13/08/2015 ANÁLISIS DE LA VARIANZA ANOVA. Cajas Negras 1. INTRODUCCION PLANIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN ANALISIS DE LA VARIANZA

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1 3/08/05 ANÁLISIS DE LA VARIANZA. INTRODUCCION PLANIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN COMPARACIONES MULTIPLES ENTRE MEDIAS MUESTRALES Es comú e el estudo de las cecas aturales tomar datos de dos o más muestras, de dos o más poblacoes, stuacó comúmete deomada aálss de muestras múltples. ANOVA Para poder cotrastar las hpótess múltples geeradas a partr de este tpo de estudos se recurre al Aálss de la Varaza (ANOVA) Marta Alper Profesora Adjuta de Estadístca Gullermo Natale JTP de Matemátca y Estadístca alper@fcym.ulp.edu.ar gullermo.atale@gmal.com 05 Para todo profesoal de las Cecas Naturales es mportate comparar medas muestrales. Dos procedmetos para comparar dos promedos: Límtes de cofaza Prueba de hpótess t Cuado se ecesta comparar mas de dos promedos Por qué o se realza test de hpótess t para comparar todos los pares posbles de medas? Dos problemas º a medda que el úmero de comparacoes aumeta, aumeta la probabldad de cometer errores de tpo I, rechazar la hpótess ula. º por lo geeral cotamos co muy pocas observacoes e cada muestra estadístca como para teer ua buea estmacó de la varaza poblacoal. Segú Sokal y Rohlf (979) ANALISIS DE LA VARIANZA Es u método fudametal para todas aplcacoes de la estadístca a la bología y especalmete e la plafcacó de expermetos Es ua forma de comparar s más de dos medas muestrales puede haberse obtedo de poblacoes co la msma meda paramétrca respecto de ua varable dada S embargo el ANOVA es algo más que ua técca para aálss estadístco, ua vez compreddo, permte dscerr la aturaleza de la varacó de los acotecmetos aturales. S se pudese hablar de belleza e u método estadístco, el aálss de la varaza la poseería e mayor grado que gú otro Cajas Negras Dspostvos descrptos por Buge (999) se teta medate la expermetacó smple acusar o culpar al factor estudado (varable depedete) como el resposable de geerar la causa o el efecto, meddo habtualmete como dferecas sgfcatvas e la magtud de la varable de respuesta (varable depedete) e el grupo tratado respecto del grupo cotrol. Este tpo de dspostvos, os permte realzar explcacoes smples, geerales y predctvas Roald Aylmer Fsher, (Lodres, 7 de febrero de 890 Adelada, 9 de julo de 96) cetífco, matemátco, estadístco, bólogo evolutvo y geetsta glés. El prmer resume completo de sus deas fue publcado e 96, e u artículo Arragemet of Feld Expermets e el Joural of the Mstry of Agrculture of Great Brta 33, E este artículo descrbó los compoetes de los expermetos de práctcas agrícolas: cotrol local (codcoes para reducr el error expermetal), replcacó (medo para estmar la varaza del error expermetal), aleatorzacó (medo para obteer ua estmacó válda de la varaza).

2 3/08/05 El dseño de expermetos (935) El dseño de expermetos: ANOVA La hpótess de vestgacó y la relacó co los tratametos. La forma de reducr el error expermetal, cremetar la exacttud, establecer la base de fereca del estudo. Replcar para obteer expermetos váldos Reproducbldad Deteccó de errores Estmacó del error expermetal Aumetar la precsó La magtud de las dferecas que cosderamos relevate o sgfcatva para el caso a evaluar. La aleatorzacó como u mecasmo para teer ferecas váldas. ANALISIS DE LA VARIANZA Razoameto: las varables de respuesta se modfca por la varacó de algú cojuto de varables depedetes descoocdas. ANALISIS DE LA VARIANZA Objetvo: detfcar varables depedetes mportates e u estudo y determar como teractúa y afecta a la respuesta Se asume que el cojuto de factores o meddos y descoocdos coformará u efecto o explcable sobre la varable de respuesta (error aleatoro) Fuetes de Varacó: El aálss