MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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1 MAEMÁICAS FINANCIERAS Aloso

2 ÍNDICE. INERÉS SIMPLE 4. CONCEPOS PREVIOS DEFINICIÓN DE INERÉS SIMPLE FÓRMULAS DERIVADAS INERPREACIÓN GRÁFICA INERÉS COMPUESO 9 2. DEFINICIÓN DE INERÉS COMPUESO FÓRMULAS DERIVADAS COMPARACIÓN ENRE INERÉS SIMPLE Y COMPUESO ASAS DE INERÉS DESCUENO COMERCIAL 6 3. CONCEPOS PREVIOS SOBRE DESCUENO DESCUENO COMERCIAL SIMPLE DESCUENO COMERCIAL COMPUESO ASAS DE DESCUENO RELACIÓN ENRE LA ASA EFECIVA DE DESCUENO COMERCIAL SIMPLE Y UNA ASA EFECIVA DE INERÉS SIMPLE RELACIÓN ENRE LA ASA EFECIVA DE DESCUENO COMERCIAL COMPUESA Y UNA ASA EFECIVA DE INERÉS COMPUESO DESCUENO RACIONAL DESCUENO RACIONAL SIMPLE DESCUENO RACIONAL COMPUESO RELACIÓN ENRE LA ASA EFECIVA DE DESCUENO RACIONAL SIMPLE Y UNA ASA EFECIVA DE INERÉS SIMPLE RELACIÓN ENRE LA ASA EFECIVA DE DESCUENO RACIONAL COMPUESA Y UNA ASA EFECIVA DE INERÉS COMPUESO EQUIVALENCIA ENRE ASAS DE DESCUENO RACIONAL... 27

3 5. RENAS DEFINICIONES CLASIFICACIÓN DE LAS RENAS RENA CIERA, EMPORAL, CONSANE, ENERA, INMEDIAA Y VENCIDA RENA CIERA, EMPORAL, CONSANE, ENERA, INMEDIAA Y ADELANADA RENA CIERA, PERPEUA, CONSANE, ENERA, INMEDIAA Y VENCIDA RENA CIERA, PERPEUA, CONSANE, ENERA, INMEDIAA Y ADELANADA RENA CIERA, EMPORAL, CONSANE, ENERA, DIFERIDA Y VENCIDA AMORIZACIONES DEFINICIONES CÁLCULO DE LA CUOA DE AMORIZACIÓN /. INDICADORES PARA EVALUAR PROYECOS CONCEPOS PREVIOS /.2 VALOR ACUAL NEO (VAN) /.3 ASA INERNA DE REORNO (IR)... 4 /.4 OROS ELEMENOS PARA EVALUAR PROYECOS... 4 /.5 COMPARACIÓN ENRE VAN Y LOS DEMÁS ELEMENOS PARA EVALUAR PROYECOS ANEXOS I. ESRUCURA DE UN PROYECO DE INVERSIÓN II. EJERCICIOS III. FÓRMULAS IV. PROGRESIONES V. PARCIALES

4 Matemátcas Faceras. INERÉS SIMPLE. Coceptos Prevos ato cuado depostamos o os presta dero el baco os paga o os cobra u certo terés. Este terés puede ser calculado de dos maeras dferete: S captalzar tereses cada certo período (Iterés Smple) Captalzado tereses cada certo período (Iterés Compuesto) Comezaremos e esta parte estudado el cálculo de Iterés Smple, para ello veremos prevamete alguas defcoes de térmos a utlzar: Captal: Es la catdad de dero que depostamos o que os presta. Lo desgaremos co la letra C. Ej. U$S 0.000, $ , etc. empo: Es el tempo durate el cual depostamos o os presta el Captal C. Lo desgaremos co la letra. Ej. 3 meses, u año, etc. asa de Iterés: Se puede expresar de dos maeras dferetes a) Como la catdad de dero que produce 00 udades de la moeda correspodete durate u determado tempo. E este caso també suele llamarse tato por ceto, lo desgaremos co la letra R. Ej. 5% aual, 2% trmestral,,5 % mesual, etc., b) Como la catdad de dero que produce ua udad de la moeda correspodete durate u determado tempo. E este caso també suele llamarse tato por uo. Lo desgaremos co la letra. Ej. 0,05 por uo aual, 0,02 por uo trmestral, 0,05 por uo mesual, etc. Cuado o se dca la udad de tempo se tomará por defecto que es aual. Esto es aplcable tato a depóstos como a préstamos. El tato por uo es la cetésma parte del tato por ceto, de lo que resulta: R = 00 Iterés : Es la catdad de que recbmos o debemos pagar por el depósto o préstamo de u certo Captal C. Lo desgaremos co la letra I. Ej. U$S.000, $ 5.000, etc. Moto : Es la catdad de dero que obtedremos o deberemos pagar (segú sea depósto o préstamo) durate u certo período de empo. E otras palabras, es la suma del Captal C co el que empezamos el período de tempo y los tereses geerados durate el msmo. Lo desgaremos co la letra M. Ej. U$S 5.000, $ 5.000, etc..2 Defcó de Iterés Smple Dremos que el Iterés I es Iterés Smple, cuado solamete es el Captal C que geera el msmo durate el tempo, período durate el cual dura la trasaccó realzada. Este terés depede del Captal C, el empo y la tasa de terés (R ó ), y es drectamete proporcoal a cada uo de ellos. Veremos como obteer la fórmula para hallar dcho Iterés smple. Calcularemos el Iterés Smple I producdo por u Captal C, colocado al R% aual durate u período de empo. Segú la defcó de R, $ 00 geerará $ R durate u año. Haremos ua regla de tres para determar cuato geera $ C durate u año. $ $ R $ C $ X año X año = Iterés geerado durate u año C R X año = 00 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 4

5 Matemátcas Faceras Calcularemos, medate otra regla de tres, el terés geerado durate u período de tempo. año $ X año años $ I I = Xaño pero susttuyedo X año os queda: C R I = 00 y R debe estar dados e la msma udad de tempo, por ejemplo s la tasa R es aual, debe estar e años. Ejemplo de Aplcacó : Hallar el terés smple que produce U$S 3.000, colocados al 5% aual durate 4 años I = = U$S E certas ocasoes, la tasa vee dada como tato por uo (), por lo que la fórmula de Iterés Smple queda: I = C No debemos olvdar que la asa (R o ) y el empo debe estar dados e la msma udad. S o fuese así, se debe covertr a la msma udad de tempo. Para realzar la coversó teemos que dstgur dos stuacoes dferetes, s queremos calcular el Iterés Smple exacto u ordaro. Para el prmero se trabaja sobre u año co la catdad de días exacto (365 ó 366 días), para el segudo se cosdera los años de 360 días. ambé se puede calcular el tempo e forma exacta o aproxmada. Para el prmero se cosdera el úmero exacto de días que dura la trasaccó, para el segudo se supoe el mes de 30 días. Ejemplo de aplcacó 2: Hallar el Iterés Smple que produjo u Captal de $ 0.000, colocado al 0,2 por uo aual desde el 3 de marzo al 2 de juo del msmo año (año ormal). Debemos dstgur los dos tpos de terés, el exacto y el ordaro, y a su vez e cada uo de ellos otros dos casos, co tempo exacto o aproxmado. empo Exacto: días de marzo + días de abrl + días de mayo + días de juo = 0 días empo Aproxmado: Fraccó de mes = 2-3 = 8 días Meses completos = 3 meses = 3 30 = 90 días otal de días = 08 días Iterés Smple Exacto: Co empo Exacto: 365 días año 0 días X X = 0,3037 años I = , 20 0, 3037 = $ 602,74 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 5

6 Matemátcas Faceras Co empo Aproxmado: 365 días año 08 días X X = 0,29589 años I = , 20 0, = $ 59,78 Iterés Smple Ordaro: Co empo Exacto: 360 días año 0 días X X = 0,30556 años I = , 20 0, = $ 6,2 Co empo Aproxmado: 360 días año 08 días X X = 0,30000 años I = , 20 0, = $ 600,0 De las cuatro maeras resultates de calcular el Iterés Smple e el ejercco ateror, la más usada es el Iterés Smple Ordaro co empo Exacto..3 Fórmulas Dervadas Veremos a cotuacó de que maera calcular cada ua de las varables e juego, coocedo las restates. Moto Fal M Segú lo habíamos defdo, el Moto fal M era la suma del Captal cal C y los tereses geerados durate el tempo que dure la trasaccó. De esto resulta: M = C + I Pero també teíamos que I = C, de modo que susttuyedo I e la fórmula ateror resulta: M = C+ C M = C ( + ) Ejemplo de aplcacó 3 : S depostamos u Captal de U$S durate 2 años a u tasa del 5% aual, cuál será el Moto Fal obtedo?. ( ) M = , 05 2 = U$S.000 asa R De la fórmulas de Iterés Smple y Moto Fal podemos despejar R e, quedádoos: 00 I R = C = I C Uversdad Católca del Uruguay Pág. 6

7 Matemátcas Faceras = M C Ejemplo de aplcacó 4 : A qué tasa fue colocado u Captal de U$S s durate 3 años geeró u Iterés Smple de U$S.800? R = = 4% empo De las fórmulas de Iterés Smple y el Moto Fal, podemos despejar, quedádoos: 00 I = C R = I C = M C E estas fórmulas, el estará dado e la udad e la que está expresada R e. Por ejemplo, s R es aual, el tempo estará expresado e años. Geeralmete estará e años y dará u úmero decmal por lo que para expresarlo e años, meses y días, todo e días, etc. debemos realzar reglas de tres. Ejemplo de aplcacó 5 : Durate que tempo fue colocado u Captal de U$S s colocado al 5% aual geeró u Iterés Smple de U$S.400? = = 2,8 años Covertremos este resultado a días: año días 2,8 años X X =.008 días Captal Ical C De la fórmula de Iterés Smple podemos despejar C, quedádoos: 00 I C = R C = I C = M + Uversdad Católca del Uruguay Pág. 7

8 Matemátcas Faceras Ejemplo de aplcacó 6 : Cuál fue el Captal que colocado al 5,5% aual durate 2 años geeró u Iterés Smple de U$S 2.200?. C = , 2 = U$S Iterpretacó Gráfca Moeda M = C (+.) C C I = C.. I Período de empo () Uversdad Católca del Uruguay Pág. 8

9 Matemátcas Faceras 2. INERÉS COMPUESO 2. Defcó de Iterés Compuesto Cuado cosderábamos Iterés Smple, sólo el Captal Ical geeraba tereses. E el Iterés Compuesto, los tereses se captalza co certa perodcdad (mesual, trmestral, etc.), es decr se va agregado al Captal Ical, geerado també tereses. El Captal aumeta peródcamete y por tato los tereses que se va geerado. Sgue valedo la relacó etre el Captal C, el Moto Fal M y el Iterés geerado I, resultado: I = M - C. Veremos como calcular el Moto fal M para luego s poder hacerlo co el Iterés Compuesto co la fórmula ateror. Resolveremos prmero u ejercco secllo de Iterés Compuesto, utlzado la fórmula de Iterés smple. U Captal de $ es colocado al 5% aual durate u período de 3 años, captalzádose los tereses al fal de cada año. Calcular el Moto fal y los Itereses geerados. Calcularemos prmero el Iterés y el Moto geerados al fal del prmer año: I = = $ M = C + I = = $ El segudo año lo comezaremos co u Captal que será gual al Moto co que termamos el prmer año (suma de Captal Ical más el Iterés geerado e ese prmer año). Es decr: C 2 = M = $ Calcularemos el Iterés y el Moto geerados durate el segudo año: I 2 = = $ M 2 = C 2 + I 2 = = $ El tercer año lo comezaremos co u Captal que será gual al Moto co que termamos el segudo año (suma de Captal co que camos el segudo año más el Iterés geerado e ese msmo año). Es decr: C 3 = M 2 = $ Calcularemos el Iterés y el Moto geerados durate el tercer año: I 3 = = $ 5.52,50 00 M 3 = C 3 + I 3 = ,50 = $ 5.762,50 Quere decr que el Moto al fal del período que dura la trasaccó es: M = $ 5.762,50 El Iterés geerado será: I = 5.762, = $ 5.762,50 Hagamos ua tabla que resuma el ejercco: Año Captal Ical Itereses Moto Fal , , ,50 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 9

10 Matemátcas Faceras Veremos la maera de obteer ua fórmula para calcular drectamete el Moto Fal. Realzaremos el msmo procedmeto utlzado para resolver el ejercco ateror, pero utlzado las varables como tales, s sustturlas por valores. Comezamos co u Captal C, colocado a ua asa, durate u tempo, co captalzacó de tereses aual. El Iterés y el Moto geerados al fal del prmer año es: I = C = C M = C + I = C+ C = C ( + ) El segudo año lo comezaremos co u Captal de: C + C 2 = M = ( ) El Iterés y el Moto geerados durate el segudo año: I 2 = C2 = C2 C2+ C2 = C2 + Susttuyedo C 2 por lo que os había dado: M 2 = C 2 + I 2 = ( ) M 2 = C ( + ) ( + ) = C ( + ) El tercer año lo comezaremos co u Captal de: C 3 = M 2 = C ( + ) El Iterés y el Moto geerados durate el tercer año será: I 3 = C3 = C3 C3+ C3 = C3 + Susttuyedo C 3 por lo que os había dado: M 3 = C 3 + I 3 = ( ) M 3 = C ( + ) 2 ( + ) = C ( + ) 3 Demostraremos por duccó completa que la fórmula para calcular el Moto Fal e Iterés Compuesto es: M = C ( + ) Para = se cumple ya que lo calculamos aterormete: M = C ( + ) se cumple Supoemos que para = N se cumple y demostraremos que també se cumple para = N+: Hpótess) MN = C ( + ) ess) MN + = C ( + ) S os stuamos al comezo del año = N +, el Captal C N+ co que empezamos dcho año es: N N + CN + = MN = C ( + ) El Iterés y el Moto geerados durate el año = N + so: IN + = CN + = CN + MN + = CN + + IN + = CN + + CN + = CN + ( + ) 2 N 2 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 0

11 Matemátcas Faceras Susttuyedo C N+ por lo que os había dado, queda demostrada la ess: N MN + = C ( + ) ( + ) = C ( + ) Etoces, podemos decr que la fórmula para hallar el Moto Fal co Iterés Compuesto es: M = C ( + ) Por otro lado, como el Iterés Compuesto estaba dado como I = M - C, susttuyedo M os queda: I = C ( + ) C I = C [( + ) ] E ambas fórmulas, el empo y la asa debe estar dados e udades guales al período de captalzacó. Es decr, s la captalzacó es trmestral, el empo debe estar e trmestres y la asa trmestral. Ejercco de Aplcacó : Hallar el Iterés y el Moto Fal que geeró u Captal de U$S 3.000, colocado al 6% aual durate 4 años, co captalzacó de tereses trmestral. Como la captalzacó es trmestral, debemos covertr el empo e trmestres y la asa e trmestral. = , = 0,06 por uo aual = 4 = 4 4 = 6 trmestres = 0,05 trmestral ( ) M = , 05 6 M = (, 05) 6 N+ M = , = U$S 6.496,82 I = M - C I = 6.496, = U$S 3.496, Fórmulas Dervadas De la fórmula de Moto hallada aterormete podemos despejar C, quedádoos: M C = ( + ) Ejercco de Aplcacó 2 : Hallar el Captal que produjo u Moto Fal de U$S 8.000, s fue colocado al 6% aual durate 5 años, co captalzacó de tereses aual C = = ( + 0, 06) 5 U$S 5.978,07 De la fórmula de Moto hallada aterormete podemos despejar, quedádoos: log M = logc ( + ) log M = logc+ log( + ) log M = logc+ log( + ) log M logc = log( + ) Uversdad Católca del Uruguay Pág.

