EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Transcripción

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1 Epresoes Algebrcs es l uó de úmeros y vrbles medte opercoes de sum, rest, multplccó, dvsó, poteccó y rdccó. Epresó lgebrc rcol: se llm sí quells e ls que ls vrbles está fectds úcmete por ls opercoes de sum, rest, multplccó y dvsó e cso de hber potecs, ests v fectds co epoetes eteros. Por ejemplo: 1 y 1 ) + y b) c) b d) 6 c 1 E los csos () y (c) se deom Epresó Rcol Eter es decr, se llm sí ls epresoes e ls que sus vrbles está relcods co ls opercoes de sum, rest y multplccó. S hy potecs, los epoetes so turles. Ls epresoes e los que o tervee l sum l rest se llm moomos.por ejemplo (c) L sum o rest de dos o ms moomos se llm POLINOMIO. Por ejemplo (). E cso de (b) y (d) e el cul lgu de ls vrbles form prte de u dvsor o fgur e u umerdor co epoete egtvo, se llm Epresó Rcol o Eter. Epresó lgebrc Irrcol se llm sí ls que lgu de sus vrbles está fectd por rdcles o epoetes frccoros. Por ejemplo: 1 y 1) Clsfcr ls sguetes epresoes y justfcr dch clsfccó. ) + 1 b) b + c)1 + y d) e) y + y f ) g) h) b + b 7 + 1

2 Polomos *De cuerdo l etmologí de l plbr polomo, se trduce como muchs (pol), dvsoes (omos) es decr muchos térmos. Deommos polomo tod epresó lgebrc, que puede ser escrt de l sguete form. P() = , 0 (1), est se deom FORMA DESARROLLADA. Dode : N 0 es el myor epoete de l determd co coefcete o ulo y es el que dc el grdo del polomo.. R so los coefcetes o prte umérc del térmo, sedo = 1,,...,.. 0 es el coefcete drector.. 0 es el térmo depedete. determd o vrble Otr form de defr u polomo es e térmos de sumtor: P( ) = = 0 Por ejemplo s P() = , es u polomo de grdo 6, el coefcete drector es 7, el térmo depedete es. Además el polomo está completo porque o fgur tods ls potecs meores que el grdo y está desordedo. Pr poder completrlo o se escrbr todos sus coefcetes prtr del prmero o ulo, y orderlo e form decrecete (co los epoetes de myor meor) se debe proceder de l mer sguete: P ( ) = * P () = 0 se deom polomo ulo y crece de grdo. Se llm vlor umérco del polomo P l vlor que tom l epresó (1) cudo l vrble es reemplzd por u vlor umérco determdo ) Idc que epresoes so polomos y cul es su grdo

3 1 ) + 1 b)( 1).( + 1) c)4 4 7 d) + e) f )( ) g) h) ) Opercoes co polomos Ddos dos polomos P y Q se desg como térmos semejtes quellos térmos que tee l msm prte lterl. Por ejemplo se: P ( ) = y Q ( ) = es semejte 4 es semejte -9 Iguldd de polomos: Dos polomos so gules s los coefcetes de los térmos semejtes so gules. Se : P( ) = y Q ( ) = b ; = 0 m = 0 P() = Q() s = m Sum de polomos = b L sum de dos polomos térmos semejtes. P( ) = y Q ( ) = b es l sum de los = 0 m = 0 Se: P( ) = y Q ( ) = b se defe: = 0 C() es: p= m{ m} m = 0 p C() = P() + Q() co C ( ) = c dode el grdo de polomo = o, y c = + b

4 Cosderdo el ejemplo teror: 4 P ( ) = Q ( ) = P( ) + Q ( ) = ) Ddos los sguetes polomos : P ( ) = Q ( )= + -.) Cuáles so sus coefcetes?.b) Clcul P ( ) + Q ( ).c) Clcul P ( ) + Q ( ) Polomos opuestos S P( ) = el polomo opuesto es P( ) = = 0 Rest de polomos Se: P( ) = y Q ( ) = b se defe: = 0 C() = P() - Q() m = 0 p C() = P() + [-Q()] co C ( ) = c dode el grdo de polomo = o C() es: p= m{, m} y c = + b = 0 Producto de Polomos El producto de dos polomos P( ) = y Q ( ) = b es gul l producto = 0 de todos los térmos del prmero por todos los térmos del segudo, es decr se plc l propedd dstrbutv y luego se sum los térmos semejtes. Por ejemplo s m = 0 P ( ) = Q ( )= + y Etoces result: P ( ). Q ( ) = C()

5 Dode el grdo de C() es l sum de los grdos de P() + Q() Dvsó de Polomos El cocete etre dos polomos P ( ) y Q ( ) es posble sempre y cudo el grdo del prmero se myor o gul l grdo del segudo ; y se procede e form smlr l dvsó eter etre úmeros turles. Se los polomos P ( ) y Q ( ) llmdos dvdedo y dvsor, este dos úcos polomos C ( ) y R ( ) deomdos cocete y resto, tles que : P () = Q (). C () + R () Recorddo que el lgortmo de l dvsó es el sguete: P ( ) Q ( ) R ( ) C ( ) Se: = C( ) R ( ) S R ( ) = 0 se dce que l dvsó es ect y P es dvsble por Q o que Q es dvsor de P.

