Contraste de Hipótesis

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1 CONTRASTE DE HIPÓTESIS 1. Itroduccó. Cotraste de ua hpótess estadístca 3. Test ulateral y blateral 4. Test relacoados co ua sola meda (varaza coocda) 5. Relacó co la estmacó del tervalo de cofaza 6. Test sobre ua sola meda (varaza descoocda) 7. Test sobre dos medas 7.1. Varazas coocdas 7.. Varazas descoocdas 8. Pruebas relacoadas co varazas 8.1. Ua muestra 8.. Dos muestras 9. Pruebas sobre proporcoes 1. Test de Bodad de ajuste Aplcacoes: Prueba de Homogeedad Test de depedeca 11. El cotraste de Kolmogorov-Smrov Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 1

2 CONTRASTE DE HIPOTESIS 1. INTRODUCCIÓN No sempre los problemas a los que se efreta el cetífco o el geero, se refere sólo a la estmacó de u parámetro de la poblacó, so por el cotraro, la formulacó de u procedmeto de decsó basado e datos, que puede producr ua coclusó acerca de algú sstema cetífco. Se postula o cojetura algo acerca de u sstema. La cojetura se puede expoer como ua hpótess estadístca. Los procedmetos que coduce a la aceptacó o rechazo de hpótess estadístcas, comprede u área muy mportate de la fereca estadístca. Ua hpótess estadístca es ua afrmacó o cojetura acerca de ua o más poblacoes. Es mportate remarcar que las hpótess so proposcoes sobre la poblacó e estudo, uca sobre la muestra. Cotrastar ua hpótess estadístcamete es tomar ua decsó sobre s certa propedad de ua poblacó es compatble co lo observado e ua muestra de dcha poblacó. La técca del cotraste de hpótess costtuye ua parte de la Ifereca Estadístca que cosste e utlzar la formacó muestral para examar la valdez de afrmacoes realzadas sobre ua característca poblacoal. Nuca se sabe co absoluta certeza la verdad o falsedad de ua hpótess estadístca, a o ser que se exame la poblacó etera. Como esto o es práctco, se elge ua muestra aleatora de la poblacó que se estuda, y se utlza los datos que cotee dcha muestra para proporcoar evdecas que cofrme o o la hpótess. La evdeca de la muestra que es cosstete co la hpótess plateada, lleva al rechazo de la msma; metras que la evdeca que apoya a la hpótess, coduce a su aceptacó. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.

3 Desde luego el dseño de u procedmeto de decsó, debe llevarse a cabo co la dea de probabldad de ua coclusó equvocada. Es decr, la aceptacó de ua hpótess mplca ta sólo que los datos de la muestra o proporcoa evdeca sufcete para rechazarla. El rechazo de la hpótess mplca que la evdeca de la muestra la refuta. Exste dos tpos de cotrastes: Cotrastes paramétrcos s la hpótess cocere a parámetros poblacoales tales como la meda o la varaza. Cotrastes o paramétrcos so los que afecta a cualdades de la dstrbucó, tales como la bodad del ajuste, homogeedad de poblacoes, depedeca.. CONTRASTE DE UNA HIPÓTESIS ESTADÍSTICA La estructura de la prueba de hpótess (test de hpótess) se formulará utlzado el térmo hpótess ula. Llamamos hpótess ula, H, a la hpótess que vamos a cotrastar, H represeta la hpótess que matedremos metras los datos o os dque su falsedad. El rechazo de Ho da como resultado la aceptacó de ua hpótess alteratva, que se represeta por H1. Llamamos hpótess alteratva, H 1, a la hpótess que se aceptará s H se rechaza. Ua hpótess ula referete a u parámetro de la poblacó, sempre será establecda e forma tal que especfque u valor exacto del parámetro; la hpótess alteratva admte la posbldad de varos valores. Las fases e u cotraste de hpótess so: 1) Defr la hpótess a cotrastar que llamaremos H e cosecueca H1. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 3

4 ) Defr ua medda de dscrepaca D que mda la dfereca etre los valores observados y los esperados (de acuerdo co H ) establecedo su dstrbucó. 3) Tomar ua muestra y calcular D. 4) Coclur co ua decsó: s la dscrepaca D es muy grade, rechazaremos H ; e caso cotraro, aceptamos H. Por tato para realzar u cotraste ecestamos ua medda de dscrepaca, y ua ley para juzgar cuado las dscrepacas so demasado grades. Al probar cualquer hpótess estadístca, se preseta cuatro posbles stuacoes que determa s la decsó es correcta o equvocada: La hpótess ula, es verdadera o falsa y se acepta o se rechaza. No se comete error alguo s es verdadera y se acepta, o s es falsa y se rechaza. S embargo, se cometerá error s es verdadera y se rechaza o s es falsa y se acepta. Se Acepta H Es Verdadera Decsó correcta H Es Falsa Error de tpo II DECISIÓN Se Rechaza Error de tpo I Decsó correcta Decmos que se comete u error de tpo I cuado H es verdadera pero se rechaza, se comete u error de tpo II cuado H es falsa pero se acepta. Para defr qué valores de las dscrepacas so grades fjamos u valor que deomaremos vel de sgfcacó. El valor es la probabldad de cometer u error de tpo I, y determa u valor d c de forma que: P ( D ) d c P(error tpo I)=P(rechazar H / H es certa) Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 4

5 La probabldad de cometer error tpo II, represetado por, es mposble calcularla a o ser que tega ua hpótess alteratva específca: P(error tpo II)=P(aceptar H / H es falsa) Al cojuto de reglas que lleva a aceptar o o ua certa hpótess, es lo que se llama "u test o cotraste de hpótess". La poteca del cotraste es la probabldad de rechazar H, dada ua alteratva específca verdadera: 1 Poteca=P(rechazar H / H es falsa) U test muy potete es altamete capaz de detectar la falsedad de los datos. Uo poco potete o detecta la falsedad de los datos. E geeral, a todo úmero que, obtedo a partr de las observacoes de ua muestra, srve para decdrse por H o H 1, se llama estadístco de cotraste. Pero para realzar u test de hpótess, el vestgador o sólo debe fjar H y H 1, y el estadístco de cotraste, so que també habrá de decdr de atemao el valor del error que está dspuesto a aceptar. La fgura sguete muestra gráfcamete este método. S la dscrepaca observada D cae detro de la regó de rechazo (probabldad de rechazar y ser verdadera), rechazamos la hpótess H, e caso cotraro la aceptaremos. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 5

