MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

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1 Capítulo 9 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Ua medda de tedeca cetral, es u resume estadístco que muestra el cetro de ua dstrbucó; es decr, por lo geeral, busca el cetro de esa dstrbucó. Exste dferetes tpos de resúmees estadístcos muestrales, llamados estadístcos o estadístcas que establece esta tedeca, tales como: meda artmétca, medaa, moda o modo, meda armóca, meda geométrca, etc. e este curso revsaremos las tres prmeras ya que so las más frecuetemete utlzadas. Ates de carte e el estudo de cada ua de ellas, es mportate aclarar prevamete, que la estmacó de estos estadístcos puede hacerse para seres smples y para datos agrupados, por lo que para cada uo ecotrarás dos fórmulas para su cálculo, stuacó que deberás teer presete para que o te cofudas. MEDIA ARITMÉTICA Es la expresó más utlzada para quees habla de u grupo de cosas o feómeos. Así frecuetemete escuchamos decr acerca del promedo de peso e u cojuto de amales, el promedo de edad e u grupo de persoas, el tempo promedo utlzado para realzar u procedmeto clíco, el promedo de bacteras presetes e u cetímetro cúbco, etc. Para estmar el valor promedo de u cojuto de datos, la prmera cosderacó que deberás hacer es: Se tee ua varable cuattatva? De o ser así, o se debe calcular la meda artmétca. La seguda preguta Se trata de ua sere de datos smples? o So datos que está agrupados? Be, ua sere smple es u cojuto de datos, de dode, alguos de ellos puede teer el msmo valor; por ejemplo, revsemos la sguete sere que cotee los datos del úmero de hjos reportados por 3 parejas: 1, 3, 5, 5, 4, 4, 3, 1, 3,, 5,,, 1, 6, 3,, 5, 4, 3, 0, 1, 4 Como puedes observar, está cludos úmeros que se repte y sólo teresa que se ecuetre coformado la sere.

2 118 Capítulo 9 Meddas de Tedeca Cetral Los datos agrupados como su ombre lo dca, está orgazados e clases preestablecdas y su tabulacó se establece e térmos de frecuecas por clase. Agrupemos los datos aterores e cuatro clases: clase frecueca Pero, Cuádo agrupar los datos? o Cuádo maejar seres smples?, estará e fucó báscamete del volume de datos que se procesará s so pocos datos, será más fácl y rápdo maejarlos como seres smples, pero s so muchos será meos complcado s los agrupamos. Veamos ahora cómo calcular la meda artmétca para seres smples: cosderamos que se estuda u grupo de 36 escolares de 11 a 13 años de edad, e los cuales se desea medr el úmero promedo de detes permaetes co expereca de cares. Los datos que se obtee so los sguetes: ño CPO-D ño CPO-D El prmer paso cosste e calcular la meda artmétca, para este f se utlza la sguete fórmula:

3 Fudametos de Estadístca para Odotología 119 De dode: 1 Meda artmétca 1 Sumatora de todos los datos Total de datos, úmero de observacoes realzadas o tamaño de muestra Susttuyedo e la fórmula se tee: Por lo tato, este dato se terpretará de la sguete forma: exste aproxmadamete e promedo cuatro detes co evdeca de cares e los escolares que coforma la muestra del estudo. Por qué se aproxma 3.5 a 4?, es muy secllo, recordarás que cuado estudaste varables se mecoaba que alguas so dscotuas, esto es, o se puede fraccoar. No podrías terpretar este dato como: exste e promedo 3.5 detes co algua expereca de cares, o se puede presetar medos órgaos detaros, por esa razó se aproxmó a 4. Ahora veamos el cálculo de la meda artmétca para datos agrupados, y para ello aprovecharemos el cuadro ateror y estableceremos cco clases de la sguete maera: clase frecueca Ua vez que tees las frecuecas por clase, para calcular la meda artmétca se aplca la sguete fórmula: dode: 1 f m f Meda artmétca Frecueca de clase

