Capítulo 1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

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1 Curso de Cotabldad y Matemátcas Faceras 2ª parte: Matemátcas Faceras Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

2 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ídce de cotedos Pága CAPÍTULO CAPITALIZACIÓN SIMPLE 3. CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES 3.. Cocepto 3..2 Cálculo del terés total 3..3 Cálculo del captal fal 4..4 Cálculo del captal cal 5..5 Cálculo del tato de terés 5..6 Cálculo del tempo 6.2 TANTOS DE INTERES 7.2. Tatos equvaletes Iterés atcpado (Tato de descueto) 8.3 EL DESCUENTO 9.3. El descueto racoal El descueto comercal.3.3 El descueto de las letras de cambo 2.4 EQUIVALENCIA DE CAPITALES 8.4. Prcpo de equvaleca de captales El captal comú El vecmeto comú El vecmeto medo 24.5 LAS CUENTAS CORRIENTES Cocepto Lqudacó de las cuetas corretes 26.6 OTROS ACTIVOS FINANCIEROS 29 2

3 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Capítulo CAPITALIZACIÓN SIMPLE. CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES.. Cocepto Se deoma captalzacó al cálculo de uos captales geeradores de tereses e u mometo posteror a la versó de estos. E el régme de captalzacó smple, el captal productor de tereses sempre es el msmo a lo largo de la duracó de la operacó, ya que los tereses que se va producedo e cada período o se acumula al captal cal, co lo que o afecta al cálculo de los tereses de los períodos posterores. Como cosecueca de esto, los tereses que se va geerado e cada uo de los dsttos períodos ha de ser guales. Las leyes basadas e el terés smple suele utlzarse e operacoes faceras co duracó gual o meor al año...2 Cálculo del terés total Como ya se ha cometado aterormete, los tereses que se produce e cada período ha de ser guales, y su mporte será el resultado de multplcar el captal cal por el tpo de terés. Por tato tedremos: er período: I C 0 2 do período: I 2 C 0 3 er período: I 3 C período : I C 0 El valor del terés total será la suma de los tereses de todos y cada uo de los períodos. I I + I 2 + I I S susttumos los valores de los tereses de cada período por su expresó e fucó del captal cal y del tpo de terés obtedremos: I C 0 + C 0 + C C 0 Como C 0 se repte veces, teemos que el terés total será: I C 0 3

4 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Se tee u captal de.000, el cuál se quere vertr durate 0 años a u tato del 0 % aual e ua operacó a terés smple. Calcular los tereses totales que se obtedrá cuado trascurra dcho plazo? C ,0 Aplcado la formula del terés total: I C , Cálculo del captal fal Deomamos captal fal o motate a la suma del captal cal y de los tereses totales. C C 0 + I Vamos a susttur e la expresó del captal fal el terés total, poédolo e fucó del captal cal, del tato de terés y de la duracó de la operacó. C C 0 + C 0 Sacado factor comú C 0 tedremos: C C 0 + C 0 C 0 ( + ( )) C C 0 ( + ( )) Ejemplo: Se tee u captal de.000, el cuál se quere vertr durate 0 años a u tpo de terés del 0 %. Calcular el captal fal que se obtedrá cuado trascurra dcho plazo? C ,0 Aplcado la formula del captal fal: C C 0 ( + ( )).000 ( + ( 0,0 0 ))

5 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE..4 Cálculo del captal cal Se puede calcular el captal cal despejado C 0 e la fórmula del captal fal o be e la del terés total. E el prmer caso tedremos: C C 0 ( + ( )) C 0 C + ( ) S despejamos C 0 e la fórmula del terés total obtedremos: I C 0 C I 0 Ejemplo: Trascurrdos 0 años y a u tpo de terés del 0% obteemos u captal fal de Cuál fue el captal vertdo calmete? Aplcado la fórmula del captal cal teemos: C 0 C + ( ) (0,0 0)..5 Cálculo del tato de terés Al gual que e el caso ateror, se puede calcular el tato de terés despejado be e la fórmula del captal fal o be e la del terés total. E el prmer caso tedremos: C C 0 ( + ( )) C 0 + C 0 C - C 0 C 0 C C C 0 0 5

6 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE S despejamos e la fórmula del terés total obtedremos: I C 0 C I 0 Ejemplo: Se verte.000 hoy y al cabo de 0 años se obtee Cuál es el tato de terés aplcado e esta operacó? C C C ,5 5% Cálculo del tempo Para calcular el tempo també vamos a partr de las dos fórmulas aterores y de aquí y despejado la varable tempo obtedremos que: S partmos de la fórmula del captal fal: C C 0 ( + ( )) C C C 0 0 S partmos de la fórmula del terés total: I C 0 C 0 I Ejemplo: Ivrtedo u captal de.000 al 5% de terés obteemos Cuáto tempo estuvo mpuesto dcho captal? C C C años.000 0,5 6

7 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE.2 TANTOS DE INTERES.2. Tatos equvaletes La captalzacó smple se emplea e aquellas operacoes faceras que so a corto plazo, es decr, co duracó gual o feror al año. Por ello los períodos suele estar referdos a fraccoes de año, metras que los tatos suele expresarse co refereca aual, sedo ecesaro e este caso, adaptar la udad temporal de la duracó o del tato para que esté expresadas e la msma udad de tempo. Para adaptar el tato o tpo de terés, debemos utlzar el cocepto de tato equvalete. Defremos los tatos equvaletes como Aquellos que referdos a dstta udad de tempo, produce los msmos tereses cuado se aplca al msmo captal por gual período de tempo. O be, dremos que dos o más tatos de terés so equvaletes, cuado al aplcarlos a u msmo captal durate u msmo período de tempo obteemos el msmo captal fal. Por tato será equvaletes u tato aual y otro referdo a ua fraccó de año s aplcados al msmo captal y por gual período de tempo (expresado e años para el prmero de los casos y e fraccoes para el segudo) produce el msmo terés total. El terés total producdo por la versó de u captal C 0 durate u año a u tato de terés aual, es gual a: I C 0 C 0 S el terés se paga e ua fraccó de año, el terés total producdo e u año será: I C 0 C 0 Igualado ambas fórmulas obteemos: C 0 C 0 De dode: Tomado como refereca u año adoptará los sguetes valores: 2 cuado se refera a semestres 3 cuado se refera a cuatrmestres K 4 cuado se refera a trmestres 2 cuado se refera a meses 365 cuado se refera a días 7

8 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Calcular los sguetes tatos equvaletes correspodetes a u tpo aual del 2%: mesual trmestral cuatrmestral semestral º Tpo de terés mesual: 0,2 2 0,2 2 0,0 % 2 2º Tpo de terés trmestral: 4 4 0,2 0,03 3% 4 3º Tpo de terés cuatrmestral: 3 3 0,2 0,04 4% 3 4º Tpo de terés semestral: 2 2 0,2 0,06 6% Iterés atcpado (Tato de descueto) E determadas ocasoes el prestamsta cobra los tereses por adelatado, e el mometo e el que se produce la operacó. Por tato el prestataro recbrá el captal prestado meos los tereses debdos a esta atcpacó. La catdad efectva recbda por este será: C 0 C C d 8

9 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE C 0 C ( d ) Ahora y para tratar de buscar la relacó exstete etre los tereses atcpados y el tato de terés por vecdo, vamos a susttur el valor que acabamos de obteer de C 0 e la fórmula del motate o captal fal: C C 0 ( + ) C C ( d ) ( + ) Despejado d teemos: d + ( ) Y de aquí obteemos també el valor de : d (d ) Ejemplo: Cuál será el tato de terés atcpado equvalete a u tato de terés por vecdo del 2%? d + ( ) 0,2 + 0,2 0, EL DESCUENTO E la captalzacó obteemos el captal futuro producdo por la versó de u captal presete, metras que e el descueto susttumos ese captal futuro por otro co vecmeto presete. El descueto es por tato la operacó versa a la captalzacó. Exste dos tpos de descueto, el racoal y el comercal. Estos se dfereca e que e el prmer caso utlzamos el tpo de terés y e el segudo u tpo pactado, que es el tpo de descueto. 9

10 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE.3. El descueto racoal Para calcular el descueto racoal, dfereca etre el captal a cobrar al fal del período pactado y el mporte que realmete recbmos s se atcpa el cobro, utlzamos el tato de terés. Este descueto hace que la operacó facera sea reversble, esto es, que s el mporte recbdo o efectvo se mpoe a gual tato de terés y por gual plazo obtedremos el msmo captal fal, y por el cotraro, s descotásemos ese captal fal al msmo tato de terés e gual plazo obtedríamos el efectvo. El descueto racoal será la dfereca etre el valor fal o omal y el valor descotado o actual: D r C - C 0 C 0 ( + ) - C 0 Deshacedo el factor comú: D r C 0 + C 0 - C 0 Smplfcado, obtedremos la expresó del descueto racoal o matemátco: D r C 0 Al tratarse del descueto, el valor coocdo es el del captal fal. Por tato será más útl expresar el descueto como: D r C - C + ( ) Operado, obtedremos la expresó del descueto racoal e fucó del captal fal o omal: C D r + C C + ( ) C D r + ( ) 0

11 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Se desea atcpar el pago de ua deuda que vece detro de 5 años y que mporta S el pago se quere realzar e el mometo actual. Qué catdad tedrá que aboarse sabedo que el tato de terés al que se cocerta la operacó es del 0% aual? Cuál será el mporte del descueto? C años 0,0 º Vamos a calcular el efectvo que habrá de satsfacerse a día de hoy. C 0 +C ( ) (0,0 5) º Cálculo del descueto racoal D r C C El descueto comercal E el descueto comercal se pacta u tato de descueto es decr, se fja el mporte que deberá deducrse para cada udad de captal por atcpar su pago e ua udad de tempo. El descueto comercal será gual al mporte del captal que se atcpa por el tato de descueto que se ha fjado y por el plazo de tempo que se atcpa. D c C d Y el mporte efectvo que percbmos será el captal fal que se ba a percbr ó omal meos el descueto debdo a la dspobldad atcpada del captal. E C - D c C - C d C ( - d ) C 0 C ( - d )

12 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Se desea atcpar el pago de ua deuda que vece detro de 5 años y que mporta S el pago se quere realzar e el mometo actual. Qué catdad tedrá que aboarse s el tpo de descueto fjado es del 0% aual? Cuál será el mporte del descueto? C años d 0,0 º Vamos a calcular el efectvo que habrá de satsfacerse a día de hoy. C 0 C ( - d ) ( - 0,0 5 ) º Cálculo del descueto comercal D r C C El descueto de las letras de cambo E la práctca comercal, las operacoes de descueto se lleva a cabo medate la presetacó de letras de cambo e etdades de crédto. La letra de cambo es u documeto por el cuál ua de las partes (lbrador) ordea a otro (lbrado) que pague ua determada catdad a u tercero (teedor) e ua fecha determada. S u comercate vede algo o presta u servco y el cobro lo realza e su totaldad o e parte aplazado medate la aceptacó de letras de cambo, tee dos posbldades: Esperar al vecmeto del efecto y presetarlo al cobro Presetar al descueto el efecto ates de su vecmeto e ua Etdad de Crédto. El mporte que percbrá e este segudo caso (efectvo), será el mporte omal de la letra meos los tereses del descueto, las comsoes y los gastos fjos que cobre la Etdad. Los tereses se halla sobre el valor omal y so gual a : D c N d 2

13 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Sedo: N Nomal del efecto d Tato de descueto Plazo que exste etre la fecha de descueto del efecto y la de su vecmeto Su valor varará depededo de cómo se exprese el tempo. años semestres 2 trmestres 4 meses 2 días 360 Es mportate para el cálculo del descueto saber cual es la fecha del vecmeto de la letra. Las letras de cambo se lbra de algua de estas formas segú establece el art. 38 y ss. de la Ley 9/985 Cambara y del Cheque: o A fecha fja: Estas debe pagarse el día dcado e la letra. o A u plazo desde la fecha: Estas vece cuado a trascurrdo este plazo el cuál empeza a computarse desde el día sguete al de la fecha de expedcó. o A la vsta: Esta es pagadera a su presetacó. Debe presetarse al pago e el año sguete a su fecha. o A u plazo cotado desde la vsta: Aquí el plazo comeza a computarse a partr del día sguete a la fecha de aceptacó. La comsó es el mporte que va a cobrar la Etdad de Crédto por egocar dcho efecto y que va a ser u porcetaje sobre el omal. Los gastos fjos so cuatías que cobra las Etdades e cocepto de correo, supldos, tmbres, etc y que se va a descotar del omal. E resume, la catdad que se percbe es: Efectvo Nomal Descueto Comsoes Gastos fjos 3

14 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: El día 3 de julo se desea descotar ua letra que vecerá el día 0 de dcembre. Cuál será el efectvo aboado por la Etdad sabedo que el tpo de descueto aplcado es del 0%, que se cobra ua comsó del 2 por 000, exstedo ua comsó míma por efecto de 5, y sabedo també que los gastos fjos ascede a 3? Nomal Vecmeto Fecha de expedcó Fecha de aceptacó Nomal: Días desde la fecha de egocacó hasta la fecha de vecmeto: 32 días Tpo de descueto: 0,0 Comsó: 2 por 000 co u mímo de 5 Gastos fjos: (ya que trabajamos e días) Cálculo de los tereses: D c N d D c , Cálculo de la comsó: Las comsoes salvo que se establezca otra cosa se calcula sobre el valor omal. Comsó 0, > 5 mporte de la comsó míma que cobrará la Etdad. Cálculo de los gastos fjos: Gastos fjos 3 Cálculo del efectvo a aboar por la Etdad: Efectvo Nomal Descueto Comsoes Gastos fjos Efectvo Facturas de descueto E la práctca comercal lo ormal es que los efectos comercales o se evía uo a uo so agrupados e remesas para su descueto. La lqudacó efectuada por la Etdad sobre esta remesa recbe el ombre de factura de egocacó. 4

15 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Se evía a ua Etdad de Crédto ua remesa de 3 efectos para su descueto. Cuál será el efectvo producdo por estos el día de mayo fecha de egocacó de la remesa sabedo, que el tpo de descueto aplcado es del 0%, que se cobra ua comsó del 2 por 000, exstedo ua comsó míma por efecto de 5, y sabedo també que los gastos fjos por el descueto de los efectos ascede a 0? Nomal Vecmeto Fecha de expedcó Fecha de aceptacó días desde la fecha días desde la vsta Cálculo del úmero de días que va desde la fecha de descueto 0-05 hasta la fecha de vecmeto de cada ua de las letras Nomal Fecha descueto Fecha vecmeto Días () (2) 49 () Al tratarse de días desde la fecha para coocer su fecha de vecmeto el plazo comeza a computarse desde la fecha de expedcó. (2) Al tratarse de días vsta el plazo comeza a computarse desde la fecha de aceptacó. Cálculo de los tereses a pagar por cada letra Nomal Días d Importe del descueto ,0 58, ,0 0, ,0 54,44 El calculo del descueto se hará para cada letra aplcado la sguete fórmula: D c N d Cálculo de la comsó a pagar por cada letra Nomal Comsó del 2 por Importe de la Comsó míma 000 sobre el omal comsó a aplcar

16 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Cálculo del mporte efectvo etregado por la Etdad Nomal Importe del descueto Comsó Gastos fjos , , , , Efectvo Nomal Descueto Comsoes Gastos fjos Efectvo , ,67 Devolucó de efectos mpagados E el mometo del vecmeto de la letra esta puede ser: Pagada por el lbrado Impagada por el lbrado E este últmo caso la Etdad de Crédto resttuye la letra descotada al clete cargádole e su cueta el mporte de la letra o atedda más los gastos, cludos los de protesto y las comucacoes. Ejemplo: El día 0 de dcembre la Etdad de Crédto os comuca que la letra que descotamos el día de mayo de omal y fecha de vecmeto 0 de julo ha sdo mpagada. S la Etdad cobra ua comsó de devolucó del %, uos gastos de correo de 0,50 y además exste uos gastos de protesto de 0 Cuál será el mporte de la lqudacó? Vamos a calcular el mporte de la lqudacó efectuado por la Etdad. El mporte de la lqudacó será gual al mporte de la letra o atedda más los gastos. Nomal del efecto: ,00 Comsó de devolucó: 0, Gastos de protesto: 0 Gastos de correo: 0,50 Total gastos:... 40,50 Importe del adeudo e C/C: ,50 6

17 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE La letra de resaca Es aquella letra que tee por objeto recuperar el mporte y los gastos de la letra que ha sdo devuelta. El omal de esta ueva letra estará formado por (art. 62 de la Ley Cambara y del Cheque): El mporte de la letra o pagada Los tereses de la catdad ateror desde la fecha del vecmeto (al tpo del terés legal del dero cremetado e dos putos) Los gastos ocasoados por la falta de pago (protesto, comucacoes, etc ) Comsó sobre el omal de los efectos protestados El mporte del tmbre de la letra Ejemplo: Se llega a u acuerdo co el lbrado por el que se decde emtr ua ueva letra co objeto de recuperar el mporte y los gastos de la letra mpagada del ejemplo ateror. Cuál será el omal de la letra de resaca emtda s se establece que vecerá 30 días después a u tpo de descueto del 2%, cobrádose ua comsó sobre el omal del 0,5% y supoedo que el tmbre de la letra sea de 5? Vamos a calcular el mporte de la lqudacó efectuado por la Etdad. Prescdedo de los tereses de la catdad ateror desde su fecha de vecmeto, el omal de la letra de resaca será gual a: Nomal de la letra de resaca (N) Nomal de la letra mpagada: 3.000,00 Gastos por falta de pago: 40,50 Comsó (0,5%): 0,005 N Tmbre: 5,00 Descueto: N 0, N ,50 + 0,005 N ,0 N 0,985N 3.045,50 N 3.09,88 7

18 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE.4 EQUIVALENCIA DE CAPITALES.4. Prcpo de equvaleca de captales Decmos que dos captales so equvaletes e u mometo determado del tempo, cuado sus valores faceros e ese mometo so guales. S se tee varos captales C, C 2, C 3,..., C que va a vecer e dsttos mometos t, t 2, t 3,..., t estos va a ser equvaletes a otros captales C +, C +2, C +3,..., C que va a vecer respectvamete e t +, t +2, t +3, t, dado u tato de valoracó, s se cumple la sguete ecuacó de equvaleca: E el descueto racoal: Decíamos que C 0 C + Por tato y para que exsta equvaleca facera la suma de los captales C, C 2, C 3,..., C e el mometo 0 a de ser gual a la suma de los valores de los captales C +, C +2, C +3,..., C també valorados e el mometo 0 De dode: C + t C2 + + t 2 C3 + + t 3 C t C + + t + + C t C t + 3 C t E el descueto comercal: E el descueto comercal C 0 C ( d ) De dode: C ( d t ) + C 2 ( d t 2 ) + C 3 ( d t 3 ) C ( d t ) C + ( d t + ) + C +2 ( d t +2 ) + C +3 ( d t +3 ) C ( d t ).4.2 El captal comú El captal comú es aquel captal C t que vecedo e el mometo t susttuye a varos captales C, C 2, C 3,..., C que vece respectvamete e t, t 2, t 3,..., t. 0 t t 2 t 3 t t C C 2 C 3 C t C 8

19 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE La ecuacó de equvaleca será: E el descueto racoal: C t C + t + t C2 + + t 2 C3 + + t 3 C t De dode s despejamos C t, obteemos: C C t ( + t C2 + + t 2 C3 + + t 3 C t ) x ( + t) C j Ct ( + t) ( + t j ) j E el descueto comercal: C t ( d t ) C ( d t ) + C 2 ( d t 2 ) + C 3 ( d t 3 ) C ( d t ) S despejamos C t de la fórmula ateror teemos que: C t C ( d t) + C2 ( d t2 ) + C3 ( d t3) C ( d t ) ( d t) De dode y s segumos operado, tedremos: C j d C j j C t t d j t j El tato de descueto que os de va a ser ormalmete aual, pero osotros podemos estar trabajado e meses, días... 9

20 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE o S trabajamos e días la expresó se formularía como: C t j C j d 360 j d t 360 C j t j 360 S ahora multplcamos y dvdmos la expresó por os queda: d 360 d C t C j C jt j j 360 t d j o S trabajamos e meses: C t j C j d 2 j d t 2 C j t j 2 S ahora multplcamos y dvdmos la expresó por os queda: d 2 C C t d j j j j C t 2 t d j Llamaremos dvsor fjo y lo desgaremos como D a la expresó d cuyo valor será: 360 S trabajamos e días d 2 S trabajamos e meses d De dode, el captal úco quedará expresado como: C t D C j C jt j j D t j 20

21 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Se desea coocer el mporte del captal úco que vecedo detro de 60 días, sustturá a tres deudas de.000, y euros que veza respectvamete e el plazo de 30, 40 y 90 días. Sedo el tato de descueto del 0%. Solucó: º S calculamos la equvaleca de captales e el mometo C C ( - 0,0 ).000 ( - 0,0 ) ( - 0,0 ) ( - 0,0 ) 5.994, º S calculamos la equvaleca de captales e fucó de la fórmula del captal úco C t D C j C jt j j D t j C j t j C j t j j C j C t j j j ,0 C t 5.994, ,0 2

22 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE El vecmeto comú E este caso se cooce el captal úco C t que susttuye a varos captales C, C 2, C 3,..., C que vece respectvamete e t, t 2, t 3,..., t, y hemos de calcular el mometo t e el cuál vece ese captal úco C t. Por tato dremos que el vecmeto comú es el mometo t e el cuál vece u captal C t que susttuye a varos captales C, C 2, C 3,..., C que vece respectvamete e t, t 2, t 3,..., t. E el descueto racoal t C t + t C t C t C t C + S despejamos t os queda: t C C t j j j t ) ( + E el descueto comercal: Obtedremos el vecmeto comú partedo de la fórmula del captal comú y despejado de esta t : C t t D t C C D j j j j j Operado tedremos: j j j j j t t C C D t D C ) ( + j j j j j t t t C C D C D t C t j j j j j t C t C C D C t + ) (

23 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Se desea coocer el mometo e el cuál vecerá u captal úco de mporte 3.00 que sustturá a tres deudas de.000 cada ua que veza respectvamete e el plazo de 30, 60 y 90 días. Sedo el tato de descueto del 0%. Solucó: º S calculamos la equvaleca de captales e el mometo 0 t 3.00 ( - 0, ).000 ( - 0,0 ) ( - 0,0 ) ( - 0,0 )74 días º S calculamos la equvaleca de captales e fucó de la fórmula del captal úco t D( C t C j j j C t ) + C j t j 360 ( ) ,0 74 días 3.00 C j t j C j t j j C j C t j j j

24 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE.4.4 El vecmeto medo El vecmeto medo es u caso partcular del vecmeto comú, que se produce cuado la suma de los captales que vamos a susttur es gual al mporte del captal úco que los susttuye, es decr, C t S susttumos e la fórmula del vecmeto comú el valor de C t por el de os queda: t j C j j C t j j j C j j C j Ejemplo: Se desea coocer el mometo e el cuál vecerá u captal úco de mporte que sustturá a tres deudas de.000, y que veza respectvamete e el plazo de 0, 25 y 40 días. Sedo el tato de descueto del 0%. Solucó: º S calculamos la equvaleca de captales e el mometo 0 t ( - 0, ).000 ( - 0,0 ) ( - 0,0 ) ( - 0,0 ) 30 días º S calculamos la equvaleca de captales e fucó de la fórmula del captal úco t j C j j C t j j días C j t j C j t j j C j C j t j j

25 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE.5 LAS CUENTAS CORRIENTES.5. Cocepto La cueta correte es u cotrato que se efectúa etre dos persoas o etdades y e el que se establece que las operacoes que etre ellos se realza y de las que se derva crédtos y débtos, se salde a ua determada fecha, a u determado tpo de terés y co el método de valoracó que e él se establezca. Normalmete este cotrato se produce etre u baco y ua persoa, comprometédose la persoa a depostar dero e la cueta y el baco por su parte a cumplr sus órdees de pago. La frma del cotrato e estos casos se realza e u formularo prerredactado y estadarzado que establece las codcoes geerales de la cueta correte. Por tato ua cueta correte es ua operacó facera, valorada e captalzacó smple y co lqudacó peródca de tereses. Estos tereses puede ser: Recíprocos: se establece gual tpo de terés para los saldos deudores que para los acreedores. No recíprocos: e los cuáles el tpo de terés varará segú se trate de saldos deudores o acreedores. Los elemetos que aparece e los modelos de lqudacó de las cuetas corretes so: Fecha operacó cocepto Debe Haber Saldo Deudor Saldo Acreedor Fecha valor Días Números Deudores Números Acreedores Saldo ateror 0, Etrega efectvo 422,20 422, Comsó matemeto 39,74 382, Tesoro Públco 80,8 48, Etrega e efectvo.000,00 58, Tarjeta Crédto 222,95 358, Telefóca 486,07 27, Tesoro Públco 206,92 334, Etrega e efectvo 206,92 27, Proveedores 25,49 253, Etrega e efectvo 500,00 246, Comsó,44 245, Igreso cheque 957,00 202, Telefóca 27,79 930, Tarjeta Crédto 269,6 66, Proveedores 25,49 535, Telefóca 289,4 246, Totales

26 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Fecha operacó: Es la fecha e que se produce la operacó Cocepto: Es la descrpcó del apute efectuado Movmetos: Los movmetos puede ser al debe o al haber depededo de que se trate de u cargo o u aboo. Saldo: Es la varacó acumulatva de los movmetos Fecha valor: Es el día e que se realza la cotrapartda de la operacó Días: Es el úmero de días que trascurre desde el día sguete a la prmera fecha de valor hasta la sguete fecha de valor, esta cluda. Números: Los úmeros so guales al saldo por los días.5.2 Lqudacó de las cuetas corretes Exste tres métodos dferetes de lqudacó de las cuetas corretes. Estos so: Método drecto: El método drecto es aquel que cosdera que cada captal deudor o acreedor devega tereses durate los días que va desde el vecmeto a la fecha de cerre de la cueta. Por tato para poder utlzar este método debemos coocer de atemao la fecha de lqudacó. Método drecto: E este método los días se cueta desde cada vecmeto hasta ua fecha fja establecda. Lo que se produce es u cálculo de úmeros que o correspode a los que realmete produce tereses. Método hamburgués: E este últmo método los días se cueta de vecmeto a vecmeto. De los tres el método más empleado para la lqudacó de las cuetas corretes es el hamburgués. Las operacoes a realzar e la lqudacó por el método hamburgués de la cueta correte so las sguetes:. Cálculo de los úmeros Números Saldo Días () () Los días so los que meda etre dos fechas de valor cosecutvas 2. Cálculo de los tereses Itereses Suma de los úmeros comercales / (días aturales/ tpo de terés expresado e tato por uo) 26

27 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo: Lqudar la sguete cueta correte cerrada a 3 de marzo por el método hamburgués sabedo que, los tereses so del 5% para los saldos deudores y del 0,% para los saldos acreedores y que preseta los sguetes movmetos: Fecha Saldo Saldo Fecha cocepto Debe Haber operacó Deudor Acreedor valor Saldo ateror 0, Etrega e efectvo 422,20 422, Comsó matemeto 39,74 382, Tesoro Públco 80,8 48, Etrega e efectvo.000,00 58, Tarjeta Crédto 222,95 358, Telefóca 486,07 27, Tesoro Públco 206,92 334, Etrega e efectvo 206,92 27, Proveedores 25,49 253, Etrega e efectvo 500,00 246, Comsó,44 245, Igreso cheque 957,00 202, Telefóca 27,79 930, Tarjeta Crédto 269,6 66, Proveedores 25,49 535, Telefóca 289,4 246,

28 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Solucó: Fecha operacó cocepto Debe Haber Saldo Deudor Saldo Acreedor Fecha valor Días () Números Deudores Números Acreedores Saldo ateror 0, Etrega e efectvo 422,20 422, Comsó ,74 382, matemeto 9-0 Tesoro Públco 80,8 48, Etrega e efectvo.000,00 58, Tarjeta Crédto 222,95 358, Telefóca 486,07 27, Tesoro Públco 206,92 334, Etrega e efectvo 206,92 27, Proveedores 25,49 253, Etrega e efectvo 500,00 246, Comsó,44 245, Igreso cheque 957,00 202, Telefóca 27,79 930, Tarjeta Crédto 269,6 66, Proveedores 25,49 535, Telefóca 289,4 246, Totales ()Los días so los que meda etre dos fechas de valor cosecutvas. El apute que realzará el Baco será: Itereses a su favor 0, , Itereses a uestro favor, ,5 28

29 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE.6 OTROS ACTIVOS FINANCIEROS Los actvos faceros so títulos emtdos por las empresas, etdades faceras, el Estado co el f de obteer facacó. S esta facacó se quere obteer e el corto plazo estamos ate actvos faceros a corto plazo. Los actvos faceros puede ser emtdos por: El Tesoro Públco: Etre los títulos de Deuda Públca emtdos por el Tesoro ecotramos: Letras del Tesoro: So valores de reta fja a corto plazo emtdos por el Tesoro Español. Las Letras se emte medate subasta. El mporte mímo de cada petcó ha de ser de.000 y las petcoes de mporte superor ha de ser múltplos de.000. So valores emtdos al descueto, debdo a esto su preco de adquscó es feror al mporte que el versor recbrá a la fecha de vecmeto de la Letra. La dfereca etre el preco de adquscó y el valor de reembolso será el redmeto geerado por la Letra. Sus redmetos está exetos de retecó a cueta tato e el ámbto del IRPF como del Impuesto de Socedades. E la actualdad el Tesoro emte letras a 3, 6, 2 y 8 meses, teedo e cueta que es posble su veta ates de su vecmeto. Pagarés del Tesoro: So títulos emtdos por el Tesoro Español al descueto, por lo que el redmeto se obtee por dfereca etre el preco pagado por el título y el valor de reembolso. Sus redmetos está exetos de retecó a cueta tato e el ámbto del IRPF como del Impuesto de Socedades. Por emsores partculares: Pagarés de empresa: So títulos emtdos por las empresas, geeralmete se suele tratar de grades empresas y lo hace para dversfcar sus fuetes de facacó. Pagarés faceros: E este caso, estos títulos so emtdos por etdades de depósto tales como Bacos y Cajas de ahorro. 29

30 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE Cálculo de retabldades de descueto para letras del tesoro, pagarés del tesoro y pagarés de empresa. Cálculo del efectvo a partr del tpo de descueto d E N 360 Cálculo de la retabldad a partr del tpo de descueto Cálculo de la retabldad a partr del efectvo N E r E Cálculo del tpo de descueto a partr del efectvo d r d d N E N E Efectvo de compra, N Nomal, r Retabldad aual. d Tpo de descueto aual. Número de días etre fecha de compra y fecha de vecmeto. Ejemplo: Se adquere ua Letra del Tesoro de.000 de valor omal y descotada al 0% aual, co fecha de vecmeto 2 meses. Calcular: El efectvo que se paga por la compra de la Letra del Tesoro S cuado falta 80 días para su vecmeto se vede e el mercado secudaro a u tato de descueto del 9,75%. Calcular el mporte que habrá de pagar el segudo comprador Calcular la retabldad obteda por el prmer comprador Calcular la retabldad obteda por el segudo comprador º Vamos a calcular el mporte pagado por la adquscó de la Letra del Tesoro. N E N( - d ).000 ( 0,0 ) 900 2º Preco de veta de la Letra del Tesoro días E E 2 N( - d 2 ).000 ( 0,0975 ) 95, t 30

31 Capítulo. CAPITALIZACIÓN SIMPLE 3º Calcular la retabldad obteda por el prmer comprador Podemos calcular de las sguetes formas: 85 días 80 días , r t 0 85 E 2 E ( + r ); 95, ( + r ) 0,0808,08% 360 N E , r,08% E º Calcular la retabldad obteda por el segudo comprador Podemos calcular de las sguetes formas: 85 días 80 días , r t 0 N E 2 ( + r ( t) ) ,25 ( + r ) 0, ,25% 360 N E , r 0,25% E 95,

32 Curso de Cotabldad y Matemátcas Faceras 2ª parte: Matemátcas Faceras Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

33 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ídce de cotedos Pága CAPÍTULO 2 CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 3 2. CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES Cocepto Característcas Cálculo del captal fal Cálculo del captal cal Cálculo del tato de terés Cálculo del tempo El terés total TANTOS DE INTERÉS Tatos equvaletes Tato omal CAPITALIZACIÓN POR TIEMPOS FRACCIONADOS 2.3. Captalzacó por tempos fraccoados: coveo leal y coveo expoecal 2.4 EL DESCUENTO COMPUESTO Descueto racoal Descueto comercal Equvaleca etre tato de terés y tato de descueto EQUIVALENCIA DE CAPITALES Equvaleca de captales e captalzacó compuesta El captal comú Vecmeto comú Vecmeto medo Caso partcular: captales de la prestacó guales etre sí 22 2

34 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Capítulo 2 CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2. CONCEPTO Y FÓRMULAS GENERALES 2.. Cocepto Las operacoes e captalzacó compuesta se caracterza porque, a dfereca de lo que ocurre e captalzacó smple, el captal que srve de base para calcular los tereses camba al co de cada período, y es gual al captal más los tereses del período ateror. Se puede defr la captalzacó compuesta como aquella operacó facera que trata de susttur u captal por otro, que es equvalete pero co vecmeto posteror medate la aplcacó de la ley facera de captalzacó compuesta Característcas La captalzacó compuesta se caracterza por:. El captal que srve de base para el cálculo de los tereses va varado de período a período y es gual al captal más los tereses del período ateror. Matemátcamete se expresa, como: C C + C 2. Los tereses so dsttos e cada período, y además al acumularse al captal va a producr uevos tereses e el período sguete. Matemátcamete se expresa, como: I C 2..3 Cálculo del captal fal S C 0 es el captal cal e, es el tato por uo al que se calcula los tereses de cada período, se verfcará que: 3

35 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA C 0 C C 2 C 3 C - C Período 0: C 0 Período : C C 0 + C 0 C 0 ( + ) Período 2: C 2 C + C C ( + ) C 0 ( + ) ( + ) C 0 ( + ) 2 Período 3: C 3 C 2 + C 2 C 2 ( + ) C 0 ( + ) 2 ( + ) C 0 ( + ) 3 Período : C C - + C - C - ( + ) C 0 ( + ) Por tato, el captal fal o motate será: C C 0 ( + ) Esta fórmula es aplcable sempre que el tpo de terés o varíe, y sempre y cuado el tato y el tempo se refera al msmo período, es decr, que s teemos u tato semestral, el tempo debe expresarse e semestres. Ejemplo: Se tee u captal de.000, que se va a vertr durate 0 años a u tpo de terés del 0% Qué motate se obtedrá cuado trascurra dcho plazo? Aplcado la fórmula del captal fal: C C 0 ( + ).000 ( + 0,0 ) ,74 S el tato hubese sdo del 8% para los cco prmeros años y del 0% para los cco restates. Cuál sería el captal fal obtedo? E este caso o podemos aplcar la fórmula del captal fal, ya que al varar el tato de terés debemos trabajar co el tato vgete e cada período. 000 C 0 8% 5 0% 0 C C 0 ( + ) 5 ( + 2 ) ( + 0,08 ) 5 ( + 0,0 ) ,37 4

36 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2..4 Cálculo del captal cal Partedo de la fórmula del captal fal y co las varables tempo, tato de terés y motate coocdas, despejado, obtedremos el valor del captal cal: C C 0 ( + ) S pasamos ( + ) al otro membro de la gualdad dvdedo, os queda: C 0 C (+ ) Ejemplo: Trascurrdos 0 años y a u tpo de terés del 0% se obtee u captal fal de Cuál fue el captal cal vertdo? C % 0 Aplcado la fórmula del captal cal teemos: C 0 C ( + ) ,63 0 ( + 0,0) 2..5 Cálculo del tato de terés Al gual que e el caso ateror, partedo de la fórmula del motate o captal fal y co las varables captal cal, fal y tempo coocdas, despejado, obtedremos el tato de terés: C C 0 ( + ) º Pasamos C 0 al otro membro de la gualdad dvdedo C ( + ) C 0 5

37 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2º Qutamos la poteca, hallado la raíz -ésma e ambos membros de la gualdad C C o ( + ) C ( + ) C o 3º Despejamos el tato de terés C C C - o Co Ejemplo: S se verte.000 y al cabo de 0 años se obtee Cuál será el tato de terés aplcado e esta operacó? C Co , ,096 9,6% 2..6 Cálculo del tempo Para calcular el tempo o la duracó de la operacó, procederemos de gual maera que e los apartados aterores, es decr, despejaremos la varable deseada, () e este caso, de la fórmula de la captalzacó. C C 0 ( + ) Paso º: Pasamos C 0 al otro membro de la ecuacó C ( + ) C 0 Paso 2º: Se despeja, utlzado logartmos C Log log ( + ) log C log C 0 log ( + ) C 0 Propedades de los logartmos aplcadas: a) El logartmo de u cocete es gual al logartmo del dvdedo meos el logartmo del dvsor b) El logartmo de ua poteca es gual al expoete multplcado por el logartmo de la base 6

38 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Paso 3º: Despejado obteemos: log C log C 0 log ( + ) Ejemplo: Ivrtedo u captal de.000 al 9,6% de terés obteemos Cuáto tempo estuvo mpuesto dcho captal? log C log C 0 log log años log ( + ) log ( ) 2..7 El terés total El terés total, es la dfereca que exste etre el captal cal vertdo y el motate o captal fal obtedo; es decr: I C C 0 S susttumos C, por la fórmula del valor fal obteemos que: I C 0 ( + ) C 0 C 0 [( + ) - ] Ejemplo: Qué tereses producrá.000 vertdos 0 años al 0%?.000 C C 0 C 0 ( + ).000 ( + 0,0 ) ,74 I C C , ,74 I C C 0 C 0 [( + ) ].000 [( + 0,0 ) 0 ].593,74 7

39 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2.2 TANTOS DE INTERÉS 2.2. Tatos equvaletes Decmos que dos o más tatos de terés so equvaletes, cuado al aplcarlos a u msmo captal durate u msmo período de tempo se obtee el msmo captal fal. Ua vez defdos los tatos equvaletes, vamos a defr la frecueca de captalzacó. La frecueca es el úmero de veces que durate u período de tempo se captalza los tereses producdos. S tomamos como refereca u año dremos que la frecueca ( ) adopta los sguetes valores: S se captalza semestralmete: 2 S la captalzacó es trmestral : 4 S se captalza mesualmete : 2 E la captalzacó compuesta para que dos tatos sea equvaletes tee, que por defcó cumplr la sguete relacó: ( + ) + Despejamos obteemos: ( + ) Despejado : ( + ) - ( + ) / Dode recbe la deomacó de tato efectvo aual e es el tato equvalete -esmal 8

40 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ejemplo: Calcular los sguetes tatos equvaletes correspodetes a u tato efectvo aual del 0%: mesual trmestral cuatrmestral semestral º Tato de terés mesual: 0,0 2 2 ( + ) / ( + 0,0 ) /2 0, º Tato de terés trmestral: 4 4 ( + ) / ( + 0,0 ) /4 0, º Tato de terés cuatrmestral: 3 3 ( + ) / ( + 0,0 ) /3 0, º Tato de terés semestral: 2 2 ( + ) / ( + 0,0 ) /2 0, Tato omal El tato omal se obtee multplcado la frecueca de captalzacó por el tato de terés -esmal. Por tato: J 9

41 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA O de otra forma: J Es decr el tato -esmal se obtee dvdedo el tato omal etre la frecueca de captalzacó. Dcha relacó os permte obteer fáclmete el tato efectvo -esmal ua vez que coocemos su correspodete tato omal aual captalzable por - ésmos o vceversa. E el sguete esquema se observa las relacoes que exste etre los dsttos tatos: Dado tedremos que: Dado tedremos que: ( + ) / J [ ( + ) / ] ( + ) J J ( + ) Dado J tedremos que: J Dode: (): Tato de terés efectvo aual T.A.E. ( ): Tato efectvo -esmal (J ): Tato omal aual captalzable por -ésmos Ejemplo: Dado u tato de terés omal captalzable por trmestres del 2% Cuál será el tato efectvo aual correspodete? 4 J 4 0,2 4 J 4 /40,2 /40,03 (+ 4 ) 4 (,03) 4 0,

42 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2.3 CAPITALIZACIÓN POR TIEMPOS FRACCIONADOS 2.3. Captalzacó por tempos fraccoados: coveo leal y coveo expoecal Puede ocurrr que e la fórmula de la captalzacó C C 0 ( + ), o p represete u úmero etero de años, so que sea gual a h +, dode h sea u úmero etero de años y p sea ua fraccó de año. E este caso la fórmula del captal fal será: C C 0 ( + ) h + (p/) C 0 ( + ) h ( + ) (p/) Ate esta stuacó exste dos posbles formas de calcular el captal fal: Coveo leal: cosste e captalzar e régme de captalzacó compuesta el úmero etero de años y e régme de captalzacó smple la fraccó del año. C C 0 ( + ) h ( + p ) Coveo expoecal: e el coveo expoecal la captalzacó se realza e régme de compuesta tato por el período etero como por el fraccoado. C C 0 ( + ) h ( + ) p Sedo el tato -esmal equvalete al aual. També se podría calcular el captal fal e fucó úcamete del tato de terés aual, o be del tato de terés -esmal, e cuyo caso tedríamos respectvamete que: C C 0 ( + ) h + p C C 0 ( + ) h + p

43 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ejemplo: Calcular el captal fal que producrá.000 mpuestos al 0% durate 0 años y 8 meses utlzado ambos coveos: º Coveo leal: 0,0 C C 0 ( + ) h ( + p ).000 ( + 0,0 ) 0 ( + 0,0 2 8 ) 2.766,66 2º Coveo expoecal: 0,0 2 ( + ) /2 ( + 0,0 ) /2 0, C C 0 (+ ) h ( + ) p.000 (+ 0,0) 0 ( + 0, ) ,89 També podemos hallar el captal fal: E fucó del tpo de terés -esmal, úcamete C C 0 ( + ) h+p.000 ( + 0, ) (0 2) , 89 E fucó del tato de terés aual C C 0 ( + ) h + p ( + 0,0 ) , EL DESCUENTO COMPUESTO El descueto compuesto es aquella operacó facera que tee por objeto la susttucó de u captal futuro por otro co vecmeto e el presete, medate la aplcacó de la ley facera de descueto compuesto. Es decr, es ua operacó facera que resulta de aplcar u tato de descueto a u captal C ó omal co vecmeto futuro, para obteer el valor del captal actual C o llamado efectvo, de dspobldad medata. E deftva, es la operacó versa a la captalzacó. E la captalzacó obteemos el captal futuro producdo por la versó de u captal presete, metras que e el descueto susttumos ese captal futuro por otro co vecmeto presete. Sedo el descueto el mporte que se percbe por atcpar la dspobldad de u captal. 2