6 Defmos la regó de rechazo o regó crítca por D del estadístco de cotraste que lleva a la decsó de rechazar la hpótess ula H y la regó de aceptacó de H será D d c d c es el cojuto de valores Cosderacoes acerca de. 1) Aceptar o rechazar la hpótess H puede depeder del valor, sedo posble rechazar H co < > Aceptacó d c Rechazo =.5 y aceptar H co =.4 ) Dar sólo el resultado del test o dca el grado de dscrepaca. Se acostumbra a utlzar veles de sgfcacó del.5 ó.1. S, por ejemplo, se elge u vel de sgfcacó del.5 etoces hay aproxmadamete 5 ocasoes de cada 1 e que se rechazaría la hpótess cuado debe ser aceptada. El vel de sgfcacó () se fja a pror depedetemete del estadístco. U procedmeto para resolver estas cosderacoes es utlzar el vel crítco p de u test, e vez del vel de sgfcacó (). Se defe el vel crítco o p valor como el mímo vel de sgfcacó para el que, co los datos de ua muestra cocreta, se tedría que rechazar H. pp(d D ). Es decr, la probabldad de obteer ua dscrepaca mayor o gual que la observada e la muestra. De esta forma, el valor de p o se fja a pror, so que se determa e fucó de la muestra. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 6

7 Como se evdeca e la fgura sguete, cuato meor sea el valor crítco, meor es la probabldad de exstr dscrepaca como la observada, y meor es la certdumbre de H. Esto es; cuato más cercao a cero sea su valor co mayor cofaza se rechazará H. Puesto que, pp(d D ) y D u valor fjo, s p es grade D es u valor pequeño, por tato, para u valor fjo de < p será D < dc y aceptamos la hpótess H, H. E geeral, cuato más próxmo a 1 sea p co mayor evdeca se habrá de aceptar A título oretatvo, S p>.5 o exste sufcete evdeca para rechazar H. S.1<p<.5 exste certdumbre etre rechazar o o rechazar H. S p<.1 e geeral deberá ser rechazada la hpótess H, S se ha fjado de atemao u vel de sgfcacó, se acepta H, s p>, y se rechaza H s p< El cojuto de valores posbles del estadístco de cotraste, se dvde e dos partes. Ua de ella coduce a coclur H, y se llama regó de aceptacó; y la otra, lleva a coclur H1, y se llama regó de rechazo o regó crítca (RC). sgfcacó. Al error de la prmera RC que rechaza H, se le llama vel crítco ó vel mímo de Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 7

8 Los valores fuera de la regó de rechazo so los valores de la regó de aceptacó R(H). Estas regoes de aceptacó cocde co los tervalos de cofaza para los parámetros sobre los que se platea el cotraste co los veles de cofaza de 1- complemeto de los de sgfcacó. 3. TEST UNILATERAL Y BILATERAL H o : o H 1 : o U test de cualquer hpótess estadístca, dode la alteratva es ulateral, tal como: ó be H : H: 1 recbe el ombre de test de ua cola, ya que la regó crítca cae e la cola derecha de la dstrbucó del estadístco de prueba, o e la cola zquerda, respectvamete. U test de cualquer hpótess estadístca dode la alteratva es blateral, tal como: H o : o H 1 : o recbe el ombre de test de dos colas, ya que la regó crítca se dvde e dos partes, geeralmete co guales probabldades e cada cola de la dstrbucó del estadístco de prueba. Para probar hpótess e las cuales el estadístco de prueba es dscreto, puede escogerse la regó crítca arbtraramete y luego determar su tamaño. S es demasado grade, puede reducrse hacedo u ajuste e el valor crítco. U valor p es el vel más bajo (de sgfcacó) e el cuál el valor observado del estadístco de prueba es sgfcatvo. Los procedmetos para el test de hpótess, puede resumrse, supuesto que la hpótess es H o : o : 1. Establecer la hpótess ula H o de que o.. Seleccoar ua hpótess alteratva apropada H 1 de ua de las alteratvas o, o ó o. 3. Elegr u vel de sgfcacó y el tamaño de la muestra. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 8

9 4. Seleccoar el estadístco de prueba apropado, y establecer la regó crítca (s la decsó se va a basar e u valor p, o es ecesaro establecer la regó crítca). 5. Calcular el valor del estadístco de prueba co los datos muestrales. 6. Decdr: rechazar H o s el estadístco de prueba tee u valor e la regó crítca (o s el valor calculado de p es meor o gual que el vel de sgfcacó deseado ); de otra forma, o rechazar H o. 4. TEST RELACIONADOS CON UNA SÓLA MEDIA (VARIANZA CONOCIDA): Presetamos los test de hpótess acerca de ua sola meda de poblacó. Se debe, e prmer lugar, descrbr las suposcoes sobre las cuales se basa el expermeto. El modelo para la stuacó fudametal se cetra alrededor de u expermeto X 1, X,...,X que represeta ua muestra aleatora de ua dstrbucó co meda y varaza. Caso blateral Cosdérese prmero la hpótess: H o : o H 1 : o El estadístco de prueba apropado deberá basarse e la varable aleatora X. Ya sabemos, segú el Teorema Cetral del Límte, que, al marge de la dstrbucó de X, la varable aleatora X tee ua dstrbucó aproxmadamete Normal co meda y desvacó típca. X Covee ormalzar la varable aleatora X : Z N(,1). / Puede, etoces, determarse ua regó crítca co base e el promedo muestral calculado, X. X P z Z z P z z 1 1 puede utlzarse para escrbr ua / regó crítca apropada. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 9

10 Formalmete, la regó crítca se crea a partr de, la probabldad de error tpo I. Cotraste blateral ( colas) H : H : 1 Hasta este mometo, habrá ua regó crítca de dos colas para la prueba. El valor crítco z1 / correspode al percetl 1 / e la dstrbucó N(,1), es decr, P(Z z ) 1 /. 1 / Se ecesta ua señal de evdeca de dos colas para respaldar H 1. Así, dado u valor calculado X, la prueba formal mplca rechazar H s el estadístco de prueba calculado: X z / cae detro de la regó crítca z z ó 1 z 1 z. E cuyo caso z 1 z z zz o se rechaza H o. S 1 1 El rechazo de mplca la aceptacó de la hpótess alteratva o. H o Co esta defcó de la regó crítca, exstrá la probabldad de rechazar H o (al caer e la regó crítca) cuado, e realdad o. O be, calculado el p-valor=p(z> z ) y comparádolo co : p> se acepta la hpótess ula, y por lo tato o p< se rechaza la hpótess ula, y por lo tato o Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 1