4 10 Capítulo 9 Meddas de Tedeca Cetral m Puto medo o cetro de clase o marca de clase Total de datos, úmero de observacoes realzadas o tamaño de muestra Para calcular la meda artmétca te recomedo que costruyas u cuadro como el sguete: clase frecueca (f ) puto medo ( f ) ( m ) de la clase (m ) Total Ahora be, s observas, co la últma columa se obtee la sumatora de la frecueca de clase por el puto medo, dato ecesaro e el umerador de la fórmula ateror, por lo que ya puedes hacer las susttucoes: La terpretacó de la meda artmétca calculada, es gual a la que se descrbó para la meda artmétca calculada para seres smples. Falmete eucaremos las desvetajas y las vetajas de la meda artmétca: VENTAJAS 1. Es el tpo de valor que más frecuetemete se usa y el que más fáclmete se comprede.. El mecasmo de su cálculo es relatvamete secllo, requrédose solamete los valores totales y el úmero de elemetos. DESVENTAJAS 1. La meda tee la desvetaja de que su valor puede ser dstorsoado por valores extremos muy grades o muy pequeños y por lo tato o aparecer como u valor típco (aproxmado a la realdad). Por ello es meos estable que la medaa.. Cuado se observe asmetría o dstrbucó sesgada, o es u valor cofable.

5 Fudametos de Estadístca para Odotología 11 E ua dstrbucó cada valor juega ua parte muy mportate e la determacó de la meda artmétca y u cambo e cualquera de ellos, mplca u cambo e la meda artmétca. Falmete debemos mecoar que la meda artmétca es u estadístco de eleccó prmara, s embargo, cuado al observar los valores que se tee hay alguo muy dferete a otros, debe preferrse la medaa. MEDIANA La medaa de u cojuto de datos es el valor del puto medo de la dstrbucó ordeada, la cual deja por debajo y por ecma de la dstrbucó el msmo úmero de térmos. Es decr, es el valor cetral que deja el 50% de los valores gual o debajo de él y la otra mtad o sea el 50% gual o por ecma del él. Como ya se mecoó e el capítulo ateror, la medaa es també llamada percetl 50. Cuado buscamos la medaa os teresa buscar este puto medo y por lo tato s el úmero de observacoes hechas es mpar, el valor obtedo por la medaa es exactamete el observado e el cetro de la dstrbucó, pero s el úmero de observacoes es par, e este caso el valor termedo correspode a los dos valores de la parte meda. Para ecotrar la poscó de la medaa, se puede averguar el úmero de datos, se le suma uo y se dvde etre dos. Poscó de la medaa 1 Be, desarrollemos u ejemplo, te parece?. Cosderemos que se quere medr cual es la tedeca de 1 obreros e la frecueca, e meses que deja trascurrr, para acudr a exame odotológco, los datos obtedos so: 3,, 7, 4, 9, 15, 15, 14, 13, 1, 4, 5, 7, 9, 7, 11, 8, 9, 6, 5, 10 Para calcular la medaa e seres smples, el prmer paso cosste e ordear los datos de meor a mayor, dada la sere de datos del ejemplo que estamos desarrollado, quedaría de la sguete forma:, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 1, 13, 14, 15, 15 Susttuyedo e la fórmula ateror se ecuetra la poscó de la medaa e esta sere. 11 Poscó de la medaa 11

6 1 Capítulo 9 Meddas de Tedeca Cetral Esta cfra lo que os represeta es que el dato 11 (décmo prmer dato) es la poscó de la medaa, por lo tato, observado la sere de datos de la sere ya ordeada, puedes ver que el valor del dato úmero 11 represetado por el 8, este es el valor de la medaa y se terpreta de la sguete maera: 50% de los obreros e estudo acude a cosulta odotológca co ua frecueca de cada ocho meses. Parece que o exste problema para el cálculo de la medaa es muy secllo, s embargo, cuado la sere es par, el cálculo del valor del dato cetral dfere u poco. Para mayor compresó desarrollaremos el msmo ejemplo, cosderado solamete 0 datos, esto es, elmaremos el últmo dato de la sere ateror, la cual quedará de la sguete maera:, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 1, 13, 14, 15 Ahora se calcula cuál es el dato cetral aplcado la msma fórmula: Poscó de la medaa E este caso el valor que se ecuetra e esta poscó es el valor termedo etre los datos 10 y 11, lo que se hace e este caso es buscar el valor del dato 10 y el valor del dato 11, se suma y el resultado se dvde etre. Para uestro ejemplo teemos que el valor de los datos 10 y 11 so 7 y 8, cuya suma es gual a 15 que dvdda etre dos es gual a 7.5 y este es el valor de la medaa. Su terpretacó será: 50% de los obreros e estudo acude a cosulta odotológca co ua frecueca de cada sete meses y medo. Cuado se desea buscar la medaa e datos agrupados deberás teer e cueta que la poscó esta dada por / y o por ( + 1) /. Ahora veamos cómo puedes calcular la medaa para datos agrupados a través del sguete ejemplo: se quere coocer cuál es el comportameto cetral e ua dstrbucó ormal del ídce CPO que mde la expereca de cares e detes permaetes, e u grupo de 176 escolares de 7 a 1 años de edad, ecotrádose la sguete formacó.