12 Matemátcas Faceras log M log C = log( + ) Ejercco de Aplcacó 3 : Hallar el empo durate el cual estuvo colocado u Captal de U$S 5.000, que al 5% aual geeró u Moto Fal de U$S 2.000, habedo tedo captalzacó de tereses mesual. log log = log( + 005, 2 ) 4, , 7609 = = 80,9 meses 0, Expresaremos la fraccó de mes e días: mes días 0,9 mes X X = 27 días El resultado fal es : = 80 meses 27 días De la fórmula de Moto hallada aterormete podemos despejar, quedádoos: M C = ( +) M = + C M = C Ejercco de Aplcacó 4: Hallar la asa a la que fue colocado u Captal de $ 8.000, que durate 6 años geeró u Moto Fal de $ , habedo tedo captalzacó de tereses aual = 6 = 0,423 por uo R = 4,23% 2.3 Comparacó etre Iterés Smple y Compuesto Supogamos que teemos u Captal C el cual podemos depostar e dos modaldades dferetes: S captalzacó de tereses (Iterés Smple) Co captalzacó de tereses (Iterés Compuesto) El período durate el cual lo depostamos es, y este empo está dcado e udades de tempo guales al período de captalzacó. E el prmer caso (Iterés Smple) o habrá captalzacó de tereses, y el Moto Fal queda de la sguete maera: M = C+ C = C ( + ) Uversdad Católca del Uruguay Pág. 2

13 Matemátcas Faceras E el caso que teemos captalzacó de tereses (Iterés Compuesto), el Moto Fal queda: Vamos a grafcar ambos Motos: M = C ( + ) M M c M s C.(+) C Período de empo () De la gráfca ateror, podemos sacar las sguetes coclusoes: = 0 MS = Mc = C 0< < MS > Mc = MS = Mc = C ( + ) > MS < Mc 2.4 asas de Iterés Cuado estamos trabajado co Iterés Compuesto, el dato de la asa que teemos puede ser: asa de Iterés Nomal (R N, N ) asa Efectva de Iterés (R E, E ) asa Efectva de Iterés e el Período de Captalzacó (R C, C ) asa de Iterés Real (R R, R ) asa de Iterés Istatáea (R I, I ) asa de Iterés Nomal La asa de Iterés Nomal es aquélla que tee 2 captalzacoes por lo meos e la udad de empo e la que está defda. Por ejemplo, s la asa es aual y las captalzacoes so trmestrales. La asa dcada e el Ejercco de Aplcacó es la asa de Iterés Nomal aual. R N = 6% aual N = 0,06 por uo aual asa Efectva de Iterés La asa Efectva de Iterés es aquélla que efectvamete gaamos e el período de empo e el que está defda. Esta asa es mayor que la asa de Iterés Nomal, sempre que ambas esté defdas e u certo período. E el Ejercco de Aplcacó la asa Efectva de Iterés aual se calcula de la sguete maera: E = ( + 0,05) 4 - = 0,0636 por uo aual R E = 6,36% aual Uversdad Católca del Uruguay Pág. 3

14 Matemátcas Faceras asa Efectva de Iterés e el Período de Captalzacó Es la asa de Iterés que se aplca a cada período de captalzacó. E el Ejercco de Aplcacó la asa Efectva de Iterés e el Período de Captalzacó se calcula de la sguete maera: R C = 6 4 asa de Iterés Real = 5,% 006, trmestral C = 4 = por uo trmestral Cuado algue fja el valor de la asa de Iterés a cobrar e u certo préstamo por ejemplo, tee e cueta dos cosas: asa de Iflacó e la moeda que se realza la operacó y e el período que dure el préstamo Beefco que desea obteer Esta últma compoete de la asa de Iterés (el beefco que se desea obteer) se llama asa Real. S llamamos D a la asa de Iflacó y q a la catdad de captalzacoes que se tee e ua udad de tempo, veremos cual es la relacó de la asa de Iterés Real co las restates asas. q N q + = ( + C) = ( + E) = ( + D) ( + R) q De la relacó ateror se puede obteer cualquera de las asas volucradas e fucó de las otras. Ejercco de Aplcacó 5: S se tee que la flacó esperada es de % y la asa de Iterés cobrada por el Baco es de 20%, calcular cual es la asa de Iterés Real. ( + 0, 20) = ( + 0, ) ( + R) R = 0,0808 por uo R R = 8,08% asa de Iterés Istatáea La asa de Iterés Istatáea es la mayor asa Efectva de Iterés para ua determada asa de Iterés Nomal. Para ua msma asa de Iterés Nomal, a meor período de captalzacó correspode mayor terés, por lo que la asa de Iterés Istatáea será aquélla e la que el período de captalzacó tede a cero, o vsto de otra maera, la catdad de captalzacoes e ua udad de tempo tede a. Veremos como obteer ua fórmula para calcular la asa de Iterés Istatáea. Partremos de la sguete fórmula ya hallada: S susttumos C e fucó de N teemos: ( + I) = ( + ) C q q q N ( + I) = + = + = + q q q N N q N N Uversdad Católca del Uruguay Pág. 4

15 Matemátcas Faceras Cuado q : + q N q N e Etoces resulta: Despejado I os queda: Despejado N os queda: ( + I) = e I N N = e L( + I) = Le N L( + I) = N Le N = L( + I) Ejercco de Aplcacó 6: Dada ua asa de Iterés Nomal de 5% mesual, hallar la máxma asa Efectva de Iterés que puede ser cobrada. 005, I = e = 0,0527 por uo mesual I R = 5,27% mesual El cálculo del Moto para el caso que tegamos captalzacó de tereses statáea os queda: M = C e N Uversdad Católca del Uruguay Pág. 5

16 Matemátcas Faceras 3. DESCUENO COMERCIAL 3. Coceptos Prevos Sobre Descueto U Descueto cosste e recbr ua certa catdad de dero a cambo de la posesó de uo o varos documetos a cobrar e el futuro. E la fecha de vecmeto, s los msmos o puede ser cobrados, la persoa que los etregó a cambo de dero deberá hacerse cargo de los msmos. E el tema de Descuetos exste varos coceptos que es ecesaro defr co clardad. Veremos a cotuacó cada uo de ellos. Pagaré o Coforme: Es ua promesa escrta de pago de ua determada catdad de dero estpulada e el msmo, e ua fecha dada. E ellos suele dcarse la fecha e que se suscrbó, el deudor, la fecha de vecmeto, el moto (cluyedo o o los tereses) y la asa de Iterés (s los tereses o está cludos e el moto). Valor Nomal: Catdad de dero dcada e el documeto (V N ). Valor Actual: Valor que se recbe por descotar el documeto (V A ). asa Efectva de Descueto: Es el descueto por udad de tempo que os hace por adelatar el cobro de ua udad moetara (d). Ej. 0,03 por uo mesual. ambé puede expresarse como tato por ceto (d%). Ej. 3% mesual. empo de Vecmeto: empo que va desde que se descueta el documeto hasta su vecmeto (). El empo y la asa de Descueto debe estar dados e la msma udad de tempo. Defdos estos coceptos, podemos defr el Descueto (D) como la dfereca etre el Valor Nomal y el Valor Actual. D = V N - V A U Descueto se puede asocar a u préstamo. E el Descueto exste ua persoa que recbe dero a cambo de documetos por u valor superor, a cobrar e ua fecha futura. Al cobrar los documetos, este dero estará compuesto por la catdad adelatada más otra que represetará de algua forma tereses por el servco. La correspodeca etre los dos casos (Descueto y Préstamo) es: Valor Actual Captal Prestado Valor Nomal Moto Fal Descueto Iterés Segú sobre que valor se aplca la asa de Descueto y s hay o o aplcacoes peródcas (el equvalete a la captalzacó e terés compuesto) tedremos dsttos tpos de Descuetos: Descueto Comercal Smple Descueto Comercal Compuesto Descueto Racoal Smple Descueto Racoal Compuesto La dfereca etre u Descueto Comercal Smple y uo Compuesto es que e éste últmo se realza Aplcacoes (equvalete a captalzacó de tereses) cada certo período. 3.2 Descueto Comercal Smple E el Descueto Comercal Smple, la asa de Descueto se aplca sobre el Valor Nomal del Documeto. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 6

17 Matemátcas Faceras S el documeto es de u Valor omal V N, que vece e udades de tempo y es descotado a la asa Efectva de descueto d, y retrocedemos desde la fecha de vecmeto ua udad de tempo haca atrás teemos: D, = d VN VA, = VN D, = VN d VN VA, = VN ( d) S cosderamos el Descueto para el período (-,-2), éste resulta: D 2, = d VN V, 2 = V D, D 2, = V d V d V VA, 2 = VN ( 2 d) A N N N N S hacemos lo msmo para el período (-2,-3), resulta: D 3, 2 = d VN V, 3 = V D, D 2, D 3, 2 = V d V d V d V VA, 3 = VN ( 3 d) A N N N N N S segumos aplcado este procedmeto, resultaría: = D = d VN = d V = VA = VN D = VN d VN D = VN d VA = VN ( d) Veremos la terpretacó gráfca de la fórmula ateror: N Dero V N D D V A empo () V A Uversdad Católca del Uruguay Pág. 7

18 Matemátcas Faceras S d > deberíamos pagar por descotar u documeto, lo que resultaría lógco. Es por esto que surge el cocepto de Descueto Comercal Compuesto, el que veremos más adelate. Ejercco de Aplcacó : U documeto cuyo Valor Nomal es de $ y vece detro de 5 meses, es descotado co Descueto Comercal Smple al 4% mesual. Calcular la catdad de dero que se recbrá por el descueto. Lo que teemos que calcular es el Valor Actual del documeto. Fórmulas Dervadas ( ) VA = , 04 VA = , 80 = $ De la fórmula de V A y D halladas aterormete podemos despejar V N, quedádoos: V N = VA d V N = D d S ahora despejamos os queda: = V A V d N = D VN d S ahora despejamos d os queda: d = V A V N d = D VN 3.3 Descueto Comercal Compuesto E el Descueto Comercal Compuesto, la asa de Descueto se aplca sobre el Valor al fal de la udad de tempo sobre la que estamos calculado el descueto. S el documeto es de u Valor omal V N, que vece e udades de tempo y es descotado a la asa Efectva de descueto d, y retrocedemos desde la fecha de vecmeto ua udad de tempo haca atrás teemos : D, = d VN VA, = VN D, = VN d VN Uversdad Católca del Uruguay Pág. 8

19 Matemátcas Faceras VA, = VN ( d) S cosderamos el Descueto para el período (-,-2), éste resulta: D 2, = d VA, = VN d ( d) VA, 2 = VA, D 2, = VA, VA, d VA, 2 = VA, ( d) = VN ( d) ( d) VA, 2 = VN ( d) Demostraremos por duccó completa que la fórmula para calcular el Descueto Comercal Compuesto es: VA = VN ( d) Para = se cumple ya que lo calculamos aterormete: VA = VN ( d) se cumple Supoemos que para = se cumple y demostraremos que també se cumple para = - : Hpótess) VA, = VN ( d) ess) VA, + = VN ( d) S os stuamos al fal de la udad de tempo = -, el Valor será gual al del comezo del período de empo =, es decr: VA, = VN ( d) El Descueto correspodete a ese período de tempo y el Valor al comezo del msmo so: 2 + D = VA, d V A,- = V A, -D - = V A, -VA, d = VA, ( d) V A,- = ( ) VN d ( d) + V A,- = VN ( d) Etoces, podemos decr que la fórmula para hallar el Valor Actual co Descueto Comercal Compuesto es: VA = VN ( d) Ejercco de Aplcacó 2 : U documeto cuyo Valor Nomal es de $ y vece detro de 6 meses, es descotado co Descueto Comercal Compuesto al 54% aual co aplcacoes mesuales. Calcular la catdad de dero que se recbrá por el descueto. Lo que teemos que calcular es el Valor Actual del documeto. = , = 0,54 por uo aual = 2 Fórmulas Dervadas = 0,045 mesual ( ) VA = , VA = , = $ ,39 De la fórmula de V A hallada aterormete podemos despejar V N, quedádoos: V N = VA ( d) Uversdad Católca del Uruguay Pág. 9

20 Matemátcas Faceras De la fórmula de V A hallada aterormete podemos despejar, quedádoos: logva = logvn ( d) logva = logvn + log( d) logva = logvn + log( d) logva logvn = log( d) log VA log V = log( d) De la fórmula de V A hallada aterormete podemos despejar, quedádoos: VA = ( d) VN VA = d VN N d = V V A N 3.4 asas de Descueto Al gual que e Iterés Compuesto, el dato de la asa que teemos puede ser: asa de Descueto Nomal (d N ) asa de Descueto Efectva (d E ) asa Efectva de Descueto e el Período de Captalzacó (d C ) asa de Descueto Real (d R ) asa de Descueto Istatáea (d I ) asa de Descueto Nomal La asa de Descueto Nomal es aquélla que tee 2 aplcacoes por lo meos e la udad de empo e la que está defda. Por ejemplo, s la asa de Descueto es aual y las captalzacoes so trmestrales. E el Ejercco de Aplcacó 2 la asa de Descueto omal es 54% aual. d N = 0,54 por uo aual asa Efectva de Descueto La asa Efectva de Descueto es aquélla que efectvamete os aplca e el período de empo e el que está defda. Esta asa es meor que la asa de Descueto Nomal, sempre que ambas esté defdas e u certo período. E el Ejercco de Aplcacó 2 la asa Efectva de Descueto aual se calcula de la sguete maera: d E = - ( - 0,045) 2 = 0,4245 por uo mesual asa Efectva de Descueto e el Período de Captalzacó Es la asa que se aplca a cada período de captalzacó. E el Ejercco de Aplcacó 2 la asa Efectva de Descueto e el Período de Captalzacó se calcula de la sguete maera: 054, d C = = 0,045 por uo mesual 2 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 20

21 Matemátcas Faceras asa de Descueto Real Cuado algue fja el valor de la asa Descueto a cosderar e u certo préstamo por ejemplo, tee e cueta dos cosas: asa de Iflacó e el período e que se hace el descueto Beefco que desea obteer Esta últma compoete de la asa (beefco que se desea obteer), se llama asa de Descueto Real. S llamamos D a la asa de Iflacó y q a la catdad de aplcacoes que se tee e ua udad de tempo, veremos cual es la relacó de la asa de Descueto Real co las restates asas. q dn q = ( dc) = ( de) = ( D) ( dr) q De la relacó ateror se puede obteer cualquera de las asas de Descueto volucradas e fucó de las otras. Ejercco de Aplcacó 3: S se tee que la flacó esperada es de 3% y la asa de Descueto cobrada por el Baco es de 27%, calcular cual es la asa de Descueto Real. asa de Descueto Istatáea ( 0, 27) = ( 0, 3) ( dr) d R = 0,6092 por uo La asa de Descueto Istatáea es la míma asa Efectva de Descueto para ua determada asa de Descueto Nomal. Para ua msma asa de Descueto Nomal, a meor período de aplcacó correspode meor terés, por lo que la asa de Descueto Istatáea será aquélla e la que el período de aplcacó tede a cero, o vsto de otra maera, la catdad de aplcacoes e ua udad de tempo tede a. Veremos como obteer ua fórmula para calcular la asa de Descueto Istatáea. Partremos de la sguete fórmula ya hallada: S susttumos d C e fucó de d N teemos: ( di) = ( d ) C q Cuado q : q q dn ( di) = = + = + q q q d N d N q d d N N Etoces resulta: Despejado d I os queda: dn + e q d N q ( di) = e dn d I = e dn Uversdad Católca del Uruguay Pág. 2

22 Matemátcas Faceras Despejado d N os queda: di = e dn di = e dn dn L( di) = L( e ) dn Le = L( di) dn = L( di) dn = L( di) ambé podemos poer: VA = VN e dn Ejercco de Aplcacó 4: Dada ua asa de Descueto Nomal de 6% mesual, hallar la míma asa Efectva de Descueto que puede ser aplcada. 006, di = e = 0,05823 por uo El cálculo del Valor Actual para el caso que tegamos aplcacoes statáeas os queda: VA = VN e dn 3.5 Relacó etre la asa Efectva de Descueto Comercal Smple y ua asa Efectva de Iterés Smple Dremos que ua asa de Iterés es equvalete a ua asa de Descueto s a guales Valores e el presete (Captal y Valor Actual respectvamete), luego de trascurrdo u msmo período de empo, se obtee al fal del msmo guales Valores (Moto Fal y Valor Nomal respectvamete). Esto es aplcable també a cualquera de las equvalecas que veremos más adelate. C = V A = X M = V N = Y Susttuyedo e las fórmulas correspodetes teemos: Y = X ( + ) X Y = d De lo ateror se puede deducr resolvedo el sstema que: + = d Despejado, os queda para que se cumpla la equvaleca: d d = d = + E las fórmulas aterores, d e debe estar expresadas e la msma udad de tempo. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 22

23 Matemátcas Faceras Ejercco de Aplcacó 5: Hallar la asa Efectva de Iterés Smple Mesual equvalete a ua asa Efectva de Descueto Comercal Smple de 4% mesual, para u período de empo de: a) 3 meses, b) año. 004, a) = = 0,04545 por uo mesual 3 0, , b) = = 0,07692 por uo mesual 2 004, 3.6 Relacó etre la asa Efectva de Descueto Comercal Compuesta y ua asa Efectva de Iterés Compuesto Aplcado el razoameto del puto ateror, se debe cumplr: C = V A = X M = V N = Y Susttuyedo e las fórmulas correspodetes teemos: Y = X ( + ) X Y = ( d) De lo ateror se puede deducr resolvedo el sstema que: ( + ) = ( d ) Despejado, os queda para que se cumpla la equvaleca: d d = d = + E las fórmulas aterores, d e debe estar expresadas e la msma udad de tempo. Ejercco de Aplcacó 6: Hallar la asa Efectva de Iterés Compuesto Mesual equvalete a ua asa Efectva de Descueto Comercal Compuesto de 5% mesual, para u período de empo de 5 meses. 005, = = 0,05263 por uo mesual 0, 05 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 23

24 Matemátcas Faceras 4. DESCUENO RACIONAL 4. Descueto Racoal Smple E el Descueto Racoal Smple, la asa de Descueto se aplca sobre el Valor Actual al co del período (Valor del mometo cero). S el documeto es de u Valor omal V N, que vece e udades de tempo y es descotado a la asa Efectva de descueto d, y retrocedemos desde la fecha de vecmeto ua udad de tempo haca atrás teemos: D, = d VA VA, = VN D, = VN d VA S cosderamos el Descueto para el período (-,-2), éste resulta: D 2, = d VA V, 2 = V D, D 2, = V d V d V VA, 2 = VN 2 d VA A N N A A S hacemos lo msmo para el período (-2,-3), resulta: D 3, 2 = d VA V, 3 = V D, D 2, D 3, 2 = V d V d V d V VA, 3 = VN 3 d VA A N N A A A S segumos aplcado este procedmeto, resultaría: Y despejado V A teemos: = D = d VA = d V = VA = VN D = VN d VA V A VN = + d A D = VA d Ejercco de Aplcacó : U documeto cuyo Valor Nomal es de $ y vece detro de 6 meses, es descotado co Descueto Racoal Smple al 5% mesual. Calcular la catdad de dero que se recbrá por el descueto. Lo que teemos que calcular es el Valor Actual del documeto VA = = $ , , 05 Fórmulas Dervadas De la fórmula de V A hallada aterormete podemos despejar V N, quedado: V N = VA ( + d) S ahora despejamos de las fórmulas de V A y D os queda: = VN V A d Uversdad Católca del Uruguay Pág. 24

