( Log) d ( Log) Log C Log ) d Log C ) rcsen d rcsen ( ) C 5) Log ( ) d Log( ) C 6) cos d sen cos C 8 7) sen( Log) d ( sen( Log) cos( Log) ) C 8) e d e e C 9) sen Log( sen) d cos Log( sen) cos C ) e e d e e C ( ) e 8 ) e cos d ( sen cos ) C

37 Procedmenos de negrcón 5 rcsen ) d rcsen C sen e ) cos sen d C e 5 ) d g Log cos C cos 5) sen cos d cos sen C 8 6) ( rcsen ) d ( rcsen) rcsen C 7) g d g Log cos C 8) e e d C ( ) 9) Log d Log C 9 ) cos Log sen d sen Log sen sen C e 8 ) e sen cos d ( sen cos ) C cos e e 5 ) d ( sen cos ) C

38 6 Inroduccón l cálculo negrl e rcsen e ) d ( ) C rcsen ) rcsen d rcsen C Log Log 5) d ( Log) C Log 6) d ( Log Log ) C 7) d C Log Log 9 7 8) ( ) cos d ( ) sen cos sen C 6 e sen 9) e sen d e cos C ) Log( ) d Log( ) rcg C

39 Cpíulo Inegrcón de funcones rconles MÉTODOS FRACCIONES SIMPLES HERMITE

40 Cpíulo Inegrcón de funcones rconles.. Inroduccón A Un funcón rconl es el cocene de dos polnomos f(). B Supondremos que los dos polnomos A() y B() no enen nngún cero en común, es decr, que no ese nngún número, rel o complejo,, l que los B. En ese cso se dce que l funcón es nule l vez A ( ) ( ) rreducle. Pr clculr ( ).. Ríces comunes f d seguremos los sguenes psos. En ese cso, se ene un fcorzcón de los dos polnomos de l form: A( ) ( ) A( ), B( ) ( ) B( ), y sí nálogmene con ods y cd un de ls ríces comunes los dos. En ess condcones, pr /, l A( ) A ( ) funcón rconl se reduce l funcón smplfcd B( ) B ( ), hor y sn ríces comunes (rreducle). Así pues, esudremos ls negrles del po A( ) A( ), donde es un funcón rreducle. B B ( ) d ( ).. Dvsón ener de polnomos Se relzrá en el cso de que el grdo del numerdor A() se superor o gul l grdo del denomndor B(). En l cso, esen polnomos úncos Q() y R() les que: ( ) ( ) A() B() Q() R(), con grdo R() < grdo B() Así, se puede epresr l funcón rconl f() como:

41 Inegrcón de funcones rconles 9 f() A B ( ) ( ) Q() R B ( ) ( ) Al polnomo Q() se le llm pre ener de l funcón rconl y su negrcón es sencll. Así, l negrl de f() qued de l form: ( ) d Q( ) f d R B ( ) ( ) d Así, endrímos que negrr un funcón rconl rreducle en l que el grdo del numerdor es esrcmene nferor l del denomndor. Pr enconrr esos polnomos Q(), R() es sufcene con relzr l dvsón ener de polnomos en l form rdconl. Por no, prr de hor consderremos funcones rconles rreducles en ls que el grdo del numerdor se esrcmene menor que el grdo del denomndor... Descomposcón de un polnomo en produco de fcores El ojevo hor será enconrr un descomposcón de l funcón rconl de l form neror negrr, en sum de ors funcones rconles que sen más smples y fácles de negrr. Pr deducr dch descomposcón, el prmer pso necesro requere fcorzr el denomndor, o se, clculr ls ríces del msmo. Es decr, s enconrr ls ríces de B(), resolvendo pr ello l ecucón polnómc B(). Ess ríces serán, en generl, números complejos, y dependendo de l nurlez y mulplcdd de ls msms se elegrá un descomposcón u or de l funcón rconl. Pr loclzr ls ríces de B() se ulzrán los méodos conocdos (fórmul pr polnomos de segundo grdo, Ruffn pr grdo superor, o culquer oro méodo váldo pr su resolucón). Según sen ess ríces, como h queddo dcho nerormene, ulzremos dos méodos pr resolver ese po de negrles: descomposcón en frccones smples o méodo de Herme. Anes de negrr un funcón rconl rreducle, se nen descomponerl en un sum de funcones fácles de negrr. Pr ello prevmene hemos clculdo ods ls ríces de B() (reles y complejs). Sen éss,, Κ,r reles con orden de mulplcdd m,m, Κ,mr, respecvmene. S enemos un ríz complej, mén dee precer

42 5 Inroduccón l cálculo negrl necesrmene su conjugd; sí pues, sen α ± β,, α ± β Κ s s ls prejs n, Κ,ns, de ríces complejs conjugds con orden de mulplcdd respecvmene. Así, B() puede descomponerse (se demuesr en álger) en produco de fcores como: B n ns [ r ( ) (( s ) s ) ] β α β m mr ( ) λ ( ) Κ ( ) ( α ) Κ (osérvese que [ ( α β )][ ( α β )] ( α ) β k k k k k k ), donde λ es el coefcene del érmno de myor grdo de B() (coefcene drecor de B()). De es mner, de l descomposcón en fcores de B() se oene l R( ) descomposcón en frccones smples de : B ( ) R B ( ) ( ) λ A A ( ) A m... ( ) m... B... r B m r ( ) mr r M N... ( ) α β... M n N n [( α ) β ] n... P T ( ) α s β s P T s [ ] ns s βs s ( α ) n n donde A,B,M,N, P, T son consnes reles deermnr. k k k k k k.5. Méodo de frccones smples Ese méodo se plcrá cundo ls úncs ríces con mulplcdd myor esrc uno de B() sen reles. L descomposcón en sum de funcones rconles senclls negrr de l funcón rconl rreducle orgnl se relzrá según el sguene crero: Por cd ríz rel smple precerá un sumndo de l form: A

43 Inegrcón de funcones rconles 5 Por cd ríz rel con mulplcdd m myor esrc uno precerán m sumndos de l form:... B m B ( ) m B m ( ) m Cd ríz complej α β smple se une su conjugd α β, dopndo l form ( α) β. Por cd un de ess prejs precerá un sumndo en l descomposcón de l form: M N ( α) β Segudmene se procede l cálculo de ods ls consnes reles ndeermnds que precen en los numerdos de odos los sumndos en l descomposcón, A,B,... Así pues, l pregun hor serí: cómo deermnr ls consnes de los numerdores de cd un de ls frccones smples? El prmer pso pr responder es pregun consse en relzr opercones con odos los sumndos, con el ojeo de reducrlos común denomndor, que en generl concdrá con B(), pr psr consderr un guldd enre los numerdores polnómcos R() y el resulne en el memro de l derech de l descomposcón, fruo de l opercón de colocr el denomndor común. Un vez oend es guldd enre polnomos, se puede opr por l menos dos cmnos: el prmero, más generl, consse en denfcr los coefcenes de los érmnos de gul grdo en mos memros de l guldd; el segundo se relzrá dndo vlores sencllos l vrle pr mos memros de l guldd (en especl, vlores que correspondn ls ríces reles de B()). En defnv, el méodo de oencón de ls consnes puede vrr, pero odo se reduce un guldd enre polnomos. Por ello, ce decr que es descomposcón es únc, pueso que dos polnomos son gules s y sólo s odos sus coefcenes concden. En mos csos, se llegrá un ssem lnel cudrdo, cuys ncógns serán ls consnes deermnr, con solucón únc grnzd.

44 5 Inroduccón l cálculo negrl Un vez efecud es descomposcón y conocds ods ls consnes que precen en ell, ls negrles que deeremos resolver doprán lgun de ls sguenes epresones: A ) d A Log C ) B ( ) d p B ( ) p p C B p p ( ) C (s p es nurl y p ) ) M N s ( r ) ( r ) d N Mr s M M Log Log d M N Mr Mr d s M [( r ) s ] ( r) Log [( r ) s ] N Mr s [( r ) s ] N Mr s s rcg d s r s r s r M s ( r ) d Mr N d r s C Ejemplos d ) Clculr: I d ( )( ) Como l funcón rconl negrr es rreducle y el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el del denomndor,, procedemos clculr ls ríces de ése úlmo. Ovmene, éss son

45 Inegrcón de funcones rconles 5,. Como ms son reles, el méodo de descomposcón ulzr será el de frccones smples. Por no, descomponemos l funcón rconl de l sguene mner: ( )( ) A B A ( ) B( ) ( )( ) Igulndo los numerdores de mos memros, un vez pueso el denomndor común, llegmos que: A( ) B( ) Pr clculr A y B, usmos el segundo procedmeno comendo, es decr, dmos los vlores de ls ríces reles del denomndor de l funcón rconl orgnl. Así pues, s B, y s A Por no, l negrl orgnl quedrá, plcndo ls propeddes de l negrcón: d I / / d d Log Log C 5 ) Clculr: I d 5 ( )( ) d De nuevo, l funcón rconl negrr es rreducle y el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el del denomndor,. Ls ríces de ése son, rel y smple,, rel y dole. Como no posee ríces complejs, usremos l descomposcón dd por el méodo de frccones smples: 5 ( )( ) A B C ( )

46 5 Inroduccón l cálculo negrl Igulndo los numerdores, enemos que: ( ) A B ( )( ) C ( ) ( )( ) 5 A A A B B C C Usremos hor el prmer procedmeno sugerdo pr clculr ls consnes ndeermnds, es decr, gulremos los coefcenes del msmo grdo mos ldos de l guldd: grdo : grdo : grdo : A B A C 5 A B C Ese ssem conene res ecucones y res ncógns. Su resolucón es sencll, oenéndose el sguene resuldo: A, B, C Por no, l negrl orgnl quedrá como: / I d / d ( ) d Log Log C ) Clculr: I ( )( 5)( ) d L funcón rconl es rreducle (se puede compror fáclmene que n, n 5, n, ríces del denomndor, lo son del polnomo que prece en el numerdor), y demás el grdo del numerdor,, es

47 Inegrcón de funcones rconles 55 esrcmene menor que el del denomndor,. Por no, l descomposcón rvés del méodo de frccones smples qued: A B C 5 5 ( )( )( ) ( )( ) B( )( ) C( )( 5) ( )( 5)( ) A 5 Como ls ríces del denomndor son reles smples, dremos jusmene esos vlores l vrle en l guldd de numerdores en l descomposcón: A A C 6 8C C B 6 B B Así, l negrl I se clcul como: d I 5 d 5 5 d 5 Log C ) Clculr: I d Ls ríces del denomndor son, de mulplcdd gul res, y, smple. Como esos vlores no nuln l numerdor, l funcón rconl es rreducle. Además, el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el del denomndor,. Eso nos llev relzr l descomposcón por medo del méodo de frccones smples: A B C D ( ) ( ) A B C ( ) ( ) D

48 56 Inroduccón l cálculo negrl Aplcndo l segund opcón dd pr clculr los coefcenes consnes, dremos los vlores de sus dos ríces reles dsns y oros dos vlores rrros hs consegur un ssem de curo ecucones con curo ncógns: 5 A A 5 D A B C D B C B C A B C 8D 5 B C 8 B C De ls dos úlms ecucones resul que: C B. Así, I quedrá: d I 5 d d d 5 Log Log C 5) Clculr: I d ( )( ) d El denomndor posee un ríz rel,, smple, y un prej de ríces complejs conjugds, que son los ceros del polnomo. Ess ríces no lo son del numerdor, por lo que l funcón rconl es rreducle. De nuevo, el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el del denomndor,. Aunque en ese cso precen ríces complejs, éss son smples, por lo que de nuevo deemos empler el méodo de descomposcón de frccones smples: ( )( ) A B C ( ) A ( B C )( ) ( )( )

49 Inegrcón de funcones rconles 57 En ese cso, opmos por l prmer opcón pr el cálculo de ls consnes ndeermnds, gulndo los coefcenes de los érmnos del msmo grdo en mos memros: A A A B B C C : AB B A : A B C A, : A C B 7, C 7 Por no, l negrl I quedrá: I 7 d d 7 Log 7 d 7 Es nuev negrl l seprremos en dos, con el ojevo de llegr en un de ells oener un Logrmo, y en l or un rco ngene. d d d I Log d / d Log 6 Log 8 rcg C Llevndo ese resuldo l negrl orgnl, enemos que:

50 58 Inroduccón l cálculo negrl I Log Log rcg C.6. Méodo de Herme P Ese méodo se plcrá pr clculr negrles del po Q d, cundo grdo P() < grdo Q(), y Q() ene ríces complejs con mulplcdd myor esrc uno. Dcho méodo se s en que P( ) Q( ) se puede descomponer como sgue: ( ) ( ) P Q ( ) ( ) d d R D ( ) A B M N... ( ) ( ) r s Donde, s Q() ( ) m... ( ) n... ( r) [ ] s p m D() ( )... ( ) n... ( r), enonces, [ ] p s es decr, D()m.c.d.[Q(),Q'()], o, lo que es lo msmo, el polnomo que [ s ] resul de dvdr Q() por ( ) ( ) Κ ( r ) Κ. En resumen, D() es el polnomo Q() y descompueso en fcores y con cd uno de ellos rejdo en uno su orden de mulplcdd. Por or pre, R() es un polnomo de coefcenes deermnr y de grdo nferor en un undd l de D().

51 Inegrcón de funcones rconles 59 [ s ] Así, s llmmos C() l polnomo ( ) Κ ( ) Κ ( r ) Q( ), podemos escrr: D( ) decr, C(), es P Q ( ) ( ) d d R D ( ) ( ) B C ( ) ( ) Inegrndo memro memro es guldd, ( ) ( ) donde grdo B() [grdo C()] ( ) ( ) P R B d Q D C ( ) ( ) d Nóese que ese méodo de Herme y nos proporcon un pre del resuldo uscdo, y que l negrl que nos qued por clculr es un funcón rconl con numerdor B() y denomndor C(), que se puede descomponer por medo del méodo neror de frccones smples, y que ls ríces complejs de C(), en cso de esr, deen ser smples. Por no, podemos escrr: B C ( ) ( ) A B M N r s... ( ) Aunque el méodo de Herme es lrgo, no sólo porque deemos oener d R( ) los coefcenes ndeermndos sno porque hy que relzr d ( ), que, D unque sencll es muy engorros de clculr, el méodo es plcle culquer funcón rconl, y que es un generlzcón del méodo de frccones smples enendo en cuen que ñdmos el érmno d d R( ) ( ) D No Ommos l demosrcón de ese méodo por ser muy complej..

