Tema 2: Modelos lineales de optimización con variables enteras.

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1 Tema 2: Modelos leales de optmzacó co varables eteras. Objetvos del tema: Itroducr la programacó leal etera y los domos de aplcacó. Apreder a formular el modelo de u problema de programacó leal etera. Modelar relacoes lógcas etre restrccoes co varables baras Epresar u problema etero geeral como u problema baro Modelar matemátcamete y resolver e OPL varos problemas típcos de programacó leal etera Epresar alguos comportametos o leales como problemas eteros

2 Itroduccó E muchos problemas de programacó leal sólo tee setdo aquellas solucoes de la regó factble e las que todas o alguas de las varables de decsó toma valores eteros. Este tpo de problema se deoma e geeral de programacó leal etera. S todas las varables del problema debe ser eteras se habla de programacó etera pura, pero s sólo alguas debe ser eteras y las restates cotuas se habla de programacó leal etera mta. Cuado las varables eteras estárestrgdas a losdos valores 0, se deoma varables baras, y el problema correspodete problema baro. Comoveremoseeltema6delaasgatura,laresolucódelosproblemas eteros resulta más compleja que los cotuos. E este caso la solucó óptma o ecesaramete tee que cocdr co u vértce de la regó factble del problema cotuo, so que puede estar e el teror o e las arstas de dcha regó, pero sempre e putos co valor etero de sus coordeadas. Por ejemplo, el sguete modelo leal etero puro tee la solucó óptma e el puto (3, 2), bastate alejado del puto etremo dode tee su valor óptmo el problema cotuo. 2 Mmzar -6 5 subject to , 0, teger Solucó óptma del problema cotuo Solucó óptma del problema etero 3 2 La utlzacó de varables eteras e geeral y baras e partcular amplía otablemete las posbldades de modelado de la programacó leal, hacedo posble la dsyucó de restrccoes, la mplcacó lógca etre restrccoes y e geeral la corporacó al modelo de certos comportametos o leales de la realdad. E este tema eploraremos alguas de las uevas posbldades que troduce las varables eteras desde el puto de vsta del modelado de problemas. També veremos su epresó e el leguaje OPL. E el tema 6 estudaremos los métodos algorítmcos que se utlza para resolverlos. 2

3 Domos de aplcacó de la Programacó Etera La programacó etera resulta de terés e el modelado de los sguetes domos de aplcacó: Aplcacoes co etrada y salda de datos dscretos Se trata de las aplcacoes e las que la programacó etera se hace más evdete. Surge cuado se quere modelar platas que fabrca productos co valor añaddo muy alto y e u úmero de udades etero y relatvamete pequeño, por ejemplo, vehículos de trasporte, equpos electrócos de alta tecología, etc. Por el cotraro, s los valores eteros que se maeja e estos problemas so elevados, podría resolverse como s fuese de programacó leal cotua y posterormete redodear la solucó. Aplcacoes co relacoes lógcas etre varables o restrccoes Ocurre e bastates ocasoes reales que es ecesaro establecer relacoes lógcas etre las restrccoes que se debe mpoer. Por ejemplo,. s se abre ua fábrca e Zaragoza, se puede abrr també u almacé. Este tpo de relacoes lógcas se puede modelar troducedo uevas varables baras. Aplcacoes de optmzacó combatora Muchos problemas práctcos de optmzacó tee como característca básca la esteca de u úmero etremadamete grade de solucoes factbles. Dchas solucoes aparece como cosecueca de dferetes métodos de ordear actvdades y asgar recursos. Este tpo de problemas se deoma combatoros. Lealzacó de problemas No leales Como veremos e el tema 9 muchos problemas o leales se puede apromar utlzado modelos de programacó etera bara. 3

4 Problema Se está cosderado cuatro posbles versoes. La prmera de ellas se prevé que proporcoe uos beefcos etos de euros, la seguda, euros, la tercera euros, y la cuarta euros. Cada ua de las versoes requere ua catdad de dero e efectvo: 5.000, 7.000, y euros, respectvamete. S solo se dspoe de euros para vertr. Qué modelo de programacó leal etera permte obteer la combacó de versoes que prevea los mámos beefcos? Solucó Varables de decsó NUEVO La declaracó de varables eteras e OPL se realza co la palabra clave t seguda del ombre de la varable y de la defcó del rago de varacó. El rago es oblgatoro y se compoe de la palabra clave seguda del tervalo de varacó: etremo feror..etremo superor Modelo OPL s se elge la versó =,2,3,4 0 s o se elje Restrccoes ,,, 2,3, 4 Fucó objetvo Mamzar z La suma de los costes de las versoes o debe rebasar la catdad total dspoble. Hay que mamzar el beefco total de todas las versoes dvar t 0..; dvar t 2 0..; dvar t 3 0..; dvar t 4 0..; mamze 6*+22*2+2*3+8*4; subject to { 5*+7*2+4*3+3*4 <= 4; } // soluto (optmal) wth objectve 42 = 0; 2 = ; Luego las versoes seguda, tercera 3 = ; y cuarta produce el mámo beefco de euros 4 = ; 4

