CAPÍTULO I: LA INTEGRAL

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1 CAPÍTULO I: LA INTEGRAL. Coceptos geerles. Atdervd. Sums de Rem. Itegrl ded.. Propeddes de l tegrl ded.. Clculo de l tegrl ded. Teorem Fudmetl del Cálculo. Coceptos Geerles Hstórcmete, el cálculo tegrl surgó de l ecesdd de resolver el prolem de l otecó de áres de gurs pls. Los gregos lo ordro, llegdo órmuls pr el áre de polígoos, círculo, segmetos de práols, etc. Desde su orge, l ocó de tegrl h respoddo l ecesdd de mejorr los métodos de medcó de áres sutedds jo líes y superces curvs. L técc de tegrcó se desrrolló sore todo prtr del sglo XVII, prlelmete los vces que tuvero lugr e ls teorís sore dervds y e el cálculo derecl. Los ojetvos de este curso so presetr de mer vsul el cocepto de tegrl y sus propeddes, o se pretede quí hcer us demostrcoes rguross. El ojetvo prcpl es complemetr ls eplccoes que se de e el ul pr permtr u más ácl smlcó de ls msms. L opercó tegrl que estudremos e este cptulo ce como cosecuec de respoder l sguete pregut: s se cooce l velocdd de u prtícul pr u tempo determdo podemos coocer l ley de movmeto de tl prtícul? L respuest o es ácl de cotestr, est respuest os llev crer u dscpl que e prec o tee d que ver co l dervd, est dscpl es el cálculo tegrl. De hecho, el cálculo derecl y el cálculo tegrl uero cosderdos dsttos hst que surgó u teorem que demás de ur ests dscpls ls ehe como cotrrs, tl teorem es el teorem udmetl del cálculo; de este teorem hlremos co más detlle posterormete. E este mometo, os propodremos costrur groso modo l tegrl de u ucó. El cálculo tegrl se s e el proceso verso de l dervcó, llmdo tegrcó. Dd u ucó, se usc otr ucó F tl que su dervd es F = ; F es l tegrl, prmtv o tdervd de, lo que se escre F d o smplemete F d est otcó se eplc más delte.

2 / S es u ucó tl que pr e u tervlo I, etoces l tegrl de está dd por: d c Dode rece el omre de ucó tegrl y C es culquer úmero rel y rece el omre de costte de tegrcó. Durte el desrrollo del curso se estudr co más detlle el tem de l tegrl.. Atdervd de u Fucó U ucó F es u tdervd de u ucó, s pr todo e el domo de F = S F es u tdervd de u ucó e u tervlo I, etoces G es u tdervd de e el tervlo I s y solo s es de l orm: G=F+C, pr todo e I; dode C es u costte. De tl orm que d se represet: EJEMPLO, Ecuetre u tdervd de l ucó e el tervlo Solucó Buscmos u ucó F que stsg l guldd, ' F Pr tod rel.

3 Por uestrs eperecs e dervcó semos que F Es u de tles ucoes. S lzmos detedmete podemos ecotrr otrs solucoes pr el ejemplo. L ucó F tmé stsce l guldd ' F ; por lo tto, tmé es u tdervd de. De hecho, F c, dode C es culquer costte, es u tdervd de e -,. EJEMPLO Ecuetre l tdervd geerl de, e el tervlo Solucó L ucó F o lo hce puesto que su dervd es F, que stsce l guldd c. geerl es F '. Pero sugere que. Pero l dervd EJEMPLO Ecuetre l tdervd geerl de / Solucó / d 7 / c 7 / 7 7 / c Oserve que pr tdervr u potec de se umet l epoete y se dvde etre el uevo epoete.. Sums de Rem Asummos que est ded e u tervlo [, ], pero o es ecesr mete cotu e dcho tervlo. Se u prtcó rtrr del tervlo Y se l logtud del esmo sutervlo. Además, se c culquer puto del sutervlo -esmo, l sum

4 c c Se cooce como u sum de Rem pr l prtcó. Cosdérese u ucó ded e u tervlo cerrdo [, ]. Puede teer tto vlores postvos como egtvos e el tervlo y squer ecest ser cotu. Su grc puede ser precd l sguete: Cosdérese u prtcó P del tervlo [, ] e sutervlos que o ecest teer gul logtud por medo de los putos y se. E cd tervlo, escójse u puto rtrro que puede ser u puto roter; llmemos este u puto muestr del -ésmo sutervlo. De l sum: R p Llmmos R p sumtor rem de correspodete l prtcó p. E l sguete gur se muestr l terpretcó geométrc. Nótese que ls portcoes de los rectágulos que qued dejo de ls so los versos dtvos de sus áres, y que e este cso <

5 EJEMPLO Evlué l sum Rem R P pr F 8 E el tervlo [.] usdo l prtcó P co putos de seprcó e <. < <. < < y los correspodetes putos de muestr =., =., =., =., =. Soluco R P L represetcó geométrc correspodete prece e l sguete gur: EJEMPLO Evlué l sum Rem pr del tervlo [-, ] usdo los putos de seprcó equvletes - < -. < <. < <. <, co el puto muestr que se ecuetr l mtd del -esmo sutervlo.

