RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES NUMÉRICAS REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. CORRELACIÓN. realizar el calibrado en análisis instrumental.

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1 RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES NUMÉRICAS REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. CORRELACIÓN Los métodos de regresó se usa para estudar la relacó etre dos varables umércas. Este tpo de problemas aparece co frecueca e el coteto de químca aalítca cuado se desea realzar el calbrado e aálss strumetal. El procedmeto habtual es el sguete: el aalsta toma ua sere de materales puede ser 3 ó 4 ó más aú e los que cooce la cocetracó del aalto. Estos patroes de calbracó se mde co el strumeto aalítco e las msmas codcoes e las que se trabajará e los esaos co el materal descoocdo. Ua vez establecdo el gráfco de calbrado puede obteerse la cocetracó del aalto como se muestra e el sguete gráfco: Veamos u ejemplo umérco:

2 Ejemplo : Para calbrar u fluorímetro se ha eamado 7 solucoes estádar de fluoresceía de las que se cooce la cocetracó medda co mucha precsó e el fluorímetro. Los sguetes datos so las "verdaderas" cocetracoes la tesdad de fluoresceca observada e el fluorímetro: Cocetracó pg/ml: Itesdad de fluoresceca: E u problema de calbracó, queremos, a partr de medcoes hechas e muestras estádar, estudar la relacó etre las medcoes el verdadero valor. Esta relacó permtrá e el futuro, medr ua muestra descoocda coocer apromadamete su valor verdadero. Lo prmero que se hace para estudar la relacó etre dos varables umércas es u dagrama de dspersó scatter plot, como el que se preseta a cotuacó.

3 Para audar a vsualzar la relacó, hemos agregado a los putos del gráfco de dspersó ua recta que se llama "recta de regresó" o "recta de cuadrados mímos". Veremos cómo hallar esta recta. Recordemos que la ecuacó de ua recta es de la forma Ordeada al orge Pedete

4 Recta de cuadrados mímos. La recta represetada e el gráfco ateror es la recta de cuadrados mímos. Esta es la recta que está "más cerca" de los putos, e el setdo sguete: hace míma la suma de los cuadrados de las dstacas de cada puto a la recta, mdedo las dstacas vertcalmete. O sea mmza: a b

5 PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT CONCENTRA Observado los "coefcetes" de la salda vemos que la recta de mímos cuadrados tee ordeada al orge.5786 pedete S los putos como e este ejemplo está cerca de la recta, podemos decr que o X Fluoresceca Cocetracó

6 Por ejemplo, s la cocetracó de fluoresceía de ua muestra fuera 8, la ordeada de acuerdo co esta recta sera *8 = Esto o quere decr que para la muestras que tega cocetracó=8 la tesdad de la fluoresceca es eactamete 6.96 como se ve e el gráfco, los putos está mu cerca de la recta, pero o está sobre la recta.

7 Modelo de regresó leal Para hace ferecas, es decr realzar tests de hpótess o calcular tervalos de cofaza, se ecesta supoer u modelo, que llamaremos "modelo de regresó leal smple". La palabra "smple" se debe a que cosderamos ua sola varable depedete o predctora X. Se geeralza e forma atural al caso e que ha más varables depedetes e ese caso se llama "modelo de regresó leal múltple". Las suposcoes del modelo de regresó leal smple so las sguetes. MODELO: Se observa pares de valores, para =,..., que cumple: e dode e,e,...,e so varables aleatoras tales que Ee = 0 para todo Vare = 3 e, e,..., e so v. a. depedetes Para obteer alguos resultados alcaza las suposcoes a 3, pero para otros es ecesaro agregar algo más: 4 e Normal

8 Obvamete las suposcoes a 4 se puede escrbr e forma más breve: a 4 e v. a...d. N0, Observacó: Supogamos que se cumple. Ha dos modelos u poco dferetes: el modelo co 's fjas el modelo co 's aleatoras. E el prmero los valores 's o so varables aleatoras so que so úmeros fjados por el epermetador. E el segudo tato como so observacoes de varables aleatoras. Los problemas de calbracó so ejemplo co 's fjas. E otras stuacoes como podría ser e u problema e el que se desea estudar la relacó etre estatura perímetro cefálco de recé acdos, las covarables 's so aleatoras. Justfcaremos los resultados sobre estmadores, IC tests sólo para el modelo co 's fjas, que es más smple, pero cas todos estos resultados so los msmos para ambos modelos.