5 Problema 2 Se desea amplar ua compañía co la stalacó de ua ueva factoría e Zaragoza o Sevlla o e ambas cudades. També se pesa costrur a lo sumo u almacé e ua cudad dode se stale algua factoría. E la sguete tabla aparece los beefcos estmados de stalar ua factoría y costrur ualmacé e Zaragoza y Sevlla, y el captal requerdo para ello. Se dspoe de u captal total para la versó de 39 M euros. El objetvo es tomar las decsoes que optmce el beefco de la versó. Decsoes Beefco estmado Captal requerdo Istalar ua factoría e Zaragoza 9 M euros 6 M euros Istalar ua factoría e Sevlla 5 M euros 3 M euros Costrur u almacé e Zaragoza 6 M euros 5 M euros Costrur u almacé e Sevlla 4 M euros 2 M euros Solucó Varables de decsó = Istalar ua factoría e Zaragoza 2 = Istalar ua factoría e Sevlla 3 = Costrur u almacé e Zaragoza = Costrur u almacé e Sevlla 4 Restrccoes Fucó objetvo Mamzar Z s la decsó ó es sí = 0 s la decsó es o El cojuto de decsoes que seadopte o debe rebasar el presupuesto de versó dspoble Se debe costrur a lo sumo u almacé El almacé e Zaragoza sólo se puede costrur s se stala ua factoría e Zaragoza El almacé e Sevlla sólo se puede costrur s se stala ua factoría e Sevlla Hay que mamzar el beefco total de todas las decsoes de versó dvar t 0..; dvar t 2 0..; dvar t 3 0..; dvar t 4 0..; Modelo OPL mamze 9*+5*2+6*3+4*4; subject to { 6*+3*2+5*3+2*4 <= 29; 3+4 <= ; 3 <= ; 4 <= 2; } // soluto (optmal) wth objectve 35 = ; 2 = 0; 3 = ; 4 = 0; Solucó optma: costrur ua factoría e Zaragoza y el almacé també e Zaragoza, co u beefco estmado de 35 M euros. 5

6 Varables dcadoras: cotrol del valor de ua varable cotua Es posble establecer relacoes lógcas etre restrccoes leales usado varables eteras baras y mateedo la lealdad. E este apartado vamos a utlzar estas varables como dcadoras de que se cumple ua codcó e ua varable cotua. Por ejemplo, la varable bara d podemos utlzarla para dcar co valor que la varable cotua es mayor que cero, es decr: 0d Esta mplcacó lógca la podemos modelar co la sguete restrccó: M d 0 Sedo M ua cota superor del valor de. E efecto, cuado es mayor que 0 ecesaramete d tedrá que valer para que el lado zquerdo de la restrccó sea efectvamete meor o gual que 0. La restrccó ateror os asegura que d tomará el valor sempre que >0, pero o el setdo opuesto de esta mplcacó, es decr, que sempre que d=se cumpla que >0.Para modelar e la práctca el setdo opuesto de esta mplcacó será ecesaro la defcó de u certo umbral m para a partr del cual se cosdere que deja de ser cero y toma u valor postvo, es decr: d m Esta mplcacó lógca la podemos modelar co la sguete restrccó: md 0 E alguas ocasoes o es ecesaro mpoer eplíctamete esta seguda restrccó porque la codcó de óptmo la mpoe mplíctamete, como ocurre e el modelado de ua fucó objetvo de coste fjo que aalzamos a cotuacó. 6

7 Costes fjos Las varables dcadoras se puede utlzar para modelar fucoes de coste e las que aparece ua compoete de coste fjo. Se trata de casos e los que el coste total de ua actvdad es la suma de u coste varable, cas sempre proporcoal al vel de la actvdad, y u coste fjo ecesaro para carla (set-up). S C es el coste por udad de producto y C 2 el coste de calzacó, el coste total vedrá dado por: Coste total S 0 coste total 0 S 0 coste total C C 2 C La gráfca de la derecha recoge el comportameto de estas fucoes de coste. C El modelo utlzará ua varable dcadora d y lasrestrccoes que asegura lasdoscodcoesaterores sobre el valor de : Mmzar z C C2 sujeto a : M d 0 md 0 E este caso podemos elmar la seguda restrccó ya que al tratarse de u problema de mmzacó, queda asegura por la codcó ó de óptmo: Mmzar z C C2 suejeto a : M d 0 7

