Diseño Estadístico y Herramientas para la Calidad

Transcripción

1 Dseño Estadístco y Herrametas para la Caldad Expostor: Dr. Jua José Flores Romero juaf@umch.mx M. e Caldad Total y Compettvdad

2 . Defcoes

3 Defcó la rama de las matemátcas que trata de los datos: su complacó, aálss e terpretacó ceca que srve para la recoplacó orgazacó, y aálss de datos

4 Aplcacoes Presetar e forma ordeada y resumda la formacó regstrada e ua ecuesta, etrevsta, cuestoaro, etc. Proostcar el comportameto futuro cualquer proceso. Establecmeto de los sstemas de cotrol de caldad, e cualquera de los regloes de la ecoomía acoal. Proostcar el cosumo de la eergía eléctrca para el año 2050, tomado como base el crecmeto poblacoal. Establecer relacoes de comportameto del recurso forestal maderable de ua regó específca y a partr de ésta formacó, geerar polítcas de explotacó, e fucó de uso de recurso.

5 Estadístca Descrptva: recoplacó, orgazacó, resume y presetacó de los datos umércos obtedos de la observacó de u feómeo (es ua fotografía del expermeto bajo las codcoes y tempo que se da e le mometo del aálss). Iferecal: obteer coclusoes probables sobre el comportameto geeral del feómeo; aálss pleo de los datos para poder ferr sobre los msmos qué pasa s? El objetvo de la Estadístca es hacer ferecas (predccoes, decsoes) acerca de ua poblacó.

6 Problema Estadístco Defcó clara del objetvo del expermeto y de la poblacó a aalzar. El dseño del expermeto o procedmeto de muestreo. La recoleccó y aálss de datos. Procedmeto para hacer referecas acerca de la poblacó, basado e la formacó muestral. La Provsó de ua medda de bodad (cofabldad) para la fereca.

7 Coceptos Báscos Recoplacó: captacó de datos de u expermeto estadístco que permte explcar el comportameto de u feómeo determado. Expermeto: se le deoma expermeto, a cualquer proceso de observacó. Debe ser repetble. Poblacó (N): cojuto de objetos (elemetos o dvduos) que tee e comú ua o varas característcas partculares que se desea estudar. Puede ser fta o fta. Muestra (): subcojuto de la poblacó. Debe ser represetatva.

8 Tpos de Muestreo Aleatoro: cosste e formar ua lsta de todos los elemetos de la poblacó, eumerarlos y hacer la seleccó medate la geeracó de úmeros aleatoros co ua dstrbucó uforme. Sstemátco: se elabora ua lsta co los elemetos de la poblacó. Se recorre la lsta y se va seleccoado cada k- ésmo elemeto, cado aleatoramete co uo de los prmeros k. Estratfcado: la poblacó se dvde e clases o estratos para hacer posterormete ua seleccó, que puede ser aleatora o sstemátca detro de cada estrato. Por coglomerados: se defe grupos de elemetos. Se aplca cuado la poblacó es homogéea y exste grupos ya defdos.

9 2. Dstrbucó de Frecuecas de ua Muestra

10 Tabulacó de Datos Ordearlos para maejarlos mas fáclmete. Datos o agrupados. Ejemplo: 80 pezas de madera (logtud cm)

11 Datos ordeados

12 Agrupameto por Frecuecas Ejemplo: Dámetro de 28 árboles (cm). MEDICION ( X ) FRECUENCIA ( f )

13 Agrupameto por Frecuecas Ejemplo: Dámetro de 28 árboles (cm). f x

14 Prmeras Meddas Rago de la muestra (R): dfereca etre el mayor y el meor. Frecueca (f): úmero de veces que aparece u valor determado

15 Agrupameto Número grade de datos Se agrupa e clases Cada clase cubre u tervalo Todos los tervalos cubre el uverso de la muestra Los tervalos o se tersecta Clases del msmo tamaño Excepcoes: Agrupameto por edades

16 Itervalos de Clase "El úmero de tervalos que se puede establecer depede de la catdad de datos que cotee la muestra (tamaño de la muestra) y de la dspersó o varacó de los msmos." Para aálss estadístco es recomedable establecer etre 5 y 25 tervalos de clase, tratado que o quede tervalos vacíos detro del rago de valores. Itervalos de Clase Abertos: Las persoas mayores de 65 años.