25 Matemátcas Faceras S ahora despejamos d os queda: = D VA d d = VN V A d = D VA 4.2 Descueto Racoal Compuesto E el Descueto Racoal Compuesto, la asa de Descueto se aplca sobre el Valor al comezo de la udad de tempo de la que queremos calcular el descueto. S el documeto es de u Valor omal V N, que vece e udades de tempo y es descotado a la asa Efectva de descueto d, y retrocedemos desde la fecha de vecmeto ua udad de tempo haca atrás teemos: D, = d VA, VA, = VN D, = VN d VA, VN VA, = + d S cosderamos el Descueto para el período (-,-2), éste resulta: D 2, = d VA, 2 VA, 2 = VA, D 2, = VA, VA, 2 d VA, VA, 2 = + d Susttuyedo V A,- os queda : V A, 2 = VN ( + d ) Se puede demostrar por duccó completa, de maera smlar a la realzada para el Descueto Comercal, que: Sabedo que D = V N - V A teemos: V A VN = ( + d ) D = VN ( + d ) 2 Ejercco de Aplcacó 2: U documeto cuyo Valor Nomal es de $ y vece detro de 4 meses, es descotado co Descueto Racoal Compuesto al 3% mesual. Calcular la catdad de dero que se recbrá por el descueto. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 25

26 Matemátcas Faceras Lo que teemos que calcular es el Valor Actual del documeto VA = = ( + 003, ) 4 $ 39.98,92 Fórmulas Dervadas De la fórmula de V A hallada aterormete podemos despejar V N, quedádoos: V N = VA ( + d) De la fórmula de V N hallada aterormete podemos despejar, quedádoos: logvn = logva ( + d) logvn = logva+ log( + d) logvn = logva+ log( + d) logvn logva = log( + d) log VN log V = log( + d) De la fórmula de V N hallada aterormete podemos despejar d, quedádoos: VN = ( + d) VA VN = + d VA A d VN = VA 4.3 Relacó etre la asa Efectva de Descueto Racoal Smple y ua asa Efectva de Iterés Smple Para que se de la equvaleca se debe cumplr: C = V A = X M = V N = Y Susttuyedo e las fórmulas correspodetes teemos: Y = X ( + ) Y = X ( + d) De lo ateror se puede deducr resolvedo el sstema que: + = + d Despejado, os queda para que se cumpla la equvaleca: d = E las fórmulas aterores, d e debe estar expresadas e la msma udad de tempo. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 26

27 Matemátcas Faceras 4.4 Relacó etre la asa Efectva de Descueto Racoal Compuesta y ua asa Efectva de Iterés Compuesto Aplcado razoametos aterores, se debe cumplr: C = V A = X M = V N = Y Susttuyedo e las fórmulas correspodetes teemos: Y = X ( + ) Y = X ( + d) De lo ateror se puede deducr resolvedo el sstema que: ( + ) = ( + d) Despejado, os queda para que se cumpla la equvaleca: d = E las fórmulas aterores, d e debe estar expresadas e la msma udad de tempo. 4.5 Equvaleca etre asas de Descueto Racoal So smlares a las de terés. q dn q + = ( + dc) = ( + de) = ( + D) ( + dr) q d I dn = e dn = L( + di) VN = VA e dn Uversdad Católca del Uruguay Pág. 27

28 Matemátcas Faceras 5. RENAS 5. Defcoes Veremos a cotuacó alguas defcoes ecesaras para desarrollar el tema de Retas Retas: Es ua sere de Pagos o Cobros que se realza a tervalos regulares e el empo. A los Pagos o Cobros les llamamos Cuotas. E toda operacó, hay ua parte que paga la Reta y otra que cobra la Reta. Itervalo de Pago: empo etre Pagos o Cobros sucesvos. Plazo de la Reta: empo etre el comezo del prmer tervalo y el fal del últmo. Reta Aual: Suma de los Pagos o Cobros de u año. Valor Actual de ua Reta (V A ): Suma de los valores actualzados al mometo de la evaluacó de todos los Pagos o Cobros de la Reta. Para la actualzacó utlzaremos la fórmula de Iterés Compuesto. Moto de ua Reta (M): Suma de los valores actualzados al fal de la últma udad de empo e la que se hace el últmo Pago o Cobro, de todos los Pagos o Cobros de la Reta. Para actualzar la fórmula de Iterés Compuesto. 5.2 Clasfcacó de las Retas Las Retas se puede clasfcar de acuerdo a dferetes crteros: Sujetas o o a Codcó Aleatora Certa: No sujeta a codcó aleatora. Cotgete: Sujeta a codcó aleatora, depedete del azar. Duracó emporales: Dura u úmero fto de períodos de empo. Perpetuas o Vtalcas: Dura u úmero fto de períodos de empo. Importe de Pagos Costates: odas las Cuotas so guales. Varables: No todas las Cuotas so guales. Catdad de Pagos por Udad de empo Eteras: Ua Cuota por udad de empo. Fraccoaras: U úmero fto de Cuotas por udad de empo. Cotuas: Iftas Cuotas por udad de empo. Mometo e que se Efectvza la Cuota Imedatas: La prmer Cuota se efectvza e la prmera udad de empo e la cual se geera tereses. Dferdas: La prmer Cuota se efectvza después de termada la prmera udad de empo e la cual se geera tereses. Atcpada: La prmer Cuota se efectvza ates de la prmer udad de empo durate la cual se geera tereses. Mometo detro de la Udad de empo e que se efectvza la Cuota Adelatadas: La Cuota se efectvza al comezo de la udad de empo. Vecdas: La Cuota se efectvza al fal de la udad de empo. Combado estos crteros podemos obteer dsttos tpos de Retas. Veremos alguos de ellos. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 28

29 Matemátcas Faceras 5.3 Reta Certa, emporal, Costate, Etera, Imedata y Vecda De acuerdo al tpo de reta, y cosderado que el úmero de pagos es de u moto costate C, el flujo de pagos será: C C C C C C C Calcularemos el Valor Actual de este tpo de reta. S Hallamos el Valor Actual de cada uo de los pagos, teemos: S llamamos r = + C C C C VA = ( + ) ( + ) ( + ) teemos: VA = C ( r + r + r + r r ) El resultado de la progresó geométrca ateror es: De lo ateror, susttuyedo r teemos: r VA = C r r + VA = C Ejercco de Aplcacó : Compramos u auto e 0 cuotas semestrales de U$S 3.500, pagado cada cuota al fal del semestre correspodete. S la tasa efectva semestral es de 9%, calcular el valor cotado del auto. Debemos hallar el VA de ua Reta Certa (o depede de codcoes aleatoras), emporal (dura 0 semestres), Costate (la cuota es sempre la msma), Etera (es ua cuota por período), Imedata (se comeza a pagar e el prmer semestre) y Vecda (las cuotas se paga al fal del semestre). + 0, 09 VA = , 0 = , 80 S ahora calculamos el Moto al fal del plazo de la reta teemos: 2 3 M = C ( + ) + C ( + ) + C ( + ) C El resultado de la progresó geométrca ateror es: ( + ) M = C ( + ) M ( + ) = C Uversdad Católca del Uruguay Pág. 29

30 Matemátcas Faceras Ejercco de Aplcacó 2: S e u Pla de Pesoes depósto todos fales de mes U$S 300 durate 20 años a ua tasa efectva aual de 8%. Calcular que catdad de dero dspodré al fal del vgésmo año. Debemos hallar el M de ua Reta Certa (o depede de codcoes aleatoras), emporal (dura 240 meses), Costate (la cuota es sempre la msma), Etera (es ua cuota por período), Imedata (se comeza a pagar e el prmer mes) y Vecda (las cuotas se paga al fal del mes). Prmero debemos covertr la tasa efectva aual e mesual: 2 + 0, 08 = ( + M ) de dode M = 0, (, ) M = 300 = , 96 0, De las relacoes vstas aterormete teemos que para pasar del VA al M o vceversa, debemos utlzar las sguetes fórmulas: 240 M = VA ( + ) VA = M ( + ) Ejercco de Aplcacó 3: Compramos ua heladera e 0 cuotas mesuales fjas de U$S 00, pagaderas a mes vecdo. S el preco cotado es de U$S 850, qué tasa aual efectva pagamos por la facacó? = , + = 0 + Probado valores de, llegamos a que la tasa mesual efectva que pagamos por la facacó es: = 0, 0307 mesual ( ) + = A, de dode A = 0, aual 5.4 Reta Certa, emporal, Costate, Etera, Imedata y Adelatada De acuerdo al tpo de reta, y cosderado que el úmero de pagos es de u moto costate C, el flujo de pagos será: C C C C C C C.... C Uversdad Católca del Uruguay Pág. 30

31 Matemátcas Faceras Calcularemos el Valor Actual de este tpo de reta. S Hallamos el Valor Actual de cada uo de los pagos, teemos: S llamamos r = + C C C C VA = C ( + ) ( + ) ( + ) teemos: VA = C ( + r + r + r + r r ) Del plateo ateror podemos ver que el Valor Actual de ua reta certa, temporal de períodos, etera, medata, de pagos costates y adelatada es gual a la suma del Valor Actual de ua reta certa, temporal de (-) períodos, etera, medata, de pagos costates y vecda, y el valor del prmer pago. La relacó ateror la podemos poer de la sguete maera: VA C = ( r + r + r + r r ) r El resultado de la progresó geométrca ateror es: VA C r = r r r De lo ateror, susttuyedo r teemos: r = C r + VA = C ( + ) Ejercco de Aplcacó 4: Compramos u auto e 0 cuotas semestrales de U$S 3.500, pagado cada cuota al prcpo del semestre correspodete. S la tasa efectva semestral es de 9%, calcular el valor cotado del auto. Debemos hallar el VA de ua Reta Certa (o depede de codcoes aleatoras), emporal (dura 0 semestres), Costate (la cuota es sempre la msma), Etera (es ua cuota por período), Imedata (se comeza a pagar e el prmer semestre) y Adelatada (las cuotas se paga al prcpo del semestre). + 0, 09 VA = , 0 ( ) + 0, 09 = , 36 S ahora calculamos el Moto al fal del plazo de la reta teemos: M = C ( + ) + C ( + ) 2 + C ( + ) C ( + ) Esto lo podemos poer de la sguete maera: [ ] 2 3 M = C ( + ) ( + ) + C ( + ) + C ( + ) C El resultado de la progresó geométrca ateror es: ( + ) M = C ( + ) ( + ) Uversdad Católca del Uruguay Pág. 3

32 Matemátcas Faceras M ( + ) = C ( + ) Ejercco de Aplcacó 5: S e u Pla de Pesoes depósto todos comezos de mes U$S 300 durate 20 años a ua tasa efectva aual de 8%. Calcular que catdad de dero dspodré al fal del vgésmo año. Debemos hallar el M de ua Reta Certa (o depede de codcoes aleatoras), emporal (dura 240 meses), Costate (la cuota es sempre la msma), Etera (es ua cuota por período), Imedata (se comeza a pagar e el prmer mes) y Adelatada (las cuotas se paga al comezo del mes). Prmero debemos covertr la tasa efectva aual e mesual: 2 + 0, 08 = ( + M ) de dode M = 0, (, ) M = 300 ( + 0, ) = 7797., 24 0, De las relacoes vstas aterormete teemos que para pasar del VA al M o vceversa, debemos utlzar las msmas fórmulas ya detalladas e 6.3: M = VA ( + ) VA = M ( + ) Ejercco de Aplcacó 6: Compramos ua heladera e 0 cuotas mesuales fjas de U$S 00, pagaderas a mes comezado. S el preco cotado es de U$S 850, qué tasa aual efectva pagamos por la facacó? = 00 0 ( + ) 0 85, + ( + ) ( + ) = , + = 0 + Probado valores de, llegamos a que la tasa mesual efectva que pagamos por la facacó es: = 0, 038 mesual ( ) + = A, de dode A = 0, aual 9 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 32

33 Matemátcas Faceras 5.5 Reta Certa, Perpetua, Costate, Etera, Imedata y Vecda Es u caso partcular de ua reta certa, temporal, costate, etera, medata y vecda co u umero fto de períodos ( + ). Por lo tato, cosderado la fórmula obteda para el Valor Actual e 6.3 teemos: + VA = lm C + Como + 0 cuado + os queda: VA = C Ejercco de Aplcacó 7: Debemos pagar ua reta perpetua de $.000 a mes vecdo. S la tasa efectva mesual es de %, calcular el valor actual de dcha reta VA = = , El Moto al ser pagos o se justfca calcularse ya que dará + y o tee sgfcado. 5.6 Reta Certa, Perpetua, Costate, Etera, Imedata y Adelatada Es u caso partcular de ua reta certa, temporal, costate, etera, medata y adelatada co u umero fto de períodos ( + ). Por lo tato, cosderado la fórmula obteda para el Valor Actual e 6.4 teemos: + VA = lm C + ( + ) Como + 0 cuado + os queda: ( ) VA C = + Ejercco de Aplcacó 8: Debemos pagar ua reta perpetua de $.000 a mes adelatado. S la tasa efectva mesual es de %, calcular el valor actual de dcha reta. ( ) , 0 VA = 00, = El Moto al ser pagos o se justfca calcularse ya que dará + y o tee sgfcado. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 33

34 Matemátcas Faceras 5.7 Reta Certa, emporal, Costate, Etera, Dferda y Vecda De acuerdo al tpo de reta, y cosderado que el úmero de pagos es de u moto costate C y dferdos q períodos, el flujo de pagos será: C C C C 0 q q+ q+2 q q+ Calcularemos el Valor Actual de este tpo de reta. Aplcado lo ya vsto e 6.3 calcularemos el Valor Actual e el mometo q ya que es el equvalete a ua reta certa, temporal de pagos, costate, etera, medata y vecda. Nos queda: VA q + = C Lo que debemos hacer ahora es hallar el Valor Actual e el state 0, por lo que teemos que llevar VA q al state 0. Nos queda: VAq VA = ( + ) + VA = C q ( + ) Ejercco de Aplcacó 9: Compramos u auto e 0 cuotas semestrales de U$S 3.500, pagado cada cuota al fal del semestre correspodete y comezado a partr del 5 semestre. S la tasa efectva semestral es de 9%, calcular el valor cotado del auto. + 0, VA = , + 0, ( ) q 0 4 = , 88 El cálculo del Moto al fal del plazo de la reta es gual al ya hecho e 6.3 por lo que os queda: ( + ) M = C Para pasar del VA al M o vceversa, hay q+ períodos etre ambos, por lo que os queda: M VA ( ) q + = + VA = M ( + ) q + Uversdad Católca del Uruguay Pág. 34

35 Matemátcas Faceras 6. AMORIZACIONES 6. Defcoes Veremos a cotuacó alguas defcoes ecesaras para desarrollar el tema de Amortzacoes: Amortzacó: Dremos que ua deuda cotraída que geera tereses está amortzada cuado tato el captal adeudado como los tereses que se geera queda saldados medate u certo úmero de pagos hechos e períodos de tempo guales. Pagos: So geeralmete guales y cada uo de ellos cotee parte a pagar los tereses geerados y el resto a dsmur el mporte adeudado. Cuadro de Amortzacoes e Itereses: abla e la que se dca para cada pago los terese que cubre y la dsmucó de la deuda. El formato de la msma es el sguete: Período Deuda al prcpo del período 6.2 Cálculo de la Cuota de Amortzacó Iterés Amortzacó Pago Saldo al fal del período Cosderaremos pagos (cuotas) costates. Llamaremos D a la deuda cotraída. Supodremos que la cacelamos e pagos costates (C) al fal de períodos regulares. La tasa efectva e el período la llamaremos. Estamos frete a ua Reta Certa, emporal, Costate, Etera, Imedata y Vecda, e dode el Valor Actual de la msma será D. De la fórmula del Valor Actual obtedo para de este tpo de Retas teemos: + D = C De lo ateror podemos determar que el valor de la Cuota C a pagar para amortzar ua deuda D e pagos costates y co ua tasa de terés e el período de es: C = D + Ejercco de Aplcacó : Se compra u auto cuyo preco es de U$S e 0 cuotas auales, pagadas a año vecdo, aplcádose ua tasa de terés efectva de 5% aual. Calcular el valor de la cuota , 5 C = + 0, 5 0 = , 8 Para poder ecotrar la tasa de terés cobrada coocedo el valor de la cuota, la catdad de cuotas y el preco de lsta, debemos r probado valores de e la fórmula ateror. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 35

36 Matemátcas Faceras Ejercco de Aplcacó 2: Se compra u auto cuyo preco es de U$S e 0 cuotas auales, pagadas a año vecdo, aplcádose ua tasa de terés efectva de 5% aual. El valor de la cuota es de U$S ,8. Hacer el cuadro de amortzacoes e tereses. Período Deuda al Iterés Amortzacó Pago Saldo al fal prcpo del del período período , , , , , ,9 2.39, , ,8 34.6, ,2 20.7, , , , , ,87.235, ,8 3.09, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,80 0,00 Veremos como calcular el Iterés pagado, la catdad amortzada y el saldo remaete e u certo período. Comecemos por el período : + Deuda al comezo: D = C Iterés pagado: I = C + Amortzacó: A = C C + = C + + Deuda al fal: Df = C C = C + + Sguedo co este procedmeto teemos para el período k: D I k k + = C = C + k+ k+ A k = C + k+ Uversdad Católca del Uruguay Pág. 36

