LA FUNCION CUANTIL: UNA APLICACIÓN AL ESTUDIO DE LA PROPORCIONALIDAD ENTRE CARACTERISTICAS POBLACIONALES.

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1 LA FUNCION CUANTIL: UNA APLICACIÓN AL ESTUDIO DE LA PROPORCIONALIDAD ENTRE CARACTERISTICAS POBLACIONALES. Catalejo García, Fracsco García Lopera, Fracsca Mola Ruz, Salvador Javer Profesores del Departameto de Ecoomía Aplcada (Uversdad de Málaga RESUMEN E este trabajo desarrollamos u breve estudo sobre la fucó cuatl y su estmacó segú u determado método e el caso de utlzar formacó aular. Presetamos el método de estmacó de la fucó cuatl que va acompañado de la estmacó de la fucó de dstrbucó. Cosderadas dos característcas de esa poblacó, defmos u estmador rato smple de la fucó cuatl que os va a servr para poder aalzar la relacó de proporcoaldad que pueda estr etre ambas, observado que cuato mayor es esta relacó más se aproma el estmador rato a la fucó cuatl de la poblacó, cocdedo ambas e el caso de que esta relacó de proporcoaldad sea total. Se acompaña dcho estudo de ua smulacó realzada sobre ua poblacó dode hemos aalzado las dos característcas. poblacoales. Palabras Clave: Fucó cuatl, Estmador rato smple, Proporcoaldad de datos Clasfcacó AMS:90C40 INTRODUCCION E este trabajo presetamos u método de aálss de la relacó de proporcoaldad que pueda estr etre las característcas o datos de ua poblacó, basado e la fucó cuatl de la msma, cuado se utlza formacó aular, medate la utlzacó de uos estmadores ratos tato de la fucó de dstrbucó, como de la fucó cuatl, que posee la propedad de cocdr co valores de la fucó de dstrbucó y de la fucó cuatl poblacoal, cuado este proporcoaldad etre los datos. E prmer lugar defmos la fucó cuatl de la sguete forma 1

2 Supogamos que X 1, X 2,..., X so varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas, co fucó de dstrbucó F absolutamete cotua. La fucó cuatl Q ( t co 0 t 1, está defda por Q ( t = F 1 ( t = f { : F ( t } E cuato a las característcas podemos observar que 1 La fucó cuatl es o decrecete y cotua por la zquerda 2 Q [ F ( ] R 3 F [ Q ( t ] t R 4 F ( t s Q ( t També podemos afrmar que s F es absolutamete cotua, etoces se verfca P { ( k Q ( t ( k + 1 } = k t k ( 1 - t - k ESTIMACION DE LA F.DE DISTRIBUCION Y DE LA F. CUANTIL Y SU APLICACIÓN A LA PROPORCIONALIDAD DE POBLACIONES. Dada la defcó de fucó cuatl vamos a estmar la fucó de dstrbucó, cuado utlzamos formacó aular. Supogamos dos determadas característcas X e Y, aplcado el método propuesto por Chambers& Dusta, que os permte utlzar la formacó aular e las etapas de estmacó. Se observa co u estudo de smulacó que co u moderado tamaño de la muestra = 30, este estmador se puede cosderar más efcete que el usual estmador de la fucó de dstrbucó que o utlza formacó aular y esto co ua fuerte relacó leal etre la varable de terés y la varable aular estete. Supoemos para ello que la poblacó obedece u modelo de superpoblacó asumdo por Chambers & Dusta de la forma 2

3 y = β + v ( u ( = 1, 2,..., N 1 2 dóde N es el tamaño de la poblacó, β es u parámetro descoocdo, v ( = y u es la varable aleatora depedete e détcamete dstrbuda co meda cero. Para la estmacó de la fucó de dstrbucó, que posterormete os ayudará a la estmacó de la fucó cuatl, tedremos que como valor de terés e ua poblacó fta - 1 F ( t = N ( t - y U dode ( a = 1 cuado a 0 y ( a = 0 e cualquer otro caso y dode U deota a la poblacó. Supogamos que la muestra s, de elemetos es seleccoada de acuerdo co u pla de muestreo p ( s, co la probabldad de clusó π j Etoces el usual dseño de estmador basado e el método tradcoal será de la forma para F ( t sguete: $F( t = π - 1 ( t - y / s π - 1 s que como vemos o utlza formacó aular, para = 1, 2,..., N e las etapas de estmacó. So Chambers & Dusta los que propoe u modelo como alteratva para u modelo de superpoblacó y = β + v ( u co v( coocdo, y el estmador de F ( t es F$ ( t = 1 m ( t - y N s 1 ( t - b j + v ( j j s, s U dode es el tamaño de la muestra, b es el estmador mímo cuadrátco del peso β que vee dado por 3

