Laboratorio de Simulación Práctica 1: GENERACIÓN DE SEÑALES Y ANÁLISIS DE DATOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA

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1 Laboratoro de Smulacó Práctca : GENERACIÓN DE SEÑALES Y ANÁLISIS DE DATOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 0. Itroduccó: * SIMULACIÓN: "Epermetar co modelos matemátcos e u computador" Esquema geeral: Geeracó de señales Modelo matemátco del sstema Aálss de resultados Se geera varas realzacoes de las señales de etrada modeladas como procesos estadístcos, se yecta e el sstema y se mde sus respuestas. Ua vez obtedas las respuestas para todas las realzacoes, se realza u aálss estadístco de los resultados. * OBJETIVOS: E esta práctca os cetraremos e la geeracó de las señales de etrada al sstema. Más e cocreto, os cetraremos e la geeracó de señales de tpo aleatoro. Las de tpo determístco se geerará segú su epresó matemátca por ejemplo ua modulacó de tpo ASK. Epodremos los estmadores más comues utlzados e el aálss de resultados: meda, varaza, autocorrelacó, sus tervalos de cofaza y alguos test de bodad de ajuste. * TRABAJO A REALIZAR: Crear u módulo e MATLAB que geere procesos aleatoros correlados co dstrbucoes gaussaa, bara o laplacaa. T-

2 Seleccoar dstrbucó: * Gaussaa * Bara dos estados * Gamma / para rudos mpulsvos *Nº de muestras *Meda y varaza MÓDULO Comprobacó: * Ajuste de la dstrbucó * Meda * Varaza,... Desdad espectral o correlacó Notas: Supodremos que se utlza ua frecueca de muestreo costate tervalo etre muestras costate Al fal deberemos comprobar que la fucó desdad de probabldad fdp y la correlacó del proceso de salda so las deseadas. * CONTENIDOS DE LA PRESENTACIÓN TEÓRICA: Geeracó de úmeros aleatoros Geeracó de varables aleatoras: Métodos geerales, cotuas y dscretas 3 Geeracó de secuecas correladas 4 Estmacó de parámetros meda, varaza, correlacó, hstogramas y test de bodad de ajuste de la dstrbucó. Geeracó de Números Aleatoros: prcpos báscos. * DEFINICIÓN: los que geera varables aleatoras co dstrbucó uforme etre 0 y. * E toda la smulacó debe poderse reproducr eactamete ua secueca de vv. aa. Esta codcó mplca que los geeradores o va a ser totalmete aleatoros so quasaleatoros o pseudoaleatoros. A gual estado cal del geerador de úmeros aleatóros se produce eactamete la msma secueca aleatora. * E los ordeadores, los geeradores usuales so de tpo cogruecal leal y geera úmeros etre 0 y segú la sguete fórmula: T-

3 Geera ua secueca de eteros {z } como: Z a Z c mod m dode: m es el módulo a es el multplcador c es el cremeto Z 0 es la semlla o valor cal para el msmo Z 0 se repte la msma secueca de úmeros aleatoros m>0, m>a, m>c, m>z 0 El úmero aleatoro etre 0 y se obtee como: U =Z /m S se ajusta las costates correctamete, el geerador tee su cclo mámo a partr de aquí se repte las vv. aa. de m este teoremas para determar a, c y m. Evdetemete teresa que m sea lo más grade posble. E MATLAB la ruta de geeracó de úmeros etre e el tervalo [0,] es : >>rad'seed', >>y=radm,! ca la semlla al valor!crea ua matrz aleatora de tamaño m El algortmo es: seed=7 7 seed mod 3 -. Geeracó de varables aleatoras * DEFINICIÓN: Cuado se geera varables aleatoras dsttas de la uforme etre 0 y. Los úmeros co dstrbucó estadístca cualquera se geera utlzado como etrada la salda de u geerador de úmeros aleatoros U0,: A cotuacó eplcaremos alguos métodos... Método de la trasformada versa Tee dos versoes, depededo de que la varable aleatora a geerar sea cotua o dscreta. * VV. AA. cotuas: T-3

4 Método: Geerar u úmero aleatoro U=U0, Geerar la varable como X=F - U ; dode F represeta la fucó de dstrbucó de la varable aleatora a geerar Demostracó: Demostraremos que la fucó de dstrbucó de la varable aleatora geerada es gual a F. La fucó de dstrbucó de la varable geerada se obtee de: P X P F U Dado que F es moótoa crecete, se puede aplcar a ambos lados de la desgualdad del térmo de la derecha, obteedo P F U P F F U F P U F Pero la probabldad de que ua varable aleatora uforme sea meor que u úmero etre 0 y es dcho úmero, obteédose que la fucó de dstrbucó de la varable aleatora geerada es gual a la que deseábamos obteer: P U F F P X * VV. AA. dscretas: F P X p Geerar u úmero aleatoro U=U0, Determar el meor etero postvo I tal que U F y devolver X= I I Este método, co alguas pequeñas modfcacoes, també srve para geerar varables aleatoras descrtas por ua fucó desdad de probabldad empírca a través de los hstogramas: Geerar u úmero aleatoro U=U0, Ecotrar F P j j tal que F U F ;,,..., N dode P represeta la probabldad de teer u úmero e el tervalo Z -, Z : detro de ua caja del hstograma. T-4