11 Caso ulateral Las pruebas de hpótess ulaterales acerca de la meda, comprede el msmo estadístco que el descrto para el caso blateral. Aquí la regó crítca es de ua sola cola de la dstrbucó ormal. Cotraste ulateral (cola de la zquerda) H : H : 1 El valor crítco z1 correspode al percetl e la dstrbucó N(,1), es decr, P(Z z ) 1, o be 1 P(Z z ) 1 Para H 1 : o, la regó crítca está dada por 1 z, o be, p-valor=p(z z) z. Cotraste ulateral (cola de la derecha) H : H : 1 El valor crítco z1 correspode al percetl 1 e la dstrbucó N(,1), es decr, P(Z z ) 1 1 Para H 1 : o, el rechazo (regó crítca) resulta cuado 1 z z, o be, p-valor=. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 11

12 1 Ejemplo: Se supoe que u topógrafo realza como mímo 4 medcoes daras. Ate la duda se hace ua comprobacó observado las medcoes durate 1 días seleccoados al azar, observádose ua meda de 4. Supoedo ormaldad co varaza 16 e la dstrbucó de las medcoes daras co u vel de sgfcacó de,5 la suposcó cal. Realzar el cotraste para la meda. Solucó: Estamos ate u caso de cotraste ulateral para la meda de ua poblacó ormal co varaza coocda. H : 4 H: 4 1 X Sabemos que: Z N(,1) / El valor del estadístco z bajo la hpótess ula es: X 4 4 z = / 4/ 1 Para =,5 e la N(,1) teemos que: P Z z P Z z,5 z 1,64 1,95,95 Como el valor de uestro estadístco z bajo la hpótess ula cae detro de la regó de aceptacó (-1,64<-1,58), se ACEPTA que el topógrafo realza como mímo 4 medcoes daras. O be, calculamos el p-valor=p(z<z)=p(z<-1,581)=,56939 > Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 1

13 WOLFRAMALPHA: z-test for populato mea Cotraste de Hpótess 5. RELACIÓN CON LA ESTIMACIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA: El procedmeto de test de hpótess a la fereca estadístca, está muy relacoado co la estmacó del tervalo de cofaza. Para el caso de ua sola meda poblacoal, coocedo, la estructura de ambas pruebas de hpótess y la estmacó del tervalo de cofaza, se basa e la varable aleatora: Z X Resulta, etoces, que la prueba de H o : o e cotraposcó co H 1 : o, e u vel de sgfcacó, es equvalete a calcular u tervalo de cofaza del 1 % de y rechazar H s o o está detro del tervalo de cofaza. S tervalo, o se rechaza la hpótess. o está detro del La equvaleca es muy tutva: recordar que co u valor observado X, aceptar H co u vel de sgfcacó, mplca que: X z1 / z1 / X z1 / X z1 / / Los tervalos de cofaza tee la vetaja frete a los cotrastes de hpótess de que sempre os da ua dea de la zoa e la que se va a ecotrar el verdadero valor del parámetro poblacoal, metras que e el caso de los test, cuado se rechaza ua hpótess ula, o se cooce el valor del parámetro e cuestó. Todo lo que se sabe es que es más verosíml que el valor del parámetro sea mayor o meor que u valor cocreto. 6. TEST SOBRE UNA SÓLA MEDIA (VARIANZA DESCONOCIDA): La aplcacó de la t de Studet tato e tervalos de cofaza como e test de hpótess, se desarrolla bajo las sguetes suposcoes: las v.a. X 1,...,X represeta ua Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 13

14 muestra aleatora de ua dstrbucó co y descoocdos. Etoces la varable aleatora X tee ua dstrbucó t de Studet co -1 grados de lbertad. S / La estructura de la prueba es détca que para el caso de coocda, co la salvedad de que el valor de e el estadístco de prueba se reemplaza por la estmacó calculada S, y la dstrbucó ormal se reemplaza por ua dstrbucó t. Caso blateral Es decr, para la hpótess blateral: H o : o H 1 : o el rechazo de H o, co u vel de sgfcacó, resulta cuado ua estadístca t calculada: X t S / t 1 excede a,1 o es meor que t,1. 1 Cotraste blateral ( colas) H : H : 1 El valor crítco t 1 / correspode al percetl 1 / e la dstrbucó t-1, es decr, P(t t ) 1 / / O be, calculado el p-valor=p(t-1> t ) y comparádolo co : p> se acepta la hpótess ula, y por lo tato o p< se rechaza la hpótess ula, y por lo tato o Se coserva la equvaleca de la prueba t de Studet de blateral para ua sola meda, y el cálculo de u tervalo de cofaza para, reemplazado por S. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 14

15 Caso ulateral Cotraste ulateral (cola de la zquerda) H : H : 1 El valor crítco t1 correspode al percetl e la dstrbucó t-1, es decr, P(t-1 t 1), o be P(t-1 t 1) 1 Para H 1 : o, la regó crítca está dada por t t1, 1 o be, p-valor=p(t-1<t) Cotraste ulateral (cola de la derecha) H : H : 1 El valor crítco t1 correspode al percetl 1 e la dstrbucó t-1, es decr, P(t t ) Para H 1 : o, el rechazo resulta cuado t t1, 1 o be, p-valor=p(t-1>t) Para muestras pequeñas (<3), co regulardad, es dfícl detectar las desvacoes de ua dstrbucó ormal. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 15

