ANÁLISIS DE LA VARIANZA ANOVA COMPARACIONES MULTIPLES ENTRE MEDIAS MUESTRALES

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1 ANÁLISIS DE LA VARIANZA COMPARACIONES MULTIPLES ENTRE MEDIAS MUESTRALES ANOVA Marta Alper Profesora Adjuta de Estadístca

2 INTRODUCCION Para todo profesoal de las Cecas Naturales es mportate comparar medas muestrales. Dos procedmetos: Límtes de cofaza Prueba de hpótess t Porque o se realza test de hpótess t para comparar todos los pares posbles de medas? Dos problemas º a medda que el úmero de comparacoes aumeta, aumeta la probabldad de cometer errores de tpo I, rechazar la hpótess ula. º por lo geeral cotamos co muy pocas observacoes e cada muestra estadístca como para teer ua buea estmacó de la varaza poblacoal.

3 ANOVA SIMPLE DE UNA VÍA PARA UN MODELO II O MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS Ejemplo Supuestos - Las dferecas ambetales afecta los veles de acdez-alcaldad de las aguas de lluva. - El ph del agua de lluva es ua propedad que camba. Expermeto Total de las estacoes meteorológcas del país que teía relevado datos de ph de agua de lluva e 006 (m). Estacoes meteorológcas seleccoadas para el expermeto (k=4)

4 Datos del ph del agua de lluva de 4 localdades argetas co dsttas característcas clmátcas M M M3 M4 Maro Volcáco Desértco () () (3) 5,6 5, 6, 6, 5,9 5,3 6,0 5,6 3 5,8 5,6 5,9 6, 4 6, 5,7 6, 5 6, 6,3 6 6,3 6,0 Localdad Replca Mesopotámco (4)

5 La deomacó más correte para ANOVA es x la varable depedete o respuesta (el ph) la varable depedete o factor de varacó tee al meos 3 categorías o codcoes e las cuales se toma los datos a comparar (las dsttas estacoes meteorológcas elegdas aleatoramete para relevar datos) k categorías de la varable depedete (4, cada ua de la estacoes meteorológcas) repetcoes o réplcas (catdad de datos tomados e cada estacó meteorológca) N úmero total de datos (9)

6 . EL MODELO Hpótess ula Hpótess alterartva

7 Se deoma modelo leal para la observacó dode: x j ( ) j xj ( ) es la j-ésmo dato del -ésmo factor j xj a: es la meda geeral de los datos o el puto de equlbro es el efecto del -ésmo factor es ua varable aleatora ormal, depedetemete dstrbuda co esperaza 0 y varaza es gual a la varaza poblacoal 0 ;

8 El ANOVA teta ecotrar s exste más varacó Etre muestras dferetes o Detro de ua msma muestra. H0: las muestras so tomadas de la msma poblacó ormalmete dstrbuda (o de poblacoes détcas). H: las muestras so tomadas de dferetes poblacoes auque todas tee la msma varaza. S las muestras so tomadas e forma aleatora de ua poblacó comú ( la hpótess ula), la varacó etre las muestras es aproxmadamete la msma que la varacó detro de las muestras y que ambas refleje la varacó de la poblacó. S las muestras so tomadas de dferetes poblacoes (la hpótess alteratva), la varacó etre las muestras es el reflejo de la varacó de la poblacó de la cual es extraída. Varacoes etre muestras, muestra la dfereca etre las poblacoes.

9 Cómo estmar la varaza poblacoal comú S llamamos Recordemos xj SC ( x X ) CM SC gl? suma de las observacoes de cada muestra X promedo de la -ésma muestra X promedo de todos los datos o Gra meda Cada desvacó de ua observacó a la gra meda, se puede descompoer e dos térmos: la desvacó de cada dato a la meda grupal, más la desvacó de la meda de cada grupo a la gra meda. ( xj X ) ( X X ) ( xj X )

