Veamos un ejemplo numérico:

Transcripción

1 RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES NUMÉRICAS REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. CORRELACIÓN Los métodos de regresó se usa para estudar la relacó etre dos varables umércas. Este tpo de problemas aparece co frecueca e el coteto de químca aalítca cuado se desea realzar el calbrado e aálss strumetal. El procedmeto habtual es el sguete: el aalsta toma ua sere de materales puede ser 3 ó 4 ó más aú) e los que cooce la cocetracó del aalto. Estos patroes de calbracó se mde co el strumeto aalítco e las msmas codcoes e las que se trabajará e los esaos co el materal descoocdo. Ua vez establecdo el gráfco de calbrado puede obteerse la cocetracó del aalto como se muestra e el sguete gráfco: Veamos u ejemplo umérco:

2 Ejemplo : Para calbrar u fluorímetro se ha eamado 7 solucoes estádar de fluoresceía de las que se cooce la cocetracó medda co mucha precsó) e el fluorímetro. Los sguetes datos so las "verdaderas" cocetracoes la tesdad de fluoresceca observada e el fluorímetro: Cocetracó pg/ml): Itesdad de fluoresceca: E u problema de calbracó, queremos, a partr de medcoes hechas e muestras estádar, estudar la relacó etre las medcoes el verdadero valor. Esta relacó permtrá e el futuro, medr ua muestra descoocda coocer apromadamete su valor verdadero. Lo prmero que se hace para estudar la relacó etre dos varables umércas es u dagrama de dspersó scatter plot), como el que se preseta a cotuacó.

3 Para audar a vsualzar la relacó, hemos agregado a los putos del gráfco de dspersó ua recta que se llama "recta de regresó" o "recta de cuadrados mímos". Veremos cómo hallar esta recta. Recordemos que la ecuacó de ua recta es de la forma Ordeada al orge Pedete

4 Recta de cuadrados mímos. La recta represetada e el gráfco ateror es la recta de cuadrados mímos. Esta es la recta que está "más cerca" de los putos, e el setdo sguete: hace míma la suma de los cuadrados de las dstacas de cada puto a la recta, mdedo las dstacas vertcalmete. O sea mmza: a b )) )

5 PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT CONCENTRA Observado los "coefcetes" de la salda vemos que la recta de mímos cuadrados tee ordeada al orge.5786 pedete S los putos como e este ejemplo) está cerca de la recta, podemos decr que o X Fluoresceca Cocetracó

6 Por ejemplo, s la cocetracó de fluoresceía de ua muestra fuera 8, la ordeada de acuerdo co esta recta sera *8 = Esto o quere decr que para la muestras que tega cocetracó=8 la tesdad de la fluoresceca es eactamete 6.96 como se ve e el gráfco, los putos está mu cerca de la recta, pero o está sobre la recta).

7 Modelo de regresó leal Para hace ferecas, es decr realzar tests de hpótess o calcular tervalos de cofaza, se ecesta supoer u modelo, que llamaremos "modelo de regresó leal smple". La palabra "smple" se debe a que cosderamos ua sola varable depedete o predctora X). Se geeralza e forma atural al caso e que ha más varables depedetes e ese caso se llama "modelo de regresó leal múltple". Las suposcoes del modelo de regresó leal smple so las sguetes. MODELO: Se observa pares de valores, ) para =,..., que cumple: dode e,e,...,e so varables aleatoras tales que e ) ) Ee ) = 0 para todo ) Vare ) = 3) e, e,..., e so v. a. depedetes Para obteer alguos resultados alcaza las suposcoes ) a 3), pero para otros es ecesaro agregar algo más: 4) e Normal

8 Obvamete las suposcoes ) a 4) se puede escrbr e forma más breve: ) a 4) e v. a...d. N0, ) Observacó: Supogamos que se cumple ). Ha dos modelos u poco dferetes: el modelo co 's fjas el modelo co 's aleatoras. E el prmero los valores 's o so varables aleatoras so que so úmeros fjados por el epermetador. E el segudo tato como so observacoes de varables aleatoras. Los problemas de calbracó so ejemplo co 's fjas. E otras stuacoes como podría ser e u problema e el que se desea estudar la relacó etre estatura perímetro cefálco de recé acdos, las covarables 's so aleatoras. Justfcaremos los resultados sobre estmadores, IC tests sólo para el modelo co 's fjas, que es más smple, pero cas todos estos resultados so los msmos para ambos modelos.