7 Fudametos de Estadístca para Odotología 13 clase froteras frecueca Frecueca acumulada * * Clase que cotee a la medaa TOTAL 176 Md L F f a ( ) De dode: Md medaa. es el tamaño de la muestra o úmero de observacoes realzadas. L es la frotera feror de la clase que cotee a la medaa. F a es la frecueca acumulada de la clase ateror a la que cotee la medaa. f es la frecueca absoluta de la clase que cotee a la medaa. es la ampltud de clase. Ahora desarrollaremos paso a paso para buscar los valores y susttur e la fórmula. Prmero, cómo se determa cuál es la clase que cotee a la medaa?. Se cosdera el úmero total de datos, que para el ejemplo que estamos desarrollado es de 176 datos. Para establecer e cuál tervalo está la medaa, 176 se dvde etre lo que da como resultado 88, este dato se ecuetra e el tercer tervalo ya que la frecueca acumulada de esta clase es 110, que cluye el 88. Ahora ya puedes determar el valor de L, éste represeta la frotera feror del tervalo de la clase que cotee a la medaa. E el ejemplo la frotera feror del tervalo que cotee a la medaa es 5.5 y la frotera superor es 8.5, por lo tato, el valor que estamos buscado para susttur e la fórmula es 5.5. (L = 5.5). El tamaño de la muestra, es el úmero total de datos que e este caso se obtedrá de sumar las frecuecas, esto es 176 datos. El sguete dato que debes calcular es la frecueca acumulada del tervalo ateror al que cotee la medaa que es 61.

8 14 Capítulo 9 Meddas de Tedeca Cetral La frecueca del tervalo que cotee la medaa se obtee de maera drecta, observado cuál es la frecueca que dca el tervalo, e este caso 49 (f = 49). Por últmo, se establece el tamaño del tervalo que cotee a la medaa, cosderado que es de 6-8, el tamaño es de 3, porque e este tervalo queda cludos los valores de 6,7 y 8 ( = 3), el cual també se puede obteer restado la frotera superor meos la frotera feror. Ahora ya podrás susttur estos valores e la fórmula: Md (3) Por lo tato, el valor de la medaa es de 7.15 y se terpreta de la sguete maera: e el grupo de escolares de 7 a 1 años e estudo, 50% tee ua tedeca a presetar aproxmadamete 7 órgaos detaros permaetes co algua expereca de cares. La medaa es u estadístco que o se utlza ta frecuetemete como la meda artmétca, ya que para calcularla requere del ordeameto de ua sere de datos. A dfereca de la meda artmétca, la medaa o puede ser tratada algebracamete; s embargo, e progresoes artmétcas, geométrcas y armócas, la meda artmétca y la medaa so smlares. Falmete, la suma de las desvacoes estádar co respecto a la medaa es la meor s se prescde del sgo y e seres poco smétrcas es el estadístco de seleccó ya que su valor es deal. VENTAJAS 1. No se ve afectada por valores extremos. Se usa e seres abertas y aquellas e las cuales uo de los valores se aleja demasado del promedo. DESVENTAJAS 1. E datos agrupados, su cálculo es u poco meos secllo que para la meda artmétca.. Su cálculo exge ordear la sere de datos y por lo tato es más laboroso. 3. El error estádar es mayor que e la meda artmétca.