44 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA El descueto se calcula restado del captal fal al vecmeto o omal el captal que se obtee e el presete o efectvo. ( DC -C o ) C 0 C 0 2 Exste dos clases dferetes de descueto compuesto segú el captal que tegamos e cueta para el cálculo de los tereses Descueto racoal El descueto racoal es el terés que produce u captal cal durate el período que va etre el vecmeto del captal fal o motate y el del captal cal. Es decr se cosdera geerador de tereses el captal al co de dcho período. C 0 C C 2 C - C Vamos a realzar el cálculo del captal para los dsttos mometos del tempo: Mometo : C C Mometo -: C - C I C C - ; C - + C - C ; C - ( + )C ; C - ( + ) C Mometo -2: C -2 C - I - C - C -2 ; C -2 + C -2 C - ; C -2 ( + )C - ; C -2 2 (+ ) C Mometo 0: C 0 C I C C 0 ; C 0 + C 0 C ; C 0 ( + ) C ; C 0 C ( + ) ( + ) Partedo de las fórmulas del captal fal C C 0 ( + ) y del captal cal C 0 C ( + ) -, y susttuyedo e la fórmula del descueto racoal D r C C 0 tedremos: S susttumos C 0, obtedremos el mporte del descueto e fucó del omal D r C - C ( + ) - C [ - ( + ) - ] S susttumos C, obtedremos el mporte del descueto e fucó del efectvo D r C 0 ( + ) C 0 C 0 [ ( + ) - ] 3

45 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ejemplo: Se desea atcpar el pago de ua deuda que vece detro de 5 años y que mporta S el pago se quere realzar e el mometo actual Qué catdad tedrá que aboarse s el tpo de terés al que se cocerta la operacó es del 0% aual? Cuál será el mporte del descueto? C ,0 5 C años 0,0 º Vamos a calcular el efectvo o captal cal que habría de satsfacer a día de hoy. C 0 C ( + ) ( + 0,0 ) ,64 2º Cálculo del descueto racoal D r C C , , Descueto comercal El descueto comercal resulta de la aplcacó de u tato de descueto d al omal durate el período de tempo a cosderar. E este caso y a efectos del cálculo de los tereses de u período, tomamos el captal al fal de dcho período, y el tato d que se establezca para la operacó. Vamos a realzar el cálculo del captal para los dsttos mometos del tempo: Mometo : C Mometo -: C - C C d C ( d ) Mometo -2: C -2 C - C - d C - ( d ) C ( d ) 2 Mometo -3: C -3 C -2 C -2 d C -2 ( d ) C ( d ) 3 Mometo 0: C 0 C ( d ) 4

46 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA La fórmula que permte obteer el efectvo ( C o ) aplcado el tato de descueto ( d ) al valor omal ( C ) es: C 0 C ( - d ) S partmos del valor que acabamos de obteer para el captal cal, y lo susttumos e la fórmula del descueto comercal D c C C 0 tedremos: D r C - C ( - d ) C [ - ( - d ) ] Quedado expresado el descueto e fucó del omal. Ejemplo: Se desea atcpar el pago de ua deuda que vece detro de 5 años y que mporta S el pago se quere realzar e el mometo actual Qué catdad tedrá que aboarse s el tpo de descueto fjado es del 0% aual? Cuál será el mporte del descueto? C C años d 0,0 0 d 0,0 5 º Vamos a calcular el efectvo o captal cal que habría de satsfacer a día de hoy. C 0 C ( - d ) ( - 0,0 ) ,7 2º Cálculo del descueto comercal D r C C , , Equvaleca etre tato de terés y tato de descueto. Ua vez que se ha vsto los dos modelos de descueto exstetes, y teedo e cueta que descotado el msmo captal, por gual período y al msmo tato, los resultados que obteemos va a ser dferetes segú que utlcemos uo u otro, vamos a tratar de ecotrar la relacó que exste etre ambos tatos para que el resultado sea el msmo utlzado cualquera de los dos procedmetos. 5

47 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Para que exsta equvaleca etre el tato de terés y el de descueto, el valor actual obtedo al descotar u captal fal o omal a u tpo de terés y por u período determado, ha de ser el msmo, que s descotásemos ese msmo omal a u tato de descueto y por gual período de tempo. Es decr: C ( + ) - C ( - d ) S smplfcamos C e ambos membros de la ecuacó, queda: ( + ) - ( - d ) S ahora elevamos a la poteca / ambos membros de la gualdad teemos: ( d) (+ ) - Smplfcado: ( d ) ( + ) - A partr de esta ecuacó ya podemos relacoar el tato de descueto y el de terés: ( d) d Despejado : ( d ) - - ( d ) ( d) ( d) Despejado d: d - ( + ) + (+ ) (+ ) Ejemplo: U tpo de descueto del 0% a qué tpo de terés es equvalete? d 0,0 0,... ( 0,0) ( d) Y u tpo de terés del 0% a qué tpo de descueto es equvalete? d (+ ) 0,0 0, (+ 0,0) 6

48 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 2.5 EQUIVALENCIA DE CAPITALES 2.5. Equvaleca de captales e captalzacó compuesta Se dce que varos captales C, C 2, C 3,..., C que vece respectvamete e t, t 2,t 3,..., t so equvaletes a otros captales C +, C +2, C +3,..., C que vece e t +, t +2, t +3, t, cuado, la suma de sus valores sea gual, para u mometo t cualquera e que se compare. S valoramos e el mometo actual, para que sea equvaletes, debe cumplrse que: C (+) t t + C 2 (+) 2 t + (+) 2 t + C +3 (+) C 3 (+) t 3 t +...+C (+) t + C ( + ) t C + (+) + +C +2 E la equvaleca etre captales, es dferete cual sea el mometo e que realce la valoracó, s dos captales so equvaletes va a serlo, sea cual sea el mometo e que se valore El captal comú Es el captal úco y equvalete C t que vece e u mometo t y que susttuye a varos captales C, C 2, C 3,, C co vecmetos e t, t 2, t 3,, t respectvamete, sedo todos ellos coocdos. º Partedo de la ecuacó de equvaleca: C t ( + ) -t C ( + ) t t 2 + C 2 ( + ) t + C ( + ) C t ( + ) t C (+ ) j j t j t + C 3 ( + ) º Pasado ( + ) -t al otro membro de la ecuacó: C t C (+ ) j j (+ ) t t j 7

49 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ejemplo: Se desea coocer el mporte del captal úco que vecedo detro de 5 años, sustturía a tres deudas de.000, y que vecese e el plazo de 2, 4 y 6 años respectvamete. La operacó se realza a u tato de terés del 0%. Solucó: º S calculamos la equvaleca de captales e el año C C ( + 0,0) ( + 0,0) ( + 0,0) ,27 2º S calculamos la equvaleca de captales e el año C C 5 (+0,0) (+0,0) (+0,0) (+0,0) ,27 3º S utlzamos la fórmula del captal comú C t t j C j ( + ) j t ( + ) 3.885, (,0) 6.258, (,0) , (,0) , (,0) 6.693,4279 t C j ( + ) j j 3.885,

50 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Vecmeto comú Es el mometo del tempo t e el que vece el captal úco C t que va a susttur a varos captales (C, C 2, C 3,, C ) cuyas fechas de vecmeto so (t, t 2, t 3,, t ), sedo todos los datos, excepto t, coocdos. Matemátcamete, el vecmeto comú será el mometo t e el cual se cumple que: C t ( + ) -t t C ( + ) t2 + C 2 ( + ) t3 + C 3 ( + ) t C ( + ) Sedo: C t C + C 2 + C C La ateror ecuacó la podemos expresar como: C ( + ) t C ( + t j t j ) j Aplcado las propedades de los logartmos podemos despejar t: t log C t log C (+ ) j log( + ) j t j Propedades de los logartmos aplcadas: a) El logartmo de u cocete es gual al logartmo del dvdedo meos el logartmo del dvsor b) El logartmo de ua poteca es gual al expoete multplcado por el logartmo de la base. 9

51 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ejemplo: Se debe pagar tres deudas de 2.000, y co vecmetos respectvos a los 2, 4 y 6 años. El mporte de las deudas, se desea susttur por u pago úco de La operacó se realza a u tato de terés del 2%. Cuádo habrá de efectuarse el pago? Solucó: (,2) , (,2) , (,2) ,4785 t j C j ( + ) j 8.38,40 log( 0.000) log(8.38,40) t log(,2),6246 t año 7 meses y 4 días Vecmeto medo Es u caso partcular del vecmeto comú e el que: C + C 2 + C C C t ; es decr C t C S susttumos el valor de C t por el de C j e la fórmula de vecmeto comú obteemos: j j j t m log j C j log log( C ( + j + ) j ) t j 20

52 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ejemplo: Se debe pagar tres deudas de 2.000, y co vecmetos respectvos a los 2, 4 y 6 años. El mporte de las deudas, se desea susttur por u pago úco de La operacó se realza a u tato de terés aual del 2% Cuádo habrá de efectuarse el pago? Solucó: (,2) , (,2) , (,2) ,4785 t j C j ( + ) j 8.38,40 t log( 4.000) log(8.38,40) log(,2) 4, t 4 años 7 meses y 3 días 2

53 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Caso partcular: captales de la prestacó guales etre sí Este es u caso partcular del vecmeto medo, e el que todos los captales so guales etre sí y además el mporte del captal úco que los susttuye es gual a la suma de dchos captales. De dode: C C 2 C 3 C C + C 2 + C C C t C º S partmos de la ecuacó de equvaleca y susttumos e ella los valores teemos: C t ( + ) -t t C ( + ) t2 + C 2 ( + ) t3 + C 3 ( + ) t C ( + ) C ( + ) -t t C ( + ) t2 + C ( + ) t3 + C ( + ) t C ( + ) 2º S sacamos factor comú C: C ( + ) -t t C [( + ) t2 + ( + ) t3 + ( + ) t ( + ) ] 3º Smplfcado y pasado al otro membro de la ecuacó: (+ ) t m j C ( + ) j 4º Aplcado las propedades de los logartmos: t j t m log log ( + ) j log( + ) t j 22

54 Capítulo 2. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Ejemplo: Se debe pagar tres deudas de cada ua co vecmetos respectvos a los 2, 4 y 6 años. El mporte de las deudas, se desea susttur por u pago úco de La operacó se realza a u tato de terés aual del 2% Cuádo habrá de efectuarse el pago? Solucó: (,2) -2 0, (,2) -4 0, (,2) 6 0, t j ( + ) j, log( t 3) log(, log(,2 ) ) 3, t 3 años 0 meses y 5 días 23

55 Curso de Cotabldad y Matemátcas Faceras 2ª parte: Matemátcas Faceras Capítulo 3. RENTAS

56 Capítulo 3. RENTAS Ídce de cotedos Pága CAPÍTULO 3 RENTAS 3 3. CONCEPTO Y CLASES Cocepto Clasfcacó RENTAS CONSTANTES Reta costate, pospagable y temporal Reta costate, pospagable y perpetua Reta costate, prepagable y temporal Reta costate, prepagable y perpetua RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Retas varables e progresó geométrca, pospagables y temporales Retas varables e progresó geométrca, pospagables y perpetuas Retas varables e progresó geométrca, prepagables y temporales Retas varables e progresó geométrca, prepagables y perpetuas RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Retas varables e progresó artmétca, pospagables y temporales Retas varables e progresó artmétca, pospagables y perpetuas Retas varables e progresó artmétca, prepagables y temporales Retas varables e progresó artmétca, prepagables y perpetuas RENTAS FRACCIONADAS Retas costates Retas pospagables Retas prepagables Retas fraccoadas varables e progresó geométrca Retas pospagables Retas prepagables Retas fraccoadas varables e progresó artmétca Retas pospagables Retas prepagables RENTAS CONTINUAS RENTAS CONSTANTES DE PERÍODO UNIFORME SUPERIOR AL AÑO Retas costates de período uforme superor al año calculadas e fucó del tato de terés aual Retas costates de período uforme superor al año calculadas e fucó del tato de terés equvalete p 62 2

57 Capítulo 3. RENTAS Capítulo 3 RENTAS 3. CONCEPTO Y CLASES 3.. Cocepto Ua reta es ua sucesó de captales dspobles e vecmetos determados. E el estudo de las retas llamaremos: Térmo de la reta: A los captales que forma dcha reta Período: Al tempo trascurrdo etre dos térmos cosecutvos Orge de la reta: Es el mometo dode comeza la reta F de la reta: Mometo dode falza la reta Duracó: tempo que trascurre etre el comezo y f de la reta Vecmeto del térmo: El térmo de la reta puede vecer be al comezo o al fal de cada período. Dos ejemplos típcos so: o o Los sueldos: Estos ormalmete se paga al fal del mes, auque se comeza a geerar el prmer día. Los alquleres: Estos vece el prmer día del mes, es decr se paga el prmer día, auque se geere a lo largo de todo el mes Clasfcacó Las retas puede clasfcarse de muy dversas formas. Segú el crtero al que atedamos, tedremos:. Atededo a la aturaleza del térmo: S atedemos a la aturaleza de los térmos de la reta, estas puede ser: Costates: Todos los térmos de la reta so guales etre sí. Es decr, C C 2 C 3... C - C Varables: S los térmos de la reta dfere etre sí. Es decr, C C 2 C 3... C - C 3

58 Capítulo 3. RENTAS 2. Atededo a la duracó de la reta S atedemos a la duracó de las retas estas puede ser: Temporales: Cuado la reta tee u úmero fto de térmos. Perpetuas: Cuado la reta tee ftos térmos. 3. Atededo al mometo de vecmeto del térmo: Los térmos de la reta puede vecer al prcpo o al fal del período. Teedo e cueta este hecho, las retas se puede clasfcar e: Pospagables: S el térmo de la reta se cobra o paga al fal de cada período. Prepagables: S el térmo de la reta se cobra o paga al co de cada período. 4. Atededo al mometo e que se realce la valoracó de la reta: Depededo del mometo e que se efectué la valoracó las retas puede ser: Imedatas: Cuado el puto de valoracó cocde co el co o el fal de la reta. Dferdas: Cuado el puto de valoracó es ateror al orge de la reta. Atcpadas: Cuado el puto de valoracó es posteror al de falzacó de la reta. 5. Atededo al fraccoameto de la reta: Eteras: El período sobre el que se aplca el tato de terés cocde co el período del térmo de la reta. Fraccoadas: Cuado el período del térmo de la reta o cocde co el período del tato de terés o be o cocde co el período de captalzacó del tato. 6. Atededo a la ampltud de los tervalos: Segú la ampltud de los tervalos, las retas puede ser: Dscretas: Cuado los tervalos so de dmesó fta. Cotuas: Cuado la ampltud de los tervalos es de dmesó ftesmal. Ua vez defdos los prcpales elemetos de las retas y realzada su clasfcacó, vamos a pasar a su estudo. 4

59 Capítulo 3. RENTAS 3.2 RENTAS CONSTANTES Las retas costates so aquellas e las que todos sus térmos so guales etre sí. Depededo de sus característcas podemos ecotraros co las sguetes clases de retas costates: 3.2. Reta costate, pospagable y temporal Las retas costates, pospagables y temporales preseta las sguetes característcas: Todos sus térmos so guales etre sí. Los térmos vece al fal de cada período. Está compuestas por u úmero fto de térmos. Depededo de cuál sea el mometo de valoracó de estas retas, tedremos:. Imedatas So medatas cuado su puto de valoracó cocde co el orge o el fal de la reta. 5

60 Capítulo 3. RENTAS Valor actual El valor actual de ua reta es gual al valor actual de todos y cada uo de sus térmos. El valor actual de ua reta costate, medata, pospagable y temporal se represeta gráfcamete del sguete modo: C (+) - C C C C C C (+) -2 C (+) -3 C (+) -(-) C (+) - Matemátcamete se expresará como: V 0 C (+) - + C (+) -2 + C (+) C (+) - S sacamos factor comú a C, os queda: V 0 C [ (+) - + (+) -2 + (+) (+) - ] S tomamos como valor de C ua udad moetara, etoces: V 0 [ (+) - + (+) -2 + (+) (+) - ] Dode [ (+) - + (+) -2 + (+) (+) - ] es ua progresó geométrca de razó (+) - <, y por tato, decrecete. La suma de los térmos de ua progresó geométrca decrecete es gual a: S a a r r a Prmer térmo de la progresó a Últmo térmo de la progresó r Razó S susttumos aquí, los valores de uestra progresó, obteemos: - (+ ) (+ ) (+ ) S (+ ) 6

61 Capítulo 3. RENTAS S ( + ) - ( + ) ( + ) ( + ) - ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) S ( + ) Por tato, el valor actual de ua reta costate, utara, pospagable, temporal e medata de térmos valorada al tato de terés, que represetaremos como a, será gual a: a ( + ) El valor actual de ua reta costate, temporal, pospagable e medata de térmos de cuatía C será: V 0 ( + ) C Valor fal El valor fal de ua reta es gual a la suma de todos y cada uo de sus térmos valorados e el mometo. El valor fal de ua reta costate, medata, pospagable y temporal se represeta gráfcamete del sguete modo: C C C C C C C (+) C (+) -3 C (+) -2 C (+) - Matemátcamete se expresará como: V C + C (+) + C (+) 2 + C (+) C (+) - 7

62 Capítulo 3. RENTAS S sacamos factor comú a C, os queda: V C [ +(+) + (+) 2 + (+) (+) - ] S tomamos como valor de C ua udad moetara, etoces: V [+(+) + (+) 2 + (+) (+) - ] Dode [ +(+) + (+) 2 + (+) (+) - ] es ua progresó geométrca de razó (+) >, y por tato, crecete. La suma de los térmos de ua progresó geométrca crecete es gual a: S a r a r a Prmer térmo de la progresó a Últmo térmo de la progresó r Razó S susttumos aquí, los valores de uestra progresó, obteemos: S - ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) - S (+ ) Por tato, el valor fal de ua reta costate, utara, pospagable, temporal e medata de térmos valorada al tato de terés, que represetaremos como S, será gual a: S (+ ) El valor fal de ua reta costate, temporal, pospagable e medata de térmos de cuatía C será: V ( + ) C 8

63 Capítulo 3. RENTAS Relacó etre el valor actual y el valor fal El valor fal es gual al valor actual de la reta captalzado al mometo. Gráfcamete lo represetaremos como: V 0 C a (+) V V 0 (+) Matemátcamete se expresará como V V 0 (+), s desarrollamos esta expresó os queda: ( + ) V C ( + ) ( + ) C Por tato el valor fal de la reta será gual al valor actual multplcado por (+). 2. Dferdas Las retas so dferdas cuado su puto de valoracó es ateror al orge de la reta. La represetacó gráfca de estas retas es: d C (+) - C (+) -2 C (+) -(-) C (+) - C C C C (+) -d El valor actual de ua reta costate, temporal, pospagable y dferda d períodos será gual a: ( + ) d /V 0 C ( + ) d 9

64 Capítulo 3. RENTAS 3. Atcpadas Las retas so atcpadas cuado su puto de valoracó es posteror a la falzacó de la reta. Gráfcamete las represetaremos como: h C C C C C C C (+) C (+) -3 C (+) -2 C (+) - (+) h El valor fal de ua reta costate, temporal, pospagable y atcpada h períodos será gual a: h /V ( + ) - C ( + ) h Ejemplo: Dada ua reta costate, temporal y pospagable de térmos de cuatía 0.000, de duracó 0 años y valorada a u tpo de terés del 0%. Calcular:. El valor actual y fal de dcha reta 2. El valor actual s exste u dfermeto de 2 años 3. El valor fal de la reta s se valora 2 años después de su falzacó Solucó:. Cálculo del valor actual y fal de la reta costate, temporal y pospagable. Valor actual V 0 ( + ) C 0 0 (,0) V , ,67 0

65 Capítulo 3. RENTAS Valor fal V V ( + ) C 0 (,0) ,25 0,0 També podríamos haber calculado el valor fal como: V V ( ) 0 + V 6.445,67 (,0) ,25 2. Cálculo del valor actual para u dfermeto de 2años ( + ) d /V 0 C ( + ) d 0 (,0) 2 2 / V (,0) 50.78,55 0,0 3. Cálculo del valor fal s la valoracó se efectúa 2 años después de la falzacó de la reta h /V ( + ) - C ( + ) h 0 (,0) /V (,0) ,84 0,0

66 Capítulo 3. RENTAS Ejemplo: El valor actual de ua reta costate, temporal y pospagable, de duracó 0 años es de 92.68,5. Cuál será el mporte de los térmos de dcha reta, sabedo que el tpo de terés empleado e su valoracó es del 0%? Solucó: Cálculo del mporte de los térmos de la reta C C C C C V ,5 V 0 ( + ) C 92.68, ,5 C (,0) 0,0 (,0) C 0, Ejemplo: El valor fal de ua reta costate de térmos de cuatía 2.550, temporal y pospagable, es de ,68. Cuál será la duracó de dcha reta s el tpo de terés empleado e su valoracó es del 0%? Solucó: Cálculo de la duracó de la reta. V ( + ) C (,0) , ,0 2

67 Capítulo 3. RENTAS ,68 (,0) , ,68 0,0 (,0) ,68 (,0) 0, (,0) 2, S aplcamos logartmos os queda: log(2, ) 0años log(,0) Ejemplo: Dada ua reta costate, temporal y pospagable, de térmos de cuatía 0.000, de duracó 5 años y cuyo valor actual es gual a Cuál será el tpo de terés empleado e la valoracó de dcha reta? Iformacó adcoal: / 0,095 0,0 0,05 5 3, , , Solucó: Cálculo del tpo de terés. V 0 ( + ) C ( + ) ( + ) ,8 S buscamos e la tabla, vemos que el tpo de terés tee que estar etre el 9,5% y el 0%. Por tato y para poder calcular el tpo de terés tedremos que terpolar 3

68 Capítulo 3. RENTAS a 5 0,095 3, X a 5 0,0 3, X 2 a 5 3,8 X 0,095 Y 0,0 Y 2 Y X X Y Y X Y Y X 2 2 3,8 3, Y 0,095 3, , ,095 0,0 Y 0, Por tato 9,9 % Reta costate, pospagable y perpetua Las retas costates, pospagables y perpetuas preseta las sguetes característcas: Todos sus térmos so guales etre sí. Los térmos vece al fal de cada período. Está compuestas por u úmero fto de térmos. Depededo de cuál sea el mometo de valoracó de estas retas tedremos:. Imedatas El valor actual de la reta costate, pospagable, medata y perpetua será gual al valor actual de la reta costate, pospagable, medata y temporal cuado el úmero de térmos tede a. Por tato, el valor actual de la reta utara, costate, pospagable, medata y perpetua que represetaremos como a será: a Lím a Lím ( + ) a 4

69 Capítulo 3. RENTAS El valor actual de la reta costate, pospagable, medata y perpetua de térmos de cuatía C será: V 0 C a C 2. Dferdas La reta es dferda cuado su puto de valoracó es ateror e d períodos al orge de la reta. Su represetacó gráfca será: d C C C C C (+) -d El valor actual de ua reta costate, perpetua, pospagable y dferda d períodos será gual a: d /V 0 C a ( d + ) C ( + ) d Ejemplo: Dada ua reta costate, pospagable y perpetua de térmos de cuatía Calcular:. El valor actual de dcha reta 2. El valor actual s exste u dfermeto de 2 años Sabedo que el tpo empleado e la valoracó es del 0%. Solucó:. Cálculo del valor actual de la reta costate, pospagable y perpetua. V 0 C V ,

70 Capítulo 3. RENTAS 2. Cálculo del valor actual para u dfermeto de 2años d /V 0 C ( + ) d 2 / V (,0) ,63 0, Reta costate, prepagable y temporal Las retas costates, prepagables y temporales preseta las sguetes característcas: Todos sus térmos so guales etre sí. Los térmos vece al prcpo de cada período. Está compuestas por u úmero fto de térmos. Depededo cuál sea el puto de valoracó de estas retas tedremos:. Imedatas So medatas cuado su puto de valoracó cocde co el orge o el fal de la reta. Valor actual El valor actual de ua reta costate, medata, prepagable y temporal se represeta gráfcamete del sguete modo: C C C C C C C (+) - C (+) -2 C (+) -3 C (+) -(-) Matemátcamete se expresará como: V 0 C + C (+) - + C (+) -2 + C (+) C (+) -(-) 6

71 Capítulo 3. RENTAS S sacamos factor comú a C, os queda: V 0 C [ + (+) - + (+) -2 + (+) (+) -(-) ] S tomamos como valor de C ua udad moetara, etoces: V 0 [ + (+) - + (+) -2 + (+) (+) -(-) ] Dode [ + (+) - + (+) -2 + (+) (+) -(-) ] es ua progresó geométrca de razó (+) - <, y por tato, decrecete. La suma de los térmos de ua progresó geométrca decrecete es gual a: a S a r r S susttumos aquí, los valores de uestra progresó, obteemos: S ( + ) (-) ( + ) ( + ) (-) ( + ) ( + ) - ( + ) S ( + ) ( + ) - ( + ) ( + ) (+ ) S ( + ) - Por tato, el valor actual de ua reta costate, utara, prepagable, temporal e medata de térmos valorada al tato de terés, que represetaremos como ä, será gual a: ( + ) ä ( + ) ä a (+) El valor actual de ua reta costate, temporal, prepagable e medata de térmos de cuatía C será: ( ) V& + 0 C ( + ) V& 0 V0 ( + ) 7

72 Capítulo 3. RENTAS Valor fal El valor fal de ua reta costate, medata, prepagable y temporal se represeta gráfcamete del sguete modo: C C C C C C (+) C (+) -3 C (+) -2 C (+) - C (+) Matemátcamete se expresará como: V C (+) + C (+) 2 + C (+) C (+) S sacamos factor comú a C, os queda: V C [ (+) + (+) 2 + (+) (+) ] S tomamos como valor de C ua udad moetara, etoces: V [(+) + (+) 2 + (+) (+) ] Dode [(+) + (+) 2 + (+) (+) ] es ua progresó geométrca de razó (+) >, y por tato, crecete. La suma de los térmos de ua progresó geométrca crecete es gual a: a S r a r S susttumos aquí, los valores de uestra progresó, obteemos: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) - ( + ) ( + ) ( + ) [ ] S ( + ) 8

73 Capítulo 3. RENTAS Por tato, el valor fal de ua reta costate, utara, prepagable, temporal e medata de térmos valorada al tato de terés, que represetaremos como & S, será gual a: & S ( + ) ( + ) S & S ( + ) El valor fal de ua reta costate, temporal, pospagable e medata de térmos de cuatía C será: ( ) V&& + C ( + ) V&& V (+ ) 2. Dferdas El valor actual de la reta costate, prepagable, temporal y dferda e d períodos será gual a: d /V& 0 ( + ) C ( + ) ( + ) d 3. Atcpadas El valor fal de la reta costate, prepagable, temporal y atcpada e h períodos será gual a: h / & V ( + ) - C ( + ) ( + ) h Ejemplo: Dada ua reta costate, temporal y prepagable de térmos de cuatía 0.000, y de duracó 0 años. Calcular:. El valor actual y fal de dcha reta 2. El valor actual s exste u dfermeto de 2 años 3. El valor fal de la reta s se valora 2 años después de su falzacó Sabedo que el tpo empleado e la valoracó es del 0%. 9

74 Capítulo 3. RENTAS Solucó:. Cálculo del valor actual y fal de la reta costate, temporal y prepagable. Valor actual ( + ) V & 0 C ( + ) 0 (,0) V & (,0) ,24 0,0 Valor fal V & ( + ) C ( + ) V & 0 (,0) (,0) 75.3,67 0,0 També podríamos haber calculado el valor fal como: V && V & ( ) 0 + V & ,24 (,0) ,67 2. Cálculo del valor actual para u dfermeto de 2años d /V & ( + ) d 0 C ( + ) ( + ) 0 2 / V & (,0) (,0) (,0) ,70 0,0 3. Cálculo del valor fal s la valoracó se efectúa 2 años después de la falzacó de la reta h / & V ( + ) C - ( + ) h ( + ) 0 V & (,0) / (,0) (,0) 22.27,2 0,0 20

75 Capítulo 3. RENTAS Reta costate, prepagable y perpetua Las retas costates, prepagables y perpetuas preseta las sguetes característcas: Todos sus térmos so guales etre sí. Los térmos vece al prcpo de cada período. Está compuestas por u úmero fto de térmos. Depededo de cuál sea el mometo de valoracó de estas retas tedremos:. Imedatas El valor actual de la reta costate, prepagable, medata y perpetua será gual al valor actual de la reta costate, prepagable, medata y temporal cuado el úmero de térmos tede. Por tato, el valor actual de la reta utara, costate, prepagable, medata y perpetua que represetaremos como ä será: ä ( + ) ( + ) Lím a& & Lím ( + ) ä ( + ) El valor actual de la reta costate, prepagable, medata y perpetua de cuatía C será: V & 0 C a& & C ( + ) 2. Dferdas El valor actual de ua reta costate, perpetua, pospagable y dferda d períodos será gual a: d /V& d d 0 C a& & ( + ) C ( + ) ( + ) Ejemplo: Dada ua reta costate, prepagable y perpetua de térmos de cuatía Calcular:. El valor actual de dcha reta 2. El valor actual s exste u dfermeto de 2 años Sabedo que el tpo empleado e la valoracó es del 0%. 2

76 Capítulo 3. RENTAS Solucó:. Cálculo del valor actual de la reta costate, prepagable y perpetua. V & 0 C ( + ) V & (,0) ,0 2. Cálculo del valor actual s exste u dfermeto de 2años d /V & d 0 C ( + ) ( + ) 2 2 / V & (,0) (,0) ,09 0,0 3.3 RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Estas retas se caracterza porque sus térmos varía e progresó geométrca, sedo cada térmo gual al ateror multplcado por ua determada catdad q, a la que deomaremos razó. S C, C 2, C 3,...C so los térmos de la reta que vece e los mometos,2,3,..., respectvamete y q es el valor de la razó, tedremos que: Prmer térmo C Segudo térmo C 2 C x q Tercer térmo C 3 C 2 x q C x q x q C x q 2 Termo -ésmo C C - x q C q - Depededo de sus característcas, os podemos ecotrar co las sguetes clases de retas varables e progresó geométrca: 22

77 Capítulo 3. RENTAS 3.3. Retas varables e progresó geométrca, pospagables y temporales Las retas varables e progresó geométrca pospagables y temporales preseta las sguetes característcas: Sus térmos varía e progresó geométrca Sus térmos vece al fal del período Preseta u úmero fto de térmos Estas a su vez puede ser, segú el mometo de valoracó: Imedatas Dferdas Atcpadas. Imedatas Valor actual S el valor actual de ua reta varable e progresó geométrca, pospagable, temporal e medata. Se desga como: A(C,q) Dode C es el valor del prmer térmo de la reta, q es la razó de la progresó, el úmero de térmos de la reta e es el tato de valoracó. 23

78 Capítulo 3. RENTAS Su represetacó grafca, será: C (+) - C q(+) -2 C q -2 (+) -(-) C q - (+) - C C 2 C q... C - C q -2 C C q - Así pues, matemátcamete tedremos: A(C,q) C (+) - + C q (+ ) -2 + C q 2 (+) C q - (+) - S sacamos factor comú C os queda: A(C,q) C [(+) - + q (+ ) -2 + q 2 (+) q - (+) - ] Y sabedo que: [(+) - + q (+ ) -2 + q 2 (+) q - (+) - ] Es la suma de los térmos de ua progresó geométrca de razó r q(+) - Dode: o S q < (+) Nos ecotramos co ua progresó geométrca decrecete, e la cual la suma de sus térmos, es: S a a r r S e la expresó ateror susttumos los valores de uestra progresó os queda: (+) --q - (+) -q (+) - S -q (+) - 24

79 Capítulo 3. RENTAS Operado obtedremos, que: Como: q (+ ) S + q A(C,q) C [(+) - + q (+ ) -2 + q 2 (+) q - (+) - ] Susttuyedo el valor del corchete por el de la suma de térmos de ua progresó geométrca decrecete, obteemos: q (+ ) A( C,q) C + q o S q (+) La represetacó gráfca de la reta, será: C (+) - C (+) (+) -2 C C 2 C (+)... C - C (+) -2 C C (+) - C (+) - (+) - Matemátcamete la expresamos como: A(C,q) C (+) - + C (+) (+) -2 +C (+) 2 (+) C (+) - (+) - Elmado expoetes: A(C,q) C (+) - + C (+) - + C (+) C (+) - Que queda, como: A(C, q) C (+ ) 25

80 Capítulo 3. RENTAS o S q>(+) Se calcularía teedo e cueta que e este caso estaríamos ate ua progresó geométrca crecete. Valor fal Como ya se señalo aterormete, el valor fal es el resultado de multplcar el valor actual de dcha reta por (+), esto es: S( C, q) A(C, q) ( + ) o S q (+) o S q (+) S(C,q) C (+) - (+) Sumado expoetes: S(C,q) C (+) - 2. Dferdas Para obteer el valor actual de las retas dferdas, basta co multplcar el valor actual de la correspodete reta medata por (+) -d, dode d es el úmero de períodos de dfermeto de la reta. ( ) d q + A(C,q) (+ ) d C (+ ) d A(C,q) + q 26

81 Capítulo 3. RENTAS 3. Atcpadas El valor fal de ua reta atcpada e h períodos, es gual al valor fal de la correspodete reta medata multplcada por (+) h. ( ) h + q S(C,q) (+ ) h C ( + ) h S(C,q) + q Ejemplo: Calcular el valor actual y el valor fal de ua reta varable e progresó geométrca, pospagable, de duracó 0 años, s la cuatía del prmer térmo es de 0.000Є, el aumeto aual acumulatvo de los térmos es el 0% y el tato empleado e la valoracó es el 0% efectvo aual. Solucó:. Valor actual de la reta varable e progresó geométrca, pospagable y temporal A(C,q) C ( ) + A(0.000,'0)0 0'0 0 x x ('0) '09 2. Valor fal de la reta varable e progresó geométrca, pospagable y temporal. 0 S(C, q) C(+ ) (+ ) 0 x x ('0) (,0) ,77 27

82 Capítulo 3. RENTAS Ejemplo: Dada ua reta varable e progresó geométrca, temporal y pospagable Calcular:. El valor actual y fal de dcha reta 2. El valor actual s exste u dfermeto de 2 años 3. El valor fal de la reta s se valora 2 años después de su falzacó Sabedo que el mporte del prmer térmo es de 0.000, que el aumeto aual acumulatvo de los térmos es u 5%, que la duracó de la reta es de 0 años y que el tpo empleado e la valoracó es del 0%. Solucó:. Valor actual y fal de la reta pospagable de duracó 0 años Valor actual q (+ ) A( C,q) C + q (,05) 0 (,0) 0 A(0.000,,05) 0 0, ,2,0,05 Valor fal ( + ) q S( C, q) C + q (,0) 0 (,05) 0 S(0.000,,05) 0 0, ,57 (,0) (,05) 2. Valor actual de la reta para u dfermeto de 2 años d/a(c q ( + ) C + q d, q) ( + ) 0 (,05) (,0) 0 2/A(0.000,,05)0 0, (,0) (,0) (,05) ,05 28

83 Capítulo 3. RENTAS 3. Valor fal de la reta s se valora 2 años después de su falzacó ( + ) q h/s( C C + + q h,q) ( ) (,0) 0 (,05) 0 2/S(0.000,,05) 0 0, (,0) (,0) (,05) , Retas varables e progresó geométrca, pospagables y perpetuas Las retas varables e progresó geométrca pospagables y perpetuas preseta las sguetes característcas: Sus térmos varía e progresó geométrca. Sus térmos vece al fal del período Tee u umero fto de térmos Depededo del mometo e que se efectúe su valoracó estas puede ser: Imedatas Dferdas. Imedatas Para hallar su valor actual tedremos que calcular el límte cuado tede a e la fórmula del valor actual de la reta varable e progresó geométrca, pospagable, medata y temporal. S q < (+) q (+ ) A(C, q) lm C C + q + q Ya que cuado S q > (+) A(C, q) lm C Ya que cuado q ( ) 0 (+ ) q (+ ) C + q + q q ( ) (+ ) 29

84 Capítulo 3. RENTAS S q (+) C ( + ) lm A(C, q) 2. Dferdas El valor actual de ua reta varable e progresó geométrca, pospagable, perpetua y dferda, será: d A(C, q) ( + ) d C ( + ) d A(C, q) + q Ejemplo: Dada ua reta varable e progresó geométrca y perpetua, cuyo prmer térmo es de 0.000, y cuya razó es gual a,05. Calcular el valor actual de dcha reta sabedo que exste u dfermeto de 5 años, y que el tato de terés empleado e la valoracó el 0%. Solucó: d A(C,q) ( + ) d C ( + ) d A(C, q) + q ('0) '26 A(0.000,'05) 0'0 ' 0 ' Retas varables e progresó geométrca, prepagables y temporales Las retas varables e progresó geométrca, prepagables y temporales se caracterza porque: Sus térmos varía e progresó geométrca Sus térmos vece al prcpo de cada período Por teer u umero fto de térmos 30

85 Capítulo 3. RENTAS Y a su vez, y depededo del mometo de su valoracó, estas puede ser: Imedatas Dferdas Atcpadas. Imedatas Valor actual Para obteer el valor actual de ua reta prepagable basta co multplcar por (+) el valor actual de su respectva reta pospagable. o S q (+) q ( ) A&& + (C,q) A(C,q) ( + ) C ( + + q ) o S q (+) A&& (C,+ ) A(C,+ ) (+ ) C Valor fal o S q (+) S&& (C, q) S(C, q) ( + ) C ( + ) q ( + q + ) o S q (+) && S(C,+ ) S(C,+ ) (+ ) C (+ ) 2. Dferdas El valor actual de la reta dferda es gual al valor actual de la correspodete reta medata multplcado por (+) -d, dode d es el úmero de períodos de dfermeto d ( + ) A(C &&,q) (+ ) d q C A(C &,q) + q ( + )(+ ) d 3

86 Capítulo 3. RENTAS 3. Atcpadas El valor fal de la reta atcpada es gual al valor fal de la correspodete reta medata multplcada por (+) h, dode h es el úmero de períodos de atcpacó. h ( + ) && S(C,q) (+ ) h q & C S(C,q) + q ( + )(+ ) h Ejemplo: Dada ua reta varable e progresó geométrca, temporal y prepagable Calcular:. El valor actual y fal de dcha reta 2. El valor actual s exste u dfermeto de 2 años 3. El valor fal de la reta s se valora 2 años después de su falzacó Sabedo que el mporte del prmer térmo es de 0.000, que el aumeto aual acumulatvo de los térmos es u 5%, que la duracó de la reta es de 0 años y que el tpo empleado e la valoracó es del 0%. Solucó:. Prepagable de duracó 0 años Valor actual q ( ) A& + (C,q) C ( + ) + q ('0) 0 '05 A(0.000,'05) 0 0' && (' 0) 8.837,93 ' 0 '05 Valor fal S(C &, ) A(C && q, q) (+ ) S(0.000,'05)0 && 0' ,93 ('0) ,52 32

87 Capítulo 3. RENTAS 2. Prepagable de duracó 0 años co u dfermeto de 2 años d q ( + ) C A(C &&, q) + q ( + ) ( + ) d 2 '05 (' 0) A(0.000,'05)0 && 0' 0 ' 0 ' (' 0) ('0) ,66 3. Prepagable de duracó 0 años y valorada 2 años después de falzada la reta. h ( + ) q && C ( + ) ( + ) h S(C, q) + q (' 0) 0 ' (' 0) ('0) 2 && ,49 S(0.000,'05)0 0' 0 ' 0 ' Retas varables e progresó geométrca, prepagables y perpetuas Las retas varables e progresó geométrca, prepagables y perpetuas se caracterza porque: Sus térmos varía e progresó geométrca Sus térmos vece al comezo de cada período Tee u umero fto de térmos Estas puede ser a su vez Imedatas Dferdas. Imedatas Para hallar su valor actual tedremos que calcular el límte cuado teda a fto e la fórmula del valor actual de la reta varable e progresó geométrca, prepagable, medata y temporal. A& (C, q ) lm A(C, q) (+ ) C ( + ) + q 33

88 Capítulo 3. RENTAS 2. Dferdas Se obtee multplcado por (+) -d el valor actual de la medata sedo d el umero de períodos de dfermeto. d A(C &, q) C ( + ) (+ ) + q d Ejemplo: Dada ua reta varable e progresó geométrca prepagable y perpetua. Calcular:. El valor actual 2. El valor actual s exste u dfermeto de 5 años Sedo la cuatía del prmer termo 0.000, la razó 05, y el tato de terés utlzado e la valoracó el 0%. El valor actual A& (C, q) C ( + ) + q A(0.000,'05) && 0' ' 0 '05 (' 0) El valor actual para u dfermeto de 5 años d A(C & C, q) ( + )( + ) 5 + q (' 0)(,0) ,69 A(0.000,'05) && 0' 0 ' 0 '05 34

89 Capítulo 3. RENTAS 3.4 RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Las retas varables e progresó artmétca se caracterza porque sus térmos varía de u período a otro e ua determada catdad costate que llamamos razó y que desgamos como d. S teemos ua reta varable e progresó artmétca sus térmos será: Prmer térmo C Segudo térmo C 2 C +d Tercer térmo C 3 C 2 +dc +2d Térmo -ésmo C C - +dc +(-)d Las retas varables e progresó artmétca puede ser: 35

90 Capítulo 3. RENTAS 3.4. Retas varables e progresó artmétca, pospagables y temporales Las retas varables e progresó artmétca, pospagables y temporales preseta las sguetes característcas: Sus térmos varía e progresó artmétca Sus térmos vece al fal del período Preseta u úmero fto de térmos Depededo del mometo de valoracó estas puede ser: Imedatas Dferdas Atcpadas. Imedatas Valor actual El valor actual de estas retas se represeta gráfcamete del sguete modo: C (+) - (C +d)(+) -2 C C 2 C +d... C - C +(-2)d C C +(-)d [C +(-2)d](+) -(-) [C +(-)d](+) - Podremos obteer el valor actual de la reta varable e progresó artmétca, pospagable, temporal e medata como la suma de las retas costates e que podemos dvdr la reta varable e progresó artmétca de térmos. Reta: Reta2: C C C C C d d.. d d 36