52 6 Inroduccón l cálculo negrl Ejemplos ) Clculr: I d ( ) ( ) En ese cso, el denomndor posee ríces complejs doles, por lo que, como el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el denomndor, 6, deemos plcr l descomposcón dd por el méodo de Herme: ( ) ( ) d d c ( )( ) A B C Un vez relzd l dervd del cocene y pueso denomndor común (como en el cso de frccones smples), usremos el procedmeno de gulr los coefcenes de los érmnos del msmo grdo en mos ldos de l guldd, pr oener el ssem que nos deermne el vlor de ls consnes ndeermnds: 5 : A B : A B C : A B C : c A B C : c A B C : c A C Resolvendo ese ssem, llegmos que:,, c, A, B, C 5 Por no, l negrl orgnl endrá l form: I ( )( ) d d

53 Inegrcón de funcones rconles 6 ( )( ) Log Log rcg C ) Clculr: I d ( )( ) De nuevo, el denomndor posee un prej de ríces complejs conjugds de mulplcdd dos, y el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el del denomndor, 8, por lo que, plcndo el méodo de Herme, oenemos: ( )( ) d d M N c d ( ) A B Nóese que l ríz rel no prece en el denomndor del cocene dervr, dedo que su mulplcdd es uno, y l rejrl en un grdo se convere en cero. Relzd l dervcón y l pues de denomndor común, un vez más gulmos los coefcenes de los érmnos del msmo grdo, oenendo el sguene ssem lnel: 7 : A B M 6 : A M N 5 : A B M N : c A M N : c d A B N : d c A : c d : d L solucón únc de ese ssem es:

54 6 Inroduccón l cálculo negrl 5 5,, c, d, A, B, M, N Por no, I qued: 5 I 5 ( ) ( ) d d 5 8 d d 5 Log Log Log rcg C 8 ) Clculr: I 7 ( 5)( ) 8 d El denomndor fcorzdo nos muesr l esenc de ríces complejs conjugds doles. Como, demás, l funcón rconl es rreducle y el grdo del numerdor,, es esrcmene menor que el del denomndor, 5, procedemos plcr el méodo de descomposcón de Herme: 7 ( 5)( ) 8 d d M N A 5 Procedendo como en los ejemplos nerores, se lleg l sguene ssem lnel que deermn ls consnes: : 7 A M : A M N : 5 8A 8M N : 8 8A M 8N : 8 A N cuy solucón es:

55 Inegrcón de funcones rconles 6,, A, M 5, N Así, resul que: I 5 d 5 d 5 Log 5 Log 7 rcg( ) C donde l úlm negrl es de uno de los pos que hemos vso en el cso de plccón del méodo de frccones smples, cundo ls ríces del denomndor ern complejs conjugds smples..7. Prolems resuelos ) I 5 ( ) 8 d Dedo l esenc de ríces complejs conjugds en el denomndor, se segur que el méodo de descomposcón de Herme v permr resolver es negrl. En ese cso, vmos plcr un generlzcón del méodo de frccones smples, que quí v funconr, unque, en generl, crímos por recurrr l méodo de Herme necesrmene. Vmos, por no, plcr l descomposcón de frccones smples, rndo ls ríces complejs conjugds con mulplcdd myor esrc uno como lo hcemos con ls que son reles. En ese ejemplo precerán res sumndos dedos l únc prej de ríces complejs conjugds rples: 5 ( ) 8 A B C D ( ) E F ( ) S ponemos denomndor común e gulmos los coefcenes de los érmnos del msmo grdo, llegmos l ssem lnel:

56 6 Inroduccón l cálculo negrl 5 : A : B : A C : B D : 8 A C E : B D F Su solucón es: A, B, C, D, E, F Por no, l negrl quedrá: I d ( ) Log rcg d ( ) C ) I d ( ) Aquí sí que plcmos el méodo de Herme, dedo l esenc de ríces complejs conjugds doles. ( ) d d M N El ssem lnel l que llegmos es: : M : N : M : N

57 Inegrcón de funcones rconles 65 cuy solucón es:,, M, N que, llevd l negrl, resul en: I ( ) d ( ) rcg C ) Proponemos un úlmo ejemplo: I d ( ) Como en csos nerores, l plcr Herme resul: ( ) d d c d ( ) M N El ssem qued: 5 : M : N : M : c N : d M : c N Su solucón es: 5,, c, d, M, N L negrl se resuelve fnlmene como:

58 66 Inroduccón l cálculo negrl I 8 5 ( ) d rcg C 8 ( )

59 Procedmenos de negrcón 67 Ejerccos propuesos ) ( ) C d Log Log ) ( ) ( ) C d Log Log 8 ) ( ) ( ) C d Log Log 5 ) d ( ) 5Log ( ) [ ] C rcg Log 5) C d rcg 7 Log 6) ( ) ( ) ( ) C d Log 5 5Log 5 7) ( )( ) ( ) Log 9 d ( ) C rcg 9 7 Log 8

60 68 Inroduccón l cálculo negrl 8) d Log 9 9 ( )( ) ( ) Log ( ) 5 rcg 7 C d ) Log( ) Log( ) C 5 5 ) d Log( ) Log( ) C ) d 6Log( ) ( ) ( ) C ) ) d Log ( ) d ( )( ) Log ( ) Log( ) C ( ) Log( ) rcg C 6 ) d Log( ) rcg C 5) 6) d rcg ( 9 ) ( ) ( ) C ( ) rcg C d Log

61 Procedmenos de negrcón 69 d 6 7) Log( ) Log( ) rcg C 8) 9) ) ) d Log rcg ( )( ) ( )( )( ) 8 d Log Log Log C d Log Log C ( ) 6 d Log Log C ( ) ( ) C ) d Log rcg C ) d ( )( ) Log Log rcg C 5 9 ) d Log Log C 5 6 d 5) Log ( ) rcg( ) C rcg

62 7 Inroduccón l cálculo negrl 6) ( ) ( ) 5 d Log ( ) C 7) 8) d Log Log C ( ) 5 8 d Log Log 8 C ( )( 8) 7 Log 5 8 9) d Log( ) Log 5 5 C ) ) d Log ( ) ( ) ( ) d 7 Log Log C 7 7 ( ) C

63 Cpíulo 5 Inegrcón de funcones rgonomércs sen cos cos sen d sen cos

64 Cpíulo 5 Inegrcón de funcones rgonomércs 5.. Inroduccón En ese cpíulo rremos el prolem de l negrcón de funcones rconles que conengn solmene funcones rgonomércs. El cso más generl en que dchs funcones son rrconles se verá en el prómo cpíulo. A pesr de ello, lgunos cmos de vrles esuddos quí pueden ser váldos mén cundo prezcn funcones rrconles. Pr l resolucón de negrles de funcones rconles que conengn funcones rgonomércs, es necesro conocer lguns de ls dsns relcones más hules que esen enre ls funcones rgonomércs, de ls que hcemos un reve relcón: ) sen cos g sec cog cosec ) cos sen cos cos ) sen sencos cos cos sen π ) sen cos 5) sen cosy [ sen( y) sen( y) ] sen seny cos [ cos( y ) ( y) ] cos cosy cos [ cos( y) ( y )]

65 Inegrcón de funcones rgonomércs Cmos de vrle Vmos resolver negrles de funcones rconles de funcones rgonomércs, ls que denoremos en generl por R(sen, cos), medne un sere de cmos de vrle que nos mosrrán que l funcón R(sen, cos) es negrle de mner sencll. Con esos cmos de vrle, psremos un funcón negrle de mner nmed o un funcón rconl de ls esudds en el cpíulo neror, quedndo el prolem resuelo de un form u or. L eleccón del cmo de vrle que resuelve un negrl del po rdo quí dependerá de cómo se l funcón R(sen, cos). Además, un vez elegdo el cmo de vrle que prezc más propdo, deeremos oener ls epresones de sen y cos en funcón de es nuev vrle (y que culquer or funcón rgonomérc se puede epresr fáclmene en érmnos de ess dos) sí como del érmno d en funcón de l dferencl de l nuev vrle. Vemos los dferenes cmos de vrle que podremos plcr: A) Cmo g. Ese cmo de vrle sempre se puede ulzr; pero, en generl, cundo se pued relzr lguno de los oros cmos que veremos más delne, resulrá en un negrl más sencll resolver. Pr el cálculo de sen y cos en érmnos de, usmos ls fórmuls del ángulo dole y l guldd fundmenl de l rgonomerí: ( / ) cos( / ) ( / ) cos ( / ) sen sen sen g g ( / ) ( / ) sen ( / ) sen ( / ) ( / ) cos ( / ) cos cos sen g g ( / ) ( / ) cos Fnlmene, pr clculr d dervmos memro memro l guldd dd por el cmo de vrle y despejmos, oenendo que:

66 76 Inroduccón l cálculo negrl d d Con ese cmo l negrl orgnl qued de l form: d R ( sen, cos) d R, que resul en un negrl de un funcón rconl del po de ls vss en el cpíulo neror. Ejemplo d I sen d d Log C Log g(/) C No Pr los sguenes cmos de vrle necesmos recordr los concepos de smerís pr funcones de dos vrles, generlzdos de mner nurl de los nálogos pr un vrle: f(, y) es mpr en s f(, y) f(, y) f(, y) es mpr en y s f(, y) f(, y) f(, y) es pr en e y s f(, y) f(, y) En nuesro cso, denfcremos l funcón de dos vrles como l funcón rconl de funcones rgonomércs, es decr, f(, y) R(sen, cos). Cd un de ess res smerís d lugr un cmo de vrle dsno. B) S R(sen, cos) es un funcón pr en sen y cos, es decr, se ene que R(sen, cos) R(sen, cos), enonces el cmo relzr es de l form: g. Ulzndo ls relcones enre sen, cos, y g, oenemos: g cos cos

67 Inegrcón de funcones rgonomércs 77 sen g cos sen d Fnlmene, dervndo memro memro, g d A pesr de ls epresones rrconles que precen en l oencón de ls epresones de sen, cos, en funcón de l nuev vrle, éss desprecen en l negrl que resul un vez relzdo el cmo de vrle, dedo l smerí pr en sen, cos, y l po de opercones (producos) que precen. Un cso prculr serí: I m n sen cos d (m,n de gul prdd) m d m n ( ) ( ) m m n ( ) d, donde Ejemplo m n es un enero. cos I d d sen d ( )( ) Es negrl es del po de ls esudds en el cpíulo neror, como cocene de polnomos en. Aprecen dos prejs de ríces complejs conjugds smples como ceros del denomndor, por lo que, plcndo el méodo de frccones smples, resul en un descomposcón del po: ( )( ) M N P Q donde, ponendo denomndor común e gulndo los numerdores que resuln, llegmos l ssem que nos proporconrá el vlor de ls consnes, sn más

68 78 Inroduccón l cálculo negrl que gulr los coefcenes de los érmnos del msmo grdo mos ldos de l guldd: : MP : NQ : MP : NQ Resolvendo: M, N, P, Q Así, l negrl qued: d I d d d ( ) rcg ( ) rcg C ( g ) rcg C C) S R(sen, cos) es mpr en cos, es decr, R(sen, cos) R(sen, cos) enonces: R ( sen, cos) cos cos d R ( sen, cos) cos d donde R (sen, cos) es pr en cos, y hcendo el cmo sen, llegmos l negrl de un funcón rconl de ls esudds en el cpíulo neror. De mner sencll, con ese cmo se oene que: cos, d d Como en el cso neror, no precerán funcones rrconles en l nuev negrl, dedo l mprdd de l funcón cos. Un cso prculr, con n mpr, serí:

69 Inegrcón de funcones rgonomércs 79 m n m I sen cos d ( ) n d m ( ) n d que es negrle de mner sencll, pueso que s n es mpr, n es pr, n y sí, es enero. Ejemplo I d cos ( ) d d ( ) Ls ríces del denomndor de ese cocene de polnomos son reles doles,,, por lo que, plcndo el méodo de descomposcón de fccones smples, llegmos que: ( ) A B ( ) C D ( ) Ponendo denomndor común: ( )( ) B( ) C( ) ( ) D( ) A Dndo vlores l vrle, los de ls ríces reles dsns, y oros dos más de mner rrr, se lleg l ssem cuy solucón son los vlores de ls consnes deermnr: : B : D : A B C D : 9 9A C Resolvendo:

70 8 Inroduccón l cálculo negrl A, B, C, D Así, l negrl qued de l form: d d d d I ( ) ( ) ( ) sen Log sen sen sen C Log ( ) ( ) ( ) C D) De form smlr l cso neror, s R(sen, cos) es mpr en sen, es decr, s R(sen, cos) R(sen, cos), el cmo de vrle relzr será de l form cos, pueso que: (, cos) R sen d R ( sen, cos) sen sen d R ( sen, cos) donde R (sen, cos) es pr en sen. Así, como en el cso neror, se oene de mner nmed que: d cos, sen, d d Un cso prculr serí, con m mpr: I sen m cos n ( ) n d cos sen n m d m sen d

71 Inegrcón de funcones rgonomércs 8 que es negrle de form sencll, pueso que, s m es mpr, m es pr, m y, por no, es enero. Ejemplo cos I sen cos d sen ( ) d d ( ) ( ) d ( )( ) d ( )( ) Ls ríces del denomndor son,, reles smples, y un prej de complejs conjugds smples. De nuevo, el méodo de frccones smples nos proporcon l sguene descomposcón: ( )( ) A A B C D ( )( ) B( )( ) ( C D)( ) ( )( ) Dndo vlores l vrle, resul el ssem: : : : : B A A B D 5A 5B 6C D cuy únc solucón es: A, B, C, D

72 8 Inroduccón l cálculo negrl Por lo que, l negrl orgnl se puede descomponer como: I d d d Log Log Log C Log C Log sen Log C cos cos C co 5.. Trnsformcón en sums Esos cmos de vrles que hemos vso no son, ovmene, l únc posldd que ese pr resolver negrles rconles de funcones rgonomércs. En generl, merece l pen esudr de mner reve l funcón que queremos negrr, por s l plccón de lgun de ls relcones rgonomércs conocds nos perme reducr dch funcón de form sencll or funcón cuy negrcón se mucho más rápd. Además, no ods ls funcones rconles de funcones rgonomércs precen en l form en l que podemos plcr lguno de los cmos de vrle comendo. Por ejemplo, s en l funcón negrr precen rzones rgonomércs de ángulos dsnos, un prmer pso necesro consse en psrls ods l msmo ángulo. En ese cso, ls ecucones que nos relconn los producos de rzones rgonomércs de ángulos dsnos con sums de rzones rgonomércs pueden resolver el prolem: ) sen ( m ) sen( n) d cos[ ( m n) ] d cos [( m n) ] d ) sen ( m ) cos( n) d sen[ ( m n) ] d d sen[ ( m n) ]

73 Inegrcón de funcones rgonomércs 8 c) cos ( m ) cos( n) d cos[ ( m n) ] d d cos[ ( m n) ] Nóese que, unque ls rzones rgonomércs que precen sumndo mén se referen ángulos dsnos, l dferenc fundmenl esr en que, menrs ls negrles de producos no se pueden seprr, ls negrles de sums sí pueden hcerlo en sums de negrles, por l lneldd de l negrl, precendo de es form los ángulos dsnos en negrles dsns, lo que, ovmene, no es nngún prolem. 5.. Prolems resuelos sen ) I d { g(/) } d sencos ( ) d d d ( ) ( ) ( ) Ls ríces del denomndor son reles smples; por lo no, el méodo ulzr será el de frccones smples. A B ( ) A( ) B A, B d d I Log Log C Log g(/) Log g(/) C d cos ) I g d { g(/) } sen cos

74 8 Inroduccón l cálculo negrl d ( )( ) d Ls ríces del denomndor son dos rrconles y ors dos complejs conjugds, ods ells smples. S plcmos el méodo de frccones smples pr descomponer es funcón, deeremos rjr con números rrconles. Anes de segur delne, proemos oro cmo de vrle dsno de ese generl. Osérvese que l funcón negrr es pr en sen, cos, por lo que podemos nenr el cmo de vrles g. d d I { g } g d ( )( ) Aunque en ese cso, mén plcremos el méodo de descomposcón de frccones smples, ls ríces del denomndor hor son un ener, y un prej de complejs conjugds, ods smples. A dferenc del cmo de vrle neror, hemos slvdo operr con números rrconles. ( )( ) A B C Ponendo denomndor común, oenemos que: A( )(B C)( ) A A B B C C Igulndo los coefcenes de los érmnos del msmo grdo, oenemos el sguene ssem: cuy solucón es: : A B : B C : C

75 Inegrcón de funcones rgonomércs 85 A, L negrl orgnl quedrá como: B, C d I d Log Log rcg C Log g Log g C d d ) I { g(/) } sen cos 5 5 d d d d d rcg 5 C 5 g( / ) 5 rcg 5 C sen ) I d { g(/) } cos sen d d ( )( ) ( )( ) d

76 86 Inroduccón l cálculo negrl d ( )( ) Un vez más, ls ríces del denomndor nos permen plcr el méodo de descomposcón de frccones smples: ( )( ) A B C A A B B C C Igulndo los coefcenes de los érmnos del msmo grdo, oenemos: cuy solucón es: L negrl qued como: : A B : B C : A C A, B, C d I d Log Log rcg C Log g( ) ( / ) Log g C sencos cos 5) I sencos d { g }

77 Inegrcón de funcones rgonomércs 87 ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d En ese cso, el denomndor posee un prej de ríces complejs conjugds doles, por lo que es necesro plcr el méodo de descomposcón de Herme: ( ) ( ) d d M N P Q Relzndo l dervd del cocene, ponendo denomndor común e gulndo los coefcenes de los érmnos del msmo grdo, llegmos l sguene ssem lnel que nos proporconrá el vlor de ls consnes: 5 : M P M N Q : : M N P : M N Q : M N P : N Q cuy únc solucón resul ser:

78 88 Inroduccón l cálculo negrl,, M, P, Q 5 Llevmos esos vlores l negrl orgnl, con lo que: I ( ) 5 d d ( ) rcg Log d Log Clculemos es nuev negrl por seprdo: I d d 8 d rcg C 5 Por no, l negrl I quedrá de l sguene form: I rcg Log( ) ( ) Log 5 5 rcg 5 C I ( g ) Log g g g 5 g rcg C 5