17 Itervalos de Clase Regla de Sturges K log() Dode K es el úmero de tervalos de clase y es el tamaño de la muestra Ampltud del tervalo de clase R I c K

18 Itervalos de Clase Itervalos de Clase Límtes de Itervalo Marcas de Clase MC Frecueca f Frecueca Relatva f Frecueca Relatva Acum. F

19 Itervalos de Clase Logtud de Clase IC LSC - LIC Marca de Clase MC LSC + LIC 2

20 Itervalos de Clase Frecueca del Itervalo (f) Número de elemetos e u tervalo m f Frecueca Relatva f f N a

21 Itervalos de Clase Frecueca Relatva Acumulada F j f j Frecueca acumulada Itervalos de clase

22 Dstrbucoes Empírcas Por la ley de los grades úmeros, la frecueca relatva de cada tervalo de clase se puede cosderar como ua aproxmacó de la probabldad de que la varable aleatora tome u valor detro del tervalo de clase. El polígoo de frecuecas se puede cosderar como ua aproxmacó de la fucó de desdad de probabldad.

23 Ejemplo E u bosque del Estado de Mchoacá de Pus leophylla, para su aálss slvícola y de aprovechameto se ha tomado ua muestra de 80 árboles, de los cuales se determó la edad medate las téccas de Pressler. Se desea establecer ua polítca de aprovechameto dustral co la faldad de que la empresa maderera W determe las posbldades reales de utldad de acuerdo co los volúmees susceptbles de explotar e cada rago damétrco.

24 Ejemplo Dámteros e cm

25 Ejemplo k log(80) 7.28 k 7.0 R Vs V I c R k I c clases co ua ampltud de 0 años

26 Ejemplo K INTERVALOS DE CLASE FRECUENCIA VAL. MEDIO DE CLASE FRECUENCIA RELATIVA % DE MUESTRA TOTALES

27 Ejemplo Hstograma de Frecuecas

28 Ejemplo Polígoo de Frecuecas Frecueca (f) Marca de clase

29 Ejercco La tabla sguete muestra la duracó e años de servco de 37 empleados de ua certa compañía. Solo se cluyero empleados co 0 o mas años de servco. A partr de esos datos costrur: a) la dstrbucó de frecuecas, b) la dstrbucó acumulada de frecuecas, c) la dstrbucó de frecuecas relatvas, d) la dstrbucó de frecuecas relatvas acumuladas, e) u hstograma, f) ua ojva, o curva de dstrbucó acumulada de frecuecas

30 3. Meddas de Tedeca Cetral

31 Notacó Sumatora j,2,..., j X j 3 2 j j X... X X X X Y X... Y X Y X X Y Y X

32 Notacó Sumatora Costates: NC C N 3 2 AY... AY AY AY AY Y A ) Y... Y Y A(Y

33 Meddas de Tedeca Cetral Meda Artmétca Meda Geométrca Meda Armóca Medaa Moda Co estas meddas se busca u valor que pueda represetar a toda la muestra.

34 Meda Artmétca També coocda como promedo X... X X X X X X X X

35 Meda Artmétca Meda de la muestra (Estadístco) Meda de la Poblacó (Parámetro) Porqué ecestamos la meda de la muestra y o la de la poblacó? X X X X N N μ

36 Meda Artmétca Demostrar que (X X) 0 La meda es el puto de balace de ua sere.

37 Ejemplo E 0 muestras de Pus Douglasaa, se mdó la ressteca perpedcular a la fbra, dado los sguetes resultados: 30, 350, 40, 500, 600, 90.5, 50.5, 30.3, 70.4, 300 (kg./cm ), se desea calcular su valor medo de ressteca perpedcular a la fbra. 0 X X Kg/cm 2

38 Meda Artmétca Poderada Cuado dferetes datos tee dferete vel de mportaca (peso) W... W W W W X... W X W X W X W W X X

39 Meda Artmétca Poderada Ejemplo: S el profesor que mparte la cátedra de Cotabldad I, valora el exame fal del curso e fucó de complejdad como 3 veces el valor de los exámees parcales y u estudate tee ua calfcacó de exame fal de 85 y calfcacoes de exámees parcales de 70 y 80, su calfcacó fal estará dada como: X 70 W.0 X2 80 W2.0 X3 85 W3 3.0

