Introducción a la Transformada Wavelet DESCOMPOSICIÓN DE SEÑALES

Transcripción

1 Itroduccó a la Trasformada Wavelet DESCOMPOSICIÓN DE SEÑALES

2 Trasformada Wavelet Curso 006 Itroduccó Para ua mejor compresó de los capítulos sguetes desarrollaremos aquí alguos coceptos matemátcos ecesaros para uestro trabajo Se defrá los coceptos de Espaco de Hlbert, Ortogoaldad y Bases Ortogoales, además de realzar ua breve descrpcó del Aálss de Fourer, sus usos y aplcacoes así como també sus lmtacoes Geeraldades Por razoes de clardad comezaremos defedo el espaco métrco sobre el que vamos a trabajar: el espaco L [,+ ] de Hlbert Espacos de Hlbert El espaco H de Hlbert es u espaco vectoral cuyos elemetos perteece al plao complejo C [4] Sea H el cojuto de elemetos del espaco H Los vectores complejos de este cojuto puede ser sumados co las reglas usuales de la artmétca de vectores (propedad adtva) y multplcados por escalares (úmeros complejos) El espaco H está dotado de ua métrca y de u producto tero Cosderaremos e partcular el espaco H formado por fucoes vectorales f S f y g so fucoes del cojuto H de H, el producto tero para este cojuto de fucoes es u escalar defdo por + < f, g > f *( x) g( x) dx, dode ( x) () f * es el complejo cojugado de f(x) [5] El producto escalar o tero de la fucó f co sí msma es u úmero real o egatvo E partcular, s la fucó f C, etoces satsface la codcó: + f ( t) dt <, este espaco métrco recbe el ombre de Espaco de Hlbert L [,+ ] () Ortogoaldad Bases Ortoormales Se dce que dos vectores x e y so ortogoales e u Espaco Hlbert H s su producto tero es cero: < x,y > 0

3 Trasformada Wavelet Curso Se le llama cojuto ortogoal a aquel cojuto de vectores e el cual cualquer par de sus elemetos es ortogoal Además, este cojuto es ortoormal s la orma de los vectores es gual a uo: x < x, x > També se defe a la base ortoormal de H como u cojuto ortoormal maxmal e H s cualquer vector e H puede ser represetado como el límte de las combacoes leales de los elemetos de ua base ortoormal [5] Aálss de Fourer E 807, Jea B Fourer demostró que ua fucó podía ser desarrollada e térmos de seres trgoométrcas, y que se podía obteer, por tegracó, fórmulas para los coefcetes del desarrollo Para compreder mejor esto daremos alguas defcoes prevas Fucoes peródcas Dado que los térmos de las seres trgoométrcas so peródcos es lógco deducr que las fucoes que se va a desarrollar medate dchas seres debe ser també peródcas Se dce que ua fucó f(x) tee u período P o es peródca co u período P s para todo x, f(x+p) f(x), dode P es ua costate postva El meor valor de P > 0 se llama el período mímo o período de f(x) [6] Coefcetes y Seres de Fourer Los desarrollos e Seres de Fourer, Ec (5), tee dos aplcacoes fudametales: (a) represetar ua fucó f(x) defda e el tervalo ( c, c), para valores de x e ese tervalo, o (b) represetar ua fucó peródca co período c para todos los valores de x La fucó f(x) puede ser proyectada e ua base ortoormal de fucoes {φ (x)}, de la sguete forma: f(x) c φ (x) + c φ (x) + + c φ (x) + ( c < x < c),, (3) Se espera que el desarrollo de f(x) coverja a la fucó f(x) [7]

4 Trasformada Wavelet Curso Se puede demostrar que los coefcetes c de la suma so los coefcetes de Fourer de f(x) co respecto a la base ortoormal {φ (x)} [7] Estos coefcetes puede expresarse como: c * c f ( x) φ ( x) dx c sedo φ* el complejo cojugado de φ,, (4) La sere de la Ec (3) co estos coefcetes es la Sere de Fourer geérca correspodete a la fucó f(x), y se defe como: f ( x) cφ ( x ) (5) S f(x) está defda e el tervalo (0,π) y determada fuera de ese tervalo por f(x+π) f(x), esto es, f(x) tee período π, la sere de Fourer que correspode a f(x) sobre la base ortogoal de seos y coseos se defe como: a0 f ( x) + ( a cosx + bse x), dode los coefcetes de Fourer a y b se defe como: (6) a b π π π π 0 0 f ( x)cos x f ( x)se x dx dx, co,, (7) Puede observarse que los coefcetes de Fourer de la fucó trasformada represeta la cotrbucó de cada fucó seo y coseo para cada frecueca [6] Usado la detdad de Euler: e x cos x + se x podemos escrbr la sere de Fourer de f(x) como combacó leal de fucoes expoecales complejas: ( ) + f x c e x, (8) dode las fucoes x e e ( x ) costtuye u cojuto ortoormal [5] π Los coefcetes de Fourer de f(x), respecto de esta base, puede expresarse como: π c π 0 f ( x)e x dx (9)

5 Trasformada Wavelet Curso Es evdete que la Sere de Fourer, Ec (5), o puede represetar ua fucó para todos los valores de x s la fucó o es peródca [] 3 Trasformada de Fourer Para obteer ua represetacó que pueda ser válda para todos los valores de x cuado f(x) o es peródca, es atural tetar exteder la represetacó ateror dejado que c teda a fto, lo que da lugar a la Trasformada de Fourer [7] La Trasformada de Fourer de ua fucó o peródca f(x) está defda por + x f ( x) e, π F( ) dx (0) dode es ua varable real cotua La fucó puede ser recostruda a partr de sus compoetes de Fourer, por medo de la trasformada versa de Fourer: + x f ( x) F( ) e d π La Trasformada de Fourer e L [,+ ] satsface las sguetes propedades: Es ua trasformacó de Fourer uo-a-uo de L [,+ ] e sí msmo Preserva la orma, () + + f ( x) dx F( ) d _ () Preserva el producto tero, + + f ( x) g *( x) dx F( ) G *( ) d _ (3)

6 Trasformada Wavelet Curso Lmtacoes del Aálss de Fourer La Trasformada de Fourer es amplamete utlzada e el procesameto y aálss de señales y co resultados satsfactoros e los casos e que estas señales so peródcas y lo sufcetemete regulares, pero o ocurre lo msmo para el aálss de señales cuyo espectro varía co el tempo (señales o estacoaras) Tomado el caso e el que la fucó f a descompoer es ua señal depedete del tempo, puede decrse que las fucoes de la base de Fourer so de duracó fta e el tempo, pero locales e frecueca La Trasformada de Fourer detecta la preseca de ua determada frecueca pero o brda formacó acerca de la evolucó e el tempo de las característcas espectrales de la señal Muchos aspectos temporales de la señal, tales como el comezo y el f de ua señal fta y el state de aparcó de ua sgulardad e ua señal trastora, o puede ser aalzados adecuadamete por el aálss de Fourer Para los casos de señales o estacoaras y trastoras se utlza geeralmete la Trasformada de Fourer co Vetaa 5 Trasformada de Fourer co Vetaa Ua forma de aalzar ua señal o estacoara es realzar u aálss espectral depedete del tempo Ua señal estacoara es dvdda e ua secueca de segmetos de tempo e los cuales la señal puede ser cosderada como cuas estacoara y la Trasformada de Fourer es aplcada a cada segmeto local de la señal Gabor, e 940, fue el prmero e troducr la Trasformada de Fourer de tempo corto, coocda como la Trasformada de Fourer co Vetaa Deslzate, defda como: S f ( ω, τ ) f ( t) g *( t τ )exp( ωt) dt (4) dode g(t) es ua vetaa deslzate, la cual tee u acho fjo y camba a lo largo del eje x por u factor τ [8] Así, propuso a la fucó Gausaa como la fucó vetaa g(t) y demostró que la Trasformada de Fourer de ua vetaa Gausaa cotúa sedo Gausaa [8] La fucó está defda como (Fg -): πt g( t) exp s s (5)

