CAPÍTULO 20: NÚMEROS COMPLEJOS (II)

Transcripción

1 CAPÍTULO 0: ÚMEROS COMPLEJOS (II) Date Guerrero-Chaduví Pura, 05 FACULTAD DE IGEIERÍA Área Departametal de Igeería Idustral y de Sstemas

2 CAPÍTULO 0: ÚMEROS COMPLEJOS (II) Esta obra está bajo ua lceca Creatve Commos Atrbucó- ocomercal-sdervadas.5 Perú Repostoro sttucoal PIRHUA Uversdad de Pura

3 UIVERSIDAD DE PIURA Capítulo 0: úmeros Complejos (II). Propedades de las operacoes co complejos GEOMETRÍA FUDAMETAL Y TRIGOOMETRÍA CLASES Elaborado por Dr. Ig. Date Guerrero Uversdad de Pura. 6 dapostvas

4 GFT 7/06/05 CAPÍTULO XX UMEROS COMPLEJOS. PROPIEDADES DE LAS OPERACIOES CO COMPLEJOS. Propedades de las Operacoes TEOREMA XX- La suma de dos o más complejos tee u vector que es la suma vectoral de los vectores de los sumados. Demostracó: Sea dos complejos a b ; c d P S d P O c a b Dr.Ig. Date Guerrero

5 GFT 7/06/05. Propedades de las Operacoes TEOREMA XX- La suma vectoral, trasladado paralelamete el vector de de forma que su orge cocda co el extremo de, os da el vector S cuyo complejo es, o sea la suma de los complejos. P S S a c b d d P O c a b. Propedades de las Operacoes TEOREMA XX- Corolaro: y z z z z z z x La dfereca de complejos tee u vector que es la dfereca vectoral de los vectores muedo y substraedo, o be la suma vectoral del vector del muedo co el opuesto del vector del substraedo. E la suma (y la resta) los úmeros complejos se comporta como vectores Dr.Ig. Date Guerrero

6 GFT 7/06/05. Propedades de las Operacoes TEOREMA XX- El producto de dos o más complejos tee como módulo el producto de los módulos de los factores; y como argumeto, la suma de argumetos de los factores (o u valor equvalete). Demostracó: Supogamos factores: a b r (cos se ) c d r se (cos ). Propedades de las Operacoes a b r (cos se ) c d r se (cos ) TEOREMA XX- cos xcos se x se se xcos x se x r xr cos x r xr Corolaro: cos se = r xr x r xr El cocete de dos complejos tee como módulo el cocete de los módulos y como Argumeto la dfereca de argumetos de dvdedo y dvsor. Dr.Ig. Date Guerrero 3

7 GFT 7/06/05. Propedades de las Operacoes TEOREMA XX- z r r r y z z z z r r z x. Propedades de las Operacoes TEOREMA XX-3 La poteca -ésma de u complejo ( real) es otro complejo, cuyo módulo es la poteca eésma del módulo de la base, cuyo argumeto es veces el argumeto de la base (u otro equvalete). Demostracó: S ε R, e vrtud del teorema ateror: a b a ba b... a b r Corolaro: porque a b r / a b a b / Dr.Ig. Date Guerrero

8 GFT 7/06/05. Propedades de las Operacoes TEOREMA XX- S es u complejo atural, hay raíces eésmas dferetes de u úmero complejo. Demostracó: a b r a b r( / ) Pero e lugar de puede haber cualquer valor equvalete k sedo K etero. El argumeto de la raíz es: k k k k (e radaes; e grados: 360º ). Propedades de las Operacoes k k k TEOREMA XX- El segudo sumado puede tomar los valores dferetes o equvaletes, para cada valor de k, pe. k = 0,,,3, -: 0,,,..., o sea valores. El valor sguete ya es equvalete a 0. Todos los demás valores posbles so equvaletes a alguo de los expuestos. Dr.Ig. Date Guerrero 5

9 GFT 7/06/05. Propedades de las Operacoes Potecas de Por ejemplo: 5 ( ) TEOREMA XX- ( ). Propedades de las Operacoes y z z TEOREMA XX- Multplcar por es equvalete a grar 90 grados e setdo athoraro (operador rotacó). 3 z z x z r(cos se ) z r(cos se ) z r( se cos ) z r[cos( / ) se( / )] Dr.Ig. Date Guerrero 6

10 GFT 7/06/05. Propedades de las Operacoes Ejemplos : Raíces cuartas de 0 80º módulo de la raíz 80º Argumetos de la raíz: º ) 5º 360º k TEOREMA XX- 80º 360º º ) 5º 90º 35º 80º 360º 3º ) 5º 90º 5º º ) 5º 390º 35º. Propedades de las Operacoes TEOREMA XX- RAIZ ª... 5º RAIZ ª... 35º RAIZ 3ª... 5º RAIZ ª... 35º Dr.Ig. Date Guerrero 7

11 GFT 7/06/05. Propedades de las Operacoes TEOREMA XX-5 Las raíces eésmas del úmero real a (cosderado como complejo a+o), se puede obteer multplcado la raíz eésma real del valor absoluto de a, por cada ua de las raíces eésmas de +/- (mas ó meos segú el sgo de a). Demostracó: Sea a postvo; r a e el campo real a r, lo que dará raíces eésmas dferetes. S a es egatvo, la demostracó es aáloga.. Propedades de las Operacoes Fórmula de Movre Demostracó: El argumeto de la base es x, el módulo es. módulo argumeto : x La poteca -ésma, segú el Teorema XX-3, es: TEOREMA XX-6 m cos x sex cosmx se mx : r cos x se a b a ba b... a b r módulo m = y argumeto mx, por lo tato e forma bomal es el º membro de la gualdad. x Dr.Ig. Date Guerrero 8