GENERALIDADES SOBRE MÓDULOS

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1 GENERALIDADES SOBRE MÓDULOS Presetar el Z -módulo Z como cocete de u Z -módulo lbre Hacer lo msmo para el grupo de Kle Calcular los auladores de los sguetes módulos: a) El Z -módulo Z Z 6 b) El Z -módulo Z Z 5 Q[ x] Q[ x] c) El Q[ x] -módulo ( x ) ( x ) d) El R-módulo M N, para M y N dos R-módulos cualesquera Sea R u domo de tegrdad y f : M N u morfsmo de R-módulos Probar: M T( M ) = b) S N es lbre de torsó, etoces T( M) Ker( f) c) S M es de torsó, etoces Im( f) T( N) a) T( ) T( M) 4 U homomorfsmo de allos es u somorfsmo s exste u morfsmo verso Se llama móco s es smplfcable a zquerda, y épco, s es smplfcable a derecha Probar que la clusó : Z Q es u morfsmo de allos móco y épco, pero o es u somorfsmo 5 Demostrar que el Z -módulo Q es descompoble, pero o es cíclco 6 Sea R { a b : ab, } = + Z Se defe ϕ : R R medate ϕ ( a+ b ) = a+ b Probar que ϕ es u edomorfsmo de Z -módulos, pero o de R-módulos Probar que R es somorfo a Z Z como Z -módulo 7 Sea V u K-espaco vectoral V de dmesó fta y α :V V u edomorfsmo a) Probar co detalle que V es u Kx-módulo [ ] medate la ley de composcó extera defda como sgue: s b) S {, } f = ax y v V, = 0 = 0 v v es ua base de V y ( kv kv ) kv kv descrbr todos los Kx-submódulos [ ] de V f v = aα () v α + = + para cualesquera k, k K, 8 Probar que el cojuto X = {,} forma u sstema geerador del Z -módulo Z, y que o cotee gua base lbre de Z Deducr de aquí ua dfereca esecal e el comportameto de los Z -módulos lbres y los K-espacos vectorales 9 Probar que u R-módulo R es lbre de torsó s y sólo s R = 0 o es u domo de tegrdad Probar que todos submódulo del R-módulo lbre R es lbre s y sólo s R = 0 o R es u DIP

2 SUBMÓDULOS DE MÓDULOS LIBRES FINITAMENTE GENERADOS SOBRE UN DIP 0 Sea F = Z y sea N = Z+ Z, co = (,0,0) y = (0,,) Se cosdera la clusó : N F, que es u morfsmo de Z -módulos Hallar las bases de F y N respecto de las cuales la matrz de es reducda Demostrar que el deal I = (, x) de Z [ x] o es lbre como Z[ x] -módulo Qué coclusó se puede sacar de este hecho? Dado el allo R= C [ xy, ], razoar s el R-módulo I = ( xy, ) es o o lbre Sea I R u deal del allo R Es certo que s R es u R-módulo lbre etoces I I = 0? 4 Sea I u deal del allo R Probar que I es lbre como R-módulo s y sólo s es u dea prcpal geerado por u elemeto o dvsor de cero 5 Probar que u allo R e el que todo R-módulo ftamete geerado es lbre, es el allo 0 o es u cuerpo 6 Sea A la matrz de u homomorfsmo ϕ etres los Z -módulos lbres que ϕ es yectva s y sólo s ra ( ) = m 7 Ecotrar ua base lbre para el Z -submódulo de (, 0, -), (,, -), (0,, ) y (,, 5) m Z y Z Probar Z geerado por los elemetos 8 Ecotrar ua base lbre del submódulo M de Z geerado por las solucoes del sstema de ecuacoes x+ y+ z = 0 x + 4y + 9z = 0 9 Sea A = la matrz de u edomorfsmo ϕ del Z -módulo Z, respecto de la base caóca Ecotrar ua base lbre de Im( ϕ ) y calcular su rago Es ϕ sobreyectvo?