16 Ejemplo: Se hace u evío de latas de coserva, de las que se afrma que el peso medo es de 1 g. Examada ua muestra de 5 latas, se ha obtedo los sguetes datos: meda 998 g y varaza muestral 19,6. Puede mateerse la hpótess de que µ=1, co u vel de sgfcacó =,5? Obteer u tervalo de cofaza al 95% para la meda. Solucó: Cotrastamos la hpótess H : 1 H : 1 1 Datos: 5;X 998 ; S 19,6; 1.95 Buscaremos u valor 1 / X t= =1,95115 S/ 19,6/ 5 t tal que P t t t 1, sedo -1 los 1 / 1 1 / grados de cofaza. DERIVE: #1: NSOLVE(STUDENT(t, 4) =.975, t) #: t = EXCEL: =INV.T(,975;4), , o be, =INV.T.C(,5;4) Puesto que t 1,95<,7764, podemos ACEPTAR que la meda es 1 g. WOLFRAMALPHA: t-terval xbar=998, s=4.43, =5 Teemos ua muestra pequeña (=5) de varaza descoocda: S I Xt,Xt 1 /,1 1 /,1 S Datos: 5;X 998 ; S 19,6; 1.95; t,975;4, I , , Obvamete se cumple que la meda ,13.51 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 16

17 7. TEST SOBRE DOS MEDIAS 7.1. Varazas coocdas Cotraste de Hpótess Los test referdos a dos medas represeta u cojuto de herrametas aalítcas muy mportates para cetífcos e geeros. Dos muestras aleatoras depedetes de tamaños 1 y, respectvamete, se obtee de dos poblacoes co medas y varazas respectvas 1, y 1,. Se sabe que la v.a. X Z X tee ua dstrbucó N(,1). se reduce a: S podemos cosderar que 1 (homocedastcdad), el estadístco ateror X Z X S por el cotraro se supoe que los dos cojutos de datos procede de dstrbucoes co varazas desguales. Se cooce co el ombre de Prueba t heterocedastcdad. Es el test de Welch. g.l. s s 1 s 1 /1 s / Puesto que el resultado del cálculo ormalmete o es u etero, el valor de los grados de lbertad se redodea al etero más próxmo para obteer u valor crítco de la dstrbucó t. Estos dos estadístcos srve como base para el desarrollo de los procedmetos de prueba sobre dos medas. La hpótess ula sobre dos medas puede escrbrse: H : d 1 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 17

18 La alteratva puede ser ulateral o blateral. De uevo, la dstrbucó utlzada es la dstrbucó del estadístco de prueba H. Se calcula los valores X 1 y X, para 1 y, el estadístco de prueba es: X X d z co ua regó crítca de dos colas e el caso de ua alteratva de dos lados. Es decr, el rechazo de H e favor de H: 1 1 d s z z 1 o ua cola se utlza e el caso de las alteratvas ulaterales. z z. Las regoes crítcas de 1 3 Ejemplo 9 teodoltos so llevados a reparar a dos talleres dsttos. 5 de ellos al taller A dode los repararo e u tempo medo de 15 días co ua desvacó típca de 3 días. Los 4 restates al taller B, sedo reparados e u tempo medo de 16 días co ua desvacó típca de 5 días. Supoedo que las varazas so coocdas, se puede cosderar que el taller A es más adecuado que el B para cosegur ua reparacó más rápda? Solucó: Queremos comparar las medas de dos poblacoes ormales de varazas coocdas. H : A B H:, luego H : A B H: 1 A B 1 A B El estadístco de prueba es: X A B A B A X B z susttuyedo los valores Establecedo la hpótess de la dstrbucó ormal. Calculamos el p-valor = P(Z > -1,7) DERIVE: #1: 1-NORMAL(-1.7) #: EXCEL: =1-DISTR.NORM.ESTAND(-1,7), WOLFRAMALPHA: Probablty -1.7<x ormal dstrbuto, mea=, sd=1,95784 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 18

19 Se ACEPTA la hpótess ula para cualquer valor de α <, Varazas descoocdas Lo más frecuete es que se descoozca las varazas. S el cetífco está dspuesto a asumr que ambas dstrbucoes so ormales, y que 1, puede utlzarse la prueba t combada (prueba t de dos muestras). El estadístco de prueba es: X X d t 1 1 Sp 1 1, sedo S S(1) S( 1) 1 1 p 11 1 Se utlza la dstrbucó t - Studet co 1+- grados de lbertad y la hpótess blateral o se rechaza cuado: t t t 1,1 1,1 Las alteratvas ulaterales sugere regoes crítcas ulaterales. 4 Ejemplo: Se utlza dos teodoltos para hacer certas determacoes, pretededo averguar s la meda de los errores cometdos co uo y otro es détca para u vel de sgfcacó del 5%. Se hace determacoes co el teodolto A y se obtee ua meda de,4 errores y ua desvacó típca de, y otras determacoes co el B obteedo ua meda de,5 y ua desvacó de,3. Supoemos que las varables error so ormales y co la msma varaza. Comparar los dos teodoltos. Solucó: Queremos comparar las medas de dos poblacoes ormales de varazas descoocdas pero guales y muestras pequeñas. H : A B H:, luego H : A B H: 1 A B 1 A B El estadístco de prueba es: x A x A B 1 1 S B t sedo (A 1)S A (B 1)S B S.65 co lo cual ( 1) ( 1) A B Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 19

20 x x S.65 A B t 1.4 A B Calculado el p-valor=p(t-1> 1.4 )=.6 > : WOLFRAMALPHA: Probablty X>1.4, tudettdstrbuto degrees of freedom PRUEBAS RELACIONADAS CON VARIANZAS PUEBA PARA UNA MUESTRA Sea X1, X,,X ua muestra aleatora de ua dstrbucó Normal co meda µ descoocda y varaza σ descoocda. Cotemplamos prmero el problema de probar la hpótess ula H o de que la varaza poblacoal es gual a u valor especfcado o. H : Ahora, se os platea tres posbles hpótess alteratvas: H : ; 1 H : ; 1 H : 1 El estadístco apropado sobre el que se basa la decsó es el estadístco ch-cuadrado utlzado para determar u tervalo de cofaza para. Por tato, s supoemos que la dstrbucó de la poblacó que está sedo muestreada es ormal, el valor ch-cuadrado para probar o está dado por: ( 1)S ( 1)S 1 dode es el tamaño de la muestra, S es la varaza muestral y o es el valor de dado por la hpótess ula. S H o es verdadera, es u valor de la dstrbucó ch-cuadrado co -1 grados de lbertad. Caso blateral Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.

