LAS MATEMÁTICAS DE LOS SISTEMAS ELECTORALES

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1 Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp) Vol. 101, Nº. 1, pp 21-33, 2007 VII Programa de Promocó de la Cultura Cetífca y Tecológca LAS MATEMÁTICAS DE LOS SISTEMAS ELECTORALES FCO. JAVIER GIRÓN GONZÁLEZ-TORRE *; JOSÉ MIGUEL BERNARDO HERRÁNZ ** * Real Academa de Cecas Exactas, Físcas y Naturales. Departameto de Estadístca e Ivestgacó Operatva. Facultad de Cecas Matemátcas. Uversdad de Malaga Málaga. fj_gro@uma.es. ** Real Academa de Cecas Exactas, Físcas y Naturales (A. Correspodete). Departameto de Estadístca. Facultad de Matemátcas. Uversdad de Valeca Burjassot (Valeca). 1. INTRODUCCIÓN Detras del aparetemete smple hecho de buscar ua solucó al problema de la represetatvdad de las dversas opcoes que los partdos polítcos ofrece a la cudadaa e aquellos países e los que está asetada ua democraca, se oculta u problema, e apareca smple, pero complejo desde el puto de vsta matemátco, que es el de dstrbur los escaños de u Parlameto de acuerdo co las preferecas que los cudadaos expresa e las cosultas de carácter polítco. Los sstemas de represetacó democrátca exge u metodo de seleccó justa de u pequeño úmero de dvduos que represete a ua mayora de los cudadaos. U sstema electoral es ua herrameta costtucoal utlzada para resolver el problema ateror que trasforma los votos de los cudadaos e u certo reparto del úmero de escaños. Auque detrás de todos los sstemas electorales está la dea de que el reparto de escaños sea proporcoal al úmero de votos que obtee cada grupo polítco, al ser el úmero de escaños muy feror al de votos y al ser ecesaramete este u umero etero, se produce u desajuste u problema de redodeo a la hora de asgar las partes o eteras sobrates de los escaños a alguo de los partdos polítcos e lza. A lo largo de la hstora se ha propuesto ua gra varedad de procedmetos o sstemas electorales (más de 300). El adoptar uo de ellos ha depeddo de la hstora, de la hereca y de los debates poltcos de cada pas sobre todo e los dos ultmos sglos y la reforma electoral es u tema que afecta por gual a las uevas democracas como a las más atguas. El dseño de sstemas electorales uevos es algo ta dfícl como elegr uo de etre los muchos que actualmete exste. E su eleccó suele haber factores culturales e hstórcos, además de tereses polítcos, a veces espúreos. De modo que la eleccó de u sstema electoral o puede cosderarse como ua decsó mparcal o sesgada. Las votacoes per se o so garata de equlbro ya que el procedmeto elegdo puede producr dferecas radcales e los resultados de la votacó. La geera electoral se ocupa del dseño. el aálss y la seleccó de procedmetos que se suele utlzar para trasformar votos e escaños (fórmulas electorales), que costtuye el grueso de cada sstema electoral. Algo que o podemos olvdar es que o hay sstemas electorales perfectos. No se puede dseñar gú sstema electoral que satsfaga todas las propedades dctadas por el setdo comú. Esto sería ua versó electoral del famoso teorema de mposbldad de Arrow (1951). Así pues, la eleccó de u sstema electoral apropado se reduce a elegr u certo subcojuto de aquellas propedades que se cosdere fudametales. E este artículo os referremos báscamete al modelo español y al de las Comudades Autóomas, señalado de paso brevemete alguos cometaros sobre otros procedmetos que se aplca a otros países. Sguedo el madato costtucoal de ateder

2 22 Fracsco Javer Gró et al. Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; 101 a crteros de represetacó proporcoal, aalzaremos estos crteros desde la perspectva de los problemas de optmzacó co úmeros eteros. De hecho, las llamadas fórmulas electorales o so fórmulas matemátcas e el setdo tradcoal, so que so algortmos que co el put de la dstrbucó de votos geera u output que es el reparto de los escaños, utlzado para ello operacoes elemetales. Desde el puto de vsta matemátco, veremos que ua fórmula electoral es smplemete u algortmo dseñado para mmzar ua certa fucó de costo. E partcular, las fórmulas de represetacó proporcoal so algortmos efcetes para resolver u problema de optmzacó co ua fucó objetvo específca. Estas fucoes objetvo, dsttas para cada fórmula, represeta de hecho dversos ídces de proporcoaldad. A estos los podemos cosderar como los crteros ocultos sobre los que se basa cada ua de las fórmulas. Este modo de efocar el problema os proporcoa u susbstrato teórco de las coocdas fórmulas de represetacó proporcoal y os permte estudar los putos débles de muchas de las metodologías usuales e el aálss de los sstemas proporcoales. No tratamos aquí los sstemas mayortaros dode el caddato más votado es elegdo e su dstrto como los usados sobre todo e los pases aglosajoes como Gra Bretaña, Estados Udos, Nueva Zelada y també e Itala. E Fraca, s embargo, se usa el sstema de doble votacó. 2. EL MANDATO CONSTITUCIONAL Reproducmos aquí el artículo de la Costtucó española referdo al modo de elegr los represetates de la Cámara Baja. Como puede comprobarse, el artículo 68 o es muy explícto a la hora de fjar el método de reparto de los Dputados, salvo la refereca a que sea proporcoal. La descrpcó pormeorzada del procedmeto electoral vgete e uestro país se desarrolla e los artículos de la Ley electoral, que reproducmos e el Apédce A de este artículo. TÍTULO III De las Cortes Geerales CAPÍTULO PRIMERO De las Cámaras Artículo El Cogreso se compoe de u mímo de 300 y u máxmo de 400 Dputados, elegdos por sufrago uversal, lbre, gual, drecto y secreto, e los térmos que establece la ley. 2. La crcuscrpcó electoral es la provca. Las poblacoes de Ceuta y Mellla estará represetadas cada ua de ellas por u Dputado. La ley dstrburá el úmero total de Dputados, asgado ua represetacó míma cal a cada crcuscrpcó y dstrbuyedo los demás e proporcó a la poblacó. 3. La eleccó se verfcará e cada crcuscrpcó atededo a crteros de represetacó proporcoal. 3. MÉTODOS PROPORCIONALES La eleccó de los represetates del Cogreso de los Dputados e España, o detro de cada Comudad Autóoma del correspodete Parlameto, comporta dos problemas de asgacó proporcoal, a saber: el reparto del total de los escaños del Parlameto por provcas y, detro de cada provca, el posteror reparto de los correspodetes escaños etre los partdos polítcos cocurretes. Cada uo de ellos se resuelve por métodos dferetes tal como se establece e la ley electoral. 3.1 El Método de los Restos mayores Se utlza para obteer la dstrbucó de los escaños etre las provcas, auque prevamete se le aplca certas restrccoes, a saber: a las cudades autómas de Ceuta y Mellla se les asga u escaño a cada ua, y el resto de las provcas recbe automátcamete dos escaños cada ua. La asgacó del resto de los escaños se hace medate el método de los Restos Mayores.

3 Fracsco Javer Gró et al. Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; Fgura 1. Modelo de caja egra que descrbe la trasformacó de votos v 1,..., v,..., v e escaños s 1,..., s,..., s, de modo que suma u total de s = S escaños. = El Método de los Restos mayores Uo de estos métodos, coocdo como ley o método de d Hodt, se aplca a la asgacó de escaños a los partdos detro de cada provca, co la restrccó de que se excluye aquellos partdos que o obtega u mímo del 3 % e cada dstrto electoral. Estos dos métodos so casos partculares de lo que se cooce como problemas de asgacó proporcoal etera, que se descrbe e la seccó sguete. 4. EL PROBLEMA DE LA ASIGNACIÓN PROPORCIONAL ENTERA Etre estos problemas, además de los dos especfcados de la dstrbucó de escaños etre provcas y la asgacó de escaños a los partdos polítcos, se cluría otros muchos como, p. ej., la asgacó de cetros escolares e proporcó a la poblacó, o muchos de los problemas de asgacó de recursos e Ecoomía. La descrpcó matemátca de todos estos problemas es la msma y se cooce co el ombre de modelo de uras (o cajas) y bolas. Adaptado a uestro cotexto, supogamos que hay que repartr ua catdad de escaños S etre formacoes polítcas a partr del úmero de votos v 1,, v que recbe cada partdo. S s 1,, s represeta el úmero de escaños asgados a los partdos 1,,, u método de asgacó