9 Ua forma equvalete de escrbr el modelo de regresó leal smple e el caso e que las 's so úmeros fjos) es la sguete: *) E )= + para =,...,) *) Var ) = para =,...,) 3*),,..., so v. a. depedetes 4*) Normal Nuevamete, las suposcoes *) a 4*) se puede escrbr e forma más breve: *) a 4*) v. a. depedetes N +, ) Observacó: e el modelo co 's aleatoras, o ha que hacer gua suposcó sobre la dstrbucó de las 's. Puede ser ormal o o. Como de costumbre, o se espera que las suposcoes del modelo se cumpla eactamete e u problema real, pero al meos que sea apromadamete váldas. S está lejos de cumplrse, las coclusoes puede ser erróeas. Por ejemplo, la preseca de alguos valores de la respuestas atípcos alejados de la recta, lo que mplca que o se cumple la suposcó 4) puede valdar las coclusoes. E efecto, la recta de cuadrados mímos, al gual que la meda, es sesble a uos pocos valores atípcos.

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11 Estmadores de por el método de cuadrados mímos Llamemos a los valores de a b que mmza ) que se llama "estmadores de cuadrados mímmos" de. Mostraremos resolvedo estas ecuacoes que

12 ) ) ) ) ) 3) 4) La ecuacó 4) os dce que la recta de mímos cuadrados pasa por, a que Probaremos que estos estmadores dados e 3) 4) so sesgados bajo la codcó ), es decr ) E. Además, se puede demostrar que estos estmadores so óptmos s se cumple las suposcoes ) a 4). ) E

13 Resduos: Se llama resduos las dferecas etre los valores observados las respectvas ordeadas de la recta: ) e Valores predchos: Llamamos valores predchos a Estmador de : es la varaza de e, es decr = Vare ). Los e so v. a. "o observables". Parece atural que el estmador de se base e los resduos ê. Se puede demostrar que el estmador ) )) e s 5) es u estmador sesgado de.

14 Varaza de : Se puede demostrar que: Var ) ) Var ) ) 6) además cov, ) = 0 7) Los estmadores de Var ) Var ) se obtee reemplazado por s.

15 Itervalo de cofaza para Llamemos ES ) Var ) s ) El tervalo t ; / ES ) 8) es u IC para co vel -. S la suposcó 4) de ormaldad) o se cumple, este tervalo, bajo codcoes mu geerales, tee vel astótco -.

16 Ua medda de cuá buea es X para predecr Y: el coefcete de correlacó leal "r" de Pearso. Este coefcete puede terpretarse como ua medda de cuá cerca está los putos de ua recta. La defcó de r es la sguete: 9) Puede observarse que r compara la dspersó de los valores de co respecto a la recta de cuadrados mímos co la dspersó de los valores de co respecto a su meda. r es la proporcó de la "varacó total" etre los valores de que se puede eplcar predcédolos por u recta e fucó de los valores de. Puede demostrarse que r ) ) r ) ) ) ) )

17 Se cumple que 0 r Sgfcado del valor de r r = sgfca que los putos está eactamete sobre ua recta *) r cerca de los putos está cerca de ua recta r cerca de 0 sgfca que la recta de cuadrados mímos es práctcamete horzotal por lo tato o ha relacó crecete decrecete. *) E las aplcacoes práctcas es "cas mposble" que r valga eactamete gual a. El coefcete de correlacó r es la raz de r se le poe sgo egatvo s la pedete de la recta de cuadrados mímos es egatva recta decrecete). Otra epresó equvalete para calcular r es: r ) ) ) ) 0)

18 Sempre es - r r cerca de o - dcará que los putos está cerca de ua recta crecete o decrecete respectvamete. E el ejemplo de la fluoresceca, teemos que R-SQUARED , como la pedete es postva, es r = ) ½ = Ambos mu cerca de, so ua medda de lo que vemos e el gráfco: los putos está mu cerca de ua recta. E el caso e que las s so aleatoras, el coefcete r es u estmador cosstete del coefcete de correlacó,).