de la varaza dvde la varaza total, llamada suma de cuadrados total, e partes, cada ua de las cuales se atrbuye a ua de las varables depedetes e el expermeto, mas u resduo que se asoca co u error aleatoro. Datos del ph del agua de lluva de 4 localdades argetas co dsttas característcas clmátcas ANOVA SIMPLE DE UNA VÍA PARA UN MODELO II O MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS M M Ejemplo Hpótessde trabajo - Las dferecas ambetales afecta los veles de acdez-alcaldad de las aguas de lluva. - El ph del agua de lluva es ua propedad que camba regoalmete. M3 M4 Expermeto Total de las estacoes meteorológcas del país que teía relevado datos de ph de agua de lluva e 006 (m). Estacoes meteorológcas seleccoadas para el expermeto (k=4) Maro Volcáco Desértco Mesopotámco Localdad Replca () () (3) (4) 5,6 5, 6, 6, 5,9 5,3 6,0 5,6 3 5,8 5,6 5,9 6, 4 6, 5,7 6, 5 6, 6,3 6 6,3 6,0

3 3/08/05 La deomacó más correte para ANOVA es la varable depedete o respuesta (el ph). la varable depedete o factor de varacó tee al meos 3 categorías o codcoes e las cuales se toma los datos a comparar (las dsttas estacoes meteorológcas elegdas aleatoramete para relevar datos). k categorías de la varable depedete (4, cada ua de la estacoes meteorológcas). repetcoes o réplcas (catdad de datos tomados e cada estacó meteorológca). N úmero total de datos (9). x,j dato, (= tratameto, j= poscó del dato e el tratameto ; x,4 = 6,).. EL MODELO Hpótess ula Hpótess alterartva Se deoma modelo leal para la observacó xj a: xj ( ) j dode: x j es la j-ésmo dato del -ésmo factor es la meda geeral de los datos o el puto de equlbro ( ) es el efecto del -ésmo factor j es ua varable aleatora ormal, depedetemete dstrbuda co esperaza 0 y varaza es gual a la varaza poblacoal 0 ; El ANOVA teta ecotrar s exste más varacó Etre muestras dferetes o Detro de ua msma muestra. H0: las muestras so tomadas de la msma poblacó ormalmete dstrbuda (o de poblacoes détcas). H: las muestras so tomadas de dferetes poblacoes auque todas tee la msma varaza. S las muestras so tomadas e forma aleatora de ua poblacó comú ( la hpótess ula), la varacó etre las muestras es aproxmadamete la msma que la varacó detro de las muestras pues ambas refleja la varacó de la poblacó. S las muestras so tomadas de dferetes poblacoes (la hpótess alteratva), la varacó etre las muestras es el reflejo de la varacó de la poblacó de la cual es extraída. La dferecas etre las muestras, dca que exste dfereca etre las poblacoes. Cómo estmar la varaza poblacoal comú? Recordemos que la varaza σ = x se puede escrbr como CM SC ( x ) xj suma de las observacoes de cada muestra S llamamos promedo de la -ésma muestra promedo de todos los datos o Gra meda Cada desvacó de ua observacó a la gra meda, se puede descompoer e dos térmos: la desvacó de cada dato a la meda grupal, más la desvacó de la meda de cada grupo a la gra meda. ( xj ) ( ) ( xj ) SC CM gl Cómo estmar la varaza poblacoal comú Calculado ua varaza poderada a partr de las varazas muestrales de las dsttas poblacoes. Esto es calculado el Cuadrado Medo (CM), CM Detro també llamado CM Error. CMDetro ; k SCDetro x j SCDetro gldetro k j ; gldetro ( ) N k Calculado ua varaza poderada a partr de las varazas etre las medas muestrales de las dsttas poblacoes y la gra meda esto es el CM Etre. k SCEtre CMEtre ; SCEtre ( ) gletre També se puede calcular el CM Total:? ; gletre k SCTotal CMTotal ; gltotal SCTotal k j ( x ) j ; gltotal N 3