91 Capítulo 3. RENTAS Reta3: Reta : d... d d d El valor actual de las dsttas retas que hemos obtedo, será: Reta : V 0 C a Reta 2: V 0 d a (-) (+) - Reta 3: V 0 d a (-2) (+) -2 Reta : V 0 d a (+) -(-) S el valor actual de ua reta varable e progresó artmétca, pospagable y temporal lo desgamos como: A(C, d) dode C es el valor del prmer térmo de la reta, d es la razó, el úmero de períodos de duracó de la reta e el tato de terés, tedremos: A(C, d) C a + d a ( -) (+ ) + d a ( - 2) (+ ) da (+ ) ( ) ( 2) (+ ) (+ ) 2 (+ ) C a + d (+ ) + (+ ) (+ ) Sacado factor comú: A(C, d) C a + d 2 ( ) ( ) 2 ( ) [ ( + ) ( + ) ] + [( + ) ( + ) ] [( + ) ( + ) ] S ahora sumamos y restamos (+) - e el parétess: d A(C, d) Ca + 2 ( ) [ ( + ) ( + ) ] + [( + ) ( + ) ] [( + ) ( + ) ] + [( + ) ( + ) ] Operado os queda: d 2 ( ) A(C, d ) Ca + ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) - (+ ) d d A(C, d) C + a ( + ) - [ ] 37

92 Capítulo 3. RENTAS S e esta expresó sumamos y restamos el cocete d/, resulta que: d d A(C, d) C + a + d ( ) C d + + a + d -( ) d C d + + a + Etoces : A(C, d) C + Valor fal d + d a d d d (+ ) El valor fal de ua reta es gual al valor actual de dcha reta multplcado por (+). El valor fal de ua reta varable e progresó artmétca, pospagable, temporal e medata, será: S(C,d) A(C,d) ( ) + De dode: d - ( ) - d d ( ) S(C, d) ( ) - ( ) + + C C + d d 2. Dferdas El valor actual de la reta dferda será gual al valor actual de la reta medata multpcado por (+) -d, sedo d el úmero de períodos de dfermeto. d A(C, d) De dode: d A(C, d) A(C, d) (+ ) d C + + d d d a (+ ) d 38

93 Capítulo 3. RENTAS 3. Atcpadas El valor fal de la reta atcpada será gual al valor fal de la reta medata multplcado por (+) h sedo h el úmero de períodos de atcpacó. h S(C, d) (+ ) S(C, d) h De dode : h d d C S (+ ) S(C, ) + d h Ejemplo: Dada ua reta varable e progresó artmétca, temporal y pospagable Calcular:. El valor actual y fal de dcha reta 2. El valor actual s exste u dfermeto de 2 años 3. El valor fal de la reta s se valora 2 años después de su falzacó Sabedo que el prmer térmo de la reta es gual a 0.000, que dchos térmos se cremetará cada año e 500, que la duracó de la reta es de 0 años y que el tpo empleado e la valoracó es del 0%. Solucó:. Reta varable e progresó artmétca, pospagable, de duracó 0 años Valor actual A(C, d) C d A(0.000,500) 0 0' (,0) Sedo a0 0' 0 0' 0 A(0.000,500) 0 0' d a 0 d 500 0'0 6, x 0 a0 0' x 0 0' '0 ( ) 6, ,34 39

94 Capítulo 3. RENTAS Valor fal d d S(C, d) C + S 500 S(0.000,500) 0 0' S 0 0' 0 0'0 0 (,0) Sedo S 0 0' 0 5, ' 0 S(0.000,500) 0 0' x 0 0' '0 ( ) 5, ,37 2. Valor actual para u dfermeto de 2 períodos d -d A(C A(C, ) ( ), d) d ,34(,0) A(0.000,500) 0 0' ,78 3. Valor fal s la reta se valora 2 años después de su falzacó d d S(C, q) S(C, q) (+ ) ,73(,0) S(0.000,500) 0 0' , Retas varables e progresó artmétca pospagables y perpetuas Las retas varables e progresó artmétca, pospagables y perpetuas preseta las sguetes característcas: Sus térmos varía e progresó artmétca Los térmos vece al fal de cada período Preseta u úmero fto de térmos Pudedo ser segú el mometo de su valoracó: Imedatas Dferdas. Imedatas El valor actual de la reta varable e progresó artmétca, pospagable y perpetua será: 40

95 Capítulo 3. RENTAS A(C,d) d C a lm A(C, d) lm + d d d C ( ) - C lm + a + + d ( ) Dferdas Su valor actual va a ser gual al de la reta medata multplcado (+) -d, dode d es el úmero de períodos de dfermeto. d A(C, d) A(C, d) (+ ) d De dode: d A(C, d) d C + (+ ) -d Ejemplo: Dada ua reta varable e progresó artmétca, perpetua y pospagable Calcular:. El valor actual de dcha reta 2. El valor actual s exste u dfermeto de 5 años Sabedo que el prmer térmo de la reta es gual a 0.000, que dchos térmos se cremetará cada año e 500 y que el tpo empleado e la valoracó es del 0%. Solucó: Valor actual de reta perpetua d A(C, d) C + x 500 A(0.000,500) x 0' 0 A(0.000,500) '0 4

96 Capítulo 3. RENTAS Dferda e 5 años y perpetua d A(C, d) 5 A(0.000,500) d ( ) ( ) d C ( ) 0' 0 0'0 x 0'0 x (+ 0'0) 5 5 A(0.000,500) 0' , Retas varables e progresó artmétca, prepagables y temporales Las retas varables e progresó artmétca, prepagables y temporales se caracterza porque: Sus térmos varía e progresó artmétca Los térmos vece al co de cada período Preseta u úmero fto de térmos Depededo del mometo de su valoracó estas puede ser: Imedatas Dferdas Atcpadas. Imedatas Valor actual El valor actual de esta reta será gual al valor actual de la reta varable e progresó artmétca, pospagable temporal e medata multplcado por (+). Por tato tedremos, que: A& (C,d) A(C, d) (+ ) De dode: d d - A&& (C,d) C + a ( ) ( + ) + 42

97 Capítulo 3. RENTAS Valor fal El valor fal de ua reta varable e progresó artmétca, prepagable, temporal e medata será gual al valor fal de ua reta varable e progresó artmétca, pospagable, temporal e medata multplcado por (+). S& (C, d) S(C, d) (+ ) De dode: && d d S(C,d) C + S ( + ) 2. Dferdas El valor actual de la reta dferda, será gual al valor actual de la reta medata multplcado por (+) -d, dode d es el úmero de períodos de dfermeto. d A(C &&, d) De dode : d A(C &&, d) A(C &&, d) (+ ) d d d C + a - (+ ) (+ ) (+ ) d 3. Atcpadas El valor fal de la reta atcpada será gual al valor fal de la reta medata multplcado por (+) h sedo h el úmero de períodos de atcpacó. h S(C &&, d) S && (C, d) (+ ) h De dode: h S && (C, d) C d d + S - (+ )(+ ) h 43

98 Capítulo 3. RENTAS Ejemplo: Dada ua reta varable e progresó artmétca, temporal y prepagable Calcular:. El valor actual y fal de dcha reta 2. El valor actual s exste u dfermeto de 2 años 3. El valor fal de la reta s se valora 2 años después de su falzacó Sabedo que el prmer térmo de la reta es gual a 0.000, que dchos térmos se cremeta cada año e 500, que la duracó de la reta es de 0 años y que el tpo empleado e la valoracó es del 0%. Solucó: Reta varable e progresó artmétca, prepagable, de duracó 0 años o Valor actual d d A(C &&,d) A(C,d) (+ ) C + + d x a ( + ) 500 ('0) x 0 0' 0 0' x x ('0) 80.80,48 0' 0 o Valor fal S(C &&, d) S(C, d) (+ ) C d d + S ( + ) (,0) x x ('0) ,5 0' 0 0' 0 0' 0 Valor actual s exste u dfermeto de 2 años 2/A(C &&, d) A(C, d) (+ ) C 500 ('0) x 0 0' 0 0' 0 0 d d + + d x a ( + )(+ ) x x ('0) (,0) 0' ,86 44

99 Capítulo 3. RENTAS Valor fal s la reta se valora 2 años después de su falzacó d d 2/S(C && h,d) S(C, d) (+ ) C + S ( + )( + ) ('0) x x ('0) (,0) 0' 0 0' 0 0' , Retas varables e progresó artmétca prepagables y perpetuas Las retas varables e progresó artmétca, prepagables y perpetuas se caracterza porque: Sus térmos varía e progresó artmétca Los térmos vece al co de cada período Preseta u úmero fto de térmos Depededo del mometo de valoracó estas puede ser: Imedatas Dferdas. Imedatas El valor actual de ua reta varable e progresó artmétca, prepagable y perpetua será gual al valor actual de la reta varable e progresó artmétca, pospagable y perpetua multplcado por (+). A& (C, d) A(C, d) (+ ) De dode: d A&& (C, d) C + ( + ) 45

100 Capítulo 3. RENTAS 2. Dferdas El valor actual va a ser gual al de la reta medata multplcado por (+) -d dode d es el úmero de períodos de dfermeto. d A(C &&, d) A(C &&, d) (+ ) d De dode: d A(C &&, d) d + (+ ) ( + ) C d Ejemplo: Dada ua reta varable e progresó artmétca, perpetua y prepagable Calcular:. El valor actual de dcha reta 2. El valor actual s exste u dfermeto de 5 años Sabedo que el prmer térmo de la reta es gual a 0.000, que dchos térmos se cremetará cada año e 500 y que el tpo empleado e la valoracó es del 0%. Solucó: Cálculo del valor actual A&& (C, d) C d + ( + ) A(0.000,50 && 0) 0' A(0.000,50 && 0) 0' '0 0'0 (,0) Cálculo del valor actual s exste u dfermeto de 5 años d A(C &&, d) C 5 A(0.000,500) && 0'0 5 A(0.000,500) && 0'0 d + (+ ) (+ ) ,02 d 500 0'0 (' 0) (,0) 0'0 5 46

101 Capítulo 3. RENTAS 3.5 RENTAS FRACCIONADAS So retas fraccoadas aquellas e las que los cobros o pagos se realza co ua perodcdad feror al año, es decr, estos puede ser trmestrales, cuatrmestrales, semestrales... Estas retas recbe el ombre de retas fraccoadas de frecueca m, sedo el úmero de térmos que las compoe xm Retas costates Las retas fraccoadas costates so aquellas e las que todos sus térmos so de gual cuatía C m, para las dsttas fraccoes de año, durate toda la duracó de la reta. Las fórmulas geerales estudadas aterormete so váldas para las retas fraccoadas, sempre y cuado se realce e ellas los ajustes pertetes. Para efectuar la valoracó de estas retas podemos, be: Utlzar el tato de terés equvalete Utlzar el factor de trasformacó Retas pospagables Valor actual. S utlzamos tatos de terés equvaletes. Sea los térmos de la reta costates y de cuatía C m, m el úmero de fraccoes e que se dvde el año, el úmero de años e m el tato de terés equvalete. La represetacó gráfca de esta reta, será: m m 2m x m C m C m C m C m (+ m ) - C m (+ m ) -2 C m (+ m ) -xm 47

102 Capítulo 3. RENTAS Matemátcamete la expresaremos como: V 0 (m) C m (+ m ) - + C m (+ m ) -2 +C m (+ m ) C m (+ m ) - x m Sacado factor comú a C m os queda: V 0 (m) C m [(+ m ) - + (+ m ) -2 +(+ m ) (+ m ) - x m ] La expresó que aparece e el corchete es la suma de térmos de ua progresó geométrca decrecete que será gual a: a S a r r Operado, obtedremos que: V (m) 0 (+ m) C m x m S la reta fuese perpetua, su valor actual sería: V (m) 0 C m 2. S utlzamos el factor de coversó. E este caso vamos a partr de la expresó del valor actual obtedo empleado el tato equvalete V (m) 0 (+ m) C m x m Como ya se estudo e el capítulo ateror, la relacó etre tatos equvaletes e compuesta, es: (+)(+ m ) m Y el tato omal equvalete a u tato de terés -esmal, es: Jm m m 48

103 Capítulo 3. RENTAS S la relacó etre tatos equvaletes la expresamos para períodos, y además elevamos los 2 membros a(-), teemos: (+) - (+ m ) - x m Susttuyedo estos valores e la expresó del valor actual obteda e fucó del tato equvalete, os queda: V (m) 0 C ( + ) Jm m Operado teemos, que: V (m) 0 ( + ) C x m x Jm Ahora s multplcamos y dvdmos por el tpo de terés, teemos: V (m) 0 (+ ) C x m x x Jm C x m x x a Jm Valor fal. S utlzamos tatos de terés equvaletes. El valor fal es gual al valor actual de la reta captalzado los períodos de duracó de esta, es decr, el valor actual multplcado por (+ m ) x m. De dode: V (m) ( + m ) x m C m ( m ) x m ( m ) x m + + C m 2. S utlzamos el factor de coversó V (m) C x m x j m (+ x ) C x m x j m S 49

104 Capítulo 3. RENTAS Retas prepagables Los valores actuales y fales prepagables será guales a los pospagables que acabamos de obteer, multplcados por (+ m ) Ejemplo: Calcular el valor actual de ua reta de térmos de.000 trmestrales, pospagables, de duracó 5 años, s el tato empleado e su valoracó es el 0% efectvo aual. Solucó: Se trata de ua reta fraccoada ya que el tato de terés vee expresado e años y los térmos so trmestrales. Cálculo del valor actual utlzado el tato equvalete trmestral 4 (+) / V (m) 0 (+ m ) x m C m ('024369) ' '48 Cálculo del valor actual utlzado el factor de coversó J m m x m x V (m) 0 C m J m - ( + ) 0,0 ('0) , ' ' Retas fraccoadas varables e progresó geométrca E este tpo de retas, e las que sus térmos varía e progresó geométrca, os podemos ecotrar ate dos stuacoes: Que los térmos varíe e progresó geométrca de u período a otro, mateédose costates para las dsttas fraccoes e que se dvde el período. Que los térmos vaya varado e progresó geométrca desde el prmero hasta el últmo de ellos. 50

105 Capítulo 3. RENTAS Retas pospagables o S los térmos varía e progresó geométrca de u período a otro, mateédose costates para las dsttas fraccoes e que se dvde el período. Valor actual Gráfcamete lo represetaremos, como: m m 2m x m m+ C m (+ m ) - C m (+ m ) -2 C m C m C m C m x q C m x q - C m (+ m ) -m C m x q(+ m ) -(m+) C m x q - (+ m ) -xm E este caso podremos calcular el valor actual medate cualquera de los 2 sguetes procedmetos:. Calculado los térmos auales equvaletes Lo que hay que hacer es calcular los térmos auales (C,C 2,..,C ) que sea equvaletes a los térmos m-esmales. Estos será guales a: C C C * * 2 * 3 Cm S m m Cm q S m m Cm q 2 S m m Dode: A (m) (C, q) m * A(C, q) ( ) * q + C + - q 5

106 Capítulo 3. RENTAS Sedo: * C :el térmo aual equvalete correspodete al prmer período * de la reta ( C C m Sm m) q: la razó : el úmero de períodos (e la udad de tempo de la razó) : el tato de terés (e la udad de tempo de la razó) 2. Utlzado el factor de trasformacó A (m) (C m, q) C m m J m q ( + + -q ) o Valor fal. Calculado los térmos auales equvaletes S (m) (C, q) m * S(C, q) * (+ ) q C + -q 2. Utlzado el factor de trasformacó S (m) (C m, q) C m m J m (+ ) q + - q S los térmos varía e progresó geométrca desde el prmero de ellos hasta el últmo m 2m xm C m C m q C m q 2 C m q m- C m q 2m- C m q xm- 52

107 Capítulo 3. RENTAS o Valor actual A (m) (C m, q) m m C m m q (+ m) + q m x m o Valor fal S (m) (C m, q) m m A (m) (C m,q) m m (+ m m ) C m ( + ) + m m q q m Retas prepagables Valor actual Es gual al valor actual de la reta pospagable multplcado por (+ m ) A && (m) (C A (m) m,q) (C m, q) (+ m ) Valor fal && S (m) (C S (m) m,q) (Cm, q) (+ m ) Ejemplo: Calcular el valor actual de ua reta de térmos de.000 trmestrales pospagables, que aumeta aualmete e u 5%, de duracó 5 años, y sedo el tato de terés empleado e su valoracó del 0% efectvo aual. Solucó: Se trata de ua reta fraccoada ya que el tato de terés vee expresado e años y los térmos so trmestrales. 53

108 Capítulo 3. RENTAS Cálculo del valor actual utlzado el térmo equvalete C C C m S m m C m x m x.000 S 4 0' ,02 j m (,05) 5 (,0) 5 V0 A 4.47,02;,05,0,05 ( ) 5 0,0 7.22,59 Cálculo del valor actual utlzado el factor de trasformacó 0,0 - (,05) 5 (,0) - 5 A (4) (.000 ;,'05) 5 0,0.000 x 4 x x 7.22,59 0, ,0 -, Retas fraccoadas varables e progresó artmétca Ate este tpo de retas, e las que sus térmos varía e progresó artmétca, os podemos ecotrar co dos stuacoes: Que los térmos varíe e progresó artmétca de u período a otro mateédose costates para las dsttas fraccoes e que se dvde el período. Que los térmos vaya varado e progresó artmétca desde el prmero de ellos hasta el últmo Retas pospagables S los térmos varía e progresó artmétca de u período a otro, mateédose costates para las dsttas fraccoes del período. o Valor actual Podemos calcular el valor actual de las dos sguetes formas:. Calculado el térmo equvalete Lo que hay que hacer es calcular el prmer térmo aual * C que sea equvalete a los térmos m-esmales, y calcular també el mporte de la razó que sea equvalete. Estos será guales a: 54

109 Capítulo 3. RENTAS * C Cm S m m C d * d m Dode: S m m d m m x m x j m x m x j m d ( + ) d A (m) * * (C d) * * * m, A(C, d ) C + ( + ) Sedo: * C : el térmo equvalete * d : la razó equvalete : el úmero de períodos (e la udad de tempo de la razó) : el tato de terés (e la udad de tempo de la razó) 2. Utlzado el factor de trasformacó A (m) (C j m C m m,d) j m A (C m,d m) d m d m m + a - x (+ ) m o Valor fal S (m) (C, d) A (m) (C, d) ( m + m ) S los térmos va varado e progresó artmétca desde el prmero de ellos hasta el últmo o Valor actual A (m) (C o Valor fal (m) S (C m C d + a m m m, d) x m m x m m - x m x (+ m ) m m,d) x m m C m d + S m x m m d d - x m x m 55

110 Capítulo 3. RENTAS Retas prepagables Valor actual Es gual al valor actual de la reta pospagable multplcado por (+ m ) A && (m) (C A (m) m, d) (C m, d) (+ Valor fal && S (m) (C S (m) m, d) (C m, d) (+ m m ) ) Ejemplo: Calcular el valor actual de ua reta de térmos de semestrales, pospagables, que aumeta aualmete 00, de duracó 5 años, s el tato empleado e su valoracó es el 0% efectvo aual. Solucó: Cálculo del valor actual utlzado el térmo equvalete C x S 2 0, ,04 d 00 x S 2 0, ,88 204,88 V0 A( 0.244,04; 204,88) 5 0, , x204,88 0, ,84 5 (,0) 0,0 5x204,88 0,0 Cálculo del valor actual utlzado el factor de trasformacó 0,0 A (2) (5.000 ;00) 5 0,0 x A ( ; 00 2) ,84 0,

111 Capítulo 3. RENTAS 3.6 RENTAS CONTINUAS Ua reta cotua es aquella que tee períodos de ampltud ftesmal, por lo que se produce u flujo costate de captales. Se puede calcular los valores actuales y fales de estas retas partedo de las fórmulas de las retas fraccoadas y hacedo teder el fraccoameto a. Retas costates El valor actual de la reta cotua, medata, temporal y utara, lo podremos obteer como el límte de la reta utara, dscreta y fraccoada de frecueca m, cuado dcha frecueca tede a. a Lím m (m) a Lím m J m ( + ) a Lím m J m Desarrollado el límte cuado m tede a del tato de terés omal tedremos: Lím m J Lím m m m m Lím m ( + ) m m Lím m ( + m ) m S aplcamos la regla de L Hoptal este límte será gual a: Lím m m ( + ) m Lím x 0 ( + ) x X + L( ) a Lím m J ( + ) L( m + ) a a a L( + ) S la reta e lugar de ser utara fuese costate de cuatía C (CC m x m) su valor actual sería: V 0 C a L( + ) 57

112 Capítulo 3. RENTAS El valor fal se obtedrá multplcado el valor actual de la reta cotua por (+) S a (+) S L( + ) L( + ) S S L( + ) V V 0 ( + ) S la reta fuese perpetua su valor actual sería: a Lím a Lím ( + ) L( + ) L( + ) L( + ) a L ( + ) S la reta fuese costate de cuatía C ( C C m x m) el valor actual sería: V 0 C a C L( + ) Para las retas varables e progresó geométrca y artmétca su desarrollo es smlar. Los resultados que se obtedrá después del cosguete desarrollo será: Retas varables e progresó geométrca: q ( + ) A( C, q) C L( + ) + q 58

113 Capítulo 3. RENTAS Retas varables e progresó artmétca: d A( C, d) ( C + + d) a - d L( + ) Las retas cotuas se emplea cuado el fraccoameto es superor a 2 (m>2). Ejemplo: Cuál será el valor actual y fal de ua reta daría de 50 que percbremos durate 5 años, s el tato empleado e su valoracó es del 0%.? Solucó: º Cálculo del valor actual: V 0 C m m a L( + ) V 0 0, L( + 0,0) a 5 0, ,0 2º Cálculo del valor fal: V ( + ) V 0 V ( + 0,0) , ,50 5 V 5 0,0 (,0) C m m S ,50 L( + ) L(,0) 0,0 59

114 Capítulo 3. RENTAS 3.7 RENTAS CONSTANTES DE PERÍODO UNIFORME SUPERIOR AL AÑO Las retas costates co perodcdad superor al año so aquellas cuya ampltud, que llamaremos p, va a ser superor al año. E ellas sus térmos se hace efectvos cada p años o cada p períodos del tato. Podemos calcular estas retas: E fucó del tato de terés aual E fucó del tato de terés equvalete p 3.7. Retas costates de período uforme superor al año calculadas e fucó del tato de terés aual La represetacó gráfca de ua reta costate, temporal y pospagable e la que sus térmos se hace efectvos cada p períodos del tato, será: 0 p 2p p C(+) -p p+ p+2 C C C C(+) -2p C(+) -p Matemátcamete lo expresaremos como: V V 0 0 p 2 p C ( + ) + C ( + ) C( + ) p 2 p p [( + ) + ( + ) ( + ] C ) 2 p p [ ( + ) ] p Dode ( ) + ( + ) p es la suma de los térmos de ua progresó geométrca decrecete de razó (+) -p, que como ya se ha vsto aterormete será: a ar S r 60

115 Capítulo 3. RENTAS S susttumos e la expresó ateror los valores de la progresó queda: ( + ) S p ( + ) ( + ) p p ( + ) p p ( + ) ( + ) p [ ( + ) ] p p ( + ) p ( + ) S multplcamos y dvdmos por tedremos: ( + ) S p ( + ) p a p S p a p a,p a S p Las fórmulas será: Reta costate, temporal, medata y pospagable: o Valor actual V 0 C a p C a,p C a p S p o Valor fal V C S p C S,p C a p ( + ) S p p S C S p p Reta costate, temporal, medata y prepagable: o Valor actual V & 0 C a& & p C a& &,p C a p p ( + ) C S p a p p a o Valor fal V & C S & & p C S & C,p a p a p ( + ) p S C a p p 6

116 Capítulo 3. RENTAS Reta costate, perpetua, medata y pospagable: o Valor actual lím V 0 C a p C a,p C p a p S p C S p Reta costate, perpetua, medata y prepagable: o Valor actual V & 0 C a& p lím C a p p ( + ) C a p Retas costates de período uforme superor al año calculadas e fucó del tato de terés equvalete p S os proporcoal el tato de terés aual lo prmero que se debe hacer es calcular el tato de terés equvalete p. El tato de terés equvalete p se obtedrá segú la ecuacó de equvaleca de forma que: + p (+) p De dode: p (+) p - Las fórmulas será las msmas que las estudadas hasta ahora susttuyedo el tato de terés aual por el tato de terés equvalete. Reta costate, temporal, medata y pospagable: o Valor actual V 0 C a p o Valor fal V C S p 62

117 Capítulo 3. RENTAS Reta costate, temporal, medata y prepagable: o Valor actual V & 0 C a& & p C a p (+ p ) o Valor fal V & C S & & p C S p (+ p ) Reta costate, perpetua, medata y pospagable: o Valor actual V 0 C a p C p Reta costate, perpetua, medata y prepagable: o Valor actual V & 0 C a& p C ( + ) p p El resto de retas se calcula de gual maera, es decr, susttuyedo el tato aual por el tato equvalete p. Ejemplo: Ua socedad realza ua versó de cada beo. Para u período de 0 años y u tato de valoracó del 0%. Calcular: El valor actual El valor fal El valor actual s exste u dfermeto de 2 años Solucó: º Cálculo del valor actual: E fucó del tato de terés equvalete p Lo prmero que se debe hacer es hallar el tpo de terés equvalete p (+) p (,0) 2-0,2 63

118 Capítulo 3. RENTAS V 0 C a p (,2) V a 5 0, ,84 0,2 5 E fucó del tato de terés aual V 0 C a p C a (,0) p ,84 S 0,0 (,0) 2 p 0,0 2º Cálculo del valor fal: 0 E fucó del tato de terés equvalete p V ,84 ( + 0,2) ,50 5 (,2) V C S p ,50 0,2 5 E fucó del tato de terés aual V C S p C a p S p] ( + ) p S C S ] ] p p 0 (,0) 0, (,0) 0, ,50 3º Cálculo del valor actual s exste u dfermeto de 2 años: E fucó del tato de terés equvalete p b/ V 0 C a p (+ p ) ,84 (+0,2) ,69 (,2) 5 V a 5 0, (,2) 24.8,69 0,2 E fucó del tato de terés aual b/ V 0 C a p 0 2 (,0) 2 (,0) (,0) 24.8,69 S p 0,0 2 (,0) 0,0 64

119 Curso de matemátca facera Capítulo 4. PRÉSTAMOS

120 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Ídce de cotedos Pága CAPÍTULO 4 PRÉSTAMOS 3 4. GENERALIDADES Cocepto Prcpales magtudes que tervee e las operacoes de préstamo Clasfcacó de los préstamos PRÉSTAMOS AMORTIZABLES MEDIANTE REEMBOLSO ÚNICO Sstema de amortzacó smple Sstema de amortzacó amercao PRÉSTAMOS AMORTIZABLES MEDIANTE UNA SERIE DE PAGOS SUCESIVOS 4.3. Préstamos amortzables medate pagos costates Método fracés o de aualdad costate Préstamos amortzables medate pagos varables Método de amortzacó medate cuotas de amortzacó costates Método de amortzacó medate aualdades varables e progresó geométrca Método de amortzacó medate aualdades varables e progresó artmétca Sstema de amortzacó de préstamos co aboo de tereses atcpados o sstema de amortzacó alemá PRÉSTAMOS DIFERIDOS Préstamos co careca parcal Préstamos co careca total PRÉSTAMOS CON INTERESES FRACCIONADOS Préstamo fracés co tereses fraccoados TANTOS EFECTIVOS DE UN PRÉSTAMO Tato efectvo del prestamsta Tato efectvo del prestataro VALOR FINANCIERO DEL PRÉSTAMO, DEL USUFRUCTO Y DE LA NUDA PROPIEDAD Cocepto Fórmula de Achard PRÉSTAMOS A INTERÉS VARIABLE Cocepto Tato medo del préstamo 50 2

121 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Capítulo 4 PRÉSTAMOS 4. GENERALIDADES 4.. Cocepto U préstamo es ua operacó facera que cosste e la etrega de ua catdad de dero por parte de ua persoa (prestamsta), a otra persoa (prestataro) que se compromete a devolverlo juto co los tereses correspodetes e los vecmetos que se establezca. La catdad de dero que se pde prestado recbe el ombre de prcpal y las sucesvas catdades que el prestataro se compromete a devolver recbe el ombre de aualdades, trmestraldades, mesualdades,..., segú cuál sea la perodcdad de dcho pago (aual, trmestral, mesual...) Por tato los préstamos so operacoes faceras de prestacó úca (mporte de la totaldad del préstamo) y cotraprestacó múltple (térmos amortzatvos o aualdades). Normalmete los préstamos so operacoes faceras compuestas, auque també es posble ecotrar préstamos que sea operacoes faceras smples. E los préstamos debe de cumplrse el postulado de equvaleca facera, segú el cuál, la prestacó úca debe ser gual a la cotraprestacó múltple e cualquer mometo del tempo Prcpales magtudes que tervee e las operacoes de préstamo ELEMENTOS DESCRIPCIÓN C 0 Importe del préstamo Tato de terés Duracó del préstamo 3

122 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS ELEMENTOS a A I M C DESCRIPCIÓN Térmo amortzatvo o aualdad: Es la suma de la cuota de amortzacó más la cuota de terés del año correspodete. a A + I Cuota de amortzacó de cada año: Catdad que cada año se amortza del mporte del préstamo A a - I Cuota de terés de cada año: Es gual al captal pedete de amortzar al prcpo del período por el tato de terés. I K C - Captal amortzado e años: Es gual a la suma de las cuotas de amortzacó de los prmeros años. M A + A + A A Deuda pedete al fal del año : Es gual a la suma de las cuotas que queda por amortzar o també al mporte del préstamo meos el captal amortzado e los prmeros años. C C 0 - M 4..3 Clasfcacó de los préstamos A la hora de clasfcar los préstamos vamos a teer e cueta los dsttos métodos de amortzacó exstetes. Segú esto, podemos clasfcar los préstamos como:. Préstamos amortzables medate reembolso úco del prcpal S pago peródco de tereses o Préstamo smple Co pago peródco de tereses o Préstamo amercao 2. Préstamos amortzables medate ua sere de pagos sucesvos S los pagos so costates o Método de amortzacó medate aualdades costates o método de amortzacó fracés 4

123 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS S los pagos varía o o o o Método de amortzacó medate cuotas de amortzacó costates Método de amortzacó medate aualdades varables e progresó artmétca Método de amortzacó medate aualdades varables e progresó geométrca Método de amortzacó co aboo de tereses atcpados o método alemá 4.2 PRÉSTAMOS AMORTIZABLES MEDIANTE REEMBOLSO ÚNICO 4.2. Sstema de amortzacó smple E el sstema de amortzacó smple lo que se hace es pagar el captal prestado más los tereses que se va acumulado e el mometo de la cacelacó del préstamo. E este préstamo se produce ua úca prestacó C 0 y ua úca cotraprestacó C que será gual al captal cal más los tereses acumulados. Gráfcamete su represetacó será: 0 C 0 C El captal a devolver al fal de la duracó del préstamo será: C C 0 ( + ) Ejemplo: Dado el sguete préstamo : - Captal prestado : Plazo de amortzacó: 0 años - Tpo de terés: 0% aual. - Sstema de amortzacó smple Calcular el mporte del captal a devolver: - Cálculo del captal a devolver: C C 0 ( + ) (,0 ) ,25 5

124 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Sstema de amortzacó amercao E el sstema de amortzacó amercao el prestamsta amortza todo el captal etregado al fal de la operacó y peródcamete va pagado los tereses devegados. Por tato los térmos amortzatvos será guales a la cuota de terés de cada uo de los períodos, a excepcó de la últma, e la que además de los tereses correspodetes se amortza la totaldad del captal. Para calcular los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó debemos realzar las sguetes operacoes:. Cálculo de los tereses de cada período Como el captal se amortza e su totaldad e el últmo período los tereses va a ser guales al captal prestado calmete por el tato de terés fjado. I C 0 2. Cálculo de las cuotas de amortzacó Al amortzarse el captal al fal de la vda del préstamo el captal amortzado e los - prmeros años será 0, sedo la últma cuota de amortzacó gual al mporte total del préstamo. A A 2 A 3... A - 0 A C 0 3. Cálculo de los térmos amortzatvos Los térmos amortzatvos será: a a 2 a 3... a - I C 0 4. Cálculo del captal amortzado a I + A C 0 + C 0 El captal amortzado e los - prmeros períodos será gual a 0 ya que o se realza gua amortzacó del préstamo. E el últmo período se amortza todo el captal. M M 2 M 3... M - 0 M C 0 6

125 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 5. Cálculo del captal pedete de amortzar El captal que queda pedete de amortzar a prcpo de los dsttos años será: C + C 0 El cuadro de amortzacó del préstamo amercao será: Período Térmo amortzatvo a Cuota de terés I Cuota de amortzacó A Captal vvo C Captal amortzado M C 0 - a I I C 0 A 0 C C 0 M 0 2 a 2 I 2 I 2 C 0 A 2 0 C 2 C 0 M 2 0 : : : : : : - a - I - I - C 0 A - 0 C - C 0 M - 0 a I + A I C 0 A C 0 C 0 M C 0 El problema que se puede platear co este método de amortzacó es que al fal del préstamo o se pueda hacer frete a la amortzacó ítegra del captal. Para solvetar dcho problema se puede r costtuyedo u fodo, deomado fodo de recostruccó, a lo largo de la vda del préstamo, de tal modo que e el mometo de cacelacó del préstamo el prestataro tega a su dsposcó u captal, ormalmete C 0, co el que pueda hacer frete a la últma cuota del préstamo. Este sstema recbe el ombre de Sg-Fud Esta operacó se represeta gráfcamete: C a a a a será la cuota que se depostará aualmete a u tpo de terés para que a la falzacó del préstamo se cumpla que: C 0 a S 7

126 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS De dode s despejamos a, teemos: a C ( + ) 0 Para calcular los dsttos elemetos del cuadro de recostruccó debemos realzar las sguetes operacoes:. Cálculo de la aualdad a El mporte de la aualdad será a C ( + ) 0 2. Cálculo del fodo recostrudo F El fodo recostrudo es gual al valor de las aualdades a valoradas e el mometo al tato de terés. F a S 3. Cálculo del captal pedete de recostrur R El captal pedete de recostrur será la dfereca etre el captal prestado y el captal ya recostrudo. R C 0 - F 4. Itereses del captal recostrudo Los tereses de cada período será guales al captal recostrudo al co del ejercco por el tato de terés. I F - 8

127 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 5. Icremeto aual del fodo de recostruccó El cremeto del fodo de u período a otro es la varacó sufrda etre el fodo recostrudo de u período F y el del sguete F +. Año : F F - + F - + a F - ( + ) + a Año +: F + F + F + a F ( + ) + a S restamos el valor del fodo e el año + del valor del fodo e el año, obteemos: F + - F (F - F - ) ( + ) Por lo tato el cremeto aual del fodo será: F + F ( + ) El cuadro de recostruccó del préstamo amercao será: Período Cuota de recostruccó a Iterés del fodo de recostruccó Icremeto aual del fodo de recostruccó F Captal recostrudo F Captal pedete de recostrur R C 0 a - F a F a R C 0 F 2 a I 2 F F 2 F (+ ) F 2 F + F 2 R 2 C 0 F 2 : : : : : : - a I - F -2 F - F -2 (+ ) F - F -2 + F - R - C 0 F - a I F - F F - (+ ) F F - + F R C 0 F Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete préstamo por el sstema de amortzacó amercao: - Captal prestado : Plazo de amortzacó: 0 años - Tpo de terés: 0% aual. Realzar també el cuadro de recostruccó sabedo que el tpo de terés pactado para este es del 8% aual. 9

128 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS º Cuadro de amortzacó: Período Térmo amortzatvo Cuota de terés Cuota de amortzacó Captal vvo C Captal amortzado M a I A º Cuadro de recostruccó: - Cálculo de la cuota de recostruccó C0 a ( ) 6.902, ( + 0,08) 0,08 Período Cuota de recostruccó Iterés del fodo de recostruccó Icremeto aual del fodo de recostruccó Captal recostrudo Captal pedete de recostrur a I F F R , , , , ,95 552, , , , ,95.48, , , , ,95.792, , , , , , , , , , , , , , , , , 6.593, , , ,49.830, , , , , , , , , , ,

129 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 4.3 PRÉSTAMOS AMORTIZABLES MEDIANTE UNA SERIE DE PAGOS SUCESIVOS 4.3. Préstamos amortzables medate pagos costates Método fracés o de aualdad costate. El método fracés de amortzacó preseta las sguetes característcas: Los térmos amortzatvos se matee costates a lo largo de todo el préstamo. a a 2 a 3. a a El tato de terés també se matee costate a lo largo de la vda del préstamo. Su represetacó gráfca será: C a a a Sedo C 0 el mporte de la prestacó, y los térmos amortzatvos, la cotraprestacó. La equvaleca facera del préstamo e el orge es: C 0 a a Ahora vamos a pasar al cálculo de los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó:. Cálculo de la aualdad costate Como ya se ha dcado aterormete la equvaleca facera del préstamo e el mometo 0 la plateamos como: C 0 a a

130 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS De dode s despejamos, teemos: C0 a ( + ) 2. Cálculo de las cuotas de amortzacó La cuota de amortzacó es la parte del térmo amortzatvo que se dedca a la amortzacó del captal prestado. Como la aualdad es gual a: a I + A E el período prmero, y susttuyedo el valor de la cuota de terés os queda: a a C 0 + A De dode A será: A a - C 0 Por tato las cuotas de los sucesvos años se calculara de gual maera, sedo para u año cualquera guales a: A a C - S ahora tomamos las aualdades de dos años cosecutvos y +: a A + C - a + A + + C Y teedo e cueta que, e el método fracés las aualdades de todos los años so guales, podremos decr que: A + C - A + + C Dode: A + A + C - - C A + ( C - - C ) Como: ( C - - C ) A 2

131 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Etoces: A + A ( + ) Por tato las cuotas de amortzacó para los dsttos períodos será: Período Cuota de amortzacó A A a C 0 2 A 2 A ( + ) 3 A 3 A 2 ( + ) A ( + ) ( + ) A ( + ) 2 : : A A - ( + ) A ( + ) - : : A A - ( + ) A ( + ) - 3. Cálculo del captal amortzado El captal total amortzado al fal de u período se puede obteer como: M M - + A A + A 2 + A A A S 4. Cálculo de los tereses M A S El terés de los sucesvos años es gual a la deuda que queda pedete de amortzar al fal del ejercco ateror por el tato de terés: I C - Como el térmo amortzatvo es gual a la suma de la cuota de captal más la cuota de terés, podríamos obteer esta últma como dfereca etre el térmo amortzatvo o aualdad y la cuota de amortzacó: I a - A 5. Cálculo del captal pedete de amortzar El captal vvo al fal del año lo podemos calcular: Por el método retrospectvo: Calculamos el captal pedete e el mometo como la dfereca etre el valor del préstamo y el valor de todas las aualdades pagadas hasta ese mometo, valoradas e el mometo C C 0 ( + ) a S 3

132 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Por el método prospectvo: Lo que hacemos para calcular el captal vvo es valorar e el mometo todas las aualdades que queda pedetes. C a a - També se puede calcular el captal vvo al fal del año como la dfereca etre el mporte del préstamo y lo que ya se ha amortzado e esos prmeros años: Período C C 0 - M El cuadro de amortzacó de u préstamo de aualdades costates será: Térmo amortzatvo a Cuota de terés I Cuota de amortzacó A Captal vvo C Captal amortzado M C 0 - a I a- A A a C 0 C C 0 -A M A 2 a I 2 a- A 2 A 2 A (+) C 2 C -A 2 M 2 M +A 2 : : : : : : - a I - a- A - A - A (+) -2 C C -2 -A - M - M -2 +A - a I a- A A A (+) - C C - -A M M - +A C 0 Ejemplo: Dado el sguete préstamo : - Captal prestado : Plazo de amortzacó: 0 años - Tpo de terés: 0% aual. - Sstema de amortzacó de aualdades o térmos amortzatvos costates. Calcular: - El mporte de la aualdad costate - El captal pedete de amortzar al prcpo del 4º año - El captal amortzado e los 5 prmeros años Realzar també el cuadro de amortzacó del préstamo º Cálculo de la aualdad costate: C0 a ( + ) , 54 (,0) 0 0,0 4

133 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 2º Cálculo del captal pedete de amortzar al prcpo del 4º año: C a a ,54 a 0-3 0, ,27 3º Cálculo del captal amortzado e los 5 prmeros años: M A S M 5 A S A a C , ,54 M ,54 S 5 0, ,69 4º Cuadro de amortzacó: Período Térmo amortzatvo Cuota de terés Cuota de amortzacó Captal vvo C Captal amortzado M a I A , , , , , , , , , , , , , , , ,3 8.35, , , , , , , , , , , ,0 48.4, , ,8.5, , , , , , , , , , , , , ,54.479, , Préstamos amortzables medate pagos varables Método de amortzacó medate cuotas de amortzacó costates E este método las cuotas de amortzacó se matee costates, es decr, todos los períodos se amortza la msma catdad de captal. Sedo: A A 2 A 3... A A Vamos a pasar al cálculo de los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó: 5

134 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS. Cálculo de las cuotas de amortzacó La catdad que se amortza cada período es gual, teedo por tato todas las cuotas de amortzacó el msmo mporte. A A 2 A 3... A A El mporte de la cuota de amortzacó será: 2. Cálculo del captal amortzado C0 A El captal amortzado al fal del período será gual a la suma de las cuotas de amortzacó de los prmeros períodos. M A + A 2 + A A M A 3. Cálculo del captal pedete de amortzar El captal pedete de amortzar al fal del año será la dfereca etre el mporte del préstamo y el total amortzado e los prmeros períodos. 4. Cálculo de los tereses C C 0 - M La cuota de terés de cada período será gual al captal pedete de amortzar al fal del período ateror por el tato de terés que se aplque a la operacó. 5. Cálculo de la aualdad I C - El mporte de la aualdad será la suma de la cuota de amortzacó y de la cuota de terés: a A + I 6

135 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Período El cuadro de amortzacó de u préstamo de cuota de amortzacó costates es: Térmo amortzatvo a Cuota de terés I Cuota de Captal amortzado amortzacó Captal vvo C M A C 0 - a A + I I C 0 A C C 0 -A M A 2 a 2 A + I 2 I 2 C A C 2 C 0-2A M 2 2A : : : : : : - a - A + I - I - C -2 A C - C 0 - (-)A M - (-)A a A + I I C - A C C 0 -A M A C 0 Ejemplo: Dado el sguete préstamo : - Captal prestado : Plazo de amortzacó: 5 años - Tpo de terés: 0% aual. - Sstema de cuotas de amortzacó costates Calcular: - El mporte de la cuota de amortzacó del año 3º - El captal pedete de amortzar al prcpo del 4º año - El captal amortzado e los 4 prmeros años Realzar també el cuadro de amortzacó del préstamo º Cálculo de la cuota de amortzacó de año 3º: C0 A º Cálculo del captal pedete de amortzar al prcpo del 4º año: M A C C 0 - M º Cálculo del captal amortzado e los 4 prmeros años: M A