21 De aquí que, para ua prueba de dos colas co u vel de sgfcacó, la regó crítca es / y 1 /. RC.., /) 1 /, El valor crítco / correspode al percetl / e la dstrbucó 1, es decr, P( ) /. 1 / El valor crítco 1 / correspode al percetl 1 / e la dstrbucó 1, es decr, P( ) 1 /. 1 1 / Cotraste blateral ( colas) H : H : 1 O be, calculado el p-valor = mí P 1,P 1 p > se acepta la hpótess ula, y por lo tato o. p < se rechaza la hpótess ula, y por lo tato o. y comparádolo co : Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 1

22 Caso ulateral Cotraste ulateral (cola de la zquerda) H : H : 1 Para la alteratva ulateral o, la regó crítca es. RC.., ) El valor crítco correspode al percetl e la dstrbucó 1, es decr, P( ). 1 O be, calculado el p-valor = P 1 y comparádolo co : p > se acepta la hpótess ula, y por lo tato. p < se rechaza la hpótess ula, y por lo tato. Cotraste ulateral (cola de la derecha) H : H : 1 Para la alteratva ulateral, la regó crítca es 1. RC.. 1, El valor crítco 1 correspode al percetl 1 e la dstrbucó 1, es decr, P( ) Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.

23 O be, calculado el p-valor = P 1 Cotraste de Hpótess y comparádolo co : p > se acepta la hpótess ula, y por lo tato. p < se rechaza la hpótess ula, y por lo tato. Para probar ua hpótess acerca de ua varaza poblacoal, se procede sguedo los msmos 6 pasos báscos dcados ates..5 Ejemplo: Se desea cotrastar s puede supoerse razoablemete que e u uevo proceso de fabrcacó de flametos la varaza del grosor es de 4 mlímetros. Para ello se toma ua muestra de 8 flametos que arroja ua varaza muestral de mlímetro. Supoedo la varable ormal, cotrastar la hpótess e los grosores de los flametos a u vel de sgfcacó de,5. Solucó: Se trata de realzar u cotraste blateral para la varaza poblacoal co meda descoocda supoedo ormaldad. H : 4 H: 4 1 Sabemos que: ( 1)S 1 E uestro caso ( 1)S 7 13,5 4 Por otro lado, los valores crítcos para α=,5 y =8.5,7.975,7, 1 1,1 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 3

24 Para =,5 Para =,5 P( ).5 14,57 7.5,7.5,7 P( ) , ,7.975,7 sedo 13,5 meor que 14,57 RECHAZAMOS la hpótess ula de que la varaza del grosor de los flametos es 4 mlímetros. EXCEL: = INV.CHICUAD(,5;7) 14,75; INV.CHICUAD (,975;7) 43,19 O be, calculado el p-valor = 1 1 mí P 13.5,P WOLFRAMALPHA: Probablty X<13.5, Ch Square Dstrbuto degrees of freedom 7 Al rechazar la hpótess ula, aceptamos la hpótess alteratva de que la varaza o es 4; pero podemos platearos s es meor que 4 o mayor que 4. Solucó: Ahora se trata de realzar u cotraste ulateral para la varaza poblacoal co meda descoocda supoedo ormaldad. H : 4 H: 4 1 Sabemos que: ( 1)S 1 ( 1)S 7 13,5 4 El valor crítco para =,5 y =8 1,1.95,7 Para =,5 P( ) EXCEL: = INV.CHICUAD(,95;7) 4,11 WOLFRAMALPHA: Ch Square Dstrbuto degrees of freedom 7 PERCENTIL sedo 13,5 meor que 4,11 ACEPTAMOS la hpótess ula de que la varaza del grosor de los flametos es meor de 4 mlímetros. P O be, calculado el p-valor = 1 WOLFRAMALPHA: Probablty X<13.5, Ch Square Dstrbuto degrees of freedom 7 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 4

25 PUEBA PARA DOS MUESTRAS HOMOCEDASTICIDAD (Comparacó de poblacoes) Cosdérese ahora el problema de probar la gualdad de varazas 1 y, de dos poblacoes. Esto es, debe probarse la hpótess ula H o de que 1 e cotraposcó a ua de las alteratvas usuales 1, 1 ó 1. Para muestras aleatoras depedetes de tamaños respectvos 1 y, de las dos poblacoes, el valor f para probar s 1 es la razó f 1 s dode s 1 y s so las varazas calculadas a partr de las dos muestras. S las dos poblacoes tee dstrbucoes aproxmadamete ormales, y la hpótess ula es verdadera, de acuerdo e resultados obtedos, la relacó f es u valor de la dstrbucó F de Sedecor co 1-1 y -1 grados de lbertad. Por tato, las regoes crítcas, co vel de sgfcacó correspodetes a las alteratvas ulaterales 1 y 1 so respectvamete, f F. 1,1 1, 1 f F y,1 1, 1 Para la alteratva blateral 1, la regó crítca es f F y 1, 1, 1 f F 1,11,1. 6 Ejemplo: Se pretede comparar dos métodos de elmacó de observacoes. Se seleccoa ua muestra de 5 seres co observacoes aberrates y a 5 de ellas se le aplca el método A y a las otras 5 el B. Los resultados obtedos so los sguetes: Método A : xa 4,3; SA 1,4 Método B : xb 3,6; SB 1,1 Supoedo la varable ormal, cotrastar la hpótess de gualdad de medas a u vel de sgfcacó =,5. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 5

26 Solucó: Cotraste de Hpótess Debemos e prmer lugar cotrastar la hpótess de gualdad de varazas A B S S H : H: A B 1 A B A F,F,A1, B1 1,A1,B1 B S F, F.44,.7 S ,4,4.5,4,4 DERIVE: #1: NSOLVE(F_DISTRIBUTION(x, 4, 4) =.975, x,, 1) #: x = #3: NSOLVE(F_DISTRIBUTION(x, 4, 4) =.5, x,, 5) #4: x = EXCEL: =INV.F(,975;4;4),446697; =INV.F(,5;4;4),697455,44 < 1,6 <,7 y por tato aceptamos la hpótess de varazas guales. Cotrastamos ahora la gualdad de medas de dos poblacoes ormales de varazas descoocdas pero guales y muestras pequeñas. H : A B H: 1 A B El estadístco de prueba es: XA XB t 1 1 S A B,AB sedo (A 1)S A (B 1)S B S ( 1) ( 1) 4 4 A B co lo cual XA XB S A B y para =,5, t.975,48= DERIVE: #1: NSOLVE(STUDENT(x, 48) =.975, x, Real) #: x = EXCEL: =INV.T.C(,5;48),16347 Como 1.93 < admtmos la hpótess de gualdad de medas. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 6