9 Fudametos de Estadístca para Odotología 15 MODA O MODO La moda es el valor que ocurre co mayor frecueca, esto es, s se dce que la moda del úmero de hjos por famla es de 4, esto represeta que exste ua mayor catdad de famlas co cuatro hjos que co cualquer otro tamaño. La moda es mucho más fácl de obteer cuado se trata de datos dscretos que de datos cotuos. Así msmo, puede ocurrr que e ua sere determada, exsta dos o más modas (dstrbucoes bmodales, trmodales, etc.), o be que o exsta moda. La moda o modo a pesar de que o es cofable para aálss estadístco es utlzado sobre todo e los casos que se quere determar certa tedeca de datos cualtatvos, por ejemplo: estado de hgee bucal, caldad de cepllado detal, tpo y magtud de la flamacó ggval, etc. El procedmeto de estmacó de este valor es sumamete secllo, bastará que observes cuál es el dato que se repte el mayor úmero de veces, para establecer que ésa es la moda o modo. Por ejemplo: se estuda el estado de hgee bucal e 19 mujeres gestates y los datos se obtee so los sguetes: gestate hgee bucal gestate hgee bucal 01 buea 11 buea 0 buea 1 regular 03 defcete 13 buea 04 regular 14 buea 05 defcete 15 regular 06 buea 16 defcete 07 buea 17 defcete 08 regular 18 defcete 09 buea 19 buea 10 regular Co esta formacó establezcamos la moda. Como se mecoó aterormete, bastará co observar cuál es el dato que se repte u mayor úmero de veces. E uestro ejemplo, la codcó de buea hgee bucal se repte ueve veces, la hgee regular cco veces y la defcete cco veces, por lo tato, la moda de las codcoes de hgee bucal que predoma e este grupo de mujeres gestates es buea. Muy secllo, verdad?. E seres agrupadas, el cálculo de la moda e dstrbucoes de frecueca se dfculta u poco, ya que s varas persoas efectúa la dstrbucó de

10 16 Capítulo 9 Meddas de Tedeca Cetral frecueca de cada ua de ellas, puede hacer ua dstrbucó de frecueca dferete y por lo tato el valor modal varía. Es por esta razó que te sugero que cuado desees ecotrar el valor modal de ua frecueca, utlces la sguete fórmula: M o L 1 1 ( ) De dode: M o L 1 moda es la frotera feror de la clase modal o clase co la frecueca más alta frecueca más alta meos la frecueca ateror frecueca más alta meos la frecueca posteror es la ampltud de clase. Muy be, desarrollemos u ejemplo para que apredas a calcularla: Se lleva a cabo u estudo comutaro, e el cual se aplca ua ecuesta para coocer el vel de gresos de la poblacó, y así ajustar el costo de la cosulta estomatológca a la realdad ecoómca de la comudad. Los resultados de dcha ecuesta se preseta e el sguete cuadro: Cuadro 9.1 Dstrbucó de gresos mesuales por famla barro Sa. Pablo, ochmlco, clase * froteras frecueca ** * E pesos ** Número de Famlas Prmero debemos determar a la clase modal. Esto es, a la clase que tega la frecueca más alta, para este ejemplo es el tervalo de , ya que su frecueca es de 68. Ahora se debe estmar los valores de: L 1 es la frotera feror de la clase modal o clase co la frecueca más alta, para este ejemplo es frecueca más alta meos la frecueca ateror, esto es, 68 meos 65 gual a 3. frecueca más alta meos la frecueca posteror, esto es, 68 meos 5 gual a 43.

11 Fudametos de Estadístca para Odotología 17 es la ampltud de clase, que para este ejemplo es 00. Ahora susttuyamos e la fórmula descrta aterormete: 3 Mo (00) Por lo tato, la moda e cuato a greso mesual famlar para esta comudad es de pesos. VENTAJAS 1. Es el más descrptvo de la sere.. Es depedete de los valores extremos. 3. Cuado el úmero de datos es pequeño, es fácl de obteer s cálculos. DESVENTAJAS 1. Su valor es sólo aproxmado y poco cofable.. Puede o exstr e ua sere. 3. Se puede teer alguas dfcultades para su cálculo e datos agrupados. Cuadro Resume Meda Artmétca para seres smples Meda artmétca para datos agrupados Medaa para datos agrupados Moda para datos agrupados 1 f m 1 Fa Md L ( ) f 1 M o L ( ) 1