Estadística descriptiva

Transcripción

1 Estadístca descrptva PARAMETROS Y ESTADISTICOS Marta Alper Profesora Adjuta de Estadístca alper@fcym.ulp.edu.ar

2 Meddas de tedeca cetral: Moda, Medaa, Meda artmétca, propedades, vetajas e coveetes, Meda geométrca. Meddas de dspersó: Rago, Rago tercuartlco, Varaza, Desvío estádar. Meddas de forma: asmetría y aputameto o curtoss. Ejemplo de cálculo co datos agrupados.

3 Estadístca descrptva: Descrpcó de los datos co estadístcos y parámetros Para ferr como es la poblacó ecestamos meddas rgurosamete defdas. Para descrbr las dstrbucoes se defe meddas o valores que da cueta de la: a. Tedeca cetral a. Dspersó o varabldad de los datos c. Forma Nuestro terés es descrbr la muestra y la poblacó. Cualquer medda referda a la: el tamaño de muestra lo represetaremos co, los de la poblacó co N. MUESTRA recbe el ombre de Estadístco o Estadístca y se desga co letras mayúsculas (, Y, W, co algú adoro). POBLACIÓN recbe el ombre de Parámetros y se desga co letras gregas (σ, ρ, ц, Ф, γ, etc.).

4 a.tedeca cetral. Moda. Medaa 3. Promedo o Meda Artmétca 4. Meda Geométrca

5 . Moda: la Moda ˆ de ua sere de datos es el valor que aparece co más frecueca que cualquer otro. Ejemplo: para el sguete cojuto de datos del largo del ala de marposas emperador (mm) A B C D E F G 6, 9,3 4,8 7, 5,5 5,5 5,5 Datos agrupados La moda se ecuetra e la clase de mayor frecueca, la clase modal. ˆ L.f.mod. C L.f.mod = límte feror de la clase modal, Δ = valor absoluto de la dfereca etre la frecueca de la clase premodal y modal Δ = valor absoluto de la dfereca etre la frecueca de la clase posmodal y modal C = ampltud del tervalo de la clase modal No. de datos moda Hstograma Cotedo de Lmo (g) Valor de la MODA Observacó: la moda es estable ya que puede cambar co el método de redodeo de los datos. E dstrbucoes que aumeta o dsmuye cotuamete y a rtmo costate, la moda podrá ser u valor extremo más que u valor de tedeca cetral. Puede haber dstrbucoes co modas (bmodales) o mas de (multmodales).

6 Medaa: La Medaa ~ de ua sere, cuado los valores se dspoe segú sus magtudes, es el valor medo. Es ua medda de poscó que dvde a ua sere dejado a su zquerda el 50% de los valores meores a él y a su derecha el 50% de los valores mayores a él. -Datos s agrupar. mpar, el valor cocde co el valor cetral. par, se ecuetra etre los dos valores cetrales. Ejemplo: para el sguete de datos del dámetro de cocrecoes del Valle de la Lua (mm): A B C D E 6, 9,3 4,8 7, 5,5 -Datos agrupados La clase medaa es la clase cuya frecueca acumulada supera prmero el valor de la mtad mas uo de los datos [(+)/] ~ L.f. med. / fme fap C Lme = límte feror de la clase medaa fap = frecueca acumulada e la clase que precede medatamete a la clase que tee a la medaa fme = frecueca de la clase que tee a la medaa C = ampltud del tervalo {4,8; 5,5; 6,; 7,; 9,3} Polígoo de frecueca acumulada (Ojva) Cotedo de lmo (g) Observacó: ua característca mportate de la medaa es que o se deja fluecar co la magtud de los valores de las colas de ua dstrbucó F(x) OJIVA Valor de la Medaa medaa

7 Promedo o Meda Artmétca: la meda artmétca,, para u cojuto de observacoes {x, x,..., x }, es gual a las suma de los valores dvddo el úmero total de valores (). La meda poblacoal se desga co μ. x x... x Ejemplo: para el sguete cojuto de datos de dámetro cefálco de cobayos (mm) x x A B C D E 6, 9,3 4,8 7, 5,5 6, 9,3 4,8 7, 5,5 5 6,6 mm Para datos agrupados Dscretos f a f: frecueca a: valor de la varable Cotuos f c f: frecueca del tervalo de clase c: marca de clase del tervalo

8 Propedades: º Es u valor típco, es el cetro de gravedad, es u puto de equlbro. Su valor puede susttur al valor de cada dato de la sere s cambar el total dado que: x x º La suma algebraca de las desvacoes co relacó a la meda es 0 x 0 3º La suma del cuadrado de las desvacoes de los datos respecto a la meda es meor que las desvacoes al cuadrado de cualquer otro puto. x mímo Observacó: ua característca mportate de la meda es su establdad. Por ejemplo co el agregado de datos extremos su valor camba sustacalmete.

