Análisis de la varianza de un factor

Transcripción

1 Aálss de la varaza de u factor El test t de muestras se aplca cuado se quere comparar las medas de dos poblacoes co dstrbucoes ormales co varazas guales y se observa muestras depedetes para cada poblacó (modelo B). Ahora cosderaremos u problema smlar, pero cuado se quere comparar tres o más medas. Ejemplo 7: E la tabla sguete se muestra los resultados obtedos e ua vestgacó acerca de la establdad de u reactvo fluorescete e dferetes codcoes de almaceameto. Se coservaro tres muestras e cada ua de 4 codcoes. Supogamos (porque a veces puede ocurrr) que para ua de las codcoes, la medcó o pudo realzarse o se detectó u error grosero y fue elmada. Los datos observados so: 11

2 Codcoes Recetemete preparada Ua hora e la oscurdad Ua hora co luz teue Ua hora co luz brllate Medcoes observadas (señales de fluoresceca) Meda Muestral 10, 100, , 101, , 95, , Mrado las medas muestrales se ve que so dferetes. Pero os pregutamos, s las codcoes de almaceameto o fluyero sobre la fluoresceca de las muestras (ésta será uestra H 0 ), cuál es la probabldad de que por azar smplemete se observe dferecas etre las medas muestrales de estas magtudes? 113

3 Para geeralzar supogamos que observamos k muestras (e el ejemplo k=4). Supoemos el sguete modelo, que es ua geeralzacó del modelo B de la clase ateror: Modelo de k muestras ormales depedetes co varazas guales. Muestra 1: X 11, X 1,..., X 1 1 vs. as...d N(μ 1, σ )... Muestra : X 1, X,..., X vs. as...d N(μ, σ )... Muestra k: X 1, X k,..., X k k vs. as...d N(μ k, σ ) y las vs. as. de ua muestra so depedetes de las vs. as. de otra muestra. Llamemos X y s a la meda y la varaza muestrales de la muestra (para = 1,,...,k) 114

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5 Parece atural que el estmador de σ se obtega calculado u promedo poderado de las varazas de cada muestra s. Se puede demostrar que el mejor estmador sesgado de σ bajo el modelo ateror es: s p ( = 1 1) * s ( k k k 1)* s k = k = ( 1) * s k (3) E la últma expresó hemos llamado al úmero total de observacoes. = k = Vamos a estudar la hpótess ula: H 0 : μ 1 = μ =...= μ k La hpótess alteratva es H 1 : o es certa H 0 Llamemos 116

6 X = k = X = k = j = 1 X j a la meda geeral de todas las observacoes El estadístco para el test óptmo para este problema, tee al estmador de la varaza (dado por (3)) e el deomador y ua medda de las dferecas (smlar a la varaca) etre las medas de las dsttas muestras e el umerador. Esta medda es: k ( X X ) = (4) k 1 El estadístco del test se obtee dvdedo (4) sobre (3): 117

7 F = k = ( X X ) s p / ( k 1) (5) 118

8 Test F: 1er. paso: Calculo el estadístco F dado por (5) Nota: S H 0 : μ 1 = μ =...= μ k es certa, este estadístco tee dstrbucó F co k-1 grados de lbertad e el umerador y -k g.l. e el deomador. do. paso: S F > F k-1,-k;α rechazo H

9 Las cuetas de este test puede hacerse co el Statstx. Para ello hay que r a "Statstcs", "Oe, Two, Mult-Sample Tests", "Oe-Way AOV" y se obtee: 10

10 ONE-WAY AOV FOR FLUORESCE BY CONDICION SOURCE DF SS MS F P BETWEEN WITHIN TOTAL CHI-SQ DF P BARTLETT'S TEST OF EQUAL VARIANCES Para que srve este test? SAMPLE GROUP CONDICION MEAN SIZE STD DEV TOTAL