19 cocetra=c0,,4,6,8,0,) fluo<- c.,5,9,.6,7.3,,4.7) salda<- lmfluo~cocetra) summarsalda) Call: lmformula = fluo ~ cocetra) Resduals: Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr> t ) Itercept) ** cocetra e-08 *** --- Sgf. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * Resdual stadard error: o 5 degrees of freedom Multple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statstc: 8 o ad 5 DF, p-value: 8.066e-08

20 Estmacó del valor esperado de para u valor fjado de su tervalo de cofaza. S fjamos u valor de la varable depedete, dgamos e 0 : cuál es el valor esperado de para ese valor de la varable depedete? Por el modelo supuesto, por la suposcó ) o *) el valor esperado de es E)= + 0 Su estmador es 0 Usado 6) 7) se puede demostrar que la varaza de este estmador es: 0 0 ) ) ) Var ) que el tervalo de etremos 0 / ; 0 0 / ; 0 ) ) s t ; ) ) s t ) es u IC co vel - para el valor esperado de, para = 0.

21 Gráfcamete quedaría así:

22 Predccó de u uevo valor de Y coocdo el valor de e tervalo de predccó. Los estmadores de los parámetros del modelo se basaro e ua muestra de observacoes, ) =,...,). Supogamos ahora que hacemos ua ueva observacó, pero sólo coocemos su valor de llamémoslo + ), o coocemos el valor correspodete de, que llamaremos +. Queremos dar u valor apromado para + se dce que queremos predecr + ) u tervalo que cotee a + co ua probabldad 0.95 o -) que se llama tervalo de predccó para + ). Supodremos que el uevo dvduo observado cumple el msmo modelo que los aterores. Etoces: dode e + es ua v.a. co esperaza cero es depedete de e, e,..., e. Es tutvamete razoable que el mejor predctor de + sea: e 3)

23 El error de predccó es: ) ) e Se puede demostrar que este error de predccó tee esperaza cero varaza Var e Var Var ) ) ) ) ) que el tervalo de etremos s t s t / ; / ; ) ) ; ) ) 4) es u "tervalo de predccó" co vel - para ua ueva observacó +.

24 Aplcacó a u ejemplo: Volvamos al ejemplo de la fluoresceca. De la salda del programa mostrada aterormete obteemos:.5786 ; ; s ES ) V ar ) No aparece drectamete e la salda el IC para, pero es fácl obteerlo usado 8). S queremos u IC al 95%, ecestamos el valor de t co 7-=5 gl, co p=0.05 e las dos colas. Obteemos: t 5; 0.05 =.57, reemplazado e 8): * o, redodeado IC para co vel 95%: [.83,.04]

25 El IC al 95% para se obtee e forma aáloga: redodeado: * IC para co vel 95%: [0.76,.59] Predccó: Vamos a calcular ahora el predctor de la medcó de fluoresceca u tervalo de predccó para ua ueva observacó cua cocetracó de fluoresceía es 8 pc/ml. El predctor es fácl de calcular: *8 = 6.96 Para obteer el tervalo de predccó para + ha que usar la epresó 4). Vemos que el predctor o valor predcho es 6.96 el tervalo de predccó al 95% es [5.753 ; 8.69]. Preguta: Es tutvamete razoable que el IC para el valor esperado tega meor logtud?

26 Gráfcamete los dos tervalos quedaría así:

27 Aquí mostramos los resultados e otro ejemplo: Iteresa estudar la relacó etre la pureza de oígeo ) producdo e u proceso de destlacó el porcetaje de hdrocarburos ) presetes e el codesador prcpal de u destlador. Los datos se muestra e la tabla scatter plot sguetes:

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29 destlaco=read.table"c:\\users\\aa\\estadstcaq\\0\\destlaco.tt",header=t) attachdestlaco) salda<- lmogeo~hdrocarburos) summarsalda) Call: lmformula = ogeo ~ hdrocarburos) Resduals: M Q Meda 3Q Ma Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr> t ) Itercept) < e-6 *** hdrocarburos e-09 *** --- Sgf. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * Resdual stadard error:.087 o 8 degrees of freedom Multple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statstc: 8.9 o ad 8 DF, p-value:.7e-09