7 Trasformada Wavelet Curso g(t) t Fg - Co la Trasformada de Fourer co Vetaa se logra ua mejor localzacó de la aparcó de ua sgulardad e ua señal Pero solo se coocerá e qué tervalo de tempo se produce la sgulardad, debdo a que la localzacó depede del acho elegdo para la fucó vetaa Además, los evetos o podrá ser resueltos s aparece muy cerca uos de otros, ya que o será posble dstgur dferetes comportametos detro de ua msma ampltud de vetaa [4] Ua herrameta matemátca que permte resolver estos problemas es la Trasformada Wavelet Este tpo de trasformada es capaz de cocetrarse e feómeos trastoros y de alta frecueca mejor que la Trasformada de Fourer co Vetaa Co esta últma, ua vez que el tamaño de la vetaa es elegdo, todas las frecuecas so aalzadas co las msmas resolucoes de tempo y frecueca, dstto de lo que sucede e la Trasformada Wavelet que tee u tamaño de vetaa adaptado a las frecuecas Co respecto a mágees, la Trasformada de Fourer F() de ua fucó f(x) de soporte fto se extede etre [,+ ] Luego de aplcar cualquer algortmo de aálss a F() se perde formacó al realzarse la attrasformacó e u tervalo fto E cambo, e el caso de la Trasformada Wavelet la fucó y su trasformada se ecuetra e u tervalo fto y, por lo tato, o hay pérdda de formacó al realzar la attrasformacó E el capítulo sguete desarrollaremos los coceptos de la Trasformada Wavelet así como otros relacoados co ella, los cuales os lleva a afrmar lo expresado e el párrafo ateror

8 Trasformada Wavelet Curso CONCEPTOS ESENCIALES

9 Trasformada Wavelet Curso Itroduccó E este capítulo os ocuparemos de la llamada Trasformada Wavelet, herrameta matemátca desarrollada a medados de los años 80 Esta Trasformada es efcete para el aálss local de señales o estacoaras y de rápda trastoredad y, al gual que la Trasformada de Fourer co Vetaa, mapea la señal e ua represetacó de tempo-escala El aspecto temporal de las señales es preservado La dfereca está e que la Trasformada Wavelet provee aálss de multresolucó co vetaas dlatadas El aálss de las frecuecas de mayor rago se realza usado vetaas agostas y el aálss de las frecuecas de meor rago se hace utlzado vetaas achas [8] Las Wavelets, fucoes bases de la Trasformada Wavelet, so geeradas a partr de ua fucó Wavelet básca, medate traslacoes y dlatacoes Estas fucoes permte recostrur la señal orgal a través de la Trasformada Wavelet versa La Trasformada Wavelet o es solamete local e tempo, so també e frecueca Detro de los usos de esta poderosa herrameta podemos ombrar, además del aálss local de señales o estacoaras, el aálss de señales electrocardográfcas, sísmcas, de sodo, de radar, así como també es utlzada para la compresó y procesameto de mágees y recoocmeto de patroes E la breve troduccó que sgue se supodrá (para facltar el uso de certos ejemplos) que la fucó a aalzar es fucó del tempo t Bases ortoormales Bases de la fucó de escala Las fucoes de escala juega el papel de fucoes promedo La correlacó etre la fucó de escala y ua fucó cotua arbtrara produce la aproxmacó promedada de la últma La fucó de escala básca φ(t), dlatada por u factor de escala, es desplazada co u factor de escala dscreto de traslacó,, φ ( t) φ( t ) () Las fucoes de escala básca φ(t) que se emplea satsface la codcó de ortogoaldad, tal que las traslacoes dscretas {φ(t )} co Z, forma u cojuto ortoormal [8] La proyeccó de ua fucó f(t) L (R) e la base ortoormal {φ(t )} es ua correlacó etre la fucó f(t) orgal y la fucó de escala φ(t) muestreada a tervalos eteros

10 Trasformada Wavelet Curso Como resultado de la proyeccó de f(t) e la base de la fucó de escala, se obtee ua aproxmacó meos detallada de f(t) Todas las aproxmacoes de f(t) forma u subespaco V 0 L (R) El espaco vectoral V 0 puede ser terpretado como el cojuto de todas las posbles aproxmacoes de la fucó e L (R) geerado por el cojuto ortoormal {φ(t )} Las fucoes de escalas para todas las escalas s co Z, geeradas a partr de la msma φ(t), so todas de forma smlar Debdo a que la fucó de escala básca φ(t) geera la base ortoormal {φ(t )} de V 0, co u paso de traslacó etero, la fucó de escala dlatada φ(t/) geerará la base ortoormal {φ( t )} de V co u paso de traslacó gual a, y φ(t/4) geerará la base ortoormal {φ( t )} de V co u paso de traslacó gual a 4, y así sucesvamete Exste etoces u cojuto de bases ortogoales de las fucoes de escala Cada base de la fucó de escala es ortoormal e el espaco de la msma escala: φ,, φ δ (),, para todo y Z Las proyeccoes e L (R) sobre el cojuto de bases ortoormales de la fucó de escala, forma u cojuto de subespacos V Cada subespaco V es el cojuto de todas las posbles aproxmacoes de la fucó e L (R) geerado por la base ortoormal de la fucó de escala φ( t )} El subespaco V es abarcado por la base ortoormal de la fucó de escala e el vel de resolucó Por lo tato, la fucó de escala φ(t) geera los subespacos del aálss multresolucó [8] Las aproxmacoes de ua fucó f(t) e dferetes resolucoes debe ser smlares, ya que so todas geeradas por la msma fucó de escala co escalas dferetes Los espacos de aproxmacó V puede ser, etoces, deducdos uos de otros por smple dlatacó: f(t) V f(t) V (3) Toda la formacó útl para calcular la fucó de aproxmacó e el vel de meor resolucó, está coteda e la fucó de aproxmacó e el vel de mayor resolucó ( ) Etoces, V es u subespaco de V [] Aálss Multresolucó El aálss multresolucó es ua técca que permte aalzar señales e múltples badas de frecueca Cosste de ua secueca de subespacos cerrados V e L (R) : V V V 0 V V L (R) (4)

11 Trasformada Wavelet Curso 006 Cuado la resolucó se cremeta co tededo a, la fucó aproxmada debería coverger a la fucó orgal Esto es: U V L ( R), (5) Por el cotraro, cuado la resolucó se decremeta a cero co tededo a +, las aproxmacoes cotee cada vez meos formacó y coverge a cero: I V {0}, (6) co Z [8] 3 Bases Wavelet Debdo a que la proyeccó de ua fucó sobre la base de la fucó de escala ortoormal es ua aproxmacó meos detallada de la fucó e u vel de resolucó partcular, se perde algo de formacó e el proceso, esto sgfca que la fucó de escala φ o es completa a cualquer vel Por lo tato, se usa las proyeccoes sobre otras fucoes, deomadas wavelet ortoormales (o smplemete wavelets), para obteer la formacó complemetara de los detalles de la fucó Como se verá más adelate, las wavelets so geeradas a partr de la wavelet madre ψ(t) por traslacoes y dlatacoes dscretas, ψ ( t) ψ ( t ) (7) Cuado la trasformada de Fourer ψ(w) de la wavelet madre satsface la codcó de ortogoaldad [8], las traslacoes dscretas de las wavelet madre {ψ( t )} forma ua base ortoormal para cada escala Más aú, e el msmo vel de resolucó, el cojuto de traslacoes wavelet es ortogoal al cojuto de traslacoes de la fucó de escala e el espaco de la msma resolucó ( t ) ψ ( t ) dt 0 φ,, ψ, φ (8) para todo y Z La proyeccó de f(t) sobre las bases wavelet ortoormales es ua correlacó etre f(t) y ψ(t) muestreada a tervalos dscretos Las proyeccoes de las fucoes e L (R) sobre la base wavelet ortoormal {ψ( t )}, forma u subespaco W El subespaco W es abarcado por {ψ( t )} Como la base wavelet {ψ( t )} es ortogoal a la base de fucó de escala {φ( t )}, detro de la msma escala, el subespaco W es el complemeto ortogoal del subespaco V : W V (9)