9 Meda Geométrca: la meda geométrca, G, para u cojuto de observacoes {x, x,..., x }, es gual a la raíz -ésma del producto de las observacoes. G x x x Ejemplo: para el sguete cojuto de datos de leyes de Cu (ppm) A B C D E 6, 9,3 4,8 7, 5,5 G 5 5 6, 9,3 4,8 7, 5,5 0960,0 6,4 ppm Para datos agrupados f f G x x... x f Observacoes - G de u cojuto de úmeros postvos es sempre meor a la meda artmétca. - G es u mejor estmador de tedeca cetral cuado la dstrbucó de frecuecas es de asmetría a la derecha (ej. dstrbucó logormal). - Se utlza para calcular meddas de tedeca cetral de datos que se expresa como porcetajes, los llamados datos composcoales.

10 Relacoes etre Medaa, Moda, Meda E dstrbucoes smétrcas Meda = Medaa =Moda Dstrbucó co asmetría postva o cola a la derecha: Moda>Medaa>Meda Dstrbucó co asmetría egatva o de cola zquerda Meda>Medaa>Moda

11 . Ejemplo: el partdo de Bolvar se ubca e el cetro de la provca de Bueos Ares, e la Pampa húmeda. Pose releve lgeramete odulado co muy bueas codcoes físcas. Los suelos so aptos para ua ampla gama de usos como los cultvos de cereales y oleagosas, así como de pasturas mplatadas. La precptacó es ua varable muy mportate para establecer o solo el balace hdrológco de ua regó, so també para plafcar el uso del suelo. Se preseta la dstrbucó de la precptacó caída e Bolvar desde 9-00 durate el mes de ovembre agrupada e 5 clases Precptacó (mm) Marca de Clase (c ) Frecueca observada (f ) Frecueca acumulada Frecueca relatva % Frecueca relatva acumulada % ,58, ,56 59, ,96 87, ,60 95, ,30 00,0 45 PRECIPITACIONES DE NOVIEMBRE No. de observacoes Frecueca relatva acumulda % Precptacoes (mm) Precptacó (mm)

12 Estadístcos de tedeca cetral Precptacó (mm) Marca de Clase (c ) Frecueca observada (f ) Frecueca acumulada (f ac.) Suma c f Dstrbucó co asmetría postva o cola a la derecha: Moda> Medaa>Meda 80,95>88,4>97,74 c f Promedo (5 ) (75 4) (5 6) (75 8) (5 4) 865 c f , 74mm 93 Moda ˆ L.f.mod C ˆ , 95mm 3 8 Medaa Clase que cotee la moda: [50-00] L.f.mod: 50 Δ = - 34 = 3 C = 50 Δ = 6-34 = 8 ~ L.f. med. / fme (+)/= (93+)/ = 47 Clase que cotee a la medaa: [50-00] L.f.med. = 50 fme = 34 fap = C = 50 fap C ~ , 4 mm 34

13 b. Dspersó. Ampltud, rago o recorrdo. Rago tercuartlco 3. Varaza o varaca 4. Desvío estádar 5. Coefcete de varacó

14 Ampltud, rago ó recorrdo: El rago para u cojuto de observacoes {x, x,..., x }, es la dfereca etre el valor máxmo y el mímo. Ejemplo: largo (cm) de lombrces calforaas A B C D E 6, 9,3 4,8 7, 5,5 E este caso la ampltud es: A = 9,3-4,8 = 4,5 cm

15 Otras meddas de dspersó: Exste otros valores de la varable semejates a la Medaa que dvde a la poblacó y la muestra e 4 (cuartles), 0 (decles) y 00 (percetles). Defcó: El cuatl x α dvde a la muestra de datos e dos partes: el α% de los valores es meor que α y el ( α) de los valores es mayor que x α. % L.f. % ( %) N fap fm C L.f.α% : límte feror de la clase α% %: el total de observacoes que queda a la zquerda de α% Fap: frecueca acumulada e la clase que precede medatamete a la clase que tee al α% fm: frecueca de la clase que tee al α% C : ampltud del tervalo Rago ercuartlco Los cuartles so 3: 0,5 (prmer cuartl); 0,50 (segudo cuartl o medaa) y 0,75 (tercer cuartl). El rago tercuartlco RI es ua medda de dspersó basada e el recorrdo de los cuartles. RI = 0,75 0,5 Otros autores prefere usar el recorrdo basado e los percetles RI = 0,90 0,0

16 Varaza Podríamos pesar e expresar la varacó de los datos co respecto a la meda como el promedo de las dferecas etre cada dato a la meda. ( x ),( x ),...,( x ) x x x pero x x... x 0 Recordar la º propedad de la meda: el promedo de las desvacoes respecto a la Meda sempre es cero. Especme x x - A 9 4 B -3 C 7 D 5 0 E 4 - F 6 G 5 0 H -3 Suma 40 0 Promedo: 40/8=5