37 Matemátcas Faceras D fk + = C k Ejercco de Aplcacó 3: S teemos ua deuda de U$S 4.60,42 que cacelamos e 7 cuotas auales de U$S.000 pagadas a año vecdo, medatas y cosecutvas, aplcádose ua tasa aual efectva de 5%, calcular: a) la catdad de dero amortzada e la quta cuota. b) los tereses pagados e la tercer y cuarta cuota. c) la catdad total de tereses que se pagó. d) el cuadro de amortzacoes e tereses. a) b) 7 5+ A5 =. 000 = 657, , 7 3+ I3 =. 000 = 502, 82 05, + c) 7 4+ I 4 =. 000 = 428, 25 05, + Itotal = , 42 = , 58 d) Período Deuda al Iterés Amortzacó Pago Saldo al fal prcpo del del período período 4.60,42 624,06 375,94.000, , ,48 567,67 432,33.000, , ,6 502,82 497,8.000, , ,98 428,25 57,75.000, , ,23 342,48 657,52.000,00.625, ,7 243,86 756,4.000,00 869, ,57 30,43 869,57.000,00 0,00 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 37

38 Matemátcas Faceras /. INDICADORES PARA EVALUAR PROYECOS 7. Coceptos Prevos Cuado vmos Iterés Compuesto, vmos que el Moto Fal que geeraba u Captal C, colocado durate udades de empo, a ua asa de Iterés Efectva y dode e está dados e la msma udad de empo, era: M = C ( + ) Lo que hacíamos e este caso o era otra cosa que trasladar haca adelate e el empo el Captal (Valor Presete) para poder obteer el Moto Fal (Valor Futuro equvalete). S vemos gráfcamete lo ateror teemos: C M 0 De gual maera, obteíamos la fórmula del Captal C e fucó del Moto M, quedádoos: M C = ( + ) Lo que hacemos e este caso es trasladar haca atrás e el empo el Moto Fal (Valor Futuro) para obteer el Captal que lo geeró (Valor Actual equvalete). S vemos lo ateror gráfcamete teemos: C M /.2 Valor Actual Neto (VAN) 0 Es claro que u peso hoy vale más que u peso detro de u año. So varas las cosas que hace esto verdadero, pero la fudametal es que ese peso hoy lo podemos vertr logrado teer más de u peso detro de u año debdo a los tereses geerados. Éste es u prcpo facero esecal. Este msmo cocepto lo podemos asocar al de Descueto. S descotamos u documeto cuya fecha de vecmeto es futura, la catdad de dero que recbmos por el msmo es meor que el valor omal del documeto. Para obteer el Valor Actual de u Valor Futuro, teemos que multplcar éste últmo por u coefcete de descueto que será meor que uo. V El Coefcete de descueto es: A = VF Coefcete de Descueto Coefcete de Descueto = + La asa es aquélla que pretede obteer aquél que adelata ua certa catdad de dero por u compromso de cobro futuro. Cuado calculamos el Valor Actual debemos aplcar al Valor Futuro la asa de Retabldad que podemos obteer por otras alteratvas de versó co gual resgo. A esta asa la llamaremos Costo de Oportudad o asa de Descueto. Ejercco de Aplcacó : Dspoemos de U$S y teemos la posbldad de comprar electrodoméstcos por este valor, co la expectatva de vederlos detro de u año a U$S Por otra parte, este msmo dero lo podríamos depostar a plazo fjo a ua tasa efectva del 7% aual. Calcular el Valor Actual de la versó e electrodoméstcos. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 38

39 Matemátcas Faceras VA = = $ 40.86,92 + 0, 07 Cosderamos como Costo de Oportudad a la asa de Iterés que recbríamos por depostar los U$S a plazo fjo durate u año. El Valor Actual que obteemos es mayor que el Captal que dspoemos, por lo que sería coveete comprar los electrodoméstcos. Esta afrmacó la realzamos s cosderar el resgo que tee asocado cada alteratva. Llamaremos Valor Actual Neto (VAN) a la dfereca etre el Valor Actual (VA) y la versó requerda. S aplcamos esta defcó al caso ateror, teemos: VAN = 40.86, = $ 86,92 E los Casos que teemos u flujos de fodos auales como: Año F Flujo M 0 M M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M f.. dode: M 0 = Iversó Ical (Negatva) M f = Flujo de Fodos correspodete al año F (Igresos - Egresos) El Valor Actual Neto del Flujo de Fodos ateror será: M M 2 M 3 M 4 M 5 Mf VAN = M f +... ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) VAN N Mf = ( + ) f = 0 f Ejercco de Aplcacó 2: Ua empresa verte e ua máqua ueva cuyo costo es U$S y su vda útl se puede estmar e 0 años. Se espera para estos 0 años el sguete flujo de fodos: Año Igresos Egresos Calcular el VAN de dcha versó teedo como posbldad el vertr los U$S e boos del tesoro al 7% aual. odos los motos se cosdera al fal de cada año. El resume del flujo de fodos queda: Año Flujo Neto Coef,act.,0700,449,2250,308,4026,5007,6058,782,8385,9672 VA VAN = VAN = $ Segú el resultado ateror la versó o es coveete. eedo e cueta lo aterormete vsto, podemos realzar la sguete afrmacó: oda versó cuyo VAN sea mayor que 0 podrá ser aceptada Al hacer el VA de u valor futuro estamos aplcado u proceso de terés compuesto. S lo vemos desde el puto de vsta del Valor Actual, podemos pregutaros cuál es el VA de $.000 que se recbrá detro de 0 años s el costo de oportudad es el 0% aual?. Esta preguta la podemos cambar por la sguete: qué catdad de dero debería vertr s quero recbr detro de 0 años $.000, sedo la asa de Iterés 0% aual?. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 39

40 Matemátcas Faceras a) b) VA = 000. = 0 0 $ 385,54 ( +, ) + 0, 0 = $.000 Iversó ( ) Iversó = 000. ( +, ) 0 0 = $ 385,54 Escala Logarítmca $.000 I C Descueto $ 385,54 0 años empo () Muchas veces os ecotramos co el coveete que teemos u flujo de fodos durate certo período, luego del cual el egoco sgue e actvdad, teedo éste u certo valor al que le llamaremos Valor Horzote. Este Valor lo teemos que descotar també al Valor Actual. eedo e cueta lo mecoado aterormete llegamos a la sguete fórmula: f H VAN = = 0 Mf + V H f ( + ) ( + ) H H = es el año e el que cosderamos uestro horzote V H = Valor del egoco e el año H que susttuye el flujo de fodos para los años posterores al H. Ua de las formas usadas para calcular el Valor Horzote e el año H es la del crecmeto costate. La msma cosste e tomar el flujo prevsto para el año H y cosderar ua tasa prevsta de crecmeto del egoco a largo plazo, para luego aplcar la sguete fórmula: M H+ = Flujo prevsto para el año H+ = asa de descueto c = asa de crecmeto H = Año horzote V H MH = c + Uversdad Católca del Uruguay Pág. 40

41 Matemátcas Faceras Otras formas para calcular el Valor Horzote so: - Cosderado la relacó Preco/Beefco del egoco y el beefco del año H calculamos el Valor del egoco e el año H, luego lo descotamos hasta el año 0. Supogamos que la Relacó Preco/Beefco es 0 y los beefco para el año H U$S teemos: Preco del egoco e el año H = = U$S Cosderado la relacó Preco de mercado/valor de actvos y el Valor de actvos e el año H, calculamos el Valor del egoco e el año H, luego lo descotamos hasta el año 0. Supogamos que la Relacó Preco de mercado/valor de actvos es 2 y el Valor de actvos para el año H U$S teemos: Preco del egoco e el año H = = U$S /.3 asa Itera de Retoro (IR) Aquella asa de Descueto que hace el VAN = 0 le llamaremos asa Itera de Retoro (IR). Por lo tato es la asa que satsface la sguete ecuacó: N f = 0 Mf f ( + ) VH + = 0 h (+ ) Para hallar la IR debemos r probado co valores de, de tal maera de ecotrar aquélla que cumpla co la ecuacó ateror. Ejercco de Aplcacó 3: Ua persoa puede vertr U$S e u egoco para el cual se espera el sguete flujo de fodos: Año Flujo Calcular la asa Itera de Retoro de dcha versó. odos los motos se cosdera al fal de cada año. eemos que ecotrar el valor de que verfque la sguete ecuacó: VAN = = 0 5 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ateado dsttos valores de, llegamos a que la IR (tasa que verfca la ecuacó) es: IR = 4,54% La IR represeta el máxmo costo del Captal que podemos aceptar para que la Iversó sea retable. Podemos realzar la sguete afrmacó: oda versó cuya IR sea mayor que el Costo del Captal podrá ser aceptada /.4 Otros Elemetos para Evaluar Proyectos Idce de Retabldad Para calcular el Ídce de Retabldad o Relacó Beefco/Costo debemos hacer el cocete etre el VA del flujo de los gresos y el VA del flujo de las versoes. Relacó B/C = VA( Igresos) VA( Egresos) Para que ua versó sea aceptable la Relacó B/C debe ser mayor que. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 4

42 Matemátcas Faceras Período de Repago Es el período de tempo durate el cual se recupera la versó cal, es decr el tempo que trascurre para que la acumulacó de los flujos de fodos actualzados guala la versó cal. Ejercco de Aplcacó 4: Ua persoa verte U$S e u egoco para el cual se espera el sguete flujo de fodos: Año Flujo Calcular el Período de Repago de dcha versó. odos los motos se cosdera al fal de cada año. El Costo de oportudad es de 7% aual. Debemos calcular el Valor Actual de cada catdad de las que compoe el flujo y calcular para cada año los Valores Actuales acumulados (cluyedo la versó cal). Año Flujo Neto Coef,act.,0700,449,2250,308,4026 VA VA acum El Período de Repago está etre 3 y 4 años. asa Itera de Retoro co Reversó Se cosdera dsttas asas de Descueto, ua para las versoes que será la asa Itera de Retoro co Reversó (IRR) y la otra para los beefcos que será la tasa dspoble e el mercado. N If + N f f ( + ) ( + r ) f = 0 f = 0 Yf = 0 I = Iversoes Y = Igresos = IRR r = asa dspoble e el mercado asa de Retabldad Cotable Meda Para calcular la asa de Retabldad Cotable Meda debemos dvdr el beefco medo que esperamos de u proyecto etre el valor medo cotable de la versó. Los beefcos se cosdera luego de amortzacoes e mpuestos. Ejercco de Aplcacó 5: Calcular la asa de Retabldad cotable Meda para u proyecto e el que se vrtero U$S y cuyo flujo de fodos es el sguete: Año 2 3 Igresos Gastos Flujo de caja Amortzacoes Beefco bruto Impuesto 30% Beefco eto Debdo a que la versó cal fuero U$S y se amortzaro a lo largo de los 3 años el Valor cotable eto de la versó es: Uversdad Católca del Uruguay Pág. 42

43 Matemátcas Faceras Año Valor Cotable bruto Amortzacó acum Valor Cotable Neto Valor Cotable Neto Medo = Beefco aual medo = = = asa de Retabldad Cotable Meda = = 0, /.5 Comparacó etre VAN y los Demás Elemetos para Evaluar Proyectos Aalzaremos las vetajas que tee el evaluar proyectos co el VAN y los coveetes de tee aplcar solamete otras alteratvas. Vetajas del Valor Actual Neto (VAN) Cosdera que u $U de hoy vale más que uo de mañaa, debdo a que el de hoy puede geerar tereses hasta mañaa. Como todos los Valores se actualza al día de hoy, podemos sumar los VAN de varos proyectos y hallar el de la versó total. El VAN depede solamete de los flujos de fodos prevstos y del costo de oportudad prevsto. Problemas del Período de Repago El Período de Repago solo cosdera los flujos de fodos hasta el año e el que se repaga el proyecto. Veremos u ejemplo para mostrar posbles problemas que surge e la práctca. Ejercco de Aplcacó 6: Supogamos dos proyectos A y B co los sguetes flujos de fodos: Año Período de Repago VAN Proyecto A ,52 Proyecto B ,38 Cosderamos el costo de oportudad del 0% aual. Como vemos e el ejercco ateror, el Período de Repago me haría quedar co el Proyecto A, ya que o cosdera la baja de gresos e los últmos 2 años. S embargo, co el crtero del VAN os quedamos co el Proyecto B. Retabldad Cotable Meda No tee e cueta que u $U hoy vale más que uo de mañaa, por lo que cuado cosdera los flujos hace pesar más a los más dstates e el tempo. Puede haber mucha dfereca etre los flujos y los beefcos cotables del proyecto. Hay saldas de dero que se cosdera como versoes y se les asga u pla arbtraro de amortzacoes, otras como gastos y se deduce medatamete de los beefcos. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 43

44 Matemátcas Faceras Ídce de Retabldad Puede resultar erróeo cuado debemos elegr etre 2 proyectos que so excluyetes. Veamos el sguete ejemplo: Ejercco de Aplcacó 7: Supogamos dos proyectos A y B co los sguetes flujos de fodos: Año 0 VA Ídce de Retabldad VAN Proyecto A ,8,82 88,8 Proyecto B ,45, ,45 Cosderamos el costo de oportudad de 0% aual. Se ve que segú el Ídce de Retabldad os quedamos co el proyecto A pero segú el VAN es más coveete el proyecto B. asa Itera de Retoro (IR) No queda dferecadas las alteratvas de tomar u préstamo o edeudarse. Veamos u ejemplo para clarfcar el cocepto. Ejercco de Aplcacó 8: Supogamos dos proyectos A y B co los sguetes flujos de fodos: Año 0 IR VAN Proyecto A % 8.8,82 Proyecto B % -8.8,82 Cosderamos el costo de oportudad de 0% aual. De acuerdo al crtero de la IR ambos proyectos so gualmete atractvos, es decr, es lo msmo tomar u préstamo que prestar dero. Segú sea el flujo de fodos podemos teer más de ua IR e el período de tempo cosderado. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 44

45 Matemátcas Faceras Ejercco de Aplcacó 9: Supogamos el proyecto A co el sguete flujo de fodos: Año 0 2 IR VAN Proyecto A ,2% y582,8% -.06,53 Cosderamos el costo de oportudad de 0% aual. Como podemos ver, el proyecto tee dos IR (ambas postvas) pero el VAN es egatvo, sedo u proyecto o coveete. Aquí la IR os está dado formacó erróea, ya que s os guamos solo por la IR aceptaríamos el msmo. Estos dos valores de la IR se debe a que el flujo de fodos camba dos veces. U proyecto puede teer tatas IR como cambos de sgo que se produzca e el flujo de fodos. Al gual que e el Ídce de Retabldad, puede resultar erróeo cuado debemos elegr etre 2 proyectos que so excluyetes. Ejercco de Aplcacó 0: Supogamos dos proyectos A y B co los sguetes flujos de fodos: Año 0 IR VAN Proyecto A ,67% 7.727,27 Proyecto B ,33% 0.545,45 Cosderamos el costo de oportudad de 0% aual. Segú la IR os quedaríamos co el Proyecto A, pero resulta más coveete el Proyecto B ya que obtedríamos ua mayor gaaca. Podemos complemetar el crtero de la IR, calculado la IR de los flujos cremetados, es decr, cosderado la versó y los beefcos adcoales que tee el Proyecto B. Veremos como hacer ésto: Año 0 IR VAN Proyecto B-A ,44% 2.88,8 Como resulta del cálculo ateror, es coveete hacer la versó adcoal ecesara para el Proyecto B. Es posble grafcar los VAN de ambos proyectos e fucó del costo de oportudad, e dcha gráfca se puede ver que para u costo de oportudad meor que 44,44% es más coveete el Proyecto B, para uo mayor que 44,44% el Proyecto A. VAN Proyecto B 2.307,69 Proyecto A 44,44 58,33 66,67 Cto Oportudad Podemos teer varos costos de oportudad que os valdaría el procedmeto del cálculo de la IR. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 45

46 Matemátcas Faceras Esto quere decr que el costo de oportudad puede ser dstto para cada año de los cosderados para aalzar el proyecto, y más aú, podemos querer aplcar dsttos costos de oportudad e u msmo año segú sea el orge del flujo. E estos casos o tedría sgfcado y sería mposble calcular la IR del proyecto. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 46

47 ANEXOS

48 I. ESRUCURA DE UN PROYECO DE INVERSIÓN

49 Elaboracó de u Proyecto de Iversó INRODUCCIÓN La elaboracó de u proyecto de versó busca evaluar recursos y beefcos que requerrá y geerará ua versó, co el f de tomar ua decsó respecto a la realzacó o o de la versó. U posble esquema de u proyecto de versó, puede ser el que se preseta a cotuacó: Resume Ejecutvo Objetvos y Metodología Aálss del Etoro Aálss del Mercado a Partcpar Descrpcó de los Servcos a Ofrecer Aálss de los Costos Drectos de los Servcos a Ofrecer Estratega Compettva Cofeccó del Flujo de Fodos Aálss Facero Evaluacó del Proyecto Aálss FODA A cotuacó aalzaremos brevemete cada ua de las partes mecoadas aterormete. 2. Resume Ejecutvo 2. ESRUCURA DEL PROYECO DE INVERSIÓN El Resume ejecutvo, a pesar de estar e prmer lugar, debe cofeccoarse luego de termar todo el trabajo. El msmo represeta u resume breve (o más de 2 o 3 carllas) de los aspectos más resaltables del proyecto. Etre lo que tee que coteer debe estar: Que se va a veder, e dode y a que Las versoes ecesaras Las vetas prevstas Resultados ecoómcos del proyecto Facameto Etc. Este resume debe geerar, a que lea el msmo, el terés de leer todo el documeto por resultarle el proyecto de versó atractvo. 2.2 Objetvos y Metodología Aquí se debe detallar cuales so los objetvos del documeto y de que forma se va a obteer los msmos. Cosste báscamete e ua breve descrpcó de lo que se pretede evaluar y de los pasos que se realzará para ello, que o es otra cosa que el esquema del proyecto de versó dcado aterormete. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 49