8 Problema 3: coste fjo Tres compañías de teléfoos ofrece su servco de larga dstaca co Estados Udos e las sguetes codcoes: La compañía C cobra ua tarfa fja de 6 euros al mes, más 0,25 cétmos por muto. La compañía C2 cobra 25 euros al mes de tarfa fja, pero reduce el coste por muto a 0,2 cétmos. La compañía C3 ofrece ua tarfa fja mesual de 8 euros y u coste por muto de 0,22 cétmos. Las compañías sólo cobra la tarfa fja s se realza algua llamada a través de su operador. Teedo e cueta que u usuaro cosume u promedo mesual de 200 mutos e llamadas a Estados Udos, y que puede repartr dchas llamadas etre las tres compañías, qué servcos debe utlzar para que la factura mesual de teléfoo sea lo más ecoómcaposble? Solucó dvar float+ ; Modelo OPL dvar float+ 2; Varables de decsó dvar float+ 3; dvar t y 0..; = mutos mesuales cosumdos co C dvar t y2 0..; s 0 dvar t y3 0..; y 0 caso cotraro mmze 0.25*+0.2*2+0.22*3+ 0 2* *, 2, 3 6*y+25*y2+8*y3; Restrccoes 200y y y3 0, 2, 3 0 y, y, y 0, 2 3 Fucó objetvo 200 es ua cota superor de las tres varables de decsó cotuas Hay que mmzar el coste total de la factura Mmzar z 025 0, 02 0, 022 0, 6 y 25 y 8 y subject to { +2+3==200; -200*y <= 0; 2-200*y2 <= 0; 3-200*y3 <= 0; } // soluto (optmal) wth objectve 62 = 0; 2 = 0; Solucó optma: cotratar co la 3 = 200; compañía C3, resultado ua y = 0; factura mesual de 62 euros. y2 = 0; y3 = ; 8

9 Problema 4: recubrmeto Se desea costrur el meor úmero de estacoes de bomberos que cubra u terrtoro de 6 cudades C, C2, C3, C4, C5, y C6. Las estacoes se podría costrur e cualquera de las cudades pero garatzado sempre que todas las cudades dspoga al meos de ua estacó a ua de dstaca máma de 5 mutos. E la sguete tabla se da los tempos e mutos para r de ua cudad a otra: C C2 C3 C4 C5 C6 C C C C C C Se debe averguar el úmero de estacoes de bomberos a costrur y la cudad dode debe costrurse. Solucó dvar t 0..; dvar t 2 0..; Varables de decsó dvar t 3 0..; dvar t 4 0..; s se elge la cudad dvar t 5 0..; =,2,3,4,5,6 0 s o se elje dvar t 6 0..; Restrccoes Fucó de coste C C2 C3 C4 C5 C6 C C C C C C Para cada cudad hay que mpoer el recubrmeto co el resto de cudades que se ecuetra a 5 o meos mutos de ella (coloreadas y e la msma fla de la tabla) El úmero de estacoes de bomberos debe ser mímo Mmzarz Modelo OPL mmze ; subject to { +2 >=; +2+6 >=; 3+4 >=; >=; >=; >=; } // soluto (optmal) wth objectve 2 = 0; 2 = ; 3 = 0; Solucó optma: costrur 4 = ; dos estacoes de bomberos 5 = 0; e las cudades C2 y C4 6 = 0; 9

10 Modelado de la dsyucó etre dos restrccoes leales utlzado varables baras Se trata de mpoer el cumplmeto de ua restrccóetreetre dos restrccoes, es decr, que se cumpla: ó,, Para ello teemos e cueta lo sguete: S M es ua cota superor de etoces M se cumple,, E realdad la restrccó ateror o mpoe gú valor a sus varables fuera de su rago de varacó, es decr, al sumarle la cota M al lado derecho aulamos la restrccó. Por tato troducedo ua varable bara y, el sguete programa hace que sólo se mpoga ua de las restrccoes: My ' M ( y), 2, 3 0 y 0, S y = se aula esta restrccó, s y = 0 se mpoe S y = se mpoe esta restrccó, s y = 0 se aula Como y debe tomar uo de los valores 0 o, se mpoe ecesaramete uade las dos restrccoes El msmo comportameto se cosgue troducedo dos varables baras e mpoedo que su suma valga : My ' M y 2 y y2, 2, 3 0 y, y 0, 2 0