proporcoal determa los úmeros eteros s 1,, s de modo que los cocetes s1 v1,, s v sea lo más parecdos etre s. S defmos las cuotas q 1,, q asocadas al úmero de votos v 1,, v como la parte del úmero de escaños proporcoal al úmero de votos v v q = S = S v + + v V 1.. ị y s estas cuotas fuese úmeros eteros, que ecesaramete suma S, tedríamos resuelto el problema pues etoces la solucó sería s = q ya que los cocetes s v = S V, dode V = v sería el total de v votos. E geeral, las cuotas o so úmeros eteros por lo que ua solucó al problema de asgacó proporcoal etera cosstrá e ecotrar uos úmeros eteros s 1,, s próxmos a las cuotas y que sume S. Pero, de maera atural, surge la preguta de cómo se puede costrur métodos de asgacó proporcoal etera? Hstórcamete se ha utlzado esecalmete dos métodos, a saber: el de los restos mayores y los métodos basados e dvsores. Estos métododos parte de ua dea smple y, como veremos, terma sedo la solucó de u problema de optmzacó e úmeros eteros. Todos los métodos propuestos tee certas vetajas e coveetes. De hecho, o exste gú método comumete aceptado por todos puede exstr u método de asgacó proporcoal que satsfaga ua lsta de propedades razoables, como demuestra el teorema de mposbldad de Balsk y Youg (1982). Como cabe esperar, la relacó exstete etre los métodos de asgacó proporcoal y los métodos de

4 24 Fracsco Javer Gró et al. Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; 101 optmzacó permte profudzar e las propedades de estos métodos y, de este modo, abre el camo para troducr uevos métodos potecales de asgacó proporcoal más razoables que los actuales. A cotuacó, pasamos a descrbr el prmero de los métodos de asgacó proporcoal. 5. EL MÉTODO DE LOS RESTOS MAYORES 5.1 Descrpcó del método Se asga, e prmer lugar, a cada partdo la parte etera de su cuota [q ]; a cotuacó, se ordea de mayor a meor los restos q [q] y se asga u escaño más a cada uo de los partdos co mayor resto hasta completar los S escaños. Ua de las vetajas de este método es que satsface la propedad de verfcacó de la cuota, a saber, que las solucoes s 1,, s dfere de la cuota e meos de u escaño, es decr q s 1. S embargo, tee alguas desvetajas, como la de que o es ecesaramete moótoo respecto de la asgacó de escaños, lo que se cooce co el ombre de Paradoja de Alhabama, tal como se explca a cotuacó. Tampoco es ecesaramete moótoo respecto de la asgacó de los votos, lo que se cooce como Paradoja de los votos: Puede ocurrr que, al comparar dos eleccoes dsttas, u determado partdo haya obtedo más votos pero meos escaños. La Paradoja de Alhabama E 1881, el método de los Restos Mayores fue muy crtcado por lo que, e su mometo, el Cogreso de los Estados Udos lo elmó debdo al hecho de que el estado de Alhabama que teía derecho a ocho represetates cuado el tamaño de la cámara era de 299 escaños pasó a teer sete cuado cuado el úmero de represetates se aumetó a 300, habédo matedo los estados la msma poblacó. La Paradoja de los estados uevos E 1907, Oklahoma se covrtó e u uevo estado y se le asgaro 5 represetates e base a su poblacó, co lo cual el total de represetates pasó de 386 a 391. La etrada de este uevo estado produjo cambos colaterales esperados. E cocreto, y s razó aparete, u escaño que prevamete se había asgado a Nueva York pasó a egrosar los del estado de Mae, de modo que Nueva York pasó de 38 a 37 escaños metras que Mae pasó de 3 a 4 escaños. Podríamos pesar que las paradojas so smplemete cuestoes puramete académcas o be que pudera ser sucesos o acotecmetos hstórcos raros o poco probables: o osbtate, para be o para mal, puede teer mplcacoes polítcas de eorme mportaca. La mayoría de los debates parlametaros sobre los métodos proporcoales se produce por la desgacó de u solo escaño. E 1991, los dstrtos de Motaa y Massachusetts presetaro alegacoes cotra la costtucoaldad del método de las Proporcoes Iguales o de Hll-Hutgto, que había estado e vgor durate más de 50 años. Ambos propusero métodos alteratvos basados e el ceso de 1990 pero el Trbual Supremo cofrmó la costtucoaldad del método. 