40 Meda Artmétca Poderada X 70 W.0 X2 80 W2.0 X3 85 W3 3.0 X 70( ) + 80( ) + 85( ) W X W 8

41 Meda Artmétca para Datos Agrupados Cada dato X tee ua frecueca f. Es decr, X se repte f veces. X+X+ +X f X La suma de todos los datos es la suma de todas las frecuecas X f X f f x f f f x

42 Meda Artmétca para Datos Agrupados Itervalos de Clase Frec. f Marca de Clase X f X I TOTALES X f X f 76.53

43 Meda Geométrca Para datos smples G X,X,X 2 3,...,X Para datos agrupados c f c G ( X ) f

44 Meda Geométrca Ejemplo: X f 2 La meda geométrca estaría dada por: G (5) *(6) *(7) *(8) 5 2 G 6.39

45 Meda Armóca Se utlza para datos que so el producto de relacoes versas H X X

46 Meda Armóca ejemplo: u agete vajero recorre e su vehículo 3 km. cosecutvos, e los cuales lleva ua velocdad de 35 km/h, 48 km/h y 40 km/h, respectvamete. Cuál es la velocdad promedo? T D/V T km/35 (km/h) /35 h T2 km/48 (km/h) /48 h T3 km/40 (km/h) /40 h H Tt /35 + /48 + / X X Vpromedo 3 km/ h km/h

47 Raíz Cuadrátca Meda (RMS) La raíz cuadrátca meda de ua sere de datos (X, X2, X3,..., X), expresa la raíz cuadrada de la meda artmétca RMS X

48 Medaa La medaa de u cojuto de resultados de u expermeto está dada como la observacó cetral cuado so ordeadas segú su magtud (ordeacó de datos de decrecete a crecete). Ejemplo para par. (2, 22, 3, 34, 3, 22, 7, 26) Ordeameto ascedete (7, 2, 22, 22, 26, 3, 3, 34) Los valores cetrales so (22, 26) Medaa ( )/2 24 Ejemplo para mpar (2, 22, 3, 3, 22, 7, 26) Ordeameto ascedete (7, 2, 22, 22, 26, 3, 3) El valor cetral es 22 medaa 22

49 Medaa Cuado la muestra aalzada es grade y sus elemetos se ecuetra agrupados, la medaa puede obteerse determado prmero el tervalo que cotee a la medaa, el cual se dstgue porque es el que tee la frecueca relatva acumulada mayor y /o gual a 0.5 y posterormete, medate ua terpolacó leal se ecuetra el valor de la (Me) que correspode a la frecueca relatva acumulada de 0.5.

50 Medaa de Datos Agrupados Itervalos de Clase f f F F I TOTALES

51 Medaa de Datos Agrupados f h 0.5.f k f k- L Me x

52 Medaa de Datos Agrupados Y Yo + m (X - Xo) Y 0.5 Y0 F k f k m h X Me Xo L f k 0.5 F k + (Me L ) h h M L + (0.5 F ) e k f k Me 5 + /0.55 ( ) Me 5.25

53 Moda Valor de las observacoes que se preseta co más frecueca. Al gual que la medaa, la moda se ve meos afectada por los valores extremos que la meda. Ua muestra puede teer dos o más modas, e cuyo caso se dce que es bmodal o multmodal. Cuado todos los elemetos de la muestra so dferetes todos los elemetos so la moda o o exste. Para muestras pequeñas por speccó. Para muestras grades, co datos agrupados, aproxmar co la marca de clase del tervalo modal.

54 Moda Mejorar la aproxmacó, ajustar el hstograma a ua curva y estmar el valor de frecueca mas alto.

55 Moda de Datos Agrupados Ua mejor aproxmacó que la marca de clase del tervalo modal: M0 L + h f f + + f +

56 Moda de Datos Agrupados Itervalos de Clase f f F F I TOTALES M0 L + h f f + + f + Mo [ 20/(20+5)] 76.24

57 Sesgo y Asmetría Moda: Puto más alto de la curva. Medaa: Dvde el área bajo la curva e dos partes guales. Meda: Pasa por el cetrode del área La curva es sesgada (asmétrca) haca la derecha; cuado la medaa se ecuetra a la derecha de la moda (sesgada postvamete). Para fucoes de dstrbucó que tee cúspdes muy agudas la medaa es ua medda de tedeca cetral muy útl, ya que es el valor que dvde la fucó exactamete a la mtad.

