POLINOMIOS. - Ejemplo: es un polinomio ordenado segun la variable x, cuyos coeficientes son: 2

Transcripción

1 POLINOMIOS Defcó: Fucó Polóc - Fucó Polóc f es tod fucó de doo el cojuto de los úeros reles, tl que l ge de cd úero rel x es: f x = x + x + + x + x+, dode,,,,, so ueros reles y es turl Defcó: Poloo - Poloo de vrble rel x, es tod expresó de l for: P x x + x + + x + x+, dode,,,,, so ueros reles y es turl - OBSERVACIONES: - Se puede decr que el poloo P(x) es el edo pr clculr el úero f(x) -,,,,, se deo coefcetes del poloo - el subídce de dc que es el coefcete de x ( es u turl que vrí etre y ) - Ejeplo: P( x) = 8x + 6 x es u poloo ordedo segu l vrble x, cuyos coefcetes so: =, = 6, =, = 8, 4 = 5 = =, Defcó: Llreos VALOR NUMÉRICO de u poloo P(x) co respecto u úero rel α l úero que so obtee luego de efectur opercoes e P(x) cudo se susttuye l vrble x por α (otreos P(α)) - Ejeplo: 4 P x = x + 6x x + x, clculeos P y P 4 () () () () P() 4 P = = = = P = = = = 8 Defcó: Ríz de P(x) P( α) α es rz de P x = - E el ejeplo teror observos que P() =, por lo tto x = es ríz de P(x) Defcó: Grdo de u poloo El grdo de Notcó:, P x x + x + + x + x+, es el yor turl tl que gr P x =, se deo coefcete prcpl - Ejeplo: 4 P( x) = x + 6x x + x, gr P( x) = 4, y el coef prcpl es 4 = Q( x) Q x = 5 gr = T x = 6x+ gr T x =

2 Defcó: Poloo Nulo es el Poloo Nulo, θ x = - No exste el grdo del poloo ulo - El poloo ulo dte fts ríces Defcó: Poloos Idétcos es detco Q =, P x = x + x + + x + x+ y Q x = b x + b x + + bx + bx+ b P x x b - Es decr, dos poloos so détcos s, tee gul grdo, y deás los coefcetes de los téros del so grdo se gules - Observcó: - S dos poloos so détcos, sus vlores uércos so gules pr culquer x rel OPERACIONES CON POLINOMIOS - Defcó: SUMA DE POLINOMIOS: Se P x = x + x + + x + x+ y Q x = b x + b x + + b x + bx+ b, ( x) y Q( x) es S( x) = ( + b) x sedo = { } L su de P x, = = - S(x) por su for es u poloo cuyos coefcetes so los reles ( b ) + Esto sgfc que cd coefcete del poloo S(x) se obtee sudo los coefcetes de los téros seejtes, es decr, los téros de gul grdo - Defcó: PRODUCTO DE POLINOMIOS: Ddos los poloos A( x) = x + x + + x + x+ y b = + p j= A(x)B(x) es P x = c x, dode los coefcetes c = b j = j= - Algus cosecuecs: ) L ultplcco de poloos es u uco poloo j B x = x + b x + + b x + b x+ b, el producto gr A x = ) gr A( x) B ( x) = + gr B x = θ = θ = ) P x x x y P x P x Defcó: DIVISIÓN ENTERA - Defcó: Dvsó Eter Ddos los poloos A( x) y D( x) o ulo, el cocete Q ( x ) y el resto R ( x ) de l dvso A ( x ) por D( x) verfc:

3 = + < = θ º ) A x D x Q x R x º) gr R x gr D x o R x x Los poloos A x y D x se deo dvdedo y dvsor, respectvete - Not: Adtreos el esque de dvsó: - Observcoes: A(x) D(x) A( x) = D( x) Q( x) + R( x) R(x) Q(x) ) El cocete y el resto de u dvsó so úcos ) E el cso e que R( x) θ ( x) = decos: - D(x) dvde A(x) - A(x) es dvsble por D(x) - A(x) es últplo de D(x) - L dvsó A(x) por D(x) es exct gr A x gr D x ) gr A( x) gr D( x) gr Q( x) = Dvsó por (x - α) - Se u poloo P(x) dvddo por (x - α) Es decr gr ( x α ) P(x) x-α Po r defco gr R x < S R x o e s el polo o ulo, el grdo del resto es cero Este es el otvo por el cul sbolzreos R x co r, r rel R(x) Q(x) - El grdo del poloo cocete es l dferec etre los grdos de los poloos dvdedo y dvsor Lldo l grdo del poloo dvdedo teeos que gr Q( x) = - El coefcete prcpl de Q(x) es gul l coefcete prcpl de A(x) pues surge de dvdr este últo por, y que, e est dvsó, es el coefcete prcpl del dvsor Esquetzdo: A(x) R(x) D(x) Q(x) A(x) = (x - α)q(x) + r Esque de Ruff - Muchs veces pr resolver deterdos probles es útl u lgorto coocdo coo Esque de Ruff Hllreos el cocete y resto de dvdr 4 A x = 5x + 7x x + 6 por B(x) = x- SUMAR MULTIPLICAR ( x) x x x El cocete es Q = y el resto es R x = 58 Polo Ruff (765-8)- Mteátco Itlo

4 - Cóo usr el esque de Ruff cudo el dvsor es x +, y? 4 Trteos de trsforr este proble, e uo y vsto A( x) = ( x + ) Q( x) + r A( x) = x + Q ( x) r 44 + Co lo cul relzos u uev dvsó obteedo u cocete C(x) y resto r C x Por lo tto: A(x) x + / ) Coo Q(x) = C(x), pr hllr los coefcetes de Q(x), bst co r C(x) dvdr cd uo de los c por Q( x) = C( x) ) El resto de est uev dvsó, es el resto de dvdr A(x) por x+ A(x) x+ r C( x) H leos el cocete y resto de dvd A x = x x + 5x+ por B(x) = x l r Por lo tto: Q x = x 6x+ 5 Q x = x x+ 5 y r = LEY DEL RESTO El resto de dvdr u polo o A(x) por x-α es el úero A(α) ( α ) ( α ) Por H, A x = x Q x + r Clculeos A : } A( α) = ( α α) Q( α) + r = Q( α) + r = + r = r A( α) = r 44 = - Observcó: TEOREMA D E DESCARTES L codcó ecesr y sufcete pr que P(x) se dvsble por x - α es que, α se ríz de P(x) ( α) α P x es dvsble por x es rz de P x A x por x+, : ( x α) { ( x α) { P( α) = { α P x Nots: es dvsble por El resto de dvdr P x por es es rz de P x def de Ley del Resto Def de poloo Rz dvsble - El dto S(x) es dvsble por x-α os dc que el resto de l dvsó es cero - Est propedd relco l dvsó co ls ríces de u poloo TEOREMA o α es rz de P x α es rz de D x α es rz de Q x Es decr, s P(x) es dvsble por D(x): - ls ríces de P(x) so ríces del dvsor o del cocete

5 - ls ríces del dvsor y del cocete so ríces de P(x) TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL 5 Todo poloo de grdo,, co ríces reles y dstts dos dos, puede expresrse coo el producto de boos de l for x ríz ultplcdo por u poloo de grdo - Pr copreder ejor l deostrcó, hreos l s pr u poloo de tercer grdo, teedo e cuet que l s es álog pr u poloo de grdo P x = x + x + x+, Q x y Q x = P x = x x x Se α, β, γ rces de P( x) dstts dos dos De : ( α) = { = ( α) ) P Q x / P x x Q x T Descrtes / ( α )( β)( γ) P( β) = P( β) = ( β α) Q ( β) Q( β) = { Q( x) = ( x β) Q( x) ) β rz de P x = ( α)( β) Susttuyedo e (): P x x x Q x T Descrtes P( γ) = P( γ) = ( γ α)( γ β) Q ( γ) Q ( γ ) = { ) γ rz de P x Susttuyedo e (): = ( α)( β)( γ) P x x x x Q x T Descrtes Q ( x) = ( x γ ) Q ( x) ( α)( β)( γ) = ( α)( β)( γ) { Îd depoloos Coo gr P x = gr x x x + gr Q x, deducos que gr Q x = Q x = h, h Por lo tto: x + x + x+ = h x x x = h P ( x) = ( x α)( x β)( x γ) Observcoes: ) S > y α rces dstts etre s, ( α )( α )( α ) P x = x x x Q x gr Q x = Descoposco fctorl de P x ) U poloo de grdo o tee ás de ríces reles dferetes - Noteos que ls propeddes terores, excluye l posbldd de que lgus ríces se gules Pr coteplr est posbldd, defos orde de ultplcdd de u ríz (ríz últple) - Defcó: ) Se P(x) o ulo El turl es el orde de ultplcdd de l ríz α e P(x Q x / P x = x α Q x y Q α P( x) = ( x α) ( x α) ( x α ) Q( x) * ( α ),, y des gr P( x) = gr Q( x) Por lo tto, s P x o es el poloo ulo, y dte rces ultples dstts, l descoposco fctorl de P x ser l expreso: Q