27 9. PRUEBAS SOBRE PROPORCIONES PUEBA PARA UNA MUESTRA De ua poblacó co ua proporcó p de elemetos co ua característca (éxto) extraemos ua muestra X1, X,,X e cuyo caso se trata de ua dstrbucó B(,p) y tede a ua dstrbucó Normal. La proporcó muestral es 1 p k 1 X k N p, p(1 p) Se cosderar probar que la proporcó de éxtos e u expermeto bomal es gual a u valor específco. Cotemplamos prmero el problema de probar la hpótess ula H o de que la proporcó de éxtos p es gual al parámetro de la dstrbucó bomal. H : p p Ahora, se os platea tres posbles hpótess alteratvas: H 1 : p p; H 1 : p p; H 1 : p p El valor pes el úmero de éxtos e ua muestra de tamaño. Los valores de la dstrbucó bomal X que está lejos de la meda, po, coducrá al rechazo de la hpótess ula. Caso blateral Cotraste blateral ( colas) H : p p H : p p 1 Calculado el p-valor = mípx p,px p p-valor > se acepta la hpótess ula, y por lo tato p p. p-valor < se rechaza la hpótess ula, y por lo tato p p. y comparádolo co : Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 7

28 Caso ulateral Cotraste ulateral (cola de la zquerda) H : p p H : p p 1 Calculado el p-valor = P X p y comparádolo co : p-valor > se acepta la hpótess ula, y por lo tato p p. p-valor < se rechaza la hpótess ula, y por lo tato p p. Cotraste ulateral (cola de la derecha) H : p p H : p p 1 Calculado el p-valor = P X p y comparádolo co : p > se acepta la hpótess ula, y por lo tato p p. p < se rechaza la hpótess ula, y por lo tato p p. 7 Ejemplo: U fabrcate afrma que solamete el 4% de sus artículos so defectuosos. Se aalza 35 artículos y se ecuetra 7 defectuosos. Solucó: Plateamos el cotrastar p-valor = sedo H : p,4 H : p,4 7 PX ppx , Se acepta H 35 p(1 p).4(1.4) X N p, N.4, 35 PUEBA PARA DOS MUESTRAS 1 Deseamos probar que dos proporcoes so guales para ello obteemos dos muestras X1, X,,X y Y1, Y,,Ym de dos poblacoes B(,px) y B(m,py). Cosderado que >3 y m>3 Se defe el estadístco dfereca de proporcoes muestrales Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 8

29 m 1 1 p p X Y x y k k k1 m k1 Cotraste de Hpótess N px p y, px(1 px) p (1 ) y py m Para probar ua hpótess acerca de la dfereca de proporcoes, se procede sguedo los msmos pasos báscos dcados ates. 8 Ejemplo: Realzar u cotraste sobre la flueca del vel de estudos de los padres e el hjo mayor co 13 padres uverstaros y 5 co estudos prmaros, resultado que el hjo mayor había realzado estudos uverstaros e 78 y 36 famlas respectvamete. Se puede admtr que la proporcó de uverstaros es gual? Solucó: Plateamos el cotrastar H: p1 p p1 p H : p p p p Como la muestra es sufcetemete grade la dfereca de proporcoes se puede cosderar Normal p1(1 p1) p(1 p) p1 p N p1 p, m p1 y p so las proporcoes de las poblacoes, que descoocemos, pero para el cálculo de la desvacó típca las podemos aproxmar por las proporcoes muestrales. Pero la hpótess ula estable la gualdad de las proporcoes poblacoales, por tato, se debe calcular u valor p1 mp comú. El valor adecuado es la proporcó combada: p m 1 1 p1 p N p1 p, p1 p m Teemos que ; m5; p1.69; p.63; p co X N 1, , ( ) p p p p 13 5 m N X N p-valor =.6, P X , Se acepta H. No hay evdecas para rechazar que la proporcó de uverstaros es gual. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 9

30 1. TEST DE BONDAD DE AJUSTE. Cotraste de Hpótess Hasta ahora, hemos estudado aspectos o plateametos, de u problema que, de forma geeral, trata de tomar decsoes sobre algua característca de la poblacó, a partr del estudo de ua muestra de dcha poblacó. El problema que vamos a tratar es el de la coformdad de ua dstrbucó expermetal y ua dstrbucó teórca; esto es, susttur la dstrbucó expermetal (dstrbucó de la muestra de la poblacó), el hstograma, o la dstrbucó de frecuecas, por ua dstrbucó teórca coocda. Se trata ahora de ajustar ua dstrbucó expermetal a ua dstrbucó teórca; es decr, ver s de los resultados obtedos e ua muestra de ua poblacó, podemos supoer que la poblacó sgue ua determada dstrbucó. Segú sea el hstograma o la tabla de frecuecas de la muestra, hacemos ua hpótess sobre la dstrbucó de la poblacó, que estudaremos e u test de ajuste que mde la bodad de ajuste. Sea el tamaño de la muestra y agrupamos e k clases, y sea la frecueca absoluta observada de la clase. A partr de la muestra estmamos los parámetros de la poblacó teórca, y ua vez obtedos éstos, calculamos la probabldad p que le correspode a cada tervalo. Las correspodetes frecuecas absolutas teórcas (esperadas) será p. Sea: = tamaño de la muestra k = úmero de clases = frecueca absoluta de la clase p = probabldad de cada clase segú la dstrbucó teórca p = frecueca absoluta de cada clase segú la dstrbucó teórca h = úmero de parámetros estmados a partr de la muestra = úmero de grados de lbertad Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 3