136 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 4º Cuadro de amortzacó: Período Térmo amortzatvo Cuota de terés Cuota de amortzacó Captal vvo C Captal amortzado M a I A Método de amortzacó medate aualdades varables e progresó geométrca El método de amortzacó medate aualdades varables e progresó geométrca se caracterza porque los térmos amortzatvos o aualdades sgue ua progresó geométrca de razó q. Las aualdades por tato será: - Prmer térmo amortzatvo: a - Segudo térmo amortzatvo: a 2 a q - Tercer térmo amortzatvo: a 3 a q 2 - N-ésmo térmo amortzatvo: a a q - Gráfcamete se represetará: C a a q a q - Sedo C 0 el mporte de la prestacó, y los térmos amortzatvos, la cotraprestacó. 8

137 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS La equvaleca facera del préstamo e el orge es: C 0 A(a, q ) Ahora vamos a pasar al cálculo de los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó:. Cálculo de la aualdad Como se acaba de dcar la equvaleca facera del préstamo e el mometo 0 la plateamos como: C 0 A(a, q ) De dode s despejamos, teemos: a C0 q ( + ) + q Para el caso de que q + utlzaremos la sguete expresó, ya vsta e el tema de retas. C 0 a ( + ) - De dode despejado obtedremos el valor de a a C0 ( + ) 2. Cálculo de la deuda pedete de amortzar o captal vvo El captal vvo al fal del año lo podemos calcular: Por el método retrospectvo: Calculamos el captal pedete de amortzar como la dfereca etre el valor del préstamo y el valor de todas las aualdades pagadas hasta ese mometo, captalzados al mometo C C 0 ( + ) S(a,q) 9

138 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Por el método prospectvo: Lo que hacemos para calcular el captal vvo es valorar e el mometo todas las aualdades que queda pedetes. C A( a +, q ) - E el caso de que q + calcularemos el captal pedete de amortzar al fal del año como: C ( - ) a + ( + ) - 3. Cálculo de las cuotas de amortzacó El mporte de la cuota de amortzacó de u período será gual a la dfereca etre el captal pedete de amortzar al fal del período ateror y el captal pedete de amortzar al fal de ese período. Por tato: A C - - C La deuda pedete al fal del año es: C C - ( + ) - a La deuda pedete al fal del año + es: C + C ( + ) - a + S ahora restamos las dos deudas pedetes, obteemos: C - C + C - ( + ) - a - C ( + ) + a + Como: C - C + A + y C - - C A Operado, tedremos: A + A ( + ) + a + - a 4. Cálculo del captal amortzado El captal total amortzado al fal de u período se puede obteer como dfereca etre el captal prestado y el captal pedete de amortzar al fal del año : M C 0 - C 20

139 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 5. Cálculo de los tereses El terés de los sucesvos años es gual a la deuda que queda pedete de amortzar al co de dcho año por el tato de terés. O lo que es lo msmo: I C - Como el térmo amortzatvo es gual a la suma de la cuota de captal más la cuota de terés, podríamos obteer esta últma como dfereca etre el térmo amortzatvo o aualdad y la cuota de amortzacó: I a - A El cuadro de amortzacó de u préstamo de aualdades costates sería: Período Térmo amortzatvo a Cuota de terés I Cuota de amortzacó A Captal vvo C Captal amortzado M C 0 - a I C 0 A a I C C 0 -A M A 2 a q I 2 C A 2 a 2 I 2 C 2 C -A 2 M 2 M +A 2 : : : : : : - a q -2 I - C -2 A - a - I - C - C -2 -A - M - M -2 +A - a q - I C - A a I C C - -A M M - +A Ejemplo: Dado el sguete préstamo : - Captal prestado : Plazo de amortzacó: 5 años - Tpo de terés: 0% aual. - Sstema de amortzacó co térmos amortzatvos varables e progresó geométrca - Los térmos amortzatvos aumeta u 5% cada año de forma acumulatva Realzar el cuadro de amortzacó del préstamo: Período Térmo amortzatvo Cuota de terés Cuota de amortzacó Captal vvo Captal amortzado a I A C M , , , , , , , , , , , , ,0.785, , , , , , , , ,08.597, ,

140 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Método de amortzacó medate aualdades varables e progresó artmétca E este sstema de amortzacó los térmos amortzatvos sgue ua progresó artmétca de razó d, sedo cada térmo gual al ateror más la correspodete razó. a a - + d Por tato los térmos para los dsttos períodos será: - Prmer térmo amortzatvo: a - Segudo térmo amortzatvo: a 2 a + d - Tercer térmo amortzatvo: a 3 a 2 + d a + 2d - N-ésmo térmo amortzatvo: a a + ( - ) d La represetacó gráfca de esta operacó será: C a a + d a + (-) d Sedo C 0 el mporte de la prestacó, y los térmos amortzatvos, la cotraprestacó. La equvaleca facera del préstamo e el orge es: C 0 A(a, d ) Ahora vamos a pasar al cálculo de los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó:. Cálculo de la aualdad Como ya se ha dcado aterormete la equvaleca facera del préstamo e el mometo 0 la plateamos como: C 0 A(a, d ) d d a + + d a - 22

141 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS De dode s despejamos, teemos: a d C0 + ( + ) d d Y ua vez calculada la prmera aualdad calcularemos el resto, sabedo que: a a - + d a + (-)d 2. Cálculo de la deuda pedete de amortzar o captal vvo El captal vvo al fal del año lo podemos calcular: Por el método prospectvo: Lo que hacemos para calcular el captal vvo es valorar e el mometo todas las aualdades que queda pedetes. Por el método retrospectvo: C A( a +, d) - Calculamos el captal pedete de amortzar como la dfereca etre el valor del préstamo y el valor de todas las aualdades ya pagadas, captalzados al mometo C C 0 ( + ) S(a,d) 3. Cálculo de las cuotas de amortzacó El mporte de la cuota de amortzacó de u período será gual a la dfereca etre el captal pedete de amortzar al fal del período ateror y el captal pedete de amortzar al fal de ese período. Por tato: A C - - C La deuda pedete al fal del año es: C C - ( + ) - a La deuda pedete al fal del año + es: C + C ( + ) - a + 23

142 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS S ahora restamos las dos deudas pedetes, obteemos: C - C + C - ( + ) - a - C ( + ) + a + Como: C - C + A + y C - - C A Operado, tedremos: A + A ( + ) + a + - a Además y como ya sabemos la dfereca que exste etre dos térmos amortzatvos es la razó d. S e la expresó ateror susttumos ( a + - a ) por la razó, os queda: A + A ( + ) + d Poedo todas las cuotas de amortzacó e fucó de la prmera teemos: Período º A Período 2º A 2 A ( + ) + d Período 3º A 3 A 2 ( + ) + d A ( + ) 2 + d ( + ) + d A ( + ) 2 + d S 2 Período - A - A -2 ( + ) + d A ( + ) -2 + d S -2 Período A A - ( + ) + d A ( + ) - + d S - A A - ( + ) + d A ( + ) - + d S - 4. Cálculo del captal amortzado El captal total amortzado al fal de u período se puede obteer como dfereca etre el captal prestado y el captal pedete de amortzar al fal del año : M C 0 - C 5. Cálculo de los tereses El terés de los sucesvos años es gual a la deuda que queda pedete de amortzar al co de dcho año por el tato de terés. O lo que es lo msmo: I C - 24

143 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Como el térmo amortzatvo es gual a la suma de la cuota de captal más la cuota de terés, podríamos obteer esta últma como dfereca etre el térmo amortzatvo o aualdad y la cuota de amortzacó: Período I a - A El cuadro de amortzacó de u préstamo de aualdades costates sería: Térmo amortzatvo a Cuota de terés I Cuota de amortzacó A Captal vvo C Captal amortzado M C 0 - a I C 0 A a C 0 C C 0 -A M A 2 a 2 a + d I 2 C A 2 A ( + ) + d C 2 C -A 2 M 2 M +A 2 3 a 3 a + 2d I 3 C 2 A 3 A 2 ( + ) + d C 3 C 2 -A 3 M 3 M 2 +A 3 a a + (-)d I C - A A - ( + ) + d C C - -A M M - +A C 0 Ejemplo: Ua Etdad facera os cocede u préstamo de que debe ser amortzado e 6 años medate el pago de aualdades que va aumetado de u período a otro e la catdad de 200. Calcular: - El mporte de la aualdad del 2º año - El captal pedete de amortzar al prcpo del 4º año - El captal amortzado e los 4 prmeros años Realzar també el cuadro de amortzacó del préstamo. Sabedo que el tpo de terés es el 0% aual. º Cálculo del mporte de la aualdad del 2º año. C 0 a a+d a+2d a+3d a+4d a+5d C 0 A(a, d ) d d a + + d a - d C d 0,0 200 a d ,5 ( + ) 6 (,0) 0,0 0,0 a 2 a + d 6.443, ,5 25

144 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 2º Cálculo del captal pedete de amortzar al prcpo del 4º año. 200 C A( a +, d) - A( 7.043,5; 200) 3 0, , a 3 0,0-0, ,98 0,0 a 4 a + 3d 6.443, ,5 3º Cálculo del captal amortzado e los 4 prmeros años. M C 0 - C M 4 C 0 C , , C A( a +, d) - A( 7.243,5, 200) 2 0, , a 2 0,0-0, ,67 0,0 a 5 a + 4d 6.443, ,5 4º Cálculo del cuadro de amortzacó. Período Térmo amortzatvo Cuota de terés Cuota de amortzacó Captal vvo C Captal amortzado M a I A , , , , , , , , , , , , , , ,5.798, , , , ,5.273, , , , ,5 676, , Sstema de amortzacó de préstamos co aboo de tereses atcpados o sstema de amortzacó alemá. E este sstema de amortzacó todos los térmos amortzatvos so de gual cuatía salvo el prmero, que tee lugar e el comezo de la operacó y que atede al pago atcpado de los tereses del prmer período. 26

145 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS El método alemá de amortzacó preseta las sguetes característcas: Los térmos amortzatvos se matee costates a lo largo de todo el préstamo, co la excepcó del prmer pago que se realza al comezo de la operacó. a 0 C 0 * a a 2 a 3. a a El tato de terés també se matee costate a lo largo de la vda del préstamo. Gráfcamete se represetará: C C * a a a 0 * Sedo C 0 el mporte de la prestacó y sedo los térmos amortzatvos más el mporte del prmer pago la cotraprestacó. La equvaleca facera del préstamo e el orge C 0 De dode: C 0 * + a ( - * ) + a ( - * ) 2 + a ( - * ) a ( - * ) C 0 ( - * ) a ( - * ) [ + ( - * )+ ( - * ) ( - * ) - ] Es decr: C 0 ( - * ) a ( - * ( ) * * ) Por lo tato: C 0 a ( * * ) 27

146 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Podemos platear la equvaleca facera e fucó del tato de terés pospagable, e lugar del tato de terés atcpado *. Para ello se debe teer e cueta que: - El cambo de tpo afecta al mporte del préstamo, que será gual al mporte de partda del préstamo meos los tereses que se paga e el período cal. * C 0 C 0 ( - * ) - El tpo de terés pospagable se calculará como: * ( * ) Sedo la equvaleca facera e fucó del tpo de terés pospagable: * C 0 aa Por lo tato y s despejamos podremos hallar el térmo amortzatvo como: a C * 0 a ] Ahora vamos a pasar al cálculo de los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó:. Cálculo de la aualdad costate La aualdad costate será segú acabamos de señalar: - E fucó del tato de terés atcpado * a C 0 * * ( ) - E fucó del tato de terés a C * 0 a ] 28

147 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 2. Cálculo de las cuotas de amortzacó La cuota de amortzacó es la parte del térmo amortzatvo que se dedca a la amortzacó del captal prestado. Vamos a tratar de calcular las cuotas de amortzacó partedo de los térmos amortzatvos de dos períodos cosecutvos. Como ya se ha señalado e este sstema de amortzacó todas las aualdades va a ser guales, a excepcó de la cal. Térmo amortzatvo del año a I + + A C * + A Térmo amortzatvo del año + a I +2 + A + C + * + A + De dode s gualamos ambas aualdades os queda: C * + A C + * + A + Operado tedremos: A A + ( C - C + ) * A + A + * A A + ( - * ) O lo que es lo msmo: A A ( - * ) - Como los tereses se paga por atcpado, el mporte de la últma cuota de amortzacó será gual a la aualdad. Por tato el mporte de la últma cuota de amortzacó será: A a Y el mporte de las demás se obtedrá, a partr de la expresó: A A ( - * ) - 3. Cálculo del captal pedete de amortzar El captal vvo al fal del año lo podemos calcular: Valorado e el mometo todas las aualdades que queda pedetes. C a a - * 29

148 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS O també se puede calcular el captal vvo al fal del año como la dfereca etre el mporte del préstamo y lo que ya se ha amortzado e esos prmeros años: C C 0 - M 4. Cálculo del captal amortzado El captal total amortzado al fal de u período se puede obteer como la dfereca etre el mporte del préstamo C 0 y el mporte del captal vvo al fal del año : M C 0 - C 5. Cálculo de los tereses Como los tereses se paga atcpadamete los tereses que pagamos e u año será los correspodetes al año sguete. La cuota de terés será: I + C * Como el térmo amortzatvo es gual a la suma de la cuota de captal más la cuota de terés del año sguete, podríamos obteer esta últma como dfereca etre el térmo amortzatvo o aualdad y la cuota de amortzacó: I + a - A Período El cuadro de amortzacó de u préstamo amortzado medate el sstema alemá será: Térmo amortzatvo a Cuota de terés I Cuota de amortzacó A Captal vvo C Captal amortzado M 0 a 0 C 0 * I C 0 * - C 0 - a I 2 C * A A (- * ) - C C0 -A M A 2 a I 3 C 2 * A 2 A (- * ) -2 C 2 C -A 2 M 2 M +A 2 : : : : : : - a I C * A - A (- * ) C - C -2 -A - M - M -2 +A - a - A a C C - -A M M - +A C 0 30

149 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Ejemplo: Ua Etdad facera os cocede u préstamo de que debe ser amortzado e 8 años. Calcular: - El mporte de la aualdad - El captal pedete de amortzar al prcpo del año 4º - La cuota de amortzacó del 5º año Realzar també el cuadro de amortzacó del préstamo. Sabedo que el sstema de amortzacó empleado es el alemá y que el tpo de terés atcpado es el 0% aual. º Cálculo de la aualdad costate e fucó del tato de terés atcpado: * a C 0 * ( ) 0, ( 0,0) 0.534,95 2º Cálculo del captal pedete de amortzar al prcpo del año 4º: C a * ) ( ( 0,0) 0.534, ,68 * 0,0 5 3º Cálculo de la cuota de amortzacó del 5º año: A A (- * ) - A 5 A 8 (- * ) ,95 ( -0,0 ) ,98 A 8 a 0.534,95 4º Cuadro de amortzacó: Cuota de Térmo Cuota de Captal vvo Captal terés Período amortzatvo amortzacó amortzado a I A C M , , , , , , , , , , , , , , , , ,97 6.9, , , , , , , , , , , , , ,95.053, , , , , ,

150 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 4.4 PRÉSTAMOS DIFERIDOS Los préstamos dferdos o co careca so aquellos e los que o es precso pagar al comezo de la operacó, durate uo o varos períodos, las cuotas de amortzacó e cluso, e ocasoes, squera las cuotas de terés. Por tato podemos ecotraros ate dos stuacoes: Durate los períodos de dfermeto s se paga los tereses (careca parcal) Durate los períodos de dfermeto o se pague los tereses (careca total) 4.4. Préstamos co careca parcal E el caso de que exsta careca parcal los prmeros períodos se paga los tereses correspodetes al captal prestado, y e el mometo e el que falza el período de careca, os ecotramos co u préstamo ormal que se resuelve como cualquera de los sstemas amortzatvos exstetes. S estuvésemos ate u préstamo amortzable medate térmos amortzatvos o aualdades costates y dferdo e t períodos, se va a pagar los tereses correspodetes al captal prestado C 0 durate los períodos de careca y durate los períodos sguetes, y por la duracó del préstamo, se pagará las aualdades costates a. Gráfcamete su represetacó será: C 0 C 0 C 0 C 0 a a a 0 2 t t+ t+2 El cálculo de la aualdad al gual que el del resto de elemetos del cuadro de amortzacó, se realzará de gual maera que e el préstamo fracés. Ua vez termado el período de careca, os ecotramos ate u préstamo ormal que se amortza exactamete gual que el resto de préstamos medate cualquera de los sstemas de amortzacó exstetes. 32

151 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Préstamos co careca total E el caso de que exsta careca total los prmeros períodos o se paga los tereses, acumuládose estos al captal calmete prestado, y e el mometo e el que falza el período de careca, os ecotramos co u préstamo ormal que se resuelve como cualquera de los sstemas amortzatvos exstetes, teedo e cueta que el captal prestado e este caso será C 0 ( + ) t. Igual que e el caso ateror, s estuvésemos ate u préstamo amortzable medate térmos amortzatvos o aualdades costates y dferdo e t períodos, los años de careca o se paga ada y e los restates se pagará la aualdad costate, teedo e cueta que esta se halla sobre el captal prestado calmete más los tereses acumulados C 0 ( ) t a a Gráfcamete su represetacó sería: C 0 C 0 ( + ) t a a a 0 2 t t+ t+2 El cálculo de los elemetos del cuadro de amortzacó se realza como se ha realzado para u préstamo amortzable por el sstema de amortzacó fracés. Ua vez termado el período de careca, os ecotraríamos ate u préstamo ormal que se amortzaría exactamete gual al resto de préstamos medate cualquera de los sstemas de amortzacó exstetes. Ejemplo: Ua Etdad facera os cocede u préstamo de que debe ser amortzado e 6 años medate el pago de aualdades costates, pagádose la prmera e el tercer año. Hacer el cuadro de amortzacó e los sguetes casos: - S durate los 2 prmeros años o se paga tereses - S se paga tereses durate esos 2 prmeros años Sabedo que el tpo de terés es el 0% aual. 33

152 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS º Cálculo del cuadro de amortzacó s e los 2 prmeros ejerccos o se paga tereses. C 0 C 0 ( + ) t a a a a C 0 ( + ) t (,0 ) C 0 ( + ) t ( + 0,0) a a a.45,59 0,0 Período Térmo amortzatvo Cuota de terés 4 Cuota de amortzacó Captal vvo C Captal amortzado M a I A , , , ,4 7.82, , , , , , ,59.987, ,2 0.40, , ,59.04, , º Cálculo del cuadro de amortzacó s e los 2 prmeros ejerccos se paga tereses. C 0 C 0 C 0 a a a a ( + 0,0) C 0 a a a 9.464,2 0,0 Período Térmo amortzatvo Cuota de terés 4 Cuota de amortzacó Captal vvo C Captal amortzado M a I A , , , , , ,59 7.0, , , ,2.642, , , , ,2 860, ,

153 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 4.5 PRÉSTAMOS CON INTERESES FRACCIONADOS So préstamos co tereses fraccoados aquellos e los que la perodcdad co que se va a pagar los tereses es superor a la que se utlza para amortzar el captal. Es decr, cada uo de los períodos de amortzacó se dvde e m subperíodos, de forma que la cuota de terés del período que correspodería a la operacó s fraccoameto de terés I C -, se susttuye por m cuotas de terés I, C - m, I,2 C - m,..., I,m C - m Gráfcamete su represetacó será: C 0 C C m +m 2+m 2m C 0 m C 0 m C m C m C 0 m + A C m + A 2 E este tpo de préstamos los tereses se va pagado fraccoadamete detro de cada período, metras que las cuotas de amortzacó o se fraccoa Préstamo fracés co tereses fraccoados Como se trata de u préstamo fraccoado los tereses se va pagado detro del período de amortzacó, metras que las cuotas se aboa al fal del período. El sstema de amortzacó fracés es aquel e el que los térmos amortzatvos so costates. E este caso os podemos ecotrar co dos posbldades: a) Que sea costate el térmo amortzatvo úco equvalete (a), sedo este gual al valor facero al fal de cada período de todos los captales que vece e el msmo b) Que sea costate la cuatía de los térmos que vece al fal del período (a ) a) Térmo amortzatvo úco equvalete: Lo prmero que debemos hacer al tratarse de u préstamo fraccoado es calcular el tato efectvo equvalete: - S os da u tato fraccoado: ( + m ) m - 35

154 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS - S os da u tato aual: Prmero calculamos el tato fraccoado y co este calculamos el tato aual equvalete. m ( + ) /m - ( + m ) m - - S os da u tato omal: Prmero calculamos el tato fraccoado y luego el tato aual equvalete m J m m ( + m ) m - a.) Cálculo del térmo amortzatvo equvalete El térmo amortzatvo equvalete se calculará u vez que teemos el tato de terés efectvo equvalete como: C0 a a C0 ( + ) a.2) Cálculo de las cuotas de amortzacó Las cuotas de amortzacó será: A a C 0 A A - ( + ) A ( + ) - a.3) Cálculo del captal total amortzado El captal total amortzado al fal de u período se puede obteer como: M M - + A A + A 2 + A A A S M A S 36

155 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS a.4) Cálculo de la deuda pedete de amortzar Lo que hacemos para calcular el captal vvo es valorar e el mometo todas las aualdades que queda pedetes. C a a - També se puede calcular el captal vvo al fal del año como la dfereca etre el mporte del préstamo y lo que ya se ha amortzado e esos prmeros años: C C 0 - M a.5) Cálculo de la cuota de terés La cuota de terés es gual a la deuda que queda pedete de amortzar al co de dcho año por el tato de terés fraccoado, o lo que es lo msmo: (m) I C - m Ejemplo: Ua Etdad facera os cocede u préstamo de que debe ser amortzado e 5 años medate el pago de aualdades costates, sabedo que los tereses se paga semestralmete. Calcular: - El mporte de la aualdad facera costate - El captal pedete de amortzar al prcpo del 4º año - El captal amortzado e los 3 prmeros años - La cuota de terés semestral que se paga e el 4º año Realzar també el cuadro de amortzacó del préstamo. Sabedo que el tpo de terés semestral es del 5%. º Cálculo de la aualdad facera costate: Lo prmero que vamos a hacer es calcular el tato de terés aual ( + ) ( + m ) m ( + m ) m (,05 ) 2 0,025 C0 a ( + ) (,025) ,53 0,025 37

156 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 2º Cálculo del captal pedete de amortzar al prcpo del 4º año: C a a - C 3 a a 2 0, ,5 3º Cálculo del captal amortzado e los 3 prmeros años: M A S 3 (,025) M 3 A S 3 0, , ,49 0,025 A a C , , ,53 4º Cálculo de la cuota de los tereses semestrales que se paga el 4º año: (m) I C - m (2) I 4 C 3 0, ,50 0,05 688,83 5º Cuadro de amortzacó: Año Semestre Térmo amortzatvo Cuota de terés Cuota de amortzacó Captal vvo a I A C Captal amortzado M , , , ,53.255,52.255, , , ,23.255, ,7 9.79, ,24 985,99 985, , , ,24 985, , , ,49 688,83 688, , , ,26 688, , , ,93 36,20 36, , , ,27 36, ,

157 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS b) Cuatía de los térmos que vece al fal del período costate: b.) Cálculo del térmo amortzatvo a El térmo amortzatvo a se calculará como: C0 a a m C ( + 0 m ) m b.2) Cálculo de las cuotas de amortzacó Las cuotas de amortzacó será: A a C 0 m A A - ( + m ) A ( + m ) - b.3) Cálculo del captal total amortzado El captal total amortzado al fal de u período se puede obteer como: M M - + A A + A 2 + A A A S m M A S m b.4) Cálculo de la deuda pedete de amortzar Lo que hacemos para calcular el captal vvo es valorar e el mometo todas las aualdades a que queda pedetes. C a a - m També se puede calcular el captal vvo al fal del año como la dfereca etre el mporte del préstamo y lo que ya se ha amortzado e esos prmeros años: C C 0 - M b.5) Cálculo de la cuota de terés (m) I C - m 39

158 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Ejemplo: Ua Etdad facera os cocede u préstamo de que debe ser amortzado e 5 años medate el pago de aualdades costates, sabedo que los tereses se paga semestralmete. Calcular: - El mporte de los pagos auales costates - El captal pedete de amortzar al prcpo del año 4º - El captal amortzado e los 3 prmeros años - Cuota de los tereses semestrales que se paga el 4º año Realzar també el cuadro de amortzacó del préstamo. Sabedo que el tpo de terés semestral es del 5%. º Cálculo de las pagos auales costates: C0 a ( + m m ) (,05) 0, ,24 2º Cálculo del captal pedete de amortzar al prcpo del año 4º: C a a - m C 3 a a 2 0, ,32 3º Cálculo del captal amortzado e los 3 prmeros años: M A S 3 (,05) M 3 A S 3 0, ,24 7.5,68 0,05 A a C 0 m 6.929, , ,24 4º Cálculo de la cuota de los tereses semestrales que se paga el 4º año: (m) I C - m (2) I 4 C 3 0, ,30 0,05 644,22 40

159 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 5º Cuadro de amortzacó: Año Semestre Térmo amortzatvo Cuota de terés Cuota de amortzacó Captal vvo a I A ,00 - C Captal amortzado M , , , ,24.228,54.228, , , ,24.228, , ,06.29,94 943,50 943, ,06.29, ,24 943, , ,32 7.5,68 644,22 644, ,32 7.5, ,24 644, , , ,70 329,96 329, , , ,24 329, , TANTOS EFECTIVOS DE UN PRÉSTAMO E las operacoes de amortzacó es correte que aparezca característcas comercales que afecte, be a algua de las dos partes, o be a las dos. Las característcas comercales más comues so etre otras; los gastos otarales, de regstro, de tasacó, Impuesto de Trasmsoes Patrmoales,..., que afecta al prestataro, el mpuesto sobre los redmetos que afecta al prestamsta, y la comsó de apertura, comsó de cacelacó, comsoes bacaras,..., que afecta a ambos. Debdo a estas característcas comercales el tato de terés efectvo de la operacó va a ser dstto del tato de terés pactado. Este tato efectvo de la operacó será aquel que permta la equvaleca facera al aplcarlo a las catdades que se etrega y a las que se recbe Tato efectvo del prestamsta Para calcular el terés efectvo para el prestamsta se tee que cumplr la ecuacó de equvaleca e la que la prestacó real, lo etregado realmete por el prestamsta, sea gual a la cotraprestacó real, es decr, a lo recbdo por el prestamsta. El prestamsta etregará el mporte del préstamo, pero s al preparar este tee ua sere de gastos, la prestacó real etregada por el prestamsta será el mporte del préstamo más los gastos. Es decr: Prestacó real: C 0 + G a 4

160 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Por otra parte lo que el prestamsta recbe será el mporte de las aualdades o térmos amortzatvos meos el mpuesto que grava los redmetos T. Es decr, a T. Cotraprestacó real: a - T La equvaleca facera e el mometo 0 será: C 0 + G a ( a T ) a a Resolvedo la ecuacó de equvaleca obtedremos el tato de terés efectvo para el prestamsta Tato efectvo del prestataro Para calcular el terés efectvo para el prestataro se tee que cumplr la ecuacó de equvaleca e la que la prestacó real, lo que realmete recbe el prestataro, sea gual a la cotraprestacó real, es decr, a lo etregado por el prestataro. El prestataro recbrá el mporte del préstamo, pero al formalzar el préstamo este tee ua sere de gastos como; gastos de otara, gastos de costtucó,..., que morará el mporte de lo recbdo. Por lo tato, la prestacó real recbda por el prestataro será el mporte del préstamo meos los gastos. Es decr: Prestacó real: C 0 - G p Por otra parte lo que el prestataro etrega será el mporte de las aualdades o térmos amortzatvos más los gastos de admstracó que le cobra el prestamsta. Es decr: Cotraprestacó real: a + g p La equvaleca facera e el mometo 0 será: C 0 G p ( a + g p ) a p Resolvedo la ecuacó de equvaleca obtedremos el tato de terés efectvo para el prestataro. 42

161 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Ejemplo: Dado el sguete préstamo : - Captal prestado : Plazo de amortzacó: 5 años - Tpo de terés: 0% aual. - Sstema de amortzacó de aualdades o térmos amortzatvos costates. - Característcas comercales: Gastos para el prestamsta: - Impuesto sobre los tereses percbdos % de los térmos amortzatvos - Gastos por gestó % del captal prestado Calcular: Gastos para el prestataro: - comsó de apertura del % sobre la catdad prestada - gastos de formalzacó del préstamo gastos de admstracó el % sobre los térmos amortzatvos. - El tato efectvo para el prestamsta - El tato efectvo para el prestataro º Cálculo del tato efectvo para el prestamsta: Prmero debemos calcular la aualdad costate que amortza el préstamo C0 a ( + ) ,85 (,0) 5 0,0 El tato de terés para el prestamsta será: C 0 + G a ( a T ) a a % ( 5.827,85 - % 5.827,85) a 5 a ,57 a 5 a a 5 a 3, ,57 S buscamos e las tablas faceras e terpolamos, teemos: a 5 0,09 3, a 5 a 3, a 5 0,095 3,

162 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS S llamamos a: a X a 5 a Y 0,09 X a 5 0,09 Y 0,095 X 2 a 5 0,095 Y 2 Iterpolado y susttuyedo los valores: X X Y Y X Y 2 2 X Y a 0,09 0,095 0,09 3, , , , a 0, º Cálculo del tato efectvo para el prestataro: C 0 G p ( a + g p ) a p % (5.827,85 + % 5.827,85) a p ,3 a 5 p a 5 p 3, ,3 S buscamos e las tablas faceras e terpolamos, teemos: a 5 0,5 3, a 5 p 3, a 5 0,2 3, Iterpolado y susttuyedo los valores: X X Y Y X Y 2 2 X Y p 0,5 0,2 0,5 3, , , , p 0,

163 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 4.7 VALOR FINANCIERO DEL PRÉSTAMO, DEL USUFRUCTO Y DE LA NUDA PROPIEDAD Cocepto Dada ua operacó de préstamo de la cuál coocemos los térmos amortzatvos a, a 2, a 3,..., a que vece respectvamete e los períodos, 2, 3,...,, a u tato de terés, s se quere cacelar de maera atcpada este préstamo, habrá que valorarlo a las codcoes de mercado que exsta e ese mometo. S ese mometo es el período, la cuatía de la deuda que queda pedete, será el captal vvo o pedete de amortzar al fal del mometo, que se expresará matemátcamete como: C a + ( + ) - + a +2 ( + ) a ( + ) -(-) Para smplfcar lo expresaremos como: C a ( + ) s s + ( s ) Gráfcamete se represeta como: C 0 C C 2 C C + C +2 C a a 2 a a + a +2 a El acreedor puede trasferr los derechos que el tee sobre el préstamo, derecho a percbr los tereses del préstamo y derecho al reembolso del omal, surgedo así, los derechos de usufructo, uda propedad y valor del préstamo. S los dos derechos aterores recae sobre ua msma persoa este tee el derecho de pleo domo o plea propedad. S sólo se tee el derecho a la percepcó de los tereses estamos ate el derecho de usufructo. S sólo se tee derecho a la devolucó del prcpal, os ecotramos ate el derecho de uda propedad. La valoracó de estos derechos ua vez que ha trascurrdo períodos desde el co del préstamo y sabedo que el tpo de terés de mercado es e ese mometo será: 45

164 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Valor facero del préstamo ( V ): El valor facero del préstamo al comezo del período + será el valor de todos los térmos amortzatvos que queda pedetes actualzados al mometo al tpo de terés de mercado exstete e ese mometo. V s s + a ( + ) ( s ) Valor facero de la uda propedad (N ): El valor facero de la uda propedad al comezo del período + será el valor de todas las cuotas de amortzacó que queda pedetes actualzadas al mometo al tpo de terés de mercado exstete e ese mometo. N s s + A ( + ) ( s ) Valor facero del usufructo ( U ): El valor facero del usufructo al comezo del período + será el valor de todas las cuotas de terés que queda pedetes actualzados al mometo al tpo de terés de mercado exstete e ese mometo U Cs ( + s + ) ( s ) I s ( + ) s + ( s ) El valor facero del préstamo será la suma del valor facero del usufructo más el valor facero de la uda propedad Fórmula de Achard V N + U La fórmula de Achard es u sstema de ecuacoes, más práctco, que el método expuesto e el apartado ateror, para el cálculo del valor facero, del usufructo y de la uda propedad del préstamo, pero co la lmtacó de que sólo se podrá usar e el caso de que se cumpla los dos sguetes requstos: º Que el tpo de terés del préstamo se matega costate desde la fecha e que se efectúa el estudo hasta el fal del préstamo. 2º Que el tato de terés de mercado sea dstto al tato de terés del préstamo y además este permaezca també costate. 46

165 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS El sstema de ecuacoes será: V U + N U ( C N ) E este sstema teemos cuatro cógtas; captal vvo, usufructo, uda propedad y valor del préstamo. Depededo del sstema de amortzacó que tegamos se calculará prmero ua u otra varable. Por ejemplo e el sstema fracés e el cuál coocemos los térmos amortzatvos calcularemos, aplcado las fórmulas geerales del apartado ateror, el valor del captal vvo y el valor del préstamo, y ua vez coocdos estos valores resolveremos el sstema de ecuacoes. E el caso del sstema de cuotas de amortzacó costates e el cuál, so coocdas e guales para todos los períodos las cuotas de amortzacó, prmero calcularemos el captal vvo y la uda propedad, y co estos valores resolveremos el sstema de ecuacoes. Ejemplo: Dado el sguete préstamo : - Captal prestado : Plazo de amortzacó: 5 años - Tpo de terés: 0% aual. - Sstema de amortzacó de aualdades o térmos amortzatvos costates Calcular el valor del usufructo y de la uda propedad trascurrdos 3 años desde su cocesó s el tpo de terés de mercado es del 8%. Solucó: º Cálculo de la aualdad y del cuadro de amortzacó. C0 a ( + ) ,85 (,0) 5 0,0 47

166 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Período Térmo amortzatvo Cuota de terés Cuota de amortzacó a I A Captal vvo C Captal amortzado M , , , , , , , , , , , ,5.89, , , , , , , , ,85.438, , º Cálculo de valor, del usufructo y de la uda propedad utlzado las fórmulas geerales: U N C s + s s + ( s ) I s 2.746,98.438,89 ( ) ,2 s ( ),08 2 +,08 s + s + ( s ) 3.080, ,96 A ( + ) ,3,08 2,08 V U + N s + a ( + ) s s 5.827, , ,25,08 2,08 3º Cálculo de valor, del usufructo y de la uda propedad utlzado las fórmulas de Achard: V U + N U ( C N ) Se puede aplcar la fórmula de Achard ya que: - El tpo de terés del préstamo se matee costate - El tpo de terés de mercado es costate y dstto al tato del préstamo Vamos a calcular el captal vvo del préstamo: C ,85 a 2 0, ,82 V 5.827,85 a 2 0, , ,25 U 3 + N 3 0,0 U 3 (27.469,82 N 3 ) 0,08 N ,3 U ,2 48

167 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS 4.8 PRÉSTAMOS A INTERÉS VARIABLE 4.8. Cocepto Segú el tpo de terés que aplquemos a los préstamos los podemos clasfcar como: Préstamos a terés fjo. Los préstamos a tpo de terés fjo so aquellos e los que el tpo de terés o varía a lo largo de la vda del préstamo. Préstamos mxtos. Los préstamos mxtos so aquellos que fucoa como u préstamo fjo durate parte de la vda del préstamo para covertrse posterormete e préstamos de terés varable. Préstamos varables. Los préstamos varables so aquellos e los cuáles el tpo de terés va cambado a lo largo de la vda del préstamo. Normalmete el tpo de terés que se aplca se obtee tomado como base u ídce (EURIBOR, ídce CECA...) al que se le suma u dferecal costate. Cuado se cotrata los préstamos a tpo de terés varable coocemos el mporte del préstamo, la duracó de este, el tpo de terés a aplcar e el prmer período, el tpo de refereca y el dferecal, el sstema de amortzacó que se va a aplcar, y se establece los períodos de revsó del tpo de terés. Cuado se produce la revsó del tpo de terés se puede tomar cualquera de las sguetes alteratvas: Volver a recalcular los térmos amortzatvos: Cada vez que se produzca ua revsó de los tpos de terés se volverá a calcular el térmo amortzatvo, teedo e cueta que ahora el mporte del captal prestado será el captal pedete de amortzar e ese state, que la duracó del préstamo será el tempo que va desde ese state hasta la falzacó del préstamo y que se aplcará como tpo de terés el obtedo tras la revsó de los tpos. Aplcar el sstema de cuota fja E este caso se matee la cuatía de los térmos amortzatvos y lo que va a varar es la duracó del préstamo que se recalculará cada vez que se produzca u cambo de tpo de terés. La ueva duracó se calculará teedo e cueta que ahora el mporte del captal prestado 49

168 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS será el captal pedete de amortzar e ese state, que se aplcará como tpo de terés el obtedo tras la revsó de los tpos y que el mporte del térmo amortzatvo o va a varar sedo el calculado calmete. Mateer el pla de amortzacó fjo E este caso cuado se costtuye el préstamo se establece cuál va a ser el mporte de las cuotas de amortzacó de cada período, teedo e cueta el mporte del captal prestado, la duracó del préstamo y el tpo de terés cal. Por tato lo que se va a hacer cada vez que haya ua revsó de tpos es calcular el mporte de la cuota de terés que se sumará a la cuota de amortzacó ya fjada Tato medo del préstamo Supogamos que teemos u préstamo de mporte C 0, de duracó períodos, que se amortza medate los sguetes térmos amortzatvos a, a 2, a 3,..., a y sedo los tatos de terés varables para cada período, 2, 3,...,. La ecuacó de equlbro para este préstamo será: C0 a( + ) + a2( + 2) ( + ) + a3( + 3) ( + 2) ( + ) a ( + ) ( + )...( + 2) ( + ) El tato de terés medo m será aquél que permaecedo costate para los dsttos períodos cumple que: 2 3 C0 a( + m) + a2( + m) + a3( + m) a( + m) Ejemplo: Dado el sguete préstamo: - Captal prestado : Plazo de amortzacó: 3 años - Tpo de terés: 4% efectvo aual el prmer año y los dos restates será el EURIBOR + 0,75%. - Sstema de amortzacó de térmos amortzatvos costates pagaderos trmestralmete Calcular el cuadro de amortzacó de la operacó y el tpo de terés medo sabedo que el EURIBOR para el segudo año es el 3,5% y el del tercer año es del 4,0% 50

169 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Solucó: º Cálculo del cuadro de amortzacó. Lo prmero que se de hacer es calcular el tpo de terés trmestral que será: - Para el prmer año: 4 (,04) /4-0, Para el segudo año: 0, ,0075 0,0425 / 4 4 (,0425) 0, Para el tercer año: 0, ,0075 0,0485 / 4 4 (,0485) 0,09054 La trmestraldad para el prmer año, supoedo que el tpo de terés 0,04 se matee costate, será: C0 a ( m) ( + 4 ) ,00 2 (, ) 4 0, Para el segudo año la trmestraldad será: C 4 C 0 M , ,54 (, ) M 4 A S 4 0, , ,46 0, A a C , ,39 C ,54 a 2.670, ( m) ( + 4 ) (, ) 8 0, Para el tercer año la trmestraldad será: (, ) C 8 a a 4 0, , 0.406,89 0, C ,89 a 2.679,65 ( m) ( + 4 ) (,09054) 4 0,

170 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capítulo 4. PRÉSTAMOS Período Térmo amortzatvo Cuota de terés Cuota de amortzacó a I A Captal vvo C Captal amortzado M ,00 295, , , , ,00 272, , , , ,00 248, , ,6 7.72, ,00 224, , , , , 23, , , , , 87, , , , , 6, ,5 2.94, , , 35, , , , ,65 23, , , , ,65 93, , , , ,65 62,7 2.66, , 27.35, ,65 3, , º Cálculo del tpo medo de terés 2 3 C0 a( + m) + a2( + m) + a3( + m) a( + m) ( ,( + (4) m) ,65( + (4) m) ) a 4 m ( 4) m 0,003 m 0,048 4,8%

171 Curso de Cotabldad y Matemátcas Faceras 2ª parte: Matemátcas Faceras Capítulo 5. EMPRÉSTITOS

172 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Ídce de cotedos Pága CAPÍTULO 5 EMPRÉSTITOS 3 5. CONCEPTO, TERMINOLOGÍA Y CLASIFICACIÓN Cocepto Termología empleada e los emprésttos Clasfcacó de los emprésttos EMPRÉSTITOS SIN CARACTERÍSTICAS COMERCIALES Emprésttos de cupó peródco pospagable Emprésttos de cupó peródco costate y térmo amortzatvo costate Emprésttos de cupó peródco costate y térmo amortzatvo varable Emprésttos de cupó peródco costate y térmo amortzatvo varables e progresó geométrca Emprésttos de cupó peródco costate y térmos amortzatvos varables e progresó artmétca Emprésttos de cupó períodco co amortzacó de gual úmero de títulos e cada sorteo Emprésttos de cupó períodco co tereses varables Emprésttos de cupó peródco prepagable Empréstto de cupó peródco y prepagable co térmo amortzatvo costate Empréstto de cupó peródco prepagable co térmo amortzatvo varable Empréstto de cupó peródco prepagable co térmo amortzatvo varable e progresó geométrca Empréstto de cupó peródco prepagable co térmo amortzatvo varable e progresó artmétca Emprésttos de cupó peródco prepagable co gual úmero de títulos amortzados e cada sorteo Emprésttos co cupó peródco fraccoado Emprésttos de cupó acumulado Emprésttos de cupó acumulado costate y térmo amortzatvo costate Emprésttos de cupó acumulado costate y térmo amortzatvo varable Emprésttos de cupó acumulado costate y térmo amortzatvo varable e progresó geométrca Emprésttos de cupó acumulado costate y térmo amortzatvo varable e progresó artmétca Emprésttos de cupó acumulado costate co gual úmero de títulos amortzados e cada sorteo EMPRÉSTITOS CON CARACTERÍSTICAS COMERCIALES VIDA MEDIA, VIDA MEDIANA O PROBABLE Y VIDA MATEMÁTICA DE LOS TÍTULOS VIVOS DESPUÉS DEL K-ÉSIMO SORTEO VALOR, USUFRUCTO Y NUDA PROPIEDAD TANTOS EFECTIVOS 9 2