4 3/08/05 E ANOVA se cumple las sguetes relacoes: SCTotal = SCEtre + SCDetro GLTotal = GLEtre + GLDetro CMTotal CMEtre +CMDetro El CMDetro es u estmador sesgado de la varaza poblacoal. Las medas poblacoales tee todas la msma varaza, etoces las varazas muestrales estma al msmo parámetro poblacoal, y el promedo poderado de estas varazas es u bue estmador de esta varaza poblacoal. El CMEtre, Hpótess Nula del ANOVA es certa, estma a la varaza poblacoal Solo cuado las so guales, ya que la compoete de la varaza total producda por los tratametos se aula y etoces CMEtre es. S la Hpótess ula o es verdadera el CMEtre estma a la más ua catdad que represeta ua medda de la magtud de los efectos de los factores. La relacó etre las varazas calculadas, CMEtre y CMDetro, permte comparar medas poblacoales. Co esto resolvemos la paradoja de cómo a partr de u aálss de varazas es posble comparar medas. Stetzado SC Total = SC tratametos + SC error La partcó e dos de las suma de cuadrados total: e dode ua represeta la varacó etre las medas de los Grupos/Tratametos (respecto a la meda total), y la otra la varacó de cada valor (respecto de la meda total) = error expermetal. Esta PARTICION FUNDAMENTAL aclara y explca las varacoes e los resultados del expermeto. Al comparar la Suma de cuadrados Total respecto a la Suma de Cuadrados de los tratametos (SCEtre) y la Suma de Cuadrados del Error (SCDetro), vemos claramete cuato (p,%) de la varabldad total está explcado cada ua. Esto se refleja e la tabla RESUMEN DE ANALISIS DE LA VARIANZA. 3. PROCEDIMIENTO PARA EL CALCULO Recordemos SCTotal = SC = ( x ) = j (xj- ) = j x / x - x j C Factor de correccó de la meda: C = ( x j ) N j SCEtre = ( - ) = SCDetro = j GLTotal = N- GLEtre = k- GLDetro = GLtotal GLEtre ( xj) / - C ( (xj- ) ) = SCTotal SCEtre CMTotal = SCTotal / GLTotal; CMEtre = SCEtre/GLEtre; CMDetro = SCDetro/GLDetro H0 : = = = k ; Hptess de ANOVA H a: j para al meos u par de (, j) Prueba estadístca Comparar el CMEtre co el CMDetro. Las dos varazas mde e forma depedete la varaza de la dstrbucó de medas muestrales. Que probabldad hay que estos valores estme la msma varaza poblacoal? Respuesta F es el cocete etre varazas. La hpótess ula se rechazará cuado CMEtre CMDetro > F(k-;N-k; ) H0: ENTRE= DENTRO H: ENTRE> DENTRO F co = (k -) y = (N -k) grados de lbertad (Los valores crítcos de F se ecuetra e tablas) Se realza ua prueba a ua cola ya que se trata de detectar la varabldad que teda a aumetar la varaza Etre medas. A mayor dfereca etre las medas observadas de los tratametos, mayor es la evdeca que dca ua dfereca etre las medas poblacoales correspodetes. Cuado se aalza la relacó expresada e la SCEtre, se puede ver que a medda que las medas se aleja ua de otras, las desvacoes aumetará e valor absoluto y la SCEtre aumetará e magtud. Por cosguete a mayor valor de SCEtre mayor peso de la evdeca e rechazar la hpótess ula. 4

5 3/08/05 TABLA RESUMEN DE ANOVA para el caso de u expermeto aleatorzado que cotee k medas de tratametos Fuete de varacó Etre los tratametos Detro de los tratametos Total Para C = ( j Suma de Cuadrados gl Cuadrado Medo ( x j ) / - C k- SCEtre j GLEtre SCTotal SCEtre j ) N x j - C j N-k N- SCDetro GLDetro f calculado CME CMD Localdad Maro Volcáco Desértco Mesopotamco Totales () () (3) (4) Replca 5,6 5, 6, 6, 5,9 5,3 6,0 5,6 3 5,8 5,6 5,9 6, 4 6, 5,7 6, 5 6, 6,3 6 6,3 6, ( x 3,5 6,0 36, 36,3,0 xj 5,9 5,3 6,0 6, 3,3 ( xj ) x j ) 55,3 56,0 30,4 37,7 3436,4 x j 38, 85,3 8,4 9,6 66,4 38,3 85,5 8,6 9,9 66,3 Factor de correccó: C = ( j ) N j C = (3,5+6,0+36,+36,3) / 9 = (,0) / 9 =544,0 / 9 = 660, SCTotal = x j C SCT = 66,3 660,3 =,05 j SCEtre= ( j x j ) / - C SCE = 66,4 660,3 =, SCDetro = SCT SCE SCD =,0, = 0,84 gl T = N ; gle = ; gld = glt gle = (N-) gl T = 9 = 8 ; gl E = 4 = 3 ; gl D = 9 4 = 5 Ho: las 4 medas poblacoal del ph del agua de lluva de las dferetes estacoes meteorológcas so guales H: la meda del ph del agua de lluva de al meos ua de las dferetes estacoes meteorológcas es dferete Hpótess Nula: µ = µ = µ3 = µ4 ; ó σ ENTRE = σ DENTRO Hpótess Alteratva: al meos ua meda dferete; ó σ ENTRE > σ DENTRO Resgo de error de tpo I: α = 0,05 