6 Soluco Oserve el dujo de l sguete gur: R p = [ ]. = [......]. =.97. Itegrl Ded Se u ucó que h sdo ded e u tervlo cerrdo [, ]. S este: lm p Se dce que es tegrle e [, ]. Además, d, se llm tegrl ded o tegrl de Rem de etre y, es el vlor de: d lm p E geerl, d d el re co sgo de l regó compredd etre l curv y y el eje e el tervlo [, ], etededo que u sgo ms + es sgdo ls áres de ls prtes que está rr del eje y u sgo meos - es sgdo ls áres de ls prtes que está jo del eje. E símolos: d Asup eror A eror Dode A sup eror y A eror so como se muestr e l gur:

7 E l decó d dode se llm cot o lmte eror y se llm cot o lmte superor, este l suposcó mplíct de que <. Se puede elmr es restrccó medte ls sguetes decoes. d d E cosecuec, d, d, d d Es mportte señlr que e el símolo d, es u vrle mud es decr que puede ser reemplzd medte culquer otr lterl sempre que, por su puesto, est se susttud tods ls veces e l que se presete. Por lo tto, d t dt u du Cuáles Fucoes so Itegrles? S est cotd e [, ] y s es cotu e ese tervlo, co ecepcó de u umero to de putos, etoces es tegrle e [, ]. E prtculr, s es cotu e todo el tervlo [, ], es tegrle e [, ]. Como cosecuec, so tegrles ls sguetes ucoes e todo tervlo cerrdo [, ].

8 . Ls ucoes polomles. Ls ucoes seo y coseo. Ls ucoes rcoles, u ves que el tervlo [, ] o coteg putos e los que el deomdor se cero... Propeddes de l Itegrl Ded. L tegrl de u costte es l costte por l vrle. kd k c Dode c es u costte.. L tegrl de u vrle elevd u epoete. d k. L tegrl de l ucó epoecl e d e k. g d g d. d l k Se lustr ls propeddes de ls tegrles co los sguetes ejemplos:. d k. e d e k d k 9 / /. d d d d d / / /

9 k / /.. Clculo de Itegrles Deds El ser que u ucó es tegrle os permte clculr su tegrl medte el uso de u prtcó regulr sutervlos de gul logtud y l eleccó de putos muestr e culquer orm que se coveete. EJEMPLO Evlué d Soluco Dvd el tervlo [-,] e tervlos gules, cd uo de logtud. / E cd sutervlo, tome como puto muestr. Etoces, Por lo tto, / y etoces

10 Puesto que p es u prtcó regulr, p es equvlete. coclumos que: lm lm d p p EJEMPLO Evlué d 8 Soluco Se P u prtcó regulr de [-,] e sutervlos gules, cd uo de logtud /. E cd sutervlo [ -, ] escoj u que se el puto roter de l derech, sí que. Etoces, 8 8 E cosecuec,

11 8 8 8 Coclumos que, 8 8 lm lm 8 d p p. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO El teorem os dce que l dervcó y l tegrcó ded so opercoes verss, e orm precd como lo so l dvsó y l multplccó. Los procesos de límte usdos pr der l dervd y l tegrl ded coserv est relcó de verss. S u ucó es cotu e el tervlo,, etoces F F d Dode F es culquer ucó tl que ' F pr todo e,. Se cosder ' F u tdervd culquer de. EJEMPLO demuestre que k kd, sedo k u costte

12 Soluco F k es u tdervd de k. Por lo tto por el teorem udmetl del clculo. kd F F k k k EJEMPLO Demuestre que d. Soluco F es u tdervd de, por lo tto, d F F Al plcr el teorem udmetl del cálculo es útl usr l otcó, d F F F Por ejemplo, escrmos d 8 EJEMPLO Evlué d Soluco d 8 / / EJEMPLO Evlué d Soluco / / / 7 / d EJEMPLO Evlué Soluco d

13 d / d / / / / EJEMPLO Evlué Soluco / 8 sec d / 8 / 8 sec d sec d u / 8 tg