Algoritmos aleatorizados
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- Alejandro Paz Moreno
- hace 9 años
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1 Algoritmos aleatorizados IIC2283 IIC2283 Algoritmos aleatorizados 1/109
2 Algoritmos aleatorizados Vamos a permitir a los algoritmos tener una componente aleatoria I En general esto significa que un algoritmo toma algunas decisiones dependiendo de valores escogidos al azar (según una distribución de probabilidades) IIC2283 Algoritmos aleatorizados 2/109
3 Algoritmos aleatorizados Vamos a permitir a los algoritmos tener una componente aleatoria I En general esto significa que un algoritmo toma algunas decisiones dependiendo de valores escogidos al azar (según una distribución de probabilidades) Hablamos entonces de algoritmos aleatorizados IIC2283 Algoritmos aleatorizados 2/109
4 Algoritmos aleatorizados La ejecución de un algoritmo aleatorizado depende entonces de valores escogidos al azar I Distintas ejecuciones pueden dar resultados distintos IIC2283 Algoritmos aleatorizados 3/109
5 Algoritmos aleatorizados La ejecución de un algoritmo aleatorizado depende entonces de valores escogidos al azar I Distintas ejecuciones pueden dar resultados distintos Vamos a considerar dos tipos de algoritmos aleatorizados: IIC2283 Algoritmos aleatorizados 3/109
6 Algoritmos aleatorizados La ejecución de un algoritmo aleatorizado depende entonces de valores escogidos al azar I Distintas ejecuciones pueden dar resultados distintos Vamos a considerar dos tipos de algoritmos aleatorizados: I Monte Carlo: el algoritmo siempre entrega un resultado, pero hay una probabilidad de que sea incorrecto IIC2283 Algoritmos aleatorizados 3/109
7 Algoritmos aleatorizados La ejecución de un algoritmo aleatorizado depende entonces de valores escogidos al azar I Distintas ejecuciones pueden dar resultados distintos Vamos a considerar dos tipos de algoritmos aleatorizados: I Monte Carlo: el algoritmo siempre entrega un resultado, pero hay una probabilidad de que sea incorrecto I Las Vegas: si el algoritmo entrega un resultado es correcto, pero hay una probabilidad de que no entregue resultado IIC2283 Algoritmos aleatorizados 3/109
8 Cuáles son las ventajas de los algoritmos aleatorizados? IIC2283 Algoritmos aleatorizados 4/109
9 Cuáles son las ventajas de los algoritmos aleatorizados? Existen problemas para los cuales los algoritmos aleatorizados son más eficientes que los algoritmos usuales (sin una componente aleatoria) I Por ejemplo, el problema de verificar si un número es primo IIC2283 Algoritmos aleatorizados 4/109
10 Cuáles son las ventajas de los algoritmos aleatorizados? Existen problemas para los cuales los algoritmos aleatorizados son más eficientes que los algoritmos usuales (sin una componente aleatoria) I Por ejemplo, el problema de verificar si un número es primo Existen problemas para los cuales los únicos algoritmos eficientes conocidos son aleatorizados I Por ejemplo, el problema de verificar si dos polinomios en varias variables son equivalentes IIC2283 Algoritmos aleatorizados 4/109
11 Cuáles son las ventajas de los algoritmos aleatorizados? Existen problemas para los cuales los algoritmos aleatorizados son más eficientes que los algoritmos usuales (sin una componente aleatoria) I Por ejemplo, el problema de verificar si un número es primo Existen problemas para los cuales los únicos algoritmos eficientes conocidos son aleatorizados I Por ejemplo, el problema de verificar si dos polinomios en varias variables son equivalentes Vamos a ver en detalle estos ejemplos... IIC2283 Algoritmos aleatorizados 4/109