11 por lo que se rechaza la hpótess H 0 : μ 1 = μ = μ 3 = μ 4 y se cocluye que la meda de la fluoresceca depede de las codcoes de almaceameto. Cometaros sobre la tabla del aálss de la varaza. Se puede demostrar que vale la sguete gualdad: k = j= 1 ( X j X ) = k = ( X X ) + k = j= 1 ( X j X ) E la expresó ateror aparece tres sumas de cuadrados : suma de cuadrados etre grupos, suma de cuadrados detro de grupos suma de cuadrados total. Statstx calcula estas tres sumas de cuadrados para el ejemplo y las muestra e la tabla que aparece al prcpo de la salda ateror (llamada tabla del aálss de la varaza). DF es la abrevatura de degrees of freedom, SS de sum of squares y MS de mea square. E castellao sera gl, SC y CM. 1

12 Aalyss of Varace Source SS Df MS F Prob > F Betwee SSB k-1 MSB = SSB/k-1 Wth SSW N-k MSW = SSW/N-k MSB/MSW Total SST N-1 MST = SST/N-1 13

13 Suposcoes del modelo. Dagóstco. El test F se ha deducdo supoedo el modelo de k muestras ormales depedetes co varazas guales. Cuado el tamaño de la muestra de cada grupo es grade, el test F es váldo (el valor p calculado es aproxmado) auque la varable o tega dstrbucó ormal, gracas al Teorema Cetral del Límte. E la practca o es esperable que el modelo sea completamete certo, pero sí aproxmadamete. Al gual que co el test t, hay que observar los datos para detectar s el modelo es aproxmadamete certo o es falso. 14

14 Normaldad: S, luego de obteer la salda ateror, vamos a "Results", "Plots", "Normal Probablty Plot", obteemos el sguete gráfco: Cómo se calcula los resduos que se represeta e el gráfco ateror? Tato este gráfco como el test de Shapro-Wlk (que se muestra abajo del msmo), srve para decdr s puede rechazarse la ormaldad. 15

15 ~ d j = Y j Y. FCEyN - Estadístca para Químca Dra. Marta García Be Test para estudar s las varazas so guales: Para estudar la suposcó de gualdad de varazas, además del gráfco també se puede hacer algú test. Alguos paquetes estadístcos hace automátcamete algú test de la hpótess de gualdad de varazas cuado uo le pde el aálss de la varaza de u factor. El problema es cosderar el modelo X j N(μ,σ ) (=1,...,k; j=1,..., ) depedetes y la hpótess H: σ 1 = σ =... = σ k. Hay varos tests. El más atguo es el test de Bartlett (es el que hace Statstx). Se basa e u estadístco que tee dstrbucó aproxmadamete χ k-1 bajo H. Tee u coveete sero: es muy sesble a la falta de ormaldad. 16

16 Otro test que es poco sesble a la falta de ormaldad es el test de Levee. Para aplcarlo, prmero se calcula d j = X ~ X j dode X ~ deota la medaa del tratameto. Luego se calcula el estadístco F del aálss de u factor a los d j. S la hpótess H: σ 1 = σ =... = σ k es certa y todos los o so muy pequeños, el estadístco tee dstrbucó aproxmadamete F co k-1 y -k g.l. Esto permte aplcar u test aproxmado de la hpótess de gualdad de varazas. Para aplcarlo co el Statstx, habría que calcular prmero los valores d j. 17

17 Test o paramétrco para comparer 3 o más muestras: test de Kruskal-Walls. Este test es ua geeralzacó del test de Wlcoxo- Ma Whtey al caso de más de muestras. Igual que el test de Ma Whtey o requere que los datos sea ormales, y el estadístco de este test o se calcula co los datos orgales, so co los ragos de los datos. Los supuestos e que se basa el test so: Los datos so por lo meos ordales. Además de la depedeca etre las observacoes de ua msma muestra supoemos depedeca etre las observacoes de las dsttas muestras. De cada ua de las k poblacoes teemos ua muestra aleatora de tamaño, es decr: 18