3 MATRICES CON COEFICIENTES EN UN DIP Hallar la forma reducda de A= 4 M( Z ) Ecotrar matrces regulares X e Y sobre Z tales que XAY se la matrz dagoal correspodete al ejercco ateror Calcular la matrz de factores varates sobre Q [ x] de la matrz Calcular la matrz de factores varates sobre Q [ x] de la matrz 4 Idcar razoadamete cuáles de las sguetes matrces so vertbles: a) A = 5 e M ( Z ) b) A = 5 e M ( Q ) x c) A = 4 e M ( Q [ x] ) x x d) A4 = e M ( Q [ x] ) + x x 0 0 B= 0 x x x + x x C = x x + x x 5 Probar que x 0 A = x o es equvalete sobre Z [ x] a ua matrz dagoal 6 Dada la matrz a) M ( ) C b) M ( Z ) [] + E = , hallar ua forma reducda para E e: 7 Probar que s R es u DIP y A M ( R), etoces A es vertble s y sólo s es equvalete a I 8 Se cosdera los morfsmos de Z -módulos f, g: Z Z, defdos medate f (,0,0) = (,4,), f (0,,0) = (,0,), f (0,0,) = (,,0), g (,0,0) = (,,),

4 g (0,,0) = (0,,0) y g (0,0,) = (,0,) Calcular la matrz de f g respecto de la base caóca lbre de Z e dcar s f ó g es u automorfsmo 9 Sea R u domo de tegrdad Probar que gú subcojuto del R-módulo lealmete depedete sobre R puede coteer más de elemetos 0 De ua matrz A M ( ) Z se sabe que el mayor de sus factores varates e valor absoluto es 6, que otro factor varate es y que 50< det( A) < 00 Puede calcularse el otro factor varate de A sobre Z? Puede calcularse det( A )? Idcar la relacó exstete etre los determates de ua matrz A M ( [] ) ua matrz dagoal D, equvalete a A Razoar s los sguetes subcojutos so bases lbres: (,,),(,0,),(,, ) del Z -módulo lbre Z a) { } b) {(,, ),(0,, ),(,,0)} xx x x del Q[ x] -módulo lbre c) {(, ),(, ) } + del Z[] -módulo lbre Z [] Q [ x] R Z y de Probar que cualquer matrz de determate o ulo A M ( K), co K u cuerpo, es equvalete a la matrz detdad, I Qué ocurre s det( A ) = 0? 4 Ecotrar la matrz D de factores varates sobre Q [ x] de la matrz x x G = x x + x + 5 Hallar matrces vertbles X e Y tales que D = XGY, para G y D las del ejercco ateror 6 Calcular los deales J( A ) geerados por los meores de orde,, para la matrz A= 0 M( Z ) 0 7 De ua matrz A M ( Z ) se cooce sus factores varates d =, d = 7 y J ( ) 9 A = Z Calcular, s es posble, el valor absoluto del determate de A 8 Detectar los casos e que se produzca ua cotradccó para ua matrz A M ( Z ), co matrz de factores varates D dag{ d, d, d } a) d = d =, d = y A= I b) d =, d =, d = 6 y det( A ) = 6 c) d = 5, d = 5 y det( A ) < 00 d) d =, d = 6, d = 0 y J ( A ) = 6Z =, sedo: 4

5 GRUPOS ABELIANOS 9 Clasfcar los grupos abelaos de orde 84 y calcular los varates de torsó de cada uo de ellos 40 Ecotrar el orde y los varates de torsó del grupo abelao A= ab, ;a+ b= 0,9a+ 4b= 0 4 Determar el rago lbre de torsó y los varates de torsó del grupo abelao A= abc,, ; a+ b= 0,9a+ c = 0 4 Dada la sguete presetacó del grupo abelao A: A= abc,, ; 4a+ b+ 6c= 0, 6a+ b+ 6c= 0,7a+ 4b+ 5c = 0 Probar que A = y hallar elemetos uv, A, de órdees 6 y respectvamete, tales que A=< u > < v> 4 Sea A = 0 la matrz de relacoes de u grupo abelao Ecotrar ua suma 0 drecta de grupos cíclcos que sea somorfa a dcho grupo abelao 44 Dado el grupo abelao A= abc,, ; a 4b= 0,a+ b+ c= 0, hallar los factores varates y el orde del grupo 45 Las relacoes de u grupo abelao A co geeradores a, b y c so a+ b= 0, a = 0, 4a+ b= 0 y 4a+ b+ c= 0 Descompoer A e suma drecta de subgrupos cíclcos 46 Determar el úmero de clases de somorfía de grupos abelaos de orde Hallar los factores varates de cada ua de las clases de somorfía del ejercco ateror 48 Hallar los varates de torsó y el orde del grupo abelao presetado por: A= abc,, ;7a+ 5b+ c= 0,a+ b= 0,a+ b+ c = 0 49 Ecotrar los factores varates del grupo presetado por: A= xyz,, ;x+ y = 0, x y+ z = 0 50 Aplcar el Teorema de estructura para descompoer e suma drecta tera de subgrupos cíclcos el grupo abelao co la sguete presetacó: A= xyz,, ;x+ y+ 8z = 0,x+ 4z = 0 5 Descompoer el grupo abelao 5 Z como suma drecta tera de subgrupos, dcado explíctamete cuáles so los elemetos de cada subgrupo 5