12 Trasformada Wavelet Curso 006 Tato V como W so subespacos de V : V, W V [8], y e razó de que W es el complemeto ortogoal de V, el subespaco V es la suma drecta de V y W : V V W (0) 3 Trasformada Wavelet De maera muy geeral, la Trasformada Wavelet de ua fucó f(t) es la descomposcó de f(t) e u cojuto de fucoes ψ s,τ (t), que forma ua base y so llamadas las Wavelets [8] La Trasformada Wavelet se defe como: W ( s, τ ) f s τ * f ( t) ψ, ( t) dt () Las Wavelets so geeradas a partr de la traslacó y cambo de escala de ua msma fucó wavelet ψ(t), llamada la Wavelet madre, y se defe como: ψ s τ t τ, ( t) ψ, s s () dode s es el factor de escala, y τ es el factor de traslacó Las wavelets ψ s,τ (t) geeradas de la msma fucó wavelet madre ψ(t) tee dferete escala s y ubcacó τ, pero tee todas la msma forma Se utlza sempre factores de escala s > 0 Las Wavelets so dlatadas cuado la escala s >, y so cotraídas cuado s < Así, cambado el valor de s se cubre ragos dferetes de frecuecas Valores grades del parámetro s correspode a frecuecas de meor rago, o ua escala grade de ψ s,τ (t) Valores pequeños de s correspode a frecuecas de meor rago o ua escala muy pequeña de ψ s,τ (t) [9] 3 Wavelets ortoormales y dscretas Cuado la fucó f(t) es cotua y las wavelets so cotuas co factor de escala y traslacó dscretas, la Trasformada Wavelet resulta e ua sere de coefcetes wavelets, y es llamada la descomposcó e Seres Wavelet [8] La fucó f(t) puede ser recostruda desde los coefcetes wavelets dscretos W f (s,τ), de la sguete maera: f ( t) A W ( s, τ ) ψ, τ ( t), s τ f s (3)

13 Trasformada Wavelet Curso dode A es ua costate que o depede de f(t) A estas fucoes wavelets cotuas co factores de escala y traslacó dscretos se las deoma Wavelets dscretas [8] Los factores de escala y traslacó de las wavelets dscretas puede ser expresados como: y τ τ s, s s0 0 0 (4) dode el expoete y la costate so eteros, y s 0 > es u paso fjo de dlatacó El factor de traslacó τ depede del paso de dlatacó s, Ec (4) Etoces, a partr de la Ec () y co la Ec (4), las correspodetes wavelets dscretas queda expresadas como: ψ ( s ( t τ s ) s ψ ( s t ), ( t) s0 ψ τ 0 (5) A través de la Ec (), la Trasformada Wavelet de ua fucó cotua es realzada a frecuecas y tempos dscretos que correspode a muestreos co dsttas traslacoes (tempo) y dsttas dlatacoes (o cambos de escala) El paso de muestreo e tempo es pequeño para el aálss utlzado wavelets de pequeña escala, metras que es grade para el aálss co wavelets de gra escala La posbldad de varar el factor de escala s permte usar wavelets de escala muy pequeña para cocetrar el aálss e sgulardades de la señal Cuado solo los detalles de la señal so de terés, uos pocos veles de descomposcó so ecesaros Por lo tato el aálss wavelet provee ua forma más efcete de represetar señales trastoras A modo de ejemplo, podemos hacer ua aalogía etre el aálss de Wavelet y el mcroscopo Así, el factor de escala s 0 correspode al aumeto o resolucó del mcroscopo y el factor de traslacó τ correspode a la ubcacó dode se hace la observacó co el mcroscopo S queremos mrar detalles muy pequeños, el aumeto y la resolucó debe ser grades, lo que se correspode co u grade y egatvo Esto da lugar a ua fucó wavelet muy cocetrada, y a pasos de traslacó pequeños Para u valor de grade y postvo, la wavelet se extede y los pasos de traslacó so adaptados a esa ampltud [8] Elgedo adecuadamete ψ(t) y los parámetros s 0, τ 0, es posble lograr que las fucoes ψ s,τ (t) costtuya ua base ortoormal de L (R) E partcular s se elge s 0 y τ 0, etoces exste ψ(t), co bueas propedades de localzacó tempo frecueca, tal que ψ s,τ (t) costtuye ua base ortoormal L (R) [9] De esta forma, s las fucoes wavelets dscretas forma ua base ortoormal, ua fucó f(t) de soporte fto puede ser recostruda como ua suma de los coefcetes wavelets dscretos W f (s, τ) multplcados por las fucoes de la base, como sgue:

14 Trasformada Wavelet Curso f τ ( t) (6) ( t) W f ( s, ) ψ s,τ s τ Ua descomposcó wavelet ortoormal o posee formacó redudate y represeta la señal e forma uívoca Ua base wavelet ortoormal es posble co wavelets co factores de traslacó y dlatacó dscretos [8] Por lo tato, para estas fucoes wavelets dscretas ortogoales, los productos teros so guales a cero: ψ *, ( t) ψ m, s m y ( t) dt 0 e otro caso (7) E 986 Meyer y Mallat [8] demostraro que la descomposcó y recostruccó wavelet ortoormal podría ser mplemetadas e el marco del aálss multresolucó de señales 33 Relacó dos-escala Co sus traslacoes dscretas, las fucoes de escala y las de wavelets forma dos bases ortoormales e cada vel de resolucó Las fucoes de escala y las wavelets e múltples veles de resolucó so la versó dlatada de la fucó de escala básca y de la wavelet madre, respectvamete Sea φ(t) la fucó de escala básca cuyas traslacoes geera el subespaco V 0 Etoces φ(t) puede ser expresada como combacó leal de la suma poderada del cojuto {φ(t )} geerado por φ(t) Así las fucoes de escala e dos veles de resolucó adyacetes satsface la relacó dos-escala: p( ) (t φ ( t ) φ ), (8) que puede ser cosderada como la proyeccó de la fucó φ(t) V 0 e el subespaco de mayor resolucó V Esta relacó es la ecuacó fudametal e el aálss multresolucó La secueca p() es el coefcete terescala, correspodete a u fltro dscreto pasobajo [8] Sea ψ(t) V 0 la wavelet madre, la cual puede ser desarrollada e la base ortoormal de la fucó de escala {φ(t )} e V como: ψ ( t ) q( ) φ(t ), (9)