173 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Capítulo 5 EMPRÉSTITOS 5. CONCEPTO, TERMINOLOGÍA Y CLASIFICACIÓN 5.. Cocepto Los emprésttos so préstamos de cuatía elevada que surge debdo a ecesdades de facacó de la empresa. Se dvde e partes guales que se strumetará medate títulos a los que deomaremos oblgacoes. La emsó de oblgacoes segú establece el artículo 285 de la Ley de Socedades Aómas debe hacerse costar e escrtura públca y debe coteer los sguetes datos:. El ombre, captal, objeto y domclo de la socedad emsora. 2. Las codcoes de la emsó y la fecha y plazos e que debe abrrse la suscrpcó. 3. El valor omal, tereses, vecmeto, prmas y lotes de las oblgacoes s los tuvere. 4. El mporte total y las seres de los valores que deba lazarse al mercado. 5. Las garatías de la emsó. Segú el artículo 29 de la Ley de Socedades Aómas los títulos de ua emsó debe ser guales y debe coteer:. Su desgacó específca 2. Las característcas de la socedad emsora y el lugar dode ésta ha de pagar. 3. El mporte de la emsó. 4. El úmero, valor omal, tereses, vecmetos, prmas y lotes del título, s los tuvere. 5. Las garatías de la emsó Los títulos corpora ua sere de derechos ecoómcos para el oblgacosta (persoa que presta el dero medate la compra de la oblgacó). Estos derechos ecoómcos so: El cobro de los tereses: Puede establecerse que el cobro de los tereses se realce de maera peródca o be acumulada. E el prmer caso, los tereses o cupoes se va cobrado e los plazos establecdos, metras que e el segudo se cobra de ua sola vez e el mometo de amortzacó de los títulos. La recuperacó del dero prestado por el oblgacosta: La socedad que emte el empréstto debe reembolsar el mporte omal de las oblgacoes más las prmas de amortzacó, lotes, premos, que se haya pactado e la escrtura de emsó del empréstto. 3

174 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS E cotraposcó, los derechos ecoómcos del oblgacosta supoe ua oblgacó para la etdad emsora, ya que ésta debe pagar los tereses y reembolsar el dero prestado Termología empleada e los emprésttos ELEMENTOS DESCRIPCIÓN N Número de títulos emtdos C N x C E E x N C x Valor omal de cada título Valor omal del empréstto Preco de emsó del título CE Emsó a la par C>E Emsó por debajo de la par (*) (*) E este caso exste prma de emsó cuyo mporte será la dfereca etre el valor omal y el valor de emsó Valor de emsó del empréstto Cupó: Es el terés períodco que produce u título N + Títulos vvos al fal del período o comezo del período +: Es el úmero de títulos que queda vvos, después de amortzados los títulos correspodetes a ese período M m A I Títulos amortzados e el período : Es gual al úmero de títulos que se amortza e el período. M N - N + Total acumulado de títulos amortzados e los prmeros períodos: So el total de títulos que ya se ha amortzado del total de los emtdos, después del sorteo m ΣM Cuota de amortzacó de captal del período : Cuatía que el emsor dedca a amortzar parte de los títulos de la emsó o parte del omal de los títulos e el período Cuota de terés del período : Cuatía que el emsor dedca al pago de tereses e el período a Térmo amortzatvo del período : Es el valor de las cotraprestacoes peródcas que realza el emsor. Se cumple que: a K A + I 4

175 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 5..3 Clasfcacó de los emprésttos A la hora de clasfcar los emprésttos vamos a ateder a los sguetes crteros:. Pago de tereses: Emprésttos co pago peródco de tereses: E el caso de que la socedad emsora pague los tereses peródcamete, el pago puede ser: o o Atcpado: el pago de los tereses se realza al prcpo del período (cupó peródco prepagable). Por vecdo: El pago de tereses se realza al fal del período (cupó peródco pospagable). Emprésttos s pago peródco de tereses: E el caso de que la socedad emsora pague los tereses de ua sola vez o de forma acumulada, el cálculo de los tereses puede hacerse: o o E régme de captalzacó smple E régme de captalzacó compuesta 2. Estructura de los térmos amortzatvos Emprésttos s característcas comercales: A los emprésttos cuyo térmo amortzatvo o preseta característcas comercales se les deoma emprésttos puros o ormales. E este caso la estructura del térmo amortzatvo se compoe de ua parte destada al pago de cupoes y de otra destada al reembolso de los títulos amortzados. La estructura del térmo amortzatvo puro o ormal para u año cualquera será: a N C + M C Emprésttos co característcas comercales: El térmo amortzatvo se dedca además de al pago de los cupoes y al reembolso de los títulos amortzados por su valor omal, al pago de determadas prmas, lotes; e otros casos se puede establecer la pérdda del últmo cupó. Cuado se preseta algua de estas característcas habrá que realzar determadas operacoes para preparar el empréstto, de tal forma que exsta equlbro facero. Este proceso de trasformacó recbe el ombre de ormalzacó. La estructura del térmo amortzatvo de u empréstto que presete característcas comercales depederá de cuál o cuáles de éstas presete. 5

176 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 3. La cuatía de los pagos: S los pagos so costates o Emprésttos de térmos amortzatvos costates y cupoes costates C x N a a a a a Estos emprésttos se caracterza por: - Sus térmos amortzatvos permaece costates a a a... a a El tato de terés permaece costate durate toda la vda del empréstto... S los pagos varía 2 3 o Emprésttos de térmos amortzatvos varables y cupó costate C x N a a 2 a 3 a - a Estos emprésttos se caracterza por: - Sus térmos amortzatvos varía de u período a otro. a a a a - El tato de terés permaece costate durate toda la vda del empréstto o Emprésttos de térmos amortzatvos varables y cupó varable C x N a a 2 a 3 a - a Estos emprésttos se caracterza por: - Sus térmos amortzatvos varía de u período a otro. a a a a - El tato de terés es varable

177 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 5.2 EMPRÉSTITOS SIN CARACTERÍSTICAS COMERCIALES 5.2. Emprésttos de cupó peródco pospagable Emprésttos de cupó peródco costate y térmo amortzatvo costate Estos emprésttos se cooce como emprésttos ormales y se caracterza porque sus térmos amortzatvos y el tato de terés so costates, es decr, a a 2 a 3 a a e 2 3 La represetacó gráfca de estos emprésttos será: C x N 0 2 a a a Dode C x N es el valor omal del empréstto y a es el mporte del térmo amortzatvo costate. Para calcular los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó del empréstto debemos realzar las sguetes operacoes:. Cálculo del térmo amortzatvo S plateamos la equvaleca facera e el mometo 0 y teedo e cueta que la prestacó (C x N ) ha de ser gual a la cotraprestacó (valor actual de la reta formada por los térmos amortzatvos) teemos que: C N a a a C N - - ( + ) El mporte de los térmos amortzatvos cluye el pago de los cupoes y la amortzacó por el valor omal de los títulos correspodetes. 7

178 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 2. Cálculo de los títulos amortzados S partmos de la estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera teemos que: a C N + C M Podemos calcular el úmero de títulos amortzados e cada período de la sguete maera: Títulos amortzados e el prmer período: El térmo amortzatvo para el prmer período será gual a: a C N + C M E prmer lugar se calcula el mporte del térmo amortzatvo costate, como se ha explcado e el apartado ateror. Al ser el resto de varables coocdas, calcularemos M despejado e la expresó ateror: a C N + C M M a C N C Títulos amortzados e el resto de períodos: Sedo coocdos y costates los térmos amortzatvos de dos períodos cosecutvos y + cualesquera, veamos s exste algua relacó etre los títulos amortzados e esos dos períodos. Período a C N + C M Período + a C N + C M + + a a C ( N N ) + C( M M ) + + El úmero de títulos vvos al prcpo de u período va a ser gual a los títulos vvos al comezo del período ateror meos los títulos que se amortzaro e dcho período. Luego para u período cualquera tedremos: N + N M M N N + Por tato: a a C ( N N ) + C( M M ) + + 8

179 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Será gual a: 0 + C M + C( M M ) C M C M ( ) Smplfcado os queda: M M ( ) S segumos el procedmeto que se acaba de explcar para el cálculo del úmero de títulos que se amortza e cada período, lo ormal es que obtegamos úmeros o eteros. Como el úmero de títulos a amortzar e cada período debe ser u úmero etero, ya que o es posble amortzar fraccoes de título, hemos de tratar de solvetar dcho problema. Para ello exste dos posbles procedmetos: o Procedmeto de captalzacó de los resduos Este método cosste e captalzar los excesos que se produce debdo a la ecesdad de que el úmero de títulos que se amortce sea exacto, acumulado el motate a la aualdad del año sguete. o Procedmeto de redodeo del úmero de títulos a amortzar El método del redodeo cosste e sumar las partes eteras, y los títulos que falta hasta el total de los emtdos los repartmos etre aquellos períodos que tee mayor cfra decmal, teedo e cueta que como máxmo se repartrá u título para cada sorteo. 3. Cálculo del total de títulos amortzados al fal del período Podemos calcular el total de títulos amortzados al fal del período de cualquera de las dos formas sguetes: Como la suma de los títulos amortzados durate los prmeros años: m M + M 2 + M M S poemos los térmos amortzados e fucó de M, teemos: m M + M (+)+ M (+) M (+) - 9

180 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS De dode sacado factor comú a M os queda: m M [+(+)+ (+) (+) - ] Sedo el corchete gual a la suma de térmos de ua progresó geométrca crecete de razó (+) La suma de térmos de ua progresó geométrca crecete es gual a: S a r a r - Dode: o a es el prmer térmo de la progresó o a es el últmo térmo de la progresó o r es gual a la razó Susttuyedo e la fórmula los valores de uestra progresó, os queda: S - ( + ) ( + ) ( + ) S ( + ) - Sedo: m M S m M S Como la dfereca etre los títulos emtdos y los títulos vvos: m N N + 4. Cálculo de los títulos vvos después del -ésmo sorteo Cálculo de los títulos vvos e fucó de los térmos amortzatvos Los títulos vvos después del -ésmo sorteo será los compreddos e el captal pedete de amortzar después de haberse pagado el -ésmo térmo amortzatvo. 0

181 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS S represetamos gráfcamete el empréstto, teemos: C x N C x N a a a a a a Tomado como puto de equvaleca facera el mometo podemos calcular los títulos vvos a partr de los térmos amortzatvos pasados (método retrospectvo) o be a través de los térmos amortzatvos futuros (método prospectvo). o Cálculo de N + por el método retrospectvo Para el mometo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo, ha de ser gual a lo que recbó la etdad emsora e el mometo de emsó del empréstto, meos lo ya pagado por esta. Su represetacó gráfca será: C x N C x N a a a Dode: C x N + C x N x (+) a S Despejado obteemos el valor de N + : N + C N ( + ) C as o Cálculo de N + por el método prospectvo S aplcamos el método prospectvo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo ha de ser

182 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS gual al valor actual de la reta que forma los térmos amortzatvos pedetes de pago. Su represetacó gráfca será: C x N C x N a a a Dode: C x N + a a - Despejado: N + C a a - Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos amortzados S para el cálculo de los títulos vvos teemos e cueta los títulos que ya ha sdo amortzados, tedremos: N + N - m Los títulos que queda pedetes de amortzar al co del período + será los títulos emtdos meos el total de títulos amortzados e los prmeros períodos. Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos pedetes de amortzar Otra posbldad es calcular los títulos vvos como la suma de los títulos que queda pedetes de amortzar e los período +, +2, +3,,. N + M + + M +2 + M M 5. Cálculo de los tereses correspodetes al año + Los tereses que se paga e el período + será los correspodetes al úmero de títulos e crculacó al comezo de dcho período, por el omal de los títulos, y por el tpo de terés pactado. I + C x x N + 2

183 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): 0% aual. Plazo de amortzacó (): 5 años Térmo amortzatvo aual y costate (a) Utlzado para su resolucó el procedmeto de redodeo º Cálculo del térmo amortzatvo: C N a a a a 5 0, a ,8-5 - (,0) 0,0 2º Cálculo de los títulos amortzados cada período: a C N + C M , , M M.637, 9748 M M ( + ) M 2 M (,0).637, (,0).80, M 3 M (,0).637, (,0).98,94952 M (,0).637, (,0) M 2.80, M 5 M (,0).637, (,0) 2.398,5892 El método del redodeo cosste e sumar las partes eteras, y los títulos que falta hasta el total de los emtdos los repartmos etre aquellos períodos que tee mayor cfra decmal, teedo e cueta que como máxmo se repartrá u título para cada sorteo. M.637 M.638 M 2.80 M M 3.98 M M M M M ΣM ΣM

184 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 3º Cuadro de amortzacó: Período Títulos amortzados Total títulos amortzados Títulos ped. de amortzar Iterés Captal amortzado Aualdad Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): 0% aual. Plazo de amortzacó (): 5 años Térmo amortzatvo aual y costate (a) Utlzado para su resolucó el método de captalzacó de resduos º Cálculo del térmo amortzatvo: C N a a a a 5 0, a ,8-5 - (,0) 0,0 2º Cuadro de amortzacó: Años Captal vvo Itereses Amortzacó Aualdad dspoble Teórca Real Resduo Resduo Capalzado Amort. e el año Títulos Total amort. Títulos Vvos , , ,8.072, , , ,0 82, , , ,62 766, , , ,09 925, , ,

185 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Emprésttos de cupó peródco costate y térmo amortzatvo varable Estos emprésttos preseta las sguetes característcas: Los tereses se paga de maera peródca. Sus térmos amortzatvos varía de u período a otro a aa a3... a El tpo de terés permaece costate para los dsttos períodos Emprésttos de cupó peródco costate y térmo amortzatvo varables e progresó geométrca Los emprésttos de cupó peródco costate, co térmos amortzatvos varables e progresó geométrca preseta las sguetes característcas: Los tereses se paga de maera peródca. Sus térmos amortzatvos varía de u período a otro e progresó geométrca de razó q. Sedo: a a q El tpo de terés permaece costate para los dsttos períodos Su represetacó gráfca será: C x N a a x q a x q 2 a x q - Para calcular los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó del empréstto debemos realzar las sguetes operacoes:. Cálculo del térmo amortzatvo S plateamos la equvaleca facera e el mometo 0 y teedo e cueta que la prestacó (C x N ) ha de ser gual a la cotraprestacó (valor actual de la reta formada por los térmos amortzatvos) teemos que: C N A(a,q) 5

186 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Al calcular el térmo amortzatvo os podemos ecotrar co dos stuacoes: ( + ) q E cuyo caso el cálculo del térmo amortzatvo será: C N q ( + ) a ( + ) q a - q ( C N - ( + ) + ) - q Sedo el mporte de la aualdad de u año cualquera gual a: a a q ( + ) q E cuyo caso el cálculo del térmo amortzatvo será: a ( + ) C N a C N ( + ) El mporte de los térmos amortzatvos cluye el pago de los cupoes y la amortzacó por el valor omal de los títulos correspodetes. 2. Cálculo de los títulos amortzados S partmos de la estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera teemos que: a C N + C M Luego podemos calcular el úmero de títulos amortzados e cada período de la sguete maera: 6

187 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Títulos amortzados e el prmer período: El térmo amortzatvo para el prmer período será gual a: a C N + C M E prmer lugar calculamos el mporte del térmo amortzatvo del prmer período. Al ser el resto de varables coocdas, calcularemos M despejado e la expresó ateror: a C N + C M M a C N C Títulos amortzados e el resto de períodos: Ua vez coocdo el mporte del prmer térmo amortzatvo podremos calcular el resto como a a q. Sedo coocdos los térmos amortzatvos de dos períodos cosecutvos cualesquera y +, veamos s exste algua relacó etre los títulos amortzados e esos dos períodos. Período a C N + C M Período + a C N + C M a a C ( N N + ) + C( M M ) + + El úmero de títulos vvos al prcpo de u período va a ser gual a los títulos vvos al comezo del período ateror meos los títulos que se amortzaro e dcho período. Luego para u período cualquera tedremos: N + N M M N N + Por tato: a a q C ( N N ) + C( M M + ) + Será gual a: a ( q) C M + C( M M + ) C M + C M ( + ) a ( q) Despejado M + os queda: M + a M ( + ) ( q) C 7

188 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 3. Cálculo del total de títulos amortzados al fal del período Podemos calcular el total de títulos amortzados al fal del período de cualquera de las dos formas sguetes: Como la suma de los títulos amortzados durate los prmeros años: m M + M 2 + M M Como la dfereca etre los títulos emtdos y los títulos vvos: m N N + 4. Cálculo de los títulos vvos después del -ésmo sorteo Cálculo de los títulos vvos e fucó de los térmos amortzatvos Los títulos vvos después del -ésmo sorteo será los compreddos e el captal pedete de amortzar después de haberse pagado el -ésmo térmo amortzatvo. S represetamos gráfcamete el empréstto, teemos: C x N C x N a a 2 a a + a +2 a Tomado como puto de equvaleca facera el mometo, podemos calcular los títulos vvos a partr de los térmos amortzatvos pasados (método retrospectvo) o be a través de los térmos amortzatvos futuros (método prospectvo). o Cálculo de N + por el método retrospectvo Para el mometo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo, ha de ser gual a lo que recbó la etdad emsora e el mometo de emsó del empréstto meos lo ya pagado por ésta. 8

189 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Su represetacó gráfca será: C x N C x N a a 2 a Dode: C x N + C x N x (+) S(a,q) Despejado obteemos el valor de N + : N + C N ( + ) S( a, q) C o Cálculo de N + por el método prospectvo S aplcamos el método prospectvo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo, ha de ser gual al valor actual de la reta que forma los térmos amortzatvos pedetes de pago. Su represetacó gráfca será: C x N C x N a + a +2 a Dode: C x N + A(a +, q) - Despejado: N + A( a, q) + C 9

190 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos amortzados S para el cálculo de los títulos vvos teemos e cueta los títulos que ya ha sdo amortzados, tedremos: N + N - m Los títulos que queda pedetes de amortzar al co del período + será los títulos emtdos meos el total de títulos amortzados e los prmeros períodos. Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos pedetes de amortzar Otra posbldad es calcular los títulos vvos como la suma de los títulos que queda pedetes de amortzar e los período +, +2, +3,,. Es decr: N + M + + M +2 + M M 5. Cálculo de los tereses correspodetes al año + Los tereses que se paga e el período + será los correspodetes al úmero de títulos e crculacó al comezo de dcho período, por el omal de los títulos y por el tpo de terés pactado. I + C x x N + Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): 0% aual Térmo amortzatvo que aumeta aualmete u 5% Plazo de amortzacó (): 5 años Utlzado para su resolucó el procedmeto de redodeo 20

191 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS º Cálculo del térmo amortzatvo: C N A(a,q) A(a,,05) 5 0,0 a (,05) (,0) (,0) - (,05) ,29 a a q a ,95, ,05 a ,95 (,05) ,06 a ,95 (,05) ,46 a ,95 (,05) , º Cálculo de los títulos amortzados cada período: C N + C M , , M a M.409,29529 M a ( + ) C ( + M q ,29 M 2.409,29529 (,0) (,05).670, ,05 M 3.670,68958 (,0) (,05).964, ,06 M 4.964,24654 (,0) (,05) 2.293, ,46 M ,4836 (,0) (,05) 2.662, ) M.409 M.409 M M 2.67 M M M M M M ΣM ΣM

192 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 3º Cuadro de amortzacó: Período Títulos amortzad. Total títulos amortzados Títulos pedetes de amortzar Iterés Captal amortzado Aualdad práctca Emprésttos de cupó peródco costate y térmos amortzatvos varables e progresó artmétca Los emprésttos de cupó peródco costate, co térmos amortzatvos varables e progresó artmétca preseta las sguetes característcas: Los tereses se paga de maera peródca. Sus térmos amortzatvos varía de u período a otro e progresó artmétca de razó d. Sedo: a a + ( ) d El tpo de terés permaece costate para los dsttos períodos Su represetacó gráfca será: C x N a a + d a + 2d a +(-)d Para calcular los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó del empréstto debemos realzar las sguetes operacoes: 22

193 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS. Cálculo del térmo amortzatvo S plateamos la equvaleca facera e el mometo 0 y teedo e cueta que la prestacó (C x N ) ha de ser gual a la cotraprestacó (valor actual de la reta formada por los térmos amortzatvos) teemos que: C N A(a,d) d C N ( a + + d) a - d Despejado obtedremos el valor de a. Como las aualdades varía e progresó artmétca el mporte de la aualdad de u año cualquera gual a: a a + ( ) d 2. Cálculo de los títulos amortzados S partmos de la estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera teemos que: a C N + C M Luego podemos calcular el úmero de títulos amortzados e cada período de la sguete maera: Títulos amortzados e el prmer período: El térmo amortzatvo para el prmer período será gual a: a + C N C M E prmer lugar calculamos el mporte del térmo amortzatvo del prmer período. Al ser el resto de varables coocdas, calcularemos M despejado e la expresó ateror: a + C N C M a C N C M Títulos amortzados e el resto de períodos: Coocdo el térmo amortzatvo del prmer período podemos calcular el resto como a a + ( ) d. 23

194 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Sedo coocdos los térmos amortzatvos de dos períodos cosecutvos cualesquera y +, veamos s exste algua relacó etre los títulos amortzados e esos dos períodos. Período a C N + C M Período + a + C N + + C M + a a C ( N N + ) + C( M M ) + El úmero de títulos vvos al prcpo de u período va a ser gual a los títulos vvos al comezo del período ateror meos los títulos que se amortzaro e dcho período. Luego para u período cualquera tedremos: N + N M M N N + Por tato: a ( a + d) C ( N N ) + C( M M ) + + Será gual a: d C M + C( M M ) C M + C M ( + ) d + Despejado M + os queda: + M + M ( + ) + d C 3. Cálculo del total de títulos amortzados al fal del período Podemos calcular el total de títulos amortzados al fal del período de cualquera de las dos formas sguetes: Como la suma de los títulos amortzados durate los prmeros años: m M + M 2 + M M Como la dfereca etre los títulos emtdos y los títulos vvos: m N N + 24

195 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 4. Cálculo de los títulos vvos después del -ésmo sorteo Cálculo de los títulos vvos e fucó de los térmos amortzatvos Los títulos vvos después del -ésmo sorteo será los compreddos e el captal pedete de amortzar después de haberse pagado el -ésmo térmo amortzatvo. S represetamos gráfcamete el empréstto, teemos: C x N C x N a a 2 a a + a +2 a Tomado como puto de equvaleca facera el mometo podemos calcular los títulos vvos a partr de los térmos amortzatvos pasados (método retrospectvo) o be a través de los térmos amortzatvos futuros (método prospectvo). o Cálculo de N + por el método retrospectvo Para el mometo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo, ha de ser gual a lo que recbó la etdad emsora e el mometo de emsó del empréstto meos lo ya pagado por ésta. Su represetacó gráfca será: C x N C x N a a 2 a Dode: C x N + C x N x (+) S(a,d) 25

196 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Despejado obteemos el valor de N + : N + C N ( + ) C S( a, d) o Cálculo de N + por el método prospectvo S aplcamos el método prospectvo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo, ha de ser gual al valor actual de la reta que forma los térmos amortzatvos pedetes de pago. Su represetacó gráfca será: C x N C x N a + a +2 a Dode: C x N + A(a +, d) - Despejado: N + A( a, d) + C Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos amortzados S para su cálculo teemos e cueta los títulos que ya ha sdo amortzados, tedremos: N + N - m Los títulos que queda pedetes de amortzar al co del período + será los títulos emtdos meos el total de títulos amortzados e los prmeros períodos. 26

197 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos pedetes de amortzar Otra posbldad es calcular los títulos vvos como la suma de los títulos que queda pedetes de amortzar e los período +, +2, +3,,. N + M + + M +2 + M M 5. Cálculo de los tereses correspodetes al año + Los tereses que se paga e el período + será los correspodetes al úmero de títulos e crculacó al comezo de dcho período, por el omal de los títulos y por el tpo de terés pactado. I + C x x N + Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): 0% aual Térmo amortzatvo que aumeta aualmete e Plazo de amortzacó (): 5 años Utlzado para su resolucó el procedmeto de redodeo. º Cálculo del térmo amortzatvo: C N A(a,d) A(a,0.000) 5 0,0 d d C N ( a + + d) a ( a ) a 5 0,0-0,0 a a + ( ) d a , ,55 a , , ,0 a ,55 27

198 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS a , ,55 a , ,55 2º Cálculo de los títulos amortzados cada período: a C N + C M , , M M.69,87355 M + M ( + ) + M M M M d C ,87355 (,0) ,8609 (,0) ,04699 (,0) ,569 (,0) M.69 M.620 M 2.79 M M 3.98 M 3.98 M M M M ΣM ΣM º Cuadro de amortzacó:.79, , , ,06686 Período Aualdad teórca Títulos amortzad. Total títulos amortzados Títulos pedetes de amortzar Iterés Captal amortzado Aualdad práctca , , , , ,

199 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Emprésttos de cupó períodco co amortzacó de gual úmero de títulos e cada sorteo E estos emprésttos el úmero de títulos que se amortza e cada período es el msmo. El térmo amortzatvo rá dsmuyedo período a período. Esto se debe a que el térmo amortzatvo se dedca e parte al pago de los tereses de los títulos vvos y e parte al reembolso de los títulos que se amortza e ese período, por tato al ser gual el úmero de títulos que se amortza e cada período, el mporte del reembolso de los títulos amortzados para todos los períodos va a ser el msmo, y al r dsmuyedo el úmero de títulos vvos período a período, cada vez será feror el mporte ecesaro para el pago de cupoes. Los emprésttos de cupó peródco co amortzacó de gual úmero de títulos e cada período preseta las sguetes característcas: Los tereses se paga de maera peródca. Sus térmos amortzatvos varía de u período a otro. Sedo: a a2 a3... a El tpo de terés permaece costate para los dsttos períodos El úmero de títulos amortzados e cada sorteo es el msmo M M M... M M 2 3 Su represetacó gráfca será: C x N a a 2 a 3 a Para calcular los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó del empréstto debemos realzar las sguetes operacoes:. Cálculo del úmero de títulos amortzados Como el úmero de títulos que se amortza e cada período es el msmo, y además, la suma del total de títulos amortzados e los períodos de duracó del empréstto ha de ser gual al úmero de títulos emtdos, teemos que: 29

200 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS M M M... M M 2 3 N M + M + M M M 2 Despejado M os queda: 3 M N 2. Cálculo del total de títulos amortzados al fal del período Podemos calcular el total de títulos amortzados al fal del período de cualquera de las dos formas sguetes: Como la suma de los títulos amortzados durate los prmeros años: m M + M 2 + M M x M Como la dfereca etre los títulos emtdos y los títulos vvos: m N N + 3. Cálculo de los títulos vvos después del -ésmo sorteo Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos amortzados S para el cálculo de los títulos vvos teemos e cueta los títulos que ya ha sdo amortzados, tedremos: N + N - m N x M Los títulos que queda pedetes de amortzar al co del período + será los títulos emtdos meos el total de títulos amortzados e los prmeros períodos. Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos pedetes de amortzar Otra posbldad es calcular los títulos vvos como la suma de los títulos que queda pedetes de amortzar e los período +, +2, +3,,. Es decr: N + M + + M +2 + M M (-) x M 30

201 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 4. Cálculo de los tereses correspodetes al año + Los tereses que se paga e el período + será los correspodetes al úmero de títulos e crculacó al comezo de dcho período, por el omal de los título y por el tpo de terés pactado. I + C x x N + 5. Cálculo de los térmos amortzatvos El térmo amortzatvo de u año cualquera será gual a: a C N + M C Sedo a > a > a >... > 2 3 a Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): 0% aual Se amortza gual úmero de títulos cada año Plazo de amortzacó (): 5 años º Cálculo de los títulos amortzados cada período: M N títulos 5 2º Cuadro de amortzacó: Período Títulos amortzad Total títulos amortzados Títulos pedetes de amortzar Iterés Captal amortzado Aualdad

202 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Emprésttos de cupó peródco pospagable co tereses varables E estos emprésttos el pago de cupoes se realza peródcamete, sedo el tato de terés empleado para su cálculo varable. Vamos a realzar el estudo de este epígrafe a través de la resolucó de u caso práctco. Ejemplo: Dado u empréstto co las sguetes característcas: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 El mporte de los cupoes será: Para los cco prmeros años 40, para los cco sguetes 45 y 50 para los cco restates El mporte de los térmos amortzatvos de los cco prmeros años es la mtad del de los cco sguetes, y este a su vez, es la mtad del de los cco últmos Plazo de amortzacó (): 5 años Calcular: º La cuatía de los térmos amortzatvos 2º Títulos amortzados e el octavo sorteo 3º Títulos amortzados e los ueve prmeros sorteos º Cálculo del los térmos amortzatvos: C x N a a a a a 2a 2a 2a 2a 2a 4a 4a 4a 4a 4a años 2 5 años 3 5 años Vamos a calcular el mporte de los térmos amortzatvos plateado la equvaleca facera e el mometo cal, dode lo recbdo por la etdad emsora del empréstto ha de ser gual al valor actualzado de lo etregado por ésta e los dsttos períodos. ( 4a 2 ( ( + 2 ) N C a a + 2a a ) + a ) Dode: ,04 0,045 32

203 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS , a.000 a 5 0, a a 5 0,045 (,04) 5 + 4a a 5 0,05 (,04) (,045) 5 Despejado obteemos: a , a , a ,2-5 4a ,4 2º Cálculo de los títulos amortzados e el octavo sorteo: 2a C N + C M N 8 2a 4a a 3 0,045 + C C a 5 0,05 (,045) 3 N , a ,4 3 0, a 5 0,05 (,045) N , , , , M M.389, títulos 8 8 3º Títulos amortzados e los ueve prmeros sorteos: m 9 N N0 2a N0 (,045) a C a 5 0,05 (,045) ,2 N0 (,045).000 m , , ,4.000 a 5 0,05 (,045) N ,78 títulos 33

204 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Emprésttos de cupó peródco prepagable Empréstto de cupó peródco prepagable y térmo amortzatvo costate. Este empréstto se caracterza porque todos los térmos amortzatvos so de gual cuatía excepto el prmero, que tee lugar e el comezo de la operacó y que atede al pago atcpado de los tereses del prmer período. Los emprésttos de cupó peródco prepagable y térmos amortzatvos costates preseta las sguetes característcas: Los térmos amortzatvos se matee costates durate toda la vda del empréstto, co la excepcó del prmer pago que se realza al comezo de la operacó. a 0 C * N a a 2 a 3. a a El tato de terés prepagable també se matee costate a lo largo de la vda del empréstto. Gráfcamete se represetará como: C N 0 2 C * N a a a * Sedo C N el mporte de la prestacó y sedo los térmos amortzatvos (a) más el mporte del prmer pago C * N la cotraprestacó. La equvaleca facera e el orge será: C N C * N + a ( - * ) + a ( - * ) 2 + a ( - * ) a ( - * ) Sedo la estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera: a * N + C + M C 34

205 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS. Cálculo del térmo amortzatvo Como se acaba de ver la equvaleca facera e el orge es gual a: C N C * N + a ( - * ) + a ( - * ) 2 + a ( - * ) a ( - * ) De dode: C N - C * N a ( - * ) [ + ( - * )+ ( - * ) ( - * ) - ] Sedo los elemetos del corchete ua progresó geométrca decrecete de razó (-*). La suma de térmos de ua progresó geométrca decrecete es gual a: S a a r r S susttumos aquí, los valores de uestra progresó, obteemos: S (-) ( *) ( *) ( *) S (-) ( *) ( *) ( *) - ( *) * Es decr: * C N ( ) a ( - * ( ) * Smplfcado obteemos: * ) C N a ( * * ) S poemos la expresó ateror e fucó del tpo de terés vecdo e lugar del tato de terés atcpado * teemos que: C N a ( ) + + ( + ) a( + ) aä 35

206 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS La aualdad costate será segú acabamos de señalar: E fucó del tato de terés atcpado * a C N * * ( ) E fucó del tato de terés C N a ä 2. Cálculo de los títulos amortzados S partmos de la estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera teemos que: a C * N C + + M Podemos calcular el úmero de térmos amortzados e cada período de la sguete maera: Títulos amortzados e el últmo período: El térmo amortzatvo para el últmo período será gual a: a C M Despejado teemos que: a M C Títulos amortzados e el resto de períodos: Sedo coocdos y costates los térmos amortzatvos de dos períodos y + cosecutvos cualesquera, veamos s exste algua relacó etre los títulos amortzados e esos dos períodos. Período * C N + a + C M Período + a C N 2 + C M a a C * * + ( N N 2 ) + C( M M )

207 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS El úmero de títulos vvos al prcpo de u período va a ser gual a los títulos vvos al comezo del período ateror meos los títulos que se amortzaro e dcho período. Sedo: N + 2 N + M + M + N + N + 2 Por tato: a a C Será gual a: * ( N N 2 ) + C( M M ) + + * * C + + C M + ( ) C M 0 M + C( M M ) Smplfcado os queda: + M * M + ( ) S poemos M e fucó del últmo térmo tedremos: M M ( ) * 3. Cálculo del total de títulos amortzados Podemos calcular el total de títulos amortzados al fal del período de cualquera de las dos formas sguetes: Como la suma de los títulos amortzados durate los prmeros años: m M + M 2 + M M Como la dfereca etre los títulos emtdos y los títulos vvos: m N N + 4. Cálculo del úmero de títulos vvos Los títulos vvos después del -ésmo sorteo será los compreddos e el captal pedete de amortzar después de haberse pagado el - ésmo térmo amortzatvo. 37

208 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS S aplcamos el método prospectvo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo ha de ser gual al valor actual de la reta que forma los térmos amortzatvos pedetes de pago. C x N C x N Cx * x N + a a a Dode: C x N + Cx * x N + + a (-*) + a (-*) 2 + a (-*) 3 + +a (-*) - C x N + x (-*) a (-*) x (+ (-*)+ (-*) (-*) -- ) Sedo los elemetos del corchete ua progresó geométrca decrecete de razó (-*). La suma de térmos de ua progresó geométrca decrecete es gual a: S a a r r S susttumos aquí, los valores de uestra progresó, obteemos: S (--) ( *) ( *) ( *) - ( *) * - Es decr: C x N + x (- *) Despejado: ( *) a ( *) * N + a ( *) C * Los títulos vvos se puede calcular també e fucó de los títulos amortzados. Sedo: N + N - m 38

209 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Es decr los títulos que queda pedetes de amortzar al co del período + será los títulos emtdos meos el total de títulos amortzados e los prmeros períodos. Otra posbldad es calcular los títulos vvos como la suma de los títulos que queda pedetes de amortzar e los período +, +2, +3,,. N + M + + M +2 + M M 5. Cálculo de los tereses a pagar e el mometo Como los tereses se paga atcpadamete, los tereses que pagamos e el período será: I C * N + Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Cupó aual prepagable: 00 Plazo de amortzacó (): 5 años Térmo amortzatvo aual y costate (a) Utlzado para su resolucó el procedmeto de redodeo º Cálculo del térmo amortzatvo: * a C N * ( ) 0,0 a ( 0,0) ,8 2º Cálculo de los títulos amortzados cada período: a C M a M ,8.000 M 5 M , 9428 M M ( ) * M 2.44,9428 ( 0,0) ,

210 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS M M M ,9428 ( 0,0) ,9428 ( 0,0) ,9428 ( 0,0).977, , ,5868 M.602 M.602 M M M M M M M M ΣM ΣM º Cuadro de amortzacó: Período Títulos amortzados Total títulos amortzados Títulos ped. de amortzar Iterés Captal amortzado Aualdad Empréstto de cupó peródco prepagable co térmo amortzatvo varable. Los emprésttos de cupó peródco prepagable preseta las sguetes característcas: Los térmos amortzatvos so varables. a 0 C * N a a a a El tato de terés prepagable se matee costate a lo largo de la vda del empréstto. 40

211 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Gráfcamete se represetará: C N 0 2 C * N a a 2 a * Sedo C N el mporte de la prestacó y sedo los térmos amortzatvos más el mporte del prmer pago la cotraprestacó. La equvaleca facera e el orge será: C N C * N + a ( - * ) + a 2 ( - * ) 2 + a 3 ( - * ) a ( - * ) La estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera será: a N + C + M C * Empréstto de cupó peródco prepagable co térmo amortzatvo varable e progresó geométrca. Los emprésttos de cupó peródco costate prepagable, co térmos amortzatvos varables e progresó geométrca preseta las sguetes característcas: Los tereses prepagables se paga de maera peródca Sus térmos amortzatvos varía de u período a otro e progresó geométrca de razó q. Sedo: - Para 0 a C 0 N - Para 0 < a a q El tpo de terés prepagable permaece costate para los dsttos * * * * * períodos

212 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS. Cálculo del térmo amortzatvo Como se acaba de ver la equvaleca facera e el orge es gual a: C N C * N + a ( - * ) + a 2 ( - * ) 2 + a 3 ( - * ) a ( - * ) Dode: C N - C * N a ( - * ) + a q ( - * ) 2 + a q 2 ( - * ) a q - ( - * ) C N - C * N a ( - * ) [ + q ( - * )+ q 2 ( - * ) q - ( - * ) - ] Como [ + q( - * )+ q 2 ( - * ) q - ( - * ) - ] es la suma de térmos de ua progresó geométrca decrecete de razó q( - *), que como ya se vo es gual a: a S a r r S susttumos e la expresó los valores de uestra progresó os queda: q S ( *) q ( *) q ( *) Por lo tato y susttuyedo e la expresó de la equvaleca facera obteemos: C N (- * ) a ( * q ( *) ) q ( *) Smplfcado, obteemos: C N a Despejado: q ( ) * q ( ) C N a q ( *) q ( *) * 42

213 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 2. Cálculo de los títulos amortzados S partmos de la estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera teemos que: * C N + a + C M Luego podemos calcular el úmero de térmos amortzados e cada período de la sguete maera: Títulos amortzados e el últmo período: El térmo amortzatvo para el últmo período será gual a: a C M Despejado teemos que: M a C Títulos amortzados e el resto de períodos: Sedo coocdos los térmos amortzatvos de dos períodos cosecutvos y + cualesquera, veamos s exste algua relacó etre los títulos amortzados e esos dos períodos. Período a C N + + C M * Período + a + C N C M + a a * * + C + ( N + N + 2 ) + C( M M ) El úmero de títulos vvos al prcpo de u período va a ser gual a los títulos vvos al comezo del período ateror meos los títulos que se amortzaro e dcho período. Sedo: N + 2 N + M + M + N + N + 2 Por tato: a a * + C + ( N + N + 2 ) + C( M M ) Será gual a: a ( q) C * M + + C( M M + ) 43

214 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Operado os queda: M M + a ( * ) + ( q) C 3. Cálculo del total de títulos amortzados Podemos calcular el total de títulos amortzados al fal del período de cualquera de las dos formas sguetes: Como la suma de los títulos amortzados durate los prmeros años: m M + M 2 + M M Como la dfereca etre los títulos emtdos y los títulos vvos: m N N + 4. Cálculo del úmero de títulos vvos Los títulos vvos después del -ésmo sorteo será los compreddos e el captal pedete de amortzar después de haberse pagado el - ésmo térmo amortzatvo. S aplcamos el método prospectvo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo ha de ser gual al valor actual de la reta formada por los térmos amortzatvos pedetes de pago. C x N C x N Cx * x N + a + a +2 a Dode: C x N + Cx * x N + + a + (-*) + a +2 (-*) 2 + a +3 (-*) 3 + +a (-*) - C x N + x (-*) a + (-*) (+ q(-*)+ q 2 (-*) 2 + +q -- (-*) -- ) 44

215 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Como [ + q( - * )+ q 2 ( - * ) q -- ( - * ) -- ] es la suma de térmos de ua progresó geométrca decrecete de razó q( - *), que como ya se vo es gual a: a S a r r Susttuyedo e la expresó los valores de uestra progresó os queda: q S ( *) q ( *) q ( *) C x N + x (- *) a + q ( *) ( *) q( *) q( *) Despejado: a + N + C q ( *) q( *) També podemos calcular los títulos vvos e fucó de los títulos amortzados. Sedo: N + N m Es decr los títulos que queda pedetes de amortzar al co del período + será los títulos emtdos meos el total de títulos amortzados e los prmeros períodos. Otra posbldad es calcular los títulos vvos como la suma de los títulos que queda pedetes de amortzar e los período +, +2, +3,,. N + M + + M +2 + M M 5. Cálculo de los tereses a pagar e el mometo Como los tereses se paga atcpadamete, los tereses que pagamos e el período será: I C * N + 45

216 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título C:.000 Cupó aual prepagable: 00 Plazo de amortzacó (): 5 años Térmo amortzatvo aual varable e progresó geométrca de razó,05 Utlzado para su resolucó el procedmeto de redodeo º Cálculo del térmo amortzatvo: q ( ) C N a * q ( ) (,05) 5 ( 0,0) a,05 ( 0,0) a (,05) 5 ( 0,0) 5,05 ( 0,0) * ,25 a 2 a q ,25, ,66 2 a 3 a q ,25 (,05) ,5 3 a 4 a q ,25 (,05) ,75 4 a 5 a q ,25 (,05) ,49 2º Cálculo de los títulos amortzados cada período: a C M a M , M 5 M , * a ( q) M M + ( ) + C ,75 (,05) M 2.73,53049 ( 0,0) ,5 (,05) M ,75 ( 0,0) , ,

217 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS M M ,66 (,05) ,5 ( 0,0) ,25 (,05) ,66 ( 0,0) M.369 M.369 M M M M M M M M ΣM ΣM º Cuadro de amortzacó:.645, ,36472 Período Títulos amortzados Total títulos amortzados Títulos ped. De amortzar Iterés Captal amortzado Aualdad Empréstto de cupó peródco prepagable co térmo amortzatvo varable e progresó artmétca. Los emprésttos de cupó peródco costate prepagable, co térmos amortzatvos varables e progresó artmétca preseta las sguetes característcas: Los tereses prepagables se paga de maera peródca Sus térmos amortzatvos varía de u período a otro. Sedo: - Para 0 a 0 C N - Para 0 < a a + ( ) d El tpo de terés prepagable permaece costate para los dsttos * * * * * períodos