5.2 Ejemplo de aplcacó del Método de los Restos Mayores Presetamos u caso real tomado de las eleccoes autoómcas catalaas celebradas el 16 de ovembre de Los datos correspode a la provca de Lérda y el total de escaños que había que repartr o asgar era de 15. Auque para la asgacó real de escaños se utlza la regla d Hot, a cotuacó ofrecemos la asgacó que resultaría de aplcar a estos msmos datos el método de los restos mayores, para comprobar que puede haber dferecas sustacales etre los dos métodos. E la Fgura 2, se muestra el resultado de aplcar el método de los restos mayores para obteer la asgacó de los 15 escaños. Como se puede comprobar,

5 Fracsco Javer Gró et al. Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; Fgura 2. Ejemplo del fucoameto del método de los restos mayores a la asgacó de escaños e u caso real. e la prmera teracó se asga 13 de los 15 escaños, de modo que so ecesaras dos teracoes más para asgar el total de los quce escaños. El resultado de la aplcacó de este método coducría a la asgacó que aparece e la últma fla, que cosstría e asgar 6, 3, 3, 2 y 1 escaños a los partídos polítcos CU, PSC, ERC, PP e ICV, respectvamete. S embargo, la asgacó real que se obtuvo aplcado la ley de dhodt fue de 7, 4, 3, 1 y 0 escaños para CU, PSC, ERC, PP e ICV, respectvamete. El resultado ateror, que compara ambos métodos, revela u hecho frecuete y be coocdo y també muchas veces crtcado, que es el que la regla d Hot tede sstemátcamete a favorecer a los partdos mayortaros e detrmeto de las morías. 6. MÉTODOS DE LOS DIVISORES E realdad, o se debe hablar de u solo método de los dvsores so que estos costtuye toda ua clase de procedmetos de asgacó proporcoal, depededo del crtero dvsor que se utlce. Varos de los métodos más utlzados e la práctca se eumera e la Tabla Descrpcó de los métodos Cada uo de los métodos se asoca co u crtero dvsor. U crtero dvsor es ua fucó real d(s) defda sobre los úmeros eteros s = 0, 1, 2, de modo que satsfaga las codcoes

6 26 Fracsco Javer Gró et al. Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; 101 Tabla 1. Ejemplos de los métodos de dvsores. * Además de e España, la ley d Hot també se emplea e Austra, Bélgca, Flada, Islada, Portugal, Holada, Suza y Fraca (solamete se empleó e el año 1986). ** E Damarca se empleó durate el período y A cotuacó, ua vez fjado el crtero dvsor, para cada = 1, 2,, y para cada s = 0, 1,, S se calcula los cocetes se elge los S mayores y se asga a los respectvos partdos. S hay empate, la ley electoral correspodete decde el método de asgacó (véase el ejemplo de la Fgura 3). 6.2 Alguos casos partculares El Método de d Hodt, troducdo por Jefferso para el reparto de escaños del Cogreso de los Estados Udos e 1794 y el más utlzado e Europa, a pesar de que se le haya crtcado por ser el meos proporcoal de todos. E Bélgca se atrbuye al jurcosulto Vctor d Hodt la creacó del método. El crtero dvsor correspodete es:. El Método Sate Laguë, troducdo por el matemátco fracés del msmo ombre e 1910 auque Webster lo había sugerdo alguos años ates como alteratva al método de Jefferso que favorecía a los grades estados. El crtero dvsor correspodete es:. El Método de los Dvsores Pequeños, desarrollado por Adams, se puede cosderar como la atítess del de d Hodt ya que tede a favorecer a los partdos pequeños. No se suele utlzar e Europa. El crtero dvsor correspodete es: ds () = s. Obsérvese que, e este caso, como ds () = 0todos los cocetes c 0 =+, lo que mplca que cada partdo obtee al meos u escaño. Ua vetaja mportate de todos los métodos de dvsores es que so moótoos pero o ecesaramete verfca la propedad de la cuota. 6.3 Propedades deseables que debe satsfacer u crtero de asgacó proporcoal etera Auque ya hemos mecoado alguas de las vetajas e coveetes de los métodos que hemos co-

7 Fracsco Javer Gró et al. Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; Fgura 3. Ejemplo real de aplcacó de la ley d Hot. Obsérvese que, e este caso, el corte para quedar excluído de la asgacó de escaños se stua e el 5% e vez del 3% que dcta la ley electoral.