31 Las frecuecas observadas e la dstrbucó de ua muestra, se emplea para poer a prueba, la hpótess de que la poblacó de la cual se ha obtedo la muestra, o dfere e dstrbucó, de la de algua dstrbucó coocda. S la hpótess fuese certa, las dscrepacas etre las frecuecas absolutas observadas y las frecuecas absolutas esperadas p, o debe ser grades. Supuesta coocda la dstrbucó de Y. La hpótess H tee la forma: la poblacó X de la cual se obtuvo la muestra tee la msma dstrbucó que la poblacó Y, formulamos la hpótess alteratva H 1 las poblacoes X e Y o tee la msma dstrbucó. Ua medda de las dscrepacas e este setdo, fue estudada por Pearso costruyedo el sguete estadístco: D k 1 ( p ) p, y demostró que, para 3 y p 5 D kh1 = k - h - 1 grados de lbertad., esto es, la varable D sgue ua dstrbucó j-cuadrado co Para aplcar correctamete el test, las frecuecas teórcas de las dferetes clases debe ser mayor o gual que cco, por lo que e caso de que o llegue, se agrupa prevamete. La prueba de bodad (o ch-cuadrado) es ua herrameta muy mportate, debdo sobre todo a que muchos procedmetos estadístcos e la práctca depede, e u setdo teórco, de la suposcó de que los datos recogdos surge de u tpo de dstrbucó específca. La suposcó de ormaldad se hace co bastate frecueca. Fjado u vel de sgfcacó, buscamos u valor 1 tal que P 1 1 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 31

32 S dferecas D aceptamos la hpótess H de coformdad co el ajuste, sedo las 1 p debdas al azar. S D rechazamos la hpótess H, las dferecas p so sgfcatvas y 1 por tato, las dstrbucoes so dsttas. E el caso de o fjar u valor cocreto del valor de α, buscaremos el p-valor p P( D) Se defe como el mímo vel de sgfcacó para el que, co los datos de ua muestra cocreta, se tedría que rechazar H D p E geeral, cuato más próxmo a 1 sea p co mayor evdeca se habrá de aceptar H. A título oretatvo, S p>.5 o exste sufcete evdeca para rechazar H. S.1<p<.5 exste certdumbre etre rechazar o o rechazar H. S p<.1 e geeral deberá ser rechazada la hpótess H, Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 3

33 S se ha fjado de atemao u vel de sgfcacó, se acepta H, s p>, y se rechaza H s p< Observacoes acerca de D. 1º El valor D es más grade a medda que la dstrbucó expermetal se separa más de la teórca. º El úmero de tervalos se puede fjar lbremete sempre y cuado se verfque p 5. 3º E geeral, D crece s crece el º de tervalos, auque la dstrbucó teórca se ajuste be. Puede darse el caso de rechazar H para u º de tervalos k, y aceptar para u º meor de k tervalos. 9 Ejemplo: De u expermeto se ha obtedo la sguete dstrbucó de frecuecas: x < 1 1 a a 3 3 a 4 4 a 5 5 a 6 6 a 7 7 a 8 8 a 9 > Ajustar a ua dstrbucó ormal co u vel de sgfcacó del.5. Solucó: e 1 e x x x < > Hstograma de frecuecas Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 33

34 Utlzado las fórmulas, ya coocdas: Cotraste de Hpótess X S ; resulta ua dstrbucó estmada: N( 5, ) 649 e 1 e p F(e) F(e ) ) p 1 p p < = = = = > = sumatoro D=3.933 Queda 6 tervalos y hemos calculado parámetros (meda y varaza) luego = k - h - 1 = 6 1= 3 grados de lbertad. Para =,5 P( ) sedo D = 3.9 meor que aceptamos la hpótess de ser el ajuste bueo. EXCEL: = INV.CHICUAD.CD(,5;3) 7,8147 O be, utlzado el p-valor: EXCEL: = DISTR.CHI(3.9,3).691 >,5 = WOLFRAMALPHA: Probablty 3.9<X, Ch Square Dstrbuto degrees of freedom Ejemplo: Se puede admtr la dstrbucó ormal de valores agulares e ua tragulacó de prmer orde de u país e la que se ha tomado ua muestra de tamaño 1 y se ha obtedo los sguetes resultados: Solucó: x < > Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 34

35 Medd a x x Cotraste de Hpótess (x x) p p p ,36, ,61, ,6,694543,61, ,, ,7, ,99,98985,93, ,83, ,15, , Teemos que calcular la meda y la desvacó típca de la dstrbucó Normal. Para ello cosderamos la muestra obteda: x x x x =56,1; S 14, p Cosderamos la poblacó co dstrbucó N (56.1, 14,69896). La prueba de la bodad de ajuste de Pearso se basa e la dstrbucó Ch- cuadrado co k-h-1 grados de lbertad, e uestro caso k=5 (º de tervalos), h= (º de parámetros) y como: D= p =6, y P( 5 16,747489), p Utlzado el p-valor: DERIVE: 1 - CHI_SQUARE( 6,747489,) >,5 = EXCEL: = DISTR.CHI( 6, ;),346598>,5 = WOLFRAMALPHA: Probablty 6, <X, Ch Square Dstrbuto degrees of freedom SE RECHAZA EL AJUSTE por ser feror al 5%. Probemos ahora co otra dstrbucó: Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 35

36 Segú la ley de la dstrbucó uforme, la probabldad teórca de cada clase es gual a la udad dvdda por el úmero de clase: 1/5=, x < > p,,,,, p p p k D 1,5 1 ( p ) p Utlzado el p-valor: DERIVE: 1 - CHI_SQUARE(1.5,4)= >,5 = EXCEL: = DISTR.CHI(1,5;4),86641>,5 = WOLFRAMALPHA: Probablty 1.5<X, Ch Square Dstrbuto degrees of freedom Aceptamos la hpótess de ser el ajuste bueo. La dfereca etre la dstrbucó empírca y la ley de la dstrbucó uforme o es sgfcatva. Test de depedeca Aplcacoes de la Prueba ch-cuadrado: Se trata de cotrastar s dos varables CUALITATIVAS so depedetes (es decr, s exste relacó etre ellas), o o. H : X e Y so depedetes H 1 : X e Y o so depedetes Supogamos que de ua poblacó se ha observado dos característcas X e Y, obteédose ua muestra bdmesoal (x 1,y 1 ), (x,y ),, (x,y ). Se desea cotrastar s X e Y so depedetes o o. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 36

37 Para ello, se dvde el cojuto de los posbles valores de X e r clases dsjutas, A1, A,, Ar y los de Y e k clases dsjutas, B1, B,, Bk, obteedo k r clases co frecueca j, dado lugar a ua tabla de doble etrada (tabla de cotgeca): Muestra A 1 A. A r Total B r 1. B 1 r. B k k1 k kr k. Total. 1...r Buscamos las frecuecas esperadas de cada caslla (ej): pj PAj B PAjPB Sobre ua muestra de tamaño, será: j j.j. e p.j...j Al Igual que para el test de Bodad el estadístco de cotraste r k O j ej D e E uestro caso: 11 Ejemplo: j1 1..j r k j D co (k-1)(r-1) grados de lbertad j1 1..j Hemos pregutado a u grupo de 1 hombres y 1 mujeres s fumaba o o. Exste dferecas sgfcatvas etre ambos sexos? j Hombres Mujeres TOTAL: Fuma No fuma TOTAL: 1 1 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 37