79 Inegrcón de funcones rgonomércs 89 6) I d cos sen sen( cos ) cos d sen d ( cos) sen d sen cos d cos sen C Log 7) I d { Log Log d d } d d d ( ) Log C 8) I Log Log Log Log C sen ( / ) cos( 5 / ) sen d Como ls rzones rgonomércs que precen en l negrl esán referds ángulos dsnos, el prmer pso, nes de pensr en lgún cmo de vrle, dee ser nenr psr es epresón or gul donde ls nuevs rzones rgonomércs esén referds l msmo ángulo. Ulzmos pr ello ls fórmuls que relconn producos con sums de funcones rgonomércs. sen AcosB [ sen( A B) sen( A B) ] sen( ) cos( 5 ) ( sen sen) sen sencos sen sen sencos cossen ( ) sen cos sen sencos sencos sen sen sen sen sen ( sen ) ( )

80 9 Inroduccón l cálculo negrl Así, enemos que: I sen sen d sen d sen d sen I sen d sen sencos sen ( sen ) cos d sen d d d { sen cos d d } du u d du u Es úlm negrl l descomponemos por el méodo de frccones smples: u A u B u A ( u ) B( u) u A, B Por no, I Log u u Log u C Log C u Log C Fnlmene, sen I Log C sen

81 Inegrcón de funcones rgonomércs Inegrcón por recurrenc Veremos quí un écnc generl de negrcón, llmd negrcón por recurrenc, en el cso prculr que nos ocup en ese cpíulo, es decr, pr funcones rconles que conengn funcones rgonomércs. Es écnc se plc pr el cálculo de negrles de funcones que dependn de lgún prámero, epresndo l negrl desed en érmnos de or de smlr enuncdo en l que el prámero hy dsmnudo. Un vez consegud es relcón, srá plcr recurrenc pr poder epresr l negrl orgnl en funcón del prámero y de or negrl que y no coneng dcho prámero. Ejemplo I m, n m n sen cos d Pr clculr es negrl, ommos pres de l sguene mner: S m < y n > : n u cos m dv sen cos d du n ( n ) cos ( sen) m sen v m d Además, enendo en cuen que oenemos m sen m sen ( cos ), n I m, n cos sen m m n m cos n m sen d cos n sen m m n n sen m cos d m n m sen m cos n d cos n sen m m n m I m,n

82 9 Inroduccón l cálculo negrl n m I m, n Despejndo I m, n en es guldd, resul que: I m,n sen cos m n n m n m n I m, n S m > y n < : m u sen n dv cos sen d du ( m ) m sen cos d n cos v n Procedendo nálogmene, llegmos que: cos sen m n m m n n m I m,n I m,n S m < y n <, en lugr de despejr I m, n, se despejn I m, n o I m,n En culquer de ls res poslddes, plcndo de form sucesv l negrcón por pres cd nuev negrl que v precendo, odo se reduce clculr I m,, o I, n. Vemos cómo se clculrín éss úlms: m m sen d I, Elegmos negrcón por pres, de l sguene mner: m u sen dv sen d du ( m ) m sen cos d, de modo que enemos v cos

83 Inegrcón de funcones rgonomércs 9 m ( ) m cos sen m I, sen m cos d y, como, de nuevo, sen m cos sen m se ene que l guldd neror qued como: I, m m ( sen ) sen sen m ( ) m ( ) m cos sen m sen d m m cos sen ( m ) I m, ( m ) I m, sen m d Despejndo I m, de es guldd: m cos sen m m I m, m m I, De nuevo oenemos un recurrenc, pero, dferenc del cso neror, és sólo depende de un prámero, y srá conocer el vlor de I,, o de I,. En culquer de los dos csos, resuln en negrles nmeds, y que: d C, I, sen d cos C I, Pr el cálculo de lleg que:,n I cos n d, procedendo de mner nálog, se, n I cos n d sen cos n n n n cos n d Smlrmene, srá conocer el vlor de I,, o de I,. En culquer de los dos csos, mén resuln en negrles nmeds, y que:

84 9 Inroduccón l cálculo negrl d C, I, cos d sen C I, Ejerccos propuesos d ) Log g C sen ) ( ) ( ) d g Log cos g C ) ) 5) d g rcg sen cos d g rcg 5 cos ( ) sen d sen g ( ) ( ) C C C g cos 6) d Log C cos cos d cos 7) Log C sencos cos cos cos cos sen 6 8) d rcg( sen) C

85 Inegrcón de funcones rgonomércs 95 sen 5 9) d g g C 6 cos 5 d ) C sen g g sen ) cos d sen C g ) g d g C cos 5 ) sen cos d cos C 5 5 ) g d g g Log cos C 5) d ( sen cos) C g 6) d ( g ) sen Log g g Log g C cos 7) d sen sen Log sen C sen 8 cos sen 5 8) d Log C sen 6sen 5 sen 9) ( ) ( ) sen cos g d Log sen cos g C

86 96 Inroduccón l cálculo negrl cos ) d sen cos ( ) g( ) g ( ) g Log rcg sen ) d Log g( ) sen cos 5 ( g( ) ) C 9 Log g 5 ( ) Log g ( ) C g ) Log sen cos g( ) d ( ) C cos ) d sen rcg g C sen ) d cos Log g C g sen cos 5) d cos sen sen Log C sen cos sen 6) d sen cos sen Log sen sen 5 Log 5 sen 5 C 7) rcsen( g) C cos d cos

87 Inegrcón de funcones rgonomércs 97 d g 8) rcg C sen cos 7 9) sen cos d cos cos C 7 d sen ) rcg( g) C cos sen ) d rcg C sen 6sen ) sen d Log cos cos cos C cos cos ) sen cos ( cos cos ) d cos Log rcg cos 5 cos cos 5 cos sen ) d Log C sen sen sen sen sen ( ) C 5) sen ( ) cos( 5 ) sen d Log sen sen C

88 Cpíulo 6 Inegrcón de funcones rrconles R(, p / q, r / s,..., u / v ) d d d

89 Cpíulo 6 Inegrcón de funcones rrconles 6.. Inroduccón En ese cpíulo rremos de resolver negrles de funcones rrconles de polnomos. En el cso más generl de funcones rrconles que fecen ors funcones culesquer, se podrán nenr prmero procedmenos de negrcón pr reducr ess negrles ess que vmos esudr. En generl, se rrá de «elmnr» ls ríces de l funcón negrr rvés de lgún cmo de vrle propdo. Ovmene, lguns funcones con ríces en su formulcón poseen un prmv de mner nmed, en ls que no será necesro «elmnr» dch ríz. 6.. Inegrles rrconles smples En prmer lugr, vmos conemplr el cso más sencllo, en el que ls funcones rrconles fecen solmene monomos en l vrle, permendo demás que ls ríces que prezcn posen índces dsnos. Así, p / q r / s u / v se I R(,,,..., ) d, donde por R denomos l funcón en l que vn precer ls ríces de. Pr que desprezcn ods ls ríces de dsnos índces l vez, s con relzr el cmo de vrle: N, donde N m.c.m.(q,s,...,v), y, por no, N d N d Ejemplo I d En ese cso, el mínmo común múlplo de odos los índces dsnos que precen en l funcón negrr es N 6, y, por lo no, hcendo el cmo 6 de vrle,, con lo que d 6 5 d, l negrl I qued de l form:

90 Inroduccón l cálculo negrl I d 6 L funcón que resul negrr es un cocene de polnomos donde el grdo del numerdor es esrcmene myor que el del denomndor. El prmer pso será, como vmos en el cpíulo, relzr l dvsón ener de polnomos. Un vez relzd, llegmos que I qued: d 6 d I 6 ( ) 5 d Log / 6 6 rcg C 7 / / 6 / 6 6 / / 6Log 6.. Inegrles rrconles lneles 7/ / 6 / 6 6rcg( ) C Consderremos hor el cso en que l funcón negrr depend de, y lo sumo de cocenes de polnomos de grdo uno (lneles), no en el numerdor como en el denomndor. De nuevo, ls ríces que fecen esos érmnos pueden poseer índces dsnos. Es decr, I R, c d p / q, c d r / s,..., c d u / v d De form smlr l cso neror, con el ojeo de rnsformr l negrl orgnl en or donde l funcón negrr y no coneng ríces, relzmos el cmo de vrle: c d N, donde N m.c.m.(q,s,...,v)

91 Inegrcón de funcones rrconles Al gul que en el cso neror, ese cmo grnz que en l nuev negrl ods ls ríces hn desprecdo, llegndo un funcón rconl de ls del po esuddo en el cpíulo. Nóese que, dferenc del cso neror, no hemos escro l relcón generl que perme cmr d por d, dedo su epresón demsdo engorros, en érmnos de ls consnes. Desde luego, en l prácc hrá que enconrr es relcón, sendo sne sencll de hllr. Ejemplos ) I d / ( ) ( ) / En ese ejemplo, denfcmos,, c, d, con lo que el cmo de vrle relzr con N 6, será: 6, de donde se 5 deduce de mner nmed que d d. Con ese cmo l negrl quedrá: I 5 d d De nuevo, el cocene de polnomos que resul pr negrr posee grdo del numerdor myor que el del denomndor, por lo que, relzndo l dvsón ener de polnomos y llevándol l negrl, resul en: d d Log C I ( ) / ( ) / 6 / 6 ( ) Log ( ) ) I d C En ese cso, enemos que,, c, d, por lo que el cmo que deemos relzr es de l form:, y, sí, d d, quedndo l negrl como:

92 Inroduccón l cálculo negrl ( ) I d ( ) d ( ) 8 6 ( ) d 8 6 ( 8 6) d 9 / 6 7 ( ) / 9 7 / C d 8 / 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ) I d 6 6 / Es negrl ene l form vs en el prdo 6.. Nóese que, s elegmos,, c, d, culquer negrl de l form epresd en 6. se puede epresr en l form vs en 6.. De hecho, el cso 6. no es nd más que un cso prculr y prevo l cso más generl enuncdo quí. De culquer de ls forms, el cmo de vrle necesro es como sgue: 6 d 6 5 d De ese modo, l negrl dop l epresón: I 6 d 6 d Relzndo l dvsón ener de polnomos, quedrá reducd : I 6 ( ) d d 6 ( )( ) Clculmos es nuev negrl, que ene l form vs en el cpíulo, como funcón rconl, por seprdo:

93 Inegrcón de funcones rrconles I d ( )( ) Como veímos en dcho cpíulo, el prmer pso es clculr los ceros del denomndor (y que el grdo del numerdor,, es menor esrco que el del denomndor, ). Esos ceros resuln ser, rel y smple, y un prej de números complejos conjugdos mén smples. Por no, l descomposcón efecur es rvés del méodo de frccones smples: ( )( ) A B C A A B ( )( ) B C C Colocndo denomndor común y oenendo un ssem lnel de ecucones pr clculr el vlor de ls consnes ndeermnds, resuln en: Así, A, B C I d d Log Log rcg C Llevndo ese resuldo l negrl orgnl I, enemos que: 6 I / 6 rcg C 5 6 Log / 6 Log Log / Log( ) / 6 / 6 6 / / / 6 rcg ( ) C

94 Inroduccón l cálculo negrl ) I d Un vez más, el cmo de vrle relzr en es negrl es: 6 d 6 5 d de donde oenemos que: I d 6 5 d que, relzndo l dvsón ener de polnomos, d: I 6( ) / 6 7/ d d rcg C 5 / 6 / 6 6 / / 6 6rcg( ) C 5) I d El cmo de vrle hor qued: d d, de modo que l negrl se convere en: I d d d ( ) d Log C / / Log C un vez relzd l dvsón ener de polnomos, y deshecho el cmo de vrle.

95 Inegrcón de funcones rrconles 5 6) I d El cmo de vrle en ese cso qued: l negrl se rnsform en: d d, con lo que I d 5 6 d d ( ) / 5 5 / / d Log C / / / Log C De nuevo hemos necesdo relzr l dvsón ener de polnomos durne el proceso. 7) I ( ) d Es funcón negrr ene l form más generl dd en 6., donde denfcmos,, c, d. Con esos vlores, el cmo de vrle qued de l form: que perme despejr l vrle en funcón de l nuev vrle u: u u u

96 6 Inroduccón l cálculo negrl Con es úlm relcón, el cálculo de d resul más sencllo: d u ( u ) du Llevndo odo el cmo compleo l negrl orgnl, oenemos: I u u u u u ( u ) u ( u ) du du u du 6 u C 8 C 6.. Inegrles rrconles de polnomos de grdo dos no compleos En ese prdo vmos consderr el cso prculr en que sólo prezc un ríz cudrd fecndo úncmene polnomos de grdo sn érmno de grdo uno. Veremos ese cso en res poslddes, según el sgno que posen los dos érmnos del polnomo de grdo que esá fecdo por l ríz cudrd. ) Supongmos, en prmer lugr, que el sgno del érmno de grdo es negvo y el de l consne, posvo. Es sucón se puede epresr como: I d o I d

97 Inegrcón de funcones rrconles 7 según l ríz prezc mulplcndo o dvdendo. En culquer de ls dos poslddes el cmo de vrle que nos perme psr un negrl de lguno de los pos vsos hs hor, es decr, sn ríces en ell, es de l form: sen de donde se deduce que d cos d Aplcndo ese cmo de vrle ls dos poslddes, llegmos que: I ( / ) cos sen cos d d cos d C rcsen C I sen cos d cos d cos d sen C rcsen C sen sen cos Noemos que déncos resuldos se huern oendo cmndo el ppel de l funcón sen por cos, es decr, relzndo el cmo de vrle: cos, con lo que d sen d ) En segundo lugr, consderemos el cso en que el sgno del érmno de grdo se posvo y el de l consne, negvo, en culquer de ls dos poslddes nálogs l cso neror, es decr:

98 8 Inroduccón l cálculo negrl I d o I d Con un rzonmeno smlr l del cso neror, el cmo de vrle que plcremos quí es: sen de donde: cos d d sen Aplcndo ese cmo de vrle ms negrles, llegmos que: I cos sen d ( ) sen d sen que resul ser un negrl rconl de funcones rgonomércs, rd en el cpíulo 5. I cos ( ) ( cos sen ) d d sen sen que de nuevo ene l form vs en el cpíulo 5. Tmén en es sucón se puede consderr como cmo de vrle: cos oenéndose resuldos olmene nálogos. c) Por úlmo, vemos el cso en que el sgno de los dos érmnos del polnomo sen posvos, es decr: I d o I d

99 Inegrcón de funcones rrconles 9 En es sucón, el cmo de vrle orendo consegur el msmo efeco que en los csos nerores será: que, dferencndo, d lugr : d g ( g ) d d Ese cmo de vrle plcdo ls dos forms en que puede precer l negrl resul en: cos I cos d g d cos g d cos d cos I En culquer de los dos csos, de nuevo llegmos un negrl de ls esudds en el cpíulo 5. No Los cmos de vrle que hemos vso no son los úncos posles pr relzr en ess sucones. Cmos nálogos ulzndo ls funcones hperólcs nos llevrín sucones smlres. Tmén pueden plcrse los conocdos como cmos de Euler, que consguen llegr l negrl de un funcón sn ríces en ell. Ejemplos ) I d 8 5 { 5 8 sen 5 d 8 cos d } 8 cos d 5 8cos 5 C 5 rcsen 5 C 8

100 Inroduccón l cálculo negrl En ese ejemplo hemos plcdo el cmo vso en ), dedo que el sgno del coefcene de grdo es negvo y el de l consne posvo. ) I 9 ( 5 ) d { 5 sen d cos d } 9 9sen cos 9 9 sen C d 9cos d 9 ( cos ) d 5 sen sencos 9 5 Como se ene que ( ) I rcsen 5 rcsen ( 5 ) ( 5 ) C C Noemos quí que el polnomo que prece denro de l ríz esá grupdo pr que no prezc el érmno de grdo, que es l hpóess que esmos rjndo en ese cso. Tl sucón se generlzrá en el sguene prdo. Por lo demás, el cmo de vrles elegdo h sdo el propueso en el cso ) de nuevo. ) I d ( ) Al gul que en el ejemplo neror, el polnomo de grdo que esá fecdo por l ríz y se encuenr grupdo, socándose l sucón propues en el cso ), donde el coefcene del érmno de grdo es posvo y l consne, negv. Por lo no, el cmo de vrle relzr es:

101 Inegrcón de funcones rrconles 7 ( 9 ) sen cos d sen 7 d con lo que oenemos: I 7 cos sen ( 6 sen ) 6 d d 7 sen Es negrl resul ser del po esuddo en el cpíulo 5. L funcón rgonomérc que prece es mpr en l vrle sen, por lo que relzmos un nuevo cmo de vrle de l form: cos u sen u, d du u Con ese nuevo cmo se ene que: I du 7 u Ahor, l funcón negrr resul ser un funcón rconl de ls esudds en el cpíulo. Como los ceros del denomndor son reles smples, plcremos el méodo de descomposcón de frccones smples. Un vez clculds ls consnes ndeermnds, oenemos que: I du du 7 u 7 u Log u Log u C 7 7 u cos Log C Log C 7 u 7 cos