5 Z Z U F 3 Dar como salda C ; dode estamos supoedo que la probabldad detro de ua caja del hstograma tervalo Z -, Z se dstrbuye uformemete. La sguete fgura represeta el hstograma: f z z Área=P C... a z - b z * EJEMPLOS: f v. a. epoecal: ep F - ep F - - L - F El algortmo de geeracó segú el método de la fucó versa queda como: Geerar u úmero aleatoro U=U0, y L U v. a. dscreta: p / 3 ; p5 / 3 ; p9 / 3 El algortmo de geeracó segú el método de la fucó versa queda como: Geerar u úmero aleatoro U=U0, T-5

6 f U p / 3 y else f U p p5 / 3 y 5 else f U p p5 p9 y 9 edf.. Composcó y covolucó * COMPOSICIÓN: Cuado ua varable puede epresarse como mezcla estadístca de otras varables aleatoras que se puede geerar por u método coocdo. 0.5 e Ejemplo: Dstrbucó de Laplace f 0.5 e ; 0 ; 0 Algortmo: Geere dos úmeros aleatoros depedetes U =U0,, U =U0, S U <0.5 se devuelve y=l-u S U >0.5 se devuelve y=-l-u * CONVOLUCIÓN: Cuado ua v. a. se puede epresar como suma de otras depedetes e détcamete dstrbudas que se sabe geerar: Ejemplo: m-erlag que es la suma de m epoecales.4. Métodos basados e propedades Los métodos de composcó y covolucó so u caso partcular de estos. Se basa e aprovechar propedades que recoge la depedeca de la varable aleatora a geerar co otras de más fácl geeracó. Ejemplo: Geeracó de la v. a. gaussaa. Se basa e la propedad de que el módulo de las gaussaas e cuadratura tee ua dstrbucó Raylegh y la fase es uforme etre 0 y. Geere dos umeros aleatoros depedetes U =U0,, U =U0, Geere dos varables aleatoras co dstrbucó gaussaa stadar medate el sguete cómputo: T-6

7 X L U cosu ; X L U seu 3 Dotar a la N0, de la meda y varaza deseadas, Y X ; Y X E MATLAB este ua fucó que geera varables aleatoras gaussaas drectamete N0,: >>rad. 3. Geeracó de secuecas aleatoras * OBJETIVO: Geerar u proceso estocástco co fucó desdad de probabldad y correlacó arbtraras. * Éste es u problema dfícl y que o tee solucó geeral para cualquer tpo de varable aleatora. * Vamos a epoer u modelo de geeracó lo más geeral posble, auque de dfícl resolucó. * El problema solamete tee fácl solucó s el proceso a geerar tee fucó desdad de probabldad gaussaa. * Esquema geeral: Se basa e geerar muestras gaussaas depedetes, colorearlas co u fltro leal y aplcarles ua o-lealdad s memora para trasformar su f.d.p. a la deseada. Debemos recordar que la úca f.d.p. que se coserva cuado se fltra lealmete es la gaussaa. La fucó o leal e la salda del fltro coverte l N0, e la f.d.p. deseada, pero a la vez altera la correlacó mpuesta al proceso medate el fltro. Por ello, el fltro o se dseña co la fucó de autocorrelacó deseada so co otra que, al pasar la señal por la o lealdad, se coverta e la deseada. A cotuacó se eplca cómo se dseña cada uo de los compoetes de u geerador de procesos aleatoros. T-7

8 Geerador de úmeros aleatoros fltro que se stetza a partr de R'z y que tee e cueta como altera la o lealdad a la correlacó deseada Geerador de vv. aa. gaussaas v. a. gaussaa fltro leal v. a. gaussaa R' No lealdad F q R Solamete el procedmeto es secllo cuado el proceso tee fucó desdad de probabldad gaussaa. E este caso desaparece la últma o-lealdad y la correlacó para stetzar el fltro cocde co la del proceso. E otros casos el problema es bastate dfícl de resolver. * Ecuacó para la obtecó de la o-lealdad F: supodremos que a la etrada teemos muestras de la dstrbucó N0,: p ep P - p d S se hace pasar ua varable N0, a través de la fucó P se obtee a su salda u úmero co dstrbucó uforme U0,. El proceso es el verso al de geeracó de úmeros aleatoros co el método de la trasformada versa. Podemos obteer la o lealdad aplcado el procedmeto de la trasformada versa e la salda de la fucó P. El método se represeta e el dbujo: P. g. qy N0, F U0, T-8