8 28 Fracsco Javer Gró et al. Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; 101 Tabla 2. Comparacó etre los métodos de los Restos Mayores y el de d Hodt. * Esta asgacó o verfca la propedad de mootoía. ** Estas solucoes o verfca la cuota. sderado, os plateamos ahora el problema mucho más teresate de abordar el estudo de los métodos de asgacó proporcoal desde el puto de vsta axomátco, es decr, de los prcpos que so deseables que verfque u crtero de asgacó proporcoal. La coclusó es como por otra lado cabría esperar, dada la dversdad de métodos y las crítcas que todos ha recbdo decepcoate y os coduce al sguete teorema de mposbldad, smlar e espírtu, al famosos teorema de mposbldad de Arrow. Teorema de mposbldad (Balsk y Youg, 1982). No exste gú crtero de asgacó que cumpla smultáeamete las cuatro propedades o axomas sguetes: 1. Verfcacó de la cuota: Ngua de las dferecas etre escaños y cuotas debe ser superor a la udad. 2. Mootoía respecto de los escaños: Al aumetar el úmero de escaños S gú partdo debería recbr meos escaños, para ua asgacó fja de votos. 3. Mootoía respecto de los votos: Al comparar los resultados de dos eleccoes, s el úmero de votos de u partdo aumeta y el de otro dsmuye, o debería ocurrr que el prmero tuvera meos escaños y el segudo más que los que tuvera aterormete. 4. Homogeedad: La solucó o se altera s los úmeros de votos se multplca por u factor λ > Comparacó etre los métodos de los Restos Mayores y el de d Hodt A modo de ejemplo que además lustra algua de las paradojas y señala la posbldad de que se cumpla alguos de los axomas aterores, supogamos que el úmero de votos obtedos por tres partdos A, B y C so 99, 245 y 32, respectvamete. La Tabla 2 compara los resultados de asgar uo, dos,, hasta dez escaños a estos partdos, utlzado las fórmulas electorales de los Restos Mayores y la ley de d Hodt. E la últma columa aparece las cuotas correspodetes. Aparte de las dferetes asgacoes que los dos métodos produce, se señala co co uo y dos asterscos, respectvamete, aquellas asgacoes que cumple las propedades de mootoía y de verfcacó de la cuota. Para estos msmos datos, y como complemeto a la Tabla 2, las Fguras 3a y 3b represeta las asgacoes de los escaños a cada uo de los partdos, e

9 Fracsco Javer Gró et al. Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; RELACIÓN CON LOS MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN Uo de los problemas más mportates que se os platea e el estudo de los métodos de reparto o asgacó proporcoal es saber cómo se puede medr su grado de proporcoaldad. Fgura 3a. Comportameto gráfco del Método de los Restos Mayores. El puto egro represeta el reparto deal. Parece ser u setr geeral que el método de los Restos Mayores es el más proporcoal metras que el método de d Hodt es el meos proporcoal. La respuesta o la explcacó a este setr o está pror del todo clara; s embargo, se puede aclarar efocado el problema de la asgacó proporcoal como u problema de optmzacó co úmeros eteros. Pero, cuál es la fucó objetvo que se ecuetra detrás de cada uo los métodos de asgacó proporcoal? La optmzacó etera os permte descubrr, a posteror, la fucó objetvo que cada crtero mmza. Fgura 3b. Comportameto gráfco del Método de d Hodt. El puto egro represeta el reparto deal. cada ua de las dez etapas de asgacó, e la que se comprueba vsualmete la dfereca etre ambos métodos y los problemas debdos al cumplmeto de algua de las propedades que debería satsfacer los dos crteros aterormete señalas. El puto egro, que represeta el reparto deal, sería la solucó óptma para u úmero de escaños sufcetemete grade, de modo que al hacerse más fa la retícula es decr, al aumetar el úmero de escaños, aquella cocdría co alguo de los putos de terseccó de la retícula. Este hecho refleja la dea tutva de que todos los métodos de reparto