15 Trasformada Wavelet Curso dode la secueca q() es el coefcete de terescala, correspodete a u fltro dscreto paso-alto [8] Esta relacó dos-escala permte geerar las wavelets a partr de las fucoes de escala E el lado zquerdo de las relacoes (8) y (9), φ(t) y ψ(t) so cotuas E el lado derecho de las relacoes, los coefcetes terescala, p() y q(), so dscretos 34 Algortmo Pramdal Descomposcó Wavelet Sea la fucó f(t) V 0 que puede ser represetada como la combacó leal de las fucoes de escala trasladadas φ(t ) e V 0 f ( t) c0( ) φ ( t ), (0) co los coefcetes c0( ) f, φ 0, f ( t) φ( t ) dt () La fucó a ser aalzada perteece a V 0, el cual correspode al vel de dgtalzacó cal al comezar la descomposcó E el sguete vel de meor resolucó, exste dos subespacos mutuamete ortogoales {φ, (t)} y {ψ, (t)}, respectvamete Debdo a que V 0 es la suma drecta de V y W, exste ua úca forma de expresar ua fucó f(t) V 0, como combacó leal de fucoes v y w, dode v V y w W E partcular, la fucó f(t) V 0 puede descompoerse e sus compoetes a lo largo de V y W : f (P +Q ) f, () dode las dos compoetes so las proyeccoes ortoormales de f(t) sobre V y W : (a) (b) P f c ), ( φ, Q f d ), ( ψ (3) Multplcado ambos lados de la Ec () por φ, y calculado los productos teros, se obtee: φ,, f φ,, P f (4)

16 Trasformada Wavelet Curso Hacedo lo msmo e la Ec (3 (a)) pero multplcado por φ, y usado la Ec (0), se obtee: c ( ) φ,, f φ,, P f φ,, φ0, c0 ( ) (5) dode el producto tero etre los dos cojutos de la fucó de escala {φ,} y {φ 0,} se puede calcular como φ t φ ( t dt,, φ0, φ ) φ ( t) φ(t ( )) dt (6) Susttuyedo φ(t) por la relacó dos-escala e la Ec (6) y usado la ortoormaldad del cojuto {φ(t)} se obtee c ( ) p( ) c0( ) (7) La secueca c () o tedeca cotee los coefcetes del desarrollo de la fucó cotua f(t) e la base de la fucó de escala cotua {φ,} e V La secueca c () represeta la versó suavzada de los datos orgales c 0 () Smultáeamete, multplcado ambos lados de las Ec () y (3 (b)) por la wavelet ψ, y calculado los productos teros, se obtee: d ( ) ψ,, Q f, ψ, φ 0, ψ, f, c ( ), 0 (8) y sguedo los pasos aplcados para la obtecó de c () se llega a que: d ( ) q( ) c0( ) (9)

17 Trasformada Wavelet Curso De acuerdo co la Ec (), la proyeccó ortoormal Q f sobre W es la formacó de detalle de f(t) La secueca d () represeta la dfereca etre la f(t) orgal y la aproxmacó P f, y se cooce como los coefcetes wavelet dscretos La descomposcó e aproxmacoes suavzadas y detalles a meor resolucó se puede cotuar tato como se desee Geeralzado, + + d c f Q P f f P, ) ( ) (,, ψ φ c q d c p c ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( (30) La secueca c () y d () puede ser calculadas a partr de c () por fltrado teratvo De esta maera, terado hasta u vel de resolucó M, dode M toma u valor determado, se puede represetar la fucó orgal f(t) por ua sere de fucoes detalle más ua aproxmacó gruesa: Z M Z M M M M M M t d t c t f f Q f Q f Q f P t f ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) ( ψ φ K (3) La Ec (3) es la descomposcó f(t) e Seres Wavelet [8] E esta descomposcó wavelet las bases de la fucó de escala y las bases wavelet so todas cotuas Los coefcetes de aproxmacó c M () y los coefcetes wavelet d () co,,, M y Z so dscretos Los coefcetes c () y d () se puede calcular co u algortmo dscreto mplemetado por la aplcacó recursva de fltros dscretos paso-alto y paso-bajo a las aplcacoes dscretas c () Este algortmo es coocdo como algortmo pramdal o de Mallat Los dos prmeros pasos del algortmo para calcular la descomposcó wavelet se muestra e la Fgura

18 Trasformada Wavelet Curso c 0 () p() d () p() d () q() c () q() c () Fgura : Esquema de la descomposcó e Seres Wavelet, co el algortmo de árbol 35 Algortmo Pramdal Recostruccó La secueca de la señal orgal c 0 () puede ser recostruda a partr de las secuecas de coefcetes de aproxmacó c () y de los coefcetes wavelet d () co 0 < M, dode M es la meor resolucó e la descomposcó [8] La aproxmacó dscreta c () e el próxmo vel de mayor resolucó puede ser obteda como la suma de dos covolucoes, ua etre la aproxmacó dscreta c () y el fltro paso-bajo p() y otra etre los coefcetes wavelet d () y el fltro paso-alto q(), c ( ) P f,, φ c ( ) φ,, φ, + d ( ) ψ,, φ c ( ) p( ) +, d ( ) q( ), (3) Como se muestra e la Fgura El proceso puede cotuar hasta que la secueca orgal c 0 () es recostruda c () p() + c - () d () q() Fgura : Esquema de la recostruccó Wavelet

19 Trasformada Wavelet Curso Trasformada Wavelet e dos dmesoes La Trasformada Wavelet cotua puede ser extedda al caso de dos dmesoes para aplcacoes de procesameto de mágees La Trasformada Wavelet de ua mage bdmesoal f(x,y) es: x u y v W f ( sx, sy; u, v) f ( x, y) ψ ; dx dy, s s sx s x y y (33) la cual es ua fucó e cuatro dmesoes Esta es reducda a u cojuto de fucoes bdmesoales de (u,v) co dferetes escalas cuado los factores de escala so tales que s x s y s La Trasformada Wavelet ortogoal multresolucó e dos dmesoes se calcula por proyeccoes recursvas sobre las bases de la fucó de escala y las bases wavelet, como e el caso udmesoal Cosderemos el modelo wavelet basado e ua fucó de escala separable φ(x,y) φ(x)φ(y), (34) dode φ(x) y φ(y) so fucoes de escala udmesoales Las traslacoes dscretas de φ(x) y φ(y) dlatadas geera los subespacos de aproxmacó multresolucó separables V como e el caso udmesoal La proyeccó ortogoal de ua mage f(x,y) sobre el cojuto de la fucó de escala e u vel de resolucó es, por lo tato, el producto tero c (x,y) f(x,y), φ (x)φ (y), (35) la cual es ua aproxmacó de f(x,y) e u vel de meor resolucó Como e el caso udmesoal, se geera las wavelets ψ(x) y ψ(y) a partr de las fucoes de escala φ(x) y φ(y), tales que el cojuto de traslacoes dscretas de ψ(x) y de ψ(y) es ortogoal al cojuto de traslacoes dscretas de φ(x) y φ(y), respectvamete Etoces se defe tres wavelets bdmesoales como ψ (x,y) φ(x) ψ(y) ψ (x,y) ψ(x) φ(y) ψ 3 (x,y) ψ(x) ψ(y) (36)