6 TEOREMAS DE ESTRUCTURA DE MÓDULOS FINITAMENTE GENRADOS SOBRE DIP 5 Descompoer el Z -módulo M = Z5 Z80 Z 54 e compoetes prmaras y e compoetes descompobles 5 Idcar, razoadamete, cuál es el rago lbre de torsó y la sucesó de factores varates de torsó para cada uo de los sguetes módulos: a) U K-espaco vectoral V de dmesó b) El Z p -módulo Z p, co p prmo c) El Z -módulo Z p, co p prmo 54 Probar que cada módulo cocete de u modulo cíclco de torsó M sobre u DIP es somorfo a u submódulo de M 55 Hallar las compoetes prmaras del sguete Z [ x] -módulo: Z [ x] Z [ x] M = Z [ x] ( x + ) ( x + ) 56 Hallar los factores varates del Z [ x] -módulo M del ejercco ateror 57 Hallar los factores varates del sguete Z[] -módulo: Z[] Z[] Z[] M = Z [] (Sugereca: utlzar que los prmos a+ b Z [], a 0 b, so los que cumple que a + b es prmo e Z ) 58 Sea M = xy, u Z[] -módulo tal que ( + x ) + ( y ) = 0 y x+ 5y = 0 Expresar M como suma drecta de módulos cíclcos, utlzado el Teorema de estructura 59 Aplcar el Teorema de estructura para obteer la descomposcó e sumados descompobles, la descomposcó prmara y los factores varates del Z -módulo Z Z Z Dado el Q -espaco vectoral Q y el morfsmo α : Q Q dado por α (,0,0) = (,,0), α (0,,0) = (0,,) y α (0,0,) = (0,,0), ecotrar para u vector v deducr de este hecho? = ( abc,, ) Q, u polomo o ulo f [ x] Q tal que f v = (0,0,0) Qué se puede 6 Dar tres ejemplos de módulos descompobles que tega dferetes propedades, y que sea dferetes del propo allo 6

7 FORMAS CANÓNICAS DE MATRICES CON COEFICIENTES EN UN CUERPO 6 Ecotrar las formas caócas de la matrz 0 A = 4 6 sobre C 6 Hallar el polomo mímo y el polomo característco sobre C de la matrz B = 0 64 Hallar la forma caóca racoal de la matrz compleja 0 0 A = Sea A ua matrz sobre C co ch( A) = ( x+ ) ( x ) y m( A) = ( x+ ) ( x ) Eumerar las posbles formas caócas de Jorda dsttas para A 66 Probar que la matrz Jorda A = es dempotete Hallar su forma caóca de 67 Sea V u C -espaco vectoral bdmesoal y sea Ed( V ) Razoar s el C[ x] -módulo V (vía α ) es o o cíclco α, co matrz C 0 68 Determar la forma caóca de Jorda de A sabedo que ch( A) = ( x ) ( x 5), que el espaco de vectores propos asocado al valor propo es udmesoal, y que el asocado a 5 es bdmesoal 69 Sea A M ( C ) Probar que A es semejate a ua matrz dagoal s y sólo s m( A ) o tee raíces múltples 70 Sea V u K-espaco vectoral de dmesó y sea α Ed( V K ) Probar que α es cíclco s y sólo s ch( α) = m( α) 7

8 Hallar la forma caóca de la matrz A= M4( C ) Hallar los dvsores elemetales y la forma caóca racoal de la matrz A= M4( Q ) Hallar las formas caócas racoal y racoal prmara de la matrz A= M( Z ) Probar que A o es semejate a ua matrz de Jorda Cosderemos la matrz A= M( Z ) Calcular ch( A, ) m( A, ) FCR, 0 FCRP y FCJ, s exste Hallar los varates prmaros y la FCJ de A= 0 4 M( Z 5) 0 76 Ecotrar u ejemplo de ua matrz A M ( ) R que o tega FCJ 8