30 Itervalos de Cofaza predctsalda,terval="cofdece",level=0.95) ft lwr upr

31 Itervalos de Predccó predctsalda,terval="predcto",level=0.95) ft lwr upr

32 Predccó versa: predccó de de u uevo valor de coocdo el valor de cálculo de u tervalo de cofaza. Los estmadores de los parámetros del modelo se basaro e ua muestra de observacoes, ) =,...,). Supogamos ahora que hacemos ua ueva observacó, pero sólo coocemos su valor de, o coocemos su valor. Queremos calcular u estmador de u tervalo que cotee a co ua probabldad -. Hemos dcho que ha dos modelos de regresó leal smple: uo co 's fjas otro co 's aleatoras. Pero e ambos modelos es aleatora. E el caso e el que la varable també es aleatora, s queremos predecr X coocdo Y ua solucó es cambar el modelo: tercambar e ) el papel de las varables Y X luego aplcar "predccó" o sea 3) 4)). Pero s la varable es fja fjada por el epermetador), como suele ocurrr e los epermetos de calbracó, o se la puede cosderar como varable de respuesta "" e ), a que o se cumplría las suposcoes del modelo de regresó.

33 Cosderemos etoces el caso fja. Supodremos que el uevo dvduo observado cumple el msmo modelo que los aterores, luego = + + e dode e es ua v.a. co esperaza cero es depedete de e, e,..., e. Despejado e Como o teemos formacó gua sobre e, además, de sólo coocemos los estmadores, es tutvamete razoable estmar co: 5) Como es u cocete de varables aleatoras, o es fácl calcular su varaza, pero se puede ecotrar ua epresó apromada.

34 El estmador de esta apromacó de la varaza es V ar ) s Y Y ) ) 6) Llamado ES) V ar) 7) el tervalo t ; / ES ) 8) es u tervalo de cofaza co vel apromado - para.

35 Supogamos ahora que, para obteer maor precsó, u químco hace "m" medcoes para la msma muestra. La muestra tee u valor descoocdo llamamos m Y al promedo de las m observacoes Y's hechas e esa muestra. Etoces 46) 47) se modfca así: m 5*) m m s Var ) ) ) 6*) Quedado 7) 8) s cambos.

36 Ejemplo: Cotuamos co el ejemplo de la fluoresceca. Ahora medmos ua muestra de la que o coocemos la cocetracó de fluoresceía. La medcó de fluoresceca es 3.5. Cuál es la verdadera cocetracó de fluoresceía de la muestra? Llamemos a esta verdadera cocetracó descoocda. Su estmador se calcula co 5): = 6. El estmador de la cocetracó es 6. pg/ml. Ua medda de la precsó de esta estmacó la da su Error Stadar també el IC al 95%. Necestamos prmero calcular 6). Vemos que todo lo que se ecesta para calcular 6) puede ecotrarse e la salda de la regresó leal, salvo ). E este epermeto e que ha =7 pares de datos, se podría hacer las cuetas co ua calculadora.

37 VARIABLE N MEAN SD VARIANCE CONCENTRA FLUORESCE Luego = 3.0 ) o lo teemos drectamete, pero teemos la varaza que es gual a ) / ). Por lo tato multplcado la varaza por -) obteemos = 8.667*6 =.0 ) Reemplazamos ahora e 6): Var ) ) *.0 =

38 Luego Aplcado 8) obteemos que ES ) = * so los límtes de cofaza al 95% para la cocetracó de fluoresceía e la ueva muestra observada. Como se debería tomar la muestra e el epermeto de calbracó para dsmur la logtud de los tervalos de cofaza para?

39 Dagóstco del modelo de regresó. E regresó smple la valdacó de los supuestos del modelo se realza e base a los datos a los resduos del modelo ajustado. El dagrama de dspersó permte teer ua dea del supuesto de lealdad de la codcó de homocedastcdad. Se realza dversos gráfcos: de los valores predchos vs. los resduos, que o debería mostrar gua estructura partcular, de la covarable vs. los resduos para evaluar el ajuste també boplots qq-plots de los resduos para evaluar la ormaldad de los errores. Los sguetes gráfcos muestra alguas stuacoes que podemos ecotrar.

40 a) Represeta la stuacó esperable s el modelo se cumple: ua ube de resduos alrededor del 0 s estructura. b) c) Muestra gráfcos e los que el supuesto de gualad de varazas o se cumple. d) El supuesto de lealdad o se satsface.

41 Ejemplo : Cosderamos los datos correspodetes a 47 pacetes de HIV para los que se regstraro las varables VL: carga vral GSS que correspode a u score geétco del pacete. E prmer térmo realzamos u scatter plot de los datos orgales detectamos la preseca de u outler así como certo efecto de abaco. E segudo térmo grafcamos los resduos obtedos después del ajuste de u modelo leal usado como covarable GSS respuesta VL. Aquí el efecto de abaco se ecuetra reforzado.