12 Un primer ejemplo: equivalencia de polinomios Consideramos polinomios en Q Suponemos inicialmente que un polinomio es una expresión de la forma: donde cada a i,j 2 Q p(x) = kx Y`i (x + a i,j ) i=1 j=1 La forma canónica de p(x) es una expresión de la forma: p(x) = donde cada c i 2 Q y ` =máx{`1,...,`k} `X c i x i i=0 El grado de p(x) es`. IIC2283 Algoritmos aleatorizados 5/109
13 Un primer ejemplo: equivalencia de polinomios Evaluamos los polinomios sobre elementos de Q I La operación más cara en este proceso es la multiplicación de números en Q, poresonosconcentramosenella IIC2283 Algoritmos aleatorizados 6/109
14 Un primer ejemplo: equivalencia de polinomios Evaluamos los polinomios sobre elementos de Q I La operación más cara en este proceso es la multiplicación de números en Q, poresonosconcentramosenella Ejercicio 1. De un algoritmo que, dado un polinomio p(x) ya 2 Q, calculep(a) 2. De un algoritmo que, dado un polinomio p(x) en su forma canónica y a 2 Q, calculep(a) Los dos algoritmos deben realizar O( p(x) ) multiplicaciones,donde p(x) es el largo de p(x) considerado como una palabra sobre un cierto alfabeto. IIC2283 Algoritmos aleatorizados 6/109
15 Un primer ejemplo: equivalencia de polinomios Dados dos polinomios p(x) y q(x), queremos verificar si son idénticos. I Para cada a 2 Q, setienequep(a) =q(a) IIC2283 Algoritmos aleatorizados 7/109
16 Un primer ejemplo: equivalencia de polinomios Dados dos polinomios p(x) y q(x), queremos verificar si son idénticos. I Para cada a 2 Q, setienequep(a) =q(a) Cómo podemos resolver este problema? IIC2283 Algoritmos aleatorizados 7/109
17 Un algoritmo para la equivalencia de polinomios EquivPol(p(x), q(x)) determine el grado k de p(x) determine el grado ` de q(x) if k 6= ` then return no else transforme p(x) es su forma canónica P k i=0 c ix i transforme q(x) es su forma canónica P k i=0 d ix i for i := 0 to k do if c i 6= d i then return no return sí IIC2283 Algoritmos aleatorizados 8/109
18 Un algoritmo para la equivalencia de polinomios Ejercicio Muestre que el algoritmo anterior en el peor caso es O(n 2 ), donde n = p(x) + q(x) I Recuerde que la operación básica a contar es la multiplicación de números racionales IIC2283 Algoritmos aleatorizados 9/109
19 Un algoritmo para la equivalencia de polinomios Ejercicio Muestre que el algoritmo anterior en el peor caso es O(n 2 ), donde n = p(x) + q(x) I Recuerde que la operación básica a contar es la multiplicación de números racionales Es posible resolver este problema utilizando un menor número de multiplicaciones? IIC2283 Algoritmos aleatorizados 9/109
20 Un algoritmo aleatorizado para la equivalencia de polinomios EquivPolAleatorizado(p(x), q(x)) determine el grado k de p(x) determine el grado ` de q(x) if k 6= ` then return no else escoja al azar y con distribución uniforme un elemento a del conjunto de números naturales {1,...,100 k} if p(a) =q(a) then return sí else return no IIC2283 Algoritmos aleatorizados 10 / 109
21 Un algoritmo aleatorizado para la equivalencia de polinomios El algoritmo sólo necesita realizar O(n) multiplicaciones, donde n = p(x) + q(x) I Ya que necesita calcular p(a) y q(a) IIC2283 Algoritmos aleatorizados 11 / 109
22 Un algoritmo aleatorizado para la equivalencia de polinomios El algoritmo sólo necesita realizar O(n) multiplicaciones, donde n = p(x) + q(x) I Ya que necesita calcular p(a) y q(a) Pero el algoritmo puede dar una respuesta equivocada I Cuál es la probabilidad de error? IIC2283 Algoritmos aleatorizados 11 / 109