proporcoal cocdría s el úmero de escaños fuese sufcetemete grade (se tedría ua malla o retícula muy fa), y las proporcoes de votos de los dversos partdos o fuese demasado dspares, lo que mpedría que hubese mayorías o morías demasdo acusadas (ya que, e estas crcustacas, estaríamos demasdo cerca de u vértce). Este uevo efoque del problema orgal e térmos de las solucoes de problemas de optmzacó permte dseñar uevas fórmulas electorales que correspoda a certas fucoes objetvo o meddas de desproporcoaldad. El plateameto del problema de optmzacó para la asgacó proporcoal sería pues el sguete. Cosderemos partdos y S escaños. Sea v= { v,..., 1 v} el vector de los votos que obtee cada partdo y V =. El problema de represetacó = v 1 proporcoal cosste e determar la cofguracó o vector s = s s tal que { } 1,... = 1 s 0, etero, para = 1, 2,...,, s s más v = S más (P1) dode la relacó s v v teta represetar el que los escaños asgados s sea lo más proporcoales posble a los votos obtedos v. Para que el úmero de escaños s fuese exactamete proporcoal al úmero de votos de cada uo de los

10 30 Fracsco Javer Gró et al. Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; 101 partdos = 1,,, se debería cumplr exactamete la gualdad s = v S para = 1, 2,...,. V Como la cuota, v, es geeralmete u úmero fraccoaro, hay que redodearla de algú modo y, por V cosguete, o hay solucó úca del problema (P1). S Se puede demostrar que la solucó del problema (P1) dado por las dferetes fórmulas de asgacó so solucoes óptmas del sguete problema de optmzacó (P2) e el que la fucó de costo es ua medda de la falta de equdad (o ídce de desproporcoaldad) específca de cada método, que toma valores o egatvos y geeralmete satsface el que s y solo s s S para todo = 1, 2,,. = v V 7.1 Métodos de asgacó y sus correspodetes meddas de desproporcoaldad A cotuacó, damos ua lsta de varos de los métodos de asgacó proporcoal más utlzados, co sus correspodetes fucoes de costo. Obsérvese que para u msmo crtero puede haber más de ua fucó de costo. p s q para todo p 1 = 1 s S v = 1 v V Método de los Restos Mayores p s v para todo p 1 S V = 1 s v max = 1,2,..., S V 8. EPÍLOGO Falzamos el artículo co uos cometaros referetes a las cosecuecas que tee la ley electoral vgete y, de paso, señalamos algua posbldad de mejora de ésta coducete a aumetar el grado de proporcoaldad de la msma, s olvdar la mportate y dfícl tarea que supoe la modfcacó de ua ley electoral, atededo a crteros objetvos y o de oportudad polítca que, como es be sabdo y la hstora os lo recuerda, se puede volver e su cotra e otras crcustacas. U exame global de los resultados de las dez eleccoes geerales habdas e uestro país muestra ua baja proporcoaldad etre el úmero total de votos y el úmero total de escaños recbdos por cada partdo. Esta baja proporcoaldad o solamete se debe a la aplcacó del método de d Hodt so prcpalmete a la exsteca de muchas crcuscrpcoes pequeñas. Balsk y Ramírez propoe las sguetes modfcacoes a la ley electoral co el objeto de aumetar la proporcoaldad:

11 Fracsco Javer Gró et al. Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; a) Aumetar el tamaño de la Cámara al máxmo que cotempla la Costtucó (400 escaños), asgar solamete u escaño cal por provca y repartr el resto medate el método de Sate-Laguë. b) Susttur el método de d Hodt para el reparto de escaños por el método de los dvsores co crtero dvsor. Por otra parte, Berardo sugere susttur la ley de d Hodt por otro crtero que mmce algua métrca o dstaca etre las cuotas y los escaños como ocurre, p. ej., co el método de los Restos Mayores. 