11 Los casos aterores modela la dsyucó eclusva de la dos restrccoes, porque forzosamete se mpoe ua y sólo ua de las dos. E cambo, s mpoemos que la suma de las dos varables baras pueda ser meor que, es decr 0, admtmos la posbldad de que o se mpoga gua de las dos, es decr, que como mámo se cumple ua de ellas: My My y y 2,, y, y 0, El caso ateror podemos geeralzarlo al caso de N restrccoes leales de las cuales se mpoe K < N: f (,,..., ) b 2 f (,,..., ) b f (,,..., ) b N 2 N Para ello troducmos N varables baras y egmos que su suma sea gual a N K: f (,,..., ) b M y 2 f (,,..., ) b M y f (,,..., ) b M y N 2 N N N N y N - K y 0, ;,... N M cota superor de f (,,...,, ) b 2

12 Problema 5 Ua compañía está cosderado la fabrcacó de tres tpos uevos de vehículos: T, T2, y T3. Los recursos ecesaros para su fabrcacó, los recursos dspobles, y los beefcos esperados, para cada tpo de vehículo, se da e la sguete tabla: Tpos T T2 T3 Dspobldad Materal 500 klos 3000 klos 5000 klos klos Trabajo 30 horas 25 horas 40 horas horas Beefcos 2000 euros 3000 euros 4000 euros La empresa quere coocer qué tpo de vehículos debe fabrcar y cuátos para mamzar los beefcos, teedo e cueta que u uevo modelo solo resulta ecoómcamete vable s se fabrca al meos 000 udades. Solucó es ua cota del úmero de vehículos que se puede costrur mpuesta por las horas dspobles: /25 = Varables de decsó Los klos dspobles mpoe ua cota meos restrctva, úmero de vehículos a costrur del tpo T,,2,3 y varable bara aular para epresar la dsyucó Restrccoes S y = 0 etoces = 0, luego o se fabrca vehículos del tpo T 2400y. Igual ocurre para =2 y ( y) S y = etoces >= 000, luego se y2 fabrca vehículos del tpo T ( y2) Igual ocurre para =2 y y ( y3) Los klos de materal cosumdo o debe sobrepasar los klos dspobles, Las horas de trabajo cosumdas o debe sobrepasar los horas dspobles Fucó de coste Mamzar z Hay que mamzar el beefco total dvar float+ ; dvar float+ 2; dvar float+ 3; dvar t y 0..; dvar t y2 0..; dvar t y3 0..; Modelo OPL Se podía haber usado varables t mamze 2*+3*2+4*3; subject to { <= 2400 * y; <= 2400 * ( - y); 2 <= 2400 * y2; <= 2400 * ( - y2); 3 <= 2400 * y3; <= 2400 * ( - y3);.5*+3*2+5*3 <= 6000; 30*+25*2+40*3 <= 60000; } // soluto (optmal) wth objectve 6000 = 0; 2 = 2000; 3 = 0; Solucó optma: costrur 2000 y = 0; y2 = ; y3 = 0; vehículos de tpo T2 co u beefco de

13 Problema de la mochla El problema de la mochla es u problema clásco que puede formularse sólo co varables baras 0. Toma su ombre de la versó que platea la decsó que debe tomar u ecursosta para preparar su mochla troducedo ua sere de objetos de utldad, pero teedo e cueta que e la msma sólo cabe u úmero lmtado de ellos. Debe elegr u subcojuto de los objetos que mamce la utldadtotalque obtee, pero srebasarlacapacdadde lamochla. S es el úmero de objetos posbles, v el volume que ocupa el objeto, u el valor de utldad que el ecursosta da al objeto, y b el volume de la mochla, el problema se platea de la sguete forma: Varablesdedecsó : =,2,..., s se elge el objeto para troducr e la mochla 0 caso cotrao Mamzar z u Semamza la utldad total de los objetostroducdos e la mochla, que es la suma de las utldades de cada objeto sujeto a : v 0, b Los objetos troducdos o debe sobrepasar el volume de la mochla Podría estr más dmesoes que lmte los objetos que se puede troducr ela mochla, por ejemplo, el peso. S p es el peso dl del objeto, yp el peso total que puede soportar la mochla, habría que añadr e este caso la sguete restrccó; p p 3

