GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS

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1 GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS Hay ua varedad de métodos para geerar varables aleatoras. Cada método se aplca solo a u subcojuto de dstrbucoes y para ua dstrbucó e partcular u método puede ser más efcete que otro. I. TRANSFORMACIÓN INVERSA S la varable aleatora X tee ua FDA F(), etoces la varable u = F() está dstrbuda uformemete etre 0 y. Por lo tato, X se puede obteer geerado úmeros uformes y calculado = F - (u). FDA F().0 u 0 Prueba: Sea u = g() tal que = g - (u): F ( u) P( U u) P( X g ( u)) F ( g ( u)) U Seleccoemos g( ) de forma que g() = F X (), o u = F X (), y que u sea ua varable aleatora etre 0 y co dstrbucó dada por F ( u) F ( g ( u)) F ( F ( u)) u U X X X y f ( u) df du o sea que u está dstrbuda uformemete etre 0 y. X Prof. Herbert Hoeger Smulacó VI-

2 Este método os permte geerar varables aleatoras sempre que se pueda determar F - () aalítcamete o empírcamete. Ejemplo (determacó aalítca): Sea X epoecal co f() = e -. La FDA es F() = - e - = u o u l( ). S u es uforme etre 0 y, etoces -u també está dstrbuda uformemete etre 0 y. Por lo tato podemos geerar varables aleatoras epoecales geerado u y después calculado u l( ). Ejemplo (determacó empírca): El tamaño de los paquetes e ua red fuero meddos y ecotrados trmodales co las sguetes probabldades: Tamaño (bytes) Probabldad La FDA vee dada por: F( ) y la versa está dada por: F 64 ( u) u u u Prof. Herbert Hoeger Smulacó VI-

3 f() F() II. MÉTODO DEL RECHAZO Esta técca se puede usar s este otra fucó de desdad g() tal que cg() supera la fucó de desdad f(), es decr, cg() > f() para todos los valores de. S esta fucó este, etoces se puede aplcar los sguetes pasos:. Geere co la desdad g().. Geere y uforme e [0, cg()]. 3. S y f (), devuelva y retore. De lo cotraro repta desde el paso. El algortmo permaece rechazado las varables y y hasta que la codcó y f () sea satsfecha. Ejemplo: Cosderemos la fucó de desdad beta(,4): 3 f ( ) 0( ) f().6 Beta (,4) Rechace Acepte Esta fucó se muestra e la fgura y puede ser lmtada por el rectágulo de altura,. Por lo tato podemos usar c =, y g() = para 0. La varables beta (,4) puede ser geeradas como sgue: Prof. Herbert Hoeger Smulacó VI-3

4 . Geere uforme e [0, ].. Geere y uforme e [0,,]. 3. S y 0(-) 3, devuelva y retore. De lo cotraro vuelva al paso. Los pasos y geera u puto (, y) dstrbudo uformemete e el rectágulo e la fgura. S el puto cae sobre la desdad f (), etoces el paso 3 rechaza. La efceca del método depede de que ta be g() lmta a f (). S hay ua brecha muy grade etre cg() y f (), etoces u gra úmero de putos geerados e los pasos y será rechazados. Smlarmete, s la geeracó de varables aleatoras co g() es compleja, etoces el método puede ser efcete. III. COMPOSICIÓN Este método se puede usar s la FDA F() deseada se puede epresar como ua suma poderada de otras FDA F (),..., F (): F( ) pf( ) p 0, y p El úmero de fucoes puede ser fto o fto, y las FDA so compuestas para formar la FDA deseada; de aquí el ombre de la técca. Esto també se puede ver como que la FDA deseada es descompuesta e otras FDA; por esto la técca a veces es llamada descomposcó. La técca també se puede usar s la fucó de desdad f () puede ser descompuesta como ua suma poderada de otras desdades: f ( ) p f ( ) p 0, y p E cualquer caso, los pasos a segur so:. Geere u etero aleatoro I tal que P(I = ) = p. Esto puede ser hecho co el método de trasformacó versa.. Geere co la -esma desdad f () y retore. Ejemplo: Cosderemos la desdad de Laplace dada por f a e a ( ) - < < La sguete fgura muestra la desdad para a =. = = Prof. Herbert Hoeger Smulacó VI-4