9. CONCLUSIONES El teorema de mposbldad de Balsky y Youg afrma que o hay gú método de reparto proporcoal óptmo. Por otra parte, la fórmula electoral deal ha de ser, a la vez, fácl de eteder y de calcular. El que sea fácl de eteder es ua codcó muy mportate ya que e u sstema realmete democrátco cada elector debe ser coscete y teer ua dea clara de las cosecuecas de su voto. El segudo requsto, de que sea fácl de calcular, ataño fue mportate, pero hoy ya o lo es. Podemos coclur, por cosguete, que la eleccó de ua fórmula electoral es ua decsó polítca mportate que debe compatblzarse co el madato costtucoal. El que los métodos de reparto proporcoales se pueda cosderar como u problema de optmzacó co ua determada fucó de costo ayuda a eteder los pros y los cotras de cada uo de los métodos comumete usados e, cluso, a dseñar uevas fórmulas electorales que mmce certas meddas de desproporcoaldad o dstaca etre la represetacó polítca de cada partdo medda por s y la deal. Otra gra vetaja, es que además v SV permte que se pueda añadr restrccoes al problema de optmzacó de modo que fuerce a la asgacó de escaños resultate a respetar certas propedades. De aquí deducmos, como coclusó fal, que las matemátcas puede ayudar a ecotrar la solucó al problema de la asgacó proporcoal que mejor se ajuste a uas determadas crcustacas polítcas, depedetemete de éstas crcustacas y de otros elemetos que pudera dstorsoar la dea que subsyace detrás del cocepto de reparto proporcoal. APÉNDICE A: LA LEY ELECTORAL LEY ORGÁNICA 5/1985, DE 19 DE JUNIO DEL RÉGIMEN ELECTORAL GENERAL, MODI- FICADA POR LA LEY ORGÁNICA 1/1987, DE 2 DE ABRIL, POR LA LEY ORGÁNICA 8/1991, DE 13 DE MARZO, POR LA LEY ORGÁNICA 6/1992, DE 2 DE NOVIEMBRE, POR LA LEY ORGÁNICA 13/1994, DE 30 DE MARZO, POR LA LEY ORGÁNICA 3/1995, DE 23 DE MARZO, POR LA LEY ORGÁNICA 1/1997, DE 30 DE MAYO, POR LA LEY LEY ORGÁNICA 3/1998, DE 15 DE JUNIO Y POR LA LEY ORGÁNICA 8/1999, DE 21 DE ABRIL. CÁPITULO III Sstema electoral Artículo Para la eleccó de Dputados y Seadores, cada provca costturá ua crcuscrpcó electoral. Asmsmo, las cudades de Ceuta y Mellla será cosderadas, cada ua de ellas, como crcuscrpcoes electorales. 2. Se exceptúa de lo dspuesto e el párrafo ateror, para las eleccoes de Seadores, a las provcas sulares, e las que a tales efectos se cosdera crcuscrpcoes cada ua de las sguetes slas o agrupacoes de slas: Mallorca, Meorca, Ibza-Formetera, Gra Caara, Fuertevetura, Lazarote, Teerfe, Herro, Gomera y La Palma. Artículo El Cogreso está formado por trescetos ccueta Dputados. 2. A cada provca le correspode u mímo cal de dos Dputados. Las poblacoes de Ceuta y Mellla está represetadas cada ua de ellas por u Dputado. 3. Los doscetos cuareta y ocho Dputados restates se dstrbuye

12 32 Fracsco Javer Gró et al. Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; 101 etre las provcas e proporcó a su poblacó, coforme al sguete procedmeto: a) Se obtee ua cuota de reparto resultate de dvdr por doscetos cuareta y ocho la cfra total de la poblacó de derecho de las provcas pesulares e sulares. b) Se adjudca a cada provca tatos Dputados como resulte, e úmeros eteros, de dvdr la poblacó de derecho provcal por la cuota de reparto. c) Los Dputados restates se dstrbuye asgado ua a cada ua de las provcas cuyo cocete, obtedo coforme al apartado ateror, tega ua fraccó decmal mayor. Descrpcó del método de los restos mayores 4. El Decreto de covocatora debe especfcar el úmero de Dputados a elegr e cada crcuscrpcó, de acuerdo co lo dspuesto e este artículo. Artículo La atrbucó de los escaños e fucó de los resultados del escruto se realza coforme a las sguetes reglas: a) No se tee e cueta aquellas caddaturas que o hubera obtedo, al meos, el 3 por 100 de los votos váldos emtdos e la crcuscrpcó. b) Se ordea de mayor a meor, e ua columa, las cfras de votos obtedos por las restates caddaturas. c) Se dvde el úmero de votos obtedos por cada caddatura por 1, 2, 3, etcétera, hasta u úmero gual al de escaños correspodetes a la crcuscrpcó, formádose u cuadro smlar al que aparece