14 Problema 6: mochla Se debe realzar u evío de 7 objetos dsttos. El valor, peso y volume aparece e la sguete tabla: Objeto Valor (euros) Peso (klos) Volume (cm 3 ) Determar el evío de valor mámo que o eceda el peso total de 4 klos el volume de 00 cm Solucó Varables de decsó dvar t 0..; dvar t 2 0..; dvar t 3 0..; dvar t 4 0..; s se cluye el objeto e el evío dvar t 5 0..; 0 caso cotrao dvar t 6 0..; =,2, 3, 4,5,6,7 dvar t 7 0..; Restrccoes Los objetos troducdos o debe sobrepasar el peso de la mochla Fucó de coste Los objetos troducdos o debe sobrepasar el volume de la mochla Mamzar z Modelo OPL mamze 56*+7*2+69*3+9*4+70*5+85*6+65*7; subject to { 7*+*2+4*3+4*4+9*5+2*6+2*7 <=4; 2*+6*2+7*3+28*4+2*5+3*6+9*7 <=00; } // soluto (optmal) wth objectve 360 = 0; Se mamza el valor total de los 2 = ; objetos troducdos e la mochla. 3 = ; 4 = 0; 5 = ; = ; 7 = ; Solucó optma: el evío estará costtudo porlosobjetos2,3,5,6y7;couvalorde 360 euros 4

15 Problema 7: asgacó de tareas a máquas Ua fábrca realza 3 tareas dferetes asocadas a la elaboracó de otros tatos productos. La fábrca dspoe de 4 máquas que so utlzadas para la realzacó de las tareas. E la sguete tabla aparece la secueca de máquas que utlza cada tarea y el tempo e mutos que la tarea ocupa e la correspodete máqua. També aparece e la últma columa el tempo mámo que puede durar ua tarea, desde que empeza hasta que terma. Cada máqua sólo puede realzar ua tarea smultáeamete. Tarea Sucesó de máquas (tempo de ocupacó de la máqua) Tempo mámo por tarea T M(4)M3(3)M4(5) 6 T2 M(2)M2(6)M3() 4 T3 M2(7)M4(4) 4 Se trata de dseñar u modelo leal de programacó de las 3 tareas sobre las 4 máquas para que se realce e el meor tempo posble. Solucó Varables de decsó state de co de la tarea T e la máqua M ; =,2, 3; j,2,3,4 j j El co de la tarea T e la máqua M 3 tee que comezar cuado haya falzado e la máqua M,es decr, a partr de 4 mutos después del co e M. Aálogamete para las demás tareas. Restrccoes de secuecacó de cada tarea e las máquas T T2 T3 M 4 M M 2 M2 7 M M M4 5 M La tarea T o debe durar más de 6 mutos, es decr, el co e la últma máqua (M 4 ) más la duracó e esta máqua (5) debe ser <= que 6. Aálogamete para las demás tareas. 5

16 Solucó (cotuacó) Restrccoes de ordeacó de las tareas e las msmas máquas 2 Md 2 4 M( d ) 2 Las tareas T yt 2 utlza la máqua M, por tato hay que mpoer la dsyucó eclusva del co de ambas tareas e esta máqua. Para ello utlzamos la varable bara d. Md M( d ) Las tareas T yt 2 utlza la máqua M 3, por tato hay que mpoer la dsyucó eclusva del co de ambas tareas e esta máqua. Para ello utlzamos la varable bara d 2. 4 Md M( d ) Md M( d ) Las tareas T y T 3 utlza la máqua M 4, por tato hay que mpoer la dsyucó eclusva del co de ambas tareas e esta máqua. Para ello utlzamos la varable bara d 3. Las tareas T 3 yt 2 utlza la máqua M 2, por tato hay que mpoer la dsyucó eclusva del co de ambas tareas e esta máqua. Para ello utlzamos la varable bara d 4. Fucó objetvo Mmzar t t 4 t 34 4 t Para epresar la fucó de coste que mmza el tempo de falzacó de todas las tareas troducmos ua ueva varable t y le mpoemos que sea mayor que el tempo de falzacó de las tres tareas (tempo de co e la últma máqua utlzada + duracó e esa máqua). Después mmzamos t. 6

17 Problema 7: modelo OPL y resultados dvar t 0..00; dvar t ; dvar t ; dvar t ; dvar t ; dvar t ; dvar t ; dvar t ; dvar t d 0..; dvar t d2 0..; dvar t d3 0..; dvar t d4 0..; dvar t t 0..00; Modelo OPL mmze t; subject to { 3 >= + 4; 4 >= 3 + 3; 22 >= 2 + 2; 23 >= ; 34 >= ; <= 6; <= 4; <= 4; <= 00*d; <= 00*(-d); <= 00*d2; <= 00*(-d2); <= 00*d3; <= 00*(-d3); <= 00*d4; <= 00*(-d4); <= t; 23 + <= t; <= t; } T T2 T3 // soluto (optmal) wth objectve 6 t = 6; 3 = 8; = 2; 4 = ; 22 = 7; 2 = 0; 23 = 3; 34 = 7; 32 = 0; d = 0; d2 = ; d3 = 0; d4 = 0; M M3 M4 M M2 M3 M2 M