6 TEOREMA De Idetdd de Poloos 6 Se dos poloos A(x) y B(x) S los vlores uércos A(α) y B(α) so gules pr culquer rel α, se tee que A(x) es détco B(x) RAÍCES DE UN POLINOMIO - Ríces prtculres de u poloo - es ríz de u poloo s y sólo s el téro depedete es cero - es ríz de u poloo sí y sólo s l su de los coefcetes es cero - - es ríz de u poloo sí y sólo s l su de los coefcetes de los téros de grdo pr es gul l su de los coefcetes de los téros de grdo pr RELACIONES ENTRE COEFICIENTES Y RAÍCES - POLINOMIO DE PRIMER GRADO: Se P x = x +, y α rz de P x ( α) α P( x) x Por D F P x = x = x d de = = α α poloos = + - POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO: Se P x = x + x +,, α y β rces de P x ( α + β) = α + β = Por D F P ( x) = ( x )( x ) = x ( + ) x + poloos P( x) = x + x+ αβ = α β = - POLINOMIO DE TERCER GRADO: α β d de α β αβ = α β γ Se P x x x x,,, y rces de P x Utlzdo u rzoeto logo teeos: α+ β+ γ= αβ + αγ + βγ = αβγ =

7 Probles Propuestos # 7 4 ) Se P x = x x 4x+ 9 y Q x = x 5x x+, clculr: P, () P(, ) P(, ) P, P(,4, ) Q(, ) Q, Q(, ) Q( ) ( x) = x + x x+ = = + ( ) + ( ) = + + = ) ) Ddo P 8, hllr sbedo que P 6 b) Ddo Q x 4x x x 9, hllr sbedo que Q = c) Ddo H x x x bx 6, hllr y b sbedo que H - y que el vlor uerco de H pr x= es -8 ) Ddo P x = + x + bx ) Dscutr segu y b el grdo de P x b) Deterr u posble ybpr que x= se rz de P x ) Se F x = x + bx + c = ( ) = ) Deterr, byc sbedo que F, F y es rz de F x ) es rz de F ( x)? ) Clculr F F v) Represetr grfcete F x e dcr su sgo () ( ) = x x + x + x B x = x x C x = x x+ y D x = x + x + x 4 4) Ddos: A x,, ( ) Clculr: ) A x + B x + C x ) A x C x + D x ) A x B x C x D x v) A x : D x 5) E cd cso hllr el vlor de sbedo que: = x x + ble por ( x- ) ) B( x) = x ( + ) x 4x + es dvsble por ( x+) = = ( ) + ( + ) + ( ) = ( ) x + ( + ) x+ ( ) = ( ) x + ( + ) x+ ( ) ) A x 5 es dvs ) J x x x 4 es dvsble por x- v) C x x x es u poloo de prer grdo v) Z x dte rz - v)l x 6) Aplcdo el esque de Ruff, hllr cocete y resto de: to el vlor 4 pr x=- ) 7x 5x : x b) 8x 4x x : x c) x 5x 8x : x 5 5 ( + ) + ( + ) ( ) ( + ) ( + ) 7) Ddo P( x) = x + x + x 5, deterr pr que P( x ) dvddo por ( x+ ) teg resto 8) Ddo P( x) = x + 4 x+, deterr pr que P( x ) se dvsble por ( x- ) 9) Ddo P( x) = x + x + bx, deterr y b pr que P( x ) dvddo por ( x- ) teg resto 54 y dvddo por ( x+ ) teg resto - ) Ddo P( x) = x 5 x + x+ b, deterr y b pr que P( x ) teg rz - y que dvddo por ( x+ ) teg resto gul l tero depedete de P( x ) 4 ) Ddo P( x) = x x + bx x+, deterr y b pr que P( x ) dvddo por ( x- ) de resto y pr que el cocete de es dvso dvddo etre ( x- ) teg resto ) Se sbe qe P( x ) es dvsble por ( x- ) y que P( x ) dvddo por ( x+ ) d resto -5 Clculr el resto de dvdr P( x) por ( x-)( x+ ) ) P( x ) dvddo por ( x+ ) d resto 4, P( x ) dvddo por ( x+ ) d resto y P ( x ) dvddo por ( x- ) d resto - Clculr el resto de dvdr P( x ) por ( x+ )( x+ )( x )