6 6 4) Ddos los polomos : P ( ) = Q ( ) = ++1 R ( ) = S ( ) = - T ( ) = U ( ) = - 8 Efectú: ) P ( ) + Q ( ) + R ( ) = b) P ( ) + U ( ) + Q ( ) = c) R ( ) - P ( ) = d) P ( ) - Q ( ) = e) R ( ) + T ( ) -P ( ) = f) T ( ) - Q ( ) + U ( ) = g) U ( ). S ( ) = h) Q ( ). U ( ) = ) P ( ) : Q ( ) = j) R ( ) : S ( ) = k) T ( ) : U ( ) = l) P ( ) + U ( ). S ( ) Q ( )= ) Ddos los polomos : P ( ) = Q ( ) = R ( ) = - + S ( ) = Clcul : ) S ( ) [ Q ( ) - R ( )] + P ( ) = b) P ( ). Q ( ) + R ( ) = c) [P ( ) + Q ( )] : R ( ) = d) P ( ) - R ( ) = e) P ( ) + Q ( ) : R ( ) = Regl de Ruff L regl de Ruff es otr form de dvdr pero solo se plc cudo el dvsor tee l form de ±. Por ejemplo: Ddos: P ( ) = y Q ( ) = +

7 7 * Relzr P ( ) : Q ( ). Se observ que el dvsor tee l form co = -, por lo tto se puede dvdr plcdo l Regl de Ruff. E l msm sólo se trbj co los coefcetes Resto C ( ) = R ( ) = 18 6) Hll el cocete y el resto, cudo se posble plc Regl de Ruff. ) ( ) : ( + )= b) ( ) : ( ) = c) ( ) : ( 1) = d) ( - +1) : ( +) = e) : ( ) = 6 Teorem del Resto El resto de l dvsó de u Polomo P () por el bomo es gul l vlor umérco de dcho polomo pr =, es decr P (). Se P( ) = y Q() = -, este C() y R(): = 0 Cosderdo = P() = C(). Q() + R() P() = C(). ( ) + R() P() =C(). ( ) + R() P() =C(). 0 + R() P() = R() Por ejemplo: P ( - ) = (-) 4-4 (-) +(-) -(-)+6 = = 18

8 8 7) Determ s relzr el cocete s P ( ) es múltplo de Q ( ) ) P ( ) = + 4 Q ( ) = 1.b) P( ) = + 1 Q ( ) = + 1.c) P ( ) = + Q ( ) = 8) Clcul pr que el resto de l dvsó de etre + se gul 8. Ríces de u polomo Se u polomo P(), α es ríz de P() s P(α ) = 0. 9) ) Clcul ls ríces de los sguetes polomos. ) P() = 1 b) T() = 4 c) S() = d) R() = 6 e) C() = f) B() = 4 g) P() = h) Q() = + ) R() = 4 +4 j) S() = k) T() = l) C() = ) Epres los polomos ddos e () e térmos de productor. Relcoes etre ríces y coefcetes Se u polomo P() = , de grdo y α 1, α, α ríces del msmo. Ls relcoes que este etre ls ríces y los coefcetes so: α 1 + α + α = 1 α 1α + α1α + α α = α 1α α = 0

9 10) Relz l geerlzcó teedo e cuet u polomo de grdo. 11) Epres los sguetes polomos e l form desrrolld, utlz l relcó que este etre ríces y coefcetes. ) P() = ( 4 ). ( + 4). ( 1 ) b) Q() = ( 1 ). ( + 1). ( ) c) R() =. ( ). ( +1).( 1) d) S() =. ( +). ( ). ( +) e) T() = - ( +1). ( ). (+) 9 Fctoreo Fctorzr u polomo P ( ) sgfc trsformrlo e el producto de u costte por uo o más polomos prmos. Prmer Cso : FACTOR COMÚN A. M + B. M = M. ( A + B ) Ejemplo 6 1 =. ( ) Segudo Cso : FACTOR COMUN POR GRUPOS A. P + B. P + A. Q + B. Q = = P. ( A + B ) + Q. ( A + B ) = = ( A + B ). ( P + Q ) Ejemplo :. y + + y + 6 = = ( y + ) +. ( y + )= =( y + ) ( + ) Tercer Cso :DIFERENCIA DE CUADRADOS. y = ( + y ). ( y ) Ejemplo : 9 49 = ( + 7 ). ( 7 ) Curto Cso : TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. + + = ( + ) Ejemplo: = ( + )

10 Quto Cso : CUATRINOMIO CUBO PERFECTO = ( + ) Ejemplo: = ( + ) Seto Cso : SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO. + es dvsble por + s es IMPAR. + es dvsble por NUNCA. es dvsble por + s es PAR.. es dvsble por SIEMPRE Ejemplo:. + 8 = ( + ). ( + 4 ) Fctorz ) 10 = b) = c) y + + y + = d) y + y = e) = f) = g) - 1 = h) y = ) = j) 6 1 = k) y = l) = m) 9 b = ) y = o) 6 1 = p) ( + b ) + ( + b ) ( + b ) = q) 1 y + 1 y = r) 4 ( ) + ( ) 6 4 ( ) = s) y y =

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