4 b = s y v 2 2 s 2 ( v ( 1 y dode U ( y b = v ( y dode s = U - s es el cojuto de udades o muestreadas. El estmador F$ m ( t posee la propedad deseada de que F$ m ( t = F( t cuado y es proporcoal a para todo U, pero es depedete del dseño de muestreo. Los estmadores rato y dfereca del método tradcoal de F ( t so obtedos para resultados stadars, es decr, para totales y medas, tratado a ( t - y y ( t - R$ como y y varables respectvamete; dode a $R = y Π Π 1 es el usual estmador cosstete del rato poblacoal R = Y / X. U estmador rato de F ( t es 1 F$ ( -1 1 t = N ( t - y 1 ( t - R$ ( t - R$ r Π Π s s U El cual se reduce a F ( t cuado y es proporcoal a para todo U y de aquí la varaza se hace cero e posterores casos. Esto sugere que F $ r ( t os podría llevar a cosderables gaacas e efceca sobre $ F ( t cuado y es apromadamete proporcoal a. Vamos a cosderar el caso de la utlzacó de la formacó aular, para la estmacó de los cuatles poblacoales, aplcado a los datos de los gresos del Ayutameto de Málaga, dode vamos a utlzar el estmador de la fucó de dstrbucó que presetamos e la teoría y que represetamos por 4

5 $ 1 1 Fm ( t = ( t y + N j s ; s ( t b j v ( j u dode sabemos que es el tamaño muestral, dode el valor de b vee dado por la relacó b y = 2 2 v 2 ( v ( s s 1 dode el valor de u vee dado por u s = U s es el cojuto de udades o muestreadas. ( y b = v ( y dode sabemos que Sabemos que F $ m ( t posee la propedad de que F $ m ( t = F ( t cuado y es proporcoal a para todo U, sedo depedete del dseño de muestreo. Esta propedad os puede dar u camo váldo, para realzar u estudo sobre la relacó de proporcoaldad que puede guardar los dsttos mpuestos. E la hoja de cálculo Ecel hemos defdo la macro correspodetes para obteer las fucoes de dstrbucó y la macro para obteer los dsttos cuatles. Por tato, cuado los valores obtedos para F $ ( t so guales a F ( t quere decr que ambos mpuestos preseta ua relacó de proporcoaldad, auque osotros vamos a estudar esta relacó de otra forma, más drectamete relacoada co los cuatles e vez de co las fucoes de dstrbucó, s este ua mayor o meor proporcoaldad e los mpuestos, defmos para ello u estmador rato de θ( α de la sguete forma m $ θ$ ( α θ ( α = y θ$ ( α θ ( α dode 5

6 { t Fy t } θ$ ( α = f ; $ ( α y { t F t } θ$ ( α = f ; $ ( α y { t F t } θ ( α = f ; ( α todo Este estmador rato θ $ r ( α se reduce a θ ( α cuado y es proporcoal a para U, APLICACION DE ESTE ANALISIS DE PROPORCIONALIDAD A LA FISCALIDAD DEL AYUNTAMIENTO DE MALAGA. Vamos a comezar etoces estmado la fucó de dstrbucó y por tato los cuatles, utlzado formacó aular, es decr, medate F $ ( t, supogamos u determado mpuesto del que teemos ua muestra cuyos valores represetamos por y, y descoocemos su poblacó, por tato o podemos calcular drectamete sus cuatles, y teemos la formacó sobre otro mpuesto del que coocemos todos sus datos, vamos a obteer ua estmacó de la fucó de dstrbucó de la poblacó descoocda, que verfcará la propedad deseable de acercarse a la fucó poblacoal cuado los y so proporcoales a los. m Utlzamos para ello la macro, obteedo los valores de la fucó de dstrbucó, y a partr de aquí y medate la macro defda para el cuatl, obteemos los valores de los cuatles que presetamos a cotuacó, para el caso partcular, e que los y represeta ua muestra de los gresos del mpuesto de crculacó y los represeta los gresos obtedos por el Impuesto sobre Bees Imuebles ( IBI P 10 = 507 P 20 = 693 P 25 = 798 P 50 = 1824 P 75 = 4348 P 90 =