18 Muestra de la poblacó Tamaño de muestra Y 11, Y 1,..., Y 11 1 Y 1, Y,..., Y Y k1, Y k,..., Y kk k Total de observacoes N = k 19

19 La hpótess ula a testear es H o : todas las poblacoes tee la msma dstrbucó Bajo H o, todas las observacoes provee de poblacoes détcas. S hacemos u pool co todas las N observacoes Y j y las ordeamos de meor a mayor, obtedremos los ragos R j S H o es certa, las observacoes Y j provee de ua msma dstrbucó y por lo tato, todas las asgacoes de los ragos a las k muestras tee la msma chace de ocurrr. S H o es falsa, alguas muestras tederá a tomar los ragos más pequeños, metras que otras tederá a tomar los ragos más grades. El test de Kruskal-Walls mde la dscrepaca etre los promedos observados. R para cada tratameto y el valor que esperaríamos s Ho fuera certa. 130

20 El SX os da el valor del estadístco G KW. E este test rechazamos la hpótess ula de gualdad de medas s G KW es grade. El estadístco puede calcularse como G KW = SSB SSTO dode SSB y SSTO so, respectvamete, la suma de cuadrados betwee y la suma de cuadrados total para la tabla de aálss de la varaza correspodete a los ragos de las observacoes. χ SX os da el p-valor usado la aproxmacó por ua dstrbucó: k 1 Esta aproxmacó es válda cuado: k=3 6 para las k muestras o be k>3 5 para las k muestraspara el caso e que k=3 y los 5 se debe usar la tabla co los percetles de la dstrbucó exacta. Veamos saldas de SX para el ejemplo de FEV1 N 1 131

21 KRUSKAL-WALLIS ONE-WAY NONPARAMETRIC AOV FOR FEV1 BY HOSPITAL MEAN SAMPLE HOSPITAL RANK SIZE TOTAL KRUSKAL-WALLIS STATISTIC P-VALUE, USING CHI-SQUARED APPROXIMATION PARAMETRIC AOV APPLIED TO RANKS SOURCE DF SS MS F P BETWEEN WITHIN TOTAL TOTAL NUMBER OF VALUES THAT WERE TIED 4 MAX. DIFF. ALLOWED BETWEEN TIES CASES INCLUDED 60 MISSING CASES 0 13

22 Como vemos la salda de SX cluye la tabla de ANOVA para los ragos de las observacoes. Esto se basa e que los dos estadístcos está relacoados. S llamamos F R al estadístco del test de F aplcado a los ragos teemos que: F R = ( k ( N k) GKW 1)( N 1 G KW ) 133

23 Comparacó de pares de medas Supogamos que hemos aplcado el test F y hemos rechazado la H 0. Qué quere decr la alteratva? Que o todas la medas so guales pero, cuáles so dferetes? Cuado o se puede rechazar H 0 geeralmete el aálss terma ahí, pero cuado se rechaza geeralmete el expermetador o se coforma co esa respuesta, so que desea comparar las medas, frecuetemete (o sempre) de a pares. 134

24 135 Itervalo de cofaza para la dfereca de dos medas. Queremos comparar las medas de los grupos y j. Empecemos por costrur u IC para μ - μ j El estmador putual es j X X Cuál es su varaza? Como se estma? Puede demostrarse que ] 1 1 ; 1 1 [ /, /, j p k j j p k j s t X X s t X X α α (6) es u Itervalo de Cofaza co vel 1-α. S e vez de tervalo queremos estudar la H 0 : μ = μ j també es fácl deducr u test.