10 Cómo estmar la varaza poblacoal comú? Calculado ua varaza poderada a partr de las varazas muestrales de las dsttas poblacoes. Esto es calculado el Cuadrado Medo (CM) CM Detro o CM Error. k SCDetro CMDetro ; gldetro k SCDetro x j X ; gldetro ( j ) N k Calculado ua varaza poderada a partr de las varazas etre las medas muestrales de las dsttas poblacoes y la gra meda esto es el CM Etre: k SCEtre CMEtre ; SCEtre ( X X ) gletre ; gletre k També se puede calcular el CM Total: SCTotal CMTotal ; gltotal SCTotal k j ( x X ) j ; gltotal N

11 E ANOVA se cumple las sguetes relacoes: SCTotal = SCEtre + SCDetro GLTotal = GLEtre + GLDetro CMTotal CMEtre +CMDetro

12 El CMDetro es u estmador sesgado de la varaza poblacoal. Las medas poblacoales tee todas la msma varaza, etoces las varazas muestrales estma al msmo parámetro poblacoal, y el promedo poderado de estas varazas es u bue estmador de esta varaza poblacoal. El CMEtre, Hpótess Nula del ANOVA es certa, estma a la varaza poblacoal Solo cuado las so guales, ya que la compoete de la varaza total producda por los tratametos se aula y etoces CMEtre es. S la Hpótess ula o es verdadera el CMEtre estma a la más ua catdad que represeta ua medda de la magtud de los efectos de los factores. La relacó etre las varazas calculadas, CMEtre y CMDetro, permte comparar medas poblacoales. Co esto resolvemos la paradoja de cómo a partr de u aálss de varazas es posble comparar medas.

13 3. PROCEDIMIENTO PARA EL CALCULO Recordemos SC = ( x X ) = x / x - K SCTotal = j K (x j - X ) = j x j C Factor de correccó de la meda: C = ( K j x j ) N K SCEtre = K ( X - X ) = ( x j ) / - C SCDetro = K ( (x j - X ) ) = SCTotal SCEtre j GLTotal = N- GLEtre = k- GLDetro = GLtotal GLEtre CMTotal = SCTotal / GLTotal; CMEtre = SCEtre/GLEtre; CMDetro = SCDetro/GLDetro

14 Hptess de ANOVA H 0 : = = = k ; H a: j para al meos u par de (, j) o, ENTRE= DENTRO Prueba estadístca Comparar el CMEtre co el CMDetro. Las dos varazas mde e forma depedete la varaza de la dstrbucó de medas muestrales. Que probabldad hay que estos valores estme la msma varaza poblacoal? Respuesta F es el cocete etre varazas. La hpótess ula se rechazará cuado CMEtre CMDetro > F(k-;N-k; ) o, ENTRE> DENTRO F co = (k -) y = (N -k) grados de lbertad (Los valores crítcos de F se ecuetra e tablas) Se realza ua prueba a ua cola ya que se trata de detectar la varabldad que teda a aumetar la varaza Etre medas.

15 A mayor dfereca etre las medas observadas de los tratametos, mayor es la evdeca que dca ua dfereca etre las medas poblacoales correspodetes. Aalzado la relacó expresada e la SCEtre, se puede ver que a medda que las medas se aleja ua de otras, las desvacoes aumetará e valor absoluto y la SCEtre aumetará e magtud. Por cosguete a mayor valor de SCEtre mayor peso de la evdeca e rechazar la hpótess ula.

16 TABLA RESUMEN DE ANOVA para el caso de u expermeto aleatorzado que cotee k medas de tratametos Fuete de varacó Etre los tratametos Detro de los tratametos Suma de Cuadrados gl Cuadrado Medo K ( j x j ) / - C SCTotal SCEtre k- N-k SCEtre GLEtre SCDetro GLDetro f calculado CME CMD Total K j x j - C N- K Para C = ( j Xj ) N

17 Localdad Replca ( Maro () Volcáco () Desértco (3) Mesopotamco (4) Totales 5,6 5, 6, 6, 5,9 5,3 6,0 5,6 3 5,8 5,6 5,9 6, 4 6, 5,7 6, 5 6, 6,3 6 6,3 6, x 3,5 6,0 36, 36,3,0 xj x j ( x j x 5,9 5,3 6,0 6, 3,3 ) 55,3 56,0 30,4 37,7 3436,4 ) j 38, 85,3 8,4 9,6 66,4 38,3 85,5 8,6 9,9 66,3