218 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS. Cálculo del térmo amortzatvo Como se acaba de ver la equvaleca facera e el orge es gual a: C N C * N + a ( - * ) + a 2 ( - * ) 2 + a 3 ( - * ) a ( - * ) De dode: C N - C * N a ( - * ) +( a +d) ( - * ) 2 +( a +2d) ( - * ) (a +(-)d) ( - * ) Sedo: C N - C * N ( - * ) [ a +(a +d) ( - * )+(a +2d) ( - * ) (a +(-)d( - * ) - ] Sacado factor comú: C N (-*) ( - * ) [ a + (a +d) ( - * )+ (a +2d) ( - * ) (a +(-)d)( - * ) - ] Smplfcado: C N [ a + (a +d) ( - * )+ (a +2d) ( - * ) (a +(-))( - * ) - ] Despejado aquí a úca varable descoocda obtedremos su valor. El térmo amortzatvo para u período cualquera será gual a: a a + ( ) d 2. Cálculo de los títulos amortzados S partmos de la estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera teemos que: * C N + a + C M Pudedo calcular el úmero de térmos amortzados e cada período de la sguete maera: Títulos amortzados e el últmo sorteo: El térmo amortzatvo para el últmo período será gual a: a C M 48

219 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Despejado teemos que: M a C Títulos amortzados e el resto de sorteos: Sedo coocdos los térmos amortzatvos de dos períodos cosecutvos y + cualesquera, veamos s exste algua relacó etre los títulos amortzados e esos dos períodos. Período a C N + + C M * Período + a + C N C M + a a * * + C + ( N + N + 2 ) + C( M M ) El úmero de títulos vvos al prcpo de u período va a ser gual a los títulos vvos al comezo del período ateror meos los títulos que se amortzaro e dcho período. Es decr: N + 2 N + M + M + N + N + 2 Por tato: a a * + C + ( N + N + 2 ) + C( M M ) Será gual a: a * ( a + d) C M + + C( M M + ) Operado os queda: M M + ( * ) d C 3. Cálculo del total de títulos amortzados Podemos calcular el total de títulos amortzados al fal del período de cualquera de las dos formas sguetes: Como la suma de los títulos amortzados durate los prmeros años: m M + M 2 + M M Como la dfereca etre los títulos emtdos y los títulos vvos: m N N + 49

220 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 4. Cálculo del úmero de títulos vvos Los títulos vvos después del -ésmo sorteo será los compreddos e el captal pedete de amortzar después de haberse pagado el - ésmo térmo amortzatvo. S aplcamos el método prospectvo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo ha de ser gual al valor actual de la reta formada por los térmos amortzatvos pedetes de pago. C x N C x N Cx * x N + a + a +2 a Dode: C x N + Cx * x N + + a + (-*) + a +2 (-*) 2 + a +3 (-*) 3 + +a (-*) - C x N + x (-*) a + (-*) + a +2 (-*) 2 + a +3 (-*) 3 + +a (-*) - S sacamos factor comú a (-*) C x N + x (-*) (-*)[a + + a +2 (-*) + a +3 (-*) 2 + +a (-*) -- ] S elmamos (-*) e ambos membros os queda: C x N + a + + a +2 (-*) + a +3 (-*) 2 + +a (-*) -- De la expresó ateror despejamos el valor de N +, ya que el resto de varables so coocdas. També podemos calcular los títulos vvos e fucó de los títulos amortzados, sedo: N + N - m Es decr los títulos que queda pedetes de amortzar al co del período + será los títulos emtdos meos el total de títulos amortzados e los prmeros períodos. Otra posbldad es calcular los títulos vvos como la suma de los títulos que queda pedetes de amortzar e los período +, +2, +3,,. N + M + + M +2 + M M 50

221 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 5. Cálculo de los tereses a pagar e el mometo Como los tereses se paga atcpadamete, los tereses que pagamos e el período será: I C * N + Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Cupó aual prepagable: 00 Plazo de amortzacó (): 5 años Térmo amortzatvo aual varable e progresó artmétca de razó Utlzado para su resolucó el procedmeto de redodeo º Cálculo del térmo amortzatvo: C N [ a + (a +d) ( - * )+ (a +2d) ( - * ) (a +(-)d( - * ) - ] [ a + (a ) ( 0,0)+ (a ) ( 0,0 ) 2 +(a ) ( 0,0 ) 3 +(a ) ( 0,0 ) 4 ] a ,95 a a + d , ,95 a a a 2 3 a + 2d , a + 3d , a + 4d , , , ,95 2º Cálculo de los títulos amortzados cada período: a C M , M 5 M , d M M * + ( ) C M ,03995 ( 0,0) 2.207, M ,63596 ( 0,0).976, M 2.976,87236 ( 0,0).769, M.769,852 ( 0,0).582,

222 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS M.582 M.582 M M M M M M M M ΣM ΣM º Cuadro de amortzacó: Período Títulos amortzados Total títulos amortzados Títulos ped. de amortzar Iterés Captal amortzado Aualdad Emprésttos de cupó peródco prepagable co gual úmero de títulos amortzados e cada sorteo E estos emprésttos el úmero de títulos que se amortza e cada período es el msmo. El térmo amortzatvo rá dsmuyedo período a período, debdo a que el térmo amortzatvo se dedca e parte al reembolso de los títulos que se amortza e ese período (parte del térmo amortzatvo costate ya que todos los períodos se amortza gual úmero de títulos) y e parte al pago de los tereses (parte del térmo amortzatvo decrecete debdo a que el úmero de títulos pedetes de amortzar va dsmuyedo período a período). Los emprésttos de cupó peródco prepagable co amortzacó de gual úmero de títulos e cada período preseta las sguetes característcas: Los tereses prepagables se paga de maera peródca Sus térmos amortzatvos varía de u período a otro. Sedo: a 0 C N a a a a El tpo de terés prepagable permaece costate para los dsttos * * * * * períodos El úmero de títulos amortzados e cada sorteo es el msmo M M M... M M

223 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Su represetacó gráfca será: C x N C x *x N a a 2 a 3 a Para calcular los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó del empréstto debemos realzar las sguetes operacoes:. Cálculo del úmero de títulos amortzados Como el úmero de títulos que se amortza e cada período es el msmo, y además, la suma del total de títulos amortzados e los períodos de duracó del empréstto ha de ser gual al úmero de títulos emtdos, teemos que: M M M... M M 2 3 N M + M + M M M 2 3 Despejado M os queda: M N 2. Cálculo del total de títulos amortzados al fal del período Podemos calcular el total de títulos amortzados al fal del período de cualquera de las dos formas sguetes: Como la suma de los títulos amortzados durate los prmeros años: m M + M 2 + M M x M Como la dfereca etre los títulos emtdos y los títulos vvos: m N N + 53

224 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 3. Cálculo de los títulos vvos después del -ésmo sorteo S calculamos los títulos vvos e fucó de los títulos amortzados, tedremos: N + N - m N x M Los títulos que queda pedetes de amortzar al co del período + será los títulos emtdos meos el total de títulos amortzados e los prmeros períodos. Otra posbldad es calcular los títulos vvos como la suma de los títulos que queda pedetes de amortzar e los período +, +2, +3,,. N + M + + M +2 + M M (-) x M 4. Cálculo de los tereses correspodetes al año + Como los tereses se paga atcpadamete, los tereses que pagamos e el período será: I C * N + 5. Cálculo de los térmos amortzatvos El térmo amortzatvo de u año cualquera será gual a: a C * N + M C + Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Cupó aual prepagable: 00 Se amortza gual úmero de títulos cada año Plazo de amortzacó (): 5 años º Cálculo de los títulos amortzados cada período: M N títulos 5 54

225 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 2º Cuadro de amortzacó: Período Aualdad Títulos amortzad. Total títulos amortzados Títulos pedetes de amortzar Iterés Captal amortzado Emprésttos co cupó peródco fraccoado Los emprésttos co cupó peródco fraccoado so aquellos e los que la perodcdad e el pago de cupoes es mayor que la exstete para el pago por amortzacó de títulos; es decr, se fraccoa el cupó pero o la cuota de amortzacó. La represetacó gráfca de este tpo de emprésttos será: m +m 2+m 2m C m N C m N C m N C m N 2 C m N 2 C m N C M C M 2 Para que podamos platear la equvaleca facera e el mometo cal teemos que hallar el cupó fraccoado equvalete expresado e la msma udad que se amortza los títulos; obteedo así u térmo amortzatvo equvalete a, al que se llegará captalzado los cupoes fraccoados a u tpo de terés m, al mometo m, e el que se produce el pago de los títulos que se amortza. Gráfcamete será: m C m N C m N C m N + C M a a C N m S m m + CM 55

226 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS També podemos platear la equvaleca facera e el mometo cal utlzado el tato de terés aual. S desarrollamos la expresó ateror os queda: ( + m ) a C N m + M C Como ( + ) m m m m S susttumos e la expresó ateror, obteemos: a C N m + M C C N + M C m Ua vez obtedos los térmos amortzatvos teórcos, pasamos al cálculo del úmero de títulos que se amortza e cada sorteo, del total de títulos amortzados y del úmero de títulos pedetes de amortzar, empleado para ello las fórmulas vstas para los emprésttos de térmos amortzatvos costates y de cupó peródco costate. Sólo varará el cálculo de los tereses que se paga e los dsttos subperíodos e que se dvde u período cualquera, que será: I xm C x m x N Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Los cupoes se paga cada trmestre sedo su mporte de 25 Plazo de amortzacó (): 5 años Las cuotas de amortzacó so costates Utlzado para su resolucó el procedmeto de redodeo 56

227 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS º Cálculo del térmo amortzatvo aual co el tato de terés aual: ( + m ) m (,025) 4 0, a - (,038289) 0, ,53 2º Cálculo de los títulos amortzados cada período: a C N + C M , , M.000 M , , ,59062 M M ( + ) M M M M.625,59062 (,038289) ,59062 (,038289) ,59062 (,038289) ,59062 (,038289).794, , , ,9843 M.625 M.626 M M M M 3.98 M M M M ΣM ΣM

228 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 3º Cuadro de amortzacó: Período Títulos amortzados Total títulos amortzados Títulos ped. de amortzar Iterés Captal amortzado Térmo amortzatvo Emprésttos de cupó acumulado Los emprésttos de cupó acumulado, també deomados emprésttos cupó cero, se caracterza porque los tereses se paga acumuladamete e el mometo e que se amortza el título. E estos emprésttos o se paga cupoes hasta el mometo de la amortzacó de los títulos, e el que se recbe el valor omal más los tereses acumulados. Los tereses que remuera la versó puede acumularse e régme de captalzacó smple o e régme de captalzacó compuesta. 58

229 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Los emprésttos de cupó acumulado e régme de captalzacó smple so aquellos emprésttos e los que los tereses que remuera la versó o se paga de maera peródca a los títulos vvos, so que se va acumulado e régme de captalzacó smple, recbédose e el mometo del reembolso del título su valor omal más los tereses acumulados. La estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera será: a C ( + ) M Los emprésttos cupó cero e régme de captalzacó compuesta so aquellos emprésttos e los que los tereses que remuera la versó o se paga de maera peródca a los títulos vvos, so que se va acumulado e régme de captalzacó compuesta, recbédose e el mometo del reembolso del título su valor omal más los tereses acumulados. La estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera será: a C ( + ) M E los sguetes epígrafes se va a tratar los dsttos tpos de emprésttos cupó cero e régme de captalzacó compuesta Emprésttos de cupó acumulado costate y térmo amortzatvo costate La represetacó gráfca de estos emprésttos será: C x N 0 2 a a a Dode C x N es el valor omal del empréstto y a es el mporte del térmo amortzatvo costate. 59

230 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Para calcular los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó del empréstto debemos realzar las sguetes operacoes:. Cálculo del térmo amortzatvo S plateamos la equvaleca facera e el mometo 0 y teedo e cueta que la prestacó (C x N ) ha de ser gual a la cotraprestacó (valor actual de la reta formada por los térmos amortzatvos) teemos que: C N a a a C N - - ( + ) 2. Cálculo de los títulos amortzados S partmos de la estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera, teemos que: a C ( + ) M Luego podemos calcular el úmero de títulos amortzados e cada período de la sguete maera: Títulos amortzados e el prmer período: El térmo amortzatvo para el prmer período será gual a: a ( M C + ) E prmer lugar calculamos el mporte del térmo amortzatvo costate. Al ser el resto de varables coocdas, calcularemos M despejado e la expresó ateror: a ( M C + ) a M C ( + ) 60

231 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Títulos amortzados e el resto de períodos: Sedo coocdos y costates los térmos amortzatvos de dos períodos cosecutvos y + cualesquera, veamos s exste algua relacó etre los títulos amortzados e esos dos períodos. Período a C ( + ) M Período + a C ( + ) + M + a a C ( + ) C ( + ) + M M + Smplfcado os queda: M M M M + + ( + ) + lo cual sgfca que cada térmo es gual al ateror multplcado por, por tato tedremos: + Período º M Período 2º M 2 M + Período 3º Período + M M 3 M + 2 M M + M + ( + ) 2 ( + ) Período M M M + ( + ) 6

232 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 3. Cálculo del total de títulos amortzados al fal del período Podemos calcular el total de títulos amortzados al fal del período de cualquera de las dos formas sguetes: Como la suma de los títulos amortzados durate los prmeros años: m M + M 2 + M M S poemos los títulos amortzados e cada período e fucó de M, teemos: m M + M M + ( + ) M + ( + ) M ( + ) 2 3 ( + ) De dode sacado factor comú a M os queda: m M + ( + + ) ( + ) 2 + ( + ) ( + ) Sedo el corchete gual a la suma de térmos de ua progresó geométrca decrecete de razó (+) - La suma de térmos de ua progresó geométrca decrecete es gual a: S a a r - r Dode: o a es el prmer térmo de la progresó o a es el últmo térmo de la progresó o r es gual a la razó Susttuyedo e la fórmula los valores de uestra progresó, os queda: ( ) ( + ) ( + ) ( + ) S ( + ) ä - - ( + ) De dode resulta que: m M ä m M ä 62

233 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Como la dfereca etre los títulos emtdos y los títulos vvos: m N N + 4. Cálculo de los títulos vvos después del -ésmo sorteo Cálculo de los títulos vvos e fucó de los térmos amortzatvos Los títulos vvos después del -ésmo sorteo será los compreddos e el captal pedete de amortzar después de haberse pagado el -ésmo térmo amortzatvo. S represetamos gráfcamete el empréstto, teemos: C x N C x (+) x N a a a a a a Tomado como puto de equvaleca facera el mometo podemos calcular los títulos vvos a partr de los térmos amortzatvos pasados (método retrospectvo) o be a través de los térmos amortzatvos futuros (método prospectvo). o Cálculo de N + por el método retrospectvo Para el mometo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo ha de ser gual a lo que recbó la etdad emsora e el mometo de emsó del empréstto meos lo ya pagado por ésta. Su represetacó gráfca será: C x (+) x N C x N a a a Sedo: C x (+) x N + C x N x (+) a S 63

234 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Despejado obteemos el valor de N + : N + C N ( + ) C ( + ) as o Cálculo de N + por el método prospectvo S aplcamos el método prospectvo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo ha de ser gual al valor actual de la reta formada por los térmos amortzatvos pedetes de pago. Su represetacó gráfca será: C x N C x (+) x N a a a Dode: C x (+) x N + a a - Despejado: N + a C ( + ) a - Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos amortzados S para el cálculo de los títulos vvos teemos e cueta los títulos que ya ha sdo amortzados, tedremos: N + N - m Los títulos que queda pedetes de amortzar al co del período + será los títulos emtdos meos el total de títulos amortzados e los prmeros períodos. 64

235 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos pedetes de amortzar Otra posbldad es calcular los títulos vvos como la suma de los títulos que queda pedetes de amortzar e los período +, +2, +3,,. N + M + + M +2 + M M Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 No se produce aboo de cupoes acumuládose hasta el mometo del sorteo al 0%. Plazo de amortzacó (): 5 años Térmo amortzatvo aual y costate (a) Utlzado para su resolucó el procedmeto de redodeo º Cálculo del térmo amortzatvo: C N a a a a 5 0, a ,8-5 - (,0) 0,0 2º Cálculo de los títulos amortzados cada período: a C ( + ) M ,8.000,0 M M 2.398,5898 M M ( + ) M 2.398,5898, ,

236 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS M M M 2.398,5898 2, ,5898 3, ,5898 4,0 5.98, , , M M2.398 M M M 3.98 M M 4.80 M M M ΣM ΣM º Cuadro de amortzacó: Período Títulos amortzados Total títulos amortzados Títulos ped. de amortzar Nomal títulos amortzados Aualdad (Nomal+It. acumulados) Itereses pagados , , , , , , , , , , , , , , , Emprésttos de cupó acumulado costate y térmo amortzatvo varable Estos emprésttos preseta las sguetes característcas: Los tereses se paga de maera acumulada. Sus térmos amortzatvos varía de u período a otro a aa a3... a El tpo de terés permaece costate para los dsttos períodos

237 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Emprésttos de cupó acumulado costate y térmo amortzatvo varable e progresó geométrca Los emprésttos de cupó peródco costate, co térmos amortzatvos varables e progresó geométrca preseta las sguetes característcas: Los tereses se paga acumuladamete e el mometo de amortzacó de los títulos. Sus térmos amortzatvos varía de u período a otro e progresó geométrca de razó q. Sedo: a a q El tpo de terés permaece costate para los dsttos períodos Su represetacó gráfca será: C x N a a x q a x q 2 a x q - Para calcular los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó del empréstto debemos realzar las sguetes operacoes:. Cálculo del térmo amortzatvo S plateamos la equvaleca facera e el mometo 0 y teedo e cueta que la prestacó (C x N ) ha de ser gual a la cotraprestacó (valor actual de la reta formada por los térmos amortzatvos) teemos que: C N A(a,q) Al calcular el térmo amortzatvo os podemos ecotrar co dos stuacoes: ( + ) q E cuyo caso el cálculo del térmo amortzatvo será: C N q ( + ) a ( + ) q 67

238 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS a - q ( C N - ( + ) + ) - q Sedo el mporte de la aualdad de u año cualquera gual a: a a q ( + ) q E cuyo caso el cálculo del térmo amortzatvo será: a ( + ) C N a C N ( + ) 2. Cálculo de los títulos amortzados S partmos de la estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera teemos que: a C ( + ) M Podemos calcular el úmero de títulos amortzados e cada período de la sguete maera: Títulos amortzados e el prmer período: El térmo amortzatvo para el prmer período será gual a: C + ) a ( M E prmer lugar calculamos el mporte del térmo amortzatvo del prmer período. Al ser el resto de varables coocdas, calcularemos M despejado e la expresó ateror: a ( M C + ) M a C ( + ) 68

239 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Títulos amortzados el resto de períodos: Ua vez coocdo el mporte del prmer térmo amortzatvo podremos calcular el resto como a a q. Sedo coocdos los térmos amortzatvos de dos períodos cosecutvos cualesquera y +, veamos s exste algua relacó etre los títulos amortzados e esos dos períodos. Período a C ( + ) M Período + a + C ( + ) M + a + C ( + ) + + C ( + ) a Como a + a q susttuyedo y smplfcado e la ecuacó ateror se obtee: q M + M ( + ) Despejado M + os queda: M + M q ( + ) M M + 3. Cálculo del total de títulos amortzados al fal del período Podemos calcular el total de títulos amortzados al fal del período de cualquera de las dos formas sguetes: Como la suma de los títulos amortzados durate los prmeros años: m M + M 2 + M M Como la dfereca etre los títulos emtdos y los títulos vvos: m N N + 69

240 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 4. Cálculo de los títulos vvos después del -ésmo sorteo Cálculo de los títulos vvos e fucó de los térmos amortzatvos Los títulos vvos después del -ésmo sorteo será los compreddos e el captal pedete de amortzar después de haberse pagado el -ésmo térmo amortzatvo. S represetamos gráfcamete el empréstto, teemos: C x N C x (+) x N a a 2 a a + a +2 a Tomado como puto de equvaleca facera el mometo podemos calcular los títulos vvos a partr de los térmos amortzatvos pasados (método retrospectvo) o be a través de los térmos amortzatvos futuros (método prospectvo). o Cálculo de N + por el método retrospectvo Para el mometo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo ha de ser gual a lo que recbó la etdad emsora e el mometo de emsó del empréstto meos lo ya pagado por ésta. Su represetacó gráfca será: C x (+) x N C x N a a 2 a Sedo: C x N + x (+) C x N x (+) S(a,q) 70

241 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Despejado obteemos el valor de N + : N + [ C N + ) S( a, q) ] ( C ( + ) o Cálculo de N + por el método prospectvo S aplcamos el método prospectvo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo ha de ser gual al valor actual de la reta formada por los térmos amortzatvos pedetes de pago. Su represetacó gráfca será: C x N C x (+) x N a + a +2 a Dode: C x N + x (+) A(a +, q) - Despejado: N + A( a, q) + C ( + ) Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos amortzados S para su cálculo teemos e cueta los títulos que ya ha sdo amortzados, tedremos: N + N - m 7

242 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Los títulos que queda pedetes de amortzar al co del período + será los títulos emtdos meos el total de títulos amortzados e los prmeros períodos. Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos pedete de amortzar Otra posbldad es calcular los títulos vvos como la suma de los títulos que queda pedetes de amortzar e los período +, +2, +3,,. N + M + + M +2 + M M Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): 0% aual Térmo amortzatvo que aumeta aualmete u 5% Plazo de amortzacó (): 5 años Utlzado para su resolucó el procedmeto de redodeo º Cálculo del térmo amortzatvo: C N A(a,q) A(a,,05) 5 0,0 a (,05) (,0) (,0) - (,05) ,29 a a q a ,95, ,05 a ,95 (,05) ,06 a ,95 (,05) ,46 a ,95 (,05) ,

243 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 2º Cálculo de los títulos amortzados cada período: a C + ) ( M , (,0) M M 2.90, M M M M M + M q ( + ), ,268445, ,70788, ,70788,0.995, ,05.995,67848,0 4,05.904,965822, , , M 2.90 M 2.90 M M M M M M M 5.88 M 5.88 ΣM ΣM º Cuadro de amortzacó: Período Títulos amortzados Total títulos amortzados Títulos ped. de amortzar Nomal títulos amortzados Aualdad (Nomal+It. acumulados) Itereses pagados , , , , , , , , , , , , , , ,8 73

244 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Emprésttos de cupó acumulado costate y térmo amortzatvo varable e progresó artmétca Los emprésttos de cupó acumulado costate, co térmos amortzatvos varables e progresó artmétca preseta las sguetes característcas: Los tereses se paga de maera acumulada e el mometo e que se produce la amortzacó del título. Sus térmos amortzatvos varía de u período a otro e progresó artmétca de razó d. Sedo: a a + ( ) d El tpo de terés permaece costate para los dsttos períodos Su represetacó gráfca será: C x N a a + d a + 2d a +(-)d Para calcular los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó del empréstto debemos realzar las sguetes operacoes:. Cálculo del térmo amortzatvo S plateamos la equvaleca facera e el mometo 0 y teedo e cueta que la prestacó (C x N ) ha de ser gual a la cotraprestacó (valor actual de la reta formada por los térmos amortzatvos) teemos que: C N A(a,d) d d C N ( a + + d) a - Despejado obtedremos el valor de a Como las aualdades varía e progresó artmétca el mporte de la aualdad de u año cualquera será gual a: a a + ( ) d 74

245 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 2. Cálculo de los títulos amortzados S partmos de la estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera teemos que: a C ( + ) M Podemos calcular el úmero de títulos amortzados e cada período de la sguete maera: Títulos amortzados e el prmer período: El térmo amortzatvo para el prmer período será gual a: a ( M C + ) E prmer lugar calculamos el mporte del térmo amortzatvo del prmer período. Al ser el resto de varables coocdas, calcularemos M despejado e la expresó ateror: a ( M C + ) M a C ( + ) Títulos amortzados e el resto de períodos: Coocdo el térmo amortzatvo del prmer período podemos calcular el resto como a a + ( ) d. Sedo coocdos los térmos amortzatvos de dos períodos cosecutvos cualesquera y +, veamos s exste algua relacó etre los títulos amortzados etre esos dos períodos. Período a C ( + ) M + Período + a + C ( + ) M + a C ( + ) + + C ( + ) a Como a + a + d s susttumos e la expresó ateror y despejamos resulta: M + M d + C ( + ) + ( + ) M M + M + M d + C ( + ) + ( + ) 75

246 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 3. Cálculo del total de títulos amortzados al fal del período Podemos calcular el total de títulos amortzados al fal del período de cualquera de las dos formas sguetes: Como la suma de los títulos amortzados durate los prmeros años: m M + M 2 + M M Como la dfereca etre los títulos emtdos y los títulos vvos: m N N + 4. Cálculo de los títulos vvos después del -ésmo sorteo Cálculo de los títulos vvos e fucó de los térmos amortzatvos Los títulos vvos después del -ésmo sorteo será los compreddos e el captal pedete de amortzar después de haberse pagado el -ésmo térmo amortzatvo. S represetamos gráfcamete el empréstto, teemos: C x N C x (+) x N a a 2 a a + a +2 a Tomado como puto de equvaleca facera el mometo podemos calcular los títulos vvos a partr de los térmos amortzatvos pasados (método retrospectvo) o be a través de los térmos amortzatvos futuros (método prospectvo). o Cálculo de N + por el método retrospectvo Para el mometo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo, ha de ser gual, a lo que recbó la etdad emsora e el mometo de emsó del empréstto meos lo ya pagado por ésta. 76

247 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Su represetacó gráfca será: C x (+) x N C x N a a 2 a Dode: C x N + x (+) C x N x (+) S(a,d) Despejado obteemos el valor de N + : N + [ C N + ) S( a, d) ] ( C ( + ) o Cálculo de N + por el método prospectvo S aplcamos el método prospectvo se tee que cumplr que la amortzacó atcpada de todos los títulos que aú queda vvos tras el pago del -ésmo térmo amortzatvo ha de ser gual al valor actual de la reta formada por los térmos amortzatvos pedetes de pago. Su represetacó gráfca será: C x N C x (+) x N a + a +2 a Dode: C x N + x (+) A(a +, d) - Despejado: N + A( a, d) + C ( + ) 77

248 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos amortzados S para el cálculo de los títulos vvos teemos e cueta los títulos que ya ha sdo amortzados, tedremos: N + N - m Los títulos que queda pedetes de amortzar al co del período + será los títulos emtdos meos el total de títulos amortzados e los prmeros períodos. Cálculo de los títulos vvos e fucó de los títulos pedetes de amortzar Otra posbldad es calcular los títulos vvos como la suma de los títulos que queda pedetes de amortzar e los período +, +2, +3,,. N + M + + M +2 + M M Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): 0% aual Térmo amortzatvo que aumeta aualmete e Plazo de amortzacó (): 5 años Utlzado para su resolucó el procedmeto de redodeo. º Cálculo del térmo amortzatvo: C N A(a,d) A(a,0.000) 5 0,0 d C N ( a + + d) a - d ( a ) a 5 0,0-0,0 a , ,0 78

249 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS a a + d a , ,55 a , ,55 3 a , ,55 a , ,55 5 2º Cálculo de los títulos amortzados cada período: C + ) a ( M , (,0) M M 2.38, M M M M M M d + + ( + ) c ( + ) 2.38, ,0.000,0 2.73, ,0.000, , ,0.000,0.809, ,0.000, M 2.38 M M M M M M M 4.80 M 5.65 M ΣM ΣM , , , ,5722 3º Cuadro de amortzacó: Período Títulos amortzados Total títulos amortzados Títulos ped. de amortzar Nomal títulos amortzados Aualdad (Nomal+It. acumulados) Itereses pagados , , , , , , , , , , , , , , ,52 79

250 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Emprésttos de cupó acumulado costate co gual úmero de títulos amortzados e cada sorteo Los tereses se paga de maera acumulada e el mometo de amortzacó de los títulos. Sus térmos amortzatvos varía de u período a otro. Sedo: a a a a El tpo de terés permaece costate para los dsttos períodos El úmero de títulos amortzados e cada sorteo es el msmo M M M... M M 2 3 Su represetacó gráfca será: C x N a a 2 a 3 a Para calcular los dsttos elemetos del cuadro de amortzacó del empréstto debemos realzar las sguetes operacoes:. Cálculo del úmero de títulos amortzados Como el úmero de títulos que se amortza e cada período es el msmo, y además, la suma del total de títulos amortzados e los períodos de duracó del empréstto ha de ser gual al úmero de títulos emtdos, teemos que: M M M... M M 2 3 N M + M + M M M 2 Despejado M os queda: N M 3 80

251 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 2. Cálculo del total de títulos amortzados al fal del período Podemos calcular el total de títulos amortzados al fal del período de cualquera de las dos formas sguetes: Como la suma de los títulos amortzados durate los prmeros años: m M + M 2 + M M x M Como la dfereca etre los títulos emtdos y los títulos vvos: m N N + 3. Cálculo de los títulos vvos después del -ésmo sorteo Los títulos vvos se calcula e fucó de los títulos amortzados. N + N - m N x M Los títulos que queda pedetes de amortzar al co del período + será los títulos emtdos meos el total de títulos amortzados e los prmeros períodos. Otra posbldad es calcular los títulos vvos como la suma de los títulos que queda pedetes de amortzar e los período +, +2, +3,,. N + M + + M +2 + M M (-) x M 4. Cálculo de los térmos amortzatvos El térmo amortzatvo de u año cualquera será gual a: a C ( + ) M 8

252 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): 0% aual Se amortza gual úmero de títulos cada año Plazo de amortzacó (): 5 años º Cálculo de los títulos amortzados cada período: M N títulos 5 2º Cuadro de amortzacó: Período Títulos amortzad. Total títulos amortzados Títulos pedetes de amortzar Nomal títulos amortzados Aualdad (Nomal+It. acumulados) Itereses pagados , , , , , , , , , , EMPRÉSTITOS CON CARACTERÍSTICAS COMERCIALES E los emprésttos ormales o puros el térmo amortzatvo se compoe de ua parte destada al pago de los tereses y otra que se desta al reembolso por el omal de los títulos que correspoda amortzar. Es posble també que la etdad emsora de los emprésttos decda reembolsar los títulos repartedo etre los que resulte amortzados ua determada catdad (lote), o que el reembolso de los títulos se realce por u mporte superor al valor omal (prma de amortzacó). També es posble que se establezca que los títulos que se amortza perda el derecho a percbr el últmo cupó. Todas estas so característcas comercales que puede presetar los emprésttos, y que afecta al térmo amortzatvo y al terés efectvo del ete emsor, de los oblgacostas o de los títulos. 82

253 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Podemos clasfcar las característcas comercales como: Característcas comercales que o afecta al térmo amortzatvo y sólo afecta al terés efectvo del ete emsor, de los oblgacostas y de u título. o Prma de emsó: Exste la posbldad de que los títulos se adquera por debajo del valor omal, dado lugar a la prma de emsó. Ésta se lquda e el mometo de la emsó, o afectado al cálculo del térmo amortzatvo. o Gastos cales: Los gastos cales so gastos heretes a la emsó del empréstto. Estos puede ser gastos de regstro, otarales, de publcdad,... Estos gastos se produce e la emsó del empréstto y corre por cueta del emsor salvo que se establezca lo cotraro. El oblgacosta també puede teer gastos cales dervados de la adquscó de los títulos. o Gastos fales: Los gastos fales so los gastos heretes a la cacelacó del empréstto. Estos gastos se produce e el mometo de la amortzacó total del empréstto y corre por cueta del ete emsor. Característcas comercales que afecta al térmo amortzatvo y al terés efectvo del ete emsor, de los oblgacostas y de u título o Prma de amortzacó: Exste prma de amortzacó cuado el reembolso de los títulos se realza por u mporte superor al valor omal. La exsteca de la prma de amortzacó afecta al cálculo del térmo amortzatvo y al cuadro de la operacó. Cuado exste prma de amortzacó el térmo amortzatvo o aualdad de u mometo cualquera será: a N c + M ( c p) + 83

254 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS o Lote: Es ua catdad que el ete emsor establece que se etregue a alguos títulos e el mometo de su amortzacó. Cuado exste lote el térmo amortzatvo o aualdad de u mometo cualquera será: a N c + M c + L o Amortzacó seca: La amortzacó seca cosste e la pérdda para los títulos que se amortza del últmo cupó. Cuado exste amortzacó seca o pérdda del últmo cupó el térmo amortzatvo o aualdad de u mometo cualquera será: a N c + M c M c o Gastos de admstracó: Los gastos de admstracó so gastos soportados por el ete emsor debdo a la gestó del empréstto. El oblgacosta també puede soportar gastos de admstracó: las comsoes de matemeto de u título. Cuado exste gastos de admstracó el térmo amortzatvo o aualdad de u mometo cualquera será: a [ N c + M c] + g[ N c + M c] o Impuestos: Los mpuestos afecta tato al ete emsor como a los oblgacostas. Los mpuestos que corre a cargo del ete emsor al poer e crculacó los títulos, al amortzarlos, e el levatameto de las garatías. Los oblgacostas també soporta cargas fscales debdo a los redmetos que percbe. Los emprésttos co característcas comercales se resuelve de la sguete forma: Partmos del térmo amortzatvo del empréstto que estemos estudado y operamos matemátcamete hasta llegar al térmo amortzatvo del empréstto ormal. 84

255 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Supogamos u empréstto de cupó peródco costate y pospagable, térmo amortzatvo costate que preseta las sguetes característcas comercales: Número de títulos emtdos: N Valor omal de los títulos: c Prma de amortzacó de los títulos: P Pago de u lote de cuatía L e cada sorteo Los títulos que se amortza e cada sorteo perde el derecho al cobro del últmo cupó Gastos de admstracó: g (porcetaje sobre los pagos) Térmo amortzatvo del empréstto co característcas comercales: [ c N + ( c + P c ) M + L] + g [ c N + ( c + P c M L] a ) + S sacamos factor comú a los elemetos del corchete os queda: [ c N + ( c + P c ) M + L] ( g) a + Pasamos dvdedo al otro lado de la expresó (+g) ( a + g ) [ c N + ( c + P c ) M L] + Pasamos restado al otro lado de la expresó L a L c N ( + g) + ( c + P c ) M Dvdmos por c + P c toda la expresó a c N ( c + P c ) M L + ( + g) c + P c c + P c c + P c Multplcamos por c toda la expresó a c c N c L + M ( + g) c + P c c + P c Sedo: a c a L ( + g) c + P c c c + P c c 85

256 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Por tato el térmo amortzatvo ormalzado será: a c N + c M Ua vez que hemos obtedo la estructura del térmo amortzatvo ormalzado obtedremos su valor plateado la equvaleca e el mometo 0 c N a a Obtedremos el valor del térmo amortzatvo o aualdad comercal a susttuyedo e la expresó del térmo amortzatvo ormalzado a c a L ( + g) c + P c Falmete se pasará al cálculo del resto de elemetos del cuadro de amortzacó del empréstto Todas las fórmulas que se ha vsto para el empréstto de cupó peródco costate y térmo amortzatvo costate puro o s característcas comercales srve para el cálculo de los títulos amortzados, de los títulos vvos y del total de títulos amortzados del empréstto de cupó peródco costate y térmo amortzatvo costate s e ellas susttumos a por a e por. La úca excepcó es el cálculo de los tereses o cupó, e el que es válda la fórmula del empréstto puro y o se susttuye por. Cálculo del úmero de títulos amortzados Cálculo del úmero de térmos amortzados e el prmer sorteo a c N + M c M a c N c Cálculo del úmero de títulos amortzados e el resto de sorteos M + M ( + ) M ( + ) Cálculo del total de títulos amortzados m M S m N N + 86

257 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Cálculo de los títulos vvos N + c a a - N + N - m N + M + + M +2 + M M Cálculo de los tereses I + C N + Para el cálculo de los tereses empleamos el tato de terés del empréstto y o el tato de terés ormalzado. Acabamos de ver cómo se operaría para los emprésttos de cupó peródco costate y térmo amortzatvo costate co característcas comercales. La operatora para la resolucó de otros tpos de emprésttos se desarrollará a través de la realzacó de los sguetes ejemplos. Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (c):.000 Tpo de terés (): 0% aual Térmo amortzatvo costate Plazo de amortzacó (): 5 años Característcas comercales: o Prma de amortzacó : 50 o Lote: o Pérdda del derecho al cobro del últmo cupó Utlzado para su resolucó el procedmeto de redodeo º Cálculo del térmo amortzatvo: El térmo amortzatvo estará compuesto por ua parte destada al pago de tereses de los títulos vvos, teedo e cueta que los títulos que se amortza e el período perde el derecho al cobro del cupó, otra por el reembolso de los títulos correspodetes por su valor omal más la prma de amortzacó y otra destada al pago del lote. La estructura de la aualdad para u año cualquera será: a ( N M ) c + M ( c + P) + L 87

258 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Ahora vamos a ormalzar la estructura del térmo amortzatvo: º Pasamos L al otro membro de la ecuacó: a L N c + M ( c + P c ) 2º Dvdmos por c + P c toda la expresó a L c N + M c + P c c + P c 3º Multplcamos por c toda la expresó c c ( a L) c N + M c c + P c c + P c Dode: c a ( a L) c + P c c c + P c Sedo el térmo amortzatvo ormalzado gual a: a C N + M C Vamos ahora a calcular los valores de y a : C.000 0,0 0, C + P C S plateamos la equvaleca e el mometo 0 os queda que: c N a a N c a ( + ) (,052635) 0, ,52 Ua vez que coocemos el valor de a obtedremos el valor de a susttuyedo e el cambo de varable: c a ( a L) c + P c 88

259 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS ,52 ( a ) a , º Cálculo de los títulos amortzados cada período: a N c + M c + M P M c + L , , M ( ) M.620, També podremos realzar el cálculo de los títulos amortzados e el prmer período utlzado el térmo amortzatvo y el tato de terés ormalzados. a N c M c , , M.000 M.620, M M ( + ) ( ) M 2.620, (, ).79, M 3.620, (, ).980,2684 M 4.620, (, ) 2.88, M 5.620, (, ) 2.48, M.620 M.62 M 2.79 M 2.79 M M M M M M ΣM ΣM

260 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 3º Cuadro de amortzacó: Período Títulos amortzad Total títulos amortzados Títulos pedetes de amortzar Iterés () Captal amortzado (2) Prma (3) Lote (4) Aualdad práctca (*) (*)()+(2)+(3)+(4) Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (c):.000 Tpo de terés (): 0% aual Amortzádose gual úmero de títulos cada año Plazo de amortzacó (): 0 años Característcas comercales: o Prma de amortzacó : 00 o Lote: o Pérdda del derecho al cobro del últmo cupó o Gastos de admstracó: por 000 de las catdades pagadas Cuadro de amortzacó: La estructura de la aualdad para u año cualquera será: a [( N M ) c + M ( c + p) + L] ( g) + E los emprésttos e los que se amortza el msmo úmero de títulos e cada sorteo o es ecesaro realzar la ormalzacó e el caso de que exsta característcas comercales. Las característcas comercales afectará al cálculo del térmo amortzatvo y a la ley de recurreca que éstos sgue. Ua vez coocda la estructura del térmo amortzatvo calculamos el úmero de títulos que se amortza e cada período M M 2 M 3... M

261 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Período Títulos pedetes de amortzar Títulos amortzad Total títulos amortzados Iterés () Captal amortzado (2) Lote (3) Gastos de Admó. (4) Aualdad práctca (*) (*)()+(2)+(3)+(4) Ejemplo: Realzar el cuadro de amortzacó del sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (c):.000 Tpo de terés (): % aual Térmo amortzatvo varable e progresó geométrca de razó,04 Plazo de amortzacó (): 5 años Característcas comercales: o Prma de amortzacó : 00 o Lote: 0.000, aumetado aualmete e Calcular: º El térmo amortzatvo o aualdad del prmer año 2º Títulos pedetes de amortzar después del 4º sorteo º Cálculo del térmo amortzatvo o aualdad del prmer período: El térmo amortzatvo estará compuesto por ua parte destada al pago de tereses de los títulos vvos, otra al reembolso de los títulos que resulte amortzados e el período por su valor omal más la prma de amortzacó y otra parte destada al pago del lote. La estructura de la aualdad para u año cualquera será: a N c + M ( c + P) + L 9

262 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Ahora vamos a ormalzar la estructura del térmo amortzatvo: º Pasamos restado al otro lado de la expresó L a L c N + ( c + P) M 2º Dvdmos por c + P toda la expresó c + P c N c + P [ a L ] + ( c + P) M c + P 3º Multplcamos por c toda la expresó c c + P c N c c + P [ a L ] + M c Sedo: c a c + P [ a L ] c.000 0, 0,0 c + P.00 Por tato el térmo amortzatvo ormalzado será: a c N + c M Para calcular el valor del térmo amortzatvo vamos a realzar las sguetes operacoes: Plateamos la equvaleca facera e el mometo cal de la reta etre el omal del empréstto y los térmos amortzatvos teórcos c a c + P [ a L ] K c N a ( + ) Cuado exsta característcas comercales, y los térmos amortzatvos o los lotes, varíe e progresó geométrca o e progresó artmétca, se va a operar co sumatoros e lugar de co retas, ya que es posble que estas o sga gú tpo de ley de recurreca. 92

263 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS El sguete paso es susttur el valor a por el valor obtedo e el proceso de ormalzacó. c ( a K c N L ) ( c + P) ( + ) Ahora sacamos del sumatoro K c N c ( a L ) + + ( c P) ( ) c al tratarse de ua costate. ( c + p) Segudamete se descompodrá el sumatoro e dos partes, por u lado quedará los térmos amortzatvos que varía e progresó geométrca y por el otro los lotes que varía e progresó artmétca. c N c a L ( c + P) ( + ) ( + ) K a ( + ) es gual al valor actual de ua reta de térmos varables e progresó geométrca de razó q y valorada al tato de terés K L ( + ) de razó es gual al valor actual de ua reta de térmos varables e progresó artmétca y valorada al tato de terés S susttumos e la expresó ateror los sumatoros por el valor actual de las retas, obteemos: c c N ) ( c + p) [ A( a ; q) A( L, d ] S ahora susttumos e las ecuacoes obtedas los valores de uestro ejemplo, o queda: [ A ( a ;,04) A(0.000,5.000 ] ,0 ) a5.00 a ,0 93

264 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 2º Títulos pedetes de amortzar después del 4º sorteo: 4 a 5 a q , c c c + p 4 [ A a, q) A( L, d ] N 5 ( 5 5 ) [ A( ,,04) (30.000,5.000 ] N 5 0,0 A ).00 N ,76 títulos 9.40 títulos 0,0 Ejemplo: Dado el sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (c):.000 No se produce aboo aual de cupoes, acumuládose al mometo del sorteo al 5% aual Plazo de amortzacó (): 0 años Térmo amortzatvo costate Característcas comercales: o Gastos de admstracó : 2 por 000 de las catdades pagadas o Lote: Calcular: º El térmo amortzatvo o aualdad 2º El úmero de títulos pedetes de amortzar después del 4º sorteo 3º El total de títulos amortzados después de 7 sorteos º Cálculo del térmo amortzatvo: La estructura del térmo amortzatvo para u año cualquera será: a [ M c ( + ) + L] ( g) + Ahora vamos a ormalzar la estructura del térmo amortzatvo: º Pasamos dvdedo al otro lado de la expresó (+g) a ( + g ) [ M c ( + ) L] + 94