23 Calculando la probabilidad de error Sean p(x) y q(x) dos polinomios de grado k I Si los polinomios p(x) y q(x) son equivalentes, entonces el algoritmo responde sí sin cometer error I Si los polinomios p(x) y q(x) no son equivalentes, el algoritmo puede responder sí al sacar al azar un elemento a 2{1,...,100 k} tal que p(a) =q(a) Esto significa que a es una raíz del polinomio r(x) =p(x) q(x) IIC2283 Algoritmos aleatorizados 12 / 109
24 Calculando la probabilidad de error r(x) no es el polinomio nulo y es de grado a lo más k I Por lo tanto r(x) tienealomásk raíces en Q IIC2283 Algoritmos aleatorizados 13 / 109
25 Calculando la probabilidad de error r(x) no es el polinomio nulo y es de grado a lo más k I Por lo tanto r(x) tienealomásk raíces en Q Concluimos que: Pr(a sea una raíz de r(x)) apple = k 100 k IIC2283 Algoritmos aleatorizados 13 / 109
26 Un mejor algoritmo aleatorizado La probabilidad de error del algoritmo está acotada por I Es aceptable esta probabilidad? IIC2283 Algoritmos aleatorizados 14 / 109
27 Un mejor algoritmo aleatorizado La probabilidad de error del algoritmo está acotada por I Es aceptable esta probabilidad? Ejercicio De un algoritmo que resuelva el problema de equivalencia de polinomios, que en el peor caso sea O(n) y que tenga una probabilidad de error acotada por IIC2283 Algoritmos aleatorizados 14 / 109
28 Un mejor algoritmo aleatorizado La probabilidad de error del algoritmo está acotada por I Es aceptable esta probabilidad? Ejercicio De un algoritmo que resuelva el problema de equivalencia de polinomios, que en el peor caso sea O(n) y que tenga una probabilidad de error acotada por Confiaría en este algoritmo lineal? IIC2283 Algoritmos aleatorizados 14 / 109
29 Un mejor algoritmo aleatorizado La probabilidad de error del algoritmo está acotada por I Es aceptable esta probabilidad? Ejercicio De un algoritmo que resuelva el problema de equivalencia de polinomios, que en el peor caso sea O(n) y que tenga una probabilidad de error acotada por Confiaría en este algoritmo lineal? I Para qué probabilidad estaría dispuesto a confiar? IIC2283 Algoritmos aleatorizados 14 / 109
30 Un segundo ejemplo: una definición general de polinomios Consideramos polinomios en varias variables en Q Un monomio es una expresión de la forma cx `1 1 cada `i 2 N x `n n, donde c 2 Q y Un monomio cx `1 1 I No es nulo si c 6= 0 x `n n es nulo si c =0 El grado de un monomio cx `1 1 x `n n no nulo es `1 + + `n IIC2283 Algoritmos aleatorizados 15 / 109
31 Un segundo ejemplo: una definición general de polinomios Un polinomio es una expresión de la forma: p(x 1,...,x n ) = `X i=1 Ym i j=1 donde cada a i,j,k 2 Q ycadaa i,j,n+1 2 Q nx a i,j,k x k + a i,j,n+1 k=1 IIC2283 Algoritmos aleatorizados 16 / 109
32 Un segundo ejemplo: una definición general de polinomios La forma canónica de un polinomio p(x 1,...,x n )esúnica,yesiguala0oa una suma de monomios que satisface las siguiente propiedades: I cada monomio en la forma canónica es de la forma cx `1 1 x `n n con c 6= 0 I si cx `1 `n 1 xn y dx m 1 1 x m n n son dos monomios distintos en la forma canónica, entonces `i 6= m i para algún i 2{1,...,n} Un polinomio p(x 1,...,x n ) es nulo si su forma canónica es 0 El grado de un polinomio p(x 1,...,x n )nonuloeselmayorgradodelos monomios en su forma canónica. IIC2283 Algoritmos aleatorizados 17 / 109
33 Equivalencia de polinomios en varias variables Dos polinomios p(x 1,...,x n )yq(x 1,...,x n ) son idénticos si para cada secuencia a 1,...,a n 2 Q se tiene que: p(a 1,...,a n ) = q(a 1,...,a n ) IIC2283 Algoritmos aleatorizados 18 / 109
34 Equivalencia de polinomios en varias variables Dos polinomios p(x 1,...,x n )yq(x 1,...,x n ) son idénticos si para cada secuencia a 1,...,a n 2 Q se tiene que: p(a 1,...,a n ) = q(a 1,...,a n ) Nuevamente queremos verificar si dos polinomios son idénticos. IIC2283 Algoritmos aleatorizados 18 / 109