50 Elaboracó de u Proyecto de Iversó 2.3 Aálss del Etoro E el éxto o fracaso de u proyecto de versó tedrá especal mportaca todos aquellos elemetos del etoro del msmo que puede actual postva o egatvamete sobre él. Debdo a lo ates mecoado, es ecesaro realzar u estudo del todo aquello del etoro que podrá ejercer algú efecto sobre el proyecto. A modo de ejemplo, se dca a cotuacó alguos aspectos a aalzar de dcho etoro. Dcho aálss debe ser del presete y de las expectatvas para el futuro. Etoro Ecoómco: se debe aalzar los aspectos macroecoómcos como la flacó, el tpo de cambo, el crecmeto del PBI y todo otro aspecto relevate para los resultados del proyecto. Etoro Polítco: accoes polítcas que pueda afectar uestro proyecto. Por ejemplo, la exoeracó de mpuestos a determados tpos de proyectos o por el cotraro la aplcacó de mpuestos adcoales. Etoro Jurídco y Regulatoro: odos aquellos aspectos legales que afecte uestro proyecto. Etoro Geográfco y Demográfco: Aspectos como la ubcacó de los dsttos segmetos de mercado y las característcas demográfcas de sus tegrates, crecmetos prevstos, PBI per cápta de cada mercado, etc. Etoro Cultural: característcas culturales de las persoas o empresas que so potecales cletes de los productos o servcos a ofrecer. Etoro tecológco: desarrollos tecológcos que pueda mejorar la produccó, que geere productos o servcos susttutos, que haga obsoletos rápdamete la estructura productva a mplemetar, etc. Los aspectos ates mecoados so alguos de los que puede aalzarse, s so aplcables a uestro proyecto. 2.4 Aálss del Mercado a Partcpar Debemos realzar u aálss de las característcas del mercado al que pesamos ateder. Esto sgfca descrbr los competdores exstetes e el msmo, las característcas de los msmos, los productos y servcos ofrecdos, las ecesdades de los cosumdores y todo aquello que os permta teer ua stuacó del mercado e el que vamos a partcpar. Debemos també a partr de la evolucó de la demada e el pasado y de otros aspectos relacoados co la msma, estmar la proyeccó de la demada futura total del mercado e el que vamos a partcpar. 2.5 Descrpcó de los Servcos a Ofrecer Debemos descrbr los productos y/o servcos que vamos a ofrecer, de maera de poder compararlos co los que so ofrecdos por la competeca. 2.6 Aálss de los Costos Drectos de los Servcos a Ofrecer Para cada uo de los productos o servcos a ofrecer debemos calcular los costos drectos como ser matera prma y mao de obra aplcada drectamete a los productos y/o servcos a ofrecer. Este cálculo tee 2 objetvos: obteer el costo utaro aproxmado de cada producto y/o servco, de maera de teerlo como refereca a la hora de establecer la polítca de precos a aplcar. Establecer el costo que parametrzaremos respecto a las udades veddas, a la hora del cálculo de los gastos para la obtecó del flujo de fodos del proyecto. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 50

51 Elaboracó de u Proyecto de Iversó El moto total resultate de los costos drectos geeralmete represeta ua buea parte de los gastos totales del proyecto, por lo que es muy mportate realzar estos cálculos lo más precso posble. 2.7 Estratega Compettva Ua vez defdo el o los productos y/o servcos a ofrecer debemos establecer la estratega compettva a aplcar para poder gresar e el mercado. Para ésto, y teedo e cueta todo lo dcado e los putos aterores, debemos defr: Como vamos a poscoaros e el mercado respecto a la competeca, es decr s será por caldad o por preco. S hacemos hcapé e la caldad o podremos poer los precos muy por debajo de la competeca, ya que o sería creíble la caldad co u preco ta bajo. Polítca de precos: establecer la evolucó de los precos e el período del proyecto aalzado, establecedo su relacó co los precos de la competeca. Estmar la partcpacó de uestra empresa e e el mercado para el período aalzado, es decr que porcetaje de partcpacó sobre la proyeccó de la demada estmada e cada año tedrá uestra empresa. Defr la mezcla de marketg, es decr las 4 P. Las cuatro P está coformadas por el Producto (combacó de los bees y servcos ofrecdos por la empresa, e dode se ecuetra el evase, la marca, la garatía, el servco postveta, etc.), el Preco (defcó de la catdad de dero que pagará los cletes por el producto o servco), Poscó (defcó de las característcas de dstrbucó que tedrá el producto o servco, es decr putos de veta, termedaros, polítca de dstrbucó, etc.) y la Promocó (determacó de todas las actvdades que comuca al públco los beefcos del producto y trata de covecerlo de la compra, como publcdad televsva, radal y escrta, vetas persoales, relacoes públcas y descuetos o regalos temporales), Determacó de las versoes ecesaras para llevar a cabo el proyecto. 2.8 Cofeccó del Flujo de Fodos Ua vez defdas las característcas del egoco, las vetas prevstas, los costos, las versoes y los precos, debemos elaborar el flujo de fodos del proyecto. Co los precos y las vetas prevstas calculamos los gresos prevstos para cada uo de los años. Covee hacerlo e forma desglosada para cada uo de los productos y servcos prevstos. Co los costos drectos calculados, las vetas prevstas y los demás gastos prevstos como sueldos geerales, marketg, cobrables, luz, teléfoo, etc. Las versoes prevstas se establece para cada uo de los años del período aalzado y se cosdera e forma separada a los gastos de maera de poder calcular las amortzacoes correspodetes, a los efectos del cálculo de los mpuestos. 2.9 Aálss Facero Debemos platear ua estructura de facacó posble de acuerdo al tpo de proyecto aalzado. Debemos establecer: la tasa de terés posble obteda los años de graca cales (s exstese) el plazo de amortzacó del préstamo Al aplcarle al flujo de fodos este facameto, obteemos u uevo flujo de fodos. Como resultado de ésto tedremos 2 flujos de fodos, que será s y co facameto los cuales evaluaremos. El efecto del facameto afectará també el cálculo del mpuesto a la reta. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 5

52 Elaboracó de u Proyecto de Iversó 2.0 Evaluacó del Proyecto A partr de los gresos, egresos e versoes obteemos el flujo de fodos ates de mpuestos. E paralelo debemos calcular las amortzacoes (deprecacoes) auales de actvos a realzar a partr de las versoes prevstas y los períodos de amortzacó establecdos. El Moto mpoble sobre el cual calcular el mpuesto estará compuesto por: Moto Impoble = Igresos - Gastos - Itereses bacaros - Deprecacoes La tasa correspodete al mpuesto depederá del país e el que se mplemete el proyecto. El resultado fal lo obteemos restado los mpuestos al flujo de fodos ates de mpuestos. Para obteer el flujo de fodos del proyecto debemos restarle al flujo de fodos ates de mpuestos los mpuestos y la varacó del captal de trabajo ecesaro para el fucoameto del egoco. El captal de trabajo se suele calcular aproxmadamete determado el período promedo de cobro (M meses) y calculado la cuotaparte de los gresos del año correspodete. La varacó del captal de trabajo ecesaro la obteemos como la dfereca etre el captal de trabajo del año cosderado y el del año ateror. Para obteer el flujo de fodos que fal del proyecto para su evaluacó debemos agregar e el últmo año del período de evaluacó el valor resdual. Para la estmacó del valor resdual exste dsttas formas. Veremos a cotuacó 2 de ellas: Flujo perpetuo co crecmeto costate: omamos el flujo del últmo año del flujo del proyecto (año s valor resdual) y asummos u crecmeto del flujo para los futuros años (+ e adelate) a ua tasa g, estmado los flujos futuros y calculado el valor actual de los msmos. El Flujo resultate, asumedo que el flujo del año es C será: c Flujo = ( + g) ( + r) S calculamos el valor actual e el año del flujo estmado ateror tedremos: A partr del EBI (Earg Before Iterests ad axes) del últmo año del período evaluado, afectado por u multplcador a defr segú el tpo de egoco. Obtedo el flujo de fodos fal del proyecto co valor resdual debemos evaluar el msmo co los sguetes dcadores: Flujo de Fodos Acumulados: Acumulacó de flujos año a año Valor Actual Neto del Proyecto (VAN) Máxma Exposcó del Proyecto: Valor más egatvo del flujo de fodos acumulado. Período de Repago del Proyecto. c + ( + g) 2 ( + r) ( + g) 3 ( + r) +... asa Itera de Retoro (IR). Para el cálculo del VAN se debe determar la tasa de oportudad del proyecto. Esta tasa la calculamos co el WACC. 2 ( + g) ( + r) c + ( + g) 3 ( + r) c Valor _ Re sdual _ año _ = r g 3 ( + g) ( + r) _ c c c Valor Re sdual _ año _ = Uversdad Católca del Uruguay Pág. 52

53 Elaboracó de u Proyecto de Iversó 2. Aálss FODA Es coveete geeralmete realzar u aálss cualtatvo del proyecto aalzado el msmo teramete (Fortalezas y Debldades) y exteramete (Ameazas y Oportudades). Co esto se busca que os podamos adelatar a hechos mportates que podría afectar el egoco. Ameazas y Oportudades: Se debe cosderar las ameazas y oportudades que se podría teer que efretar e el futuro proveetes del etoro de la empresa. Fortalezas y Debldades: Se debe cosderar las fortalezas y debldades que tee la empresa para hacer frete a las ameazas y oportudades que se presete e el etoro. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 53

54 II. EJERCICIOS

55 Ejerccos de Iterés Smple Profs. Aldo Castaga INERÉS SIMPLE ) Hallar el Iterés Smple geerado por u Captal de U$S 7.500, colocado al 0,5% mesual durate 2 años y 3 meses. Respuesta : U$S.02,50 2) Hallar el Moto Fal geerado por u Captal de $U , s éste fue colocado durate u año y 76 días al 25% aual. Respuesta : $U ,56 3) A que asa de Iterés fue colocado u Captal de U$S , s durate 257 días geeró u Iterés de U$S.00. Respuesta : 5,4% aual 4) Durate cuato empo fue prestado u Captal de U$S 5.000, s aplcádole la asa de Iterés del 5,5% aual geeró u Moto Fal de U$S Respuesta : 2 años y 253 días 5) Ua empresa solcta u préstamo de U$S desde el 20 de marzo de 998 al 30 de juo del msmo año. S el Baco le cobra ua asa de Iterés de 3% aual, cuál será el Moto a pagar e el vecmeto del préstamo?. Respuesta : U$S ,83 6) Que catdad de dero debe ser depostada desde el 2 de abrl al 4 de Julo del msmo año para obteer U$S.050 de Itereses, s la asa de Iterés que aplca el baco a este tpo de depóstos es del 5,25% aual. Respuesta : U$S ,30 7) Ua persoa compra u auto cuyo preco de lsta es de U$S Paga al cotado U$S el día que frma el cotrato de compra/veta (8 de abrl de 997) y el resto e 3 cuotas de U$S cada ua, cuyos vecmetos so el 8 de mayo, el 8 de juo y el 8 de julo del msmo año. Calcular asa de Iterés que se le aplcó a la facacó. Respuesta : co Iterés Smple 3,03% mesual co Iterés Compuesto 2,9% mesual 8) S se gaa $U 480 de Iterés durate 3 meses co ua versó de $U a) Cuál es la asa de Iterés Smple trmestral?. b) Cuál es la asa de Iterés Smple aual? Respuesta : a) R = 2% trmestral b) R = 8% aual 9) Cuál es el Moto que se obtedría para u determado Captal, sabedo que éste geera $ 35 de terés, colocado durate año y 9 meses a ua asa de Iterés Smple semestral del 3%?. Respuesta : $U ) Durate cuáto empo tedrá que vertrse $U para que se coverta al fal del período de depósto e $U 2.000, s la asa de Iterés Smple es 8% aual?. Respuesta : 2 años y medo ) A qué asa de Iterés Smple trmestral se trplcará ua versó e 3 años?. Respuesta : 6,67% trmestral Uversdad Católca del Uruguay Pág. 55

56 Ejerccos de Iterés Smple Profs. Aldo Castaga 2) Dos Captales se verte a ua asa de Iterés Smple de 20 % aual. Los msmos produce el msmo Moto s el prmero es colocado durate 2 años y medo y el segudo durate 4 años. Se pde: a) Calcular los dos Captales sabedo que el terés percbdo por las dos colocacoes es de $U b) Cuáto empo es ecesaro para que los dos Captales, colocados e la msma fecha, tega ua dfereca e sus Motos de $U 0.000?. Respuesta : a) $U y $U b) 20 años Uversdad Católca del Uruguay Pág. 56

57 Ejerccos de Iterés Compuesto Profs. Aldo Castaga INERÉS COMPUESO ) S u Captal de U$S se deposta al 5% aual omal, durate 3 años, co captalzacó de tereses trmestral, hallar el Moto al fal del período. Respuesta : U$S 33.66,88 2) Hallar el Captal que produjo u Moto Fal de U$S , cuado fue colocado al 4% aual omal, durate 3 años, co captalzacó de tereses mesual. Respuesta : U$S ,6 3) Hallar el empo (e años y días) durate el cual tuvo que estar colocado u Captal de $U , para geerar u Moto Fal de $U 0.000, al 25% aual, co captalzacó de tereses semestral. Respuesta : 2 años y 28 días 4) Hallar la asa de Iterés aual omal a la que fue colocado u Captal de U$S 7.000, s depostado durate 2 años y 3 meses geeró u Moto Fal de U$S 9.000, habedo tedo captalzacó de tereses trmestral. Respuesta : 4,97% aual efectva 5) S se vrtero U$S el 23 de juo de 977 a ua asa de Iterés de 6% aual omal y captalzacó de tereses semestral, y se debe retrar el 23 de dcembre de Cuál será el Moto Fal a retrar?. Respuesta : U$S 60.78,43 6) Hallar el Moto Fal geerado por u Captal de U$S.500, colocado al 5,5% aual omal durate 6 años y 0 meses, co captalzacó de tereses mesual. Respuesta : U$S 2.82,43 7) Ua famla decde guardar dero para la educacó de sus hjos y deposta el 2 de mayo de 970 U$S al 6,5% aual co captalzacó de tereses semestral. S retrar el dero el 2 de mayo de 998, cuál será el Moto Fal?. Respuesta : U$S ,74 8) Hallar la asa efectva aual equvalete a ua asa omal del 0% aual co captalzacó de tereses trmestral. Respuesta : 0,38% aual 9) Cuátos empo se requerrá para que ua versó se duplque s se coloca al 5% aual omal, co captalzacó de tereses aual?. Respuesta : 4 años y 345 días 0) Hallar la asa Efectva, la asa Efectva de Iterés e el período de captalzacó y la asa real equvaletes de ua asa Nomal de 5% aual s exste captalzacó de tereses trmestral y la asa de Iflacó esperada es 2%. Respuesta : RE = 5,09% aual RC =,25% trmestral RR = 3,03% aual ) Durate cuátos empo deberé depostar ua certa catdad de dero para que a ua asa de Iterés del 7% aual y co captalzacó de tereses semestral se me trplque?. Respuesta : 5 años y 348 días Uversdad Católca del Uruguay Pág. 57

58 Ejerccos de Iterés Compuesto Profs. Aldo Castaga 2) A qué asa de Iterés aual fue solctado u préstamo de U$S.000, s a su vecmeto, trascurrdos 8 meses, se debero pagar U$S 2.700?. La captalzacó de tereses fue mesual. Respuesta : 2,75% aual 3) Compare los tereses geerados por U$S 500 durate 0 años a ua asa de Iterés Smple de 8% aual, co lo gaado por la msma catdad durate 0 años a ua asa de Iterés de 8% aual, co captalzacó de tereses aual. Respuesta : I S = U$S 400 I C = U$S 579,46 4) Calcular el Moto geerado por u Captal de $U que se cobra luego de 8 años a ua asa Efectva de Iterés del 0% aual. Hacer el msmo cálculo pero para 6 meses. Respuesta : M = $U 7.48,7 M 2 = $U 8.390,47 5) Calcular el Valor Actual de los sguetes pagos futuros: a) $U detro de 6 años, a ua asa Efectva de Iterés del 9% aual. b) $U detro de 48 años a ua asa Efectva de Iterés del 7% aual. Respuesta : a) C = $U 3.279,47 C = $U 67,3 6) A qué asa Efectva de Iterés aual está colocada ua versó de U$S que aumeta a U$S e 8 años, s la captalzacó de tereses es aual?. Respuesta : R= 4,00% aual 7) Qué asa Efectva de Iterés aual correspode a cada ua de las sguetes stuacoes?: a) asa de Iterés Nomal del 9% aual, captalzable semestralmete. b) asa de Iterés Nomal del 9% aual, captalzable mesualmete. c) asa de Iterés Nomal del 9% aual, captalzable trmestralmete. d) asa de Iterés Nomal del 9% aual, captalzable státaeamete. Respuesta : a) R E = 9,20% b) R E = 9,38% c) R E = 9,3% d) R E = 9,42% 8) Qué asa Efectva de Iterés trmestral correspode a cada ua de las sguetes stuacoes?: a) asa Efectva de Iterés del 9% aual. b) asa de Iterés Nomal del 9% aual, captalzable trmestralmete. c) asa de Iterés Nomal del 9% aual, captalzable semestralmete. d) asa de Iterés Nomal del 9% semestral, captalzable statáeamete. Respuesta : a) R E = 2,8% b) R E = 2,25% c) R E = 2,23% d) R E = 4,60% 9) U acreedor propoe a ua empresa que o dspoe de efectvo, las sguetes opcoes de pago de ua deuda de $U 0.000: a) Pago al cotado co 0% de descueto. b) Pago la mtad al cotado y la restate mtad a 30 días, co u descueto del 5% e cada pago. c) Pago a 60 días s tereses. d) Pago a 80 días co u 30 % de recargo. La empresa puede obteer préstamos bacaros a ua asa de Iterés del 70% aual, co captalzacó mesual y a plazos múltplos de u mes. Determar la coveeca o o de solctar préstamos bacaros para saldar la deuda, y e caso afrmatvo optar por ua de las formas de pago propuestas por el acreedor. A los 80 días se dspoe de sufcete efectvo e caja para pagar deudas. Respuesta : Opcó c) Uversdad Católca del Uruguay Pág. 58