42 El QQ-plot muestra u mportate apartameto de la ormaldad el test de Shapro-Wlk tee u p-valor feror a E este gráfco hemos usado resduos stadarzados e lugar de los resduos que hemos defdo. Cómo se defe? ê

43 E realdad los resduos o so gualmete dstrbudos, se puede probar que V e ) h ) dode h j ) j ) mde la dstaca de la -ésma observacó al promedo muestral. h Los recbe el ombre de palaca o leverage de la observacó -ésma. Teedo e cueta la varaza de los resduos defmos los resduos stadarzados como: r s h ) /

44 Ejemplo : Cuado el plutoo se ecuetra e pequeñas catdades ua forma de detectarlo es medate las partículas alfa que emte. E u epermeto de calbracó se mdero varas veces 4 materales stadards para los que se cooce la actvdad de plutoo 0, 5, 0 0 pcocures por gramo pc/g). Los resultados de estas medcoes se muestra a cotuacó e el sguete gráfco se puede aprecar la relacó etre las dos varables ,004 0,030 0,069 0,50 0,0 0,04 0,068 0,09 0,004 0,037 0,048 0,083 0,009 0,039 0,059 0,3 0,009 0,049 0,05 0,006 0,004 0,006 0,00 0,06

45 Observemos el dagrama de dspersó: E este dagrama se observa que los datos o sgue el modelo de regresó leal habtual: ha u claro dato atípco o parece cumplrse la suposcó de varaza costate. Ua posble forma de detectar fallas e el modelo, es estmar los parámetros del modelo luego hacer gráfcos para el dagóstco.

46 radaco=read.table"c:\\users\\aa\\estadstcaq\\0\\radaco.tt",header=t) attachradaco) salda<- lmalfa~plutoo) summarsalda) Call: lmformula = alfa ~ plutoo) Resduals: M Q Meda 3Q Ma Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr> t ) Itercept) * plutoo e-07 *** --- Sgf. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * Resdual stadard error: o degrees of freedom Multple R-squared: 0.733, Adjusted R-squared: F-statstc: o ad DF, p-value:.07e-07

47 ls.dagsalda) res.std<- ls.dagsalda)$std.res qqormres.std) qqleres.std) shapro.testres.std) Shapro-Wlk ormalt test data: res.std W = 0.69, p-value = 7.666e-06

48 E el gráfco se observa la preseca de u valor atípco el test de Shapro Wlk rechaza la hpótess de ormaldad P<0.000). S ecluímos el dato atípco volvemos a estmar los parámetros de la regresó hacer gráfcos co los resduos, resulta: alfa.sout<- alfa[-0] Sacamos la observacó 0!! plutoo.sout<- plutoo[-0] salda.sout<- lmalfa.sout~plutoo.sout) summarsalda.sout) Call: lmformula = alfa.sout ~ plutoo.sout) Resduals: M Q Meda 3Q Ma Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr> t ) Itercept) plutoo.sout e-3 *** --- Sgf. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * Resdual stadard error: o degrees of freedom Multple R-squared: 0.96, Adjusted R-squared: 0.9 F-statstc: 9 o ad DF, p-value: 9.077e-3

49 Notemos las dferecas co respecto al aálss ateror e la estmacó de la tercept de su sgfcacó, así como las dferecas etre los R-squared. Aalcemos estos resduos. res.std<- ls.dagsalda.sout)$std.res qqormres.std) qqleres.std) shapro.testres.std) Shapro-Wlk ormalt test data: res.std W = , p-value =

50 hat<- salda.sout$ft plothat,res.std) ableh=0,col="red") Todavía persste u efecto abaco e el gráfco. Esto sugere que o es correcto coveete usar para estos datos el método de cuadrados mímos. No ha ua solucó automátca para datos que o cumple las suposcoes del modelo de regresó leal. E este caso e que la dspersó aumeta co el valor esperado, se ha propuesto dos tpos de solucoes. Ua es la de aplcar cuadrados mímos poderados, la otra es la de aplcar trasformacoes a los datos.