35 Equivalencia de polinomios en varias variables Podemos verificar en tiempo polinomial si dos polinomios en varias variables son equivalentes? IIC2283 Algoritmos aleatorizados 19 / 109
36 Equivalencia de polinomios en varias variables Podemos verificar en tiempo polinomial si dos polinomios en varias variables son equivalentes? I Consideramos ahora todas las operaciones, no sólo la multiplicación de números racionales IIC2283 Algoritmos aleatorizados 19 / 109
37 Equivalencia de polinomios en varias variables Podemos verificar en tiempo polinomial si dos polinomios en varias variables son equivalentes? I Consideramos ahora todas las operaciones, no sólo la multiplicación de números racionales Tenemos un problema: calcular la forma canónica de un polinomio toma tiempo exponencial IIC2283 Algoritmos aleatorizados 19 / 109
38 Equivalencia de polinomios en varias variables Podemos verificar en tiempo polinomial si dos polinomios en varias variables son equivalentes? I Consideramos ahora todas las operaciones, no sólo la multiplicación de números racionales Tenemos un problema: calcular la forma canónica de un polinomio toma tiempo exponencial I Incluso si sólo consideramos la multiplicación de números racionales IIC2283 Algoritmos aleatorizados 19 / 109
39 Equivalencia de polinomios en varias variables Podemos verificar en tiempo polinomial si dos polinomios en varias variables son equivalentes? I Consideramos ahora todas las operaciones, no sólo la multiplicación de números racionales Tenemos un problema: calcular la forma canónica de un polinomio toma tiempo exponencial I Incluso si sólo consideramos la multiplicación de números racionales Pero existe un algoritmo aleatorizado eficiente para este problema. IIC2283 Algoritmos aleatorizados 19 / 109
40 Equivalencia de polinomios en varias variables Podemos verificar en tiempo polinomial si dos polinomios en varias variables son equivalentes? I Consideramos ahora todas las operaciones, no sólo la multiplicación de números racionales Tenemos un problema: calcular la forma canónica de un polinomio toma tiempo exponencial I Incluso si sólo consideramos la multiplicación de números racionales Pero existe un algoritmo aleatorizado eficiente para este problema. I Esto no es trivial ya que un polinomio p(x 1,...,x n )puedeteneruna cantidad infinita de raíces I Por ejemplo: p(x 1, x 2 )=(x 1 1)(x 2 3) IIC2283 Algoritmos aleatorizados 19 / 109
41 Equivalencia de polinomios en varias variables Podemos verificar en tiempo polinomial si dos polinomios en varias variables son equivalentes? I Consideramos ahora todas las operaciones, no sólo la multiplicación de números racionales Tenemos un problema: calcular la forma canónica de un polinomio toma tiempo exponencial I Incluso si sólo consideramos la multiplicación de números racionales Pero existe un algoritmo aleatorizado eficiente para este problema. I Esto no es trivial ya que un polinomio p(x 1,...,x n )puedeteneruna cantidad infinita de raíces I Por ejemplo: p(x 1, x 2 )=(x 1 1)(x 2 3) I El ingrediente principal es el lema de Schwartz-Zippel IIC2283 Algoritmos aleatorizados 19 / 109
42 El ingrediente principal Lema de Schwartz-Zippel Sea p(x 1,...,x n ) un polinomio no nulo de grado k, yseaa un subconjunto finito y no vacío de Q. Sia 1,...,a n son elegidos de manera uniforme e independiente desde A, entonces Pr(p(a 1,...,a n ) = 0) apple k A IIC2283 Algoritmos aleatorizados 20 / 109