59 Ejerccos de Descueto Comercal Profs. Aldo Castaga DESCUENO COMERCIAL ) U comercate ecesta dero, para lo cual decde descotar e el baco u cheque dferdo a 90 días cuyo valor es U$S S la asa de Descueto Comercal Smple que le cobra el baco es del 5% aual, cuál es moto de dero que recbrá el comercate?. Respuesta : U$S 2.887,50 2) Ua empresa recbe U$S de parte de u baco y para ello debó frmar u documeto cuyo vecmeto es detro de 20 días. S la asa de Descueto Comercal Smple cobrada por parte del baco es del 6% aual, cuál es el valor del documeto frmado?. Respuesta : U$S 0.563,38 3) S descotamos varos documetos cuyo valor total es U$S y su vecmeto detro de 60 días, y recbmos por el msmo U$S , cuál fue la asa de Descueto Comercal Smple aplcada por el baco?. Respuesta :,40 % mesual 4) S u documeto de U$S y vecmeto detro de 50 días es descotado a ua asa de Descueto Comercal Compuesto de 3,5% aual co aplcacoes mesuales. Hallar la catdad de dero que se recbrá por dcho descueto. Respuesta : U$S 4.725,0 5) S por el descueto de u cheque dferdo a 90 días recbmos $U co ua asa Efectva de Descueto Comercal Compuesto de 45% aual, teedo aplcacoes mesuales. Hallar la catdad de dero por la que fue emtdo el cheque mecoado. Respuesta : $U ) S u cheque dferdo de $U es descotado el 2 de agosto, a ua asa de Descueto Comercal Compuesto del 49% aual efectvo co aplcacoes mesuales, y por el cual se recbe $U Hallar la fecha de cobro del cheque dferdo mecoado. Respuesta : 29 de dcembre 7) Ua persoa posee u documeto por U$S que vece detro de 6 meses. Se pde: a) Calcular el Descueto Comercal Smple y el Valor Actual del documeto s la asa de Descueto es del 5% aual. b) Calcular el Descueto Comercal Compuesto y el Valor Actual del documeto s la asa de Descueto es del 0,4% mesual co aplcacoes mesuales. Respuesta : a) U$S 500 y U$S b) U$S 475,23 y U$S 9.524,77 8) Ua persoa ecesta $U que obtedrá de u baco que cobra ua asa de Descueto Comercal Smple del 5% mesual, por cuáto deberá frmar el Vale s lo retegrará detro de 4 meses?. Respuesta : $U ) U baco cobra por u préstamo a 90 días ua asa de Iterés Smple del 8% e los 3 meses, cuál será la asa de Descueto Comercal Smple equvalete para los 3 meses?. Respuesta : 5,25% 0) Cuál es la asa Mesual de Descueto Comercal Compuesto equvalete a ua asa de Iterés Compuesto del 5,6% mesual?. Respuesta : 5,3% Uversdad Católca del Uruguay Pág. 59

60 Ejerccos de Descueto Racoal Profs. Aldo Castaga DESCUENO RACIONAL ) U comercate ecesta dero, para lo cual decde descotar e el baco u cheque dferdo a 90 días cuyo valor es U$S S la asa de Descueto Racoal Smple que le cobra el baco es del 5% aual, cuál es moto de dero que recbrá el comercate?. Respuesta : U$S 2.89,57 2) Ua compañía recbe U$S de parte de u baco y para ello debó frmar u documeto cuyo vecmeto es detro de 20 días. S la asa de Descueto Racoal Smple cobrada por parte del baco es del 6% aual, cuál es el valor del documeto frmado?. Respuesta : U$S 0.533,33 3) S descotamos varos documetos cuyo valor total es U$S y su vecmeto detro de 60 días, y recbmos por el msmo U$S , cuál fue la asa de Descueto Racoal Smple aplcada por el baco?. Respuesta :,44 % mesual 4) S u documeto de U$S y vecmeto detro de 50 días es descotado a ua asa de Descueto Racoal Compuesto de 3,5% co aplcacoes mesuales. Hallar la catdad de dero que se recbrá por dcho descueto. Respuesta : U$S ) S por el descueto de u cheque dferdo a 90 días recbmos $U co ua asa Efectva de Descueto Racoal Compuesto de 45% aual, teedo aplcacoes mesuales. Hallar la catdad de dero por la que emtdo el cheque mecoado. Respuesta : $U 76.83,94 6) S u cheque dferdo de $U es descotado el 25 de marzo, a ua asa de Descueto Racoal Compuesto del 49% aual efectvo co aplcacoes mesuales, y por el cual se recbe $U Hallar la fecha de cobro del cheque dferdo mecoado. Respuesta : 4 de ovembre 7) U documeto por U$S , que vece detro de 6 meses se susttuye por otro que vece detro de 2 meses. Calcular el Valor Nomal del uevo documeto s : a) se aplca ua asa de Descueto Racoal Smple del 9% trmestral. b) se aplca ua asa de Descueto Racoal Compuesto del 5% semestral co aplcacoes mesuales. Respuesta : a) U$S ,86 b) U$S ,53 8) Ua persoa vede ua casa e U$S El comprador ofrece pagarle U$S al cotado y el resto co u cheque dferdo a 2 meses. El vededor acepta la propuesta co la codcó de que el cheque cubra el descueto que efectuará el baco para obteer el dero e forma medata. a) Cuál será el mporte del cheque s el baco aplca ua asa de Descueto Racoal Smple del 5% mesual?. b) Cuál será el mporte del cheque s el Baco aplca ua asa de Descueto Racoal Compuesto del 5% mesual?. Respuesta : a) U$S b) U$S ) Dos deudas: ua de $U exgble detro de dos años y otra de $U que vece detro de 5 años, se susttuye por u úco documeto que vece detro de u año. Se pde calcular el Valor Nomal de dcho documeto e los sguetes casos: Uversdad Católca del Uruguay Pág. 60

61 Ejerccos de Descueto Racoal Profs. Aldo Castaga a) Co ua asa de Descueto Comercal Compuesto del 40% aual captalzable aualmete.. b) Co ua asa de Descueto Comercal Compuesto del 38% aual captalzable semestralmete. c) Co ua asa de Descueto Comercal Compuesto del 8% semestral captalzable mesualmete. d) Co ua asa de Descueto Comercal Compuesto del 5% aual captalzable statáeamete. Respuesta : a) $U b) $U 4.474,06 c) $U 6.20,7 d) $U ,9 0) E ua operacó e la cual se aplca la asa de Descueto Comercal Compuesto Efectvo semestral del 5% y sabedo que la flacó prevsta será del 2% mesual acumulatvo e el prmer semestre y del 2 % aual Istatáea e el segudo semestre. a) Calcular la asa aual Real de Iterés. b) Calcular la asa aual Real de Descueto. Respuesta : a) 5,75% b) 0,6% ) Ua empresa dustral adquró el /2/97 u equpo pagadero e cco cuotas mesuales guales de U$S a partr de esa fecha. Al 0/0/98 se aboaro las dos prmeras cuotas, pero para hacer frete a las restates se preseta seras dfcultades faceras. Solo se dspoe de documetos al cobro que dvdualmete tee u valor omal de $U 5.000, cuyos vecmetos y motos totales so los sguetes: Vecmeto VN ( $U ) 0/02/ /03/ /04/ La empresa ha cosegudo que e su oportudad se descuete a la asa del 30% aual de Descueto Comercal Compuesto captalzable mesualmete, los documetos ecesaros para saldar las cuotas 3 y 4, la 5ta cuota se aboará e parte co los documetos que vece el 0/04/98 que aú o haya sdo descotados. El tpo de cambo al 0/2/97 era de $U 9,90 por dólar y al 0/0/98 es de $U 0 por dólar. Se estma que e el futuro la desvalorzacó moetara será del.0% mesual acumulatva. Determe las ecesdades adcoales de facameto, para el pago de la quta cuota, cosderado que los excedetes de cada descueto se verte e captal de trabajo. Respuesta : Necesto $U 8652,53 adcoales para pagar la 5ta. cuota Uversdad Católca del Uruguay Pág. 6

62 Ejerccos de Evaluacó de Proyectos Profs. Aldo Castaga EVALUACIÓN DE PROYECOS ) Se cooce el sguete flujo de fodos correspodete a u proyecto de versó: Mometo 0 : (50.000) Año : Año 2 : Año 3 : Año 4 : Se pde: a) Evaluar el proyecto aplcado el crtero del Valor Actual Neto. La tasa de corte utlzada por la empresa es del 2%. b) Evaluar el proyecto aplcado el crtero de la asa Itero de Retoro. Respuesta : VAN = IR = 23,04% 2) Idem al ejercco ) pero cosderado u proyecto co el sguete flujo de fodo: Mometo 0 : (50.000) Años al 9 : Respuesta : VAN = 6.42 IR = 30,24% 3) Idem al ejercco ) pero cosderado u proyecto co el sguete flujo de fodo: Mometo 0 : (50.000) Año : ( ) Año 2 : Año 3 : Respuesta : VAN = IR = 8,30% 4) Idem al ejercco ) pero cosderado u proyecto co el sguete flujo de fodo: Mometo 0 : ( 5.000) Año : Año 2 : (48.750) Respuesta : VAN = IR = 50% y 550% 5) Idem al ejercco ) pero cosderado que la tasa de costo del captal es: - hasta el año 2 clusve : 2% - desde el año 2 e adelate : 5% Respuesta : VAN = IR = 23,04% 6) Idem al ejercco ) pero cosderado que los flujos de fodos de los años a 4 se produce al 30/6 de cada año. Evaluar el proyecto aplcado los crteros de VAN y IR. Respuesta : VAN = ,4 IR = 29,57% 7) Ua empresa costructora dspoe de u terreo cuyo valor es de U$S y pesa costrur u edfco de 0 apartametos cuyo costo de costruccó ascede a U$S que se vertrá e partes guales e 4 semestres (se supoe dchas versoes al fal de los semestres). Se estma que los apartametos puede ser veddos al cotados a U$S durate el sguete año (se cosdera 5 apartametos e el quto semestre y 5 e el sexto). Por otra parte, recbe ua oferta para la compra del terreo, ofrecédole pagar U$S al cotado, U$S al año y U$S a los dos años. S la versó alteratva es e boos del tesoro cuya tasa efectva aual es de 7,5%. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 62

63 Ejerccos de Evaluacó de Proyectos Profs. Aldo Castaga a) Calcular VAN, IR, Idce de Retabldad y Período de Repago de ambos Proyectos. b) Decdr cual de las versoes realzar. Respuesta : a) Proyecto A : U$S 38.2,98 / 2,8% /,32 / 6 semestres Proyecto B : U$S ,97 / 47,86% /,48 / 2 semestres b) Proyecto A 8) U versosta verte U$S e ua fábrca de plástcos. Supoemos que la msma geerará U$S auales etos (deducdos costos) durate 0 años. S el valor estmado de la fábrca detro de 0 años es de U$S y el costo de oportudad es de 0% aual. Calcular VAN, IR, Idce de Retabldad y Período de Repago de la versó ates mecoada. Respuesta : U$S 453.0,04 / 20,90% /,65 / 7 años 9) Ua empresa fabrcate de máquas de cortar césped aalza la posbldad de fabrcar u uevo modelo. El flujo de tesorería prevsto para este proyecto es el sguete: Año a 0 Iversó cal Igresos Ctos Operatvos Gastos Varos Amortzacoes Beefco bruto Impuesto 30% Beefco eto a) S la tasa de versó alteratva es de 0% aual, calcular VAN, IR, Ídce de Retabldad, Período de Repago y asa de Retabldad Cotable Meda. b) Determar s es coveete o o realzar la versó. Respuesta : a) U$S ,45 / 48,24 % /,34 / 4 años / 50% b) Es muy coveete 0) Supogamos que teemos 3 posbles proyectos e los cuales vertr co los sguetes flujos de fodos: Año Proyecto A Proyecto B Proyecto C Supoedo el costo de oportudad de 0% aual : a) Calcular el VAN para cada uo de los 3 proyectos. b) Calcular la IR para cada uo de los 3 proyectos. c) Calcular el Período de Repago para cada uo de los 3 proyectos. d) Calcular el Idce de Retabldad para cada uo de los 3 proyectos. e) S la empresa o quere teer u Período de Repago mayor de 2 años, cuál de los 3 proyectos elegría?. f) S la empresa o quere teer u Período de Repago mayor de 3 años, cuál de los 3 proyectos elegría?. g) S o hubera lmtates respecto al Período de Repago, cuál de los 3 proyectos elegría?. Respuesta : a) U$S 47,94 / U$S 3.46,5 / U$S 4.802,6 b),73% / 78,70% / 35,7% c) 3 años / 3 años / 4 años d),04 / 4,46 /,96 e) Nguo f) Proyecto B g) Proyecto C. Uversdad Católca del Uruguay Pág. 63

64 Ejerccos de Retas y Amortzacoes Profs. Aldo Castaga RENAS Y AMORIZACIONES ) Determar cual es el Valor Actual y el Moto de ua Reta de U$S.000 semestrales, cobrados al fal de cada semestre, s la tasa de terés aplcada es de 4% semestral efectvo. La duracó de la reta es de 5 semestres. Respuesta : VA =.8,39 M = ,59 2) Se compra u auto pagado U$S al cotado y 20 cuotas trmestrales de U$S.000 cada ua, al fal de cada trmestre. S la tasa aplcada es de 0% aual efectva, cuál es el preco cotado del auto?. Respuesta : 7.722,52 3) Ua persoa se jubla y co el moto ahorrado e la AFAP cotrata u seguro por 20 años de U$S.000 mesuales, cobrado al comezo de cada mes. S la tasa cosderada es de 6% aual efectva, cuál fue el moto ahorrado e la AFAP?. Respuesta : ,02 4) Jua compra ua casa, pagado U$S al cotado y comprometédose a pagar cuotas de U$S semestrales durate 30 años a semestre vecdo. Se acordó aplcar ua tasa de 2% aual efectvo. Calcular : a) El valor cotado de la casa. b) S después de realzar 0 pagos desea saldar la deuda e el mometo de teer que pagar la sguete cuota, cuál será la catdad a aboar?. c) S o paga las 5 prmeras cuotas, cuáto deberá pagar e el mometo de la decmosexta cuota para quedar al día co los pagos?. Respuesta : a) ,36 b) 5.254,50 c) ,07 5) Se quere cotratar u seguro para dspoer detro de 30 años de u moto de U$S Se acuerda pagar cuotas guales a mes vecdo durate los 30 años, aplcádose ua tasa de 0,5% mesual efectvo. Cuál será el moto de la cuota?. Respuesta : 99,55 6) Ua persoa compra ua heladera e cuotas mesuales de $ 500, pagadas a mes vecdo, s el preco cotado de la heladera es de $ y la tasa aplcada es de 40% aual efectvo, a) cuátas cuotas de $ 500 deberá pagar? b) cuál será el moto de la últma cuota? Respuesta : a) 2 b) 39,09 7) Compramos u equpo de are acodcoado que tee u preco cotado de U$S o u pla de facameto pagado U$S 500 al cotado y 35 cuotas a mes vecdo de U$S 200. Calcular las tasas omal y efectva auales aplcadas. Respuesta : asa Nomal Aual = 54% asa Efectva Aual = 69,59% 8) Ua empresa está jutado fodos para cambar su flota de ómbus. Necesta U$S detro de 0 años para lo cual está depostado e ua cueta ua certa catdad de dero todos los fales de mes. S la tasa pagada por el baco es de 6% semestral efectva, calcular el moto de cada cuota. Respuesta : 8.87,40 9) Ua empresa compró el de marzo de 998 ua máqua cuyo preco de cotado era de U$S La compra facada co ua tasa de % aual efectvo, para lo cual acuerda pagar Uversdad Católca del Uruguay Pág. 64