20 Trasformada Wavelet Curso Las dferecas de formacó etre las aproxmacoes c (x,y) y c + (x,y) e dos veles adyacetes de resolucó so guales a las proyeccoes ortogoales de f(x,y) sobre las tres bases wavelets, resultado tres mágees detalles: d ( x, y) d ( x, y) d ( x, y) 3 f, ψ f, ψ 3 f, ψ (37) E dos dmesoes, la descomposcó wavelet co fucoes de escala y wavelet separables se puede calcular co el algortmo de árbol usado los fltros p() y q(), de maera smlar al algortmo udmesoal [8] 5 Aálss tempo-frecueca El objetvo del aálss multresolucó es expadr ua señal e ua base de fucoes cuyas propedades tempo-frecueca se adapte a la estructura local de la señal La Trasformada Wavelet permte obteer el desarrollo de ua señal e ua base ortoormal de fucoes wavelets, las cuales tee propedades de localzacó e tempo y frecueca smlares a la Trasformada de Fourer co Vetaa E todos los casos aterores, el patró de descomposcó del plao tempofrecueca está predetermado por la eleccó de las fucoes de la base Resume E este capítulo hemos presetado la Trasformada Wavelet de ua fucó f(x) e ua dmesó y su extesó a dos dmesoes para aplcacoes de procesameto de mágees La Trasformada Wavelet es la descomposcó de f(x) e ua base de fucoes formada por la traslacó y dlatacó de ua msma fucó, la fucó de escala La descomposcó de fucoes y su recostruccó puede ser computada medate el algortmo pramdal dode, e cada vel de resolucó, la fucó se descompoe e ua aproxmacó detalle más ua aproxmacó gruesa llamada tedeca E el próxmo capítulo estudaremos el algortmo y el comportameto de la Trasformada Wavelet e el caso partcular del aálss de mágees

21 Trasformada Wavelet Curso 006 ALGORITMO DE LA TRANSFORMADA WAVELET PIRAMIDAL

22 Trasformada Wavelet Curso 006 Itroduccó E este capítulo descrbremos el algortmo medate el cual se calcula la Trasformada Wavelet dscreta co estructura pramdal, e prmer lugar para el caso udmesoal y luego su geeralzacó al caso bdmesoal utlzado las bases ortoormales de Daubeches 3 Trasformada Wavelet Pramdal Algortmo A dfereca de la Trasformada de Fourer, la Trasformada Wavelet se puede mplemetar sobre umerosas bases Las dferetes categorías de wavelets (cotuas, dscretas, ortogoales, etc) y los varos tpos de fucoes wavelets detro de cada categoría provee ua gra catdad de opcoes para aalzar ua señal de terés Esto permte elegr la base de fucoes cuya forma se aproxme mejor a las característcas de la señal que se desea represetar o aalzar E partcular, para este trabajo se emplearo las bases wavelet de Daubeches e la Trasformada Wavelet para el procesameto dgtal y aálss de mágees, las cuales tee la propedad de formar ua base ortoormal y posee soporte compacto Por esta razó, so adecuadas para el aálss de señales co soporte fto (por ejemplo: otas muscales, electrocardogramas, ssmogramas, etc) y e partcular para el aálss y procesameto de mágees Debdo a la codcó de ortoormaldad, se asegura la depedeca de la represetacó de la señal e los dferetes veles de descomposcó, es decr, que o se geera formacó redudate de la señal, y así, se evta la aparcó de formacó falsa Además, las bases de Daubeches permte calcular la Trasformada Wavelet medate u algortmo meos complejo, co u bajo costo computacoal y umércamete estable (los cálculos realzados so cofables detro de la precsó umérca del procesador), lo cual las hace efcetes frete a las bases o ortoormales E el cálculo práctco de la Trasformada Wavelet ortoormal, medate bases wavelet de Daubeches se utlza u cojuto de fltros dscretos paso-bajo y paso-alto, p() y q() De esta forma, dado u vector de datos de logtud gual a u úmero etero poteca de dos, la descomposcó y recostruccó wavelet ortoormal se mplemeta co el algortmo pramdal terado estos fltros [8] (Fg ) Los fltros peródcos p() y q(), so fltros de soporte compacto co u úmero fto N de coefcetes dsttos de cero, es decr, el grado de los fltros es (N ) Por lo tato, los dos cojutos de fltros forma ua matrz de N: p(0) q(0) p() q() p( N ) q( N ) (3) la cual es utlzada e el algortmo de descomposcó

23 Trasformada Wavelet Curso Debdo a la ortogoaldad de los fltros, el fltro paso-alto q() es obtedo a partr del fltro paso-bajo p(): q() ( ) p(n ) (3) Así, la matrz (3) puede ser expresada e fucó del fltro p() p(0) p( N ) p() p( N ) p( N ) p(0) (33) y es llamada la matrz de trasformada wavelet Esta matrz se utlzará para obteer la matrz fal a ser empleada e el algortmo de descomposcó, como se descrbe a cotuacó Para ua base de Daubeches los coefcetes de fltro cumple las sguetes relacoes algebracas [9] : N m 0 p ( m), (34) N N + p( m) s 0, p( m) p *( m ) δ (,0) (35) m 0 0 s 0 m 0, ( N m 0 ) m m p( N m) 0 0 p, (36) dode p N/ Ejemplo: E este ejemplo mostraremos esquemátcamete cómo se aplca el algortmo de árbol para descomposcó Wavelet co ua base DAUB4 Descomposcó y recostruccó de u vector utlzado la Trasformada Wavelet de Daubeches co N 4 (DAUB4) y p : Las fucoes de la base de Daubeches o está dadas e forma aalítca Los valores de los coefcetes está tabulados [8], sedo los correspodetes a DAUB4:

24 Trasformada Wavelet Curso p(0) p() p() p(3) ( + (3 + 4 (3 ( 3) 3) 3) 3) 0483, 0836, 04, 03, los cuales so la úca solucó a las Ec (34), (35) y (36) para los cuatro fltros DAUB4: p(0) + p() + p() + p(3), p(0) + p() + p() + p(3), p(0)p() + p(3)p() 0, p(3) p() + p() p(0) 0, 0p(3) p() + p() 3p(0) 0 Por la Ec (3) los fltros paso-alto q() so: q(0) p(3), q() p(), q() p() y q(4) p(0) Dado el vector de los datos cal f() se puede geerar la matrz de Trasformada Wavelet co los fltros de traslacó dscretos S la logtud del vector de datos de etrada es L, se costruye ua matrz de Trasformada Wavelet de tamaño L L, formada por repetcoes de la matrz (33) de los cojutos de fltros p() y q() Las flas mpares correspode a los fltros paso-bajo p() y, e cada fla mpar, los fltros paso-bajo p() so trasladados dos columas co respecto a la fla mpar ateror Asmsmo, las flas pares correspode a los fltros paso-alto q() que so trasladados dos columas co respecto a la fla par ateror (Fg 3-) c() p(0) d() p(3) c() d() p() p() p() p() p(3) p(0) p() p() p(0) p(3) p(3) p(0) p() p() p() p() p(3) p(0) p(0) p(3) p() p() p() p() p(0) p(3) f () f () f (3) f (4) p(3) p(0) p() p() f ( L) Fgura 3-: Al multplcar el vector de datos cales f(), de logtud L, por la matrz de Trasformada Wavelet se obtee u vector co los coefcetes c() y d() tercalados

