Fracciones Parciales. Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO

Transcripción

1 Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO

2 Una expresión racional con coeficientes en un campo K, es una expresión de la forma ax ( ) bx ( ) donde ax ( ), bx ( ) K[ x] ax ( ) cx ( ) bx ( ) dx ( ) y bx ( ) 0 Diremos que si y sólo si a(x)d(x) b(x)c(x) El conjunto de expresiones racionales con coeficientes en K se denotará K(x) La suma de dos expresiones racionales se define como ax ( ) cx ( ) axdx ( ) ( ) + bxcx ( ) ( ) + bx ( ) dx ( ) bxdx ( ) ( ) También definimos el producto de dos expresiones racionales como: ax ( ) ( ) ( ) ( ) cx axcx bx ( ) dx ( ) bxdx ( ) ( ) Se puede verificar fácilmente que con estas operaciones K(x) es un campo Una expresión racional a(x)/b(x) se dice que es propia, si el grado de a(x) es menor que el grado de b(x) Si a(x)/b(x) es una expresión racional impropia podemos utilizar el algoritmo de la división para escribir a(x) b(x)q(x)+ r(x), donde r(x)0 o grado r(x) < grado b(x), de esta manera ax ( ) rx ( ) qx ( ) + bx ( ) bx ( )

3 Por lo que toda expresión racional o es propia o se puede escribir como un polinomio más una expresión racional propia Veremos a continuación cómo expresar una expresión racional propia como suma de expresiones racionales sencillas, llamadas fracciones parciales Lema Sean ax ( ), bx ( ) K[ x] distintos de cero, tales que grado a(x) < grado b(x) y supongamos que bx ( ) p( xp ) ( x), donde ( ( ), ( )) mcd p x p x Entonces existen polinomios r( x), r ( x) K[ x] ri ( x ) 0o grado ri ( x ) < grado p ( x), i,, tales que, donde ax ( ) r( x) r( x) + bx ( ) p( x) p( x) Demostración Como ( ( ), ( )) lo tanto mcd p x p x, existen sx ( ), tx ( ) K[ x] tales que s( x) p( x) + t( x) p( x) Por ax ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sxax + txax px + gx, b( x) p ( x) p ( x) p ( x) p ( x) donde f( x) txax ( ) ( ) y gx ( ) sxax ( ) ( ) Ahora bien, por el algoritmo de la división, podemos escribir f( x) p ( x) q ( x) r( x) + y g( x) p ( x) q ( x) + r ( x), 3

4 donde r ( x ) 0o grado r ( x ) < grado p ( x), i, Por lo tanto ax ( ) r( x) r ( x) q ( x) + + q ( x) + bx ( ) q( x) q( x) Como grado ax ( ) < grado bx, ( ) se sigue que q ( x) + q ( x) 0y de ahí que ax ( ) r( x) r( x), bx ( ) p( x) p( x) con ri ( x ) 0o grado ri ( x ) 0< grado p ( x ), i, Lema Sean ax ( ), bx ( ) K[ x] distintos de cero, tales que grado ax ( ) < grado bx ( ) y supongamos que [ ] [ ] [ ] m m mk k bx ( ) p( x) p( x) p( x) donde ( ), ( ), k ( ) K x Entonces existen polinomios h ( x),, hk ( x ), con grado hj ( x ) < grado p ( ) mj j x, para toda j,, k, tales que p x p x p x son polinomios distintos, irreducibles en [ ] ax ( ) h ( x) hk ( x) + + mk bx ( ) p ( x) p ( x) m [ ] [ ] k 4

5 Demostración Haremos la demostración por inducción sobre k Si k basta tomar h ( x) ax ( ) Supongamos cierto el resultado para algún k Si [ ] [ ] [ ] m mk mk + bx ( ) p( x) p( x) p ( x), k k+ entonces por el lema ax ( ) f( x) gx ( ) + bx ( ) p ( x) p ( x) p ( x) [ ] [ ] [ ] m mk mk + k k+ Ahora bien, por hipótesis de inducción: f( x) k m mk m mk [ p ( x) ] [ p ( x) ] [ p ( x) ] [ p ( x) ] k h( x) h ( x) + + Por lo que haciendo h ( ) ( ) k + x gxse cumple el resultado Lema 3 Sean hx ( ), px ( ) K[ x] tales que k grad h(x) < grado [p(x)] m, entonces existen polinomios h(x),,hm(x), donde hj(x)0 o grado hj(x) < grado p(x), para toda j,,m, tales que hx ( ) h( x) h ( x) hm ( x) m [ px ( )] px ( ) [ px ( )] [ px ( )] m 5

6 Demostración Haremos la demostración por inducción sobre m Si m el resultado es trivialmente cierto Supongamos ahora que el resultado es cierto para algún m Por el algoritmo de la división: hx ( ) pxqx ( ) ( ) + rx ( ) donde r(x)0 o grado r(x) < grado p(x) Por lo tanto hx ( ) qx ( ) rx ( ) + m+ m m+ [ px ( ) ] [ px ( ) ] [ px ( ) ] h( x) h ( x) h ( x) rx ( ) px ( ) px ( ) px ( ) px ( ) m m m m+ [ ] [ ] [ ] Por lo que haciendo h ( ) ( ) m+ x rxse cumple el resultado Teorema (Fracciones parciales) Sean ax ( ), bx ( ) K[ x] distintos de cero, tales que grado a(x) < grado b(x) y supongamos que bx ( ) p( x) p( x) p( x) m m mk k donde p( x), p( x), pk ( x ) son polinomios distintos, irreducibles en K[x], entonces ax ( ) k m i h ( x) bx ( ) ( ) ij i j [ p x ] j, donde hij ( x) es cero o grado hij ( x ) < grado pi ( x ), para toda i,,k y para toda j,, mi 6

7 Demostración Se sigue directamente de los lemas anteriores Ejemplo Descomponer 7x ( x 3)( x+ ) Solución 7x a b + ( x 3( x+ ) x 3 x ( + ) + bx ( x 3)( x+ ) a x ( 3) Por lo tanto 7x a(x + ) + b(x 3) En particular, evaluando en ambos lados en x 3 tenemos que 0 5a y por lo tanto a Análogamente, si x tenemos que 5 5b y de ahí que b 5 En conclusión: 7x 5 + (x-3)(x+) x-3 x+ 7

8 Ejemplo Descomponer 4 ( x +) Solución 4 4 x + ( x i)( x+ i) a b + x i x+ i a( x+ i) + b( x+ i) x + Por lo tanto a i y b i De modo que i i 4 + x + x i x+ i Ejemplo 3 Descomponer 4 3x + 5 xx ( + ) 8

9 Solución x + a bx + c cx + d xx x x x ( + ) + + ( ) a x + + x bx + c x + + dx + e x ( ) ( )( ) ( ) xx ( + ) a+ b x + cx + a+ b+ d x + c+ e x+ a xx ( + ) 4 3 ( ) ( ) ( ) Por lo tanto a+ b 3 c 0 a+ b+ d 0 c+ e 0 a 5 De ahí que a 5, b, c 0, d 8 y e 0, y por lo tanto x + x x ( + ) + + xx x x x ( ) 9

10 Ejercicios Encuentra la descomposición de x 5 ( x i)( x+ 4) Encuentra la descomposición de 4x + 8x+ 5 ( x+ )( x+ ) 3 Encuentra la descomposición de 5x 7x+ 6 xx ( 4x+ 3) 4 Encuentra la descomposición de 5x 7x+ 6 xx ( 4x+ 3) 0