265 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 2º Pasamos restado al otro lado de la expresó L ( a L M + g) c ( + ) Dode: a a + g L Sedo el térmo amortzatvo ormalzado gual a: a M c ( + ) Vamos ahora a calcular el valor de a : c N a a N c a ( + ) ,87 0 (,05) 0,05 Ua vez que coocemos el valor de a obtedremos el valor de a susttuyedo e el cambo de varable: a a L ,87 a a ,34 + g,002 2º Cálculo de los títulos vvos después del 4º sorteo: N 5 N m4 m a a c , ,002 (,05).000 0, N 5 N m , , títulos 2.296,08 3º Cálculo del total de títulos amortzados después del 7º sorteo: , ,002 7 a (,05) m 7 a , títulos c.000 0,05 95

266 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 5.4 VIDA MEDIA, VIDA MEDIANA O PROBABLE Y VIDA MATEMÁTICA DE LOS TÍTULOS VIVOS DESPUÉS DEL K-ÉSIMO SORTEO La vda meda: La vda meda de los títulos vvos después del -ésmo sorteo es la meda artmétca poderada de lo que les falta por vvr a dchos títulos. La vda medaa o probable: La vda medaa o probable de los títulos vvos después del -ésmo sorteo es el tempo que debe trascurrr para que el úmero de títulos pedetes de amortzar sea la mtad. La vda matemátca: La vda matemátca es el mometo t e que debería producrse el pago úco por todos los títulos pedetes de amortzar, para que sea equvalete a los pagos auales que amortza el empréstto. Ejemplo: Dado el sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): 0% aual. Plazo de amortzacó (): 0 años Térmo amortzatvo aual y costate (a) Calcular: La vda meda, medaa y matemátca de los títulos vvos después del 5º sorteo, utlzado para la valoracó el tato del 8%. N N Lo prmero que debemos calcular es el térmo amortzatvo o aualdad que amortza el empréstto. C N a a 96

267 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS a a 0 0, a , (,0) 0,0 Ua vez calculada la aualdad debemos calcular el úmero de títulos vvos después del 5º sorteo N + N M S N 6 N M S 5 0,0 Debemos calcular e prmer lugar M : a C N + C M , , M M 627, N , S 5 0,0 6.69,33 6 º Cálculo de la vda meda de los títulos vvos después del 5º sorteo: La vda meda de los títulos vvos después del -ésmo sorteo es la meda artmétca poderada de lo que les falta por vvr a dchos títulos; es decr, los títulos que se amortza cada año por el úmero de años que les queda por vvr dvddo etre el úmero de títulos vvos después del -ésmo sorteo. La vda meda para los títulos amortzados después del 5º sorteo será: V 5 ( M 6 ) + ( M 7 2) + ( M 8 3) + ( M N 6 9 4) + ( M 0 5) Dode: M M M M so los títulos que se amortza e el sexto año so los títulos que se amortza e el séptmo año so los títulos que se amortza e el décmo año 97

268 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Después de pagar la 5ª aualdad teemos que: A los títulos que se va a amortzar e el 6º año les queda por vvr u año A los títulos que se va a amortzar e el 7º año les queda por vvr dos años M A los títulos que se va a amortzar e el décmo año les queda por vvr cco años E los emprésttos que se amortza medate térmos amortzatvos costates el úmero de títulos amortzados e cada sorteo será: M M ( + ) Luego los títulos amortzados cada año será: Para el año 6º: M M (,0) 627, (,0).00,52086 sedo su vda de u año. Para el año 7º: M M (,0) 627, (,0).,57295 sedo su vda de dos años. Para el año 8º: M M (,0) 627, (,0).222,73024 sedo su vda de tres años. Para el año 9º: M M (,0) 627, (,0).345,00326 sedo su vda de cuatro años. Para el año 0º: M M (,0) 627, (,0).479,50359 sedo su vda de cco años. (.00,52 ) + (.,57 2) + (.222,73 3) + (.345,00 4) + (.479,50 5) V 5 3,89874 años despué 6.69,33 del 5º sorteo, o lo que es lo msmo, 3 años 2 meses y 8 días. Sabedo que los títulos que se amortza cada año so gual a los amortzados el año ateror multplcados por (+), es decr, M + M ( + ) podríamos haber expresado la vda meda, como: V M M + ( + ) 2 + M + ( + ) M + ( + ) ( ) N + 98

269 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS V V M M 2 [ + ( + ) 2 + ( + ) ( + ) ( ] + ) N + 2 [( ) ( + ) ( + ) + 2 ( + ) + ] + M + S La expresó cluda e el parétess es el valor fal de ua reta varable e progresó artmétca de razó, y cuyo prmer térmo será (-). S susttumos e la ecuacó ateror la expresó del corchete por el valor de ua reta varable e progresó artmétca y smplfcamos el valor de M + os queda: V S ( ) ( ) + S ( ) ( ) + S ( ) + S V 5 + 0,0 S 0, ,0 3,89874 años después del 5º sorteo. 2º Cálculo de la vda medaa de los títulos vvos después del 5º sorteo: La vda medaa o probable de los títulos vvos después del -ésmo sorteo es el tempo que debe trascurrr para que el úmero de títulos pedetes de amortzar sea la mtad. Por tato, debemos calcular el tempo que debe trascurrr para amortzar N , ,67 títulos 2 2 S amortzamos 3.084,67 títulos aú os quedará por amortzar otros 3.084,67 títulos , ,95 a x 0,0 Dode: (,0) , ,95 0,0 x log(,0) log( 0,804607) x log(0,804607) x 2,20493 años será el tempo que tardará e amortzarse los últmos 3.084,67 log(,0) Luego tardaremos e amortzar los prmeros 3.084,67 títulos: 2, t t 5 2, , años de vda medaa, o lo que es gual a 2 años 9 meses y 6 días después del 5º sorteo. 99

270 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 3º Cálculo de la vda matemátca: La vda matemátca es el mometo t e que debería producrse el pago úco por todos los títulos pedetes de amortzar, para que sea equvalete a los pagos auales que amortza el empréstto. S plateamos la ecuacó después del 5º sorteo, teemos: N t (,08) M6 (,08) + M7 (,08) + M8 (,08) + M9 (,08) + M0 (,08) 6.69,33 (,08) t.00,52 (,08) +.,57 (,08) ,73 (,08) ,00 (,08) ,50 (,08) 5 3,34añosdespuésdel5ºsorteo,o loqueeslomsmo, 3añosmesy 0días. També podríamos haber plateado la ecuacó como: N N + ( + ) t M M + + ( + ) ( + ) + M ( ) + ( + ) ( + ) 2 ( + ) + M + ( + ) 3 ( + ) ( ) [( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( ] t + ( + ) M+ + ) La expresó de detro del parétess represeta el valor actual de ua progresó geométrca de razó (+). S susttumos e la ecuacó ateror la expresó de detro del corchete por el valor actual de ua reta varable e progresó geométrca de razó (+) valorada al tato de terés os queda: ( ) t N ( + ) A( M +, ( + ) ) ( + ) ( + ) + - M + ( + ) ( + ) S ahora calculamos el mometo t o vda matemátca de los títulos vvos después del 5º sorteo a u tato de valoracó del 8%, os queda: t 6.69,33 (,08 ) A (.00,52, (,0)) 5 (,08) (,0) 5 0,08.00,52 (,08) (,0) ,33 log 6.69,33 t 4.854,85,08 t 3,34 años después del 5º sorteo ,85 log(,08) 00

271 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 5.5 VALOR, USUFRUCTO Y NUDA PROPIEDAD Cada ua de las oblgacoes que forma el empréstto cofere a su ttular el derecho al cobro de los tereses peródcos y al reembolso del omal cuado le correspoda por sorteo. Por tato el valor del título será gual al valor actual de los tereses y del valor de reembolso. El usufructo de u título (U ): valor actual de los tereses. S valoramos el título e el mometo, el usufructo del título (U ), será el resultado de actualzar los tereses futuros del título a u tpo de terés *, que será el tato de terés de mercado. La uda propedad de u título (N ): valor actual del captal, s los tereses. S valoramos el título e el mometo, la uda propedad del título (N ), será el resultado de actualzar el valor de reembolso del título al tpo de terés *. El valor de u título (V ): suma del usufructo y de la uda propedad. Vamos a realzar el cálculo del valor, usufructo y uda propedad para los sguetes tpos de emprésttos:. Emprésttos de cupó peródco costate y pospagable, amortzables medate térmos amortzatvos costates y s característcas comercales. 2. Emprésttos de cupó peródco costate y pospagable, amortzables medate térmos amortzatvos varables y s característcas comercales. 3. Emprésttos de cupó peródco costate y pospagable, co característcas comercales.. Emprésttos de cupó peródco costate y pospagable, térmo amortzatvo costate y s característcas comercales. La estructura del térmo amortzatvo para este tpo de emprésttos será para u año cualquera gual a: a C N + C M El térmo amortzatvo corpora por ua parte el pago de cupoes por los títulos e crculacó, y por otra la cuatía destada a la amortzacó de los títulos e el período. Para el cálculo del valor, la uda propedad y el usufructo de u título podemos ecotraros ate dos stuacoes dsttas: Que coozcamos el mometo e que se va a amortzar dcho título. Que descoozcamos el mometo de amortzacó del título. 0

272 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS E el prmero de los casos tedremos e cueta úcamete el título que vayamos a valorar, metras que e el segudo de los supuestos se valorará el empréstto vvo, es decr, la totaldad de títulos vvos e el mometo que se efectúa la valoracó. Así para obteer el valor, usufructo y uda propedad para u título, bastará co dvdr los valores globales obtedos etre el úmero de títulos vvos e dcho mometo. Cálculo del valor o plea propedad de u título: a) S coocemos el mometo de amortzacó del título El valor de u título e el mometo () cuya amortzacó se producrá e el mometo (+t) será gual al valor actual de los cupoes que recbrá hasta el mometo (+t) más el valor de reembolso actualzado. Gráfcamete se represetará como: N t c c c+c V C a t * + C ( + *) t b) S o coocemos el mometo de amortzacó del título Para obteer el valor o plea propedad de u título deberemos obteer el valor para la totaldad del empréstto vvo e el mometo, valorado al tpo de terés de mercado * y luego dvdr dcho valor etre el úmero de títulos vvos e ese mometo (N + ). Para calcular el valor o plea propedad para el total del empréstto vvo, debemos calcular el valor actual de todos los térmos amortzatvos o aualdades pedetes de pago. 02

273 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS El valor o plea propedad e el mometo para el empréstto G vvo ( V ), valorado al tato de terés * será: N a a a V a a + + *) ( + *) a + ( + *) a ( + *) G 2 3 ( a a - * Para obteer el valor por título ta solo teemos que dvdr el valor global que acabamos de obteer etre el úmero de títulos vvos e el mometo (N + ). V a - a N + * Cálculo del usufructo: a) S coocemos el mometo de amortzacó del título El valor del usufructo e el mometo () para u título cuya amortzacó se producrá e el mometo (+t) será gual a: N t c c c U C a t * b) S o coocemos el mometo de amortzacó del título El valor del usufructo e el mometo para el cojuto de G títulos vvos ( U ), valorado al tato de terés * será: N cn + cn +2 cn 03

274 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS U G C N C N + ( + *) C N + ( + *) ( + *) 2 3 C N ( + *) Para obteer el valor por título ta solo teemos que dvdr el valor global que acabamos de obteer etre el úmero de títulos vvos e el mometo (N + ). U C N ( + *) + C N + ( + *) C N + ( + *) N C N ( + *) Cálculo de la uda propedad a) S coocemos el mometo de amortzacó del título El valor de la uda propedad e el mometo () para u título cuya amortzacó se producrá e el mometo (+t) será gual a: N t c N C ( + *) t b) S o coocemos el mometo de amortzacó del título El valor de la uda e el mometo para el cojuto de títulos G vvos ( N ), valorado al tato de terés * será: N cm + cm +2 cm N G C M C M + ( + *) C M + ( + *) ( + *) 2 3 C M ( + *) 04

275 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Para obteer el valor por título ta solo teemos que dvdr el valor global que acabamos de obteer etre el úmero de títulos vvos e el mometo (N + ). U C M + ( + *) C M + ( + *) C M + ( + *) N C M ( + *) Cálculo del valor, usufructo y uda propedad a partr de la ecuacó de Achard: Otro método más secllo para obteer el valor, la uda propedad y el usufructo es la utlzado del sguete sstema de ecuacoes: V U + N U ( C * N ) Este sstema de ecuacoes puede ser utlzado sempre y cuado: o * o El cupó se matega costate desde el mometo del estudo hasta el fal del empréstto. Para la aplcacó de este sstema es ecesaro el cálculo de ua de las tres cógtas, que para este tpo de emprésttos será el valor o plea propedad del título V, cuyo cálculo ya se ha explcado. Ejemplo: Dado el sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): 0% aual. Plazo de amortzacó (): 5 años Térmo amortzatvo aual y costate: (a) Calcular:. El cuadro de amortzacó del empréstto 2. El valor, usufructo y uda propedad medos de u título e el orge sedo el tato de terés de mercado del 4%. 05

276 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS º Cuadro de amortzacó del empréstto: C N a a a a 5 0, a ,8-5 - (,0) 0,0 a C N + C M , , M M.637,9748 M M ( + ) M 2 M (,0).637, (,0) 80, M 3 M (,0).637, (,0) 98, M 4 M (,0).637, (,0) 2.80, M 5 M (,0).637, (,0) 2.398,5892 M.637 M.638 M 2 80 M M 3 98 M M M M M ΣM ΣM Período Títulos amortzados Total títulos amortzados Títulos ped. de amortzar Iterés Captal amortzado Aualdad

277 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 2º Valor, usufructo y uda propedad medos e el orge para u título. S utlzamos las defcoes dadas para el usufructo, uda propedad y valor para el cojuto de oblgacoes. o Usufruto: Valor actual de los tereses. U ,4,4,4,4, ,90 o Nuda propedad: Valor del captal actualzado N ,4,4,4,4, ,74 o Valor del título: Suma del valor del usufructo y de la uda propedad V 0 U 0 + N 0 905,64 S utlzamos el sstema de ecuacoes. V + U 0 U 0 N 0 ( C * 0 N 0 ) V 0 a a ,8 0,4 a 5 0,4 905, N U 0,0 (.000 0,4 0 N 0 ) 0,0 905,64 (.000 N 0 ) + N 0 N 0 669,74 0,4 0,0 U 0 ( ,74) 235,90 0,4 07

278 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 2. Emprésttos de cupó peródco costate y pospagable, térmo amortzatvo varable y s característcas comercales. Cálculo del valor, usufructo y uda propedad de u título utlzado las defcoes geerales: o Cálculo del valor o plea propedad: Para obteer el valor o plea propedad de u título deberemos obteer el valor para la totaldad del empréstto vvo e u mometo, valorado al tpo de terés de mercado * y luego dvdr dcho valor etre el úmero de títulos vvos e ese mometo (N + ). Para calcular el valor o plea propedad para el total del empréstto vvo e el mometo, debemos calcular el valor actual de todos los térmos amortzatvos o aualdades pedetes de pago. N a + a +2 a El valor e el mometo para el empréstto vvo ( V ), valorado al tato de terés * será: S el térmo amortzatvo varía e progresó artmétca: V a + a + 2 a + 3 a A( a, d) * ( + *) ( + *) ( + *) ( + *) G + Para obteer el valor por título ta solo teemos que dvdr el valor global que acabamos de obteer etre el úmero de títulos vvos e el mometo (N + ). G V a + a ( + *) ( + *) 2 a ( + *) N + 3 a ( + *) S el térmo amortzatvo varía e progresó geométrca: V a + a + 2 a + 3 a A( a, q) * ( + *) ( + *) ( + *) ( + *) G + 08

279 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Para obteer el valor por título ta solo teemos que dvdr el valor global que acabamos de obteer etre el úmero de títulos vvos e el mometo (N + ). o Cálculo del usufructo: El valor del usufructo e el mometo para el cojuto de G títulos vvos ( U ), valorado al tato de terés * será: N cn + cn +2 cn U G C N + C N + ( + *) C N + ( + *) ( *) 2 3 C N ( + *) Para obteer el valor por título ta solo teemos que dvdr el valor global que acabamos de obteer etre el úmero de títulos vvos e el mometo (N + ). U C N ( + *) + C N + ( + *) C N + ( + *) N C N ( + *) o Cálculo de la uda propedad: El valor de la uda propedad e el mometo para el cojuto G de títulos vvos ( N ), valorado al tato de terés * será: N cm + cm +2 cm N G C M C M + ( + *) C M + ( + *) ( + *) 2 3 C M ( + *) 09

280 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Para obteer el valor por título ta solo teemos que dvdr el valor global que acabamos de obteer etre el úmero de títulos vvos e el mometo (N + ). U C M + ( + *) C M + ( + *) C M + ( + *) N C M ( + *) Cálculo del valor, usufructo y uda propedad a partr de la ecuacó de Achard: V U + N U ( C * N ) E este caso calcularemos e prmer lugar la varable valor o plea propedad de la sguete maera: o Para los emprésttos varables e progresó artmétca V A( a +, d) - * N + o Para los emprésttos varables e progresó geométrca V A( a +, q) - * N + Ejemplo: Dado el sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): 0% aual Térmo amortzatvo que aumeta aual y acumulatvamete u 5% Plazo de amortzacó (): 5 años Calcular:. El cuadro de amortzacó del empréstto 2. El valor, usufructo y uda propedad medos de u título e el orge sedo el tato de terés de mercado del 4%. 0

281 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS º Cálculo del cuadro de amortzacó: C N A(a,q) A(a,,05) 5 0, a (,05) (,0) (,0) - (,05) ,29 a a q a ,95, ,05 a ,95 (,05) ,06 a ,95 (,05) ,46 a ,95 (,05) ,48 a C N + C M , , M M 409,29529 M + a M ( + ) ( q) C ,29 M 2.409,29529 (,0) (0,05).670, ,05 M 3.670,68958 (,0) (0,05).964, ,06 M 4.964,24654 (,0) (0,05) 2.293, ,46 M ,4836 (,0) (0,05) 2.662, M.409 M.409 M M 2.67 M M M M M M ΣM ΣM 0.000

282 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Período Títulos amortzad. Total títulos amortzados Títulos pedetes de amortzar Iterés Captal amortzado Aualdad práctca º Valor, usufructo y uda propedad medos e el orge para u título. S utlzamos las defcoes dadas para el usufructo, uda propedad y valor para el cojuto de oblgacoes. o Usufruto: Valor actual de los tereses. U ,4,4,4,4, ,70 o Nuda propedad: Valor actual del captal N , ,4 2, , , ,82 o Valor del título: Suma del valor del usufructo y de la uda propedad V ,4,4,4,4, V 0 U 0 + N 0 243, ,82 902,52 902,52 S utlzamos el sstema de ecuacoes. V + U 0 U 0 N 0 ( C * 0 N 0 ) V 0 A( a, q) N 5,05, ,29,4,05 5 0,4 902,

283 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS U 0,0 (.000 0,4 0 N 0 ) 0,0 902,52 (.000 N 0 ) + N 0 N 0 658,82 0,4 0,0 U 0 ( ,82) 243,70 0,4 Ejemplo: Dado el sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): % aual Térmo amortzatvo que aumeta aualmete e Plazo de amortzacó (): 0 años Calcular: º El cuadro de amortzacó del empréstto 2º El valor, usufructo y uda propedad medos de uo de los títulos trascurrdo cco años desde su emsó, sedo el tato de terés de mercado del 9%. º Cálculo del cuadro de amortzacó: C N A(a,d) A(a,00.000) 0 0, a a0 0, a ,70 0, 0, 0 a a + ( ) d a C N + C M , , M M 232, M M ( ) d C 3

284 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS M M M M M M M M M , (,) ,55696 (,) , (,) , (,) , (,) ,67866 (,) ,29332 (,) ,8558 (,) ,96 (,) , , , , , , , ,96 2.0,32676 M 232 M 233 M M M M M M M M M 6.04 M M M M 8.46 M M 9.72 M M M ΣM ΣM

285 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Período Títulos Total títulos amortzad. amortzados Títulos pedetes de amortzar Iterés Captal amortzado Aualdad práctca º Valor, usufructo y uda propedad medos para u título trascurrdos 5 años desde su emsó. S utlzamos las defcoes dadas para el usufructo, uda propedad y valor para el cojuto de oblgacoes. o Usufruto: Valor actual de los tereses. U ,09,09,09,09, ,66 o Nuda propedad: Valor actual del captal N ,09,09,09,09, ,64 o Valor del título: Suma del valor del usufructo y de la uda propedad V ,09,09,09,09, V 5 U 5 + N 5 298, ,64.054,30.054,30 S utlzamos el sstema de ecuacoes. V + U 5 U 5 N 5 ( C * 5 N 5 ) 5

286 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS V 5 A( a N 6, q) 5 0, ( ) a5 0, 09 0,09 0,09 V 5.054, U 0, (.000 0,09 5 N 5 ) 0,.054,30 (.000 N 5 ) + N 5 N 5 755,64 0,09 0, U 5 ( ,64) 298,66 0,09 3. Empréstto de cupó peródco costate pospagable co característcas comercales. Las característcas comercales puede afectar a la hora de calcular los valores del usufructo, de la uda propedad y de la propedad total. E el sguete cuadro se muestra alguas de las característcas que puede presetar el empréstto, y e qué casos éstas afecta al cálculo del usufructo, uda propedad y propedad total. U N V Prma de amortzacó No S S Gastos de admstracó No No No Lotes No No S Amortzacó seca S No S Para el cálculo del usufructo, uda propedad y valor del título debemos teer e cueta el modo e que las característcas comercales afecta al cálculo de dchos valores. S utlzamos la ecuacó de Achard para el cálculo del valor, usufructo y uda propedad el sstema de ecuacoes se verá afectado de dstta maera depededo de cuál o cuáles sea las característcas que le afecta. E la tabla que se muestra a cotuacó aparece cómo quedará el sstema de ecuacoes cuado les afecte cada ua de las sguetes característcas. 6

287 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Prma de amortzacó Gastos de admstracó Lotes Amortzacó seca Sstema de ecuacoes V U + N U ( C * V U + N N U ( C ) * N V U + N + V L (*) U ( C * V U + N U N ( C * N ) ) ) (*) Valor de Lotes Futuros (V L ) Lotesfuturos + ( + s *) N s + Sedo el tpo ormalzado del empréstto Ejemplo: Dado el sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): 0% aual Térmo amortzatvo costate Plazo de amortzacó (): 5 años Todos los años se amortza gual úmero de títulos Característcas comercales: o Gastos de admstracó del 2 por ml de las catdades pagadas o Lote: Calcular:. El cuadro de amortzacó de dcho empréstto 2. El valor, usufructo y uda propedad medos de u título e el orge sedo el tato de terés de mercado del 4% º Cálculo del cuadro de amortzacó: La estructura de la aualdad para u año cualquera será: a ( C N + C M + L) ( + g) M M 2 M 3... M M

288 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Período Títulos amortzad Total títulos amortzados Títulos pedetes de amortzar Iterés () Captal amortzado (2) Lote (3) Gastos admo (4) Aualdad práctca (*) (*)()+(2)+(3)+(4) 2º Cálculo del valor, usufructo y uda propedad e el orge: S utlzamos las defcoes dadas para el usufructo, uda propedad y valor para el cojuto de oblgacoes. o Usufruto: Valor actual de los tereses. U ,4,4,4,4, ,85 o Nuda propedad: Valor actual del captal N ,4,4,4,4, ,62 o Valor del título: Suma del valor del usufructo y de la uda propedad V ,4,4,4,4, V U + N V L 996,29 V L V0 U 0 N 0 996,29 233,85 686,62 85,83 8

289 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS S utlzamos el sstema de ecuacoes dadas para el cálculo del usufructo, uda propedad y valor para el cojuto de oblgacoes. V U + N + U ( C * 0 N 0 V L ) N 0 a a ,4 a 5 0,4 686, N 0,0 U 0 ( ,62) 223,85 0,4 V L , ,4,4,4,4,4 V 0 686, , ,83 996, TANTOS EFECTIVOS Los tatos efectvos so aquellos que hace que lo realmete etregado sea gual a lo realmete recbdo tato para la etdad emsora del empréstto como para los suscrptores de las oblgacoes. Cuado e el empréstto exste característcas comercales ya o se cumple la equvaleca facera por la que la prestacó o mporte del empréstto es gual a la cotraprestacó o mporte de los térmos amortzatvos pagados por los suscrptores de las oblgacoes, al tpo de terés pactado e la emsó. Por tato y para el caso e el que exsta característcas comercales aparece otros pagos y cobros que puede afectar tato a la prestacó como a la cotraprestacó, o cumplédose la equvaleca facera para el tpo de terés pactado. E este caso debemos calcular los uevos tpos (efectvos) que haga que lo realmete recbdo por ua de las partes sea gual a lo etregado por la otra. Veamos cómo se efectúa el cálculo de los tatos efectvos tato para la etdad emsora, como para los suscrptores del empréstto, a través de u ejemplo. 9

290 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS Ejemplo: Dado el sguete empréstto: Número de títulos emtdos (N ): Valor omal de cada título (C):.000 Tpo de terés (): 0% aual Térmo amortzatvo costate (a) Plazo de amortzacó (): 5 años Preco de emsó (Pe): 96% Prma de reembolso (P): 0% Gastos cales (G): a cargo del emsor Gastos de admstracó (g): por.000 sobre las catdades pagadas aualmete a los oblgacostas Calcular:. El tato efectvo para el emsor 2. El tato efectvo para el oblgacosta 3. La retabldad de u título que se amortza e el 4º sorteo º Cálculo de la aualdad que amortza el empréstto: La estructura de la aualdad para u año cualquera será: a [ C N + ( C + P) M )] ( g) + a c c c N ( + g) ( c + p) ( c + p) + c M a g a ( + c ) ( c + p) c.000 0,0 0, ( c + p) a c N + c M c N a a a a 5 0, a , ,7 a a ,57,

291 Capítulo 5. EMPRÉSTITOS 2º Cálculo del tato efectvo para el emsor: La catdad que recbe el emsor (valor de emsó del empréstto) tee que ser gual a lo realmete pagado por el (aualdades teórcas y gastos de emsó) Pe N G + a a e ,57 a 5 e e 4,64% 3º Cálculo del tato efectvo para los oblgacosta: La catdad que recbe el oblgacosta (aualdades teórcas s gastos de admstracó) tee que ser gual a lo realmete pagado por estos (valor de emsó del empréstto) a Pe N a + g o , a 5,00 o o 4,57% 3º Cálculo de la retabldad de u título que se amortza el tercer año: La catdad pagada por ua oblgacó (valor de emsó) tee que ser gual a lo recbdo por esta (los cupoes que le correspoda más el valor de amortzacó) Pe c a r + c + p ( + r) , 0 a 3 r + ( + r) r 4,63% 3 2

292 Curso de Cotabldad y Matemátcas Faceras 2ª parte: Matemátcas Faceras Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS

293 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Ídce de cotedos Pága CAPÍTULO 6 VALORES MOBILIARIOS CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN Cocepto Clasfcacó LA DEUDA PÚBLICA Las Letras del Tesoro Los boos y oblgacoes del Estado AMPLIACIONES DE CAPITAL Cocepto Los derechos de suscrpcó preferete Valoracó de los derechos de suscrpcó preferete 6.4. COMPRA-VENTA DE VALORES Compra-veta de valores al cotado Compra-veta de valores a crédto CRÉDITOS CON GARANTÍA DE VALORES Pgoracó de ua clase de valores moblaros Pgoracó de varas clases de valores moblaros Pgoracoes sucesvas de valores moblaros 38 2

294 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Capítulo 6 VALORES MOBILIARIOS 6.. CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN 6... CONCEPTO So valores moblaros aquellos emtdos e forma masva y lbremete egocables que cofere a sus ttulares derechos credtcos, omales o patrmoales, o los de partcpacó e el captal o patrmoo del emsor. Los valores moblaros puede ser represetados por aotacoes e cueta o por títulos. Costtuye ua fuete de facacó para las empresas o para la Admstracó, y ua forma de versó para los ahorradores CLASIFICACIÓN Los valores moblaros se puede clasfcar atededo a:. Su aturaleza o forma de retrbucó: Valores de reta fja: Su retrbucó se recbe a u terés fjo pactado e el mometo de la emsó. Valores de reta varable: La remueracó de estos valores es varable depededo de los resultados ecoómcos de la msma y del acuerdo de dstrbucó de estos. 2. La aturaleza de la etdad emsora: Valores públcos: So los emtdos por Etdades Públcas. Valores prvados: So los emtdos por las etdades prvadas. 3. Los derechos que cofere su posesó: Valores que represeta captal: So los que cofere a su ttular la codcó de soco de la etdad emsora. Valores que represeta u préstamo: So los que otorga al ttular la codcó de acreedor de la etdad emsora, como cosecueca del préstamo coceddo a ésta. 3

295 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 4. Al plazo o duracó de la versó: Valores a corto plazo. Valores a medo plazo. Valores a largo plazo. 5. Al ttular de los valores: Valores al portador: Su ttulardad se cofere medate la posesó del título. Valores omatvos: El ttular será la persoa a cuyo ombre aparezca el título. La trasmsó de dchos títulos debe ser comucada a la etdad emsora. Valores moblaros Reta fja Deuda Públca Valores mercatles Corto Medo Largo Corto Medo Largo Pagarés Letras del Tesoro Boos Oblgacoes Pagarés de empresa Letras Boos Oblgacoes Reta varable Valores mercatles Accoes Derechos de suscrpcó 6.2. LA DEUDA PÚBLICA La Deuda Públca es el cojuto de valores emtdos por el Estado. Su emsó debe ser autorzada por ley. E la Ley de Presupuestos Geerales de cada ejercco se establece los crteros geerales a los que se ajustará la emsó de Deuda Públca a lo largo del año correspodete y se fja los límtes máxmos de su emsó. El Gobero, y por delegacó el Mstero de Ecoomía y Haceda, podrá elegr los strumetos de Deuda Públca a emtr, las característcas de éstos y su procedmeto de colocacó. El Tesoro Públco es el emsor e España de los valores de Deuda Públca. La gestó del Tesoro Públco le correspode al Mstero de Ecoomía y Haceda, que la ejerce a través de la Dreccó Geeral del Tesoro y Polítca Facera. 4

296 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Las adquscoes de los valores del Tesoro puede realzarse e: El mercado prmaro Las adquscoes de valores realzadas e el mercado prmaro so aquéllas e las que los títulos se adquere e el mometo de su emsó. El sstema que emplea el Tesoro e la emsó de sus valores es el de la subasta compettva, pudedo solctar cualquer persoa físca o jurídca la suscrpcó de los msmos, a través de ua Etdad Gestora. El mercado secudaro Los valores del Tesoro puede vederse ates de su vecmeto e el mercado secudaro, medate orde de veta dada por el versor a la etdad a través de la cual adquró dchos valores. La egocacó e el mercado secudaro se realza a través de tres sstemas: o El llamado mercado cego, al que sólo puede acceder los membros del mercado, egocates de Deuda públca. La egocacó tee lugar electrócamete s coocer la cotrapartda. El mercado cego costtuye el úcleo del mercado de Deuda Públca, pudédose operar e él sólo a vecmeto, ya sea al cotado o a plazo, o permtédose la realzacó de operacoes dobles. La lqudacó de pérddas y gaacas se realza daramete a precos de mercado del día, y al vecmeto de la operacó se efectúa los ajustes pertetes. o o El sstema de egocacó blateral, drecta o a través de broer, e el cual se desarrolla el resto de la egocacó etre Ttulares de Cueta. E éste se puede operar a vecmeto (al cotado o a plazo) y e operacoes dobles (smultáeas o repos). Las operacoes se puede realzar etre las etdades drectamete o be a través de u termedaro. El tercer sstema de egocacó comprede las trasaccoes etre las Etdades Gestoras y sus cletes. Las operacoes desarrolladas e el mercado secudaro las podemos clasfcar e los sguetes tpos: - Operacoes smples: Las operacoes smples so aquéllas e las que la trasaccó se realza e ua sola operacó. Al veder los valores, se trasmte 5

297 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS todos los derechos que corpora: cupoes, valores de reembolso, etc. El uevo poseedor puede egocar la Deuda lbremete e el mercado secudaro, ya que ésta se cosdera trasmtda a vecmeto. Las operacoes smples a su vez puede ser: Operacoes al cotado: la lqudacó se acuerda detro de los cco días hábles sguetes a la fecha e que se cotrató la operacó. Operacoes a plazo: la lqudacó tee lugar e algua fecha posteror al quto día hábl desde que se cotrató la operacó. - Operacoes dobles: E ua operacó doble las partes cotratates realza de forma smultáea dos operacoes smples, ua de compra y otra de veta, pudedo ser, la prmera al cotado y la seguda a plazo o be las dos a plazo. Se trata de operacoes e frme, e las cuales se pacta el preco de veta y la fecha de la prmera operacó o fecha de valor, y el preco de la seguda operacó y la fecha de vecmeto. El derecho al cobro de los cupoes correspoderá al poseedor del actvo cuado se produzca el vecmeto de dcho cupó. Las operacoes dobles se puede dvdr e: Operacoes smultáeas: las dos operacoes (de compra y de veta) se refere al msmo tpo de actvo y por el msmo mporte omal. El comprador tee plea dspobldad sobre los valores adqurdos. Repos: E ellos o exste plea dspobldad de los valores y sólo se puede realzar trasaccoes e "repo" hasta ates de la fecha pactada para la retrocesó de los actvos. El comprador de u boo e repo tee derecho a cobrar los cupoes devegados durate el plazo de la cesó. - Operacoes de segregacó y recosttucó: La segregacó cosste e la trasformacó de u actvo de redmeto explícto e otro de redmeto mplícto. Se realza dado de baja e la Cetral de Aotacoes u boo segregable, susttuyédolo por uevos valores de redmeto mplícto, procedetes de los flujos de caja correspodetes a los cupoes y al prcpal de dcho boo. La recosttucó es la operacó versa a la segregacó, e vrtud de la cual se da de baja e la Cetral de Aotacoes todos los valores co redmeto mplícto vvos procedetes de cada uo de los flujos de caja de u boo segregable, dádose de alta, e cotrapartda, el ctado boo. 6

298 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS So strumetos de Deuda Públca: o o o Las Letras del Tesoro Los boos y oblgacoes del Estado La deuda e dvsas LAS LETRAS DEL TESORO Las Letras del Tesoro so valores públcos emtdos por el Mstero de Ecoomía y Haceda, a través de la Dreccó Geeral del Tesoro, por u plazo de hasta 8 meses. Las Letras del Tesoro se represeta exclusvamete medate aotacoes e cueta. Característcas de las Letras del Tesoro: Se emte al descueto, pagado el suscrptor el valor efectvo que será feror al valor de reembolso o omal. La dfereca etre el valor omal y el preco de emsó será el redmeto geerado por la Letra. Se emte medate subastas compettvas, sedo el mporte mímo de cada petcó.000. S se realza petcoes por mporte superor, éste ha de ser múltplo de.000. Se emte de acuerdo co u caledaro que el Tesoro publca al comezo de cada año atural. El valor omal de las Letras es de.000. La versó míma a realzar es de ua Letra. Plazo de amortzacó: E la actualdad, el Tesoro emte Letras co vecmeto a 6, 2 y 8 meses. Las Letras del Tesoro se puede adqurr e el mercado prmaro, partcpado e las subastas, o e el mercado secudaro. Régme fscal: Los redmetos de las Letras del Tesoro (determados por la dfereca etre el mporte de compra y de veta o amortzacó del título) se tegrará e la parte geeral de la base mpoble como redmetos del captal moblaro e el año e que se produce la trasmsó o la veta, y o está sometdos a retecó. Retabldad de las Letras del Tesoro Las Letras del Tesoro se emte al descueto, pagado el suscrptor e el mometo de la adquscó del título el efectvo (E), y cuado se amortce o veda la Letra obtedrá el mporte omal (N) e el prmero de los casos, o el preco de veta (P) e el segudo. La dfereca etre el valor omal o preco de veta y el preco de emsó será el redmeto geerado por la Letra. 7

299 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Segú cual sea el plazo de amortzacó (6, 2 ó 8 meses) utlzaremos el régme de captalzacó smple o el régme de captalzacó compuesta. S el plazo de amortzacó es gual o feror a 2 meses, hallaremos la retabldad de la Letra aplcado el régme de captalzacó smple, segú el cual: N E O s la letra se vede ates de su vecmeto: P E N : Valor omal P : Preco de veta E : Valor efectvo o preco de compra : Número de días que ha matedo el versor la Letra e su poder S el plazo de amortzacó es superor a 2 meses, hallaremos la retabldad de la Letra aplcado el régme de captalzacó compuesta: N E ( + ) 360 O s la letra se vede ates de su vecmeto: P E ( + ) 360 Ejemplo: El día 5 de marzo se suscrbe ua Letra del Tesoro para cuyo vecmeto falta 364 días. El preco de adquscó de dcha Letra fue de 850. Calcular su retabldad al vecmeto. Solucó: Cálculo de la retabldad: ,45% 360 8

300 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Ejemplo: Se suscrbe el día 5 de marzo ua Letra del Tesoro, cuya emsó respode a la sguete formacó: Valor omal.000 Plazo de amortzacó 8 meses Valor efectvo de la compra 827 Calcular la retabldad de dcha Letra a su vecmeto. Solucó: Cálculo de la retabldad:,5 827 ( + ) 3,5% Los boos y las oblgacoes del Estado Los boos del Estado so valores emtdos por u plazo etre dos y cco años y las oblgacoes del Estado se emte por u plazo superor a cco años. Característcas de los boos y oblgacoes del Estado: Los boos y oblgacoes se emte medate subasta compettva, sedo el mporte mímo de cada petcó.000, y s se realza petcoes por mporte superor, éste ha de ser múltplo de.000. El valor omal mímo que puede solctarse de boos y oblgacoes es de.000. Plazo de amortzacó: E la actualdad, el Tesoro emte boos co vecmeto a tres y cco años, y oblgacoes co vecmeto a dez, quce y treta años. Los boos y las oblgacoes se puede adqurr e el mercado prmaro, partcpado e las subastas, o e el mercado secudaro. Régme fscal: El terés peródco o cupó se cosdera e el IRPF como u redmeto del captal moblaro sujeto a u tpo de retecó del 5%. El redmeto obtedo e la trasmsó, amortzacó o reembolso, caje o coversó es cosderado redmeto del captal moblaro, pero o está sujeto a retecó. Cuado este redmeto tega u período de geeracó superor a dos años, sólo se tegrará e la declaracó el 60% del msmo. Los tereses producdos se aboa peródcamete, e las fechas que se establezca para cada emsó. 9

301 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Retabldad de los boos y oblgacoes del Estado S represetamos gráfcamete ua operacó de compra y posteror veta o amortzacó de ua oblgacó o boo, tedremos: Fecha de compra Fecha de veta días P c C C C C+P v La retabldad de los boos y oblgacoes se obtedrá despejado e la sguete gualdad: P c P ( + ) v C ( + ) C ( + ) C ( + ) ) C ( + Dode: Pv : Es el preco de veta Pc : Es el preco de compra : Número de días que va etre la fecha de compra y la de veta o amortzacó, 2, 3 : Días etre la fecha de compra y el vecmeto de cada cupó C : Importe bruto del cupó 6.3. AMPLIACIONES DE CAPITAL Cocepto Las amplacoes de captal cosste e el aumeto del captal socal de las socedades, medate la emsó de uevas accoes o be medate la elevacó del valor omal de las exstetes. E ambos casos el cotravalor del aumeto de captal puede cosstr tato e uevas aportacoes deraras o o deraras al patrmoo de la socedad, cluda la compesacó de crédtos cotra la socedad, como e la trasformacó de reservas o beefcos. Las razoes que motva ua amplacó de captal puede ser múltples, etre ellas: La ecesdad de adecuar el valor del captal socal al patrmoo eto. La ecesdad de facacó: las amplacoes de captal so ua fuete de facacó de la empresa, medate la que obtee uevos recursos ecoómcos. La amplacó de captal es el medo para la coversó de las oblgacoes e accoes. 0

302 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Los derechos de suscrpcó preferete Los derechos de suscrpcó so aquellos derechos de los que goza el ttular de ua accó para suscrbr uevas accoes, e úmero proporcoal a las ya poseídas. Segú establece el artículo 58 de la Ley de Socedades Aómas cuado se produzca u aumeto de captal socal co emsó de uevas accoes, ordaras o prvlegadas, los atguos accostas y los ttulares de oblgacoes covertbles podrá ejerctar el derecho a suscrbr u úmero de accoes proporcoal al valor omal de las accoes que posea o de las que les correspodería a los ttulares de las oblgacoes covertbles de ejerctar e ese mometo la facultad de coversó. Los derechos de suscrpcó preferetes va a ser trasmsbles e las msmas codcoes que las accoes de las que provee. E el caso de que el aumeto de captal se efectúe co cargo a reservas, el derecho de asgacó gratuta de las uevas accoes també será trasmsble e las msmas codcoes que las accoes de que se derve. El accosta atguo puede por tato optar por acudr o o acudr a la amplacó de captal. E este últmo caso, podrá veder los derechos de suscrpcó preferete o los derechos de asgacó gratuta, y co el mporte obtedo e la veta, compesará la pérdda de valor que expermete las accoes, ya que teórcamete el valor de cotzacó de la accó después de efectuada la amplacó descederá e u mporte gual al de mporte del derecho de suscrpcó Valoracó de los derechos de suscrpcó preferete El valor teórco del derecho de suscrpcó es el valor que teórcamete debe teer los derechos de las accoes atguas cuado los vede el accosta que o decde acudr a la amplacó. Este valor depede de la proporcó etre el úmero de accoes atguas y uevas, del valor de cotzacó de las accoes atguas y del preco de emsó de las accoes uevas. Cuado ua socedad amplía captal os podemos ecotrar ate las sguetes stuacoes: Que el accosta compre todas las accoes uevas que le correspode. Que el accosta o decda ejercer los derechos y los veda a otras persoas. Que el accosta acuda a la amplacó ejerctado sólo ua parte de los derechos que le correspoda, vededo el resto.