102 Inroduccón l cálculo negrl Log 7 Log ( 9 ) 6 ( 9 ) C ( 9 ) 7( 9 ) ( 9 ) 7( 9 ) 6 6 C Ese resuldo puede smplfcrse s rconlzmos denro del Logrmo, quedndo: I Log 7 7 ( 9 ) 7( 9 ) 6 6 C Log 7 ( 9 ) 7( 9 ) 6 C 7 En l úlm epresón hemos plcdo propeddes de l funcón Logrmo y hemos grupdo l consne de negrcón C con el vlor consne del Logrmo del denomndor Inegrles rrconles de polnomos de grdo dos compleos En ese prdo vmos consderr el cso más generl, en el que los polnomos de grdo dos que precen en l funcón negrr fecdos por un ríz cudrd sen compleos, es decr, posen érmno de grdo uno dsno de cero. El proceso relzr quí será rnsformr l funcón negrr en un del po esuddo en el prdo neror, rvés de lgún cmo de vrle. L sucón hor será, pues, clculr negrles de funcones de l form:

103 Inegrcón de funcones rrconles I d c o I c d donde,,c son números reles. El ojevo es psr del polnomo compleo de segundo grdo oro de grdo dos sn érmno de grdo uno. Pr consegur ese propóso, reorgnzmos el polnomo orgnl complendo cudrdos, en form de sum o dferenc de cudrdos, de l sguene mner: c c, s > S <, s scr fcor común, pr psr un polnomo donde el coefcene drecor es posvo y plcr l descomposcón neror. Es decr, c ( c), donde >, y ese úlmo polnomo lo epresmos como: c c en defnv, se oene pr < : c c En el prmer cso, s relzr el cmo de vrle: d d y, en el segundo, el nálogo: d d

104 Inroduccón l cálculo negrl pr llegr un negrl de ls esudds en el prdo neror. Resumendo, c s llmmos k, oenemos lgun de ls sguenes negrles, l relzr los cmo de vrle señldos pr cd cso. Osérvese que ommos ls consnes que precerán mulplcndo o dvdendo y que sldrín fuer de l negrl por l propedd de lneldd de l msm. d k, d k, d k k d, k d, k d que corresponden lguno de los csos esuddos en el prdo neror. Ejemplos ) I d 5 d 5 d 9 6 d 6 6 d ( / ) Ahor, relzmos el cmo de vrle cul l negrl I qued: d d, con lo I d donde el érmno de grdo uno h desprecdo l compler los cudrdos. Es nuev negrl es del po esuddo en el prdo neror. Como vmos llí, el

105 Inegrcón de funcones rrconles 5 cmo de vrle efecur hor es: que llegmos que: cosu d du, con lo senu sen u I cosu sen u cosu sen du ( ) du sen u cosu senu u du senu qued de l form esudd en el cpíulo 5, como funcón rconl de funcones rgonomércs. Como dch funcón es mpr en l epresón senu, el cmo de vrle relzr hor será de l form cosu z, y, por no, senu z, y du dz, con lo que I se rnsform en: z I dz dz dz z z z z Log Log z C Nóese que l negrl l que se lleg, un vez relzdo ese úlmo cmo de vrle, se reduce un funcón rconl, cocene de polnomos, esudd en el cpíulo. Aplcdo el méodo de descomposcón de frccones smples, se oene de mner sencll el resuldo mosrdo. Por úlmo, es necesro deshcer odos los cmos de vrle efecudos durne el proceso, hs dejr el resuldo en funcón de l vrle orgnl. z cosu sen u I Log C Log C Log C z cosu sen u Log C Log C Log C Log C

106 6 Inroduccón l cálculo negrl Log C 6 6 Log C Log 5 C ) I d 5 d 5 d ( ) d / d ( ) que:, con el Relzmos el cmo de vrle ( ) d d I d g u du du g u cosu Un vez relzdo el cmo de vrle, gu d ( g u)du. De nuevo llegmos un funcón rconl de funcones rgonomércs, que resul ser mpr en el érmno cosu, por lo que relzmos un nuevo cmo de vrle de l form: senu z cosu z, y du dz z

107 Inegrcón de funcones rrconles 7 I dz z dz Log C z z dz z z Por úlmo, deshcemos odos los cmos de vrles, oenendo: senu cos u I Log C Log C u sen cos u Log ( ) ( ) C Log Log C Log C Log ( ) ( ) C Log ( ) 5 C C Log ( ) 5 C ) I d d 9 6 d

108 8 Inroduccón l cálculo negrl d rcsen C ) I d d ( ) d d Hcemos el cmo de vrle d d, con lo que: I du 6 d 6 g u ( g u) du 6 cos u un vez relzdo un nuevo cmo de vrle de l form: gu. L funcón negrr l que se lleg es rconl de funcones rgonomércs, mpr en el érmno cosu, por lo que el cmo de vrle relzr hor será: senu z cosu z, y du dz. De es z mner I 6 dz, que resul en un cocene de polnomos, l que, ( z ) según el cpíulo, podemos plcr el méodo de descomposcón en frccones smples, resulndo: 6 A ( z ) z ( z ) z ( z) B Colocndo denomndor común y resolvendo el ssem lnel que nos proporcon el vlor de ls consnes ndeermnds, éss omn los sguenes vlores: A B C D C D

109 Inegrcón de funcones rrconles 9 Llevndo esos vlores l negrl y plcndo l lneldd de l msm, se ene que: I ( ) ( ) z dz z dz z dz z dz C z z z z C z z z z Log Log Fnlmene, deshcemos odos los cmo de vrles relzdos durne el proceso de negrcón pr dr el resuldo fnl en érmnos de l vrle orgnl. I C C u u u u Log sen sen sen sen Log C Log C Log C Log C Log 6.6. Inegrles rrconles compuess Veremos en ese prdo lguns negrles de funcones compuess por l ríz cudrd de un polnomo compleo de grdo dos, compñd de lgún

110 Inroduccón l cálculo negrl oro polnomo colocdo en l funcón de mner prculr. En concreo, vmos esudr dos csos prculres: ) I P ( ) c d donde,,c son números reles y P() es un polnomo de grdo culquer. El ojevo es enconrr un descomposcón de es funcón rvés de l cul el prolem se reduzc clculr l negrl de lgun funcón esudd nerormene. En ese cso, ulzremos l sguene relcón cuy demosrcón ommos: ( ) P c ( Q( ) c ) m c donde Q() es un polnomo de coefcenes ndeermndos de grdo conocdo como grdo Q() grdo P(), y m es un número rel consne mén deermnr. Los coefcenes ndeermndos de Q() y el vlor de m se deermnrán rvés de los méodos de coefcenes ndeermndos que se veron pr el cso de l descomposcón de funcones rconles. Ejemplo I 7 d [ 5] ( ) 5 ( )( ) m 5 5 m 5 Colocndo denomndor común e gulndo los numerdores que resuln, llegmos que:

111 Inegrcón de funcones rrconles 7 5 m Igulndo los coefcenes de los érmnos del msmo grdo, oenemos el sguene ssem lnel, que nos drá el vlor de ls consnes ndeermnds: : : 6 : 7 5 m cuy solucón únc resul ser: Por no, enemos:, 9, m I 9 5 d 5 Llegmos sí un negrl del po esuddo en el prdo neror: I d 5 d 5 d ( ) d d d d Log C Nomos que ese resuldo se ouvo en el ejemplo del prdo neror. Por no,

112 Inroduccón l cálculo negrl 9 I Log ( ) ( ) C Log ( ) 5 C ) En ese cso, vmos esudr negrles de l form I ( A B) d n c con A,B,,,c números reles y n nurl. En es sucón, el cmo de vrles que plcremos pr conducr l negrl orgnl o en un del cso ) que cmos de ver, o en un de ls esudds en el prdo neror, es de l form: Ejemplo AX d B d A I d Idenfcndo es funcón negrr con l funcón generl dd, oenemos que A, B, n, por lo que el cmo de vrle relzr d qued de l form: d, y sí d I d, que se clsfc en el po de negrles esudds en el cso ) neror. Procedemos su descomposcón:

113 Inegrcón de funcones rrconles ( ) [ ] d d m ( ) m ( ) ( )( ) m Igulndo los coefcenes de los érmnos del msmo grdo: : : 9 : m cuy solucón únc es: 8, 9, m con lo cul: I 9 8 d I C d d rcsen Con lo cul, enemos que: I 9 C rcsen 8

114 Inroduccón l cálculo negrl Fnlmene, deshcendo el cmo de vrle, llegmos que: 9 I 9 rcsen C 8 8 rcsen C Ejerccos propuesos ) d Log ( ) C d ) Log Log C ) ( - ) 6 d Log C d ) Log C 5) d rcg C ( 5 )

115 Inegrcón de funcones rrconles 5 6) ( ) C d Log 7) ( ) C d Log 8) ( ) C d Log 9) ( ) C d Log ) ( ) C d rcsen ) C d Log ) C d ) d C 5 7 rcsen 7 7 ) ( ) C d rcsen

116 6 Inroduccón l cálculo negrl 5) d C 6) d Log C 7) d 8 rcsen C 8) d 8 79 Log 5 C 9) d rcsen C d ) rcsen( ) C ) 8 d 9rcsen C 5 ) d Log C ) d rcsen( ) C

117 Inegrcón de funcones rrconles 7 ) C d Log 5) C d 5 rcsen 6) ( ) C d rcsen 7) ( ) C d 8) C d 9) ( ) C d Log ) ( ) C d 5 Log ) ( ) C d ) C d Log 5

118 8 Inroduccón l cálculo negrl ) C d 6 rcsen ) ( ) C d Log 5) ( ) ( ) C d rcsen

119 Cpíulo 7 Inegrl defnd f() d f() d

120 Cpíulo 7 Inegrl defnd 7.. Inroduccón S y f() es un funcón defnd en el nervlo [,] y el líme de l sum de Remnn ese, enonces decmos que f() es un funcón negrle en [,] y denomos ese líme medne: n ( c ) f ( ) d lm f Llmmos negrl defnd de l funcón y f() enre y ese líme. Al número se le llm líme nferor de negrcón y l número, líme superor de negrcón. 7.. Teorem de negrldd S y f() es un funcón connu en un nervlo cerrdo y codo [,] f() es negrle en [,]. Además, el vlor de l negrl defnd es un número rel. 7.. El áre como un negrl defnd S y f() es un funcón connu y no negv en el nervlo cerrdo y codo [,] el áre de l regón lmd por l funcón y f(), el eje OX, y ls recs vercles, vene dd por el número rel: 7.. Propeddes Áre f ( ) d ) S y f() esá defnd en ( ) f d

121 Inegrl defnd ) S y f() es negrle en [,] f ( ) d f ( ) ) S y f() es negrle en [,] y c (,) con y f() negrle en [,c] y [c,] c ( ) d f ( ) d f ( ) f ) S y f(), y g() son negrles en [,] y k es un consne rel k f ( ) d k f ( ) c d d [ f ( ) ± g( ) ] d f ( ) d g( ) ± 5) Propedd de monooní de l negrl: S y f(), y g() son funcones negrles en [,] les que cumplen que f() g() [,] d d f ( ) d g ( ) d 7.5. Teorem Fundmenl del Cálculo Inegrl Hy un esrech relcón enre el cálculo dferencl y el cálculo negrl. Es relcón fue descuer, ndependenemene, por Newon y Lenz, y por es rzón se les ruye mos el descurmeno del cálculo negrl. Teorem S un funcón y f() es connu en el nervlo cerrdo y codo [,] f ( ) d F( ) F( ), donde F() es culquer funcón l que F '() f() [,]. Ese resuldo se conoce mén como Regl de Brrow.

122 Inroduccón l cálculo negrl Ejemplos ) ( ) d ) ( ) ( ) d π 8 ) sec d π [ g ] 8 ) Evlur: d Hy que ener en cuen que ( ) s s < d ( ) d ( ) d [ ] [ ] ( ) 5 5) Clculr el áre de l regón lmd por l gráfc de ecucón y, el eje OX y ls recs vercles,. Áre ( ) d Cmos de vrle pr negrles defnds S l funcón u g() ene dervd connu en [,] y ese l negrl ndefnd sore el recorrdo de g(), enonces:

123 Inegrl defnd 5 f ( ) ( g( ) ) g ( ) d f ( u ) g g ( ) du donde el cmo de vrle fec mén los límes de negrcón, que omrán hor vlores en l nuev vrle de negrcón. Ejemplos ) Clculr: I ( ) d S relzmos el cmo de vrle u du d Eso nos llev cmr mén los vlores de los límes de negrcón de l sguene mner: s u s u Por no, l relzr ese cmo de vrle, llegmos : I u du u ) Evlur: I d Relzmos el cmo de vrle: u u du d u Despejndo, Cmmos los índces de negrcón: Por no, s 5 u s u ( u ) I u u du ( ) u du

124 6 Inroduccón l cálculo negrl u u 9 6 ) Clculr: I r r Cmo de vrle: rsen d rcos d Cmo de límes de negrcón: Así, d s π r s π I / r π sen / r cos r cos d π r d / ( cos) d r π sen r π π r

125 Inegrl defnd 7 Ejerccos propuesos ) ( ) d 5 6 ) d ) e e d e π ) g d π 5) d π 6) 8 π d 6 9 7) d Log 8 8) Log( ) 8 9) ( ) 5 d Log rcg π d

126 8 Inroduccón l cálculo negrl d ) Log ) e sen ( Log) d cos ) π π 6 d cos ) d π ) π d sen rcg 5) Log( ) d 6) Log ( 5) e e d π e 7) Log ( ) e π d 8) π d cos π 5 9) π d

127 Inegrl defnd 9 ) d 7 Log ) Log( ) ) d ( 7 ) d Log ( ) 9 ) d π ( ) ) π d 5 cos π 5) π d sen π 6) π cos sen6 d 9

128 Cpíulo 8 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd f() d

129 Cpíulo 8 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 8.. Cálculo de áres en coordends cresns En es seccón vmos rr de clculr el áre de fgurs plns lmds por funcones connus epresds en coordends cresns rvés del cálculo de cers negrles defnds. Dsnguremos vros csos, de menor myor complejdd, hs llegr l sucón más generl. ) S l funcón y f() esá defnd y es connu en el nervlo [,], verfcndo que f() [,], enonces, como y semos, el áre del rpeco curvlíneo lmdo por l curv y f(), el eje OX y ls recs vercles, es gul : A f ) S l funcón y f() esá defnd y es connu en el nervlo [,], verfcndo que f() [,], enonces el áre del rpeco curvlíneo lmdo por l curv y f(), el eje OX y ls recs vercles, es gul : A Noemos que en es sucón, dedo que f() es no posv en el nervlo de negrcón, el vlor del áre es no negvo, por l propedd de monooní de l negrl. c) S y f() esá defnd y es connu en el nervlo [,] y cm de sgno un número fno de veces en el segmeno [,], enonces podemos descomponer l negrl lo lrgo del nervlo [,] en sum de negrles lo lrgo de nos sunervlos como se necesro pr segurr que en cd uno de ellos l funcón permnece con sgno consne. El vlor de l negrl ( ) f ( ) d d

130 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd defnd será posv en los sunervlos donde f(), y negv en quellos donde f(). Así, el áre del rpeco curvlíneo lmdo por l curv y f(), el eje OX y ls recs vercles, se clculrá como sum de negrles defnds de l form vs en los csos nerores ) o ), según el sgno consne que pose l funcón en cd sunervlo concreo. Es sucón puede resumrse en l sguene fórmul generl, que englo los csos nerores como prculres: A f ( ) d d) S se dese clculr el áre de l regón lmd por ls curvs y f(), y g(), connus en el nervlo [,], y ls recs vercles,, prmero se clculrán odos los punos en que se corn ls dos funcones f(), g() denro del nervlo [,]. Enonces, en cd uno de los sunervlos deermndos por esos punos de nerseccón se comprue qué gráfc se encuenr por encm de l or y se plc en cd uno de ellos l fórmul: A j ( curv que v por rr curv que v por dejo) Ese cso es el más generl, y odos los nerores se pueden ver como sucones prculres de él. L fórmul, escr en érmnos de ls funcones, quedrí como: d A f ( ) g( ) d No A veces es neresne cmr los ppeles de ls vrles e y. Con un esudo smlr, el cso generl d), podrí escrrse en es sucón como: A j ( curv de l derech curv de l zquerd ) dy