18 Problema del vajate Sobre ua red de carreteras que coecta cudades C,,C,,C hay que determar el teraro de míma dstaca que partedo de ua cudad pasa ua sola vez por todas y cada ua de las cudades volvedo a la cudad cal. C C Varables de decsó : s e el teraro está el arco C C j j =,..., ; j,..., ; j 0 caso cotraro u varables aulares para evtar sub teraros; 2,3,..., C sujeto a : = =,...; j j j = j=,...; j j u u ;, j 2,3,..., ; j j j De ua cudad se parte ua sola vez A ua cudad se llega ua sola vez Evta sub teraros descoectados S u u u u u u 0 j j j j j Mmza la dstaca de a ruta Mmzar L d ; j j j j 8

19 Problema 8: recorrdo del vajate Sobre ua redde carreteras que coecta varas cudades hay que determar el teraro de míma dstaca que partedo de ua cudad pasa ua sola vez por todas y cada ua de cudades volvedo a la cudad cal. Las dstacas etre cudades so las sguetes: C C4 C2 C3 d d23 4 d d d d d d d d d d Solucó Varables de decsó s e el teraro está el arco C C j j =,2, 3,4; j,2,3,4; j 0 caso cotraro Restrccoes De ua cudad se parte ua sola vez A ua cudad se llega ua sola vez Evta sub teraros descoectados Fucó objetvo u2 u u3 u u u 4 3 u u u u u u Mmzar z Mmza la dstaca de a ruta 9

20 Problema 8: modelo OPL dvar t 2 0..; dvar t 3 0..; dvar t 4 0..; dvar t 2 0..; dvar t 3 0..; dvar t 4 0..; dvar t ; dvar t ; dvar t ; dvar t ; dvar t ; dvar t ; dvar t u ; dvar t u ; dvar t u ; Modelo OPL // soluto (optmal) wth objectve 2 = ; 2 = 0; 3 = 0; 3 = ; 4 = 0; 4 = 0; 23 = 0; 32 = 0; 24 = ; 42 = 0; 34 = 0; 43 = ; u2 = 0; u3 = 2; u4 = ; mmze 2*2+3*2+6*3+4*3+4*4+2*4+4*23+ 5*32+2*24+3*42+5*34+3*43; subject to { == ; == ; == ; == ; == ; == ; == ; == ; u2 <= u3-4*23+3; u3 <= u4-4*34+3; u2 <= u4-4*24+3; u4 <= u2-4*42+3; u3 <= u2-4*32+3; u4 <= u3-4*43+3; } C C4 C2 C3 20

21 Fucoes co N valores posbles Ua fucó que deba tomar u valor v etre N valores posbles se puede modelar co la ayuda de N varables baras y. E efecto, s la fucó es: f (,,..., ) v v... v 2 2 N Se modela co el sguete cojuto de restrccoes: f (, 2,..., ) v y N N y 0, ;,... N y 2

22 Coversó de varables eteras e baras Como tedremos ocasó de estudar e el tema 6 los algortmos que resuelve problemas eteros baros puros so más efcetes que los que volucra varables eteras e geeral. Por ello resulta teresate covertr varables eteras acotadas e varables baras. S 0 u; co, u Z N N podemos poer 2 u 2 ; co N Z y la represetacó bara de será: 2 y; co y varables baras N 0 Ejemplo Mamzar z= 2 sujeto a co, Z 2 5 cota superor de N 2 y 2y 4y cota superor de N 3 y 2y 4y 8y Mamzar z= y 2y 4y y 4y 8y 6y sujeto a co y y 2y 4y y 4y 8y 3y 6y 2y 24y 30 0,

23 Problema: dvar t y0 0..; dvar t 0..00; dvar t y 0..; dvar t ; dvar t y2 0..; Modelo OPL mamze +2*2; Modelo OPL dvar t y3 0..; (varables baras) subject to (varables eteras) dvar t y4 0..; { dvar t y5 0..; dvar t y6 0..; mamze y0+2*y+4*y2+y3+4*y4+8*y5+6*y6; <= 5; 2*+3*2<=30; }; subject to { y0+2*y+4*y2<=5; 2*y0+4*y+8*y2+3*y3+6*y4+2*y5+24*y6<=30; }; // soluto (optmal) wth objectve 20 = 0; 2 = 0; // soluto (optmal) wth objectve 20 y0 = 0; y = 0; y2 = 0; y3 = 0; y4 = ; y5 = 0; y6 = ; y0 2y4y y 2y 4y 8y Para determar los valores eteros de las varables de decsó orgales teemos que utlzar sus epresoes e térmos de las varables baras: y0 2y4y2 y 2y 4y 8y