65 Ejerccos de Retas y Amortzacoes Profs. Aldo Castaga cuotas trmestrales de U$S a trmestre vecdo, pagado la prmera el de marzo de 999. Determar : a) Cuátas cuotas de U$S debe pagar? b) E qué fecha debe pagar la últma cuota de U$S ? c) Cuáto dero deberá pagar e total? Respuesta : a) 3 (la últma es meor) b) de marzo de 2002 c) ,27 0) Se tee ua deuda de U$S y se determa amortzar la msma e 0 cuotas semestrales guales, a ua tasa de terés efectva aual de 5%. a) Calcular el moto de cada cuota. b) Cofeccoar ua tabla de amortzacoes. Respuesta : 5.757,92 ) Ua empresa pde u préstamo de U$S El msmo será amortzado e 5 años, pagado cuotas semestrales guales. S se cosderó ua tasa de terés aual efectva de 0% : a) Calcular el moto de la cuota. b) Calcular el captal adeudado luego de pagar la 5ta. Cuota. c) A cuáto ascedero los tereses cobrados?. Respuesta : a) 3.864,22 b) 6.78,5 c) 8.642,20 2) eemos que pedr u préstamo de U$S para costrur ua casa. Para ello teemos 2 opcoes : a) Baco : se amortza e 30 cuotas trmestrales guales de U$S b) Baco 2 : se amortza e 0 cuotas auales guales a ua tasa de 0% aual efectva. c) Hacer la tabla de amortzacoes de ambas opcoes. Determar la mejor opcó. Respuesta : 0,0522 trmestral b) 9.764,72 c) opcó b) 3) Ua casa de electrodoméstcos propoe u pla de 5 cuotas de U$S 20 mesuales para el pago de sus lavarropas automátcos. La prmer cuota se paga al mes de la compra y la tasa de terés empleada es de 0 efectvo aual. a) Calcular el preco cotado del lavarropas. b) Puede optarse por hacer los pagos desde el mometo de la compra co ua reduccó de U$S 0 e cada pago. Es esto mejor que el prmer pla?. Respuesta : a) 585,92 b) 54,37 4) Para la compra de u local valuado e U$S ua empresa se compromete a pagar cuotas auales vecdas durate 2 años. La tasa de terés pactada es de 2% efectvo aual. a) Calcular cada cuota. b) Cuál sería la cuota e el caso de ua etrega cotado del 20%?. Respuesta : a) 9.533,85 b) 5.627,08 5) Ua empresa dedcada a efectuar préstamos para cosumo aplca la sguete modaldad de pago para su pla de dos cuotas mesuales. Cobra el 0% del preco cotado como etrega cal, luego dos cuotas vecdas equvaletes al 50% del preco cotado cada ua. Ellos dce que de esta forma cobra u 5% mesual de terés. a) Cuál es la tasa efectva aual e realdad?. b) Ua deuda de $ decde cacelarse e cuatro cuotas bmestrales de $ cada ua. La prmer cuota se pagará al prcpo del tercer bmestre calcular la tasa de terés efectva aual. Respuesta : a) 33,44% aual b) 86,44% aual Uversdad Católca del Uruguay Pág. 65

66 Ejerccos de Retas y Amortzacoes Profs. Aldo Castaga 6) Ua famla deposta U$S 500 al f de cada mes co el objetvo de reur U$S 9000 co los cuales pesa hacer u vaje. La cueta e caja de ahorros que abrero a tales efectos paga 4% de terés efectvo aual. Exactamete e qué mometo puede dspoer de la catdad total?. Respuesta : Al pagar la 8 ava cuota 7) Ua deuda que orgalmete se decdó cacelar e las sguetes codcoes: - valor de la deuda $ plazo 3 años - cuotas auales vecdas de $ se acuerda cacelarla e cuotas mesuales guales. Qué mporte tedrá dchas cuotas?. Respuesta : 3.777,37 8) Ua persoa compra ua reta perpetua e U$S por la cual se le pagará U$S.25. mesuales vecdos luego de u certo período. S la compra se hzo el 5 de marzo de 992 y el terés es 4.8% aual captalzable mesualmete. Cuádo se efectúa el prmer pago?. Respuesta : 50 años y 6 meses 9) Ua persoa colocó U$S e u baco el 0 de julo de997. E depóstos bmesuales posterores fue aumetado la catdad a depostar e U$S 500 cada vez. Cuáto deposta el 0 de marzo de 998? A fes de marzo retra todo lo depostado. Calcular el moto teedo e cueta que la tasa de terés pactada es 6.55% aual captalzable bmestralmete. Respuesta : ,85 20) Se preseta la sguete formacó sobre ua versó: INGRESOS EGRESOS (al fal de cada período) Se sabe además que el valor de rescate de la versó es $ al fal del 5to año. a) Determar la coveeca de realzar la versó co ua tasa de costo de captal de 0% efectvo aual utlzado el crtero del VAN. b) Hallar la IR de dcha versó. Respuesta : VAN = 9.346,88 IR = 25,37% 2) Se sabe que se puede realzar ua versó Io cuya vda útl se estma e 5 años cuyos gresos etos auales (a f de cada año) estará e progresó artmétca co l térmo el 0% de Io y razó 00 por año. a) Determar cual sería la máxma Io para que esa versó sea coveete a ua tasa de costo de captal de 2%. b) S se sabe que Io = 800 cuál tedría que ser la máxma tasa de costo de captal para aceptar como coveete dcha versó. Respuesta : a) Io =.000,32 b) = 6,85% Uversdad Católca del Uruguay Pág. 66

67 Ejerccos de Repaso Profs. Aldo Castaga EJERCICIOS DE REPASO ) Se dspoe U$S y se tee las sguetes alteratvas para colocar dcho dero durate u año, las msmas so: a) Depósto a ua asa de Iterés de 6,25% aual, s captalzacó de tereses e el año. b) Depósto a ua asa de Iterés Nomal de 6,0% aual, co captalzacó de tereses mesual. c) Depósto a ua asa de Iterés de 3,06% semestral, co captalzacó de tereses trmestral. Determar la mejor opcó. Justfcar dcha decsó. Respuesta : Opcó b) 2) Ua determada empresa tee realzado u depósto a plazo fjo de U$S colocado a ua asa de Iterés de 7% aual durate año, s captalzacó de tereses e dcho período. Ya ha trascurrdo 5 meses desde que depostó el dero mecoado y se le preseta u uevo egoco para el cual ecesta U$S , pero o dspoe de dero e efectvo. Cosderado que: a) S pde al baco los U$S depostados perderá los tereses geerados durate los 5 meses trascurrdos. b) ee la posbldad de pedr u préstamo por U$S co ua asa de Iterés aual de 2%, co captalzacó de tereses mesual. c) Puede descotar uos cheques dferdos cuyo vecmeto es detro de 80 días y su moto total es de U$S , aplcádole el baco ua asa de Descueto Comercal Efectva de 2,5% aual. Determar la mejor opcó. Justfcar dcha decsó. Respuesta : Retrar el dero del plazo fjo. 3) Ua persoa deposta e u baco u Captal de $U durate u año, s captalzacó de tereses y obtee el msmo Moto que s depostara ese msmo Captal e otro baco, durate 5 meses s captalzacó de tereses. Sabedo que las asas Efectvas auales dfere e u 5%, Calcular ambas asas de Iterés y el Moto Fal. Respuesta : 20%, 25%, $U ) S u documeto de U$S 7.500, cuyo vecmeto es el 2 de dcembre de 998 es descotado a ua asa de Descueto Comercal Smple del 2% aual, recbédose U$S E que fecha fue descotado el msmo. Respuesta : 6 de abrl de 998 5) S u documeto de U$S 9.500, cuyo vecmeto es el 2 de ovembre de 998 es descotado a ua asa de Descueto Comercal Compuesto del 3% aual co aplcacoes mesuales, recbédose U$S E que fecha fue descotado el msmo. Respuesta : 5 de marzo de 998 6) S u documeto de $U , cuyo vecmeto es el 2 de abrl de 998 es descotado a ua asa de Descueto Racoal Smple del 50% aual, recbédose U$S E que fecha fue descotado el msmo. Respuesta : 7 de setembre de 997 7) S u documeto de U$S 3.200, cuyo vecmeto es el 7 de juo de 998 es descotado a ua asa de Descueto Racoal Compuesto del 5% aual, co aplcacoes mesuales, recbédose U$S E que fecha fue descotado el msmo. Respuesta : 2 de marzo de 998 Uversdad Católca del Uruguay Pág. 67

68 Ejerccos de Repaso Profs. Aldo Castaga 8) Queremos obteer U$S descotado u documeto de U$S cuyo vecmeto es el 5 de octubre de 998. S sabemos que las tasas de descueto comercal y racoal smple expresadas mesualmete dfere 0,5%, se aplca mesualmete y que las fechas de descueto dfere etre sí 5 días. Sabemos que la tasa de descueto racoal es mayor que la de descueto comercal. a) E qué fecha tedré que descotarlo aplcado descueto comercal smple? b) E qué fecha tedré que descotarlo aplcado descueto racoal smple? c) Cuáles so las tasas mesuales de ambos tpos de descuetos? Respuesta : a) 4 de agosto b) 9 de agosto c),60 y 2,0% 9) Ua persoa tee dsttas opcoes para depostar U$S a) Baco : le ofrece por depostarlo desde el 5 de eero de 998 hasta al 5 de marzo del msmo año u moto fal de U$S 0.083,33 aplcádole terés smple y s lo deposta hasta el 5 de mayo del msmo año U$S 0.50,85 aplcádole terés compuesto co captalzacó de tereses mesual. b) Baco 2: le ofrece por depostarlo hasta el día 5 de juo del msmo año u moto fal de U$S 0.97,37 aplcádole terés compuesto co captalzacó mesual. Decdr y justfcar e cuál de los dos Bacos y co que tpo de terés (e el caso del prmero) covedrá depostar el captal mecoado s lo quere depostar durate 7 meses?. Respuesta : Baco co terés smple 0) Ua persoa compra ua casa pagado co u cheque dferdo a 80 días por u valor de U$S , el cual ya cluye los tereses geerados durate el período por el cual se faca la compra (calculados co ua tasa efectva aual de 2%). Que recbe dcho cheque lo descueta e u baco ese msmo día recbedo por el msmo U$S S sabemos que e el Baco le aplca descueto comercal compuesto: a) qué tasa de descueto efectva aual le aplcaro al vededor e el baco? b) cuál es el preco cotado de la casa? c) Cosderado el preco cotado de la parte ateror, cuál sería el preco facado justo para que el vededor solo trasladara los tereses geerados por el descueto? Respuesta : a) 0,7% aual b) U$S ,47 c) U$S ,65 ) Cuál es el moto e U$S por el que se emte u cheque el 23 de abrl y co fecha de pago del 2 de julo, s descotado al 5% aual efectvo y co descueto racoal compuesto obteemos U$S 5.000?. Respuesta : U$S 5.473,8 2) Ua empresa tee que pagar ua deuda de U$S y dspoe de u cheque dferdo a 20 días de U$S que puede ser descotado o la posbldad de pedr u préstamo a 20 días (mometo e el cual cobraría el cheque). Para el descueto, el baco le aplca ua tasa de descueto comercal compuesto de 0% efectva semestral, pudedo depostar el resto del dero e ua cueta que dspoe, e la cual le paga ua tasa efectva aual del 5,5%. S decde tomar el préstamo, el baco le aplca ua tasa efectva de terés trmestral de 5,2%. Por cuál de las dos opcoes debe optar la empresa?. Respuesta : Préstamo Uversdad Católca del Uruguay Pág. 68

69 III. FÓRMULAS

70 R INERÉS SIMPLE = 00 M = C + I = 44 = C R I = 00 M = C ( + ) = I C = M C = I C = M C C = I C = M + INERÉS COMPUESO = C ( ) = C ( + ) M + [ ] I C = M ( + ) = logm logc log( + ) q M N = q = ( + C) = ( + E) = ( + D) ( + R) C + q I = e N N = L( + I) DESCUENO COMERCIAL SIMPLE D = V N - V A VA = VN d ( ) D = VN d V N = VA d V N = D d = VA VN d = D V d N d = VA VN d = D V N DESCUENO COMERCIAL COMPUESO ( d ) VA = VN V N = logva logvn log( d) VA ( d) = d VA VN q d q N q = = ( dc) = ( de) = ( D) ( dr) d di = e N ( ) dn = L di ASA EFECIVA DE DO. COMERCIAL SIMPLE vs. DE INERÉS SIMPLE d = d = d + ASA EFECIVA DE DO. COMERCIAL COMPUESO vs. DE INERÉS COMPUESO d = d = d +

71 DESCUENO RACIONAL SIMPLE VN VA + d D = VA d V N = VA + d ( ) = VN V A d = D V d A d = VN V A d = D V A VA = VN DESCUENO RACIONAL COMPUESO ( + d ) D = VN ( ) V N = V A ( + d ) + d logvn logva = log ( + d) ) = VN d VA ASA EFECIVA DE DO. RACIONAL SIMPLE vs. DE INERÉS SIMPLE d = ASA EFECIVA DE DO. RACIONAL COMPUESO vs. DE INERÉS COMPUESO d = RENA CIERA, EMPORAL, CONSANE, ENERA, INMEDIAA Y VENCIDA VA C + = M ( + ) = C ( ) M = VA + VA = M ( + ) = VA log C log( ) + V V N = A RENA CIERA, EMPORAL, CONSANE, ENERA, INMEDIAA Y ADELANADA VA + = C ( + ) ( + ) M = C ( + ) ( ) M = VA + VA = M ( + ) = VA log C log( ) + ( + ) RENA CIERA, PERPEUA, CONSANE, ENERA, INMEDIAA Y VENCIDA

72 C VA = RENA CIERA, PERPEUA, CONSANE, ENERA, INMEDIAA Y ADELANADA ( ) C VA + = RENA CIERA, EMPORAL, CONSANE, ENERA, DIFERIDA Y VENCIDA ( ) q C VA + + = ( ) C M + = ( ) q VA M + + = ( ) q M VA + + = = ( ) ) log( log C VA q + + CUADRO DE AMORIZACIONES E INERESES Período Deuda al prcpo del período Iterés Amortzacó Pago Saldo al fal del período CÁLCULO DE LA CUOA DE AMORIZACIÓN C D + = D C + = + = + C D k k + = + k k C I + + = k k C A + = C D k fk

73 IV. PROGRESIONES

74 I. Cálculo de Progresoes Artmétcas Supogamos la sguete progresó artmétca de térmos: ( ) P = a+ ( a+ b) + ( a+ 2 b) + ( a+ 3 b) a+ ( ) b a = prmer térmo de la progresó b = dfereca comú etre térmos S le llamamos al -ésmo térmo k = a+ ( ) b expresar de las sguetes 2 maeras: la progresó ateror la podemos P = a+ ( a+ b) + ( a+ 2 b) ( k 2 b) + ( k b) + k P = k + ( k b) + ( k 2 b) ( a+ 2 b) + ( a+ b) + a Sumado las 2 expresoes aterores os queda: 2 P = ( a+ k) + ( a+ k) + ( a+ k) ( a+ k) + ( a+ k) + ( a+ k) 2 P = ( a+ k) De dode el resultado de la progresó artmétca es: Susttuyedo k os queda: P = ( a+ k ) 2 P = ( a+ ( ) b) Cálculo de Progresoes Geométcas Supogamos la sguete progresó geométrca de térmos: P = a+ a b+ a b + a b a b a = prmer térmo de la progresó b =razó de la progresó Multplcado la progresó ateror por b os queda: 2 3 b P = a b+ a b 2 + a b 3 + a b a b Restado ambas expresoes os queda: ( ) ( ) ( )... ( ) P b P = a+ a b a b + a b a b + a b a b + + a b a b a b Despejado P os queda: P b P = a a b P = a a b b ó : a b a P = b

75 a a b a P = lm = S la progresó geométrca es fta y b <, el resultado de b b su suma es el límte del resultado ateror cuado : P = a a b a = b b lm P a = b

76 VI. EJERCICIOS PARCIALES

77 PARCIAL 5/5/98 Problema ) Ua persoa quere vertr sus ahorros hasta detro de 4 años, mometo e el cual los ecesta para pagar los estudos de su hjo. Dchos ahorros ascede a U$S , dspoedo de las sguetes alteratvas para colocar dcho dero durate ese período: a) Depostarlo e el fodo de versoes del Baco Plata Felz, cuya tasa de terés es de 7% aual efectva. b) Depostarlo a plazo fjo e el Baco Dero Fácl, cuya tasa de terés omal es 6% aual co captalzacó de tereses mesual. c) Depostarlo e el fodo de versoes del Baco Negoco Seguro, cuya tasa de terés es 0,55% mesual efectva. d) Depostarlo a plazo fjo e el Baco Dero Amgo, cuya tasa de terés efectva es,6% trmestral. I) Determar la mejor opcó. Justfcar dcha decsó. II) S aparece u uevo baco e plaza que cosdera ua tasa real de % aual y la flacó prevsta e U$S es de 6% aual para cada uo de los próxmos 4 años. Determar s es mejor o peor opcó que la hallada e la parte I). Problema 2) Ua empresa tee que comprar ua máqua cuyo preco es de U$S cotado y dspoe de u cheque dferdo a 50 días por u moto de U$S Para pagar la máqua la empresa tee 2 opcoes: a) Descotar el cheque dferdo e el baco el cual le aplca ua tasa de descueto comercal compuesto de % mesual efectvo, pagar la máqua y depostar el resto e ua caja de ahorro a ua tasa de terés efectva mesual de 0,4%. b) Pedr u préstamo a 50 días por U$S , saldádolo al cobrar el cheque dferdo. La tasa de terés que cobra el Baco es de 5% aual efectvo. I) Determar la mejor opcó. Justfcar dcha decsó. II) Cuál fue la tasa de descueto aual efectva cobrada por el baco e la opcó a) y la tasa de terés compuesto equvalete a la msma. Problema 3) U Mayorsta debe pagar ua deuda por compra de mercadería por u valor de U$S No dspoe de efectvo, pero tee u cheque dferdo por U$S a 50 días que puede descotar e los sguetes bacos: a) El Baco Bue Dero cobra ua tasa de descueto comercal compuesto del 4% aual efectvo. b) El Baco Moey-Moey cobra ua tasa de descueto racoal compuesto del % mesual efectvo. I) Determar e que Baco covee realzar el descueto y el moto que recbremos por el msmo. II) Cuál sería la tasa de descueto comercal compuesto aual efectva equvalete a la expresada e la opcó b), de maera de obteer la msma catdad de dero.