7 S ahora utlzamos como formacó aular los gresos obtedos por el Impuesto sobre actvdades ecoómcas ( IAE, dode los resultados de la estmacó de cuatles so los sguetes: P 10 = 507 P 20 = 533 P 25 = 798 P 50 = 1418 P 75 = 4813 P 90 = Como podemos aprecar este evdetes dferecas etre ambas estmacoes obtedas, y para comprobar la bodad de las dos vamos a obteer el valor de F ( t, para la poblacó de los gresos del mpuesto de crculacó, que ahora la supoemos coocda y presetamos los valores de los cuatles poblacoales que so los sguetes: P 10 = 532 P 20 = 763 P 25 = 798 P 50 = 1065 P 75 = 6804 P 90 = Como podemos aprecar s comparamos las tres tablas de valores os ecotramos co que los valores obtedos o so muy prómos lo cual os lleva a poder afrmar que la proporcoaldad que este etre los tres tpos de mpuestos es muy pequeña, puesto que e caso de estr, los valores obtedos debería de ser mucho más prómos, además podemos decr que el IAE parece u poco más relacoado que el IBI, pero e cualquer caso ada prómos etre ellos. Pasamos ahora a aalzar estas posbles relacoes etre los mpuestos, pero utlzado el cuatl rato, que hemos defdo co aterordad y que vamos a represetar por θ r ( α, este valor cocdrá co el valor θ( α, cuado los valores y sea proporcoales a para todo U. Vamos a trabajar co el msmo mpuesto, es decr, el mpuesto de crculacó y vamos a realzar estos cálculos co otros tpos de gresos, por ejemplo, los datos co los que obteemos los sguetes resultados o valores del cuatl rato para tres tpos de gresos dsttos: 7

8 1ª poblacó P 10 = 532 P 20 = 764 P 25 = 798 P 50 = 1065 P 75 = 6804 P 90 = ª poblacó P 10 = 532 P 20 = 978 P 25 = 600 P 50 = 1065 P 75 = 6856 P 90 = ª poblacó P 10 = 517 P 20 = 748 P 25 = 806 P 50 = 1075 P 75 = 6840 P 90 = Recordamos que los valores de los cuatles poblacoales θ( α so los sguetes: P 10 = 532 P 20 = 763 P 25 = 798 P 50 = 1065 P 75 = 6804 P 90 = CONCLUSIONES Como podemos observar, la prmera de las poblacoes ofrece bastate buea apromacó e los valores, es decr, podemos afrmar que los datos so bastate proporcoales y aalzado de que datos se trata e la prmera de las poblacoes, resulta ser los obtedos por gresos obtedos e la speccó trbutara, es decr valores que se obtee de los propos mpuestos, más u determado recargo aplcado segú ley, que evdetemete es u porcetaje de la cuatía del mpuesto, por tato resulta ser lógca la proporcoaldad detectada e los datos. 8

9 E las otras dos poblacoes los resultados so bastate más dspares, por tato, podemos coclur que la relacó de proporcoaldad etre estos tpos de gresos práctcamete o este, e la seguda poblacó los datos perteece també a la speccó trbutara, pero e este caso a otro mpuesto dstto del de crculacó, lo cual justfca el resultado obtedo y la tercera poblacó perteece a los datos de gresos del Impuesto sobre Bees Imuebles y podemos observar que efectvamete los valores de los cuatles so dsttos práctcamete e todos los casos, lo cual os coduce, como e el caso aterormete estudado, a ratfcar la ula proporcoaldad estete etre ambos mpuestos. 9

10 BIBLIOGRAFIA BABU, G.J.(1986: Estmato of desty quatle fucto, Sakhya, vol 48,Seres A, Pt. 2, pp CHAMBERS, R. L. & DUNSTAN, R.(1986: Estmatg dstrbuto fuctos from survey data. Bometrka 73, FALK, M (1987: O the estmato of the quatle desty fucto. Statstcs & Probablty Letters, 4, pp North-Hollad. HASKELL, J. ad SEDRANSK, J.(1980: Cofdece tervals for quatles ad tolerace tervals of fte populatos, Upublshed Techcal Report, SUNY at Albay, Departmet of Mathematcs ad Statstcs, Albay, NY. KAIGH, W. D. & LACHENBRUCH, P. A.(1983: A geeralzed quatle estmator, Commu. Statst. - Theor. Meth., vol. 11, º 19, pp KAIGH, W. D. (1983 : Quatle terval estmato, Commu.Statst., Theor. Meth., vol. 12, º 21, pp LOYNES, R. M.(1990: Some aspects of the estmato of quatles. Joural of the Royal Statstcal Socety Seres. B 28 ( 3, MUÑOZ, J. Y FERNANDEZ, A.(1987: Estmatg the quatle fucto by Berste polyomals. Computatoal Statstcs & Data Aalyss, vol. 5, pp PARZEN, E.(1991: Noparametrc statstcal data modelg. J.Amer. Statst. Assoc., vol. 74, pp SEDRANSK, J. Ad MEYER, J.(1978: Cofdece tervals for the quatles of a fte populato: Smple radom ad stratfed radom samplg. Joural of the Royal Statstcal Socety Seres B 40 ( 2, SMITH, P. J. Ad SEDRANSK, J.(1992: Lower bouds for cofdece coeffcets for cofdece tervals for fte populato quatles. Commucatos statstcs, Theory ad Methods 12 ( 12, WOODRUFF, R. S.(1952: Cofdece tervals for medas ad other posto measures. Joural of the Amerca Statstcal Assocato 47,