25 Trasformada Wavelet Curso Ua vez costruda la matrz de Trasformada Wavelet, se la multplca por el vector columa de datos f() (Fg 3-) De este producto resulta dos correlacoes, ua etre el vector de datos f() y los fltros p() y otra etre el vector de datos f() y los fltros q(), dado por resultado la aproxmacó dscreta c() y los coefcetes wavelet dscretos d(), respectvamete Etoces, la descomposcó wavelet dscreta es calculada aplcado la matrz de Trasformada Wavelet prmero al vector f() y luego, e cada teracó, a los coefcetes de aproxmacó c() Como e cada teracó el vector salda queda compuesto por los coefcetes c() y d() tercalados, se debe realzar ua permutacó de éste para poder cotuar co el algortmo y obteer el sguete vel de descomposcó, como se muestra e la Fg 3-, dode L 6 f () c() c() C() C() C() f () d() c() D() C() C() f (3) c() c(3) C() C(3) D'() f (4) d() c(4) D() C(4) D'() f (5) c(3) c(5) C(3) D() D() f (6) d(3) c(6) D(3) D() D() f (7) c(4) c(7) C(4) D(3) D(3) f (8) (3) d(4) permutar c(8) (3) D(4) permutar D(4) etc D(4) f (9) c(5) d() d() d() d() f (0) d(5) d() d() d() d() f () c(6) d(3) d(3) d(3) d(3) f () d(6) d(4) d(4) d(4) d(4) f (3) c(7) d(5) d(5) d(5) d(5) f (4) d(7) d(6) d(6) d(6) d(6) f (5) c(8) d(7) d(7) d(7) d(7) f (6) d(8) d(8) d(8) d(8) d(8) Fgura 3-: Esquema de los dsttos veles del algortmo pramdal para obteer los coefcetes del desarrollo Wavelet co DAUB4, dode (3) dca que se aplca la operacó de la Fgura 3- S la logtud del vector de datos es N > 6 (DAUB4), el vector de salda e el vel de resolucó mas bajo será sempre u vector co dos coefcetes de aproxmacó C() y C() y ua jerarquía de coefcetes wavelets D (), D () resultates del vel de resolucó más bajo, D()-D(4) para el vel de resolucó más alto, y d()-d(8) para vel de resolucó aú más alto, y así sucesvamete (ver Fg 3-) Se puede observar que, ua vez que los coefcetes wavelet d so geerados, smplemete se propaga a través de todos los pasos subsecuetes El msmo algortmo es usado para calcular los coefcetes wavelet co respecto a otras wavelets, tal como DAUB6, DAUB8, etc La catdad de posbles teracoes

26 Trasformada Wavelet Curso a realzar depederá de la catdad de coefcetes de la wavelet utlzada y la logtud del vector de datos La recostruccó wavelet dscreta puede ser calculada por u procedmeto verso al procedmeto de descomposcó comezado por el vel de resolucó más bajo e la jerarquía y trabajado de derecha a zquerda co el dagrama de la Fg 3-, utlzado la matrz de Trasformada Wavelet versa (Fg 3-3) e lugar de la matrz de Trasformada Wavelet Como la matrz de Trasformada Wavelet es ortoormal su versa es la matrz traspuesta: p(0) p() p() p(3) p(3) p() p() p(0) p(0) p() p(3) p() p() p(3) p() p(0) p(0) p() p() p(3) p(3) p() p() p(0) p() p() p(3) p(0) p(0) p(3) p() p() 3 Fucoes de Daubeches Fgura 3-3: Iversa de la Trasformada Wavelet Como mecoamos aterormete para realzar este trabajo utlzamos las bases wavelets de Daubeches Esta clase cluye u rago de fucoes que se extede desde fucoes altamete localzadas a fucoes altamete suavzadas Detro de esta clase mplemetamos DAUB4, DAUB6, DAUB8, etc, hasta DAUB0, dode el úmero de Daubeches dca la catdad de coefcetes dsttos de cero Por lo tato, la más smple y más localzada es DAUB4, que tee solo cuatro coefcetes o ulos La decsó co respecto a cuál base de Daubeches es la más coveete debe basarse e la forma de la señal a aalzar, elgedo la wavelet de Daubeches cuya forma más se le aproxme Esto es, se debe utlzar la wavelet que provea la mejor descrpcó de la señal co el meor úmero de coefcetes o ulos 3 Número de operacoes Cosderemos ahora el úmero de operacoes requerdo para la Trasformada Wavelet ortoormal de u vector de datos Sea L la logtud del vector de datos y N la logtud de los fltros p() y q() E la bada de frecueca más alta, el prmer paso de descomposcó requere NL multplcacoes y sumas E el algortmo pramdal, e la sguete bada de frecueca más acha la logtud del vector de aproxmacó dscreta c(),

27 Trasformada Wavelet Curso está reducda a N/ Por lo tato, el próxmo paso de descomposcó requere (NL/) multplcacoes y sumas El total de operacoes de la descomposcó wavelet ortoormal es: NL NL NL K NL K NL (38) De esta forma la Trasformada Wavelet ortoormal requere sólo O(L) operacoes Esto es todavía más rápdo que la Trasformada de Fourer, la cual requere O(L log L) multplcacoes y sumas 33 Trasformada Wavelet bdmesoal E dos dmesoes la descomposcó wavelet de ua fucó f(x,y) puede calcularse co u algortmo smlar al descrpto aterormete Para el caso de procesameto de mágees, la mage orgal costtuye la matrz de datos cal c 0 (x,y) (Fg 3-4 (a)) Fgura 3-4: Pasos del proceso de descomposcó de ua mage (a) Image orgal (b) Descomposcó e dreccó vertcal (c) Descomposcó de (b) e dreccó horzotal (Resultado fal) (a) (b) (c) E cada vel de resolucó se calcula la correlacó etre las flas de c (x,y) y los fltros udmesoales p() y q() e la dreccó vertcal, resultado dos mágees compuestas, cada ua por la mtad de las flas de la matrz (Fg 3-4 (b)) Luego se calcula la correlacó etre estas mágees y los fltros p() y q() e la dreccó horzotal resultado, de cada ua, dos mágees compuestas por la mtad de las columas (Fg 3-4 (c)) Estas cuatro submágees resultates costtuye las tres mágees detalle y la mage aproxmacó (tedeca o resduo) [4] El proceso es ejecutado co u algortmo pramdal como se muestra e la Fg 3-5:

28 Trasformada Wavelet Curso flas q q 3 d c - p q d d p p c x Covolucó de flas o columas co el fltro x Toma la mtad de las columas Toma la mtad de las flas Fgura 3-5: Esquema de la descomposcó Wavelet e dos dmesoes, co fltros p() y q() S la mage orgal tee L pxeles, cada mage c (x,y), d ( x, y), d ( x, y) y d 3 ( x, y) tee (L/ ) pxeles ( > 0) Etoces, el úmero total de pxeles de ua represetacó wavelet ortoormal sgue sedo L, es decr, la Trasformada Wavelet o cremeta el volume de datos La Fg 3-6 muestra la descomposcó de las tres mágees detalle y la mage tedeca e los veles de resolucó,, 3

29 Trasformada Wavelet Curso c 3 d 3 d d 3 3 d 3 d 3 d d Fgura 3-6: Esquema de la descomposcó Wavelet pramdal e dos dmesoes d 3 d Al gual que e el caso udmesoal, ua vez obteda la matrz co las mágees detalle y la mage tedeca, se puede aplcar a éstas el algortmo verso para recostrur la mage orgal c 0 (x,y) Ahora be, s se aplca el algortmo de recostruccó solo a los coefcetes wavelet de u determado vel de resolucó (por ejemplo, d ( x, y), d ( x, y) y 3 d ( x, y) ), hacedo cero el resto de la matrz, se puede recostrur cualquer vel de detalle (por ejemplo d (x,y)) De la msma maera, s se aplca el algortmo de recostruccó sólo a los coefcetes de aproxmacó c p (x,y), hacedo cero el resto de la matrz se puede recostrur la tedeca Cada mage detalle d (x,y) resulta de tres compoetes depedetes e el domo wavelet que da cueta de los detalles de la mage orgal, e el vel correspodete, e las dreccoes vertcal d ( x, y), horzotal ( x, y), y dagoal 3 ( x, y), respectvamete d Cada mage d (x,y) resultate cotee ua bada lmtada del espectro de frecuecas orgales: específcamete, d (x,y) y c (x,y) cotee respectvamete la mtad más alta y más baja del espectro de frecuecas de la mage orgal y d (x,y) cotee la mtad más alta del espectro de frecuecas de c (x,y) Cotuado co este proceso resulta: c 0 (x,y) d (x,y) + d (x,y) + + d p (x,y) + c p (x,y) (39) La terpretacó de esta expresó, e térmos de mágees, es que los detalles del fo al grueso de la mage está cotedos e d (x,y),, d p (x,y), y c p (x,y) es el resduo de la mage orgal c 0 (x,y) [] d A cotuacó mostraremos, medate u ejemplo, el comportameto de la Trasformada Wavelet pramdal, aplcado el algortmo de descomposcó a varas mágees hacedo vsbles detalles que so mperceptbles al ojo humao