5 f() Esta desdad es ua composcó de dos desdades epoecales. La probabldad de que sea postva es /, y de que sea egatva també es /. Usado la técca de composcó podemos geerar varables de Laplace de la sguete forma:. Geere u U(0,), y u U(0,).. S u < 0.5, retore = -a l u, de lo cotraro retore = a l u. Es de hacer otar que estas varables se puede geerar más efcetemete usado la técca de trasformacó versa. IV. CONVOLUCIÓN Esta técca puede ser usada s la varable aleatora puede ser epresada como la suma de varables aleatoras y,..., y que pueda ser geeradas fáclmete: y y... y E este caso se puede geerar geerado varables aleatoras y,..., y y sumádolas. S es la suma de dos varables aleatoras y y y, etoces la desdad de puede ser obteda aalítcamete por la covolucó de las desdades de y y y ; de aquí el ombre de la técca a pesar de que la covolucó o es ecesara para la geeracó de úmeros aleatoros. Nótese la dfereca etre composcó y covolucó. La prmera se usa cuado la desdad o FDA puede ser epresada como la suma de otras desdades o FDA. La seguda se usa cuado la varable msma puede ser epresada como la suma de otras varables. A cotuacó se da uos ejemplos de aplcacó de esta técca: Ua varable Erlag-k es la suma de k epoecales. Ua varable Bomal de parámetros y p es la suma de varable Berull co probabldad de éto p. La ch-cuadrado co v grados de lbertad es la suma de cuadrados de v ormales N(0,). Prof. Herbert Hoeger Smulacó VI-5

6 La suma de u gra úmero de varables de determada dstrbucó tee ua dstrbucó ormal. Este hecho es usado para geerar varables ormales a partr de la suma de úmeros U(0,) adecuados. Ua varable Pascal es la suma de m geométrcas. La suma de dos uformes tee ua desdad tragular. V. CARACTERIZACIÓN Característcas especales de certas dstrbucoes permte geerar sus varables usado algortmos especalmete ajustados para ellas. Todos estos algortmos está clasfcados bajo ua técca llamada caracterzacó. Ejemplos de varables geeradas usado caracterzacó so: S los tempos etre llegadas so epoecales co meda /, el úmero de llegadas e certo tervalo T es Posso co parámetro T. Por lo tato ua Posso puede ser obteda geerado epoecales hasta que su suma supere T y devolvedo el úmero de epoecales usadas. El a-esmo meor úmero e ua secueca de a + b + varables U(0,) tee dstrbucó beta(a, b ). La razó de dos ormales estádar e Cauchy(0,). Ua ch-cuadrado co u úmero par de grados de lbertad (v) es u gamma (,v/). S y so dos gammas (a, b ) y (a, c ) respectvamete, la razó / ( + ) es beta(b,c). Dstrbucó rmal Cosdere dos dstrbucoes ormales estádar Z y Z grafcadas e el plao tal como se muestra e la fgura: sedo su represetacó e coordeadas polares la sguete: Prof. Herbert Hoeger Smulacó VI-6

7 Es sabdo que B Z Bcos Z Bse Z Z tee dstrbucó ch-cuadrado co grados de lbertad que es equvalete a ua dstrbucó epoecal co meda : f ) / / e (/ ) () ( e / 0 por lo tato el rado B lo podemos geerar por trasformacó versa usado B l( u) o B l( u) Por smetría de la dstrbucó ormal, es razoable supoer que el águlo está dstrbudo uformemete etre 0 y. Igualmete se puede cosderar que el rado B y el águlo so depedetes. Co esto podemos geerar dos varables aleatoras ormales estádar depedetes Z y Z a partr de dos úmeros uformes u y u (ótese que s u es uforme etre 0 y, etoces u es uforme etre 0 y ): Z Z l( u ) cos(u l( u ) se(u y para obteer ormales co parámetros (, ) y (, ) usamos las trasformacoes: X X Z Z Por ejemplo, asumamos que queremos geerar dos varables aleatoras ormales depedetes co parámetros (8,4) y que uestro geerador de úmeros aleatoros os proporcoa u = y u = Aplcado las ecuacoes aterores os da: Z Z X X l(0.375) cos( 0.856).0485 l(0.375) se( 0.856) (.0485) (.336).6696 ) ) Prof. Herbert Hoeger Smulacó VI-7

8 A cotuacó se preseta u dagrama de flujo que ayuda a decdr cuál de las téccas aterores se debe usar: Es la FDA vertble? S Use versó Es la FDA ua suma de FDA? S Use composcó Es la desdad ua suma de desdades? S Use composcó Es la varable ua suma de varables? S Use covolucó Esta la varable relacoada a otras varables? S Use caracterzacó Este ua fucó lmtate? S Use rechazo Use versó empírca Prof. Herbert Hoeger Smulacó VI-8