303 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Cálculo del valor teórco del derecho de suscrpcó Las socedades puede realzar amplacoes de captal smples (se realza ua úca amplacó de captal) o múltples (se realza varas amplacoes de captal, pudedo ser smultáeas o sucesvas). Puede també ocurrr que las accoes uevas y atguas o tega los msmos derechos ecoómcos. Estos dos hechos afecta al cálculo del valor teórco del derecho de suscrpcó. o Cuado se produce ua úca amplacó de captal y o exste dferecas ecoómcas etre las accoes atguas y las uevas. A la hora de calcular el valor del derecho de suscrpcó supoemos que teórcamete la cotzacó de las accoes después de la amplacó va a desceder e u mporte gual al valor del derecho de suscrpcó. D: Valor teórco del derecho de suscrpcó m: Número de accoes atguas C: Valor de la accó atgua al co de la amplacó (cotzacó ex-ate) : Número de accoes uevas E: Preco de emsó S m es el úmero de accoes atguas poseídas ates de la amplacó y es el úmero de accoes que se recbe debdo a la amplacó, tedremos que, el valor total después de la amplacó será gual al valor de las accoes atguas poseídas más lo pagado por las recbdas. Valor de las accoes ates de la amplacó... Importe pagado por las uevas accoes... Valor después de la amplacó... m C E m C + E El úmero de accoes poseídas después de la amplacó será: m + Sedo el valor de ua de las accoes después de la amplacó o cotzacó expost: m C + E C m + Como ya se ha señalado aterormete, teórcamete el valor de las accoes después de la amplacó descederá e el mporte del derecho de suscrpcó, es decr: 2

304 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS m C + E D C C C m + ( C E) m + Puede suceder que el valor de emsó de las accoes sea gual a cero debdo, por ejemplo, a que la amplacó de captal se haga co cargo a reservas. E este caso aparece el derecho de asgacó gratuta. S susttumos e la expresó ateror E 0, resulta: ( C 0) C D m + m + Ejemplo: Ua socedad amplía captal e la proporcó de 3 accoes uevas por cada 0 atguas. La emsó se realza al 0%, sedo el omal de las accoes de 50, y su cotzacó el día ates de la amplacó, del 450%. Se pde: Calcular el valor teórco del derecho de suscrpcó. Solucó: Cálculo del valor teórco del derecho de suscrpcó: accoes atguas vale accoes uevas vale títulos después de la amplacó vale Sedo: el valor de ua accó ates de la amplacó: C el valor de ua accó después de la amplacó: C 85,77 3 El valor del derecho será la dfereca etre el valor de la accó ates de la amplacó y después de ésta, ya que teórcamete el valor de las accoes después de la amplacó descederá e el mporte del derecho de suscrpcó, es decr: D C C ,77 39,23 També podríamos haber calculado el valor teórco del derecho de suscrpcó de la sguete forma: ( C E) 3 (225 55) D 39,23 m + 3 3

305 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS o Cuado se produce dos amplacoes smultáeas e las que las accoes atguas y uevas tee los msmos derechos ecoómcos E este supuesto la socedad realza de forma smultáea dos amplacoes de captal. Proporcoado a cada ua de las accoes atguas dos derechos de suscrpcó, co los que se acude a cada amplacó de maera depedete, suscrbedo las accoes uevas que correspoda e cada ua de las amplacoes. Como hemos señalado, teórcamete el valor de la accó después de la amplacó descederá e el mporte de los derechos de suscrpcó, es decr: D C C Sedo D gual al valor de los dos derechos de suscrpcó d, ). D d + d 2 ( d 2 Para determar el valor de cada derecho debemos teer e cueta que para cada derecho: Cotzacó ex-post Preco de emsó + Valor teórco de los derechos etregados Ejemplo: Ua socedad realza dos amplacoes smultáeas de captal; ua a la par, e la proporcó de ua accó ueva por cada tres atguas, y otra, gratuta, e la proporcó de ua accó ueva por cada dez atguas. Se sabe que el omal de las accoes es de 30 y la cotzacó ates de la doble amplacó es del 20%. Se pde: Calcular el valor teórco del derecho de suscrpcó. Solucó: Cálculo del valor teórco del derecho de suscrpcó: Como las proporcoes de las amplacoes so dferetes teemos que buscar la proporcó de la suscrpcó e base al msmo úmero de accoes atguas, es decr, buscar aquel úmero de accoes que permta cocurrr exactamete a las dos amplacoes. Para ello hallaremos el mímo comú múltplo. 3 ; 0 m. c. m.(3:0) ; accoes atguas vale Importe pagado por: - 0 uevos títulos uevos títulos títulos después de la amplacó vale

306 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Sedo:.080 el valor de ua accó ates de la amplacó: C el valor de ua accó después de la amplacó: C 32,09 43 El valor de los dos derechos será la dfereca etre el valor de la accó ates de la amplacó y después de ésta, es decr: D C C 36 32,09 3,9 Para determar el valor de cada derecho debemos teer e cueta que se cumple para cada derecho que: Cotzacó ex-post Preco de emsó + Valor teórco de los derechos etregados 32, D S D s 0,70 32,09 32,09 0D A D A 3,2 0 o Cuado se produce ua úca amplacó e la que las accoes atguas y uevas tee dsttos derechos ecoómcos Cuado se produce ua amplacó de captal puede ocurrr que las uevas accoes o partcpe de los msmos derechos que las atguas. Esto sucede cuado a las accoes uevas les correspode e el mometo del reparto de dvdedos u porcetaje feror al que les correspode a las atguas, o be o les correspode dvdedo alguo. La cotzacó de las accoes atguas y uevas o será gual hasta el mometo e que se percba por las accoes atguas el dvdedo que las correspoda. E este caso debemos clur e la ecuacó de equvaleca de cotzacoes la dfereca que exste e la cotzacó etre las accoes uevas y las atguas. S m es el úmero de accoes atguas poseídas ates de la amplacó, el úmero de accoes que se recbe debdo a la amplacó y d la dfereca de derechos, tedremos que: 5

307 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Valor de las accoes ates de la amplacó... m ( C d) Importe pagado por las uevas accoes... E Valor después de la amplacó... m ( C d) + E ( C d) : Valor de cotzacó de ua accó atgua meos la dfereca de derechos, llamado cotzacó seca. El úmero de accoes poseídas después de la amplacó será: m + El valor de ua accó ueva después de la amplacó será: C m ( C d) + E m + El valor del derecho de suscrcó será: m ( C d) + E D ( C d) C ( C d) m + ( C E d) m + Puede suceder que el valor de emsó de las accoes sea gual a cero debdo, por ejemplo, a que la amplacó de captal se hace co cargo a reservas. Aparece etoces el derecho de asgacó gratuta. S susttumos e la expresó ateror E 0, resulta: D ( C 0 d) m + ( C d) m + Ejemplo: Ua socedad amplía captal e la proporcó de 3 accoes uevas por cada 0 atguas. La emsó se realza al 0%, sedo el omal de las accoes de 50, y su cotzacó el día ates de la amplacó, del 450%. Se pde: Calcular la cotzacó después de la amplacó de las accoes uevas y de las atguas y el valor teórco del derecho de suscrpcó sabedo que la socedad reparte u dvdedo de 5 a las accoes atguas. 6

308 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Solucó: Cálculo del valor teórco del derecho de suscrpcó: accoes atguas vale 0 (50 ) accoes uevas vale títulos después de la amplacó vale o Valor de ua accó ates de la amplacó: C o Valor de ua accó ueva después de la amplacó: C 8,92 3 o Valor de ua accó atgua después de la amplacó: C +d 8, ,92 El valor del derecho será: D ( C d) C (225 5) 8,92 38,08 També podemos calcular el valor de ua accó atgua ates y después de la amplacó como: D C ( C + d) 225 (8,92 + 5) 38,08 o Cuado se produce dos amplacoes smultáeas co dsttos derechos ecoómcos E este supuesto la socedad realza de forma smultáea dos amplacoes de captal, proporcoado a cada ua de las accoes atguas dos derechos de suscrpcó, co los que se acude a cada amplacó de maera depedete, suscrbedo las accoes uevas que correspoda e cada ua de las amplacoes. Además, e u prcpo las uevas accoes y las atguas o partcpa de los msmos derechos. Ejemplo: Ua socedad realza dos amplacoes smultáeas de captal; ua al 30%, e la proporcó de ua accó ueva por cada dos atguas, y otra, gratuta, e la proporcó de ua accó ueva por cada tres atguas. El omal de las accoes es de 50 y la cotzacó ates de la doble amplacó es del 300%. Se pde: Calcular el valor teórco del derecho de suscrpcó sabedo que las accoes atguas tee derecho a percbr u dvdedo del 2% sobre el valor omal, que se repartrá a los 5 días de la amplacó del captal. 7

309 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Solucó: Cálculo del valor teórco del derecho de suscrpcó: Como las proporcoes de las amplacoes so dferetes, teemos que buscar la proporcó de la suscrpcó e base al msmo úmero de accoes atguas, es decr, buscado aquel úmero de accoes que permta cocurrr exactamete a las dos amplacoes. Para ello hallamos el mímo comú múltplo. 2 ; 3 m. c. m.(2 :3) 6 3 ; accoes atguas vale Importe pagado por: 30-3 uevos títulos uevos títulos títulos después de la amplacó vale o Valor de ua accó ates de la amplacó: 300 C o Valor de ua accó ueva después de la amplacó:.089 C 99 o Valor de ua accó atgua después de la amplacó: C +d El valor del derecho será: D ( C d) C (50 ) Para determar el valor de cada derecho debemos teer e cueta que para cada derecho: Cotzacó ex-post Preco de emsó + Valor teórco de los derechos etregados D S D s D A D A

310 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Suscrpcó de accoes co desembolso ulo Se deoma amplacó mxta compesada o amplacó blaca a aquélla e la que el accosta acude a la amplacó solo e parte y suscrbe u úmero de accoes que o le supoga realzar desembolso alguo. Esto supoe que el dero vertdo e la suscrpcó de accoes uevas ha de correspoderse co el obtedo e la veta de los derechos sobrates. El úmero de accoes compradas y el de derechos veddos ha de ser ecesaramete úmeros eteros y además debe ser múltplos exactos e fucó de la proporcó de la amplacó. Debdo a estas dos restrccoes, es muy dfícl que se cosga e este tpo de operacoes u desembolso ulo, por lo que el problema se resolverá redodeado por exceso el úmero de derechos a veder, de tal forma que quede u excedete de tesorería mímo. S u dvduo posee m accoes, y por ede m derechos, vederá u úmero x de éstos, al preco de mercado del derecho (p d ) y adqurrá co los restates derechos (m-x) u úmero de accoes uevas, que vedrá determado por la proporcó de la amplacó. Es decr, podrá suscrbr, ( m x) % de la amplacó uevas accoes, por las que pagará ( m x) % de la amplacó Preco de emsó. Para cosegur u desembolso ulo, se tee que cumplr que el mporte obtedo co la veta de los derechos sea gual a catdad a pagar por la compra de las uevas accoes: p ( m x) % de la amplacó Preco de emsó x d S e la expresó ateror despejamos x obteemos el úmero de derechos que se ha de veder para que el desembolso a realzar por la suscrpcó de las uevas accoes sea ulo. S x es u úmero o etero redodearemos a la udad superor, para evtar así que se tega que producr desembolso alguo por el accosta. Ua vez coocdo el úmero de derechos a veder calcularemos el úmero de accoes a suscrbr, e fucó del úmero de derechos pedetes de ejercer (m-x) y de la proporcó de la amplacó. El úmero de accoes a suscrbr será: ( m x) % de la amplacó. 9

311 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Ejemplo: Ua socedad tee u captal socal formado por accoes de 50 omales. Amplía captal emtedo accoes uevas de 50 omales. La emsó se realza al 0% de su valor omal. Las accoes atguas cotza a 225. U accosta que posee 00 accoes atguas, acude a la amplacó co el propósto de adqurr accoes uevas, vededo los derechos que o utlce e la amplacó a su valor teórco y s realzar desembolso alguo. Se pde: Calcular el úmero de accoes uevas que suscrbrá dcho accosta. Solucó: Cálculo del úmero de accoes uevas que suscrbrá el accosta: E prmer lugar se calculará el valor teórco del derecho de suscrpcó preferete. El porcetaje de la amplacó será: , es decr, 3 accoes uevas por cada 0 atguas. 0 o o 0 accoes atguas vale accoes uevas vale títulos después de la amplacó vale C 225 Valor de ua accó ates de la amplacó: C 85,77 Valor de ua accó después de la amplacó: 3 El valor del derecho será la dfereca etre el valor de la accó ates de la amplacó y después de ésta, ya que teórcamete el valor de las accoes después de la amplacó descederá e el mporte del derecho de suscrpcó, es decr: D C C ,77 39,23 S el accosta posee 00 accoes, y por ede 00 derechos, vederá u úmero x de estos, al preco de mercado del derecho (p d 39,23 ) y adqurrá co los restates derechos (00-x) u úmero de accoes uevas, que vedrá determado por la proporcó de la amplacó. Es decr, podrá suscrbr, 3 3 ( 00 x) uevas accoes, por las que pagará, ( 00 x ) Para cosegur u desembolso ulo, se tee que cumplr que el mporte obtedo co la veta de los derechos sea gual a catdad a pagar por la compra de las uevas accoes: 3 x 39,23 (00 x) 55 x 29,6derechos 0 20

312 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Despejado x obteemos el úmero de derechos que se ha de veder para que el desembolso a realzar por la suscrpcó de las uevas accoes sea ulo. Como x es u úmero o etero redodearemos a la udad superor, para evtar así, que se tega que producr desembolso alguo por el accosta. x 30 derechos Ua vez coocdo el úmero de derechos a veder calcularemos el úmero de accoes a suscrbr: 3 ( 00 30) 2accoes 0 El excedete moetaro que recbrá el versor, será: Importe obtedo por la veta de los derechos: 30 39,23.76,90 Importe pagado por la compra de las accoes: 2 55,00.55,00 Excedete moetaro: 2, COMPRA-VENTA DE VALORES Compra-veta de valores al cotado Los precos de compra y de veta de los valores moblaros se fja a través de su cotzacó e las Bolsas de Valores. Vedrá expresados e fucó del cambo (porcetaje sobre el valor omal). Dado lugar a la aparcó del efectvo por razó del cambo. El efectvo por razó del cambo será gual: N C E ca 00 N: Valor omal C>00 sobre la par C: Cambo de cotzacó C00 a la par C<00 bajo la par Preco de compra de los valores moblaros S o hubese gú tpo de termedaro facero se pagaría exclusvamete el valor efectvo de los títulos o efectvo bursátl ( E ): E E úmero de títulos adqurdos úmero de títulos b ca adqurdos N C 00 b 2

313 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS S exste termedaros faceros, el efectvo bursátl se ve modfcado debdo a las comsoes que cobra los termedaros faceros. Éstas so: o o o Los cáoes por la gestó bursátl cobrados por la Bolsa. El Real Decreto 949/989, de 28 de julo, e su artículo 4º, hace refereca a la repercusó de costes y recargos por las Socedades y Agecas de Valores dervados de la prestacó de servcos por las Socedades Rectoras de las Bolsas, por el servco de lqudacó y compesacó de valores. Las comsoes de las Socedades o Agecas de Valores: Las retrbucoes que percba los membros de u mercado secudaro ofcal por su partcpacó e la egocacó de valores será lbres. No obstate, el Gobero podrá establecer retrbucoes máxmas para las operacoes cuya cuatía o exceda de ua determada catdad y para aquellas que se haga e ejecucó de resolucoes judcales. Las Socedades o Agecas de Valores deberá establecer tarfas para todas las operacoes que la etdad realce habtualmete, pudedo exclur las dervadas de servcos faceros de carácter sgular, e los supuestos que la Comsó Nacoal del Mercado de Valores determe. Las tarfas deberá clurse e u folleto, cuyo cotedo determará el Mstro de Ecoomía y Haceda y cuyos modelos será elaborados por la Comsó Nacoal del Mercado de Valores y por el Baco de España, e el caso del Mercado de Deuda Públca e aotacoes. Las etdades o podrá cargar a los cletes comsoes o gastos superores a los cotedos e los folletos comucados a la Comsó Nacoal del Mercado de Valores o al Baco de España. (RD 629/993 de 3 mayo) Las comsoes bacaras: S la operacó se realza a través de ua etdad facera ésta cobrará comsoes que suele ser détcas a las cobradas por las Socedades o Agecas de Valores. S al efectvo bursátl le sumamos las comsoes obtedremos el mporte de la compra o líqudo ( E ). c C E c ( N úmero de títulos adqurdos) + Cáoes de gestó 00 bursátl + Comsoes de las Socedades y Agecas de Valores + Comsoes bacaras 22

314 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Preco de veta de los valores moblaros S o hubese gú tpo de termedaro facero se cobraría exclusvamete el valor efectvo de los títulos o efectvo bursátl ( E ): C E b E ca úmero de títulos veddos N úmero de títulos veddos 00 b S exste termedaros faceros, el efectvo bursátl se ve modfcado por las comsoes que cobra: o o o Cáoes por la gestó bursátl cobrados por la Bolsa: Los costes y recargos cobrados por las Socedades y Agecas de Valores dervados de la prestacó de servcos por las Socedades Rectoras de las Bolsas por el servco de lqudacó y compesacó de valores. Las comsoes de las Socedades o Agecas de Valores. Las comsoes bacaras. S al efectvo bursátl le restamos las sguetes comsoes obtedremos el mporte de veta o líqudo de la veta ( E v ): C E v ( N úmero de títulos veddos)- Cáoes de gestó bursátl 00 Comsoes de las Socedades y Agecas de Valores Comsoes bacaras Retabldad Para el cálculo de la retabldad de las operacoes de compra-veta de valores hemos de teer e cueta la duracó de la operacó. S la versó se ha matedo por u período gual o feror al año el régme para el cálculo de la retabldad será el de captalzacó smple. S por el cotraro, la duracó es superor a u año el cálculo se realzará e régme de captalzacó compuesta. Normalmete, el cálculo de la retabldad de este tpo de operacoes se realzará e régme de captalzacó compuesta. La retabldad la podemos medr como: o El redmeto de cada udad moetara de captal vertdo o rédto. La retabldad e este caso se calcula como: B. A. I Ev Ec r 00 E E c c E 00 E v c 00 r: Retabldad B.A.I: Beefco ates de Impuestos E c : Efectvo de la compra E : Efectvo de la veta v B. A. I E v E c 23

315 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS o El redmeto de cada udad moetara de captal vertdo por udad de tempo o tato de retabldad.. E régme de captalzacó smple: Ev Ec ( + ) E régme de captalzacó compuesta: E v E ( + ) c Ejemplo: El día de septembre de 20X0 se compra.000 accoes de la socedad X de valor omal 50 al 90%. La comsó cobrada por la socedad de valores es del 4 por.000 co u mímo de 6,0, sedo détca a la comsó cobrada por la etdad bacara. El día 30 de dcembre se vede las.000 accoes, e el mometo de la veta las accoes cotza al 95%. Por la veta la socedad de valores cobra ua comsó del 4 por 000 co u mímo de 6,0, sedo détca a la comsó cobrada por la etdad bacara. Calcular: El valor efectvo de compra El valor efectvo de veta La retabldad obteda e la operacó de compra-veta La retabldad obteda e la operacó de compra-veta, s la socedad x hubese repartdo el día 30 de septembre u dvdedo de 2 por accó Solucó: º Cálculo del valor efectvo de compra: C E c ( N úmero de títulos adqurdos) + Cáoes de gestó bursátl + 00 Comsoes de las Socedades y Agecas de Valores + Comsoes bacaras E c 90 ( ) º Cálculo del efectvo obtedo e la veta: C E v ( N úmero de títulos veddos)- Cáoes de gestó bursátl 00 Comsoes de las Socedades y Agecas de Valores Comsoes bacaras E v 95 ( )

316 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 3º Cálculo de la retabldad obteda e la operacó de compra-veta: Retabldad e térmo de rédto: B. A. I Ev E r 00 E E c c c E 00 E v c ( ) ,88% Retabldad e térmos de tato: E 20 Ec ( + ) ( + ),64% v 4º Cálculo de la retabldad s se produce el pago de dvdedos: S realzamos la equvaleca etre lo recbdo y lo etregado al día 30 de dcembre ( + ) ( + ) 25,73% Compra-veta de valores a crédto Las compras y vetas a crédto so operacoes dseñadas coforme a la Orde Msteral del Mstero de Ecoomía y Haceda de 25 de marzo de 99 sobre Sstemas de Crédto e Operacoes Bursátles de Cotado. La Orde 23 de dcembre de 998 sobre la Udad de Cueta e las Oblgacoes de Iformacó de los Orgasmos Rectores de los Mercados de Valores y de las Isttucoes de Iversó Colectva y sobre la expresó e euros de determados requstos relatvos al Sstema de Crédto e Operacoes Bursátles de Cotado y a las Operacoes Bursátles Especales, ha modfcado parcalmete a la Orde Msteral de 25 de marzo de 99. El sstema de crédto e operacoes bursátles al cotado es ua modaldad de préstamo de valores. S embargo esta modaldad de préstamo o es la úca que se cotempla e uestro ordeameto jurídco, exstedo reguladas otras modaldades como: El préstamo al Servco de Compesacó y Lqudacó co el f de asegurameto de la etrega de los valores e la fecha de lqudacó regulado por el artículo 57 del Real Decreto 6/992 sobre represetacó de valores por medo de aotacoes e cueta y compesacó y lqudacó de operacoes bursátles; 25

317 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Los cotratos de préstamo de valores admtdos a egocacó e u mercado secudaro regulados e el artículo 36.7 de la Ley del Mercado de Valores (al que do ua ueva redaccó la Ley 37/998), modaldad que ha sdo objeto de desarrollo por la Orde 74/2004 que regula determados aspectos de los préstamos de valores a que se refere el artículo 36.7 de la Ley 24/988 del Mercado de Valores. Por otra parte y al amparo del artículo 753 del Códgo Cvl se puede realzar otros préstamos de valores o sujetos a ua regulacó facera fscal específca. Las operacoes a crédto se caracterza porque ua determada etdad presta dero, e el caso de las compras a crédto, o títulos, e el caso de las vetas, para que la operacó se pueda realzar falmete como operacó al cotado. Cuado el versor tega expectatvas alcstas, la compra a crédto le permtrá multplcar sus gaacas; e cambo, cuado las expectatvas sea bajstas, la veta a crédto le permte aprovechar la caída del valor. MARCO LEGAL Las operacoes de compra-veta de valores a crédto se ecuetra reguladas fudametalmete e la Orde Msteral del Mstero de Ecoomía y Haceda de 25 de marzo de 99 que regula el Sstema de Crédto e Operacoes Bursátles de Cotado modfcada por la Orde del Mstero de Ecoomía y Haceda de 23 de septembre de 998. Dcha orma regula, etre otros, los sguetes aspectos: o Etdades que puede otorgar crédtos. Podrá otorgar crédtos de valores y de efectvo drectamete relacoados co operacoes de compra o veta de valores admtdos a egocacó e las bolsas de valores, las socedades de valores cuya declaracó de actvdades prevea dcha posbldad expresamete, así como també las etdades ofcales de crédto, los bacos y cajas de ahorro, cludas la cofederacó española de cajas de ahorros y la caja postal de ahorros, y las cooperatvas de crédto. o Valores sobre los que se puede operar a crédto. Se puede operar sobre los valores que determe la socedad rectora de cada Bolsa, de etre los admtdos a egocacó e ella o, e su caso, la Socedad de Bolsas. Tales valores debe ser e todo caso valores cludos e el sstema de compesacó y lqudacó. 26

318 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS o o Importe mímo del crédto. Las órdees de compra o de veta debe asceder como mímo a.200. Vecmeto de los crédtos. El vecmeto del crédto será el últmo día hábl del mes correte para las operacoes cotratadas e la prmera qucea del msmo y el últmo día hábl del mes próxmo para las cotratadas e la seguda qucea. S perjuco de ello, las operacoes de crédto podrá cacelarse a volutad del acredtado ates del vecmeto, co tal de que así lo mafeste co dos días de atelacó a la fecha de cacelacó. Vecdo, e su caso atcpadamete, el crédto, se procederá por las etdades acreedoras a su cacelacó y lqudacó, de acuerdo co el caledaro que fje la socedad rectora de cada Bolsa o, e su caso, la Socedad de Bolsas, caledaro que deberá ser publcado e los boletes de cotzacó co dos días hábles, al meos, de atelacó al co de su aplcacó. E la lqudacó que sga a la cacelacó del crédto, los acredtados etregará a la etdad acreedora el efectvo o los valores adeudados. o Prórroga de los crédtos. Salvo mafestacó e cotraro ates del vecmeto, se etederá que los compradores o vededores e régme de crédto solcta de la etdad acreedora la prórroga de sus poscoes por u mes. La msma regla será aplcable al vecmeto de la prórroga cocedda, s be o podrá otorgarse más de dos prórrogas de ua msma poscó. o Garatías exgbles. Tato e las operacoes de compra, como e las de veta, los acredtados deberá aportar las garatías que establezca la socedad rectora de cada Bolsa de Valores o, e su caso, la Socedad de Bolsas, que o podrá ser ferores a las fjadas co carácter geeral por la Comsó Nacoal del Mercado de Valores. Los acredtados deberá aportar complemetos de las garatías respecto de las poscoes de compra o veta que se hallase pedetes y tuvera por objeto valores cuya cotzacó hubera varado e más de u 0 % e cotra de la poscó a que las garatías se refere. Para el cálculo de los complemetos exgbles se tedrá e cueta el mporte de los derechos ecoómcos devegados durate la vgeca de las poscoes. 27

319 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS o Depósto del objeto de la operacó. Los valores adqurdos preva cocesó de u crédto quedará depostados e la etdad depostara hasta que se produzca la lqudacó del crédto. Los derechos ecoómcos devegados por los valores complemetará las garatías prestadas por el comprador a crédto, aplcádoseles el régme propo de las msmas. El mporte de las vetas efectuadas co préstamo de valores també deberá ser depostado, y de exstr, cremetará las garatías. o Publcacó y límtes de las codcoes geerales. Las etdades que preteda otorgar crédtos de valores y de efectvo deberá fjar, co ua perodcdad o feror a la semaal, las codcoes que aplcará a dchas operacoes, cluyedo las relatvas a garatías o coberturas. Cada operacó se regrá por las codcoes vgetes a la fecha de su celebracó o, e su caso, de su prórroga. La Comsó Nacoal del Mercado de Valores podrá fjar límtes geerales al volume de operacoes de crédto que puede otorgar las etdades. o Regstro de las operacoes. Las etdades que otorgue crédto deberá llevar u regstro de tales operacoes e el que costará: Las operacoes de compra, especfcado los valores comprados, el preco, el ombre del comprador y la fecha del vecmeto. Las operacoes de veta, especfcado los valores veddos, el preco, el ombre del vededor y la fecha de vecmeto. Los cotratos de préstamo de valores, especfcado los que sea objeto del cotrato, el ombre del prestamsta, la comsó del préstamo y la fecha de vecmeto del cotrato. Las garatías costtudas, separado la garatía cal y las complemetaras, y especfcado la fecha de costtucó de cada ua. 28

320 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS o Suspesó de las operacoes a crédto. Cuado se produzca determadas stuacoes, como que el cojuto de poscoes e régme de crédto sea excepcoal por su cuatía, o cuado se auce operacoes faceras que por su característcas puede dfcultar el desarrollo de determados valores, las socedades rectoras de las Bolsas de Valores o, e su caso, la Socedad de Bolsas, preva comucacó a la Comsó Nacoal del Mercado de Valores, podrá suspeder las operacoes e régme de crédto e relacó co los valores afectados. Credbolsa es u sstema de crédto dseñado por RBC Dexa Ivestor Servces que permte realzar operacoes de compra y de veta de valores e el mercado bursátl. Dcha etdad otorga crédtos de valores y de efectvo drectamete relacoados co operacoes de compra y veta de valores admtdos a egocacó e las bolsas de valores co arreglo al sstema regulado e la Orde 25 de marzo de 99 y co la ormatva establecda por la Socedades rectoras de las Bolsas de Madrd, Barceloa y Valeca. El procedmeto segudo e las operacoes de compra y veta de valores realzadas por esta etdad será: Operacoes de compra a crédto S el versor tee expectatvas alcsta, realzará ua operacó de compra a crédto. La operacó se realzará medate la frma de u cotrato marco etre el versor, el termedaro facero y RBC Dexa Ivestor Servces, España. Característcas de la operacó: - Para la lqudacó de la operacó RBC Dexa Ivestor Servces, España cocede u crédto, cuya cuatía ascederá al 75% del efectvo, aportado el versor ua garatía cal del 25%. - El versor debe aboar los tereses devegados por el crédto, e la fecha de vecmeto, y e caso de que se produzca prorrogas, a la falzacó de la prmera y de la seguda o be cuado se produzca la cacelacó de la operacó. El tpo de terés que se aplcará a la operacó será el tpo de terés vgete e el mometo de la cotratacó sobre el crédto coceddo. S exste prórrogas se aplcará el tpo de terés vgete e el mometo de la cocesó de éstas. - Cuado se produzca u desceso e la cotzacó de los títulos comprados mayor del 0% el versor deberá aportar garatía complemetara. Las garatías debe cubrr el 25% del valor efectvo del total de los títulos a precos de mercado más la pérdda producda por la dfereca de 29

321 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS cotzacó co respecto al preco cal. Los derechos ecoómcos devegados e la operacó se tedrá e cueta a efecto del cálculo del mporte de la garatía complemetara. S la cotzacó sube más del 0% co respecto al últmo cálculo que se haya efectuado de las garatías, se procederá a la devolucó de las garatías complemetaras. Las garatías complemetaras se remuera al correspodete tpo de terés, e el mometo de su cacelacó, devolucó, al vecmeto de la operacó, y e el caso de que se produzca prorrogas al térmo de estas. - El mporte líqudo de los dvdedos cremeta las garatías complemetaras, remuerádose a gual tpo de terés que éstas. El aboo de los dvdedos se produce cuado exste ua dfereca mayor al 0% co respecto al últmo cálculo de garatías o be a la falzacó de la operacó. Operacoes de veta a crédto S el versor tee expectatvas bajstas, realzará ua operacó de veta a crédto. La operacó se realzará medate la frma de u cotrato marco etre el versor, el termedaro facero y RBC Dexa Ivestor Servces, España. Característcas de la operacó: - Para la lqudacó de la operacó RBC Dexa Ivestor Servces, España presta la totaldad de los valores ecesaros para la operacó, aportado el versor ua garatía cal del 25% sobre el valor efectvo de la veta. - Cuado se produzca u cremeto del valor de los títulos veddos mayor del 0% el versor deberá aportar garatía complemetara. Las garatías debe cubrr el 25% del valor efectvo del total de los títulos a precos de mercado más la pérdda producda por la dfereca de cotzacó co respecto al preco cal. Los derechos ecoómcos devegados e la operacó se tedrá e cueta a efectos del cálculo del mporte de la garatía complemetara. S la cotzacó baja más del 0% co respecto al últmo cálculo que se haya efectuado de las garatías, se procederá a la devolucó de las garatías complemetaras. Las garatías complemetaras se remuera al correspodete tpo de terés, e el mometo de su cacelacó, devolucó, al vecmeto de la operacó, y e el caso de que se produzca prórrogas al térmo de estas. 30

322 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS - E el mometo del devego de los dvdedos el vededor aboa al prestamsta, gual catdad al mporte bruto de los derechos ecoómcos geerados por los títulos. Ejemplo: El día 4 de mayo u versor compra a crédto.000 accoes de la socedad x. El preco de compra de dchas accoes es de 5. El tpo de terés aplcado a la operacó es del 0%. E la operacó se aplca las sguetes comsoes y cáoes: comsó del termedaro 0,0%, comsó de lqudacó 0,0% y cáoes bursátles 7. A día 3 de mayo, se produce la prórroga automátca de la operacó, ya que el versor o ha realzado mafestacó e cotra de dcha prórroga ates del vecmeto de la operacó. El día 30 de juo el versor acepta ua seguda prórroga. El día 24 de julo la cotzacó de las accoes es de 6, por lo que decde cacelar su poscó dado orde de veta de los títulos comprados. Calcular: El resultado y la retabldad obteda e la operacó Solucó: Cálculo del resultado de la operacó: Fase Cocepto Fecha Importe Aportacó cal Garatía Ical ( ,25) (3.750) Lqudacó de la compra a crédto Comsó del termedaro ( ,0%) (5) Comsó de la lqudacó ( ,0%) (5) Cáoes bursátles (7) Fal del º vecmeto 27 ª Prorroga. Ico Lqudacó de tereses ( % 0% ) (84,38) ª Prorroga. Fal 30 2ª Prorroga. Ico Lqudacó de tereses ( % 0% ) (93,75) Efectvo veta (.000 6) Cacelacó Comsó termedaro ( ,0%) (6) Comsó lqudacó ( ,0%) (6) Cáoes bursátles (7) Lqudacó de tereses ( % 0% ) (75) 360 Devolucó garatía Cacelacó compra (.000 5) (5.000) Resultado 670,87 (*) Al efectuarse la compra e la prmera qucea del mes el vecmeto del crédto será el últmo día hábl del mes correte. Cálculo de la retabldad obteda e la operacó: Resultado obtedo 670,87 Re tabldad 7,72% Captal vertdo ( ) 3

323 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Ejemplo: El día 20 de marzo u versor vede a crédto.000 accoes de la socedad x. El preco de veta de dchas accoes es de 5. El tpo de terés de remueracó de las garatías es del %. E la operacó se aplca las sguetes comsoes y cáoes: comsó del termedaro 0,0%, comsó de lqudacó cobrado 0,0% y cáoes bursátles 7. A día 30 de abrl, se produce la prórroga automátca de la operacó, ya que el versor o ha realzado mafestacó e cotra de dcha prorroga ates del vecmeto de la operacó. El día 3 de mayo el versor acepta ua seguda prórroga. El día 24 de juo la cotzacó de las accoes es de 4, por lo que decde cacelar su poscó dado orde de compra a su termedaro de los títulos veddos calmete. Calcular: El resultado y la retabldad obteda e la operacó Solucó: Cálculo del resultado de la operacó: Fase Cocepto Fecha Importe Aportacó cal Garatía Ical ( %) (3.750) Lqudacó de la veta a crédto Comsó del termedaro ( ,0%) (5) Comsó de la lqudacó ( ,0%) (5) Cáoes bursátles (7) Fal del º vecmeto 4 ª Prorroga. Ico Remueracó garatía ( % % ) ,27 ª Prorroga. Fal 3 2ª Prorroga. Ico Remueracó garatía ( % % ) ,23 Efectvo compra (.000 4) (4.000) Cacelacó Comsó termedaro ( ,0%) (4) Comsó lqudacó ( ,0%) (4) Cáoes bursátles (7) Remueracó garatía ( % % ) 2,5 360 Devolucó garatía Cacelacó veta (.000 5) Resultado 938 (*) Al efectuarse la compra e la seguda qucea del mes el vecmeto del crédto será el últmo día hábl del mes sguete. Cálculo de la retabldad obteda e la operacó: Resultado obtedo 938 Re tabldad 24,77% Captal vertdo ( ) 32

324 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 6.5. CRÉDITOS CON GARANTÍA DE VALORES Medate la etrega e garatía o pgoracó de valores moblaros se puede obteer u crédto cuyo mporte máxmo será el resultado de aplcar u coefcete al valor efectvo de aquéllos. Para la obtecó del crédto podemos pgorar ua sola clase de valores o varas clases de valores. També se puede obteer u crédto pgorado valores y co el mporte de este crédto adqurr uevos valores, que será pgorados a su vez para la obtecó de otro uevo crédto y así sucesvamete Pgoracó de ua clase de valores moblaros El mporte máxmo del crédto obtedo por la pgoracó de valores moblaros será el resultado de aplcar u coefcete de reduccó, al que llamamos cambo de pgoracó c ), sobre el valor efectvo de dchos valores. ( p El valor efectvo de los títulos pgorados por razó del cambo ( Ec ) será el resultado de multplcar el omal pgorado (N Nomal de los títulos x el úmero de títulos pgorados) por el cambo de cotzacó (c). N c E c 00 S al valor efectvo le aplcamos el cambo de pgoracó, obtedremos el mporte máxmo del crédto E ) que puede ser coceddo. ( p E p Ec c p N c c p El efectvo que recbe el acredtado será feror al mporte del crédto coceddo. Esto se debe a que e la operacó se produce gastos, que habrá de deducrse del mporte del crédto coceddo. Asmsmo se deducrá el mporte de los tereses de la operacó, debdo a que ormalmete se cobra por adelatado. El cambo de garatía ( c g ), será aquél al que debe de cotzar los títulos para que el crédto coceddo sea el máxmo. S el mporte que se obtee e la pgoracó es gual al límte máxmo, (c) será el cambo de garatía. S el mporte que se obtee e la pgoracó es feror al límte máxmo, deberemos calcular aquel cambo al que tedría que haber cotzado los valores para que el mporte del crédto obtedo hubese sdo el máxmo. c g E N c p p 33

325 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS El mporte máxmo del crédto por pgoracó de valores moblaros depede del cambo de pgoracó, del valor omal pgorado, y del cambo de cotzacó de estos. El cambo de cotzacó es varable y puede suceder que vaya a la baja, e cuyo caso, y s el desceso del cambo de cotzacó es superor al mporte fjado e el cotrato de pgoracó (co carácter geeral el 0%), el acredtado deberá reducr el mporte del crédto o aumetar la garatía. El cambo de reposcó es el límte al que puede bajar la cotzacó de los valores e garatía, para que el cotrato de pgoracó sga estado e vgor y el acredtado o deba aumetar la garatía o reducr el crédto. S se supera el límte al que puede bajar la cotzacó de los valores e garatía para que el cotrato sga estado vgete, el acredtado puede optar por ua de las dos alteratvas sguetes: Aumetar la garatía: S el límte al que puede bajar la cotzacó es el 0% tedremos que aumetar el mporte de la garatía cuado la cotzacó desceda a 9 c, sedo el mporte del aumeto de la garatía, es decr, el 0 úmero de títulos a aportar para poder segur co el msmo mporte de crédto (N ), aquél que haga que se guale el mporte del crédto coceddo ( E p ), co el mporte máxmo de crédto a coceder ( E p ) al uevo cambo de cotzacó. N c c p E p y c p E p N c 0 00 Igualado ambas expresoes: N c c p 9 c p N c Resulta: 9 0 N N N N N N + N Debédose aumetar la garatía e ua ovea parte. 34

326 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Reducr el crédto: S el límte al que puede bajar la cotzacó es el 0% tedremos que 9 morar el mporte del crédto cuado la cotzacó desceda a c, 0 sedo el mporte de la reduccó del préstamo la dfereca exstete etre el mporte del crédto coceddo calmete ( E p ), y el mporte máxmo del préstamo a coceder e el mometo actual E ). ( p Por tato: 9 N c c N c c p p 9 E p y E p 0 E p El mporte de la reduccó será: 9 E p E p E p 0 0 Ejemplo: La socedad X obtee u préstamo por la pgoracó de.000 accoes de la socedad Y, cuya cotzacó es de 30. S el cambo de pgoracó es del 90%. Calcular: º La cuatía máxma que se puede obteer como préstamo. 2º El líqudo que se obtedrá e la operacó, s los gastos de formalzacó so de 00, y se cobra por adelatado los tereses (sabedo que la operacó se ha cocertado a 6 meses y a u tpo de terés aual del 0%). 3º El mporte de la reduccó del préstamo, s el cambo descede hasta el cambo de reposcó y o se decde aumetar la garatía. Solucó: º Cálculo de la cuatía máxma del préstamo: E p Ec c 00 p º Cálculo del mporte recbdo por el acredtado: E l E p 6 Comsoes - Itereses ( ,0)

327 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS 3º Cálculo del mporte de la reduccó del préstamo: Como el límte al que puede bajar la cotzacó es del 0%, la ueva cotzacó 9 9 será c El mporte de la reduccó del préstamo será la dfereca exstete etre el mporte del crédto coceddo calmete E ), y el mporte máxmo del ( p préstamo a coceder e el mometo actual E ). ( p Por tato: E p y E p El mporte de la reduccó será: E p E p Pgoracó de varas clases de valores moblaros Sea A, B y C los valores pgorados, cuyos omales so N A, N B, N C, sus cotzacoes so c A, cb, cc, y sus cambos de pgoracó cpa, cpb, cpc, y sea C el mporte del préstamo solctado. La operatora a segur para el cálculo de los efectvos máxmos que se puede coceder para cada clase de valores, del cambo de garatía y del cambo de reposcó será: º Cálculo de los efectvos máxmos que se puede coceder para cada clase de valores: E A N A c A c PA E B N B cb c PB E C N C cc c PC 2º Ahora debemos determar que parte del crédto queda garatzada co cada clase de valores, medate u reparto proporcoal del crédto solctado a los efectvos máxmos. E A C + E B + E C C E A A C + E B B C + E C C Dode: C A E A E A + E C B + E C 36

328 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS C C B C E E A A E B + E E C + E C B B + E C + E C C 3º Determacó de los cambos de garatía y de reposcó para cada clase de valores. c ga C N c A PA A c gb C N c B PB B c gc C N c C PC C C ra 0, 9 C ga C rb 0, 9 C gb C rc 0, 9 C gc Ejemplo: La socedad X obtee u préstamo por la pgoracó de los sguetes valores: Calcular: Nomal Títulos Cambo de Número Cotzacó pgoracó 50 Accoes Boos º La cuatía máxma que se puede obteer como préstamo. 2º El líqudo que se obtedrá e la operacó, s los gastos del préstamo so del 3 por.000 Solucó: º Cálculo de la cuatía máxma del préstamo: N A c A cpa Accoes: E A N B cb cpb Boos: E B Préstamo: E E A + B 2º Cálculo del mporte recbdo por el acredtado: E l E p Comsoes , ,97 37

329 Capítulo 6. VALORES MOBILIARIOS Pgoracoes sucesvas de valores moblaros Se puede obteer u crédto pgorado valores y co el mporte de este crédto adqurr uevos valores, que será pgorados a su vez para la obtecó de otro uevo crédto y así sucesvamete. S expresamos P c como q p obtedremos el efectvo de las sucesvas pgoracoes: ª pgoracó q p c N E p 00 2ª pgoracó q p c N q p E E P p 3ª pgoracó q p c N q p E q p E E P P p -ésma pgoracó P p q p c N q p E E 00 S sumamos y sacamos factor comú resulta: p q q p p c N q p q p q p q p q p c N E S ahora hacemos que, es decr, que se repta la pgoracó de valores u úmero fto de veces os queda: p q p c N E 00, ya que q p <, y por lo tato 0 q p