131 Inroduccón l cálculo negrl donde hor l negrcón se relzrá con respeco l vrle y, sendo, por lo no, los vlores de los límes de negrcón vlores de es vrle. Sempre que se pued es recomendle relzr el dujo de l gráfc, lo que nos servrá en l myorí de los csos pr decdr l negrcón que nos nerese, en respeco l vrle, en respeco l y. Ejemplos ) Clculr el áre de l regón lmd por l snusode y sen y el eje OX, cundo π Solucón: Pueso que sen pr π, y sen pr π π, es necesro clculr el áre como l sum de dos negrles defnds, según dchos nervlos. Es decr: A π d sen π π sen d [ ] π cos [ ] π π cos ( )() ) Clculr el áre de l regón lmd por ls curvs y, y

132 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 5 Solucón: Resolvendo el ssem formdo por: y, y, oenemos los punos de core (,), (,). Además, y v por encm de y pr vlores de en el nervlo (,). Por no: A ( ) d [ ] / [ ] 8.. Cálculo del áre en coordends prmércs Clculemos el áre de un rpeco curvlíneo lmdo por un curv dd ϕ( ) por sus ecucones prmércs:, cundo, de modo que el y ψ( ) prámero vríe enre α β, con ϕ(α), ϕ(β). Supongmos que ls ecucones prmércs defnen un funcón y f() en el nervlo [,]. Por no, el áre del rpeco curvlíneo lmdo por es funcón, el eje OX, y ls recs vercles,, puede ser clculd según l fórmul:

133 6 Inroduccón l cálculo negrl d y d Pr clculr el vlor de es negrl defnd, provechmos ls ecucones prmércs pr relzr el cmo de vrle ddo por ells, es ϕ, de donde d ϕ ( )d. Así pues, llevndo ese cmo de decr, ( ) A f ( ) vrle l negrl defnd que nos proporconrá el vlor del áre y recordndo que y f ( ) f [ ϕ( ) ] ψ( ), de ls ecucones prmércs, llegmos : A β αψ ( ) ϕ ( ) d És es l fórmul pr clculr el áre de un rpeco curvlíneo lmdo por un curv dd en coordends prmércs. Ejemplos ) Clculr el áre del domno lmdo por l elpse, cuys ecucones cos prmércs venen dds por: y sen Solucón: Clculremos sólo el áre de l md superor de l elpse y l duplcremos, dedo l smerí esene. Ese hecho se ulzrá mucho lo lrgo del presene cpíulo. Como l vrle vrí desde hs, el prámero

134 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 7 vrí desde π hs, respecvmene. Por no, l negrl defnd que nos drá el vlor del áre uscd será: π A ( sen)( sen) d sen d π π π cos d sen π sen π π d ) Clculr el áre de l regón lmd por el eje OX y un rco de l cclode ( sen) cuys ecucones prmércs venen dds por: y ( cos) Solucón: Pueso que vrí desde hs π, vrrá desde hs π. Así, l negrl defnd que nos proporconrá el vlor del áre, un vez relzdo el cmo de vrle ddo por ls ecucones prmércs, vene epresd por: π π A ( cos) ( cos) d ( cos) π π π d cos d cos d d [ sen] π

135 8 Inroduccón l cálculo negrl π cos d π π π π sen π 8.. Cálculo del áre en coordends polres Se ρ f(θ) l ecucón de un curv en coordends polres, donde f(θ) es un funcón connu pr α θ β. Deermnemos el áre del secor OAB, lmdo por l curv ρ f(θ) y los rdos vecores θ α y θ β. Sguendo un proceso smlr l relzdo en el cpíulo, dvdmos l regón de l cul queremos clculr el vlor del áre en n pres medne los rdos vecores α θ, θ, Κ, θ n β, formndo de es mner ls prcones que resuln llí. Desgnemos por θ, θ, Κ, θn los ángulos formdos por esos rdos vecores; y se ρ l longud de un rdo vecor correspondene un ángulo α culquer, comprenddo enre θ, θ. Consderemos el secor crculr de rdo ρ y ángulo cenrl θ. El áre de ese secor es gul : A ρ θ y será un promcón numérc del vlor del áre del msmo secor deermndo por l funcón ρ f ( θ). S repemos ese proceso de promcón pr odos los secores en que hemos dvddo el secor orgnl OAB, oenemos un promcón del áre ol, sn más que sumr ods ess promcones prcles:

136 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 9 A n n ρ θ n f ( α ) θ Pueso que l sum ndcd es un sum correspondene l funcón ρ f ( θ) en el nervlo α θ β, su líme cundo má θ y, por no, el vlor del áre uscd será l negrl defnd: A β α ρ dθ No Clculndo el áre del secor curvlíneo medne rpecos curvlíneos, oendrímos el msmo resuldo. Así, el áre del secor OAB será gul : Ejemplos A ρ dθ ) Clculr el áre encerrd por l lemnsc ρ cos θ. Solucón: β α Como recomendmos nerormene, relzmos un dujo de l funcón, pr deermnr vsulmene l regón de l cul queremos clculr el áre. Los vlores de θ vrrán en los nervlos [,π/], y [π/,π], donde l funcón cosθ es no negv. Además, como l funcón cosθ es smérc

137 5 Inroduccón l cálculo negrl respeco l ángulo (cosθ cos(θ)), l gráfc dee presenr dch smerí. Dremos vlores l ángulo denro de su domno, donde, demás, l funcón es connu, quedndo su represencón como se ve en l fgur. A l vs de l gráfc de l funcón, s con clculr el áre de l cur pre que se encuenr en el prmer cudrne y mulplcrl por curo. En es cur pre, el ángulo θ vrí desde hs π/, y, por consguene, por no, π A / ρ d θ π / cosθ dθ A senθ π ) Clculr el áre del círculo cuy ecucón en coordends polres es: ρ R. Solucón: Es funcón es connu pr culquer vlor del ángulo; por no, θ vrrá en el nervlo [,π]. En vs de l gráfc, plcndo smerís, A π / d R / R [ ] π π R

138 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd Cálculo del vlor medo de un funcón Se y f() un funcón defnd y connu en el nervlo [,]. Desgnmos por m el vlor más pequeño que om f() cundo recorre el nervlo [,]. Análogmene, se M el vlor más grnde. En ess condcones m f() M, pr odo en el nervlo [,]. Dvdmos [,] en sunervlos, es decr, genermos un prcón del msmo rvés de los sguenes vlores, n n < < < < Κ oenendo ls desgulddes: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c M c f m c M c f m c M c f m n n n n n n Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Sumndo memro memro: ( ) ( ) ( ) ( ) M c f m n Cundo n, se demuesr que l sere ende l negrl defnd ( ) d f. Así, hcendo el líme en ls res pres de l desguldd: ( ) ( ) ( ) M d f m Ess desgulddes muesrn que el vlor de l negrl defnd es el produco de, longud del nervlo de negrcón, por un número N comprenddo enre m y M, de donde: ( ) ( ) N d f

139 5 Inroduccón l cálculo negrl Como l funcón y f() es connu en [,], ese l menos un vlor c de l vrle l que N f(c). Se ene sí: f ( ) d ( ) f ( c) 8... Inerprecón geomérc Supongmos l funcón y f() connu en el nervlo [,], de modo que, como hemos vso nerormene, l negrl defnd I f ( ) represen el áre lmd por l gráfc de l funcón, el eje OX, y ls recs vercles,, s suponemos, sn pérdd de generldd, que l funcón es no negv lo lrgo de odo el nervlo. Por ejemplo: d En ese cso, el resuldo neror nos dce que f(c) es l lur del recángulo HA'B'K de se A'B' y de áre gul I.

140 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd Vlor medo de un funcón El vlor neror f ( c) f ( ) d, rece el nomre de vlor medo de l funcón f() en el nervlo [,]. Dch nocón se jusfc vendo que es fórmul del vlor medo de un funcón no es más que un generlzcón de l nocón de med rméc. Pr ello, descomponemos un vez más el nervlo [,] rvés de un prcón, < < Κ < n < n, y consdermos l sguene sum fn: como U n [ f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ] n Κ n U n I cundo n, se deduce que: n I [ f ( ) f ( ) Κ f ( ) f ( ) ] f ( c) n, cundo n El vlor medo de un funcón prece como el líme de l med f,,..., n. rméc de ( ) No El vlor medo de un funcón puede ser posvo o negvo. S >, el sgno de f(c) es el msmo que el de I f ( ) funcón puede ser nulo s l negrl defnd I es nul. d. El vlor medo de un 8.5. Cálculo de l longud de curv en coordends cresns Se y f() l ecucón de un curv pln en coordends cresns. Busquemos l longud del rco AB de es curv, comprendd enre ls recs vercles,. Pr ello, como hemos relzdo nerormene, consruremos un prcón del nervlo [,], enconrremos un

141 5 Inroduccón l cálculo negrl promcón l longud de l curv en cd uno de los sunervlos que proporcon l prcón, sumremos ods ess promcones pr oener un promcón l longud comple uscd y, fnlmene, psremos l líme cundo l longud del myor sunervlo de l prcón ende cero, pr enconrr l fórmul que nos perm clculr l longud de un rco de curv rvés del cálculo de lgun negrl defnd deermnd. Comenzremos, como sempre, relzndo un dujo de l funcón, que podemos suponer, sn pérdd de generldd, no negv en odo el nervlo [,]. Genermos l prcón del nervlo [,] omndo sore el rco AB los punos A, M, M,..., M,..., M n, B, cuys scss son, respecvmene,,,...,,..., n, n. Trcemos ls cuerds AM, M M,..., M n B, cuys longudes desgnremos por S, S,..., Sn, respecvmene. Oenemos sí un líne polgonl AM M... M n B nscr en el rco AB. L longud de es polgonl que será un promcón l longud del rco de curv uscd es gul : n S n S.

142 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 55 El líme l cul ende l longud de l polgonl nscr, cundo l longud de su ldo myor ende cero, se llm longud del rco AB, y es el vlor que uscmos, es decr: n S S, cundo má S Veremos hor que, s l funcón f() y su dervd f '() son connus en el nervlo, ese líme ese y oendremos l fórmul que nos permrá clculr l longud de curv. Pr ello, nroduzcmos l sguene nocón: y f ( ) f ( ) S ( ) ( y ) ( y ) ( ) Ahor plcmos el eorem de Lgrnge o eorem del vlor medo pr dervds: y f ( ) f ( ) f ( c ), donde < c < Por no, S [ f ( c )] De ese modo l longud de l polgonl nscr es: S n n S n [ f ' ( c )] Como por hpóess l funcón f '() es connu en el nervlo [,], l funcón [ f ' ( )] mén será connu en el msmo nervlo. En

143 56 Inroduccón l cálculo negrl consecuenc, l sum negrl escr ene líme cundo el mámo de los vlores de end hc cero. Ese líme será l negrl defnd: S [ f ' ( ) ] d Así, hemos oendo l fórmul pr clculr l longud de un rco de curv: S [ f' ( )] d ( dy) ( d) Dferencl de un rco de curv d Prendo de l fórmul neror, se puede oener l dervd de l longud del rco respeco l scs. Consderndo que el líme superor de negrcón es vrle y desgnándolo por (sn cmr l vrle de negrcón), oenemos l longud del rco S en funcón de : S() ( dy) ( d ) d Dervndo es negrl respeco del líme superor de negrcón: ds ( dy) ( ds ) ( ) ( ) d ( d) d dy ds ( d) ( dy ) Comprcón del rco y de su cuerd Consdermos sore el rco AB de l fgur neror dos punos M, N. Nos proponemos comprr l longud del rco, S, y de su cuerd, C, cundo se hce ender N hc M. Ls componenes del vecor MN (como cuerd) sore los ejes son (, y) C ( ) ( y).

144 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 57 S es l scs de M el rco AM S( ), y el rco AN S(), de donde se deduce que l longud del rco MN es: S S() S( ) S. Así, el cocene enre el cudrdo de l longud del rco y el de l longud de l cuerd será: R ( ) ( S ) ( y) S ( ) ( ) ( y) ( ) S Además, cundo, se ene que y condcones y. Con odo eso: como querímos demosrr. [ S' ( )] R y' ds, y en ls msms d Ejemplos ) Clculr l longud de l crcunferenc y R. Solucón:

145 58 Inroduccón l cálculo negrl dy d ds d y y L longud ol se oene, por smerí, clculndo l longud del rozo de crcunferenc que se encuenr en el prmer cudrne, cundo vrí enre y R, y mulplcándol por. Es decr, R L d y y d y R d R R R d R { R sen d R cos d} R π / Rcos π / d R Rcos π d R πr R R sen Rcos R ) Enconrr l longud del rco de curv cuy ecucón es correspondene l nervlo. y 8, Solucón:

146 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 59 y / dy d / L 8 d 8 8( 8 ) / d 7 [ 55 9 ], / [( 8) ] ) Enconrr l longud del rco de curv cuy ecucón es y 8, correspondene l nervlo. Solucón: y 8 dy d L d d 8 Relzmos el cmo de vrle:

147 6 Inroduccón l cálculo negrl d ( ) d Con ese cmo, los vlores que om l nuev vrle de negrcón son:, Por no, L d ( ) ( ) d que resul ser un cocene de polnomos. Ulzmos, pues, el méodo de descomposcón en frccones smples, dedo l nurlez de los ceros del denomndor: ponendo denomndor común: A ( ) ( ) ( ) B ( )( ) B( ) C( )( ) D( ) A Dmos hor vlores l vrle : B B D D A B C D C A 6 9A 9B C D C A C D Resolvendo, resul que: A, B, C, D, con lo cul:

148 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 6 L d d ( ) ( ) d d Log Log,7758 Log 8.6. Cálculo de l longud de curv en coordends prmércs Sen ϕ(), y ψ() (α β), ls ecucones en prmércs de un funcón, donde ϕ(), ψ() son funcones connus con dervds connus en el nervlo ddo, l que ϕ'() en dcho nervlo. En ese cso ls ecucones prmércs deermnn un cer funcón y f() connu, con dervd connu de l form: dy ψ ( ) d ϕ ( ) Sen ϕ(α), ϕ(β), los vlores enre los que vrí l vrle. Relzmos el sguene cmo de vrle en l negrl defnd que ouvmos pr el cálculo de l longud de rco en el cso de un funcón dd en coordends cresns, vs en el prdo neror: ( ) d ( ) d ϕ ϕ con lo que, recordndo que y ψ( ), llegmos : L β α [ ψ' ( ) ] [ ϕ' ( ) ] ϕ ( ) d β α o L ϕ' ( ) ψ' ( ) d

149 6 Inroduccón l cálculo negrl Oservcón Se puede demosrr que es fórmul conserv su vldez pr ls curvs que son cords por recs vercles en más de un puno (en prculr pr ls curvs cerrds) con l condcón de que ϕ'(), ψ'() sen connus en odos los punos de l curv. Ejemplos ) Clculr l longud de l hpocclode (srode) cuys ecucones prmércs son: Solucón: cos y sen Pueso que l curv es smérc respeco de los dos ejes de coordends, clculemos l longud del rco perenecene l prmer cudrne. En él se endrá: d d cos sen, dy sen cos d

150 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 6 Además, vrrá enre y π. Por no, l longud ol L se clculrá rvés de l negrl defnd: L π / 9 cos sen 9 sen cos d π / cos sen ( cos sen ) π / sen cos d d sen π L 6 ) Clculr l longud de l cclode generd por un círculo de rdo. Solucón: Ls ecucones en prmércs de l cclode, cundo el rdo del círculo que l gener es, venen dds por: sen, y cos con vrndo de π, es decr, cundo el círculo generdor d un vuel comple sore sí msmo. Por no, l longud de un rco de l cclode será: L π ' y' π d ( cos ) π sen d π ( cos ) d sen ( / ) sen( / ) [ ( ) ] π d π / d cos 8

151 6 Inroduccón l cálculo negrl Noemos que, s el rdo del círculo que gener l cclode es en generl dsno de uno, R /, enonces l longud de un rco de l cclode vene epresd como L 8R. cos ) Clculr l longud de l elpse de ecucones prmércs: y sen donde el prámero vrí enre y π ( > ). Solucón: Dedo l smerí de l elpse cenrd en el orgen con respeco los dos ejes coordendos, clculremos l cur pre del rco, es decr, l longud del rco que corresponde l vrcón del prámero en el prmer cudrne, desde hs π/. L π / sen cos π / d k cos d donde k <.