25 Se puede calcular muchos IC o aplcar muchos tests? Cuál es la crítca que se suele hacer a los IC usado la dstrbucó t (de la forma (6)) y a los tests deducdos de estos tervalos? S hacemos uos pocos tervalos elegdos a pror (ates de observar los datos) la probabldad de equvocaros será >5%, pero o será ta alta... S por ejemplo teemos 6 tratametos y hacemos todas las comparacoes de a pares, el ro. de IC será 15, cuál será la probabldad de que alguo o cotega al verdadero valor del parámetro? Auque o la sepamos calcular, es evdete que esta probabldad es mucho > que Por eso cuado uo plaea de atemao hacer uo o muy pocos tervalos o tests puede usar (6), pero e caso cotraro covee utlzar u método de tervalos de cofaza smultáeos. 136

26 Itervalos de cofaza smultáeos (cocepto geeral, o sólo para el aálss de varaza de u factor) Cuál es la defcó de IC para u parámetro θ? Recordemos que s X=(X 1,X,...,X ) es la muestra observada, u tervalo [a(x),b(x)] es u IC para θ co vel 1-α s P( a(x) θ b(x) ) = 1-α Ahora deseamos calcular IC para cada uo de los parámetros θ j (dgamos j=1...,m). Se dce que el tervalo [a j (X),b j (Y)] es u IC para θ j calculado por u método smultáeo s (7) P I m j = 1 [ a j ( X ) θ j b j ( X )] 1 α o sea que la probabldad de que todos los IC sea correctos (cotega al verdadero valor del parámetro) es 1-α. La probabldad de que alguo sea correcto es α. 137

27 Método de Boferro. U método muy geeral (para cualquer modelo) para obteer tervalos de cofaza smultáeos es calcular cada uo de ellos co vel 1-α/m, dode m es el úmero de IC que se desea calcular. (Ej.: demostrar que de este modo se cosgue (7), usado la desgualdad de Boferro). Este método tee la vetaja de ser muy smple y muy geeral, pero sólo se usa e la práctca s m es muy pequeño, porque para valores moderados de m da IC de mucha logtud. Para el caso partcular del aálss de la varaza de u factor, basta usar (6), pero reemplazado t -k,α/ por t -k,α/m dode m es el úmero de IC que se desea calcular: [ X X j t k , / ;, / ] + α m s p + X X j t + k α m s p j j 138

28 Método de Tukey. Los tervalos de Tukey so smlares a los dados e (6) pero reemplazado t -k,α/ por el valor q k, -k,α / 1 1 X X j ± q,, ( k N k α S p + dode los valores "q" está tabulados y correspode a la dstrbucó estudada por Tukey, llamada dstrbucó del "rago studetzado" de k varables ormales depedetes. El que aparece se debe smplemete a como se costruyó la tabla. Para el caso orgalmete pesado por Tukey e el que los tamaños de muestras so guales ( 1 = =...= I ), este método hace que se cumpla el = e vez del e (7) cuado se realza todas los comparacoes de a pares. El método de Tukey es óptmo (da IC de la meor logtud posble) cuado se desea calcular IC para todos los pares posbles y los j s so guales. Para el caso e que los tamaños de muestras o so guales, se demostró que sgue valedo (7) pero co >. E este caso el método se cooce també como método de Tukey-Kramer. 1 j ) 139

29 Tests smultáeos: so los dervados de IC smultáeos. Tee la propedad de que la probabldad de cometer algú error tpo I es meor o gual que α. Comparacó de los métodos cosderados S se desea calcular u IC o aplcar u test para ua sola dfereca de medas elegda a pror, evdetemete el método de eleccó es el basado e la dstrbucó t. S so uos pocos, elegdos a pror covee usar Boferro. S se hace muchas comparacoes de a pares (o alguas elegdas a posteror, que es gual que hacer muchas ) covee usar Tukey (da tervalos de meor logtud que Boferro). Para elegr etre Boferro y Tukey, o es "trampa" elegr el método que da IC de meor logtud. No se ecesta hacer las cuetas del IC para elegr el método: basta comparar que es meor etre los valores de la tabla de "t" y de la tabla de "q" (etre t -k,α/m y q k, -k,α / ). 140