24 Epresó del producto de dos varables baras El producto de dos varables baras b b2 es u térmo o leal y por tato o se puede utlzar drectamete e el modelado de u problema de programacó leal. S embargo podemos epresar ese producto e térmos de restrccoes leales, susttuyedo el producto por la varable bara y juto al sguete cojuto de restrccoes leales: y b bb2 y b2 y b b2 b, b, y 0, 2 E efecto, la varable troducda debe cumplr la sguete tabla e fucó de las varables orgales: b b 2 y Tabla cuyo cumplmeto vee asegurado por las restrccoes troducdas: y b S b 0 y 0 yb S b 0 y y b b S b b y y 2 2 Asegura el cumplmeto de las etradas ª y 2ª de la tabla Asegura el cumplmeto de las etradas ª y 3ª de la tabla Asegura el cumplmeto de las etradas 4ª de la tabla 24

25 Epresó del producto de ua varable bara por otra cotua o egatva S ua de las varables del producto es cotua, també podemos epresarlo e térmos de restrccoes leales co varables baras: b varable bara varable cotua co 0 u cota superor de Podemos susttur el producto por la varable y juto al sguete cojuto de restrccoes: y ub y b y u ( b ) y 0 co y varable cotua E efecto, la varable troducda debe cumplr la sguete tabla e fucó de las varables orgales: b 0 y 0 Tabla cuyo cumplmeto vee asegurado por las restrccoes troducdas: yub S b0 y 0 y 0; y u( b) y u y 0 y u( b) S b y y ; y ub y u y Asegura el cumplmeto de la etrada ª de la tabla b = 0 aula esta restrccó porque -u es sempre 0 o egatvo Asegura el cumplmeto de la etrada 2ª de la tabla b = aula esta restrccó porque y es meor que la cota de 25

26 Problema: barcos a doble puerto Dos factorías de gas F y F2 so sumstradas desde gasoductos y barcos. Para u mes determado este tres barcos alteratvos para sumstrar gas co capacdades B, B 2, B 3 y costes respectvos del gas y trasporte C, C 2, C 3. Los barcos puede descargar a doble puerto, es decr, dejar parte de la carga e el Puerto y el resto e el Puerto2. Las factorías sumstra gas a cco putos co demadas D,D 2,D 3,D 4,D 5 respectvamete, sedo C j elcostedesumstrardesdelafactoría la demada j. El coste utaro del gas procedete de gasoductos es G y G 2 respectvamete. Se trata de determar la catdad de gas sumstrada por gasoducto y barco a las factorías así como las catdades trasportadas desde las factorías a los putos de demada de maera que el coste total de sumstro sea mímo. E la sguete fgura aparece los valores de las demadas, coste de trasporte utaro de factorías a putos de demada, el coste utaro del gas procedete de gasoductos, y el coste de los barcos y sus capacdades. E el caso de sumstro co barco a doble puerto habrá que determar també la catdad que descarga e cada puerto. barcos B 3 B B2 4 B 5 B 2 3 C C C C C D D D D D , 5 Gasoducto Puerto Puerto2 Gasoducto2 B 3 C C 2 C g p p2 g G 00 2 G 00 F dd2d3d4d5 d2d22d23d24d25 D D 2 D 3 D 4 D 5 F2 3 C C C C C

27 Modelo leal Varables de decsó : g catdad de gas sumstrado por el gasoducto ; =,2 p catdad de gas sumstrado por el puerto ; =,2 dj gas sumstrado por la factoría al puto de demada j; =,2; j =,2,3,4,5 b varables baras que determa co valor la seleccó del barco B ; =,2, 3 d varables cotuas0,que fja porcetajes de descarga del barco B ; =,2, 3 y varables cotuas para formular el producto b d ; =,2, Mmzar z C d b C G g j j k k l l j k l Se mmza la suma de todos los costes sujeto a : p bbd b2b2d2 b3b3d3 p2 bb ( d) b2b2( d2) b3b3( d3) g p d d 2 d 3 d 4 d 5 g2 p2 d2 d22 d23 d24 d25 d d2 D Los productos b d se lealzará troducedo y d2 d22 D2 d3 d23 D3 y b d4 d 24 D 4 y d d5 d25 D5 bd y d ( b) y Mmzar z C d b C G g sujeto a : p B y B y B y j j k k l l j k l p B ( b y ) B ( b y ) B ( b y ) g p d d d d d g p d d d d d d d D 2 d d D d d D d d D d y y d 25 D 5 y d ( b) b d y 0 y y y d ( b ) y y y b d 0 b 3 3 d 3 3 y d ( b ) y 27