152 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 65 π / Por lo no, L k cos d. Es negrl no l podemos epresr medne funcones elemenles, y se puede clculr úncmene por medo de méodos de cálculo numérco por promcón (por ejemplo, ulzndo l fórmul de Smpson). Oservcón S enemos un curv en el espco, dd por sus coordends prmércs ϕ(), y ψ(), z θ() (α β), l longud de uno de sus rcos se defne (de mner smlr que pr un curv pln), como el líme l cul ende l longud de un líne querd nscr cundo l longud de su ldo myor ende cero. S ls funcones ϕ(), ψ(), θ() son connus y enen dervds connus en [α, β], enonces l curv ene un longud deermnd (es decr, ese el líme ndcdo rr), que se clcul medne l fórmul: L β α ϕ' ( ) ψ' ( ) θ' ( ) d Admmos ese úlmo resuldo sn demosrcón. Ejemplo Clculr l longud de un rco de l hélce cuys ecucones en prmércs venen epresds como cos, y sen, z m y donde el prámero vrí enre y π. Solucón: Clculmos ls dferencles de ls res vrles en érmnos de l dferencl del prámero: d sen d, dy cos d, dz m d Por lo no, susuyendo en l fórmul:

153 66 Inroduccón l cálculo negrl L π sen cos m d π m d π m 8.7. Cálculo de l longud de curv en coordends polres ρ f l ecucón de un curv en coordends polres, donde ρ es el rdo polr y θ el ángulo polr. Escrmos ls fórmuls de pso de coordends polres cresns: Se ( θ) ρcosθ, y ρsenθ Al susur ρ por su epresón, en funcón de θ, oenemos ls ecucones: ( θ) cosθ, y f ( θ) θ f sen Ess ecucones se pueden consderr como ls ecucones prmércs de l curv y plcr el resuldo neror pr el cálculo de l longud de un rco de curv. Hllemos, pr ello, ls dervds de, y respeco del prámero θ: d ( θ ) cosθ f ( θ ) sen θ dθ f, dy ( θ ) senθ f ( θ ) cos θ dθ f d dθ dy dθ [ ( θ) ] [ f ( θ) ] ρ ρ f Ejemplos L ρ' ρ dθ ) Hllr l longud del círculo ρ R consne, con vrndo enre y π.

154 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 67 Solucón: L π R d ) Clculr l longud de l crdode ρ ( cosθ). Solucón: ρ' senθ; por lo no,

155 68 Inroduccón l cálculo negrl ( cosθ) sen θ θ ( cosθ) dθ ds d cos(θ/) dθ orenndo l curv en el sendo de los θ crecenes, pr < θ < π. Se puede hcer vrr θ de π, y dolr pr ener l longud ol, porque l curv es smérc respeco l eje OX. Así, π L cos( θ / ) dθ 8 [ ( ) ] π sen 8 θ 8.8. Cálculo del volumen de un cuerpo Ddo un cuerpo T, supongmos que se conoce el áre de od seccón rrr de ese cuerpo por un plno perpendculr l eje OX.

156 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 69 Ese áre depende de l poscón del plno secne, es decr, es funcón de, A A(). Supongmos que A() es un funcón connu de, y clculemos el volumen del cuerpo ddo. Trcemos los plnos,,, n. Esos plnos dvden l cuerpo en frnjs. En cd nervlo, eljmos un puno rrro c, y pr cd vlor de,..., n consruymos un cuerpo clíndrco cuy generrz se prlel l eje OX y se poye sore el conorno de l seccón del cuerpo T por el plno c. El volumen de l clndro elemenl, con el áre de l se gul A( c ) (con c ), y l lur, es gul A( c ). El volumen ol de odos los clndros es: V n n ( ) A c El líme de es sum, s ese, cundo má, se llm volumen del cuerpo ddo: n A ( c ) V, cundo má Pueso que V n represen, evdenemene, un sum negrl correspondene un funcón connu A() en el segmeno, enonces, el líme ndcdo ese y se epres por l negrl defnd: V A ( ) d Ejemplo Clculr el volumen del elpsode y z c

157 7 Inroduccón l cálculo negrl Solucón: L seccón del elpsode cordo por un plno prlelo l plno OYZ que se y encuenre l dsnc de ése úlmo d l elpse equvlenemene, z c o, y c z de semejes, c c Pero, como el áre de dch elpse es gul π c, enonces, A() π c De donde se sgue que el volumen del elpsode será:

158 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 7 V π c d π c π c Noemos que s c, enonces el elpsode no es nd más que un esfer, de volumen V π Cálculo del volumen de un cuerpo de revolucón S un regón R en el plno OXY se hce grr en orno un eje del plno, generrá un sóldo llmdo sóldo de revolucón Méodo de dscos Consderemos el cuerpo de revolucón engendrdo por un rpeco curvlíneo l grr lrededor del eje OX. En ese méodo supondremos que el rpeco esá lmdo por l curv y f() connu en el nervlo [,], el eje OX, y ls recs vercles,. Bjo ess hpóess, od seccón rrr del cuerpo por un plno perpendculr l eje de scss es un círculo de áre A πy π [f()]. Aplcndo l fórmul generl vs en el prdo neror pr el cálculo de volúmenes en generl, en ese cso prculr oendremos l fórmul del méodo llmdo de dscos:

159 7 Inroduccón l cálculo negrl V π y d π [ f ( ) ] d Ejemplo Hllr el volumen del cuerpo de revolucón engendrdo por l rocón de / / y e e lrededor del eje OX, en el nervlo l cenr ( ) comprenddo desde hs. Solucón: L cenr es un funcón connu pr odo número rel que om vlores posvos s suponemos que >. Por no, podemos plcr el méodo de dscos pr clculr el volumen que se pde: / / V π ( e ) e d / / π ( e ) e d π e e π / / ( e ) e 8 π

160 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 7 No El méodo de dscos se puede enuncr mén cmndo los ppeles de ls vrles e y; es decr, el volumen del sóldo de revolucón generdo por l regón pln lmd por l gráfc de g(y), el eje OY, y ls recs horzonles y c, y d, l grr lrededor del propo eje OY, vendrá epresdo por: V d π [ g( y) ] c dy Méodo de ls rndels Consdermos hor el cso en que l regón cod por ls recs vercles, y por ls gráfcs de dos funcones connus y f(), y g(), con f() g() pr odo vlor de en el nervlo [,], gr lrededor del eje OX. Enonces, s g() > en odo el nervlo [,], el sóldo ene un hueco o gujero cenrl. El volumen V puede clculrse plcndo el méodo de dscos neror, resndo el volumen del sóldo generdo por l regón pequeñ del volumen generdo por l regón más grnde. V π ( ) [ f ( ) ] d π [ g( ) ] d π [ f ( ) ] [ g( ) ] d

161 7 Inroduccón l cálculo negrl Análogmene, como en el méodo de dscos, se pueden cmr los ppeles de ls vrles s se hce lrededor del eje OY. Ejemplo Clculr el volumen del sóldo de revolucón engendrdo por l rocón de l regón encerrd por ls gráfcs Solucón: y, y, lrededor del eje OX. V π ( ) d π 5 5 π 5 π Méodo de ls envolvenes clíndrcs (corezs) El volumen de un envolvene clíndrc de rdo eeror r, de rdo neror r y lur h es: πr h πr h π ( r r )( r r ) h π r r ( ) r r h r Se r r el rdo medo de l corez. Enonces, el volumen de l corez es:

162 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 75 V πrh r Se y f() connu y no negv en el nervlo [,] pr <. Enonces, el volumen del sóldo de revolucón generdo l grr l regón cod por l gráfc de y f(), ls recs vercles,, y el eje OX, lrededor del eje OY, es: V π f ( ) d Ejemplo Oener el volumen V del sóldo formdo hcendo grr l regón lmd por ls gráfcs de y Solucón: V π, y,, en orno l eje OY. 5 d π 5 [ ] 8π 5

163 76 Inroduccón l cálculo negrl 8.. Cálculo del áre lerl de un cuerpo de revolucón Dd un superfce engendrd por l revolucón de l curv y f() lrededor del eje OX, clculemos el áre lerl de es superfce de revolucón en el nervlo. Supongmos que l funcón y f() es connu y ene dervd connu en odos los punos del nervlo [,]. Trcemos ls cuerds AM, M desgnmos por S, S,..., Sn M,..., M n B, cuys longudes. En su rocón, cd cuerd de longud S (,, n) descre un ronco de cono, cuy superfce lerl es: P y π y S Pero, ( ) ( y ) S ( y ) ( ). Aplcndo el eorem de Lgrnge, oendremos: Por no: y f ( ) f ( ) ( ) c f, < c <

164 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 77 S f ( c ) π f ' ( c ) P y y L superfce descr por l líne polgonl es gul : y y n P n π f' ( c ) π n [ f ( ) f ( ) ' ( c ) ] f () eendd ods ls cuerds de l polgonl. El líme de es sum, cundo el ldo myor de l polgonl ende cero, se llm áre lerl de l superfce de revolucón. El proceso segudo se puede oservr en l sguene fgur, donde se h dujdo un sóldo de revolucón prculr, que nos srve pr lusrr fáclmene el desrrollo segudo pr l oencón de l fórmul correspondene.

165 78 Inroduccón l cálculo negrl Nóese que l sum neror no es un sum negrl de l funcón ( ) f ' ( ) π f () pueso que en el sumndo correspondene l nervlo [, ] fgurn vros punos del msmo, ser,,, c. Sn emrgo, se puede demosrr que el líme de l sum () es gul l de l sum negrl de l funcón (), es decr: P π P π n [ f ( ) f ( )] f' ( c ) n f, cundo má ( c ) f ' ( c ), cundo má Por no, l superfce lerl uscd, que denoremos por S, es: S o π f ( ) f ' ( ) No És es l fórmul pr el cálculo del áre lerl de un sóldo de revolucón cundo se ro l regón lmd por l gráfc de y f() (connu y con dervd connu en [,]), el eje OX, y ls recs vercles,, lrededor del eje OX. S se hce el msmo cálculo grndo l msm regón lrededor del eje OY, l fórmul correspondene es: d S oy π f ' ( ) d l cul se lleg sguendo un proceso smlr l desrrolldo en el cso neror, consderndo hor el ronco de cono que se gener en l rocón lrededor del eje OY con ses perpendculres l propo eje OY, y cuy generrz concde con l del cso neror.

166 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 79 Ejemplos ) Deermnr l superfce lerl del prolode engendrdo por l revolucón lrededor del eje OX del rco de l práol y p, correspondene l vrcón de desde hs. Solucón: y p, p y y' p p S π p p d π p p d π p ( p) / π p [( p) p ] Nóese que sólo se h elegdo l pre superor de l práol pr clculr l superfce lerl del sóldo engendrdo, y que l grr un vuel ener lrededor del eje OX gener el sóldo compleo. S consdermos l práol ener, oendrímos, ovmene, el dole de dch superfce lerl. Por úlmo, nóese que, s p <, el sóldo engendrdo es el msmo, sólo que colocndo l práol en l or pre del plno. Por no, se puede consderr sn pérdd de generldd el cso en que p >, como se h hecho.

167 8 Inroduccón l cálculo negrl ) Clculr l superfce lerl de un cono. Solucón: L ecucón de l curv que engendr un cono grndo lrededor del eje OX es l de un rec de ecucón y, donde R R pendene g α, y. h h Así: h R R R h R S π y y' d π d π h h d h h h h como L h R es l longud de l generrz del cono, πr S h L h πr h L h π R L

168 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd Cálculo del rjo medne l negrl defnd Supongmos que, jo el efeco de un fuerz F, el puno merl M se desplz lo lrgo de l rec OS y que l dreccón de l fuerz concde con l del movmeno. Se dese deermnr el rjo producdo por l fuerz F l desplzr el puno M desde l poscón s hs l poscón s. ) S F es consne, el rjo W se epresrá como W F( ). ) Supongmos que F vrí de form connu en funcón de l poscón del puno merl, es decr, es un funcón F(s), connu en el segmeno s. Dvdmos el nervlo [,] en n pres rrrs de longudes s, s,..., sn. Elegmos en cd segmeno prcl [ s, s ] un puno rrro c y susumos el rjo de l fuerz F(s) en el cmno (,...,n) s por el produco F( c ) s. Eso sgnfc que en cd nervlo prcl dmmos como consne l fuerz F, es decr, F F( c ). En l cso, l epresón F( c ) s pr s sufcenemene pequeño drá un vlor promdo del rjo de l fuerz F lo lrgo del cmno s, y l sum W F ( ) n n c s será l epresón promd del rjo de l fuerz F en odo [,]. Es evdene que W represen un sum negrl de l funcón F F(s) en n el nervlo [,]. El líme de es sum cundo má s ese y epres el rjo de l fuerz F(s) lo lrgo del cmno desde el puno s hs el s. Así: Ejemplos W F ( s) ds ) L compresón S de un muelle helcodl es proporconl l fuerz plcd F. Clculr el rjo de l fuerz F l comprmr el muelle 5 cm, s es precso plcr un fuerz de kp pr comprmrlo cm.

169 8 Inroduccón l cálculo negrl Solucón: Según l hpóess, l fuerz F y el desplzmeno s esán lgdos por l ecucón F k s, donde k es un consne. Epresmos s en meros y F en klopondos. S s,, enonces F, es decr, k,, de donde k, es decr, F s. Aplcndo l fórmul neror se ene. W 5 s ds. 5 s 5 (,5),5 kpm ) L fuerz F de repulsón enre dos crgs elécrcs q, q del msmo sgno, qq dspuess un dsnc r, se epres medne l fórmul F k, r donde k es un consne. Deermnr el rjo de l fuerz F pr desplzr l crg q desde el puno A, que se encuenr l dsnc r de q, l puno B, que se hll l dsnc r de q. Solucón: Supongmos que q se encuenr en el puno omdo como orgen. Así: Pr r r W r qq k dr r kq q r kq q r r r r, se ene W qq k r r dr k qq r. S, demás, q, enemos W k crg q ). q r (poencl del cmpo credo por l

170 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd Coordends del cenro de grvedd Ddo en el plno OXY un ssem de punos merles P (, y ), P (, y ),..., P n ( n, yn ), cuys mss son respecvmene m, m,..., m n, los producos m e y m se llmn momenos esácos de l ms m respeco los ejes OY y OX. Desgnemos por c, yc ls coordends del cenro de grvedd (rcenro) del ssem ddo. Ess coordends se clculn medne ls fórmuls: c m m... m () n n n m... mn n m y c ym y m... y m () n n n m... mn n m Ulzremos ess fórmuls pr uscr los cenros de grvedd de dversos cuerpos y fgurs. Se demuesr que, s un ssem de punos se puede sudvdr en un cero número de pres dsjuns, su cenro de grvedd se oendrá prr de los cenros de grvedd de ls pres merles, cd un de ls cules esá fecd por l ms ol de l pre correspondene Cenro de grvedd de un curv pln Supongmos que l ecucón y f(),, defne un curv merl AB. Se d l densdd lnel (ms de l undd de longud de l curv dd, que supondremos gul en odos los punos de l curv) de es curv merl. Dvdmos l curv en n pres de longudes s,..., sn. Ls mss de ess pres serán gules los producos de sus longudes por l densdd lnel

171 8 Inroduccón l cálculo negrl m d s. Tomemos un puno rrro de scs c en cd porcón de l curv s. Tomndo en cd s un puno merl P [ c, f( c )] de ms d s y susuyendo en ls fórmuls (), () e y por los vlores c, f( c ), sí como m por d s, oendremos ls fórmuls promds pr deermnr el cenro de grvedd de l curv: c n n c d s d s y c n f n ( c ) d s d s S l funcón y f() es connu, l gul que su dervd, enonces ls sums del numerdor y del denomndor de cd frccón, prmá s, enen sus límes gules los límes de ls sums negrles correspondenes. De ese modo ls coordends del cenro de grvedd de l curv se epresn por medo de ls negrles defnds: c ds ds f ' f ' ( ) ( ) d d, y c f ( ) ds f ( ) f ' ( ) ds f ' ( ) d d Ejemplo Hllr ls coordends del cenro de grvedd de l semcrcunferenc y, sud por encm del eje OX. Solucón: y, dy, d ( dy ) ( d ) ds d d

172 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 85 c d d [ ] [ rcsen ( / ) ] π y c π d [ ] π π π 8... Cenro de grvedd de un fgur pln, y, y ls recs vercles,, represen un fgur pln merl. Consderemos que l densdd superfcl (ms de un undd de áre de l superfce) es consne e gul D en od l fgur. Dvdmos l fgur dd medne ls recs,,..., n, en nds Supongmos que l fgur dd, lmd por ls curvs y f( ) f ( ) prlels cuys nchurs son,,..., n.