58 Ejercco Para la sguete muestra,,2,5,2,2,8 Calcular: Meda Artmétca Moda Medaa Meda Geométrca Meda Armóca RMS Dbujar el hstograma de frecuecas Determar el puto de balace y demostrar que la suma de mometos es cero.

59 Ejercco Para la tabla de dstrbucó de frecuecas sguete: Calcular Meda Artmétca Meda Geométrca Moda Medaa Grafcar su hstograma de frecuecas y la ojva de frecuecas relatvas acumuladas. Itervalo de clase Frecueca Total 00

60 Escalametos y traslacoes Para smplfcar operacoes covee realzar trasformacoes (escalametos y traslacoes) Seleccoar u valor de traslacó (x 0 ) y uo de escalameto (w) Aplcar la sguete fórmula u (x x 0 ) / w

61 Escalametos y traslacoes Calcular los estadístcos para la muestra modfcada Regresar al domo orgal medate la sguetes fórmulas: x u w + x 0 s 2 s 2 u w2 Ejercco: Calcular los estadístcos estudados, medate escalameto y traslacó, para la muestra sguete: {7, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62}

62 Normalzacó de Datos U caso especal de trasformacó es el de ormalzacó de datos Se realza u trasformacó de la muestra de maera que: _ x 0 x w s

63 Percetles Parámetros de localzacó Dado u cojuto de observacoes X, X 2,, X, el p-ésmo percetl P p es el valor de X tal que el p% de las observacoes so meores que P p y (00-p)% so mayores que P p.

64 Percetles - Ejemplo P (60-58)/6 * Edad Frec. Frec. Acum Total 00

65 4. Meddas de Dspersó

66 Meddas de Dspersó Expresa el grado e que los datos umércos tede a extederse o alejarse respecto a u valor medo Varaza Desvacó Estádar Coefcete de Varacó Sesgo Curtoss

67 Varaza Poblacó formada por observacoes, X, cuya meda es X. _ Desvacó co respecto a la meda (X - X ) Cual es la suma de las desvacoes co respecto a la meda? (X X ) 0

68 Varaza La desvacó cuadrátca meda recbe el ombre de varaza Se defe como: Para el caso de datos agrupados: S m 2 2 (X X ) 2 S 2 x f (X f X ) 2

69 Varaza Para ua muestra S 2 x (X X ) 2

70 Desvacó Estádar Poblacó σ ( X N μ) 2 Muestra S (X - X ) 2 Agrupados S f (X f X ) 2

71 Coefcete de Varacó Expresa la dspersó e forma porcetual S C.V. ( 00 X )

72 Meddas de Forma Asmetría o Sesgo Ua dstrbucó de frecuecas es smétrca s el tercer mometo de la muestra co respecto a la meda es gual a cero (m3 0) S ua dstrbucó de frecuecas es smétrca, la meda, la medaa y la moda cocde e el msmo puto S o es smétrca, los estadístcos ctados so dferetes. Asmetría Postva, m3 > 0 Asmetría Negatva, m3 < 0

73 Meddas de Forma

74 Mometos Prmer Mometo m (X X ) X Tercer Mometo m 3 3 (X X ) X 3 Segudo Mometo m (X S X ) Cuarto Mometo m 4 4 (X X ) X 4

75 Mometos Para datos agrupados m r f (X f X ) r

76 Asmetría Asmetría o Sesgo g m 3 ( m ) 3 2 Coefcete de Pearso C.P. Mo Moda X Sx Desvacó Estádar S M x o

77 Curtoss Aputameto o Pcudez g m m ( 2 ) 3

78 Curtoss Mesocúrtca g 2 [(m 4 /m 22 ) -3] 0 Leptocúrtca g 2 > 0 Platcúrtca g 2 < 0

79 Ejemplo: Datos Smples CHOCOLATE MEDIDA (cm) X X (X X) (X X) (X X) S / m / g /

80 Ejemplo: Datos Agrupados LIMITE DE CLASE FRECUENCIA MARCA DE CLASE (5.5) + 5(57.5) + 24(63.5) + 33(69.5) + 22(75.5) 00 X 66.5 X CLASES f X 2 (X X) f(x X) f(x X) X S 2 ( 4860/00) 48.6 m / g /