38 Solucó: Qué debería salr, s fuera depedetes? Hombres Mujeres TOTAL: Fuma 5 (3) 35(3) 6 No fuma 75(7) 65(7) 14 TOTAL: 1 1 H o : X e Y so depedetes H 1 : X e Y o so depedetes Comparamos frecuecas observadas (O ) y esperadas (e ) D r k O j ej j D, La dea es RECHAZAR la hpótess, s los valores observados dfere demasado de los esperados. Para ello, utlzamos la prueba de la ch-cuadrado co =1 grado de lbertad. El úmero de grados de lbertad es gual al úmero de frecuecas de casllas que se puede rellear lbremete coocdos los totales. E geeral, será el úmero de columas meos 1 por el úmero de flas meos 1: (c-1)(f-1). p valor P(.38), e j Utlzado el p-valor: EXCEL: = DISTR.CHI(,38;1),18975 WOLFRAMALPHA: Probablty.38<X, Ch Square Dstrbuto degrees of freedom Aceptamos la hpótess de depedeca para cualquer valor de α feror al p-valor. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 38

39 Aplcacoes de la Prueba Ch-cuadrado: Prueba de Homogeedad Cosste e comprobar s varas muestras de u carácter cualtatvo procede de la msma poblacó o que las dstrbucoes de la varable observada es la msma e todas las poblacoes H : m poblacoes homogéeas H 1 : al meos ua poblacó es heterogéea Supogamos que se dspoe de m muestras aleatoras smples de otras tatas poblacoes cuyos tamaños so, respectvamete, 1,,, m. Se desea cotrastar s los datos (todos jutos) provee de la msma poblacó o, por el cotraro, se trata de poblacoes heterogéeas co dferetes dstrbucoes. Para ello, se dvde el cojuto de los posbles valores de A e r clases dsjutas y j, represeta el úmero de observacoes de la muestra que perteece a la clase A j segú vemos e ua tabla de doble etrada (tabla de cotgeca): Muestra A1 A. Ar Total r 1 1 r m m1 m mr m Total. 1...r La hpótess de que las m poblacoes so homogéeas, se traduce e que cada cojuto Aj debe teer ua probabldad teórca pj, descoocda, pero que o varía de la poblacó a la poblacó.j ej pj Al Igual que para el test de Bodad el estadístco de cotraste D r m O j ej j1 1 e j Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 39

40 E uestro caso: D r m j1 1 j.j.j co (m-1)(r-1) grados de lbertad 1 Ejemplo: Queremos saber s las cuatro muestras obtedas procede de la msma poblacó co probabldad del 95%. Es decr, s la proporcó de aprobados y suspesos es homogéea. A B C D Aprobados No aprobados Solucó: H : p = p 11 = p 1 = p 13 = p 14 o H : p j dstto de p para algú grupo 1 Se calcula las frecuecas esperadas e1 p1 1 59,5 5 Que cocde para los cuatro grupos por ser el msmo tamaño muestral = e p 1 4,75 5 Calculamos el valor del estadístco.j r m j 56 59,5 6 59,5 6 59,5 D 59,5 59,5 59,5 j1 1.j 59 59,5 44 4,75 4 4, ,75 414,75 59,5 4,75 4,75 4,75 4,75, Ajustamos a ua dstrbucó de Pearso co 3 grados de lbertad Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 4

41 E geeral, será el úmero de columas meos 1 por el úmero de flas meos 1: (c-1)(f-1). p valor P, , Utlzado el p-valor: DERIVE: 1 - CHI_SQUARE( ,3)= EXCEL: = DISTR.CHI( ;3), WOLFRAMALPHA: Probablty <X, Ch Square Dstrbuto degrees of freedom Por ser próxmo a 1 ACEPTAMOS la hpótess y las muestras procede de la msma poblacó. 11. EL CONTRASTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV Auque el test de la es váldo para varables aleatoras cotuas, es preferble aplcar el método de Kolmorov-Smrov que se basa e comparar fucoes de dstrbucó, evtado los problemas que pueda dervarse de la clasfcacó de los datos. Además puede aplcarse a muestras pequeñas. Para ua v.a. X cosderamos la Hpótess ula H sobre la dstrbucó de la poblacó. H :F F teórca H:FF 1 teórca El cotraste cosste e comparar la fucó de dstrbucó de uestra muestra co la de la varable aleatora que queremos cotrastar. Los pasos a segur para realzar el cotraste so: 1) Se ordea los valores de meor a mayor: x1 x... x Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 41

42 ) Se costruye la fucó de dstrbucó empírca teedo e cueta que sgue ua dstrbucó uforme dscreta co la probabldad 1/ de estar e la muestra. x<x1 1 x1 x<x x x<x3 F (x)... 1 x 1 x<x 1 x<x F(x) = Proporcó de observacoes e la muestra meores o guales que x, para todo x R 3) Se calcula el valor de la fucó de dstrbucó del modelo a cotrastar Fteórca e cada uo de los putos x de la muestra. 4) Estadístco D máx F (x) F(x) x Este estadístco calcula la dscrepaca máxma etre la fucó de dstrbucó empírca y la dstrbucó teórca propuesta por H. Para cada x calculamos D (x) máx F(x 1) F(x),F(x) F(x) y D(x) x máxd(x) D, represeta la medda de las dferecas etre la fucó de dstrbucó empírca obteda a partr de los datos de la muestra y los valores de F s H fuera certa. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 4

43 5) Fjado u vel de sgfcacó se calcula k e: PD k O be, el p-valor PD d Regó crítca = (k, ), luego dode d es el valor que toma D e la muestra. La dstrbucó de D cuado H es certa, es ua fucó que se ecuetra tabulada. S el estmador de la prueba es meor al valor buscado e la tabla se acepta H o hpótess ula, e caso cotraro se rechaza. 6) Rechazaremos H s el p-valor obtedo es meor que el vel de sgfcacó elegdo para realzar el test. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 43