9 Ua forma equvalete de escrbr el modelo de regresó leal smple e el caso e que las 's so úmeros fjos es la sguete: * E= + para =,..., * Var = para =,..., 3*,,..., so v. a. depedetes 4* Normal Nuevamete, las suposcoes * a 4* se puede escrbr e forma más breve: * a 4* v. a. depedetes N +, Observacó: e el modelo co 's aleatoras, o ha que hacer gua suposcó sobre la dstrbucó de las 's. Puede ser ormal o o. Como de costumbre, o se espera que las suposcoes del modelo se cumpla eactamete e u problema real, pero al meos que sea apromadamete váldas. S está lejos de cumplrse, las coclusoes puede ser erróeas. Por ejemplo, la preseca de alguos valores de la respuestas atípcos alejados de la recta, lo que mplca que o se cumple la suposcó 4 puede valdar las coclusoes. E efecto, la recta de cuadrados mímos, al gual que la meda, es sesble a uos pocos valores atípcos.

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11 Estmadores de por el método de cuadrados mímos Llamemos ˆ ˆ a los valores de a b que mmza que se llama "estmadores de cuadrados mímmos" de. Mostraremos resolvedo estas ecuacoes que

12 ˆ 3 ˆ ˆ 4 La ecuacó 4 os dce que la recta de mímos cuadrados pasa por, a que ˆ ˆ Probaremos que estos estmadores dados e 3 4 so sesgados bajo la codcó, es decr E ˆ. ˆ E Además, se puede demostrar que estos estmadores so óptmos s se cumple las suposcoes a 4.

13 Resduos: Se llama resduos las dferecas etre los valores observados las respectvas ordeadas de la recta: e ˆ ˆ ˆ Valores predchos: Llamamos valores predchos a ˆ ˆ ˆ Estmador de : es la varaza de e, es decr = Vare. Los e so v. a. "o observables". Parece atural que el estmador de se base e los resduos ê. Se puede demostrar que el estmador s e ˆ ˆ ˆ ˆ 5 es u estmador sesgado de.

14 Varaza de ˆ ˆ : Se puede demostrar que: Var ˆ Var ˆ 6 además cov, ˆ = 0 7 Los estmadores de Varˆ Var ˆ se obtee reemplazado por s.

15 Itervalo de cofaza para Llamemos ES ˆ Var ˆ ˆ s El tervalo ˆ t ; / ES ˆ 8 es u IC para co vel -. S la suposcó 4 de ormaldad o se cumple, este tervalo, bajo codcoes mu geerales, tee vel astótco -.

16 Ua medda de cuá buea es X para predecr Y: el coefcete de correlacó leal "r" de Pearso. Este coefcete puede terpretarse como ua medda de cuá cerca está los putos de ua recta. La defcó de r es la sguete: 9 Puede observarse que r compara la dspersó de los valores de co respecto a la recta de cuadrados mímos co la dspersó de los valores de co respecto a su meda. r es la proporcó de la "varacó total" etre los valores de que se puede eplcar predcédolos por u recta e fucó de los valores de. Puede demostrarse que r ˆ r ˆ ˆ

17 Se cumple que 0 r Sgfcado del valor de r r = sgfca que los putos está eactamete sobre ua recta * r cerca de los putos está cerca de ua recta r cerca de 0 sgfca que la recta de cuadrados mímos es práctcamete horzotal por lo tato o ha relacó crecete decrecete. * E las aplcacoes práctcas es "cas mposble" que r valga eactamete gual a. El coefcete de correlacó r es la raz de r se le poe sgo egatvo s la pedete de la recta de cuadrados mímos es egatva recta decrecete. Otra epresó equvalete para calcular r es: r 0

18 Sempre es - r r cerca de o - dcará que los putos está cerca de ua recta crecete o decrecete respectvamete. E el ejemplo de la fluoresceca, teemos que R-SQUARED , como la pedete es postva, es r = ½ = Ambos mu cerca de, so ua medda de lo que vemos e el gráfco: los putos está mu cerca de ua recta. E el caso e que las s so aleatoras, el coefcete r es u estmador cosstete del coefcete de correlacó,.