18 Factor de correccó: C = ( Xj ) N K j C = (3,5+6,0+36,+36,3) / 9 = (,0) / 9 =544,0 / 9 = 660, K SCTotal = j x j C SCT = 66,3 660,3 =,05 K SCEtre= ( j x j ) / - C SCE = 66,4 660,3 =, SCDetro = SCT SCE SCD =,0, = 0,84 gl T = N ; gle = K ; gld = glt gle = (N-K) gl T = 9 = 8 ; gl E = 4 = 3 ; gl D = 9 4 = 5 CME = SCE / gl E CME =, / 3 = 0,40 CMD = SCD / gl D CMD = 0,84 / 5 = 0,056 f = CME / CMD f = 0,40 / 0,056 = 7,63 Valor Crítco de tabla: F (K-; N-K; α ) F (3; 5; 0,05) = 3,87

19 Ho: las 4 medas poblacoal del ph del agua de lluva de las dferetes estacoes meteorológcas so guales H : la meda del ph del agua de lluva de al meos ua de las dferetes estacoes meteorológcas es dferete Hpótess Nula: µ = µ = µ 3 = µ 4 ; ó σ ENTRE = σ DENTRO Hpótess Alteratva: al meos ua meda dferete; ó σ ENTRE > σ DENTRO Resgo de error de tpo I: α = 0,05 Tabla resume de ANOVA Fuete de Suma de varacó cuadrados Etre las localdades, Detro de las localdades 0,84 gl 3 5 Cuadrado Medo 0,40 0,056 f 7,63 Total,0 8 f = 0,40 / 0,056 = 7,63 F (3; 5; 0,05) = 3,87 Regó crítca: f >F (3; 5; 0,0) Como f> F crtco de tabla, rechazo la Hpótess ula. Por lo tato puedo afrmar, co u error del 5%, que el ph del agua de lluva es ua propedad que toma valores dferetes segú se trate del lugar.

20 4. SUPUESTOS del ANOVA º Se ha tomado ua muestra aleatora smple de cada ua de los dstrbucoes. º Las dstrbucoes so ormales. 3º Las dstrbucoes tee todas détca varaza. Dscrepacas moderadas co el cumplmeto de los supuestos del ANOVA (aleatoredad del muestreo, ormaldad e las dstrbucoes y homogeedad de varazas) práctcamete o afecta las propedades de la prueba. S embargo, s las dferecas so mportates se debe recurrr a otra estratega de aálss.

21 5. COMPARACIONES MÚLTIPLES. PRUEBA DE TUKEY Para todos los pares posbles de comparacoes etre medas. A es la meda más grade a comparar y B la más pequeña. Ho: µ A = µ B Ha: µ A µ B Estadístco de prueba q c X A SE q c se aproxma a ua dstrbucó de q(k; N-k; ), k: úmero e categorías del factor gld: grados de lbertad del CMDetro Tabla Rago Total Studetzado X B Tamaños de muestra guales SE La hpótess ula se rechaza cuado q c > q(k; N-k; ) CMDetro Tamaños de muestra dferetes SE CMDetro a b a=tamaño de la muestra A, b=tamaño de la muestra B Dferecas sgfcatvas Dferecas altamete sgfcatvas q c > q(k; N-k; :0,05) q c > q(k; N-k; :0,0)

22 Se rechazó la hpótess ula de ANOVA e el ejemplo del ph del agua de lluva e las cuatro estacoes meteorológcas etre que ambetes el ph del agua de lluva es dferete?. Datos Localdad Maro Volcáco Desértco Mesopotamco () () (3) (4) x 3,5 6,0 36, 36,3 Cuadrado Medo Detro = 0,056. Para cada par posble de comparacoes cotrastar las sguetes hpótess: Ho: µ A = µ B ; Ha: µ A µ B. Calcular las dferecas de medas comezado por las medas mayores A B 3. Calcular SE CMDetro a b 0,056 0,056 SE 0,0966 SE 0, ,056 0,056 SE 0,38 SE 0, Buscar valores crítcos Tabla Rago Total Studetzado q. q (4; 5; 0,05) =4,08 y q (4; 5; 0,0) =5,45 5. Armar la tabla, tomar la decsó estadístca e terpretar los resultados X X