51 Cuadrados mímos poderados. Recordemos que e el modelo leal clásco co el que hemos trabajado asummos que: Se observa pares de valores, ) para =,..., que cumple: dode e,e,...,e so varables aleatoras tales que = + + e para =,...,) ) ) Ee ) = 0 para todo ) Vare ) = o sea es sempre la msma para todas las observacoes) 3) e, e,..., e so v. a. depedetes E alguos problemas, se sabe de atemao o se observa e los datos que o se cumple la suposcó de homocedastcdad, es decr que los errores tee gual varaza, so que la varaza camba co, dgamos e geeral que es de la forma: dode e prcpo la fucó es descoocda. Vare ) = f )

52 E problemas e los que e es el error de medcó puede ser coocda de atemao la relacó etre la varaca del error. S teemos la suerte de coocer de atemao esta relacó, o propoemos esta relacó observado los datos, la solucó es smple. Las relacoes más usadas so que la varaza o la desvaco stadard so proporcoales a, o sea a) Vare ) = cte. b) Var e ) = cte. Tato a) como b) puede escrbrse como: Vare ) = v 9) dode es ua costate coocda o más frecuetemete u parámetro a estmar v so costates coocdas. Supogamos que se cumple el modelo Y = + + e para =,...,) co las suposcoes ) 3), pero cambado ) por Vare ) = v.

53 Etoces s dvdmos por v ambos membros de ) llamamos * Y v. ; * v ; e * e v obteemos * = v + * + e * para =,...,) 0) * dode ahora e cumple las suposcoes ) a 3) del modelo leal clásco. Luego, para estmar los parámetros se aplca cuadrados mímos e 0), que equvale a mmzar v a b )) ) por lo que el método de estmacó se llama cuadrados mímos pesados o poderados.

54 El peso de cada observacó es versamete proporcoal a su varaza, lo que es tutvamete razoable. Muchos programas permte calcular los estmadores de cuadrados mímos pesados. Observacó: Cuado para cada valor de se hace varas observacoes de, se puede estmar las varazas de los errores por las varazas muestrales e lugar de hacer suposcoes como e 9). Luego, se emplea estas varazas estmadas e el método de cuadrados mímos poderados. Veremos a cotuacó u ejemplo e el que aplcaremos este método. Este método o es recomedable s ha pocas observacoes para cada.

55 Ejemplo 3: E u epermeto de calbracó se aalzaro solucoes stadard co cocetracó coocda. Cada solucó fue medda 0 veces. Se muestra las medas los desvíos stadard DS) de las absorbacas observadas: Cocetracó Absorbaca Promedo DS Los datos de cocetracó promedo de absorbaca se grafca a cotuacó:

56 Se observa e el gráfco que la relacó es leal. Pero e la tabla se ve que a medda que la verdadera cocetracó aumeta, crece el desvío stadard. Por lo tato, es sosteble la suposcó ) del modelo de regresó e este ejemplo es evdete que Vare ) = f ) = v dode además la fucó f parece ser crecete.

57 S o teemos dea preva de la forma de esta fucó, se suele smplemete estmar cada v co el cuadrados de la DS correspodete. Por ejemplo para =0 estmamos v co el cuadrado de 0.00, etc. El estmador de mímos cuadrados poderados usa como pesos las versas de estos v estmados. Calculamos los estmadores de cuadrados mímos poderados. Igresado los datos, calculamos los pesos obteemos la sguete salda: summarlmabsorbaca~cocetra,weghts=/varar))) Call: lmformula = absorbaca ~ cocetra, weghts = /varar)) Resduals: Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr> t ) Itercept) *** cocetra e-07 *** --- Sgf. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * Resdual stadard error:.06 o 4 degrees of freedom Multple R-squared: 0.999, Adjusted R-squared: F-statstc: 4807 o ad 4 DF, p-value:.593e-07

58 S, por error hubésemos calculado la recta de cuadrados mímos s poderacoes, hubésemos obtedo: summarlmabsorbaca~cocetra)) Call: lmformula = absorbaca ~ cocetra) Resduals: Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr> t ) Itercept) cocetra e-06 *** --- Sgf. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * Resdual stadard error: o 4 degrees of freedom Multple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statstc: 73 o ad 4 DF, p-value:.995e-06 Auque e este ejemplo los estmadores de so parecdos, debdo a que los putos está mu cerca de ua recta, e otros ejemplo podría haber dferecas mportates, s embargo camba la sgfcacó de la ordeada al orge.