28 Modelo OPL //Varables de decsó dvar t b 0..; dvar t b2 0..; dvar t b3 0..; dvar float+ d 0..; dvar float+ d2 0..; dvar float+ d3 0..; dvar float+ y; dvar float+ y2; dvar float+ y3; dvar float+ d; dvar float+ d2; dvar float+ d3; dvar float+ d4; dvar float+ d5; dvar float+ d2; dvar float+ d22; dvar float+ d23; dvar float+ d24; dvar float+ d25; dvar float+ g 0..; dvar float+ g2 0..; dvar float+ p; dvar float+ p2; //Fucó objetvo mmze *d + *d2 +00*d3 +00*d4 +00*d5 + 00*d2 + 00*d22 +*d23 +*d24 +*d25 + *b + *b2 +*b3 +00*g +00*g2; //Restrccoes subject to { p==3*y+4*y2+5*y3; y2+5 y3; p2==3*(b-y)+4*(b2-y2)+5*(b3-y3); g+p==d+d2+d3+d4+d5; g2+p2==d2+d22+d23+d24+d25; d+d2==; d2+d22==.5; d3+d23==; d4+d24==; d5+d25==; y<=b; y<=d; y>=d-(-b); y2<=b2; y2<=d2; y2>=d2-(-b2); y3<=b3; y3<=d3; y3>=d3-(-b3); // soluto (optmal) wth objectve 56.5 d = ; La Factoría d2 =.5; sumstra a las d3 = 0; demadas y 2 d4 = 0; d5 = 0; d2 = 0; d22 = 0; d23 = ; d24 = ; d25 = ; b = 0; b2 = 0; b3 = ; g = 0.5; g2 = 0; p = 2; y = 0; y2 = 0; y3 = 0.4; p2 = 3; d = 0; d2 = 0; } d3 = 0.4; 04; La Factoría2 sumstra a las demadas 3, 4 y 5 Seleccoa barco B 3 40% de B 3 descarga e Puerto, el 60% e Puerto2 28

29 Varables dcadoras: cotrol de la mposcó de ua restrccó leal De la msma maera que hemos utlzado varables baras dcadoras del valor de ua varable cotua, podemos utlzarlas como dcadoras del cumplmeto de ua restrccó leal. E efecto, veamos las 4 alteratvas que se preseta segú el setdo de la mplcacó y del operador relacoal de la restrccó: d a b a Md Mb sedo M a b S d=os queda S d=0os queda es ua cota superor de a b a M b a b que o restrge ada porque M a bd a ( m e) d b e; sedo m a b e = umbral a partr del cual cosderamos a b = d a b a mdmb sedo m a b S d=os queda a b S d = 0 os queda a m b que o restrge t ada porque m es ua cota feror de a b a ( M e ) d b e ; sedo M a b a bd e = umbral a partr del cual cosderamos a b 29

30 Represetacó de operadores lógcos S la restrccó R se cumple s y solo s, es decr R, etoces podemos escrbr las sguetes equvalecas etre las relacoes lógcas etre restrccoes y las operacoes algebracas etre las varables dcadoras: RR2 2. Utlzado las relacoes de la lógca proposcoal podemos obteer la epresó algebraca de las R R2 y 2 varables dcadoras correspodete a cualquer epresó lógca etre restrccoes. R 0 R R Se supoe que las varables dcadoras ya ha sdo troducdas co las restrccoes aalzadas e el puto ateror. X X Ejemplo : coversó de ua relacó lógca e restrccó Supoga que se quere garatzar que s b y y etoces y z. Sedo, y, z varables eteras, es decr: ( b) ( ) ( y z) ( b) ( ) ( ) ( y z) ( b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y z ) ( ) ( y z) M b M y z m m y zm M dode : m y z ; M y z Ejemplo E u caso de programacó de produccó, s cualquera de los productos A o B se fb fabrca, etoces hay que fb fabrcar C, D, E. ( ) ( ) A B C D E Sea se fabrca el producto Itroducmos tal que :, que se puede modelar como : 2 0 A B A B Además :, que se puede modelar como : 0 C D E C D E 30