43 El ingrediente principal Lema de Schwartz-Zippel Sea p(x 1,...,x n ) un polinomio no nulo de grado k, yseaa un subconjunto finito y no vacío de Q. Sia 1,...,a n son elegidos de manera uniforme e independiente desde A, entonces Pr(p(a 1,...,a n ) = 0) apple k A Demostración: Por inducción en n Ya habíamos considerado el caso n =1 Suponemos que la propiedad se cumple para todo polinomio en n variables, y consideramos un polinomio p(x 1, x 2,...,x n+1 ) de grado k IIC2283 Algoritmos aleatorizados 20 / 109
44 Demostración del lema de Schwartz-Zippel Si p(x 1, x 2,...,x n+1 ) en su forma canónica es igual a c 2 (Qr{0}), entonces el lema se cumple trivialmente ya que Pr(p(a 1, a 2,...,a n+1 ) = 0) = 0 Suponemos entonces que p(x 1, x 2,...,x n+1 ) en su forma canónica no es igual a c 2 Q. I Puesto que además sabemos que p(x 1, x 2,...,x n+1 )noesnulo IIC2283 Algoritmos aleatorizados 21 / 109
45 Demostración del lema de Schwartz-Zippel Tenemos que p(x 1, x 2,...,x n+1 ) en su forma canónica contiene un monomio de la forma: cx `1 1 x `2 2 x `n+1 n+1 donde c 6= 0y`i > 0paraalgúni 2{1,...,n +1} Sin perdida de generalidad suponemos que en el monomio anterior `1 > 0 Tenemos que: p(x 1, x 2,...,x n+1 ) = kx x1p i i (x 2,...,x n+1 ) i=0 donde cada p i (x 2,...,x n+1 )esunpolinomioyalmenosunodeellosnoesnulo IIC2283 Algoritmos aleatorizados 22 / 109
46 Demostración del lema de Schwartz-Zippel Sea ` =máx{i 2{0,...,k} p i (x 2,...,x n+1 )noesnulo} I Tenemos que `>0yaquesupusimosque`1 > 0 Dado que el grado de p(x 1, x 2,...,x n+1 )esk, tenemosqueelgradode p`(x 2,...,x n+1 )esm con m apple k ` IIC2283 Algoritmos aleatorizados 23 / 109
47 Demostración del lema de Schwartz-Zippel Sea ` =máx{i 2{0,...,k} p i (x 2,...,x n+1 )noesnulo} I Tenemos que `>0yaquesupusimosque`1 > 0 Dado que el grado de p(x 1, x 2,...,x n+1 )esk, tenemosqueelgradode p`(x 2,...,x n+1 )esm con m apple k ` Sea A un subconjunto finito y no vacío de Q, yseaa 1,...,a n+1 una secuencia de números elegidos de manera uniforme e independiente desde A IIC2283 Algoritmos aleatorizados 23 / 109
48 Demostración del lema de Schwartz-Zippel Por hipótesis de inducción tenemos que: Pr(p`(a 2,...,a n+1 )=0) apple m A apple k ` A Si p`(a 2,...,a n+1 ) 6= 0,entoncespordefiniciónde` tenemos que q(x 1 )=p(x 1, a 2,...,a n+1 )esunpolinomiodegrado`. Por lo tanto: Pr(p(a 1, a 2,...,a n+1 )=0 p`(a 2,...,a n+1 ) 6= 0) apple ` A IIC2283 Algoritmos aleatorizados 24 / 109
49 Demostración del lema de Schwartz-Zippel Concluimos que: Pr(p(a 1, a 2,...,a n+1 )=0) = Pr(p(a 1, a 2,...,a n+1 )=0 p`(a 2,...,a n+1 )=0) Pr(p`(a 2,...,a n+1 )=0)+ Pr(p(a 1, a 2,...,a n+1 )=0 p`(a 2,...,a n+1 ) 6= 0) Pr(p`(a 2,...,a n+1 ) 6= 0) apple Pr(p`(a 2,...,a n+1 )=0)+Pr(p(a 1, a 2,...,a n+1 )=0 p`(a 2,...,a n+1 ) 6= 0) apple k ` A + ` A = k A IIC2283 Algoritmos aleatorizados 25 / 109
50 Un algoritmo aleatorizado para la equivalencia de polinomios en varias variables Vamos a dar un algoritmo aleatorizado eficiente para el problema de verificar si dos polinomios en varias variables son equivalentes IIC2283 Algoritmos aleatorizados 26 / 109
51 Un algoritmo aleatorizado para la equivalencia de polinomios en varias variables Vamos a dar un algoritmo aleatorizado eficiente para el problema de verificar si dos polinomios en varias variables son equivalentes Suponga que la entrada del algoritmo está dada por los siguientes polinomios: `X Ym i nx p(x 1,...,x n ) = a i,j,k x k + a i,j,n+1 q(x 1,...,x n ) = i=1 j=1 rx Ys i i=1 j=1 k=1 nx b i,j,k x k + b i,j,n+1 k=1 IIC2283 Algoritmos aleatorizados 26 / 109
