INTEGRAL DEFINIDA INTRODUCCIÓN

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1 INTRODUCCIÓN U medo potete de l vestgcó e mtemátc, físc, mecác y otrs rms de l cec es l tegrl defd. El cálculo de áres lmtds por curvs, de ls logtudes de rcos, volúmees, trjo, velocdd, espco, mometos de erc, etc. se reduce l cálculo de u tegrl defd. Sey f(x) u fucó cotu dd sore el segmeto [,], desgemos por m y M sus vlores mímo y máxmo respectvmete e el segmeto. Podemos ver tutvmete que el áre del trpeco Mtemátc II Fcultd de Arqutectur UNMdP Copyrght 205 curvlíeo ( etre l curv, el eje de scss y e el segmeto [,] ) está compredd etre el áre correspodete l meor rectágulo y el áre correspodete l myor rectágulo. m (-) áre (T C) M(-)

2 S dvdmos su vez l tervlo [,] e prtes: x 0, x, x 2, x 3,... x -, x sedo x 0 < x < x 2 < x 3 <... < x - < x y llmemos x -x 0 x... x x - x e geerl x x - x sedo e cd segmeto los vlores mímo y máxmo correspodete [x 0, x ] m y M... [x -, x ] m y M e geerl [x -, x ] m y M Deommos Sum tegrl feror sf m x + m 2 x m x m x Mtemátc II Fcultd de Arqutectur UNMdP Copyrght 205 2

3 Aálogmete Sum tegrl superor ssup M x + M 2 x M x Luego m (-) sf áre (T C) ssup M(-) INTEGRAL DEFINIDA Se f(x) u fucó cotu e el tervlo cerrdo [, ] S efectumos u sudvsó de [,] e sutervlos medte putos x, x 2, x 3,..., x -, elegdos rtrrmete, y e cd uo de estos sutervlos se tom putos ε, ε 2,..., ε, tl que x 0 < ε < x ; x < ε 2 < x 2 ; x 2 < ε 3 < x 3.. ; x - < ε < x Tomdo l sum de ls áres de cd rectágulo de se x x -x - y ltur f(ε ) result f ( ε) x S y por lo tto s cosdermos x 0 M x Mtemátc II Fcultd de Arqutectur UNMdP Copyrght 205 3

4 Defmos: S f está defd e el tervlo [,] y el límte lm mx x 0 f( ε) x lm mx x 0 S S exste, Etoces decmos que f es tegrle e [,] y lo otmos lm mx x 0 f( ε) x lm mx x 0 S S es decr S Llmremos * símolo tegrl y S u úmero rel * f(x) dx, tegrdo * [, ] tervlo de tegrcó * : límte de tegrcó feror * : límte de tegrcó superor Mtemátc II Fcultd de Arqutectur UNMdP Copyrght 205 4

5 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA INTEGRAL DEFINIDA L defcó teror es rguros y puede prescdr de terpretcó geométrc. Pero u de ls plccoes de l tegrl defd, como y djmos es el cálculo de áres y se puede dr u terpretcó geométrc de l msm que clre. Cosderemos u curv y f(x), el eje x y dos ordeds x, x y trtemos de hllr el áre ucd e l fgur. f( ε { ).(x x ) 43 ltur 42 se Mtemátc II Fcultd de Arqutectur UNMdP Copyrght 205 5

6 TEOREMA DEL VALOR MEDIO INTEGRAL DEFINIDA S l fucó f(x) es cotu e el segmeto [,], exste u ε perteecete l erto (,) que verfc l sguete guldd: ( ).f( ε) Demostrcó: Se m y M los vlores mímo y máxmo soluto que tom f(x) e el tervlo [,] sedo <. m (-) sf áre (T C) ssup M(-) m( ) m M( ) M µ m µ M vlor promedo Mtemátc II Fcultd de Arqutectur UNMdP Copyrght 205 6

7 Puesto que f(x) es cotu tom todos los vlores termedos compreddos etre m y M por tto como ε (,) será µ f(ε) (m,m). Esto os permte coclur: Es decr: ( ) µ ( ) ( ) ( )f( ε) Ejemplo: Se f(x)x co f:[0,2] R cotu. Determe ε y su correspodete f(ε) y verfque el TVM. Rt: el áre como terpretcó de est tegrl defd e el tervlo ddo es A2. Luego 2(2-0). f(ε) f(ε) ε Mtemátc II Fcultd de Arqutectur UNMdP Copyrght 205 7

8 Cotudd mplc tegrldd(teorem): S f(x) u fucó cotu e el tervlo cerrdo [, ], etoces f es tegrle e [,]. L fucó áre como prmtv (teorem): S f(x) es u fucó cotu y A`(x) f(x), etoces se verfc que E otrs plrs, l dervd de l tegrl defd respecto del límte superor es gul l tegrdo e que se h reemplzdo l vrle de tegrcó por el límte superor (sempre que el tegrdo se cotuo). FÓRMULA DE BARROW x A(x) Se F(x) es u prmtv de l fucó cotu f(x). Etoces l fórmul F(x) F() F() es u úmero rel Mtemátc II Fcultd de Arqutectur UNMdP Copyrght 205 8

9 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL k. k. [f(x) ± g(x)]dx ± g(x)dx 0 c + c g(x)dx s < c < S Ls fucoes f(x) y g(x) verfc que f(x) g(x) pr todo x e [,] etoces g(x)dx Mtemátc II Fcultd de Arqutectur UNMdP Copyrght 205 9

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