78 PARCIAL 2 5/5/98 Problema ) Ua empresa emtó e ua msma fecha varos cheques dferdos a sus acreedores co los sguetes detalles: Cheque : U$S co vecmeto detro de 50 días. Cheque 2: U$S co vecmeto detro de 90 días. Cheque 3: U$S co vecmeto detro de 20 días. rascurrdos 60 días luego de haber emtdo los cheques la empresa dspoe de dero e efectvo, por lo que egoca co sus acreedores para adelatar el pago de los 3 cheques ates ctados. S e la egocacó decde aplcar descueto comercal compuesto, co ua tasa de descueto del % mesual efectvo: I) calcular los motos a pagar a sus respectvos acreedores. II) cual fue la tasa de descueto aual efectva egocada. III) supogamos que la empresa decde pagar el cheque 2 y hacer u uevo cheque por los otros dos co vecmeto 30 días luego de los 60 mecoados aterormete. S la tasa de descueto es la msma que la de la parte I), determar el moto por el que se debe emtr el uevo cheque. Problema 2) Ua persoa desea vertr sus ahorros por 5 años. Dchos ahorros ascede a U$S , dspoedo de las sguetes alteratvas para colocar dcho dero durate ese período: a) Depostarlo e el fodo de versoes del Baco Plata Felz, cuya tasa de terés es de 7,5% aual efectva. b) Depostarlo a plazo fjo e el Baco Dero Fácl, cuya tasa de terés omal es 3,5% semestral co captalzacó de tereses mesual. c) Depostarlo e el fodo de versoes del Baco Negoco Seguro, cuya tasa de terés es 0,55% mesual efectva. d) Depostarlo a plazo fjo e el Baco Dero Amgo, cuya tasa de terés efectva es 3,7% semestral. I) Determar la mejor opcó. Justfcar dcha decsó. II) S aparece u uevo baco e plaza que cosdera ua tasa real de % aual y la flacó prevsta e U$S es de 6,5% aual para cada uo de los próxmos 5 años. Determar s es mejor o peor opcó que la hallada e la parte I). Problema 3) Ua empresa tee que comprar mercadería por u valor de U$S , y debe pagarla al cotado. No dspoe de dero e efectvo pero tee u cheque dferdo a 20 días por u moto de U$S Para pagar la mercadería la empresa tee 2 opcoes: a) Descotar el cheque dferdo e el baco el cual le aplca ua tasa de descueto comercal compuesto de % mesual efectvo, pagar la mercadería y depostar el resto e ua caja de ahorro a ua tasa de terés efectva mesual de 0,4%. b) Pedr u préstamo a 20 días por U$S , saldádolo al cobrar el cheque dferdo. La tasa de terés que cobra el Baco es de 7,5% semestral efectvo. I) Determar la mejor opcó. Justfcar dcha decsó. II) Cuál fue la tasa de descueto semestral efectva cobrada por el baco e la opcó a) y la tasa de terés compuesto equvalete a la msma.

79 PARCIAL 3 5/5/98 Problema ) Ua empresa recbe varos cheques dferdos co los sguetes detalles: Cheque : U$S co vecmeto detro de 50 días. Cheque 2: U$S co vecmeto detro de 90 días. Cheque 3: U$S co vecmeto detro de 20 días. rascurrdos 30 días decde descotar los tres cheques e el baco co descueto racoal compuesto y ua tasa de 6% trmestral efectvo. Se pde : I) Calcular la catdad de dero que recbrá del baco por el descueto. II) Cual fue la tasa de descueto aual efectva aplcada por el baco. III) Supogamos que el que emtó el cheque 2 le propoe cambarle el msmo por otro cuyo vecmeto es 90 días más tarde. Se acuerda aplcar descueto comercal compuesto para obteer el uevo valor del cheque y ua tasa de 2,5% mesual efectvo. Calcular el valor por el que es emtdo el uevo cheque. Problema 2) Ua persoa compra u egoco pagádolo co u cheque dferdo a 20 días por u valor de U$S , el cual ya cluye los tereses geerados durate el período por el cual se faca la compra (calculados co ua tasa efectva aual de 20%). Que recbe dcho cheque lo descueta e u baco ese msmo día recbedo por el msmo U$S S sabemos que e el Baco le aplca descueto comercal compuesto: I) qué tasa de descueto efectva aual le aplcaro al vededor e el baco? II) que tasa de descueto real le aplcó el baco al vededor, sabedo que la flacó aual efectva es 8%?. III) cuál es el preco cotado del egoco? IV) Cosderado el preco cotado de la parte ateror, cuál sería el preco facado justo para que el vededor solo trasladara los tereses geerados por el descueto? Problema 3) Ua persoa quere vertr sus ahorros hasta detro de 6 años, mometo e el cual los ecesta para pagar los estudos de su hjo. Dchos ahorros ascede a U$S , dspoedo de las sguetes alteratvas para colocar dcho dero durate ese período: a) Depostarlo e el fodo de versoes del Baco Plata Felz, cuya tasa de terés es de 3,5% semestral efectva. b) Depostarlo a plazo fjo e el Baco Dero Fácl, cuya tasa de terés omal es 6% aual co captalzacó de tereses trmestral. c) Depostarlo e el fodo de versoes del Baco Negoco Seguro, cuya tasa de terés es 0,65% mesual efectva. d) Depostarlo a plazo fjo e el Baco Dero Amgo, cuya tasa de terés efectva es,8% trmestral. I) Determar la mejor opcó. Justfcar dcha decsó. II) S aparece u uevo baco e plaza que cosdera ua tasa real de % semestral y la flacó prevsta e U$S es de 5% aual para cada uo de los próxmos 6 años. Determar s es mejor o peor opcó que la hallada e la parte I).

80 PARCIAL 26/4/99 Problema ) Jua ha recbdo ua hereca cuyo moto ascede a U$S Como desea guardarla para su vejez decde vertrla durate 0 años. Jua dspoe de las sguetes alteratvas para colocar dcho dero: a) Depostarlo a plazo fjo e el Baco Moey-Moey", aplcádose ua tasa de terés efectva del 3,6% semestral. Se aplca terés compuesto. b) Depostarlo a plazo fjo e el Baco Camá, aplcádose ua tasa de terés omal del 7% aual co captalzacó de tereses trmestral. Se aplca terés compuesto. c) Ivertrlo e el fodo de versoes "Portafolo Seguro", que geera ua tasa de terés del 7,5% aual efectva. Se aplca terés compuesto. d) Ivertrlo e el fodo de versoes "Portafolo Amgo", que geera ua tasa de terés del 0,6% mesual efectva. Se aplca terés compuesto. I) Determar la mejor opcó. Justfcar dcha decsó. II) S se dspoe de ua ueva opcó para depostar el dero a plazo fjo, e dode el baco aplca ua tasa real efectva del 6,3% aual y la flacó prevsta e U$S es del % aual efectva para los próxmos 0 años. Determar s es mejor o peor opcó que la hallada e la parte I). Problema 2) Por problemas faceros, la empresa ABCD S.A. el día 30/04/99 desea cambar alguos cheques dferdos ya emtdos a sus acreedores por otros co fechas 3/07/99. Dchos cheques so los sguetes: Cheque : U$S co vecmeto el 30/04/99. Cheque 2: U$S co vecmeto el 3/05/99. Cheque 3: U$S co vecmeto el 30/06/99. Para la egocacó de las cfras co las que se emtrá los uevos cheques decde aplcar descueto comercal compuesto, co ua tasa de descueto del % mesual efectvo: I) Calcular las cfras por las que se debe emtr los 3 uevos cheques de vecmeto el 3/07/99. II) Calcular la tasa de descueto aual efectva egocada. III) Supogamos que la empresa ABCD S.A. dspoe el 30/04/99 de dero sufcete como para adelatar el pago del Cheque 3. S acuerda co el acreedor aplcar descueto comercal compuesto para calcular la catdad de dero a pagar el 30/04/99 (el cheque vecía el 3/06/99). La tasa de descueto cosderada es de 0% aual efectva. Determar la catdad de dero a etregar al acreedor por el caje del Cheque 3. Problema 3) La empresa SIEMPRE LISO S.A. debe comprar el 30/04/99 u camó cuyo preco de lsta es de U$S , dspoedo de varas opcoes para su pago: a) Descotar u cheque dferdo de U$S cuya fecha de vecmeto es el 30/06/99. Se aplca ua tasa de descueto racoal compuesto de % mesual efectvo. b) Pedr u préstamo a 60 días por U$S , saldado el msmo el 30/06/99 co el cobro del cheque dferdo de U$S La tasa de terés que cobra el Baco es del 2% aual efectvo. Se aplca terés compuesto. I) Calcular la tasa mesual efectva aplcada e la opcó b) II) Calcular la catdad de dero a recbr por el descueto del cheque dferdo e la opcó a).

81 III) Calcular el moto de dero a pagar el 30/06/99 por el préstamo de la opcó b). IV) Calcular la tasa de descueto racoal compuesto equvalete a la tasa de terés compuesto aplcada e la opcó b). V) Determar cual es la mejor opcó. Cosderar que el dero sobrate luego de pagar el camó e la opcó a) queda e caja s geerar tereses. PARCIAL 2/7/98 Problema ) Ua empresa que fabrca plástcos debe decdr etre las sguetes dos alteratvas: a) Realzarle a la máqua actual u servco de matemeto, cuyo costo ascede a U$S Se prevé gastos operatvos de U$S e gresos de U$S para cada uo de los sguetes 5 años. El valor de la máqua e el quto año se supoe ulo. b) Veder la actual máqua e U$S y comprar ua ueva e U$S Se prevé gastos operatvos de U$S.500 e gresos de U$S para cada uo de los sguetes 5 años. El valor de la máqua e el quto año se supoe de U$S I) Calcular el VAN y el Idce de Retabldad para cada uo de los proyectos, cosderado como costo de oportudad ua tasa de 2% aual. II) Determar cual es la mejor opcó. III) Platear y explcar como calcularía la IR e el proyecto de la alteratva a) (o es ecesaro obteer el resultado). Problema 2) La empresa ecesta comprar u uevo edfco cuyo preco cotado es de U$S , y debe decdr etre las sguetes 3 formas de pago: a) Pagarlo al cotado, pdedo u préstamo y amortzádolo e 2 cuotas mesuales, guales, pagadas al fal de cada mes, cosderado ua tasa efectva aual de 5%. b) Pagarlo e 4 cuotas trmestrales guales de U$S Las cuotas se paga al prcpo de cada trmestre. c) Pagarlo e 2 cuotas semestrales guales de U$S Las cuotas se paga a semestre vecdo. I) Determar el valor de la cuota e la alteratva a). II) Determar las tasas de terés auales efectvas aplcadas e las alteratvas b) y c). III) Determar el total de tereses pagados e la alteratva a) y cual es la mejor alteratva. Problema 3) A ua empresa se le ofrece u uevo egoco cuya duracó es de 5 años. Para realzar el msmo debe vertr U$S , por lo que debe pedr u préstamo por esa catdad, el cual amortzará e 5 cuotas auales e guales, aplcádosele ua tasa de terés de 5% aual. I) Calcular el valor de la cuota a pagar para amortzar el préstamo. II) S los gresos del proyectos so U$S para cada uo de los 5 años y el costo de oportudad es del 0% aual. Calcular el VAN y el Período de Repago del proyecto. Cosderar que los úcos egresos so los de las cuotas a pagar. III) Calcular la deuda que se matee co el baco luego de pagar la tercera cuota.

82 PARCIAL 2 2/7/98 Problema ) Ua empresa posee las sguetes alteratvas de versó: a) Comprar ua máqua de evasado de alto redmeto cuyo costo es de U$S Se prevé para los próxmos cuatro años egresos auales de U$S e gresos auales de U$S Se prevé para el fal del cuarto año u valor de veta de la máqua de U$S b) Comprar ua máqua de evasado de meor redmeto cuyo costo es de U$S Se prevé para los próxmos cuatro años egresos auales de U$S e gresos auales de U$S Se prevé para el fal del cuarto año u valor de veta de la máqua de U$S I) Calcular el VAN, el Idce de Retabldad y el Período de Repago para cada uo de los proyectos, cosderado como costo de oportudad ua tasa de 0% aual. II) Determar cual es la mejor opcó. III) Platear y explcar como calcularía la IR e el proyecto de la alteratva a) (o es ecesaro obteer el resultado). Problema 2) Ua empresa pde u préstamo al baco por U$S y decde amortzarla e 4 cuotas semestrales guales, pagadas al fal de cada semestre, aplcádose ua tasa efectva aual de 4%. I) Determar el valor de la cuota a pagar. II) Realzar el cuadro de amortzacoes e tereses de la deuda. III) Cuatas cuotas de U$S 5.000, semestrales, pagadas a semestre vecdo se deberá aboar, s se aplca ua tasa efectva aual de 4%. Problema 2) La empresa ecesta comprar u uevo galpó para stalar su fábrca cuyo preco cotado es de U$S , y debe decdr etre las sguetes 3 formas de pago : a) Pagarlo e 2 cuotas mesuales guales al comezo de cada mes, aplcádose ua tasa efectva aual de 2%. b) Pagarlo e 4 cuotas trmestrales guales de U$S Las cuotas se paga al fal de cada trmestre. c) Pagarlo e 2 cuotas semestrales guales, aplcádosele ua tasa efectva mesual de 0,9%. Las cuotas se paga a semestre vecdo. I) Determar el valor de la cuota e las alteratvas a) y c). II) Determar la tasa de terés aual efectva aplcada e la alteratva b). III) Determar cual es la mejor alteratva.

83 PARCIAL 3 2/7/98 Problema ) Ua empresa costructora debe decdr etre las sguetes dos alteratvas: a) Realzar el hormgoado de los edfcos co hormgoeras portátles. Para ello debe comprar 0 udades completas cuyo costo total ascede a U$S Se prevé para los próxmos 3 años gastos de operacó de U$S e gresos de U$S para cada año. El valor de las hormgoeras e el tercer año se supoe ulo. b) Realzar el hormgoado de los edfcos co u camó hormgoero cuyo costo es de U$S Co este camó, los costos por año se reduce a U$S y los gresos se matee e U$S por año. El valor del camó e el tercer año se supoe de U$S I) Calcular el VAN y el Idce de Retabldad para cada uo de los proyectos, cosderado como costo de oportudad ua tasa de 0% aual. II) Determar cual es la mejor opcó. III) Platear y explcar como calcularía la IR e el proyecto de la alteratva a) (o es ecesaro obteer el resultado). Problema 2) La empresa ecesta comprar ua uevo flota de vehículos cuyo preco cotado es de U$S , y debe decdr etre las sguetes 2 formas de pago: a) Pagarlo al cotado, pdedo u préstamo y amortzádolo e cuotas de U$S 6.000, mesuales, guales, pagadas al fal de cada mes, cosderado ua tasa efectva aual de 7%. b) Pagarlo e 3 cuotas semestrales guales de U$S Las cuotas se paga a semestre vecdo. I) Determar la catdad de cuotas a pagar e la alteratva a). II) Determar la tasa de terés aual efectva aplcada e la alteratva b). III) Determar el total de tereses pagados e la alteratva b) y cual es la mejor alteratva. Problema 3) A ua empresa se le ofrece u uevo egoco cuya duracó es de 4 años. Para realzar el msmo debe vertr U$S , por lo que debe pedr u préstamo por esa catdad, el cual amortzará e 4 cuotas auales e guales, aplcádosele ua tasa de terés de 7% aual. I) Calcular el valor de la cuota a pagar para amortzar el préstamo. II) S los gresos del proyectos so U$S para cada uo de los 4 años y el costo de oportudad es del 0% aual. Calcular el VAN y el Período de Repago del proyecto. Cosderar que los úcos egresos so los de las cuotas a pagar. III) Calcular que catdad correspodó a tereses y cuato a amortzacó e la tercera cuota.

84 PARCIAL 4 2/7/98 Problema ) Ua empresa que fabrca plástcos debe decdr etre las sguetes dos alteratvas: a) Realzarle a la máqua actual u servco de matemeto, cuyo costo ascede a U$S Se prevé gastos operatvos de U$S e gresos de U$S para cada uo de los sguetes 5 años. El valor de la máqua e el quto año se supoe ulo. b) Veder la actual máqua e U$S y comprar ua ueva e U$S Se prevé gastos operatvos de U$S.500 e gresos de U$S para cada uo de los sguetes 5 años. El valor de la máqua e el quto año se supoe de U$S I) Calcular el VAN y el Idce de Retabldad para cada uo de los proyectos, cosderado como costo de oportudad ua tasa de 2% aual. II) Determar cual es la mejor opcó. III) Platear y explcar como calcularía la IR e el proyecto de la alteratva a) (o es ecesaro obteer el resultado). Problema 2) La empresa ecesta comprar u uevo edfco cuyo preco cotado es de U$S , y debe decdr etre las sguetes 3 formas de pago: a) Pagarlo al cotado, pdedo u préstamo y amortzádolo e 2 cuotas mesuales, guales, pagadas al fal de cada mes, cosderado ua tasa efectva aual de 5%. b) Pagarlo e 4 cuotas trmestrales guales de U$S Las cuotas se paga al prcpo de cada trmestre. c) Pagarlo e 2 cuotas semestrales guales de U$S Las cuotas se paga a semestre vecdo. I) Determar el valor de la cuota e la alteratva a). II) Determar las tasas de terés auales efectvas aplcadas e las alteratvas b) y c). III) Determar el total de tereses pagados e la alteratva a) y cual es la mejor alteratva. Problema 3) A ua empresa se le ofrece u uevo egoco cuya duracó es de 5 años. Para realzar el msmo debe vertr U$S , por lo que debe pedr u préstamo por esa catdad, el cual amortzará e 5 cuotas auales e guales, aplcádosele ua tasa de terés de 5% aual. I) Calcular el valor de la cuota a pagar para amortzar el préstamo. II) S los gresos del proyectos so U$S para cada uo de los 5 años y el costo de oportudad es del 0% aual. Calcular el VAN y el Período de Repago del proyecto. Cosderar que los úcos egresos so los de las cuotas a pagar. III) Calcular la deuda que se matee co el baco luego de pagar la tercera cuota.