23 Comparacó (A vs. B) Dferecas X A X B 4 vs. 3 36,3-36,=0, 0,0966,035 4,08 4 vs. 36,3-3,5=,8 0,080 8,5 4,08 4 vs. 36,3-6,0=0,3 0,38 7,5 4,08 3 vs. 36,-3,5=,7 0,080 7,58 4,08 3 vs. 36,-6,0=0, 0,38 70,7 4,08 vs. 3,5-6,0=7,5 0,78 58,68 4,08 SE q c q (4; 5; 0,05) Coclusó Aceptar Ho: el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas 4 y 3 es gual. Rechazar Ho: el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas 4 y es gual. Rechazar Ho: el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas 4 y es gual. Rechazar Ho: el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas 3 y es gual. Rechazar Ho: el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas 3 y es gual. Rechazar Ho: el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas y es gual. Se puede afrmar, co u error de 5%, que el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas 3 y 4, correspodetes a ambetes de clma desértco y mesopotámco, so guales etre s y dferetes al de las estacoes meteorológcas y (ambete marítmo y volcáco respectvamete). Además el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas y, marítmo y volcáco, so dferetes etre sí.

24 6. PRUEBAS DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS: a. Bartlett Objetvo Probar la homogeedad de las varazas etre mas de muestras. Requermetos Se puede utlzar co tamaño de muestra,, dferetes. Se recomeda > 3, preferetemete co > 5. Es muy sesble a alejametos del supuesto de ormaldad. Hpótess Ho : k Ha : j para al meos u par de (, j) Estadístco de prueba ( N k)l( S p 3( k ) ) k k Prueba de hpótess k / <, La hpótess ula se acepta ( )l( s N k ) k : Número de muestras : Tamaño de la -ésma muestra s : Varaza estmada para la -ésma poblacó N = k Decsó estadístca S p N k ( ) s Cuado se acepta la hpótess ula, se puede afrmar que todas las poblacoes de dode se obtuvero las muestras, tee la msma varaza, co ua cofaza α.

25 Ejemplo PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS. PRUEBA DE BARTLETT (MUESTRAS DE TAMAÑO DIFERENTE) Ejemplo del ph del agua de lluva e las cuatro estacoes meteorológcas se preseta alguos datos que faclta los cálculos. Marítmo Volcáco Desértco Mesopotámco Totales () () (3) (4) / 0,500 0,3333 0,667 0,667 0,967 S 0,500 0,500 0,00 0,400 0,9600 S 0,0630 0,0630 0,0480 0,0580 0,30 l S -,7730 -,7730-3,080 -,8540 -,480 ( -)l S -8,39-5,546-5,4-4,7-43,750 ( -)S 0,89 0,6 0,4 0,9 0,8450 Ho Ha : k : j 0,05 / 0,05 4;0,05 para al meos u par de (, j) 9,35 S p N k ( ) s S 0,8450 0,0563 l S 8765 p p, 9 4 ( N k)l( S p 3( k ) ) k k ( )l( s ) N k (9 4) (,8765) ( 43,75) 0,967 3(4 ) 9 4 0,80,0944 0,69 Decsó estadístca: 0,69<9,35 ( < k, / ). Se acepta la hpótess ula, las varazas so guales.

26 6. PRUEBAS DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS: b. Fmax de Hartley Objetvo Probar la homogeedad de las varazas etre mas de muestras. Requermetos Se puede utlzar solamete co tamaño de muestra,, guales. Supoe dstrbucoes ormales. Se ecesta ua tabla especal co los valores crítcos de Fmax. Hpótess Ho : k Ha : j para al meos u par de (, j) Estadístco de prueba F max( s ) max m( s ) =,..., k, co k gual al úmero de muestras, max( s la varaza mayor de las k muestras ) la varaza meor de las k muestras m( s ) Prueba de hpótess La hpótess ula se acepta F max < F MAX(k, -, α/) : k, umero de muestras : -, umero de datos meos Decsó estadístca Cuado se acepta la hpótess ula, se puede afrmar que todas las poblacoes de dode se obtuvero las muestras, tee la msma varaza, co ua cofaza α.

27 GRACIAS