173 86 Inroduccón l cálculo negrl L ms de cd nd será gul l produco de su áre por su densdd superfcl D. Al susur cd nd por un recángulo de se y lur f ( c ) f ( c ), donde c promdmene gul : m D [ ( c ) f ( )] f c, l ms de es nd será,,,...,n. El cenro de grvedd de es nd se encuenr, promdmene, en el cenro del recángulo correspondene: f c f c ( ) c c, ( ) c y ( ) ( ) Loclzndo l ms de cd nd en su cenro de grvedd, enconremos el vlor promdo de ls coordends del cenro de grvedd de l fgur: c n c n D D [ f ( c ) f ( c )] [ f ( c ) f ( c )] yc n f ( c ) f ( c ) n D [ f ( c ) f ( c )] [ f ( c ) f ( c )] D Psndo l líme cundo, oendremos ls coordends ecs del cenro de grvedd de l fgur dd, convréndose ls sums fns en sums negrles:

174 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 87 c [ f ( ) f ( ) ] [ f ( ) f ( ) ] d d, y f c ( ) f ( ) [ f ( ) f ( ) ] [ f ( ) f ( ) ] Ess fórmuls son válds pr od fgur pln homogéne (es decr, quell con densdd consne en odos sus punos). Como vemos, ls coordends del cenro de grvedd no dependen de l densdd D (pues se h elmndo en el cálculo). Ejemplo Deermnr ls coordends del cenro de grvedd del áre encerrd por l práol y, y l rec vercl. Solucón: d d f ( ), ( ) f c d d 5 5 [ ] [ ] 5

175 88 Inroduccón l cálculo negrl y c, pueso que el segmeno es smérco respeco l eje OX. 8.. Cálculo de momenos de nerc medne l negrl defnd 8... Momeno de nerc de un curv merl P, y P n n n, cuys mss son respecvmene m, m n, como semos por Mecánc, el momeno de nerc de un ssem de punos merles respeco l puno se deermn del modo sguene: Ddo en el plno OXY un ssem de punos merles (, y ) P (, ),..., (, y ) m,..., I ( y ) n m o I r m con r y (5) Se l curv AB dd por su ecucón y f(),. Supongmos que es curv es merl y que su densdd lnel es consne e gul d. Dvdmos un vez más l líne en n punos de longudes s,..., sn, donde ( ) ( y ) s Ls mss de ess porcones son gules los producos de sus longudes por l densdd lnel, es decr, m d s. Tomemos un puno rrro de scs c en cd porcón de l curv. L ordend en ese puno será p f( c ). El momeno de nerc de l curv respeco del orgen O será, promdmene, según (5): n ( c p ) m I (6)

176 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 89 S l funcón y f() y su dervd f '() son connus, prmá s, l sum (6) ene líme, que se epres como un negrl defnd, deermnndo el momeno de nerc de l líne merl: [ f ( ) ] f ' ( ) I d d (7) 8... Momeno de nerc de un rr homogéne de longud L respeco su eremo Colocmos un rr de longud L sore el eje OX, de l form que uno de sus eremos concd con el orgen ( L ). En ese cso s, m d, r L fórmul (7) om l form de: I L L d d d (8) S conocemos l ms M de l rr, enonces l densdd lnel se puede M epresr como d, y (8) se rnsform en: L I ML (9) 8... Momeno de nerc de un crcunferenc merl de rdo r respeco l cenro Pueso que los punos de l crcunferenc se encuenrn l dsnc r del cenro y su ms es m π r d, enonces: I r mr d π ()

177 9 Inroduccón l cálculo negrl 8... Momeno de nerc de un círculo homogéneo de rdo r respeco l cenro Se d l ms de un undd de áre del círculo o densdd superfcl. Dvdmos el círculo en n nllos. Consderemos uno de esos nllos. Se r su rdo neror y r r su rdo eeror. L ms m de ese nllo, clculdo un error nfnésmo de orden superor r, será m d π r r. En vrud del prdo neror, el momeno de nerc de su ms respeco l cenro será promdmene gul : ( I ) d π r r r d π El momeno de nerc de odo el círculo, consderdo como el conjuno de odos los nllos, se epresrá medne: r r I n d πr r () Psndo l líme, pr má r, oendremos el momeno de nerc del áre del círculo respeco su cenro: I R R d π r dr π d () S conocemos l ms M del círculo, enonces, l densdd superfcl d se M puede epresr como d. πr Inroducendo ese vlor en (), oendremos en defnv: I M R

178 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 9 Ejerccos propuesos pr el cálculo de áres ) Clculr el áre de l fgur lmd por l práol vercles, y el eje OX. y Solucón:, ls recs A 6 ) Clculr el áre de l fgur lmd enre l curv ( )( ) ls recs vercles, y el eje OX. y, Solucón: 7 A ) Clculr el áre de l regón lmd por l práol OX. y y el eje Solucón: A ) Clculr el áre de l regón lmd por l curv de ecucón y 6 8 y el eje OX. Solucón: A 8 5) Clculr el áre de l fgur lmd enre l curv y y, ls ordends y, y y el eje OY. Solucón: A 6 6) Clculr el áre de l fgur lmd por l curv y y y el eje OY. Solucón: A

179 9 Inroduccón l cálculo negrl 7) Clculr el áre de l fgur lmd por ls práols y, y. 8) Clculr el áre comprendd enre ls práols Solucón: y 6 A 6, y. 6 Solucón: A 9) Clculr el áre de l superfce lmd por l práol y, el eje OX y ls recs,. Solucón: A ) Clculr el áre de un círculo de cenro el orgen y rdo R. Solucón: A πr y ) Clculr el áre de l regón lmd por l hpérol y l rec. Solucón: A ( Log( ) ) ) Clculr el áre de l superfce lmd por l curv de ecucón y 5 6 y el eje OX, cundo y es negvo. Solucón: A 6 ) Clculr el áre de l superfce comprendd enre l curv de ecucón y y l rec de ecucón y. Solucón: A

180 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 9 y ) Hllr el áre de l regón lmd por ls funcones ( ) g ( ). 5) Clculr el áre de l regón lmd por l práols y. f Solucón: Solucón: 9 A y, A 6) Ls curvs de ls funcones seno y coseno se nersecn nfns veces, dndo lugr regones de gul áre. Clculr el áre de un de dchs regones. 7) Clculr el áre de l regón lmd por ls gráfcs y. 8) Hllr el áre de l fgur comprendd enre l curv OX. Solucón: A y, 9 Solucón: A y y el eje Solucón: A 9) Hllr el áre del domno lmdo por un semond de l snusode y sen y el eje OX. Solucón: A ) Clculr el áre de l fgur comprendd enre l práol l rec y. y Solucón: y 9 A

181 9 Inroduccón l cálculo negrl ) Clculr el áre de l fgur comprendd enre ls práols y y l rec y. y, Solucón: A ) Hllr el áre de l fgur lmd por l curv eje OY. y, l rec y 8 y el Solucón: A ) Hllr el áre del domno comprenddo enre ls práols y p, py. Solucón: A p ) Hllr el áre ol de l fgur lmd por ls curvs y. y, y Solucón:, A 5) Clculr el áre de l fgur lmd por l curv y, l rec y y l vercl 8. 7 Solucón: A 6) Hllr el áre de l fgur lmd por l cenr y ( e e ) los ejes OX, OY y l rec., Solucón: A ( e ) e 7) Clculr el áre de l fgur lmd por ls curvs rec. y e, y e y l

182 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 95 Solucón: A e e 8) Clculr el áre del recno formdo por los punos (, y) que verfcn: y 6, y 9. Solucón: A π 9) Clculr el áre lmd por ls curvs y 9, ( ) y 9. 9 Solucón: A 6π ) Clculr el áre en el prmer cudrne lmd por ls curvs y, y. y, Solucón: A rcsen rcsen ) Clculr el áre encerrd por l curv semplno y. Log y, el eje OX, en el ( ) Solucón: Log A ) Clculr el áre comprendd enre l curv y y el eje OX. Solucón: A ) Clculr el áre comprendd enre l curv y y sus sínos. Solucón: A π

183 96 Inroduccón l cálculo negrl ) Tomndo un puno (, ) M en el prmer cudrne que perenezc l y y elpse, con >, demosrr que el secor de l elpse lmdo por el semeje myor y el segmeno que v desde el cenro geomérco de l elpse hs el puno M ene áre gul y A rccos rcsen. 5) Hllr el vlor del prámero pr que el recno lmdo por el eje OX y l curv y cos, cundo vrí en el nervlo [, π ], quede dvddo en dos pres con l msm áre por l curv y sen. Solucón: 6) Clculr el áre de l elpse dd por sus ecucones prmércs cos. y sen Solucón: A π 7) Clculr el áre comprendd enre el eje OX y un rco de l cclode ( sen ). y ( cos) Solucón: A π 8) Hllr el áre de l fgur lmd por l hpocclode cos. y sen Solucón: A π 8 9) Hllr el áre encerrd por l ros de res pélos ρ cosθ. Solucón: A π

184 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 97 ) Hllr el áre del domno lmdo por un ucle de l curv ρ senθ. Solucón: A π 8 ) Hllr el áre del domno lmdo por l curv ρ cosθ. Solucón: A π ) Hllr el áre del domno lmdo por l curv ρ cosθ. Solucón: A π ) Hllr el áre del domno lmdo por l curv ρ cos θ. Solucón: A π ) Hllr el áre del domno lmdo por l curv ρ cosθ. Solucón: A π 5) Clculr el áre ol del domno lmdo por l crdode ρ ( cosθ). Solucón: A π 6) Clculr el áre ol del domno lmdo por l crdode ρ ( cosθ). Solucón: A π 7) Clculr el áre encerrd por l curv ρ cosθ. Solucón: 9π A

185 98 Inroduccón l cálculo negrl 8) Clculr el áre común enre l crdode ρ cosθ y el círculo ρ cosθ. 5π Solucón: A 9) Clculr el áre encerrd enre ls curvs ρ senθ, ρ cosθ. A π Solucón: ( ) 5) Clculr el áre encerrd enre ls dos crdodes ρ cosθ, ρ cosθ. π8 Solucón: A Ejerccos propuesos pr el cálculo de longudes de curv ) Clculr l longud del rco de curv y, enre,. L 9 7 Solucón: ( ) ) Clculr l longud del rco de curv e y Log, enre,. e 8 e Solucón: L Log e ) Clculr l longud del rco de práol y, desde hs. Solucón: L Log( ) ) Clculr l longud del rco de l curv y Log, desde hs 8.

186 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 99 Solucón: 5) Clculr l longud del rco de un práol semcúc comprenddo enre el orgen de coordends y el puno 5. L Log Solucón: y, 5 L 7 6) Hllr l longud del rco de l cenr y ( e e ) comprenddo enre el orgen de coordends y el puno (, ) 7) Hllr l longud del rco de l curv y Log( cos), π. 8) Hllr l longud de un rco de l cclode,. y Solucón: L ( e e ), enre los límes Solucón: L y ( ) ( cos) sen. Log Solucón: L 8 9) Clculr l longud de l srode cos. y sen Solucón: L 6 ) Hllr l longud de l curv e cos, enre,. y e sen L e Solucón: ( ) ) Clculr l longud de l crdode ρ ( cosθ).

187 Inroduccón l cálculo negrl Solucón: L 8 ) Hllr l longud de l prmer espr de l esprl de Arquímedes ρ θ, prr del polo. Solucón: L π π Log( π π ) ) Hllr l longud de l esprl logrímc puno ( ρ, θ ). ρ e ) Clculr l longud de l crdode ρ ( cosθ) θ, desde el polo hs el Solucón: L ( ρ ). Solucón: L 6 θ 5) Clculr l longud de l curv ρ sen. Solucón: π L Ejerccos propuesos pr el cálculo de volúmenes ) Clculr el volumen engendrdo por l funcón y sen, l grr lrededor del eje OX, cundo el vlor de vrí enre y π. Solucón: V ) Clculr el volumen engendrdo por l funcón y sen, l grr lrededor del eje OY, cundo el vlor de vrí enre y π. Solucón: V π π

188 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd ) Hllr el volumen del sóldo formdo l grr l regón lmd por l gráfc de l funcón del eje OX. y sen y el eje OX, con π, lrededor Solucón: V π ) Clculr el volumen generdo por l rocón de l elpse y, l grr lrededor del eje OX. Solucón: V π 5) Clculr el volumen engendrdo por l revolucón lrededor del eje OX del áre pln comprendd enre y, y,, 5. Solucón: V. 5π 6) Hllr el volumen del sóldo formdo l grr l regón lmd por y, y, lrededor del eje y. 6π Solucón: V 5 7) Clculr el volumen engendrdo l grr el círculo ( y 8) lrededor del eje OX., Solucón: V 6π 8) Clculr el volumen engendrdo por el áre pln comprendd enre y 6, y, l grr lrededor del eje OX. 79π Solucón: V. 5 9) L fgur lmd por l práol y y l rec gr lrededor del eje OX. Hllr el volumen del cuerpo de revolucón engendrdo. Solucón: V π

189 Inroduccón l cálculo negrl ) Clculr el volumen engendrdo por l revolucón lrededor de l rec y 6 del áre pln comprendd enre y,, y 6. 96π Solucón: V. 5 ) Clculr el volumen engendrdo por l revolucón lrededor del eje OY del áre pln comprendd enre y e, y,,. Solucón: V π e ) Clculr el volumen engendrdo l grr l superfce lmd por l práol semcúc y, el eje OX y l rec, lrededor del eje OY. π Solucón: V 7 ) El segmeno de l rec que une el orgen de coordends con el puno (,) gr lrededor del eje OY. Hllr el volumen del cono engendrdo. π Solucón: V ) El áre lmd por ls curvs y p,, gr lrededor del eje OX. Hllr el volumen del cuerpo de revolucón engendrdo. Solucón: V πp 5) L fgur lmd por l curv y e y ls recs y,, gr lrededor del eje OX. Hllr el volumen del cuerpo de revolucón engendrdo. π Solucón: V ( e ) 6) L fgur lmd por l hpocclode y gr lrededor del eje OX. Hllr el volumen del cuerpo de revolucón engendrdo.

190 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd Solucón: V π 5 7) Clculr el volumen del elpsode de revolucón lrededor del semeje myor ( > ). cos y sen Solucón: V ( sen) ( cos), l grr π 8) L fgur lmd por un rco de l cclode y el eje OX y gr lrededor del eje OX. Hllr el volumen del cuerpo de revolucón engendrdo. Solucón: V 5π ( sen) ( cos) 9) L fgur lmd por un rco de l cclode y el eje OX y gr lrededor del eje OY. Hllr el volumen del cuerpo de revolucón engendrdo. Solucón: V 6π ( sen) ( cos) ) L fgur lmd por un rco de l cclode y el eje OX y gr lrededor de un rec que es prlel l eje OY y ps por el vérce de l cclode. Hllr el volumen del cuerpo de revolucón engendrdo. π Solucón: V ( 9π 6) 6 ( sen) ( cos) ) L fgur lmd por un rco de l cclode y el eje OX y gr lrededor de un rec que es prlel l eje OX y ps por el vérce de l cclode. Hllr el volumen del cuerpo de revolucón engendrdo. Solucón: V 7π

191 Inroduccón l cálculo negrl Ejerccos propuesos pr el cálculo de áres lerles ) Clculr el áre lerl de l superfce engendrd por l revolucón lrededor del eje OX de l práol y, enre los vlores,. 8π Solucón: S ( ) ) Clculr el áre lerl de l superfce engendrd por l revolucón de l curv y, enre los vlores,, lrededor del eje OX. π Solucón: S ( 7 7 ) 7 ) Hllr el áre lerl de l superfce oend por l revolucón de l práol y, lrededor del eje OX, desde el orgen hs el puno. Solucón: 56 S π ) Hllr el áre lerl de l superfce del cono engendrdo por l revolucón de un segmeno de l rec y, lmdo por,, lrededor del eje OX. Solucón: S 8π 5 5) Hllr el áre lerl de l superfce de revolucón engendrd por el y ( > ) l grr lrededor del eje OX. círculo ( ) Solucón: S π 6) El rco de l snusode y sen, desde hs π, gr lrededor del eje OX. Hllr el áre lerl del cuerpo de revolucón engendrdo. Solucón: S π[ Log( ) ]

192 Aplccones geomércs y mecáncs de l negrl defnd 5 y 7) L elpse ( > ) gr lrededor del eje OX. Hllr el áre lerl del cuerpo de revolucón engendrdo. Solucón: S π rcsene π e donde e 8) Clculr el áre lerl de l superfce engendrd por l revolucón lrededor del eje OY del rco de l curv y, enre los vlores y, y. π Solucón: S ( ) 7 9) Clculr el áre lerl de l superfce engendrd por l revolucón de l curv y, enre los vlores,, lrededor del eje OX. π S 8 9 Solucón: ( 8 ) ) Clculr el áre lerl de l superfce engendrd por l revolucón ( cos cos ) lrededor del eje OX de l crdode. y ( sen sen) Solucón: 8 S π 5 ) Hllr el áre lerl de l superfce del cuerpo oendo por l revolucón ( sen) de un rco de l cclode, lrededor del eje OX. y ( cos) Solucón: 6 S π ) Hllr el áre lerl de l superfce del cuerpo oendo por l revolucón ( sen) de un rco de l cclode, lrededor del eje OY. y ( cos) Solucón: S 6π