9 Sea y Q y q d la fucó de dstrbucó de la varable aleatora deseada. Etoces, para covertr la U0, e qy se ecesta que g. Q.. Así se obtee que: F Q P * Ecuacó para la obtecó de la autocorrelacó ates de la o lealdad: - fucó de autocorrelacó del proceso: ' E t t R a la etrada de la o lealdad La fdp cojuta de dos gaussaas separadas segudos ates de la o lealdad vee dada por: g u, v, R' ep u R' v R' uv Etoces la relacó de autocovaraza e la salda de la o lealdad es: R F u F v g u, v, R' du dv Resolver esta ecuacó puede ser bastate complejo y aquí o vamos a etrar e métodos de resolucó. Este tablas co los casos más comues resueltos: * Resolucó del esquema para los casos de uestra práctca: - Proceso gaussao: F y R' R - Proceso baro: q y y y - Proceso gamma /: varaza= F sg R s / 4 3 q y 8 F R' ep 3 sg 3 T-9

10 R 3 R' s R' 3 R' R' Nota: fucó desdad Gamma ulateral: f ep / ; 0 E ; Var * Sítess del fltro leal: - Se debe resolver umércamete las ecuacoes R' f R - Se truca R' a ua sere de valores temporales e los que la eergía sea aprecable por ejemplo hasta el % del pco. El trucameto se puede realzar medate la multplcacó de ua vetaa hammg covolucoada cosgo msma: w h t h t dt t h t cos T ; t T R ' R' w 3- Ecotrar la FFT de R ' y poer a cero los posbles valores egatvos recordemos que es la desdad espectral de eergía. 4- La respuesta al mpulso deseada es la IFFT de la raz cuadrada del resultado del puto 3. E uestra práctca, el módulo debe admtr tato represetacoes de la correlacó e el tempo como e la frecueca. E el tempo utlzaremos la correlacó epoecal y e la frecueca máscaras de tpo paso bajo deal. R e 4. Comprobacó del resultado y estmacó de parámetros Para comprobar que el resultado es correcto debemos estmar las propedades de la secueca de úmeros que estamos geerado. Prcpalmete deberemos estmar: Meda, Varaza, 3 Autocorrelacó y 4 fucó desdad de probabldad. A T-0

11 cotuacó aparece los estmadores de estos parámetros juto co su caracterzacó estadístca represeta muestras e la salda del geerador. MEDIA: Estmador: E / Var VARIANZA: Estmador: / E dode: es el coefcete de correlacó: C E j j C es el estmador de la covaraza que veremos a cotuacó. Lo mportate es que para medr co buea precsó la meda y la varaza hay que teer e cueta la correlacó. Ua medda comú es tomar muestras e tatos perodos de autocorrelacó como muestras tomaría e el caso de muestras depedetes e détcamete dstrbudas IID. 3 AUTOCORRELACIÓN Y AUTOCOVARIANZA: Estmador: 0 N N R Estmador: 0 N N C De la estmacó de R puede obteerse la desdad espectral de poteca medate la FFT: R FFT S. Este dferetes métodos de los que el MATLAB tee rutas. El más coocdo es el del perodograma. 4 FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD: Para comprobar que estamos geerado la fucó desdad de probabldad correcta realzamos u test de bodad de ajuste: T-

12 - Dvde el rago de valores de los datos e tervalos adyacetes y calcula el hstograma de los datos - Calcula la probabldad de que la varable aleatora postulada caga detro de cada tervalo p, d, dode f. es la f.d.p. que queremos geerar y represeta f los parámetros de que depede. 3- Realza el sguete test: j N j N P N P j j 5% dode 5% represeta la ch-cuadrado de - grados de lbertad, que deja el 5% de probabldad de rechazo. El valor de este parámetro se puede etraes de la tabla adjuta. Nota: Debemos tomar ua muestra por tervalo de decorrelacó del proceso. Este otros tests para dsttos tpos de dstrbucoes. Debe caer al meos 5 muestras e la caja del hstograma co meor úmero de muestras cosderada e el test para que éste sea estadístcamete sgfcatvo. E MATLAB este rutas para evaluar la mayoría de estmadores y fucoes que ecestamos. Por ejemplo: mea: average mea value std: stadard devato raz cuadarda del estmador de la varaza de este apartado corr: cross-correlato fucto estmate cov: cross-covarace fucto estmate psd: estmate the power spectral desty PSD of a sgal hst: computes hstograms hammg: computes hammg wdows T-