e el ejemplo práctco. Los escaños se atrbuye a las caddaturas que obtega los cocetes mayores e el cuadro, atededo a u orde decrecete. Aquí se descrbe u ejemplo práctco de aplcacó de la ley d Hodt d) Cuado e la relacó de cocetes cocda dos correspodetes a dsttas caddaturas, el escaño se atrburá a la que mayor úmero total de votos hubese obtedo. S hubera dos caddaturas co gual úmero total de votos, el prmer empate se resolverá por sorteo y los sucesvos de forma alteratva. e) Los escaños correspodetes a cada caddatura se adjudca a los caddatos cludos e ella, por el orde de colocacó e que aparezca. 2. E las crcuscrpcoes de Ceuta y Mellla será proclamado electo el caddato que mayor úmero de votos hubese obtedo. Artículo E caso de fallecmeto, capacdad o reuca de u dputado, el escaño será atrbudo al caddato o, e su caso, al suplete, de la msma lsta a que correspoda, atededo a su orde de colocacó. 2. Las vacates de los Dputados elegdos e Ceuta y Mellla será cubertas por sus respectvos supletes, desgados e los térmos del artículo 170 de esta Ley. APÉNDICE B: LA TEORÍA DE LA ELECCIÓN SOCIAL Como complemeto de este artículo, ofrecemos ua breve descrpcó del teorema de mposbldad de Arrow, al que se ha hecho refereca e varas ocasoes. Formulacó del problema S cada dvduo de u grupo tee u certo orde de preferecas etre las dferetes alteratvas A, B, C, etc., cómo se puede covertr las dsttas preferecas dvduales e ua sola eleccó para todo u grupo? La herrameta básca es la defcó de fucó de beestar socal, que es ua regla o procedmeto de agregacó que permte ordear las dsttas alteratvas a partr de las preferecas dvduales. Como ejemplos de fucoes de beestar socal, que se ha utlzado co profusó se ecuetra las sguetes: a) El método de la mayoría relatva. b) El ídce de recueto de Borda. c) El método de comparacó por parejas.

13 Fracsco Javer Gró et al. Rev.R.Acad.Cec.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2007; A la preguta de qué propedades debería verfcar ua fucó de beestar socal razoable, Arrow (1951) e su hstórco artículo que adoptaba la perspectva axomátca mperate e la época, trodujo las sguetes como axomas que ua fucó de beestar socal deal debería satsfacer. a) Domo Uversal: Cualquer prefereca dvdual es legítma. b) El Prcpo de Pareto: S hay uamdad e cosderar ua alteratva mejor que otra etoces el procedmeto de agregacó debería colocar sempre la alteratva mejor ates de la peor. c) Idepedeca de alteratvas rrelevates: La ordeacó socal de dos alteratvas sólo depede de su ordeacó e cada lsta dvdual y o de su relacó co otras alteratvas. Co estas premsas, Arrow demostró su teorema de mposbldad, que eucamos de la maera sguete. Teorema de Imposbldad de Arrow (1951) S hay más de dos alteratvas, cualquer fucó de beestar socal que cumpla las propedades aterores cocde co las preferecas de u certo dvduo, que varará segú cual sea la fucó, por lo que tedríamos ecesaramete ua dctadura. NOTA BIBLIOGRÁFICA E la refereca 4 puede ecotrarse ua extesa y recete bbografía, clasfcada segú los dversos aspectos que ofrece el tema de las Matemátcas de los Sstemas Electorales, desde las cotrbucoes fudametales de los poeros, como Arrow y Black, al aálss de los métodos proporcoales, pasado por las reformas electorales, la establdad de los goberos y los efectos y cosecuecas de los sstemas electorales. BIBLIOGRAFÍA 1. Arrow, K. (1963). Socal Choce ad Idvdual Values (2d edto). Wley: New York. 2. Balsk, M. L. ad Youg, H. P. (1982a). Far Represetato: Meetg the Ideal of Oe Ma Oe Vote. Yale Uversty Press: New Have, CT. 3. Balsk, M. L. ad Youg, H. P. (1982b). The quota method of apportomet. Amerca Mathematcal Mothly, 82, pp Grll d Cortoa, P. Maz, C. Pes, A., Rcca, F., ad Smeoe, B. (1999). Evaluato ad Optmzato of Electoral Systems. SIAM Moographs o Dscrete Mathematcs ad Applcatos.