193 6 Inroduccón l cálculo negrl cos ) El srode gr lrededor del eje OX. Hllr el áre lerl y sen del cuerpo de revolucón engendrdo. Solucón: S π 5 e sen ) Clculr el áre lerl engendrd por l curv, l grr y e cos lrededor del eje OX, enre los vlores, π. π π Solucón: S ( e ) Ejerccos propuesos pr el cálculo de cenros de grvedd ) Clculr ls coordends del cenro de grvedd del rco de l semcrcunferenc y, con y. Solucón: ( c, yc ) (, π) ) Clculr ls coordends del cenro de grvedd del áre encerrd por un y cudrne de l elpse. Solucón: ( ) c, yc, π π ) Clculr ls coordends del cenro de grvedd del áre comprendd enre l práol y, l pre posv del eje OX y l pre posv del eje OY. Solucón: ( ) 8 c, y c, 5 ) Clculr ls coordends del cenro de grvedd del áre comprendd enre ls práols y, 8y Solucón: ( ) 9 9 c, y c, 5 5

194 Cpíulo 9 Inegrles mprops f ( )d f ( )d f f ( )d ()d f() f ( ( )d ( ) )

195 Cpíulo 9 Inegrles mprops Hs hor hemos relzdo odo el esudo sore ls negrles defnds jo dos hpóess fundmenles, el hecho de que los límes de negrcón ern fnos y l connudd de l funcón negrr, f(), en el nervlo de negrcón [, ]. Cundo lgun de ess dos condcones no se cumple, se dce que l negrl que resul es mprop. Esudremos esos csos por seprdo, vendo como conclusón el cso generl en el que pudern no cumplrse ess dos hpóess l vez. 9.. Límes de negrcón nfnos En ese prmer cso, supondremos que l funcón negrr, f(), esá defnd y es connu en un nervlo no codo. Es sucón puede drse de res mners dsns: que el líme superor de negrcón se nfno, que el líme nferor de negrcón se menos nfno, o que nnguno de los límes de negrcón se fno. Vemos cd un de ess res poslddes: ) S f() es connu en [, ) f ( ) d lm f ( ) donde ( ) f d es un negrl defnd. d ) S f() es connu en (, ] f ( ) d lm f ( ) donde ( ) f d es un negrl defnd. d ) S f() es connu pr odo rel y es un número rel culquer: f ( ) d f ( ) d f ( ) d

196 Inegrles mprops 9 y cd un de ls negrles mprops del memro de l derech, se clculrán según lo vso en los cso ) y ). Es decr, en culquer cso, pr clculr un negrl mprop, prmero psmos clculr un negrl defnd dependendo de un prámero que hremos ender más o menos nfno, según el cso. Así pues, el cálculo del vlor de un negrl mprop se reduce l cálculo de mner consecuv de un negrl defnd y de un líme. Dedo, precsmene, l opercón del cálculo del líme de un funcón, ese líme puede ser rel (convergenc) o puede ser nfno (dvergenc). Es sucón d lugr l sguene clsfccón en ls negrles mprops: cundo los límes de ) y ) esn, se drá que ls negrles convergen; s no esen (son nfno), se drá que dvergen. En ) l negrl de l zquerd se dce que converge s y solo s convergen ls dos de l derech (s un de ells dverge ndependenemene de l or, mén será dvergene l de l zquerd). Ejemplos d ) I 9 El líme superor de negrcón om vlor no fno. Así pues, según el cso ), enemos: d d 9 lm 9 Clculmos prmero l negrl defnd con líme de negrcón superor gul : d 9 9 d [ rcg( ) ] rcg ( ) ( ) Por úlmo, clculmos el líme cundo ende más nfno de es funcón:

197 Inroduccón l cálculo negrl π lm rcg( ) π 6 π Por no, I es convergene y su vlor es I. 6 d ) I El líme nferor de negrcón om vlor no fno. Así pues, según el cso ), enemos: d lm - d Clculmos prmero l negrl defnd con líme de negrcón nferor gul : d ( ) d ( ) [ ] Por úlmo, clculmos el líme cundo ende menos nfno de es funcón: lm - ( ) Por no, I es dvergene y su vlor es I. ) I d En ese cso los dos límes de negrcón son no fnos. Así pues, según el cso ), seprmos es negrl en sum de ors dos por un puno culquer nermedo, por ejemplo, el cero:

198 Inegrles mprops d d d Clculmos cd un de ess dos nuevs negrles mprops según los csos ) o ). Por no: d lm - lm - Log d lm - Log Log d lm d lm Log lm Log Log Log Log Por no, I es convergene y su vlor es I. Log Log 9.. Inegrles con negrndo que ende nfno En ese segundo cso supondremos que l funcón negrr, f(), ene un dsconnudd nfn pr lgún vlor en el nervlo de negrcón cerrdo y codo, [, ]. Así, enemos res poslddes: ) S f() es connu en [, ), y f(), cundo, enonces: f ( ) d lm f ( ) d

199 Inroduccón l cálculo negrl donde ( ) f d es un negrl defnd. ) S f() es connu en (, ], y f(), cundo, enonces: donde ( ) f ( ) d lm f ( ) d f d es un negrl defnd. ) S f(), cundo c, con < c < y f() es connu en odos los demás punos del nervlo [, ], enonces: f ( ) d f ( ) d f ( ) c donde cd un de ls negrles mprops del memro de l derech se clculn según lo vso en los csos ) y ) nerores. Al gul que en el cso en que precín límes de negrcón nfnos, pr clculr un negrl mprop en culquer de ess res sucones menconds, prmero endremos que clculr un negrl defnd dependendo de un prámero que poserormene hremos ender l vlor rel donde se produce l dsconnudd nfn de l funcón negrr. Así pues, el cálculo del vlor de un negrl mprop se reduce de nuevo l cálculo de mner consecuv de un negrl defnd y de un líme. Tmén quí dremos que ls negrles mprops convergen s esen (son fnos) los límes nerores, y se drá que dvergen en cso conrro. En el cso ) l negrl mprop de l zquerd se dce que converge s y solo s convergen ls dos de l derech (s un de ells dverge ndependenemene de l or, mén será dvergene l de l zquerd). c d

200 Inegrles mprops Ejemplos ) I d 6 L funcón negrr en ese cso presen un dsconnudd nfn denro del nervlo de negrcón en el puno. Así pues, según el cso ), enemos: d 6 lm d 6 Clculmos prmero l negrl defnd con líme de negrcón superor gul : d 6 ( ) d [ rcsen( ) ] rcsen ( ) rcsen rcsen( ) Por úlmo, clculmos el líme cundo ende por l zquerd de es funcón: π lm ( rcsen ( ) ) π Por no, I es convergene y su vlor es I. d ) I En ese cso, l funcón negrr presen un dsconnudd nfn denro del nervlo de negrcón en el puno. Así pues, según el cso ), enemos:

201 Inroduccón l cálculo negrl d d lm Clculmos prmero l negrl defnd con líme de negrcón superor gul : d ( ) d ( ) [ ] Por úlmo, clculmos el líme cundo ende por l derech de es funcón: lm [ ] Por no, I es convergene y su vlor es I. d ) I En ese cso, l funcón negrr presen un dsconnudd nfn denro del nervlo de negrcón en el puno. Así pues, según el cso ), enemos: d d d Cd un de ls negrles del memro de l derech se clcul según lo vso pr el cso ) o ). d lm lm d d ( )

202 Inegrles mprops 5 lm [( ) ] d lm lm d lm d ( ) [( ) ] Por no, I es convergene y su vlor es ( 9 ) 9 I. 9.. Oservcones ls negrles mprops Oservcón : Los csos que se hn comendo en los prdos nerores se hn referdo sucones smples. En generl, vrs de ess sucones se pueden producr l vez en un msm negrl. Es posle que en un msm negrl prezc lgún líme de negrcón nfno y que l funcón negrr pose un dsconnudd nfn en lgún puno denro del nervlo de negrcón. Pr deermnr s converge o no es negrl mprop hy que seprrl como l sum de ns negrles mprops como se necesro, de form que cd un de ells solmene pose un puno de mpropedd en lgún líme de negrcón. Es seprcón, ovmene, se relzrá rvés de punos nerores del nervlo, en los cules l funcón negrr se connu. S convergen ods ls negrles mprops en que se hy seprdo l negrl orgnl, enonces és será convergene. S, l menos, lgun de ells es dvergene, enonces mén lo será l orgnl. Ejemplos ) I 6 d ( ) En ese cso enemos un líme de negrcón no fno, juno con un vlor numérco,, en el cul l funcón negrr presen un dsconnudd nfn. Así pues, l descomponemos como sgue:

203 6 Inroduccón l cálculo negrl 6 d ( ) ( ) ( ) ( ) d donde se h elegdo el puno neror, de connudd de l funcón, pr seprr l negrl. Clculemos cd un de ells por seprdo: d lm - ( ) ( ) d lm d 6 d ( ) d lm - - d lm - lm ( ) ( ) d lm lm ( ) d lm Como es negrl es dvergene, no es necesro clculr l ercer negrl de l descomposcón, y se que se concluye que I es dvergene. Log ) I d Aquí esen dos vlores numércos denro del nervlo,,, en el cul l funcón negrr presen un dsconnudd nfn. Así pues, l descomponemos como sgue: Log d Log d Log d donde se h elegdo el puno neror /, de connudd de l funcón, pr seprr l negrl. Vmos clculr en prmer lugr l negrl ndefnd de l funcón:

204 Inegrles mprops 7 Log u Log d dv ( ) d d du v Log d Clculemos l nuev negrl ndefnd que nos h precdo pre: d { d d} d d d C Log Log C ( ) Log C Log Log C Por lo no, Log d Log F() C Log Log C Así, procedemos hor clculr ls dos negrles mprops en que hemos seprdo l negrl orgnl I:

205 8 Inroduccón l cálculo negrl Log d lm Log d lm [ Log Log Log] F lm [ Log Log Log] F Log Log d lm Log d lm lm [ Log Log Log] [ ] Log Log Log F F Fnlmene, I Log. Oservcón : Or oservcón mporne que deemos hcer esá drgd l error sne frecuene conssene en: f ( ) d lm f ( ) L opercón correc, como hemos comendo en l oservcón, serí relzr l seprcón en dos negrles mprops de l form: d

206 Inegrles mprops 9 f ( ) d f ( ) d f ( ) donde dee ser un puno de connudd pr l funcón f(). Cd un de ess negrles mprops se clculrá como en los csos nerores. Oservcón : L seprcón ( f ( ) g( ) ) d f ( ) d g( ) d sólo se puede relzr en negrles mprops s son convergenes ls dos negrles de l derech. Oservcón : Cundo ese un puno de dsconnudd nfn de l funcón negrr esrcmene neror l nervlo de negrcón, hy que llevr cuddo de prr l negrl por ese puno. S no se procede de es d mner, se puede llegr resuldos flsos. Por ejemplo, se I, donde el vlor de, esrcmene neror l nervlo, es el únco puno de dsconnudd nfn de l funcón negrr. L mner correc de proceder serí: d I d Clculmos l prmer de ess negrles mprops: d d lm d lm lm Por no, I es dvergene. S no nos dmos cuen de que es mprop y l nenmos clculr como defnd, llegremos : d I 8 8

207 Inroduccón l cálculo negrl que es sne dferene l resuldo correco oendo nerormene. Ejerccos propuesos d π ) I Log( ) ) I Log d 9 ) I d π ) I d d π 5) I ( ) > 6) I Log d 7) d I 5 8) I e e π d

208 Inegrles mprops 9) I ( ) e ) d I d e ) I d ( ) π cos ) I d sen ) d I π ) I sec d 5) I e d 6) I d 9 π 7) I d Log ( Log) d 8) I

209 Inroduccón l cálculo negrl 9) d I d Log ) I ( > ) ) I d 9 π 5

210 Tl de negrles sen d udu u du sec udu f() dud u e u du hd

211 TABLA DE INTEGRALES ) [ f ( ) ] d d d f() C ) [ f ( ) g( ) ] f ( ) d g ( ) ± d ± d ) k f ( ) d f ( ) k d k ce. ) f ( ) f ( ) m d [ f ( ) ] m m C m / 5) f f ( ) ( ) d f ( ) Log C f f ( ) 6) ( ) d ( ) f Log C f e f ( ) 7) ( ) d f e ( ) C 8) f ( ) sen [ f ( ) ] d cos[ f ( ) ] C 9) f ( ) cos [ f ( ) ] d [ f ( ) ] sen C

212 Tl de negrles 7 ) f ( ) g [ f ( ) ] d Log f ( ) cos[ ] C ) f ( ) cog [ f ( ) ] d Log ( ) sen[ f ] C ) f ( ) sec [ f ( ) ] d Log sec[ ( ) ] f ( ) f g[ ] C ) f ( ) cosec [ f ( ) ] d Log cosec[ ( ) ] f ( ) ) f ( ) sec [ f ( ) ] d [ f ( ) ] g C f cog[ ] C 5) f ( ) cosec [ f ( ) ] d cog[ f ( ) ] C 6) f ( ) sec [ f ( ) ] g[ f ( ) ] d [ f ( ) ] sec C 7) f ( ) cosec [ f ( ) ] cog[ f ( ) ] d cosec[ f ( ) ] C 8) f ( ) [ f ( ) ] ( ) d f rcsen C

213 8 Inroduccón l cálculo negrl 9) f ( ) [ f ( ) ] ( ) d f rccos C ) f ( ) [ f ( ) ] d rcg ( ) f C ) f ( ) [ f ( ) ] d n [ f ( ) ] n n C n ) f ( ) [ f ( ) ] d [ f ( ) ] rgh C Log C ) f ( ) [ f ( ) ] d [ f ( ) ] rgsh C Log C ) f ( ) [ f ( ) ] d [ f ( ) ] rgch C Log C 5) f ( ) sh [ f ( ) ] d [ f ( ) ] ch C 6) f ( ) ch [ f ( ) ] d [ f ( ) ] sh C 7) f ( ) h [ f ( ) ] d Log f ( ) ch[ ] C

214 Tl de negrles 9 8) f ( ) d [ f ( ) ] ch [ f ( ) ] h C 9) f ( ) [ f ( ) ] sech d ( ) f rcge C ) f ( ) cosech [ f ( ) ] d Log h[ ( ) ] f C ) ( ) f ( ) f rgsh d ( ) f ( ) f rgsh [ f ( ) ] C ) ( ) f ( ) f rgch d ( ) f ( ) f rgch [ ( ) ] ± f C f ( ) f ( ) s rgch > ; s rgch < ) ( ) f ( ) f rgh d ( ) ( ) f f rgh Log ( ) f C

215 Blogrfí APÓSTOL, T.M., Análss memáco. Reveré, 98 APÓSTOL, T.M., Clculus. Reveré, 989 BOMBAL, F. y oros, Prolems de nálss memáco. AC, 987 BURGOS, J., Cálculo nfnesml de un vrle. McGrw-Hll, 99 COQUILLAT, F., Cálculo Inegrl. Meodologí y prolems. Ter Flores, 98 DEMIDOVICH, B.P., 5. prolems de nálss memáco. Prnnfo, 987 GARCÍA CASTRO, F. y GUTIÉRREZ GÓMEZ, A., Cálculo nfnesml. Prámde, 99 KITCHEN, J.W., Cálculo. McGrw-Hll, 986 LARSON/HOSTETLER/EDWARDS, Cálculo y geomerí nlíc. McGrw- Hll, 995 LEGUA, M., SÁNCHEZ, L., Cálculo negrl y plccones. Servco de Pulccones Unversdd Polécnc de Vlenc, 995 PISKUNOV, N., Cálculo dferencl e negrl. Mr, 977 PUIG ADAM, R., Cálculo negrl. Bloec Memác, 976 QUINET, J., FAURE, P., Cours élémenre de mhémques supéreures. Dunod, 98 RUDIN, W., Prncpos de nálss memáco. McGrw-Hll, 98 SALAS, S.L., HILLE, E., Clculus. Reveré, 995 SOLER, M., BRONTE, R., MARCHANTE, L., Cálculo nfnesml e negrl. Los uores, 99 SPIVAK, M., Cálculo nfnesml. Reveré, 989