30 Trasformada Wavelet Curso Comportameto de la Trasformada Wavelet Pramdal E lo que respecta a su sesbldad, el ojo humao se comporta de acuerdo a la Ecuacó de Weber Esta ley empírca afrma que para que u detalle (o regó R) pueda ser dferecado vsualmete co respecto a su etoro e ua mage, el cocete etre el valor absoluto de la varacó de tesdad I etre R y su etoro, y la tesdad del etoro (I e ), o debe ser meor que ua costate c Dcha costate geeralmete toma el valor 0,0 Es decr, debe cumplrse: I c Ie para que la regó R pueda ser dferecada de su etoro a smple vsta (30) De esta maera, s el etoro I e 00, y c 0,0, por ejemplo, etoces el ojo humao solo podrá percbr las dferecas de too etre ua regó de terés y este etoro cuado la dfereca etre ambos I supere, e valor absoluto, el valor Así, cuado mayor es el vel de grs de ua regó, mayor debe ser la dfereca etre ésta y su etoro para poder ser dstguda Para ejemplfcar lo aterormete expuesto, mostraremos el aálss de dos mágees que cotee ua sere de putos emascarados Estos ejemplos fuero tomados de trabajos desarrollados aterormete [], e ellos las mágees estudadas fuero dgtalzadas e 8 bts e escala de grses (56 toos de grs) y o preseta gú tpo de dstorsó estadístca, esto es, so mágees geeradas umércamete, s rudos, las cuales llamaremos perfectas La prmera es ua mage de fodo lso, co u too de grs de valor medo (valor 5) sobre el que se superpusero, e ua ubcacó arbtrara, tres objetos Uo de estos objetos tee u tamaño de u pxel de too 8 El segudo objeto está formado por u cojuto de cuatro pxeles adyacetes co ua tesdad levemete superor al fodo (tres de valor 8 y uo de valor 30) Por últmo, el tercer objeto es u cuadrado de 8 8 pxeles de valor 30 (Image 3- (a)) Al aplcar a esta mage el algortmo de descomposcó Wavelet co DAUB y DAUB0, se obtee la correspodete matrz de coefcetes de los veles de detalle y tedeca Luego, utlzado los coefcetes detalle d (x,y) del prmer vel de resolucó de esta matrz, y hacedo cero el resto de los coefcetes, recostrumos el detalle de vel E las mágees 3- (b) y (b) se muestra este vel de detalle para las dos bases Las tesdades de alguos pxeles de la mage recostruda podría mostrar valores egatvos Cuado esto sucede, se reescala etre 0 y 55 las tesdades de los pxeles compreddas etre el valor egatvo más grade y el postvo más alto De esta maera, aplcado el msmo procedmeto a los sguetes veles de resolucó, se puede recostrur los sucesvos veles de detalle De la Image 3- (c) a la Image 3- (e), se muestra la recostruccó de la mage de los detalles al 3 y la mage tedeca para DAUB y DAUB0 Las mágees 3- (f) y (f) correspode a la recostruccó de la mage orgal s teer e cueta la tedeca para ambas descomposcoes, es decr, la mage formada sólo co los detalles obtedos e cada vel

31 Trasformada Wavelet Curso posble de descomposcó, o Suma de Detalles El resultado fal es que o sólo los objetos so puestos e evdeca co total clardad, so que se muestra co sus dferecas toales La formacó de los objetos de meor tamaño está coteda e los veles de detalle y, segú se puede observar e este ejemplo Esto se debe a la característca adaptatva de las bases wavelet Por ejemplo, la formacó correspodete al objeto de u pxel se ecuetra mayortaramete e el vel de detalle (e la base DAUB0 es más otable) metras que la formacó de los objetos de 4 y 8 8 pxeles está dstrbuda e los veles de detalle superor De acuerdo a los resultados obtedos e este ejemplo, podemos deducr que s se recostruye la mage Suma de Detalles s teer e cueta el prmer vel de resolucó (el que cotee formacó de los detalles más fos o de altas frecuecas) la mage resultate estará formada mayortaramete por la formacó del objeto de mayor tamaño, co lo cual los objetos más pequeños aparecerá borrosos o mal defdos Los demás objetos aparecerá co posbles dstorsoes e sus bordes de acuerdo al tamaño e pxeles que posea, esto se debe a que al desechar el prmer vel de detalle també se está descartado formacó de los detalles fos de estos otros objetos E las mágees 3- (g) y (g) se muestra el resultado de desechar la formacó coteda e el prmer vel de detalle Para la base DAUB o es posble observar ua dfereca sustacal, e lo que a defcó se refere, etre el elemeto de u pxel y el de cuatro pxeles Esto es así debdo a que la formacó de los objetos más pequeños está dstrbuda etre los dos veles más bajos E cambo, para la DAUB0 el objeto de u pxel aparece totalmete borroso frete al de cuatro, el cual aú es detectable Como era de esperar, e ambos casos se ha perddo totalmete la defcó de los bordes e los objetos Para el objeto de mayor tamaño práctcamete o hay dferecas sustacales etre ambas bases y aú es posble dstgur perfectamete su forma geométrca Sobre la base de estos resultados, es posble obteer ua herrameta para dsmur cosderablemete la mayor fuete de rudo coteda ua mage dgtalzada Este rudo es debdo a las fluctuacoes estadístcas orgadas durate el proceso de mpresó de la placa radográfca (dstrbucó estadístca de crstales de plata, fluctuacoes estadístcas e la emsó y absorcó de rayos X, evejecmeto de la placa, etc) y, luego, durate la dgtalzacó de la mage (fluctuacoes estadístcas del arreglo de fotodetectores) E geeral este rudo o está estadístcamete correlacoado y las fluctuacoes promedo so de tres o cuatro veles de grses Por lo tato, las mágees reales dsta mucho de la mage perfecta aquí presetada, co lo cual, al desechar el prmer vel de detalles se desecha gra parte de la formacó que da cueta de este rudo []

32 Trasformada Wavelet Curso b a c Image 3- (a): Image orgal co u vel de grs de 5 para el fodo y tres objetos de dferetes tamaños (a, b, c) de tesdad levemete superor Image 3- (b): Detalle del vel, co DAUB Image 3- (c): Detalle del vel, co DAUB Image 3- (d): Detalle del vel 3, co DAUB Image 3- (b-): Detalle del vel, co DAUB0 Image 3- (c-): Detalle del vel, co DAUB0 Image 3- (d-): Detalle del vel 3, co DAUB0 Image 3- (e-): Image Tedeca, co DAUB Image 3- (f-): Suma de Detalles Recostruccó de la mage orgal elmado la Tedeca, co Image 3- (g-): Image Suma de Detalles recostruda elmado el prmer vel de Detalle y la Tedeca, co DAUB