Tabla resume de ANOVA Fuete de Suma de varacó cuadrados Etre las localdades, Detro de las localdades 0,84 gl 3 5 Cuadrado Medo 0,40 0,056 f 7,63 CME = SCE / gl E CME =, / 3 = 0,40 Total,0 8 CMD = SCD / gl D CMD = 0,84 / 5 = 0,056 f = CME / CMD f = 0,40 / 0,056 = 7,63 Valor Crítco de tabla: F (-; N-; α) F (3; 5; 0,05) = 3,87 f = 0,40 / 0,056 = 7,63 F (3; 5; 0,05) = 3,87 Regó crítca: f >F (3; 5; 0,0) Como f> F crtco de tabla, rechazo la Hpótess ula. Por lo tato puedo afrmar, co u error del 5%, que el ph del agua de lluva es ua propedad que toma valores dferetes segú se trate del lugar. 4. SUPUESTOS del ANOVA º Se ha tomado ua muestra aleatora smple de cada ua de los dstrbucoes. º Las dstrbucoes so ormales. 3º Las dstrbucoes tee todas détca varaza. Dscrepacas moderadas co el cumplmeto de los supuestos del ANOVA (aleatoredad del muestreo, ormaldad e las dstrbucoes y homogeedad de varazas) práctcamete o afecta las propedades de la prueba. S embargo, s las dferecas so mportates se debe recurrr a otra estratega de aálss. 5. COMPARACIONES MÚLTIPLES. PRUEBA DE TUEY Para todos los pares posbles de comparacoes etre medas. A es la meda más grade a comparar y B la más pequeña. Ho: µ A = µ B Ha: µ A µ B Estadístco de prueba A B qc SE q c se aproxma a ua dstrbucó de q(k; N-k; ), k: úmero e categorías del factor gld: grados de lbertad del CMDetro Tabla Rago Total Studetzado Tamaños de muestra guales SE CMDetro Tamaños de muestra dferetes SE La hpótess ula se rechaza cuado q c > q(k; N-k; ) Dferecas sgfcatvas Dferecas altamete sgfcatvas q c > q(k; N-k; :0,05) q c > q(k; N-k; :0,0) CMDetro a b a=tamaño de la muestra A, b=tamaño de la muestra B 5

6 3/08/05 Se rechazó la hpótess ula de ANOVA e el ejemplo del ph del agua de lluva e las cuatro estacoes meteorológcas etre que ambetes el ph del agua de lluva es dferete?. Datos Localdad Maro () Volcáco () Desértco (3) Mesopotamco (4) x 3,5 6,0 36, 36,3 Cuadrado Medo Detro = 0,056. Para cada par posble de comparacoes cotrastar las sguetes hpótess: Ho: µ A = µ B ; Ha: µ A µ B. Calcular las dferecas de medas comezado por las medas mayores 3. Calcular SE CMDetro a b A B 0,056 0,056 SE 0,0966 SE 0, ,056 0,056 SE 0,38 SE 0, Buscar valores crítcos Tabla Rago Total Studetzado q. q (4; 5; 0,05) =4,08 y q (4; 5; 0,0) =5,45 5. Armar la tabla, tomar la decsó estadístca e terpretar los resultados Comparacó (A vs. B) Dferecas A B 4 vs. 3 36,3-36,=0, 0,0966,035 4,08 4 vs. 36,3-3,5=,8 0,080 8,5 4,08 4 vs. 36,3-6,0=0,3 0,38 7,5 4,08 3 vs. 36,-3,5=,7 0,080 7,58 4,08 3 vs. 36,-6,0=0, 0,38 70,7 4,08 vs. 3,5-6,0=7,5 0,78 58,68 4,08 SE qc q(4; 5; 0,05) Coclusó Aceptar Ho: el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas 4 y 3 es gual. Rechazar Ho: el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas 4 y es gual. Rechazar Ho: el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas 4 y es gual. Rechazar Ho: el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas 3 y es gual. Rechazar Ho: el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas 3 y es gual. Rechazar Ho: el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas y es gual. Se puede afrmar, co u error de 5%, que el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas 3 y 4, correspodetes a ambetes de clma desértco y mesopotámco, so guales etre s y dferetes al de las estacoes meteorológcas y (ambete marítmo y volcáco respectvamete). Además el ph del agua de lluva de las estacoes meteorológcas y, marítmo y volcáco, so dferetes etre sí. EN SINTESIS El ANOVA permte la: Cotrastacó de hpótess, Asgacó de aportes de efectos ( culpas ) a los factores y tratametos, Comparacó etre grupos (promedos), Evaluacó de sgfcacas (test a posteror), Cotextualzacó Bológca/Geológca, Formular Coclusoes y Tomar decsoes, Volver a la plafcacó de la Ivestgacó GRACIAS 6