9 VI. BOOTSTRAP El bootstrap es u método estadístco creado para facltar los cálculos que o se puede hacer co fórmulas smples (por medo de las téccas estadístcas cláscas) teedo como herrameta mportate la ayuda del computador. Este método cosste báscamete e susttur la dstrbucó teórca por la muestral y estudar las propedades del estmador remuestreado de esa ueva poblacó e las msmas codcoes e que se obtuvo la muestra orgal. Se basa e el muestreo de muestras. El método bootstrap trabaja como sgue:. Se tee u cojuto de muestra aleatora (el cual se trabaja co reemplazo) de tamaño, e dode {,,..., } so los valores observados de dcha muestra.. Se crea ua ueva muestra del msmo tamaño muestreado aleatoramete veces co reemplazo de la muestra orgal {,,..., }, dode la probabldad de escoger cualquer puto de los datos es /. 3. Luego se calcula el estadístco de terés ˆ para cada ua de las muestras bootstrap, a partr de la remuestra obteda, dado así *. (dode b,,..., B ). ˆb 4. Se repte los putos y 3 B veces, dode B es u úmero grade que represeta la catdad de remuestras hechas. La magtud de B e la práctca depede de las pruebas que se va aplcar a los datos. E geeral, B debería ser de etre 50 a 00 para estmar el error estádar de ˆ, y al meos de 000 para estmar tervalos de cofaza e u puto o alrededor de ˆ. Por ejemplo, supogamos que ˆ es la meda o, que es el estmador de la meda poblacoal μ.s remuestreamos B veces, cada ua es ua muestras de tamaño co reemplazo de la muestra orgal, obteemos ˆ * * que so las medas de cada demuestra. La dstrbucó empírca de los ˆB ˆb * estma la dstrbucó de ˆ y a partr de esta podemos calcular, por ejemplo, tervalos de cofaza para la meda. Método bootstrap para Geerar Varables Aleatoras E este caso usamos la muestra,,..., } para geerar ua varable aleatora que sga la dstrbucó { de la msma. Cosderemos dos caso, cuado la varable es dscreta y cuado es cotua. Caso varables aleatoras dscretas Supoga u cruce e dode los carros tee la opcó de cruzar a la derecha (D), cruzar a la zquerda (I) o segur recto (R), tal como se muestra e el dagrama a cotuacó: Prof. Herbert Hoeger Smulacó VI-9

10 Cruzar a la Izquerda (I) Segur Recto (R) Cruzar a la Derecha (D) Supogamos que observamos el cruce y obteemos ua muestra: { 0,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } { I, R, R, I, D, R, D, R, I, R} Aalzado la muestra teemos 3 I, 5 R, y D. Es decr, s la muestra es represetatva, la desdad apromada de la dreccó que puede tomar u carro es: 0.3 s I f ( ) 0.5 s R 0. s D y para geerar la dreccó que tomará el carro por métodos cláscos podemos usar la versa empírca: I 0 u 0.3 F ( u) R 0.3 u 0.8 co u ~ uf (0,) D 0.8 u Ahora, s o aalzamos la muestra (o determamos f()) y smplemete geeramos u valor uforme etre y 0, y devolvemos, la desdad del valor devuelto ( ) sgue precsamete f(), es decr, será I co probabldad 0.3, R co probabldad 0.5 y D co probabldad 0.. Esta es la base del método bootstrap, y e resume el método se reduce a:. Geere uforme etre y (el tamaño de la muestra).. Devuelva X = como el valor de la varable aleatora requerda. Debe ser obvo, que s la muestra es represetatva, los valores de geerados sgue la desdad correcta. Caso varables aleatoras cotuas Supogamos que observamos la estatura de ua poblacó y obteemos la sguete muestra: { 0,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } {.78,.63,.8,.7,.60,.67,.77,.8,.73,.59} Prof. Herbert Hoeger Smulacó VI-0

11 Los pasos que se descrbero aterormete se puede utlzar cuado ldamos co dstrbucoes dscretas, pero para el caso de varables aleatoras cotuas, este procedmeto o el más adecuado debdo a que solo se podría geerar los putos que se ecuetra e la muestra orgal (para el ejemplo, solo habría 0 valores posbles). S aplcamos el método ateror para geerar estaturas, queda claro que jamás se podrá geerar valores termedos o más allá del mímo y mámo de la muestra. Es decr, uca se podrá geerar, por ejemplo, u.64, o u.57, o u.87. Esto causa quetud. Para geerar varables aleatoras cotuas usado la técca bootstrap se agrega u "rudo" al valor muestreado de la muestra: X rudo Esto os permte geerar valores fuera de los que está eplíctamete e la muestra. La ecuacó sera: X hk(u) dode h se deoma parámetro suavzador, y K(u) el kerel, que es la dstrbucó del rudo aleatoro y debe ser smétrco alrededor de cero. Algortmo: Etrada: ua muestra aleatora,,..., } { Salda: ua varable aleatora cotua que sgue la dstrbucó de los datos muéstrales. Escoger el parámetro suavzador h ˆ Para calcular el h se platea la sguete fórmula: h ( k).364 / 5 dode la costate (k) es para u kerel Gaussao (rmal), ˆ deota la desvacó ˆ estádar de la muestra y su tamaño. La formula queda descrta por: h =.06 / 5. Geerar (etero) uforme e [,] 3. Geerar W segú la dstrbucó kerel K (u) E este caso, la eleccó es ua de las fucoes kerel más coocdas, la rmal(0,): / f ( ) e 4. Devolver X hw o ˆ X.06 rmal (0,) 5 Cuado los datos o sgue ua dstrbucó coocda o es posble geerarla por métodos cláscos. E este caso bootstrap se vuelve partcularmete útl para geerar este tpo de varables. Recuerde que boostrap o requere aalzar la muestra para descubrr que dstrbucó se podría atrbur a los datos, usa la muestra drectamete. Prof. Herbert Hoeger Smulacó VI-