33 Trasformada Wavelet Curso Image 3- (e-): Image Tedeca, co DAUB0 Image 3- (f-): Suma de Detalles Recostruccó de la mage orgal elmado la Tedeca, co DAUB0 Image 3- (g-): Image Suma de Detalles recostruda elmado el prmer vel de Detalle y la Tedeca, co DAUB0 E la Image 3- (a) se preseta u fodo geerado por ua fucó seodal, co toos compreddos etre [94,] Sobre éste se superpusero 5 putos e cruz, de u pxel cada uo y de tesdad levemete feror (valor 80) La Image 3- (b) muestra la matrz de coefcetes Los resultados obtedos de la recostruccó de cada vel de detalle y de la recostruccó de la tedeca, calculados de la msma forma que para el prmer ejemplo y utlzado la DAUB0, correspode a las Imágees 3- (c), (d), (e), (f), (g) La Image 3- (h), Suma de Detalles, muestra claramete los 5 putos que e la mage orgal estaba emascarados f f f F f f f f f f F f f f f f f 80 f f f f f f f f f f 80 f f f f f f F f f f f f f F f f f Image 3- (a): Image orgal co el fodo geerado por ua fucó f se [94,] y cco putos de tesdad levemete feror Image 3- (b): Matrz de coefcetes Se observa claramete la oretacó de cada compoete de cada detalle Image 3- (c): Detalle del vel Image 3- (d): Detalle del vel

34 Trasformada Wavelet Curso Image 3- (e): Detalle del vel 3 Image 3- (f): Detalle del vel 4 Image 3- (g): Tedeca Image 3- (h): Suma de Detalles Recostruccó de la mage orgal elmado la tedeca Estos ejemplos muestra la sesbldad del método e la deteccó de pequeños cambos de too, práctcamete mperceptbles ocularmete e las mágees Se observa que la mejor defcó de los objetos ocultos ocurre e el vel de resolucó e que el tamaño de la wavelet es comparable co el tamaño de los objetos E órdees superores de la descomposcó, el tamaño de la wavelet aumeta y la mage de los objetos se dstorsoa Pero la formacó coteda e estos veles superores de detalles o detalles más gruesos cotee la formacó ecesara para recompoer la mage orgal, como se apreca e la mage Suma de Detalles Para mágees más complejas se observa que el algortmo realza cada partculardad de la mage e u determado vel de detalle, como se apreca e el ejemplo de las Imágees 3-3

35 Trasformada Wavelet Curso Image 3-3 (a): Image orgal Image 3-3 (b): Matrz de coefcetes luego de la prmera teracó del algortmo de descomposcó Image 3-3 (c): Matrz de coefcetes luego de la seguda teracó Image 3-3 (d): Matrz de coefcetes luego de la últma teracó Image 3-3 (e): Detalle del vel Image 3-3 (f): Detalle del vel

36 Trasformada Wavelet Curso Image 3-3 (g): Detalle del vel 3 Image 3-3 (h): Detalle del vel 4 Image 3-3 (): Tedeca Image 3-3 (j): Suma de Detalles Recostruccó de la mage orgal s la tedeca Resume E este capítulo hemos descrto el algortmo pramdal por el cual es posble descompoer y recostrur u vector (y su geeralzacó bdmesoal) e ua base Wavelet de Daubeches ortoormal, así como també su mplemetacó y desarrollo umérco, hacedo u estudo de efceca y establdad Se ha presetado ejemplos que lustra el comportameto de la Trasformada Wavelet sobre mágees co leves varacoes (objetos ocultos) aprecables al ojo humao, obteedo resultados satsfactoros E estos ejemplos podemos observar el gra poder adaptatvo de las fucoes Wavelet De los resultados obtedos co mágees perfectas smlares a las presetadas e este capítulo se puede ferr que, para mágees reales, es posble dsmur cosderablemete el rudo estadístco (o correlacoado) producto de la obtecó de ua placa radográfca y su dgtalzacó S el vel de resolucó utlzado para la dgtalzacó de la mamografía es lo sufcetemete alto, la dfereca etre pxeles cotguos se debe prcpalmete a la exsteca del rudo y o a la preseca de u verdadero detalle Al

37 Trasformada Wavelet Curso recostrur la mage s el vel de detalle (el que cotee las más altas frecuecas) es posble elmar, e prcpo, gra parte de la formacó debdo a este rudo aleatoro [] E el próxmo capítulo se descrbrá el Algortmo de Trasformada Wavelet co Estructura de Arbol, el cual, a dfereca del algortmo pramdal descrto, descompoe o solo la tedeca para u vel dado de escala, so que també descompoe los dsttos detalles Esta trasformada será aplcada e el próxmo captulo para la descomposcó de texturas, y se descrbrá dos algortmos para la clasfcacó de las msmas

38 38 BIBLIOGRAFÍA [] R Gupta ad PE Udrl The use of texture aalyss to detfy suspcous masses mammography, Departmet of Bo-Medcal Physcs & BoEgeerg, Uversty of Aberdee, Foresthll [] Gamba, P; Lage, R; Saccomao, C Trabajo Fal Estudo de la Aplcacó Wavelet al Dagóstco Asstdo por Computadora de Mamografías UNICEN, 999 [3] Scutt D, Mag JT, Whtehouse GH, Lester SJ, Massey CP The Relatoshp betwee Breast Asymmetry, Breast Sze ad the occurrece of Breast Cacer Brtsh Joural of Radology 70: [4] M Vetterl, y J Kovacevc Wavelets ad Subbad Codg Pretce Hall Sgal Processg Seres, 995 [5] S E Zaratoello Theory ad applcato of Wavelets Sata Clara Uversty, 997 [6] Murray Spegel Teoría y Problemas de Aálss de Fourer McGraw-Hll sere de compedos Schaum, 98 [7] Ruel Churchll Seres de Fourer y Problemas de Cotoro McGraw-Hll, 978 [8] Y Sheg, The Trasforms ad Applcatos Hadboo CRC Press, 996 [9] I Daubeches Te Lectures o Wavelets The Socety for Idustral ad Appled Mathematcs, 99 [0] Tahorg Chag y CC Jay Kuo, Texture Aalyss ad Classfcato wth Tree- Structure Wavelet Trasform IEEE TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING, October 993

39 39 [] Castro Perera R de, Borges DL Idetfcação de Tumores em Mamogramas através de Represetações Wavelets Laboratóro de Sstemas Itelgetes Escola de Egehara Elétrca, Uversdade Federal de Goás Goâa, GO, Brasl, 999 [] Ferrar RJ, Ragayya RM, Desautels JEL ad Frère AF Aalyss of Asymmetry Mammograms va Drectoal Flterg Wth Gabor Wavelets IEEE TRANSACTIONS ON MEDICAL IMAGING, VOL 0, NO 9, SEPTEMBER 00 [3] Dael B Kopas La Mama e Image MARBAN, 989 [4] AK Ja Fudametals of Dgtal Image Processg Pretce Hall Iteratoal, 989 [5] Ludwg W Das Rechts-Ls Problem Terrech ud bem Mesche Berl: Sprger 93 [6] Rasmuse M Frecuecy of morphologcal devats as a crtero of developmetal stablty Heredtas 960; 46:5 35 [7] Mag JT Fluctuatg asymmetry ad body weght me ad wome: mplcatos for sexual selecto Ethol Socobol 995; 6:45-53 [8] Mag JT, Scutt D, Whtehouse GH, Lester SJ, Walto JM Asymmetry ad the mestrual cyle Ethol Socobol 996; 7:9-43 [9] Watso PJ, Thorhll R Fluctuatg asymmetry ad sexual selecto Treds Ecol Evol 994; 9:-5 [0] Mag JT, Ocede L Fluctuatg asymmetry racehorses Nature 994; 370:85-6 [] Parsos PA Fluctuatg asymmetry as epgeetc measure of stress Bol Rev 990; 65:3-45