17 Varaza es el promedo del cuadrado de las desvacoes de los datos co respecto a la meda: Muestra Poblacó N x x... x S x x N Ejemplo: para la poblacó del úmero de dvduos de parástos ecotrados e el testo del Pgüo de Magallaes de Puta Tombo: Especme x x - (x - ) A B -3 9 C 7 4 D E 4 - F 6 G H -3 9 Suma N Cuado la S se usa para calcular σ, la 3º propedad de la meda tede a subestmar S. El sesgo se reduce cuado se usa ( -) lo que produce u estmador mayor de σ. Promedo: 40/8=5 Varaza: 40/8=5 La varaza se expresa e el cuadrado de las udades de la varable. Observacó: Los valores altos tee gra flueca e la varaza

18 Desvío estádar La desvío estádar de observacoes (x, x,..., x ), es la raíz cuadrada postva de la varaza: N x N ) ( x S ) ( para la Poblacó para la Muestra N f c S N N f c c: marca de tervalo de clase f: frecueca de tervalo de clase Datos agrupados Ejemplo: para la poblacó del úmero de dvduos de parástos ecotrados e el testo del Pgüo de Magallaes de Puta Tombo:,3 5 5 parastos

19 Coefcete de varacó Es ua medda que da cueta de la varabldad relatva de las observacoes. Se calcula como el cocete etre el desvío estádar y la meda. Para el ejemplo del úmero de parástos de los pgüos magallaes Promedo: 4 parástos y Desvío estádar:,3 parástos Coefcete de varacó: 0,5575 o 55,75% Observacoes: Para la poblacó: γ = σ/μ Para la muestra CV = S / Puede tomar valores postvos o egatvos. Carece de udades pero suele expresarse e forma porcetual. El coefcete de varacó refleja ua mezcla descoocda de la varabldad atural, la varabldad troducda durate el proceso de muestreo y de causas aleatoras. El coefcete de varacó es útl para comparar la varabldad etre varas muestras, au s las medcoes fuera realzadas e dferetes udades. Es ua medda que se utlza como guía para evaluar la coveeca de efectuar o o la trasformacoes de los datos.

20 Estadístcos de dspersó Precptacó (mm) Marca de Clase (c ) Frecueca observada (f ) c f c c f Suma Rago o Ampltud A:Valor máxmo Valor mímo A=50-0 = 50 mm Varaza c f c f (5.) (75.34) (5.6) (75.8) (5.4) 0585 s ( c ) f c f c f s , ,8mm Desvío estádar s c f c f s 806,80 5, 98mm Coefcete de varacó CV = S / CV 5,98mm 97,74mm 0,54 CV%=54%

21 c. Forma. Coefcete de Smetría. Curtoss Coefcete de smetría: Iforma s los datos está equlbrados e toro a la meda o s hay mas a la derecha o zquerda. Se defe como: S 3 3 CS dode: 3 x 3 Se puede demostrar que: CS < 0, la asmetría es egatva (a) CS > 0, la asmetría es postva (b) CS = 0 asmetría ula (smetría) (c)

22 Coefcete de Exceso E o de Kurtoss o Curtoss K mde el grado de achatameto de u hstograma co respecto al modelo teórco Normal. Se defe como: S 4 E 4 dode: x 4 4 Se puede demostrar que: E > 0, hstograma más putagudo que el Normal (a) E < 0, hstograma más achatado que el Normal (b) E = 0 hstograma s achatameto (c) a) Hstograma putagudo o b) Hstograma achatado o c) Hstograma ormal o leptocurtco platcurtco mesocurtco

23 Asmetría y Curtoss Ejemplos para dstrbucoes co la msma meda y el msmo úmero de datos Las fguras de la zquerda (a, c y e) tee bajo grado de asmetría. Las fguras de la derecha (b, d y f) so marcadamete asmétrcas, la Moda está desplazada respecto a la meda. Las dstrbucoes de cada fla tee curtoss semejates: a y b so las más pcudas o leptocurtcas, c y d so mesocurtcas,y e y f so las más aplastadas o platcurtcas

24 Estadístcos de forma 97,74 S= 5,98 Marca Precptacó de Clase (mm) (c ) Frecueca observada (f ) (x- ) 3 (x- ) 3 f (x- ) 4 (x- ) 4 f Suma Coefcete de Smetría CS ,3 S 3 = 48708, , 5 93 S 3 3 dode, 3 3 ( x ) 477,5 CS 0, ,53 Coefcete de Exceso o de Curtoss E 4 4 S dode, 4 4 ( x ) ,4 4 E, ,58 S 4 = , , 4 CS>0 la dstrbucó tee asmetría postva (cola derecha) E >0 la dstrbucó es mas putaguda que ua dstrbucó ormal

25 Agradezco su atecó