8 x + x + x + x + = x + bx + c x x + 4 4) Hllr,,, b y c tl que: = x x x + x+ b b 5) Ddo P x = x x + 5 x + x+ b Hllr y b pr que P x se dvsble por x + x+ 6) Ddo P x 9 4 Hllr y pr que P x 7) Hllr,, p y q sbedo que: x 5x 7x+ = x + x + p x + q se u cudrdo perfecto de coef prcpl postvo 8) Hllr A x de tercer grdo s se sbe que A - = A y des A x- A x = 6x + x 7 8 9) Hllr tods ls rces de P x = 6x x 5x+ =, sbedo que u rz es gul l su de ls otrs dos x x x+ = ) Resolver 8 9 s se sbe que dos de ls rces so opuests ) Hllr tods ls rces de P x = x x 5x =, sbedo que el producto de dos de sus rces es - ) Resolver =, sbedo que u rz es gul l producto de ls otrs dos x ) Ddo P x = x x x x Resolver P x = s ls rces est e progreso rtetc = 4) Resuelve y hll e: x 4x x, s el producto de dos de sus rces es - = + + 5) Ddo P x x 8x 9 x ) Hllr pr que u de l vlor de, resuelve P x = 6) Resuelve: 5x +7x 4x+ = s α + β = 5 7) Resuelve: x + x 97x = s αβ = 8) Hllr tods ls rces de A x y B x sbedo que tee rces coues 4 4 ) A x = 5x + 8x 7x 8 y B x = 5x + 6x 89x 6 b) A x = x 9x + 9x + 9x y B x = x 6x 7x+ 6 9) Ddo P x = x + x + x + x 9 6 ) Clculr ls rces depedetes del pretro b) Clculr pr que l su de ls rces se s rces se el doble de l otr, co ) Ddo P x = x + x + x Hllr l rz depedete del pretro (RIP) ) Ddo P x = x 5 x + x 7+ Ivestgr l exstec de RIP ) P x = + x x + 8 Ivestgr l exstec de RIP ) Resolver: x + x + + x = ; sbedo que tee u rz depedete 4 = x x + ( + ) x ( + ), y pr ese de, sedo u rel coocdo 4) Resolver: x + + x x + + x+ =, sbedo que dte dos RIP 5) Ddo P x 5 ) Ivestgr l exstec de RIP ( + ) ) Deterr pr que P(x) se dvsble por x ) Pr el vlor hlldo e b), resuelve P(x)= 6) Ddo P(x)= x + 5 x 5 7 x + ) Ivestgr l exstec de RIP b) Hllr pr que ls tres rces de P x se reles x + x + + x 7) Ddo P(x)= 4 4 ) Ivestgr l exstec de RIP b) Resuelve P(x)= c) Hllr pr que l su de ls rces vlg 4

9 8) Se M(x) u poloo de curto grdo cuyo gráfco es el sguete: 9 ) Deterr M(x) ) Resolver: M(x) > ) H(x) es u poloo de tercer grdo tl que su bosquejo gráfco es el sguete: α ) Deterr H(x) ) Resuelve: H(x) = y H(x) ) El resto de dvdr H(x) por x+ es? Justfc 4) Se u fucó Polóc f(x) de tercer grdo y su bosquejo gráfco es el sguete: ) Deterr f(x) ) Resuelve f(x) ) Respode V o F Justfc ) f(x) dvddo por x+ d resto -4 b) f(x) es dvsble por x- 4) Deterr f(x) de tercer grdo sbedo que f(x) dvddo etre x+ d resto 5 y su gráfco es el sguete: c) Respode V o F Justfc 9 ) f(x) es dvsble por x- ) El resto de dvdr f(x) por x es ) L ge de - es gul f() - α