52 Un algoritmo aleatorizado para la equivalencia de polinomios en varias variables EquivPolAleatorizado(p(x 1,...,x n ), q(x 1,...,x n )) k := máx {m 1,...,m`, s 1,...,s r } A := {1,...,100 k} sea a 1,...,a n una secuencia de números elegidos de manera uniforme e independiente desde A if p(a 1,...,a n )=q(a 1,...,a n ) then return sí else return no IIC2283 Algoritmos aleatorizados 27 / 109
53 Utilizando el lema de Schwartz-Zippel Antes de analizar la complejidad del algoritmo vamos a calcular su probabilidad de error. IIC2283 Algoritmos aleatorizados 28 / 109
54 Utilizando el lema de Schwartz-Zippel Antes de analizar la complejidad del algoritmo vamos a calcular su probabilidad de error. I Si los polinomios p(x 1,...,x n )yq(x 1,...,x n )sonequivalentes,entonces el algoritmo responde sí sin cometer error IIC2283 Algoritmos aleatorizados 28 / 109
55 Utilizando el lema de Schwartz-Zippel Antes de analizar la complejidad del algoritmo vamos a calcular su probabilidad de error. I Si los polinomios p(x 1,...,x n )yq(x 1,...,x n )sonequivalentes,entonces el algoritmo responde sí sin cometer error I Si los polinomios p(x 1,...,x n )yq(x 1,...,x n )nosonequivalentes,el algoritmo puede responder sí al escoger una secuencia de números a 1,...,a n desde A tales que p(a 1,...,a n )=q(a 1,...,a n ) I Donde A = {1,...,100 k} IIC2283 Algoritmos aleatorizados 28 / 109
56 Utilizando el lema de Schwartz-Zippel Antes de analizar la complejidad del algoritmo vamos a calcular su probabilidad de error. I Si los polinomios p(x 1,...,x n )yq(x 1,...,x n )sonequivalentes,entonces el algoritmo responde sí sin cometer error I Si los polinomios p(x 1,...,x n )yq(x 1,...,x n )nosonequivalentes,el algoritmo puede responder sí al escoger una secuencia de números a 1,...,a n desde A tales que p(a 1,...,a n )=q(a 1,...,a n ) I Donde A = {1,...,100 k} Esto significa que (a 1,...,a n )esunaraízdelpolinomio r(x 1,...,x n )=p(x 1,...,x n ) q(x 1,...,x n ) IIC2283 Algoritmos aleatorizados 28 / 109
57 Utilizando el lema de Schwartz-Zippel r(x 1,...,x n )noeselpolinomionuloyesdegradot con t apple k I Dado que k =máx{m 1,...,m`, s 1,...,s r } IIC2283 Algoritmos aleatorizados 29 / 109
58 Utilizando el lema de Schwartz-Zippel r(x 1,...,x n )noeselpolinomionuloyesdegradot con t apple k I Dado que k =máx{m 1,...,m`, s 1,...,s r } Utilizando el lema de Schwartz-Zippel obtenemos: Pr(r(a 1,...,a n )=0) apple t A apple k A = k 100 k = IIC2283 Algoritmos aleatorizados 29 / 109
59 Utilizando el lema de Schwartz-Zippel r(x 1,...,x n )noeselpolinomionuloyesdegradot con t apple k I Dado que k =máx{m 1,...,m`, s 1,...,s r } Utilizando el lema de Schwartz-Zippel obtenemos: Pr(r(a 1,...,a n )=0) apple t A apple k A = k 100 k = La probabilidad de error del algoritmo está entonces acotada por IIC2283 Algoritmos aleatorizados 29 / 109
60 Un mejor algoritmo aleatorizado para el problema general Ejercicio De un algoritmo aleatorizado que resuelva el problema de equivalencia de polinomios en varias variables. I La probabilidad de error del algoritmo debe estar acotada por I Debe existir una constante c tal que el algoritmo en el peor caso es O(m c ), donde m es el tamaño de la entrada I Si consideramos p(x 1,...,x n )yq(x 1,...,x n )comopalabrassobre un cierto alfabeto, entonces m = p(x 1,...,x n ) + q(x 1,...,x n ) IIC2283 Algoritmos aleatorizados 30 / 109
61 Una solución para el ejercicio EquivPolAleatorizado(p(x 1,...,x n ), q(x 1,...,x n )) k := máx {m 1,...,m`, s 1,...,s r } A := {1,...,100 k} for i := 1 to 10 do sea a 1,...,a n una secuencia de números elegidos de manera uniforme e independiente desde A if p(a 1,...,a n ) 6= q(a 1,...,a n ) then return no else return sí IIC2283 Algoritmos aleatorizados 31 / 109
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